3.1 导数的概念及其意义、导数的运算 讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学讲义聚焦导数概念、几何意义及运算等高考核心考点，按概念理解、公式应用到几何意义拓展的逻辑架构梳理知识，通过双基自测明考向、核心梳理固基础、题型突破练能力、限时训练强实战的教学流程，系统构建导数入门知识体系，针对性解决切线方程、公切线等高频难点。 讲义创新采用“命题点分层突破”教学法，如在导数几何意义中细分切线方程、参数求解、条数问题等子题型，结合2025全国Ⅰ卷真题实例，培养学生数学思维与几何直观能力。设置基础到综合的分层练习，配合洛必达法则微拓展，助力学生高效突破运算准确性与应用灵活性，为教师把控复习节奏提供清晰路径。

第三章　一元函数的导数及其应用 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 【高考考向预测】 近三年高考导数概念、几何意义与导数运算为基础必考考点，选填、大题第一问高频考查，重点涵盖导数定义理解、切线斜率与切线方程求解、基本初等函数求导及四则运算、复合函数求导，是导数所有题型的入门根基；预测2027 年仍稳定作为基础必考内容，命题侧重曲线在定点与动点处切线问题、公切线题型、含参切线取值分析，强化复合函数与指对函数求导熟练度，常结合函数图象、最值简单综合设问，侧重运算准确性与几何意义灵活运用，为导数综合大题筑牢基础。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. (　×　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (　×　) (3)f'(x0)=[f(x0)]'. (　×　) (4)(e-x)'=-e-x. (　√　) 【答案】（1）×（2）×（3）×（4）√ 2.若函数f(x)=ln x-2x+1，则f'等于(　　) A.0 B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意知，函数f(x)的定义域为(0，+∞)， f'(x)=-2，所以f'=2-2=0. 3.(2026·开封模拟)已知函数f(x)=2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x·ln 2-y-1=0 D.x·ln 2-y+1=0 【答案】D 【解析】函数f(x)=2x，求导得f'(x)=2xln 2，则f'(0)=ln 2，而f(0)=1，所以所求切线方程为y-1=ln 2·(x-0)，即x·ln 2-y+1=0. 4.设曲线y=e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直，则a的值为　　　　.  【答案】- 【解析】∵y=e2ax，∴y'=e2ax·(2ax)'=2a·e2ax， ∴在点(0，1)处的切线斜率k=2ae0=2a， 又∵该切线与直线2x-y+1=0垂直， ∴2a×2=-1，∴a=-. 【核心梳理●明考点】 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'. f'(x0)==. (2)函数y=f(x)的导函数(简称导数) f'(x)=y'=. 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R，且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 4.导数的运算法则 若f'(x)，g'(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)； [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)； =(g(x)≠0)； [cf(x)]'=cf'(x). 5.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1.巧记两个常用结论 (1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数. (2)函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”. 2.明确两点不同 区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 3.谨防两个易误点 (1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误. (2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混. 【题型突破●明方向】 题型一　导数的运算 例1　(1)(多选)下列求导运算正确的是(　　) A.=- B.(x2ex)'=2x+ex C.=-sin D.=1+ 【答案】AD 【解析】=-·(ln x)'=-，故A正确； (x2ex)'=(x2+2x)ex，故B错误； =-2sin，故C错误； =1+，故D正确. (2)已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且f(x)=2f'(1)ln x+，则f'(1)等于(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【答案】A 【解析】由f(x)=2f'(1)ln x+(x>0)可得f'(x)=2f'(1)-， 故f'(1)=2f'(1)-1，解得f'(1)=1. 【思维升华】(1)求函数的导数要准确地把函数拆分成基本初等函数的和、差、积、商，再利用运算法则求导. (2)抽象函数求导，恰当赋值是关键，然后灵活使用方程思想求解. (3)复合函数求导，应由外到内逐层求导，必要时要进行换元. 【跟踪训练】1　(多选)下列命题正确的有(　　) A.已知函数f(x)在R上可导，若f'(1)=2，则=2 B.= C.已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f'(x0)=1，则x0= D.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)=x2+3xf'(2)+ln x，则f'(2)=- 【答案】CD 【解析】对于A，=2=2f'(1)=4，故A错误； 对于B，=，故B错误； 对于C，f'(x)=(2x+1)'=，若f'(x0)=1，则=1，即x0=，故C正确； 对于D，f'(x)=2x+3f'(2)+(x>0)，故f'(2)=4+3f'(2)+，故f'(2)=-，故D正确. 题型二　导数的几何意义 命题点1　求切线方程 例2　(多选)已知点A(1，2)在函数f(x)=ax3的图象上，则曲线C：y=f(x)过点A的切线方程是(　　) A.6x-y-4=0 B.x-4y+7=0 C.4x-y+7=0 D.3x-2y+1=0 【答案】AD 【解析】因为点A(1，2)在函数f(x)=ax3的图象上，所以a=2. 设切点P(x0，y0)，则由f(x)=2x3得，f'(x)=6x2， 所以在点P处的切线方程为y-2=6(x-x0)，即y=6x-4. 而点A(1，2)在切线上，所以2=6-4，即2(x0-1)-(-1)=(x0-1)2(2x0+1)=0， 解得x0=1或x0=-，所以所求切线方程为6x-y-4=0和3x-2y+1=0. 命题点2　求参数的值(范围) 例3　(2025·全国Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，则a=　　　　.  【答案】4 【解析】y=ex+x+a的导数为y'=ex+1， 因为直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，直线的斜率为2， 令y'=ex+1=2，即ex=1，解得x=0， 将x=0代入切线方程y=2x+5，可得y=2×0+5=5， 所以切点坐标为(0，5)， 因为切点(0，5)在曲线y=ex+x+a上， 所以5=e0+0+a，即5=1+a，解得a=4. 命题点3　切线的条数问题 例4　(2021·新高考全国Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y=ex的两条切线，则(　　) A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea 【答案】D 【解析】方法一　由y=ex得y'=ex，设切点为(x0，y0)，y0>0，则切线方程为y-b=(x-a)，由得(1-x0+a)=b，则由题意知关于x0的方程(1-x0+a)=b有两个不同的解.设f(x)=ex(1-x+a)，则f'(x)=ex(1-x+a)-ex=-ex(x-a)，由f'(x)=0得x=a，所以当x<a时，f'(x)>0，f(x)单调递增，当x>a时，f'(x)<0，f(x)单调递减，所以f(x)max=f(a)=ea(1-a+a)=ea，当x<a时，a-x>0，所以f(x)>0，当x→-∞时，f(x)→0，当x→+∞时，f(x)→-∞，函数f(x)=ex(1-x+a)的大致图象如图所示， 因为f(x)的图象与直线y=b有两个交点，所以0<b<ea. 方法二　(用图估算法)过点(a，b)可以作曲线y=ex的两条切线，则点(a，b)在曲线y=ex的下方且在x轴的上方，得0<b<ea. 命题点4　切线的应用 例5　(2025·白银模拟)已知P是曲线f(x)=xln x+1上一点，则点P到直线2x-y-8=0的最短距离为(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】由题意知，f'(x)=ln x+1，x>0， 令f'(x)=2，得x=e， 又f(e)=e+1，可得点P(e，e+1)， 所以点P(e，e+1)到直线2x-y-8=0的距离最短，为= =. 【思维升华】(1)处理与切线有关的问题，关键是根据曲线、切线、切点的三个关系列出参数的方程：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上. (2)注意区分“在点P处的切线”与“过点P的切线”. 【跟踪训练】2　(1)(2025·广东六校联考)若直线y=kx-1与曲线y=ln x相切，则k等于(　　) A. B.1 C. D.e 【答案】B 【解析】设直线y=kx-1与曲线y=ln x的切点为M(m，n)，故n=km-1=ln m， 由y=ln x得y'=，故=k，得ln m=0，故m=1，k=1. (2)已知过点A(a，0)可以作曲线y=(x-1)ex的两条切线，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B.(-∞，-3)∪(1，+∞) C.(-∞，-e)∪(2，+∞) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) 【答案】B 【解析】由y=(x-1)ex得y'=ex+(x-1)ex=xex， 设过点A(a，0)的直线与曲线y=(x-1)ex相切于点(x0，(x0-1))， 则切线斜率为k=x0， 所以切线方程为y-(x0-1)=x0(x-x0). 因为切线过点A(a，0)， 所以0-(x0-1)=x0(a-x0)，整理得-(a+1)x0+1=0， 因为过点A(a，0)的切线有两条， 所以关于x0的方程-(a+1)x0+1=0有两个不同的实根， 因此Δ=(a+1)2-4>0，解得a>1或a<-3， 即实数a的取值范围是(-∞，-3)∪(1，+∞). (3)若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值为　　　　　.  【答案】 【解析】点A(a，a)在直线y=x上，点B(b，eb)在曲线y=ex上， 所以求|AB|的最小值等价于求直线y=x上的点到曲线y=ex上的点的距离的最小值， 过y=ex上的点(m，em)作y=ex的切线， 切线方程为y-em=em(x-m)， 令em=1，可得m=0，故该切线为y=x+1， 则直线y=x+1与y=x的距离即为|AB|的最小值， 此时|AB|==，即|AB|min=. 题型三　两曲线的公切线 例6　(2025·邯郸模拟)若直线y=kx+b是曲线y=ex-1的切线，也是曲线y=ex-2的切线，则实数b等于(　　) A.ln 2+1 B.ln 2+ C.ln 2- D.ln 2 【答案】C 【解析】根据题意，设直线y=kx+b与曲线y=ex-1的切点为(x1，-1)，与曲线y=ex-2的切点为(x2，)，而y=ex-1的导数为y'=ex，y=ex-2的导数为y'=ex-2， 所以两曲线的切线方程分别为y-+1=(x-x1)，y-=(x-x2)， 由两条切线相同， 可得 解得 所以切线方程为y-e-ln 2+1=e-ln 2(x+ln 2)， 即y=x+ln 2-， 则b=ln 2-. 【思维升华】公切线问题应根据两曲线在切点处切线的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组求解.或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组求解. 【跟踪训练】3　(2026·聊城模拟)一条直线与函数y=ln x和y=ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，则(x1-1)(x2+1)的值为　　　　　.  【答案】-2 【解析】由题意，设f(x)=ln x(x>0)，g(x)=ex， 所以f'(x)=，g'(x)=ex， 则y=ln x在点P(x1，y1)处的切线方程为y-ln x1=(x-x1)，即y=x+ln x1-1； y=ex在点Q(x2，y2)处的切线方程为y-=(x-x2)，即y=x+(1-x2)， 由已知得 由=得x1=， 故ln x1-1=ln -1=-x2-1， 故-x2-1=(1-x2)，解得x1=， 所以x1-1=-1=， 因此(x1-1)(x2+1)=-2. 洛必达法则 法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1) f(x)=0及 g(x)=0， (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0， (3)=l， 那么==l. 法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1) f(x)=∞及 g(x)=∞， (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0， (3)=l， 那么==l. 【典例】两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如===1，则等于(　　) A. B. C.1 D.2 【答案】B 【解析】= ==. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知函数f(x)=ex+x，则f(x)在x=0处的切线方程为(　　) A.y=1 B.y=x+1 C.y=-x+1 D.y=2x+1 【答案】D 【解析】∵f'(x)=ex+1，f(0)=e0+0=1，f'(0)=e0+1=2， ∴f(x)在x=0处的切线方程为y-1=2(x-0)， 即y=2x+1. 2.已知函数f(x)=2 025cos，则f'等于(　　) A.0 B.-2 025 C.2 025 D.4 050 【答案】B 【解析】因为f(x)=2 025cos， 则f'(x)=-4 050sin， 故f'=-4 050sin =-4 050cos=-2 025. 3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=x3-3x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 【答案】B 【解析】函数f(x)=x3-3x，f'(x)=3x2-3，令x0为f(x)在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”， 则有(3-3)(2+2)=(23-3×2)-(-23+3×2)，即4(3-3)=4， 整理得=，解得x0=±， 所以函数f(x)在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为2. 4.过点(0，-e)作函数f(x)=xln x的切线，则切线方程为(　　) A.x-y-e=0 B.x+y+e=0 C.2x-y-e=0 D.x+2y+2e=0 【答案】C 【解析】函数f(x)的定义域为(0，+∞)，f'(x)=ln x+1， 设切点为(m，mln m)(m>0)，则f'(m)=ln m+1， 所以切线方程为y-mln m=(1+ln m)(x-m)，又切线过点(0，-e)， 所以-e-mln m=(1+ln m)(0-m)， 整理得m=e， 所以所求切线方程为y-e=2(x-e)， 即2x-y-e=0. 5.若曲线f(x)=和g(x)=ln x在公共点处的切线互相垂直，则k等于(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 【答案】C 【解析】由函数f(x)=和g(x)=ln x， 可得f'(x)=-，g'(x)=， 设两曲线公共点的横坐标为t， 可得f'(t)=-，g'(t)=， 因为公共点处的切线互相垂直， 可得f'(t)g'(t)=-1，即=1，解得t=1， 又由f(1)=g(1)，可得k+1=0，解得k=-1. 6.若过点(a，b)可以作曲线y=ln x的两条切线，则(　　) A.b>ln a B.b<ln a C.a<0 D.b>ea 【答案】A 【解析】方法一　函数y=ln x的定义域为(0，+∞)，设切点坐标为(x0，y0)，由于y'=，因此切线方程为y-ln x0=(x-x0)， 又切线过点(a，b)，则b-ln x0=， 即b+1=ln x0+， 设f(x)=ln x+，x∈(0，+∞)， 则直线y=b+1与曲线f(x)=ln x+有两个不同的交点，f'(x)=-=， 当a≤0时，f'(x)>0恒成立，f(x)在定义域内单调递增，与y=b+1只有一个交点，不合题意； 当a>0，0<x<a时，f'(x)<0，f(x)单调递减， 当x>a时，f'(x)>0，f(x)单调递增， 所以f(x)min=f(a)=ln a+1， 结合图象可知b+1>ln a+1，即b>ln a. 方法二　过点(a，b)可以作曲线y=ln x的两条切线，由图可知点(a，b)在曲线y=ln x的上方且在y轴右侧，所以a>0，且b>ln a. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.给出定义：若函数f(x)在定义域D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=[f'(x)]'.若f″(x)≥0在D上恒成立，则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是(　　) A.f(x)=x2-4x+3 B.g(x)=lox C.h(x)=x2+2cos x D.φ(x)=x2ln x 【答案】ABC 【解析】f(x)的定义域为R，f'(x)=2x-4，f″(x)=2>0，故A符合题意； g(x)的定义域为(0，+∞)，g'(x)==-，g″(x)=>0，故B符合题意； h(x)的定义域为R，h'(x)=2x-2sin x，h″(x)=2-2cos x≥0，故C符合题意； φ(x)的定义域为(0，+∞)，φ'(x)=2xln x+x2·=2xln x+x，φ″(x)=2ln x+2x·+1=2ln x+3， 当0<x<时，φ″(x)<0，故D不符合题意. 8.已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式不可能成立的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1+x2= C.x1x2=1 D.x1x2= 【答案】AD 【解析】因为f(x)=x2+2ln x，所以f'(x)=2x+，x>0， 又f(x)在A，B两个不同点处的切线相互平行，所以f'(x1)=f'(x2)，即2x1+=2x2+， 整理得(x1-x2)=0，因为x1≠x2，所以x1x2=1，D不可能成立； 又x1+x2≥2=2，且x1≠x2，所以x1+x2>2，A不可能成立. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)=，且f'(1)=1，则a=　　　　，曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为　　　　　　.  【答案】1　y= 【解析】函数f(x)==(x>0)，f'(x)==， 由f'(1)=1，得a=1； 函数f(x)=(x>0)，f'(x)=，f(e)=，f'(e)=0， 所以曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为y=. 10.在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线y=x2+a与y2=x相切，则a=　　　　.  【答案】 【解析】由题意可知，两抛物线y=x2+a与y2=x只可能在第一象限相切. 设两个抛物线相切于点(x0，y0)，y=x2+a在该点处的切线的斜率为2x0， 抛物线y2=x在第一象限的图象为函数y=在第一象限的图象， 函数y=在该点处的切线的斜率为， 所以2x0=， 解方程得x0=，y0==， 所以切点为，代入y=x2+a中， 解得a=. 四、解答题(共26分) 11.(12分)已知函数f(x)=axln x+3(a为常数)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直. (1)求实数a的值；(5分) (2)已知点P是函数f(x)图象上的一点，求点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值.(7分) 【解析】(1)函数f(x)=axln x+3的定义域为(0，+∞)，f'(x)=a(1+ln x)，则f'(1)=a， 由曲线在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直，得a=2， 所以实数a的值是2. (2)由(1)知，f(x)=2xln x+3，x>0，f'(x)=2(1+ln x)，平移直线2x-y-4=0与函数f(x)的图象相切， 设切点为(t，2tln t+3)(t>0)， 则切线的斜率k=2(1+ln t)=2，解得t=1， 所以切点为(1，3)， 所以点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值为=. 12.(14分)已知曲线C1：y=ln x+2和曲线C2：y=ln(x+2). (1)若P为曲线C1上的一动点，当点P到直线y=ex+2的距离最小时，求点P的坐标；(5分) (2)若直线l既是曲线C1的切线，也是曲线C2的切线，求直线l的方程.(9分) 【解析】(1)由题意知，当曲线C1在点P处的切线与直线y=ex+2平行时，点P到直线y=ex+2的距离最小，对y=ln x+2(x>0)求导，得y'=， 令=e，得x=，此时y=1， 所以点P的坐标为. (2)设直线l与曲线C1的切点为A(x1，ln x1+2)(x1>0)， 则在点A处的切线斜率为， 可得切线方程为y-(ln x1+2)=(x-x1)， 整理得y=x+ln x1+1， ① 对y=ln(x+2)(x>-2)求导，得y'=， 设直线l与曲线C2的切点为B(x2，ln(x2+2))(x2>-2)， 则在点B处的切线斜率为，切线方程为y-ln(x2+2)=(x-x2)， 整理得y=x+ln(x2+2)-， ② 因为①②表示同一条直线， 则 由③可得x1=x2+2， 将其代入④得ln(x2+2)+1=ln(x2+2)-， 即1=-，解得x2=-1， 所以x1=x2+2=1. 把x1=1代入①式得切线方程为y=x+1， 即直线l的方程为x-y+1=0. [每小题6分，共12分] 13.(多选)已知函数f(x)=ex，g(x)=ex+1+a，则下列说法正确的是(　　) A.曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线斜率为1 B.曲线y=f(x)上的点到直线x-y=0的距离的最小值为 C.当a<0时，曲线y=f(x)与y=g(x)有且只有一条公切线 D.曲线y=f(x)与y=g(x)可能存在两条公切线 【答案】AC 【解析】由题意得f'(x)=ex，则f'(0)=1， 所以曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线斜率为1，A正确； 由A项分析可知曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线方程为x-y+1=0，与直线x-y=0平行， 所以曲线y=f(x)上的点到直线x-y=0的距离的最小值为=，B错误； 又g'(x)=ex+1，设曲线y=f(x)，y=g(x)的切点分别为(x1，)，(x2，+a)， 则==，得a=-.当a<0时，x1有唯一解， 所以曲线y=f(x)与y=g(x)有且只有一条公切线，当a≥0时，x1无解， 所以曲线y=f(x)与y=g(x)没有公切线，C正确，D错误. 14.(多选)(2025·德州模拟)已知函数f(x)，g(x)及其导函数f'(x)，g'(x)的定义域都为R，若f(x+2)-g(1-x)=2，f'(x)=g'(x+1)，且g(x+1)为奇函数，则(　　) A.g(1)=0 B.f(4)=0 C.g(k)=0 D.f(k)g(k)=0 【答案】ACD 【解析】因为g(x+1)为奇函数， 所以g(-x+1)+g(x+1)=0， 取x=0，可得g(1)+g(1)=0， 所以g(1)=0，A正确； 由f'(x)=g'(x+1)， 可得[f(x)-g(x+1)]'=0， 所以f(x)-g(x+1)=m(m为常数)， 又f(x+2)-g(1-x)=2， 所以f(x)-g(3-x)=2， 所以g(x+1)-g(3-x)=2-m， 取x=1，可得2-m=0，故m=2， 所以g(x+1)=g(3-x)， 又g(-x+1)+g(x+1)=0， 所以-g(-x+1)=g(3-x)， 即g(3+x)=-g(x+1)， 所以g(x+2)=-g(x)， 所以g(x+4)=-g(x+2)=g(x)， 所以函数g(x)的一个周期为4， 因为g(x+2)=-g(x)， 所以g(3)=-g(1)，g(4)=-g(2)， 所以g(1)+g(3)=0，g(2)+g(4)=0， 所以g(1)+g(2)+g(3)+g(4)=0， 所以g(4n+1)+g(4n+2)+g(4n+3)+g(4n+4)=0，n∈Z， 所以g(k)=[g(1)+g(2)+g(3)+g(4)]+…+[g(2 021)+g(2 022)+g(2 023)+g(2 024)]+g(2 025)=g(2 025)=g(4×506+1)=g(1)=0，C正确； 因为f(x+2)-g(1-x)=2，g(-x+1)+g(x+1)=0， 所以f(x+2)=2-g(x+1)，f(x+6)=2-g(x+5)=2-g(x+1)， 所以f(x+6)=f(x+2)，所以函数f(x)的一个周期为4， 所以f(x+4)g(x+4)=f(x)g(x)， 所以函数f(x)g(x)的一个周期为4， 又f(1)=2-g(0)，f(2)=2-g(1)=2， f(3)=2-g(2)=2+g(0)，f(4)=2-g(3)=2，B错误； 所以f(1)g(1)+f(2)g(2)+f(3)g(3)+f(4)g(4)=0+2g(2)+0+2g(4)=0， 所以f(k)g(k)=506[f(1)g(1)+f(2)g(2)+f(3)g(3)+f(4)g(4)]+f(2 025)g(2 025)=0，D正确. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第三章　一元函数的导数及其应用 §3.1　导数的概念及其意义、导数的运算 【高考考向预测】 近三年高考导数概念、几何意义与导数运算为基础必考考点，选填、大题第一问高频考查，重点涵盖导数定义理解、切线斜率与切线方程求解、基本初等函数求导及四则运算、复合函数求导，是导数所有题型的入门根基；预测2027 年仍稳定作为基础必考内容，命题侧重曲线在定点与动点处切线问题、公切线题型、含参切线取值分析，强化复合函数与指对函数求导熟练度，常结合函数图象、最值简单综合设问，侧重运算准确性与几何意义灵活运用，为导数综合大题筑牢基础。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)f'(x0)是函数y=f(x)在x=x0附近的平均变化率. (　×　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线. (　×　) (3)f'(x0)=[f(x0)]'. (　×　) (4)(e-x)'=-e-x. (　√　) 2.若函数f(x)=ln x-2x+1，则f'等于(　　) A.0 B. C. D. 3.(2026·开封模拟)已知函数f(x)=2x，则函数f(x)的图象在点(0，f(0))处的切线方程为(　　) A.x-y-1=0 B.x-y+1=0 C.x·ln 2-y-1=0 D.x·ln 2-y+1=0 4.设曲线y=e2ax在点(0，1)处的切线与直线2x-y+1=0垂直，则a的值为　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.导数的概念 (1)函数y=f(x)在x=x0处的导数记作f'(x0)或y'. f'(x0)==. (2)函数y=f(x)的导函数(简称导数) f'(x)=y'=. 2.导数的几何意义 函数y=f(x)在x=x0处的导数的几何意义就是曲线y=f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，相应的切线方程为y-f(x0)=f'(x0)(x-x0). 3.基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x)=c(c为常数) f'(x)=0 f(x)=xα(α∈R，且α≠0) f'(x)=αxα-1 f(x)=sin x f'(x)=cos x f(x)=cos x f'(x)=-sin x f(x)=ax(a>0，且a≠1) f'(x)=axln a f(x)=ex f'(x)=ex f(x)=logax(a>0，且a≠1) f'(x)= f(x)=ln x f'(x)= 4.导数的运算法则 若f'(x)，g'(x)存在，则有 [f(x)±g(x)]'=f'(x)±g'(x)； [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)； =(g(x)≠0)； [cf(x)]'=cf'(x). 5.复合函数的导数 复合函数y=f(g(x))的导数与函数y=f(u)，u=g(x)的导数间的关系为y'x=y'u·u'x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积. 1.巧记两个常用结论 (1)奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数.周期函数的导数还是周期函数. (2)函数y=f(x)的导数f'(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f'(x)|反映了变化的快慢，|f'(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡峭”. 2.明确两点不同 区分在点处的切线与过点处的切线：在点处的切线，该点一定是切点，切线有且仅有一条.过点处的切线，该点不一定是切点，切线至少有一条. 3.谨防两个易误点 (1)在复合函数求导中，每一步求导分不清哪个变量对哪个变量的求导而致误. (2)牢记导数公式和导数的四则运算法则，切忌记错记混. 【题型突破●明方向】 题型一　导数的运算 例1　(1)(多选)下列求导运算正确的是(　　) A.=- B.(x2ex)'=2x+ex C.=-sin D.=1+ (2)已知f'(x)是函数f(x)的导函数，且f(x)=2f'(1)ln x+，则f'(1)等于(　　) A.1 B.2 C.-1 D.-2 【跟踪训练】1　(多选)下列命题正确的有(　　) A.已知函数f(x)在R上可导，若f'(1)=2，则=2 B.= C.已知函数f(x)=ln(2x+1)，若f'(x0)=1，则x0= D.设函数f(x)的导函数为f'(x)，且f(x)=x2+3xf'(2)+ln x，则f'(2)=- 题型二　导数的几何意义 命题点1　求切线方程 例2　(多选)已知点A(1，2)在函数f(x)=ax3的图象上，则曲线C：y=f(x)过点A的切线方程是(　　) A.6x-y-4=0 B.x-4y+7=0 C.4x-y+7=0 D.3x-2y+1=0 命题点2　求参数的值(范围) 例3　(2025·全国Ⅰ卷)若直线y=2x+5是曲线y=ex+x+a的一条切线，则a=　　　　.  命题点3　切线的条数问题 例4　(2021·新高考全国Ⅰ卷)若过点(a，b)可以作曲线y=ex的两条切线，则(　　) A.eb<a B.ea<b C.0<a<eb D.0<b<ea 命题点4　切线的应用 例5　(2025·白银模拟)已知P是曲线f(x)=xln x+1上一点，则点P到直线2x-y-8=0的最短距离为(　　) A. B. C. D. 【跟踪训练】2　(1)(2025·广东六校联考)若直线y=kx-1与曲线y=ln x相切，则k等于(　　) A. B.1 C. D.e (2)已知过点A(a，0)可以作曲线y=(x-1)ex的两条切线，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B.(-∞，-3)∪(1，+∞) C.(-∞，-e)∪(2，+∞) D.(-∞，-2)∪(2，+∞) (3)若点A(a，a)，B(b，eb)(a，b∈R)，则A，B两点间距离|AB|的最小值为　　　　　.  题型三　两曲线的公切线 例6　(2025·邯郸模拟)若直线y=kx+b是曲线y=ex-1的切线，也是曲线y=ex-2的切线，则实数b等于(　　) A.ln 2+1 B.ln 2+ C.ln 2- D.ln 2 【跟踪训练】3　(2026·聊城模拟)一条直线与函数y=ln x和y=ex的图象分别相切于点P(x1，y1)和点Q(x2，y2)，则(x1-1)(x2+1)的值为　　　　　.  洛必达法则 法则1　若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1) f(x)=0及 g(x)=0， (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0， (3)=l， 那么==l. 法则2　若函数f(x)和g(x)满足下列条件： (1) f(x)=∞及 g(x)=∞， (2)在点a的去心邻域内，f(x)与g(x)可导且g'(x)≠0， (3)=l， 那么==l. 【典例】两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在，为此，洛必达在1696年提出洛必达法则，即在一定条件下通过对分子、分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法，如===1，则等于(　　) A. B. C.1 D.2 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.已知函数f(x)=ex+x，则f(x)在x=0处的切线方程为(　　) A.y=1 B.y=x+1 C.y=-x+1 D.y=2x+1 2.已知函数f(x)=2 025cos，则f'等于(　　) A.0 B.-2 025 C.2 025 D.4 050 3.拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，定理内容是：如果函数f(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内的导数为f'(x)，那么在区间(a，b)内至少存在一点c，使得f(b)-f(a)=f'(c)(b-a)成立，其中c叫做f(x)在[a，b]上的“拉格朗日中值点”.根据这个定理，可得函数f(x)=x3-3x在[-2，2]上的“拉格朗日中值点”的个数为(　　) A.3 B.2 C.1 D.0 4.过点(0，-e)作函数f(x)=xln x的切线，则切线方程为(　　) A.x-y-e=0 B.x+y+e=0 C.2x-y-e=0 D.x+2y+2e=0 5.若曲线f(x)=和g(x)=ln x在公共点处的切线互相垂直，则k等于(　　) A.2 B.1 C.-1 D.-2 6.若过点(a，b)可以作曲线y=ln x的两条切线，则(　　) A.b>ln a B.b<ln a C.a<0 D.b>ea 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.给出定义：若函数f(x)在定义域D上可导，即f'(x)存在，且导函数f'(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)=[f'(x)]'.若f″(x)≥0在D上恒成立，则称f(x)在D上是“下凸函数”.下列函数中在定义域上是“下凸函数”的是(　　) A.f(x)=x2-4x+3 B.g(x)=lox C.h(x)=x2+2cos x D.φ(x)=x2ln x 8.已知函数f(x)=x2+2ln x的图象在A(x1，f(x1))，B(x2，f(x2))两个不同点处的切线相互平行，则下列等式不可能成立的是(　　) A.x1+x2=2 B.x1+x2= C.x1x2=1 D.x1x2= 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.已知函数f(x)=，且f'(1)=1，则a=　　　　，曲线y=f(x)在点(e，f(e))处的切线方程为　　　　　　.  10.在动画和游戏开发中，相切的曲线可生成平滑的角色路径和物体表面.若两条曲线在公共点处有相同的切线，且曲线不重合，则称两条曲线相切.设两抛物线y=x2+a与y2=x相切，则a=　　　　.  四、解答题(共26分) 11.(12分)已知函数f(x)=axln x+3(a为常数)在x=1处的切线与直线x+2y=0垂直. (1)求实数a的值；(5分) (2)已知点P是函数f(x)图象上的一点，求点P到直线2x-y-4=0的距离的最小值.(7分) 12.(14分)已知曲线C1：y=ln x+2和曲线C2：y=ln(x+2). (1)若P为曲线C1上的一动点，当点P到直线y=ex+2的距离最小时，求点P的坐标；(5分) (2)若直线l既是曲线C1的切线，也是曲线C2的切线，求直线l的方程.(9分) [每小题6分，共12分] 13.(多选)已知函数f(x)=ex，g(x)=ex+1+a，则下列说法正确的是(　　) A.曲线y=f(x)在点(0，1)处的切线斜率为1 B.曲线y=f(x)上的点到直线x-y=0的距离的最小值为 C.当a<0时，曲线y=f(x)与y=g(x)有且只有一条公切线 D.曲线y=f(x)与y=g(x)可能存在两条公切线 14.(多选)(2025·德州模拟)已知函数f(x)，g(x)及其导函数f'(x)，g'(x)的定义域都为R，若f(x+2)-g(1-x)=2，f'(x)=g'(x+1)，且g(x+1)为奇函数，则(　　) A.g(1)=0 B.f(4)=0 C.g(k)=0 D.f(k)g(k)=0 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $