精品解析：河北邯郸市第二十五中学2025-2026学年下学期八年级期中数学试卷

邯郸市第二十五中学2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、单选题（本题共12小题，每题3分，共36分） 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查求自变量的取值范围，根据二次根式的定义，被开方数必须非负，由此建立不等式求解即可. 【详解】解：由题意，得：， 解得：， 故选B. 2. 健康骑行，快乐同行．周末，淇淇从家出发，以的速度匀速骑行，用时骑行，自变量是（ ） A. B. 用时 C. 骑行 D. 用时和骑行 【答案】B 【解析】 【分析】先根据路程、速度、时间的关系得到函数关系式，再结合自变量的定义即可判断． 【详解】解：∵路程速度时间，速度为定值， ∴得到关系式， 其中是常量，随的变化而变化， 根据函数定义，是自变量，是因变量， 因此自变量是用时． 3. 已知是整数，则正整数的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简二次根式，根据二次根式为整数的条件，得出被开方数为完全平方数，结合为正整数，即可求出的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是整数，即为完全平方数， ∵是正整数， 当时，，不是完全平方数， 当时，，是完全平方数， ∴正整数的最小值是． 4. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求正方形对角线的长，再根据点的位置进行判断． 【详解】解：由题意知，正方形对角线为：， ∵点在数轴负半轴， ∴点表示． 5. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据矩形的对角线相等且互相平分得，， 再根据得，则是等边三角形，由此得，即可得解． 【详解】解：四边形是矩形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ． 6. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定方法进行判断即可． 【详解】解：A选项：， 四边形有一组对边互相平行，且互相平行的对边相等， 根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，可知访四边形一定是平行四边形， 故A选项符合题意； B选项：， 四边形有一组对边互相平行， 只有一组对边平行， 不能说明该四边形是平行四边形， 故B选项不符合题意； C选项：一组对边相等，另一组对边不一定相等， 不能说明该四边形是平行四边形， 故C选项不符合题意； D选项：， 四边形有一组对边互相平行， 又， 另一组对边不平行， 不能说明该四边形是平行四边形， 故D选项不符合题意． 7. 在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形和菱形的判定； 结合平行四边形的性质与菱形的判定定理，逐一分析每个条件能否判定平行四边形为菱形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， 添加条件①可得是矩形，不是菱形； 条件②是平行四边形的固有性质，故添加条件②无法判定其为菱形； 添加条件③可得是矩形，不是菱形； 添加条件④能判定是菱形； 综上，能够判定是菱形的有1个， 故选：A． 8. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、折叠的性质、等腰三角形的判定以及勾股定理；解题的关键是由折叠性质得，结合平行线内错角相等推出，从而，设，在中用勾股定理列方程求解． 【详解】解：矩形沿折叠，点落在点处， ， ， ， ， ， ， 设，则， 在中，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 9. 如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为，圆柱的半径为，那么最短路径长（ ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 15 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了平面展开最短路径问题，做此类题目先根据题意把立体图形展开成平面图形后，再确定两点之间的最短路径．一般情况是两点之间，线段最短．在平面图形上构造直角三角形解决问题．首先根据题意画出示意图，连接，根据圆的周长公式算出底面圆的周长，底面圆的周长，再在中利用勾股定理算出的长即可． 【详解】解：把圆柱一半侧面展开，如图，连接， 圆柱的底面半径为， ， 在中，， ， 即蚂蚁爬行的最短路径长为． 故选：C 10. 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的直角边为m、n，小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 【答案】B 【解析】 【分析】根据小正方形的面积为5并结合计算得出，即可得出结果． 【详解】解：∵直角三角形的直角边为m、n，小正方形面积为5， ∴， ∵， ∴由可得：， ∴， ∴大正方形面积为． 11. 如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值： ①线段MN的长； ②△PAB的周长； ③△PMN的面积； ④直线MN，AB之间的距离； ⑤∠APB的大小． 其中会随点P的移动而变化的是（ ） A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤ 【答案】B 【解析】 【详解】①、MN= AB，所以MN的长度不变，不符合题意； ②、周长C△PAB=（AB+PA+PB），变化，符合题意； ③、面积S△PMN= S△PAB=×AB·h，其中h为直线l与AB之间的距离，不变;，不符合题意 ④、直线NM与AB之间的距离等于直线l与AB之间的距离的一半，所以不变，不符合题意； ⑤、画出几个具体位置，观察图形，可知∠APB的大小在变化，符合题意． 故选B 12. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】如图，取AB的中点E，连接OE、DE、OD， ∵OD≤OE+DE， ∴当O、D、E三点共线时，点D到点O的距离最大， 此时，∵AB=2，BC=1， ∴OE=AE=AB=1． DE=， ∴OD的最大值为：． 故选：A． 二、填空题（本题共4小题，每题3分，共12分） 13. 化简：________ 【答案】## 【解析】 【分析】先根据二次根式的性质将原式变形，再根据判断的符号，去掉绝对值符号即可得到结果． 【详解】解：根据二次根式的性质可得， ， ， ． 14. 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据多边形的外角和是，边形的内角和为，结合已知的数量关系列方程求解即可． 【详解】解：设这个多边形的边数是， 依题意得 ， 解得， 即这个多边形的边数是． 15. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是 _____． 【答案】3 【解析】 【分析】只要证明，可得，再根据勾股定理的逆定理证明是直角三角形，据此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：3． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理等，解题的关键是通过证明得出． 16. 如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为________． 【答案】#### 【解析】 【分析】本题考查矩形的判定与性质、垂线段最短及面积法求直角三角形斜边上的高，正确作出辅助线是解题关键．连接、，依据，，，可得四边形为矩形，借助矩形的对角线相等，将求的最小值转化成求的最小值，再结合垂线段最短，将问题转化成求斜边上的高，最后利用面积法即可得解． 【详解】解：如图，连接、， ，， ． 四边形是矩形， ， 四边形为矩形， ， 要求的最小值就是要求的最小值． 点从点沿着往点移动， 当时，取最小值． 在中， ，，， ． ， ， 的长度最小为：． 故答案为：． 三、解答题（本题共72分） 17. 计算： （1） （2） （3）． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先把二次根式化为最简二次根式，再合并同类二次根式； （2）用分配律把与括号里面的各项分别相乘，根据二次根式的性质进行计算； （3）利用平方差公式和完全平方公式把算式展开，再根据运算法则进行计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ； 【小问3详解】 解： ． 18. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】由矩形的性质得到，，根据，推出四边形是平行四边形，因此，即可证明． 【详解】证明：四边形是矩形， ，， ， 四边形是平行四边形， ， ． 19. 像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． （1）请写出的有理化因式：________； （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意即可解答； （2）将每一个式子进行分母有理化，然后求和计算即可． 【小问1详解】 解：根据题意可得的有理化因式为； 【小问2详解】 解： ． 20. 图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上． （1）线段__________；线段__________； （2）以某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）． （3）点为轴上的动点，则的最小值为_______． 【答案】（1）； （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理即可求解； （2）根据题意以为边画正方形，即可求解； （3）作关于轴的对称点，连接，进而可得的最小值为的长，勾股定理，即可求解． 【小问1详解】 解：∵ ∴，； 【小问2详解】 解：∵图1为5个边长为1的小正方形组成的图形， ∴图1中5个小正方形组成的图形面积为，边长为， 又∵， ∴以为边画正方形， 如图所示，正方形即为所求， 【小问3详解】 解：如图，作关于轴的对称点，连接，此时 ∵ ∴ 又∵ ∴的最小值为． 21. 已知：整式，整式． 尝试: 化简整式． 发现: ，求整式． 联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值： 直角三角形三边 勾股数组Ⅰ / 8 　 　 勾股数组Ⅱ / 　 　 【答案】尝试：；发现：；联想：17，37. 【解析】 【分析】先根据完全平方公式和整式的混合运算法则求出A，进而求出B，再把n的值代入即可解答． 【详解】A=（n2﹣1）2+（2n）2=n4﹣2n2+1+4n2=n4+2n2+1=（n2+1）2． ∵A=B2，B＞0，∴B=n2+1，当2n=8时，n=4，∴n2+1=42+1=17； 当n2﹣1=35时，n2+1=37． 故答案为17；37． 【点睛】本题考查了勾股数的定义．掌握勾股数的定义是解答本题的关键． 22. 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）若的面积为4，则四边形的面积为 ． （2）求证：四边形是平行四边形． （3）判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论． 【答案】（1）8 （2）见解析 （3），证明见解析 【解析】 【分析】本题考查三角形面积公式，平行四边形面积公式，平行四边形判定及性质，全等三角形判定及性质，中位线判定定理及性质定理等． （1）由三角形面积公式即可得出，后由平行四边形面积公式即可得出本题答案； （2）延长交于点，证明，后得到为的中位线，继而得到本题答案； （3）由平行四边形性质得，后得，再由全等三角形性质可得，继而得到本题答案． 【小问1详解】 解：过点作， ， ∵点D是边的中点， ∴， ∵的面积为4， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴四边形的面积：， 故答案为：8； 【小问2详解】 解：延长交于点， ， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点D是边的中点， ∴， ∴为的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； 【小问3详解】 解：判断：，证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵点D是边的中点，， ∴， ∵， ∴， ∴． 23. （项目式学习测量旗杆的高度）某实践探究小组组员们想探究学校旗杆的高度，通过测量，得到如下数据： 项目课题 测量旗杆的高度 项目方案 （1）同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为9米． （2）小雨在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处 测量示意图 问题产生 （1）根据测量所得数据，计算出旗杆高度； （2）小丽需要后退几米（即的长）？（结果保留根号） 问题解决 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 【答案】（1）旗杆的高度为米；（2）小丽需要后退米 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理，添加适当的辅助线构造直角三角形是解此题的关键． （1）设旗杆的高度为，则米，再由勾股定理计算即可得解； （2）过作于，证明四边形为矩形，得出，，由勾股定理得米，即可得解． 【详解】解：（1）旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，处到旗杆底部的距离为9米， 设旗杆的高度为米，则米， 在中，，由勾股定理得， ， 解得， 答：旗杆的高度为米； （2）过作垂足为点，如图所示： 则， 四边形为矩形， 米，， ， （米，（米， 在中，，由勾股定理得（米， 米， 答：小丽需要后退米． 24. 如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． （1）探究线段与的数量关系，并说明理由； （2）当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； （3）当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 【答案】（1），理由见解析 （2）当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形，理由见解析 （3）不可能，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由直线，交的平分线于点，交的外角平分线于点，易证得与是等腰三角形，则可证得，则可得出答案； （2）正方形的判定问题，若是正方形，则必有对角线，所以为的中点，同样在中，当时，可满足其为正方形； （3）菱形的判定问题，若是菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直，进而可判断出不可能为菱形，再通过正方形是有一个角是的菱形，进而可判断出也不可能为正方形． 【小问1详解】 解：． 理由如下： 是的角平分线， ， 又∵， ， ， ， 同理可得：， ； ． 【小问2详解】 解：当点运动到的中点，且满足为直角的直角三角形时，四边形是正方形．理由如下： 当点运动到的中点时，， 又， 四边形是平行四边形， ， ， ，即， 四边形是矩形． 已知，当，则 ， ， 四边形是正方形； 【小问3详解】 解：不可能．理由如下： 如图，平分，平分， ， 若四边形是菱形，则， 但在中，不可能存在两个角为，所以不存在其为菱形． ∵四边形不可能是菱形， 又∵正方形是有一个角为的菱形， ∴四边形也不可能是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 邯郸市第二十五中学2025-2026学年第二学期期中考试 八年级数学试卷 一、单选题（本题共12小题，每题3分，共36分） 1. 函数中，自变量x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 或 2. 健康骑行，快乐同行．周末，淇淇从家出发，以的速度匀速骑行，用时骑行，自变量是（ ） A. B. 用时 C. 骑行 D. 用时和骑行 3. 已知是整数，则正整数的最小值是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，以单位长度为边长画一个正方形，以原点为圆心，正方形的对角线长为半径画弧，与数轴交于点A，则点A表示的数为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，矩形的对角线，相交于点，，，则的长等于（ ） A. B. C. D. 6. 依据所标数据，下列一定为平行四边形的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，添加下列条件：①；②；③；④．能够判定是菱形的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 8. 如图，在矩形中，，，将矩形沿折叠，点落在点处，则重叠部分的面积为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 9. 如图，一只蚂蚁从A点沿圆柱侧面爬到顶面相对的B点处，如果圆柱的高为，圆柱的半径为，那么最短路径长（ ） A. 8 B. 6 C. 10 D. 15 10. 如图，由四个全等的直角三角形和中间一个小正方形拼成一个大正方形，若直角三角形的直角边为m、n，小正方形面积为5，，则大正方形面积为（ ） A. 12 B. 13 C. 14 D. 15 11. 如图，点A，B为定点，定直线l//AB，P是l上一动点．点M，N分别为PA，PB的中点，对于下列各值： ①线段MN的长； ②△PAB的周长； ③△PMN的面积； ④直线MN，AB之间的距离； ⑤∠APB的大小． 其中会随点P的移动而变化的是（ ） A. ②③ B. ②⑤ C. ①③④ D. ④⑤ 12. 如图，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点A、B分别在边OM，ON上，当B在边ON上运动时，A随之在边OM上运动，矩形ABCD的形状保持不变，其中AB=2，BC=1，运动过程中，点D到点O的最大距离为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共4小题，每题3分，共12分） 13. 化简：________ 14. 一个多边形的外角和是内角和的，则这个多边形的边数为___________． 15. 如图，中，对角线相交于点O，过点O，交于点F，交于点E．若，则图中阴影部分的面积是 _____． 16. 如图，矩形中，，，点从点沿向点移动，若过点作的垂线交于点，过点作的垂线交于点，则的长度最小为________． 三、解答题（本题共72分） 17. 计算： （1） （2） （3）． 18. 如图，矩形的对角线，相交于点，过点作的平行线交的延长线于点．求证：． 19. 像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． （1）请写出的有理化因式：________； （2）化简：． 20. 图1为5个边长为1的小正方形组成的图形，图2所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位，点都落在网格的格点上． （1）线段__________；线段__________； （2）以某边为边长，在图2中画出一个大正方形，使其与图1中5个小正方形组成的图形面积相等（顶点落在格点上）． （3）点为轴上的动点，则的最小值为_______． 21. 已知：整式，整式． 尝试: 化简整式． 发现: ，求整式． 联想:由上可知，，当n＞1时为直角三角形的三边长，如图．填写下表中的值： 直角三角形三边 勾股数组Ⅰ / 8 　 　 勾股数组Ⅱ / 　 　 22. 如图，在中，点D是边的中点，点E在内，平分，，点F在边上，． （1）若的面积为4，则四边形的面积为 ． （2）求证：四边形是平行四边形． （3）判断线段之间具有怎样的数量关系？并证明你所得到的结论． 23. （项目式学习测量旗杆的高度）某实践探究小组组员们想探究学校旗杆的高度，通过测量，得到如下数据： 项目课题 测量旗杆的高度 项目方案 （1）同学们发现系在旗杆顶端的绳子垂到地面多出一段的长度为3米，小明将绳子拉直，绳子末端落在点处，到旗杆底部的距离为9米． （2）小雨在处，用手拉住绳子的末端，后退至观赛台的2米高的台阶上，此时绳子刚好拉直，绳子末端落在点处 测量示意图 问题产生 （1）根据测量所得数据，计算出旗杆高度； （2）小丽需要后退几米（即的长）？（结果保留根号） 问题解决 该报告还没有完成，请你帮助兴趣小组解决以上问题． 24. 如图，在中，点是边上一个动点，过作直线，设交的平分线于点，交的外角的平分线于点F． （1）探究线段与的数量关系，并说明理由； （2）当运动到何处，且满足什么条件时，四边形是正方形？请说明理由； （3）当点在边上运动时，四边形 是菱形或正方形（填“可能”或“不可能”）．请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $