第15讲 导数与函数的单调性讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦导数与函数单调性核心考点，涵盖不含参及含参函数单调性分析，按导函数为一次、准一次、可因式分解二次等五种类型构建知识体系，通过基础回顾、考点梳理、方法指导、真题训练环节，帮助学生突破分类讨论难点，体现复习的系统性与针对性。 资料以题型精准分类为特色，如导函数为含参一次函数时先讨论系数为0情形，再比较零点与区间端点，培养学生逻辑推理的数学思维。设置分层课时精练，配合例题精讲，确保高效突破考点，助力学生提升应考能力，为教师把控复习节奏提供清晰指导。

第15讲 导数与函数的单调性 题型一 导函数为含参一次函数的单调性分析 3 题型二 导函数为含参准一次函数的单调性分析 4 题型三 导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析 5 题型四 导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析 6 题型五 导函数为含参准二次函数型的单调性分析 8 课时精练 14 【基础回顾】 知识点1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 知识点2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 【特别强调】 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． ►考点01 不含参函数的单调性 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 1．讨论函数的单调性. 2．求函数的单调区间． x 0 + 3．函数 (1)求在点处的切线方程. (2)求的单调区间. 4．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求a的值； (2)求函数的单调区间. 5．求函数的单调区间. 6．求函数的单调区间. 7．利用导数求下列函数的单调区间. (1)； (2)，. 8．求函数的单调区间. 9．已知函数.讨论的单调性. 10．已知函数， (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. ►考点02 含参数的函数的单调性 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 题型一 导函数为含参一次函数的单调性分析 【方法技巧】 导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 【例题精讲】 1．已知函数，.求的单调区间. 2．已知函数，讨论函数的单调性； 3．已知函数 (1)当时，求曲线在点处曲线的切线方程； (2)求函数的单调区间. 4．已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 5．已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 6．已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 7．设函数，其中为实常数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 8．设函数. (1)若在点处的切线为，求，的值； (2)求的解集. 9．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 10．已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 题型二 导函数为含参准一次函数的单调性分析 【方法技巧】 导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 【例题精讲】 1．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 2．设函数，求的单调区间． 3．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 4．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 5．已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 6．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 7．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 8．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 9．函数，其中． (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 10．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围． 题型三 导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析 【方法技巧】 若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 【例题精讲】 1．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 2．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 3．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 4．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 5．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 6．已知，函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有三个零点，求的取值范围. 7．已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值 (2)讨论函数的单调区间； (3)若，对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围. 8．已知函数. (1)讨论函数的单调性 (2)若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值. 9．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 10．已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求整数的最小值． 题型四 导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析 【方法技巧】 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 【例题精讲】 1．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 2．已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 3．已知函数． (1)若． （ⅰ）证明：曲线过定点； （ⅱ）当时，求曲线在点处的切线方程． (2)当时，讨论的单调性． 4．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 3 单调递减 单调递增 5．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)求证： 6．已知函数 . (1)求函数的单调性； (2)若且，若，求的取值范围. 7．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 8．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 9．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若存在正实数，使得成立当且仅当，求的取值范围. 题型五 导函数为含参准二次函数型的单调性分析 【方法技巧】 若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 【例题精讲】 1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 2．已知函数. (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 3．已知关于的函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若且，求的极小值． 4．已知函数 ． (1)当时，求函数的最大值； (2)当时，求的单调区间． 1 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 5．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 6．已知函数. (1)讨论单调性 (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点； 7．已知函数（为自然对数的底数）． (1)讨论的单调性； (2)若有最小值，证明：． 8．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最小值； (3)求证：. 9．已知函数． (1)证明不等式：； (2)讨论的单调性； (3)设，证明：在定义域上有两个零点． 10．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． ►考点03 利用导数研究函数的图像及其应用 常见组合函数的图像 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图像，对解题有事半功倍的效果． 1．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 2．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得最大值 C．函数在上单调递减 D．在区间内的函数值为负 3．若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的解集为 B．函数有2个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 5．已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 6．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 7．函数是定义在上的偶函数．其图象如图所示，．设是的导函数，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 8．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 9．已知定义在上的函数的导函数为，且函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递增 B．是函数的极大值点 C．是函数的极小值点 D． 10．已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数 C．在时取极小值 D．在时取极小值 ►考点04 根据函数的单调性求参数 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立． (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集． (3)已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． (4)已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解． 【例题精讲】 1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 4．设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．若函数 不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 7．“”是“函数存在单调递减区间”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的对称中心为 B．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 C．存在实数使曲线是轴对称图形 D．当时，函数的极大值点为 9．已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 10．已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．当方程有三个不等的实根时， C．当不等式恰有三个不等的正整数解时， D．当过点可作曲线的三条切线时， 课时精练 一、单选题 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 2．已知函数，则的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 3．若，则（   ） A． B． C． D． 4．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 6．已知函数，下列说法中正确的有（   ） A．函数的极大值为，极小值为 B．若函数在上单调递减，则 C．当时，函数的最大值为，最小值为 D．若方程有3个不同的解，则 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 8．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 9．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 10．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 11．设函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数是奇函数 C．直线与曲线有3个公共点 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 三、填空题 12．若函数的单调递减区间为，则________． 13．已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________. 14．若不等式 对于任意恒成立，则实数a的取值范围是_________． 四、解答题 15．已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)求在上的最大值和最小值. 16．已知：函数在处取得极值， 其中为常数. (1)试确定a、b的值； (2)讨论函数的单调区间； (3)若对任意， 不等式 恒成立，求c取值范围. 17．已知函数． (1)当时 （ⅰ）求在处的切线方程 （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 18．已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （ⅰ）求在上的最大值和最小值； （ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围． 19．已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第15讲 导数与函数的单调性 题型一 导函数为含参一次函数的单调性分析 5 题型二 导函数为含参准一次函数的单调性分析 12 题型三 导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析 18 题型四 导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析 29 题型五 导函数为含参准二次函数型的单调性分析 42 课时精练 66 【基础回顾】 知识点1．函数的单调性与导数的关系 条件 恒有 结论 函数y＝f(x)在区间(a，b)上可导 f′(x)>0 f(x)在区间(a，b)上单调递增 f′(x)<0 f(x)在区间(a，b)上单调递减 f′(x)＝0 f(x)在区间(a，b)上是常数函数 知识点2.利用导数判断函数单调性的步骤 第1步，确定函数f(x)的定义域； 第2步，求出导数f′(x)的零点； 第3步，用f′(x)的零点将f(x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y＝f(x)在定义域内的单调性． 【特别强调】 1．若函数f(x)在(a，b)上单调递增，则当x∈(a，b)时，f′(x)≥0恒成立；若函数f(x)在(a，b)上单调递减，则当x∈(a，b)时，f′(x)≤0恒成立． 2．若函数f(x)在(a，b)上存在单调递增区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)>0有解；若函数f(x)在(a，b)上存在单调递减区间，则当x∈(a，b)时，f′(x)<0有解． ►考点01 不含参函数的单调性 确定不含参数的函数的单调性，按照判断函数单调性的步骤即可，但应注意两点，一是不能漏掉求函数的定义域，二是函数的单调区间不能用并集，要用“逗号”或“和”隔开． 1．讨论函数的单调性. 【答案】函数在和上单调递增，在上单调递减. 【分析】求导，根据导数判断即可. 【详解】求导可得， 当时，，当时，， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减. 2．求函数的单调区间． 【答案】的单调递减区间是，单调递增区间是 【分析】由导数判断单调性，从而得出单调区间. 【详解】．令，得．当x变化时，与的变化情况如表： x 0 + 所以的单调递减区间是，单调递增区间是． 3．函数 (1)求在点处的切线方程. (2)求的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间是，单调递减区间是 【分析】（1）利用导数的几何意义求得切线斜率，继而由点斜式求得切线方程； （2）利用导函数的符号确定原函数的单调区间即可. 【详解】（1）因， 则， 又，即切点为， 故在点处的切线方程为，即. （2）因的定义域为， 令 得   ，令 得， 故得的单调递增区间是，单调递减区间是. 4．已知函数，曲线在点处的切线与直线平行. (1)求a的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)单调递增区间为和，单调递减区间为. 【分析】（1）对函数求导，由导数的几何意义得切线的斜率，利用两直线平行，斜率相等即可求得a的值； （2）对函数求导，利用导数研究函数的单调性即可求解. 【详解】（1）函数，则， 则，而直线的斜率为， 因为曲线在点处的切线与直线平行， 则，解得， （2）由（1）可知，所以，定义域为， ， 令，即，化简可得，解得， 当时，函数单调递增。由，即，解得或， 所以的单调递增区间为和， 当时，函数单调递减，由，即，解得， 所以的单调递减区间为； 综上， 的单调递增区间为和，单调递减区间为. 5．求函数的单调区间. 【答案】单调递增区间为；单调递减区间为． 【分析】先根据函数解析式求出函数的定义域，根据导数的运算法则对函数进行求导得，利用导数研究函数的单调性，即可得出函数的单调区间； 【详解】函数的定义域为． ． 因为，所以． 由，解得；由，解得 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为． 6．求函数的单调区间. 【答案】的单调递增区间是和，单调递减区间是 【分析】根据导数的正负性与原函数的单调性的关系进行求解即可. 【详解】， 当或时，； 当时，. 所以，的单调递增区间是和，单调递减区间是. 7．利用导数求下列函数的单调区间. (1)； (2)，. 【答案】(1)的递增区间为，无递减区间； (2)的递减区间为，无递增区间. 【分析】（1）（2）对函数求导，根据定义域或区间内导数的符号判断单调区间即可. 【详解】（1）由在定义域上恒成立，故的递增区间为，无递减区间； （2）由在上恒成立，故的递减区间为，无递增区间. 8．求函数的单调区间. 【答案】的单调递减区间为，单调递增区间为 【分析】先求导数，由可得减区间，由可得增区间. 【详解】， 当时，，当时，， 的单调递减区间为，单调递增区间为. 9．已知函数.讨论的单调性. 【答案】在上单调递减，在上单调递增. 【分析】求导函数，由得增区间，由得减区间. 【详解】的定义域为，. 令，得；令，得. 所以在上单调递减，在上单调递增. 10．已知函数， (1)求函数在点处的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1)； (2)递减区间为和，递增区间为. 【分析】（1）根据导数的几何意义结合条件即得； （2）根据导数与函数的单调性的关系即得. 【详解】（1）因为，所以， ， 切点为， 所求切线的斜率为， 所求切线的点斜式方程是，即：； （2）因为 当时，解得或， 当时，得， 当时，得， 所以函数的单调递减区间为和，单调递增区间为. ►考点02 含参数的函数的单调性 (1)研究含参数的函数的单调性，要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论． (2)划分函数的单调区间时，要在函数定义域内讨论，还要确定导数为零的点和函数的间断点． 题型一 导函数为含参一次函数的单调性分析 【方法技巧】 导函数的形式为含参一次函数，首先讨论一次项系数为0的情形，易于判断；当一次项系数不为零时，讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 【例题精讲】 1．已知函数，.求的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】利用导数的正负与函数单调性的关系及对参数进行讨论即可求解； 【详解】因为，所以， 若，则当时，，函数单调递增； 若，则当时，，函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. 2．已知函数，讨论函数的单调性； 【答案】当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 【分析】求导后，分类讨论，利用导数的符号可得结果. 【详解】，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减；在上单调递增. 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增. 3．已知函数 (1)当时，求曲线在点处曲线的切线方程； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)答案见解析. 【分析】(1)利用导数的几何意义求解;(2)利用导函数研究函数的单调性. 【详解】（1）当时，，定义域为， ，所以切点为， 又因为，所以，即切线的斜率等于2， 根据点斜式得，整理得. （2）, 当时，恒成立，所以在上单调递增， 当时，令即解得， 令即解得， 所以在单调递增，单调递减. 4．已知函数（，，）在处的切线方程为. (1)求的值； (2)分析函数的单调性. 【答案】(1)2 (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义结合切线方程建立关于的方程求解即可；（2）求出函数的导数，分类讨论，判断导数正负，即可求得答案. 【详解】（1）函数的定义域为，， 由题意得：，解得：，所以. （2）由（1）得：， ①当时，即，在区间上恒成立， 函数在区间上单调递增； ②当时，若，，函数在区间上单调递增； 若，，函数在区间上单调递减. 5．已知函数 (1)讨论的单调性. (2)若对任意都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求得，分类讨论和时导数的符号，进而判断函数单调性； （2）由参变分离法可得，设，通过导数求最大值，从而可得的取值范围. 【详解】（1）由题意可得，， 当时，在恒成立，所以函数在单调递增； 当时，时，时，故函数在单调递减,在单调递增， 综上所述，当，函数在单调递增； 当时，函数在单调递减,在单调递增. （2）因为对任意都有，所以，即， 令，，则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 所以， 故. 6．已知函数． (1)若，求在处的切线方程； (2)讨论的单调性： (3)若在区间上存在极值，且此极值小于，求的取值范围． 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求函数在点处的切线. （2）求导，分，讨论导函数的单调性. （3）结合（2）的结论，确定函数的极小值，再根据极小值的取值范围求的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 所以，. 所以在处的切线方程为：，即. （2）因为，. 所以. 若，则在上恒成立，所以在上为减函数； 若，由 ，由 . 所以在上为减函数，在上为增函数. 综上，时，在上为减函数； 时，在上为减函数，在上为增函数. （3）由（2）知：，即，此时函数在处取得极小值. 由， 由 ， 结合，得. 故的取值范围为. 7．设函数，其中为实常数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）先求出，得出切点坐标，再求出，得到切线的斜率，从而得到切线方程. （2）先求出，对进行分类讨论即可. 【详解】（1）函数的定义域为 当时，函数，，． 曲线在处切线方程为：，即． （2）因为，令，可得，即， 当，即时，恒成立，此时在区间上单调递增 当，即时，的解为，此时在区间上单调递减，在区间上单调递增． 综上所述，当时，在区间上单调递增； 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增. 8．设函数. (1)若在点处的切线为，求，的值； (2)求的解集. 【答案】(1)，. (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义计算即可； （2）含参讨论的正负解不等式即可. 【详解】（1）易知的定义域为，       因为，       因为在点处的切线为， 所以，所以，所以， 把点代入得：.       即，的值为：，. （2）.       ①当时，在上恒成立，所以的解集为；       ②当时，令，解得：.       综上所述：当时，的解集为； 当时，的解集为. 9．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若函数在上的最小值是，求a的值. 【答案】(1)答案见解析； (2) 【分析】（1）对函数求导并对参数的取值进行分类讨论，再由导函数的符号即可判断单调性； （2）根据（1）中的单调性结合的取值求得最小值的表达式，解方程可求出. 【详解】（1）易知的定义域为， 可得； 若，可得，此时在上单调递增； 若，令，解得； 当时，，即可得在上单调递减； 当时，，即可得在上单调递增； 综上可得，时，在上单调递增； 时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知，当时，在上单调递增， 此时无最小值，不合题意； 当时，可知在上单调递减，在上单调递增； 此时在处取得极小值，也是最小值； 因此，解得，符合题意； 当时，在上单调递减，此时无最小值，不合题意； 综上可知， 10．已知函数，． (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出函数的导函数，利用导数的几何意义求出切线方程； （2）求出函数的定义域与导函数，分、两种情况讨论，分别求出函数的单调区间. 【详解】（1）当时，则，， 所以， 所以函数在点处的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， 又， 当时恒成立，所以的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，由，解得，由，解得， 所以的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上可得：当时，单调递增区间为，无单调递减区间； 当时单调递增区间为，单调递减区间为. 题型二 导函数为含参准一次函数的单调性分析 【方法技巧】 导函数的形式为含参准一次函数，首先对定号，然后讨论导函数的零点与区间端点的大小关系，结合导函数的图像判定导函数的符号，从而写出函数的单调区间． 【例题精讲】 1．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设函数，若函数在上为增函数，求实数的取值范围． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）对函数进行求导，参数进行分类讨论，再利用函数的单调性与导数的关系即得；（2）由题可得函数在上为增函数，在上恒成立，再利用导数求函数的最值即可. 【详解】（1）由题意得，， ①当时，，函数在上单调递增； ②当时，令，解得， ，解得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； 综上，当时，函数在上单调递增； 当时，函数在上单调递减， 在上单调递增， （2）因为函数在上为增函数， 所以，在上恒成立． 即在上恒成立． 令，当时，， 所以，在上单调递增，． 所以，，解得， 所以，实数的取值范围为． 2．设函数，求的单调区间． 【答案】答案见解析 【分析】利用导数判断单调性，分成和两种情况讨论. 【详解】的定义域为，． 若，则，所以在上单调递增． 若，则当时，；当时，． 所以在上单调递减，在上单调递增． 综上所述，当时，函数在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 3．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)求的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 【分析】（1）先代入确定函数，再求导确定切线斜率，最后结合点斜式方程即可写出切线方程； （2）先对函数求导，再根据的范围讨论导数的正负，从而确定单调区间. 【详解】（1）当时，，所以，即切点坐标为， 又因为，所以， 所以切线方程为，即. （2）因为， 所以当时，因为，所以恒成立， 所以在上单调递增； 当时，由，得， 由，得， 综上，当时，的单调递增区间为，无递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 4．已知函数． (1)讨论的单调区间； (2)证明：． 【答案】(1)当时， 单调递增；当时，单调递减 (2)证明见解析 【分析】（1）求导后，令导数等于0即可得出函数的单调区间； （2）只需证明函数的最大值即可，从而可以构造一个关于的函数，结合导数来证明即可. 【详解】（1），，令，得． 当时，，在上单调递增； 当时，，在上单调递减. （2）． 设，则， 令，得 当时，，单调递增； 当时，，单调递减． 所以，即， 由（1）知，，得证． 5．已知函数（，为自然对数的底数）. (1)若曲线在点处的切线平行于轴，求的值； (2)讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）求出，由导数的几何意义，解方程即可； （2）解方程，注意分类讨论，以确定的符号，从而确定的单调性， 【详解】（1）由,得． 又曲线在点处的切线平行于轴, 得,即,解得． （2）, ①当时,,为上的增函数, ②当时,令,得,则． ,；,． 所以在上单调递减,在上单调递增, 综上,当时, 为上的增函数, 当,在上单调递减,在上单调递增, 6．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减；在上单调递增. (2) 【分析】（1）先对函数求导，分和两种情况讨论可求得的单调性； （2）利用（1）可知的单调性与的关系，分情况讨论，进而利用即可求解. 【详解】（1）由题意得， 当时，，在上单调递增， 当时，令.， 当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减；在上单调递增. （2）当时，由（1）知在上单调递增，，，不合题意， 当时，由（1）知在上单调递减；在上单调递增， ， 即，解得， 综上，实数m的取值范围为 7．已知函数． (1)讨论的单调性； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为 (2) 【分析】（1）求导即可分析的单调性； （2）将变换为，令，求导研究的极值即可． 【详解】（1）因为，其中， ①当时，恒成立，的增区间为，无减区间； ②当时，令，得，由可得， 由可得， 此时，函数的减区间为，增区间为； 综上所述：当时，的增区间为，无减区间；当时，函数的减区间为，增区间为． （2）当时，恒成立，即恒成立， 令，则，其中，恒成立， 所以由可得，由可得， 故函数的减区间为，增区间为， 所以，即，故的取值范围是． 8．已知函数. (1)当时，求函数在点处的切线方程； (2)试讨论函数的单调性. 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）先求时的函数值和导数值，再用点斜式得到切线方程即可； （2）通过求导后对参数分类讨论，根据导数的正负即可判断函数的单调区间. 【详解】（1）由函数，所以函数的定义域为，又， 所以，， 所以函数在点处的切线方程为：，即. （2）因为函数的定义域为，且， 令，得，即. 若，，为常数函数； 若，由，得，由，得； 若，由，得，由，得； 综上，当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，为常数函数； 当时，在上单调递增，在上单调递减. 9．函数，其中． (1)讨论函数的单调区间； (2)若函数在区间上有两个零点，求的取值范围． 【答案】(1)当时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. (2) 【分析】（1）先求导函数，再根据导函数正负判断单调区间； （2）先移项把两个零点问题转化为两个函数有两个交点即可求解. 【详解】（1）由题可知的定义域为，. 当时，恒成立，因此在上单调递增，无递减区间； 当时，令，解得. 时，，单调递增； 时，，单调递减. 综上，时，的单调递增区间为，无递减区间； 时，递增区间为，递减区间为. （2）在上有两个零点，即方程在上有两个不同实根， 变形得. 令，求导得. 当时，，单调递减；时，，单调递增. 则，，，且. 即与在有两个交点，需满足， 综上，. 10．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增 (2) 【分析】（1）对函数求导，并根据指数函数性质对的取值进行分类讨论得出函数单调性； （2）结合（1）中已有分析，根据函数单调性得出的表达式，解不等式即可求得实数m的取值范围． 【详解】（1）易知， 当时，，此时函数在上单调递减； 当时，令，可得； 又因为为增函数， 所以时，，此时函数在上单调递减； 当时，，此时函数在上单调递增； 综上可得当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）由（1）可知当时，在上单调递减，不合题意； 当时，恒成立； 当时，结合（1）中分析可知在处取得极小值，也是最小值； 因此， 即可得，解得； 综上可得，实数m的取值范围为 题型三 导函数为含参可因式分解的二次函数单调性分析 【方法技巧】 若导函数为含参可因式分解的二次函数，令该二次函数等于零，求根并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 【例题精讲】 1．已知函数. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若有极小值，且，求a的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增 (3) 【分析】（1）先对函数求导得到导函数表达式，代入已知条件确定参数后，算出处的导数值即切线斜率，再求出对应的函数值即切点坐标，最后用点斜式列出切线方程并整理成一般式即可. （2）先把导函数通分并因式分解，结合定义域，按参数的正负分类讨论；时判断导函数在定义域内恒正，直接得出函数单调递增；时以为分界点，分别判断区间内导函数正负，进而得到函数的递减、递增区间，最后汇总两种情况的单调结论. （3）先借助第二问单调性确定时函数在处取极小值也是最小值，代入求出最小值表达式；由恒成立转化为最小值大于等于0，化简不等式后构造新函数；通过求导判断新函数单调递减，结合特殊点，利用单调性分析出使不等式成立的的取值区间. 【详解】（1）当时，，所以 所以切线方程为即， （2）， 若，可得时，，所以在上单调递增； 若时，当时，，所以在上单调递减； 当时，，所以在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）可知当时，有极小值，极小值为， 此时极小值也是最小值，由，可得，， 又，所以 令，求导得， 所以在上单调递减，又， 当时，，当时，， 所以时，，此时满足， 所以a的取值范围 2．已知函数（）． (1)讨论的单调性； (2)当时，求在上的最小值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）先确定的定义域，再求出的导数，再对参数范围分类讨论求解单调性即可. （2）先根据已知条件确定在的单调性，再对的范围分类讨论，依据单调性求出不同情况下的最小值. 【详解】（1）由题意可得：的定义域是，且， 令，则或, ①当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减， ②当时，因为，所以在上单调递增， ③当时，若或，则，若，则， 所以在和上单调递增，在上单调递减. （2）当时，由（1）可得：在上单调递减， 所以，①当时，在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为， ②当时，在上单调递减， 所以在处取得最小值，为． 综上，． 3．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)设（为自然对数的底数），当时，对任意，存在，使，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. (2) 【分析】（1）求导，分和两种情况讨论求解即可； （2）当时，结合（1）可知函数在上单调递减，可先将问题转化为对任意恒成立，设，，利用导数分析其单调性，进而求解即可. 【详解】（1）由，， 则， ①当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； ②当时，令，得，令，得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增. 综上所述：当时，在上单调递减，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，， 由（1）知，函数在上单调递减， 而，，则时，， 对任意，存在，使， 即等价于恒成立，即， 所以对任意恒成立． 设，，则， 令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，则，即实数的取值范围为． 4．已知函数，. (1)若，求曲线在点处的切线方程； (2)若存在，使，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义求解即可； （2）求导，根据导数求得函数，结合题意可得成立，令，求导，根据导数计算即可求解. 【详解】（1）若，则，， 则，， 所以过点的切线方程为，即； （2）函数的定义域为， ， 当时，，当时，， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，函数有最小值，即， 若存在，使，则成立， 即，即， 令， ， 令，则， 当时，，当时，， 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以当时，函数有最小值，即， 所以在区间恒成立， 所以函数在区间上单调递增， 因为， 所以当 时， 成立，故的取值范围为. 5．已知函数． (1)若曲线在点处的切线与直线垂直，求的方程； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）利用导数的几何意义求解即可； （2）分，和三种情况讨论导数的正负即可求解. 【详解】（1）， 则． 因为， 所以，得． 又， 所以的方程为，即． （2）． 当时，，则在上单调递增． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 当时，令，得或，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减． 6．已知，函数. (1)若在处取得极值，求实数的值； (2)讨论函数的单调性； (3)若在上有三个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【分析】通过求导，根据极值的性质导数等于0来求解参数； 通过求导，根据导数的正负来判断原函数的单调性； 根据零点的数量来判断满足条件的极值的正负情况，从而求解参数的取值范围. 【详解】（1）函数，求导可得， 因为在处取得极值，所以， 化简可得，解得. 此时， 令得或；令得， 所以在和上单调递增，在上单调递减， 所以是的极大值点. （2）， 分类讨论，当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减； 当时，，在上单调递增； 当时， 当或时，，单调递增， 当时， ，单调递减. 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减； 当时，在R上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减； （3）因为，由第二问可知当或时，，单调递增，当时， ，单调递减， 所以在时，取到极大值， 在时，取到极小值， 因为在上有三个零点，所以，即， 解得，即的取值范围是. 7．已知函数. (1)若曲线在处的切线方程为，求实数的值 (2)讨论函数的单调区间； (3)若，对任意两个不相等的正数，都有恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1)， (2)答案见解析 (3) 【分析】（1）根据导数几何意义和切点坐标可构造方程组求得； （2）求导后，分别在和的情况下，根据的正负得到的单调区间； （3）利用导数可求得单调性，从而将恒成立的不等式转化为单调递减，进而得到恒成立，采用分离变量法可求得结果. 【详解】（1），，解得：， 又，，解得：； ，. （2）由题意知：的定义域为，； ①当时，若，则；若，则； 的单调递减区间为，单调递增区间为； ②当时， i.若，则当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为； ii.若，则在上恒成立，的单调递增区间为，无单调递减区间； iii.若，则当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述：当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，的单调递增区间为，无单调递减区间； 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）的定义域为，， ，，即，在上单调递增， 不妨设，则， 则由得：， 令，则在上单调递减， 在上恒成立，， 设，则， 当时，；当时，； 在上单调递增，在上单调递减，， ，即实数的取值范围为. 8．已知函数. (1)讨论函数的单调性 (2)若函数在其定义域的一个子集内存在两个极值点，求实数a的取值范围并求的极值. 【答案】(1)时，在，上单调递增，在上单调递减；时，在上单调递增；时，在，上单调递增，在上单调递减； (2)，的极大值为，极小值为. 【分析】（1）求导，含参讨论导数的正负，得函数的单调性； （2）由（1）若要有两个极值点，这两个极值点必是，由两个极值点都在区间上得出参数范围，再由单调性求极值. 【详解】（1），由得或， 当时，在，上恒大于0， 在上恒小于0，在，单调递增，在上单调递减； 时，在上恒成立，在上单调递增； 时，在，上大于0恒成立， 在上小于0恒成立，在，上单调递增，在上单调递减； 综上，时，在，上调递增，在上单调递减； 时，在上单调递增； 时，在，上单调递增，在上单调递减. （2）由（1）知的极值点是，1，因此这两个极值点需在区间内， 则且，解得， 的极大值为，极小值为. 9．已知函数，． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数在区间上的最小值为1，求的值． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导得解析式，分别讨论和两种情况，根据的正负，可得的单调区间，综合分析，即可得答案. （2）分别讨论、、和四种情况，根据的正负，可得的单调性，求出的最小值，根据条件，求出a值，综合分析，即可得答案. 【详解】（1）因为，函数的定义域为， 所以， 当时，恒成立，则在上单调递减； 当时，令，解得或（舍去）， 当时，，则在上单调递减， 当时，，则在上单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）当时，，则在上单调递减， 所以，解得，不合题意，故舍去； 当时，若即，则在上单调递增， 所以，解得，符合题意； 若即，则在上单调递减， 所以，解得，不符合题意； 若即，则在上单调递减，在上单调递增， 所以，不符合题意； 综上，函数在区间上的最小值为1时，. 10．已知函数，． (1)当时，求的极值； (2)讨论的单调性； (3)若对任意恒成立，求整数的最小值． 【答案】(1)极大值为，无极小值 (2)当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 (3)1 【详解】（1）当时，，定义域为 则，令解得 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减 所以有极大值，无极小值 （2） 若时，在上恒成立，此时在上单调递增； 若时，令，即，解得或（舍去）. 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递增，在上单调递减 （3）因为对任意，恒成立，所以在上恒成立， 即在上恒成立 设，则 设，，则在上单调递减， 因为，， 所以，使得，即，则. 当时，；当时，； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上的最大值 因为，所以. 故整数的最小值为1 题型四 导函数为含参不可因式分解的二次函数单调性分析 【方法技巧】 若导函数为含参不可因式分解的二次函数，就要通过判别式来判断根的情况，然后再划分定义域讨论. 【例题精讲】 1．已知函数. (1)若曲线在点处的切线斜率为0，求实数的值，并证明此时无极值点； (2)讨论的单调性； (3)若在区间上的最大值为1，求实数的值. 【答案】(1)，证明见解析 (2)当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． (3) 【分析】（1）先对原函数求导，根据导数几何意义，利用处导数值等于0列方程求，再分析导数符号变化，证明导数无变号零点，得无极值点； （2）整理导数后分子为二次式，根据判别式取值分类讨论，依据导数正负判断单调性； （3）结合第二问的单调性结论，分类讨论在上的最大值，令最大值为1，求解得到符合条件的. 【详解】（1）对函数求导：​， 因为恒成立，故的符号由分子决定. 曲线在处切线斜率为，代入得： ，解得. 此时 ，故恒成立，仅处， 因此在上单调递减，无极值点. （2）对二次函数，判别式，分情况讨论： ①当时，，恒成立，故，在上单调递减； ②当时，的两根为​，​， 则当或时，，，单调递减； 当时，，，单调递增. 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在单调递增，在单调递减． （3）①当时，在单调递减，最大值为，由最大值为1得，符合条件； ②时，函数在处取得极大值，显然， 则最大值可能在或处取得． 若，则，不符合． 下面证明同样不可能成立． 令，则，代入得． 此时，由可得，由可得， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，同样不可能有． 综上所述，实数的值为1． 2．已知函数． (1)若函数在点处的切线斜率为2，求实数a的值； (2)讨论的单调性． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）根据导数的几何意义，函数在某点处的切线斜率等于该点处的导数值，因此先对函数 求导，再将 代入导函数，结合已知切线斜率列出方程，进而求解 的值； （2）先求出函数 的定义域和导函数 ，然后根据判别式 的取值情况，分情况讨论导函数的正负性，从而确定函数 的单调性. 【详解】（1）已知 ，其定义域为 ， ，则， 因为函数 在点 处的切线斜率为 2 ，所以 ，   即 ，解得 . （2）由（1）可知 ， 令 ，其判别式 ， 当 ，即 时 在 上恒成立， 又因为 ，所以 在 上恒成立， 所以 在 上单调递增； 当 ，即 或 时，由 ，即 ， 根据求根公式可得. 若 ，则 ，因为 ，所以 在 上恒成立， 即 在 上恒成立，所以 在 上单调递增； 若 ，则 ，且 ， 当 0 或 时， ，则 单调递增， 当 时， ，则 单调递减； 综上，当 时， 在 上单调递增； 当 时， 在 和 上单调递增，在 , 上单调递减. 3．已知函数． (1)若． （ⅰ）证明：曲线过定点； （ⅱ）当时，求曲线在点处的切线方程． (2)当时，讨论的单调性． 【答案】(1)（ⅰ）证明见解析；（ⅱ） (2)当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 【分析】（1）（ⅰ）当时，，令，即可求得定点坐标； （ⅱ）利用切线斜率等于切点处的导数求解即可； （2）先对求导，再分、、三种情况进行讨论即可. 【详解】（1）（ⅰ）由题得， 因为，所以曲线过定点． （ⅱ）由题得，则， 所以． 又，所以曲线在点处的切线方程为．即． （2）由题得，．则， 对于，， 当，即时，，在上单调递增． 当，即时，由，得， 当时，，则当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 当时，， 则当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 综上，当时，在上单调递增； 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增． 4．已知函数. (1)讨论的单调性； (2)若在处取得极值，且关于的方程在区间上有两个不同的实数根，求实数的取值范围. 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）首先求函数的导数，讨论，求解函数的单调区间； （2）首先根据极值点求，再利用导数分析函数在区间上的单调性，再转化为与的交点个数，求的取值范围. 【详解】（1）， 当，即时，恒成立，此时在单调递增， 当，即时，，得或， ，解得或， ，解得， 所以函数的单调递增区间是和， 单调递减区间是， 综上可知，当时，函数在单调递增， 当时，函数的单调递增区间是和，单调递减区间是， （2）由条件可知，得， 当时，，得或 当或时，，当时，， 当的单调性如下表， 3 单调递减 单调递增 若方程在区间上有两个不同的实数根， 则与在区间有2个交点，所以. 5．已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)求证： 【答案】(1) (2)答案见解析 (3)证明见解析 【分析】（1）代入参数，求函数导数得到切线斜率，结合切点坐标，利用点斜式求解切线方程. （2）对函数求导并整理为分式形式，结合判别式与二次函数根的分布，分三类讨论导函数符号，以此确定函数单调区间. （3）利用第二问单调性推导放缩不等式，对不等式赋值后累加，再通过代数放缩完成不等式证明. 【详解】（1）当时， ，又，故曲线在点处的切线方程为. （2）函数的定义域为 当，即时，，函数在单调递减 当，即时， 若，令，得， 于是函数在和单调递减，在单调递增； 若，令，得（舍）. 函数在上单调递增，在单调递减. 综上，当时，在上单调递减 当时，在和上单调递减， 在上单调递增. 当时，在上单调递增，在单调递减． （3）（3）由（2）知，当时，函数在上单调递减， 所以当时， 即，所以 将代入上式， 可得，即 分别取， 于是 ． 将上述个式子左右分别相加， 可得 . 6．已知函数 . (1)求函数的单调性； (2)若且，若，求的取值范围. 【答案】(1)当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增 (2) 【分析】（1）由题意得，求导，分，，和四种情况讨论求得函数的单调区间； （2）由题意得在单调递减，利用导数可得对恒成立，进而计算可求得的取值范围. 【详解】（1）由已知， 当时，令的图像开口向下，且， 所以时，，即，则在上单调递增， 时，，即，则在上单调递减； 当时，，则， 所以时，，则在上单调递增， 时，，则在上单调递减； 当时，的图像开口向上，且， 或时，，即， 则在上单调递增， 时，，即， 则在上单调递减. 当时，的图像开口向上，且且不恒为0， 此时，即，则在上单调递增； 综上所述：当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增，在上单调递减， 当时，在上单调递增； （2）等价于在单调递减.. 时，恒成立，即恒成立， ，而， ， ，故a的取值范围是. 7．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)当时，在上单调递增；当时，在、上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增； (2) 【分析】（1）求导后转化为讨论的正负，分类讨论求解即可得； （2）参变分离后可得，构造函数，借助导数求出其在上的最小值即可得. 【详解】（1）， 令，； 若，即，则恒成立， 故，故在上单调递增； 若，即，则，， 若，则，， 则当时，，当时，， 故在上单调递减，在上单调递增； 若，则，， 当时，， 当时，， 故在、上单调递增， 在上单调递减； 综上所述：当时，在上单调递增； 当时，在、上单调递增， 在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增； （2）令，则， 整理得， 令，则， 令，则， 故在上单调递增，则， 故在上单调递增，则， 即. 8．已知函数，. (1)若曲线在点处的切线与直线平行，求的值； (2)讨论的单调性； (3)若存在两个极值点，且，求的取值范围. 【答案】(1) (2)当时，函数在上单调递减，在上单调递增；当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增，在和上单调递减；当时，函数在上单调递增，在上单调递减. (3) 【分析】（1）根据导数的几何意义求出曲线在给定点的切线斜率列方程求解即得； （2）将函数求导后，根据参数的取值进行分类，判断导函数的符号，即可确定函数的单调性； （3）由（2）的结论分析得，易得，设，则有，计算并化简得，设，求导分析其单调性可得，再由，利用函数单调性即可求得答案. 【详解】（1）由求导得， 依题意，，解得 （2）因函数的定义域为， ， 当时，，当时，，当时，， 即此时函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，若，恒成立，则，即函数在上单调递减； 若，由解得， 由可得，由可得或， 即函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，由可得，由可得， 即函数在上单调递增，在上单调递减. 综上，当时，函数在上单调递减，在上单调递增； 当时，函数在上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在和上单调递减； 当时，函数在上单调递增，在上单调递减. （3）由（2）分析可知，存在两个极值点，则 此时是方程的两个实根，则. 由 ， 设，则，将代入，化简得，， 则，， 设，则，故函数在上单调递增， 由题意，，且，即有，故可得， 又因，函数在上单调递增，故， 又因，故得. 9．已知函数，. (1)讨论的单调性； (2)若存在正实数，使得成立当且仅当，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）求导，结合一元二次函数的性质讨论的正负性即可； （2）利用（1）中函数的单调性以及即可求出. 【详解】（1）由题可得. 令，则， 当时，，此时，，故在上单调递减； 当时，，记两根为，， 此时，，则两根均为负，得， 故在上单调递减； 当时，，此时，，则两根均为正，且， 故或时，，在、上单调递减， 时，，在上单调递增， 综上，当时，在上单调递减； 当时，在，上单调递减， 在上单调递增. （2）注意到. 若，则在上单调递减， 当时，，当时，， 所以成立当且仅当，结论成立； 若，，，在上单调递增，从而有，， 时，，由零点存在定理，知，使得， 当时，，当时，，当时，， 故不存在满足条件的区间. 综上，的取值范围为. 题型五 导函数为含参准二次函数型的单调性分析 【方法技巧】 若导函数为含参准二次函数型，首先对导函数进行因式分解，求导函数的零点并比较大小，然后再划分定义域，判定导函数的符号，从而确定原函数的单调性. 【例题精讲】 1．已知函数． (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)当时，恒成立，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据导数即可求出切线方程； （2）根据导数分类讨论的取值范围，得到函数的单调性即可求解；或者分离参数，利用函数的单调性得到的取值范围. 【详解】（1）当时，，得， ，则 ， 所以切线方程为：，即 ； （2）解法一：， 当时，因为，所以，，所以， 则在上单调递增， 成立，符合题意； 当时，， 所以在上单调递增，所以 成立，符合题意； 当时，在区间上，；在区间，， 所以在上单调递减，上单调递增， 所以在区间上有 ，不符合题意， 综上所述，的取值范围是． 解法二：当时，恒成立，等价于“当时， 恒成立”，即在上恒成立， 当时，，所以， 当时，，所以恒成立， 设，则， 因为，所以，所以在区间上单调递增， 所以，所以， 综上所述，的取值范围是. 2．已知函数. (1)若，求函数在的最值； (2)讨论的单调性； (3)若有两个零点，求的取值范围. 【答案】(1)最大值为，最小值为. (2)当时，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增. (3). 【分析】（1）将代入得到具体函数表达式，对函数求导，判断导数在区间上的符号，确定函数单调性，根据函数单调性求出区间端点的函数值，进而得到最值； （2）对求导，将导函数整理为关于的因式形式；参数的取值会影响导数的符号，分和两种情况讨论正负所在的区间，确定函数单调性； （3）结合（2）中得到的函数单调性，分析函数的极值情况；因为函数有两个零点，根据不同的取值范围，分析函数的最值、极限趋势，结合零点存在定理确定的取值范围. 【详解】（1），则； ，即在内单调递减. ，； 即函数在时的最大值为，最小值为. （2），则函数的定义域为. . 当时，，即在上单调递减； 当时，令，即，解得. 若，则，即在上单调递增； 若，则，即在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （3）由（2）知，当时，在上单调递减， 最多只有一个零点，不符合题意； 当时，在上单调递减，在上单调递增，在处取得极小值，也是最小值； 即 有2个零点，，即. 令，则； 在上单调递增. 又， 时，； ，得； 即的取值范围为. 3．已知关于的函数. (1)当时，求在处的切线方程； (2)若且，求的极小值． 【答案】(1). (2)极小值为. 【分析】（1）利用导数的几何意义求出切线斜率，再由直线的点斜式方程求出切线方程即可； （2）对参数的取值范围进行分类讨论，得出函数单调性并求出极值点，可得出极小值. 【详解】（1）由可得， 则， 易知； 所以切线方程为，即. （2）易知； 令，所以， 因为且，所以恒成立， 当时，，所以在上单调递增，可得， 当时，令，可得， 当时，，此时在上单调递减； 当时，，此时在上单调递增； 因此在处取得极小值，也是最小值，即； 令，则， 所以函数在上单调递减，所以，即； 因此， 综上可知当时，在上恒成立， 令可得， 当时，，即在上单调递减， 当时，，即在上单调递增， 所以在处取得极小值，； 4．已知函数 ． (1)当时，求函数的最大值； (2)当时，求的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无减区间． 【分析】（1）根据导数与最值的关系求解即可. （2）根据导数与单调性的关系，对进行讨论求解即可. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 令，则. ，随的变化情况如下： 1 + 0 - 单调递增 极大值 单调递减 所以当时，取最大值，为． （2） ， 当时，令，解得或， ①当时，由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ②当时，由，得或，由，得， 所以函数在和上单调递增，在上单调递减； ③当时，由，得，由，得， 所以函数在上单调递增，在上单调递减； ④当时， ，则函数在上单调递增． 综上： 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为； 当时，函数的单调递增区间为，无单调递减区间． 5．已知函数. (1)若，求函数的极值； (2)讨论的单调性. 【答案】(1)极小值为，无极大值； (2) 当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增；当时， 在区间上单调递减；当时， 在区间和上单调递减，在区间上单调递增. 【分析】（1）求导，确定函数单调区间，即可求解； （2）求导，通过，，，讨论导数符号即可求解. 【详解】（1）当时，，所以， 由，得， 0 - 0 + 单调递减 极小值 单调递增 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以函数的极小值为，无极大值； （2）因为函数， 所以， （ⅰ）当时，若，则， 若，则， 若，则， 所以函数在区间上单调递减，在区间上单调递增， （ⅱ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， （ⅲ）当时，，所以函数在区间上单调递减， （ⅳ）当时，由，得或， 若或，则， 若，则， 所以函数在区间和上单调递减，在区间上单调递增， 综上所述：当时，函数在区间上单调递减，在区间上单调递增； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增； 当时，函数在区间上单调递减； 当时，函数在区间和上单调递减， 在区间上单调递增. 6．已知函数. (1)讨论单调性 (2)当时，证明：函数有且仅有一个零点； 【答案】(1)时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. (2)证明见解析 【分析】（1）先对函数求导并因式分解得，以、、、分四类，比较极值点与的大小，逐一确定每种情况下函数的单调增减区间. （2）再分别对、、三种正数情形，代入特殊点函数值、化简极值表达式、分析时函数趋势，结合单调性判断零点数量，最终归纳得到时函数有且仅有一个零点. 【详解】（1）函数的定义域为. 求导得. 令，得或，分情况讨论： 当即时，恒成立. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当且即且时，方程的解为. ①若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. ②若，则： 时，，在上单调递增. 时，，在上单调递减. 时，，在上单调递增. 当即时，，恒成立，在上单调递增. 综上所述：时，在单调递减，单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. 时，在上单调递增. 时，在单调递增，单调递减，单调递增. （2）①当时，，由， 及函数单调递增，可得函数有且仅有一个零点. ②当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由，可得.当时，，可得函数有且仅有一个零点. ③当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 又由 又由，当时，，可得函数有且仅有一个零点， 综上所述，当时，函数有且仅有一个零点. 7．已知函数（为自然对数的底数）． (1)讨论的单调性； (2)若有最小值，证明：． 【答案】(1)时在单调递减；时在单调递减， 在单调递增； (2)证明见解析 【分析】（1）对求导，然后根据参数的不同取值范围，判断导数的正负，进而确定函数的单调区间； （2）先结合（1）的单调性结论，找到取得最小值时的值，代入得到的表达式；再通过分析的单调性证明即可. 【详解】（1） 分母，，导数符号由决定，分情况讨论： 若：恒成立，，故在上单调递减； 若：令得： 时，，，单调递减； 时，，，单调递增. 所以时在单调递减， 时在单调递减，在单调递增； （2）由（1）知：时单调递减，无最小值，仅当时存在最小值， 则 对求导：，设，， 故在单调递减， 又，， 故存在唯一，满足，即. 因此：时，，单调递增； 时，，单调递减； 故的最大值为，代入化简： 在上单调递增，， 故：， 因此，得证. 8．已知函数. (1)当时，求函数的单调区间； (2)当时，求函数的最小值； (3)求证：. 【答案】(1)单调递增区间为，无单调递减区间. (2)0 (3)证明见解析 【分析】（1）利用导数求解给定参数范围下的单调区间即可. （2）结合题意并合理构造函数，最后结合导数求解最值即可. （3）结合已知得到，再结合换元法证明不等式即可. 【详解】（1）由题意得函数的定义域为， 当时，，则在单调递增， 所以函数的单调递增区间为，无单调递减区间. （2）当时，， 令，则， 所以即在单调递增， 又，所以当时，，当时，， 所以在单调递减，在单调递增，故. （3）由（2）知当时，， 即，当且仅当时取等号， 令，则， 所以, 即. 9．已知函数． (1)证明不等式：； (2)讨论的单调性； (3)设，证明：在定义域上有两个零点． 【答案】(1)证明见解析 (2)当时，在单调递减，无增区间；当时，在单调递减，在单调递增． (3)证明见解析 【分析】（1）设，利用导数可证故恒成立即； （2）就、分类讨论导数的符号后可得函数的单调性； （3）根据（2）中的单调性结合零点存在定理可证明在定义域上有两个零点 【详解】（1）设，则， 当时，，当时，， 故在上为减函数，在上为增函数， 故，故恒成立即. （2）， ， ①当时，在上单调递减； ②当时，令，得， 时，在上单调递增； 时，在上单调递减； 综上所述，当时，在上单调递减，无增区间； 当时，在上单调递减，在上单调递增． （3）由（2）可得，当时，， 因为均在上为增函数，故在上为增函数， 故，故. 当时，即， 结合（1）中不等式可得，故， 当时，，且， 而，，故， 由零点存在定理可得在上有两个零点． 10．已知函数． (1)当时，求曲线在处的切线方程； (2)当时，求函数的单调区间． 【答案】(1) (2)当时，在和上递增，在上递减；当时，在上递增；当时，在和上递增，在上递减． 【分析】（1）根据导数的几何意义即可求出； （2）分别对时，时，时讨论，利用导数判断可得答案. 【详解】（1）由，知 ， 所以当时，有，， 故曲线在处的切线经过，且斜率为， 所以其方程为，即． （2）当时，对有， 对，有，故在和上递增，在（）上递减； 当时，对，有，故在上递增； 当时，对，有， 对，有，故在和上递增，在上递减． 综上，当时，在和上递增，在上递减； 当时，在上递增； 当时，在和上递增，在上递减． ►考点03 利用导数研究函数的图像及其应用 常见组合函数的图像 在导数的应用中常用到以下函数，记住以下的函数图像，对解题有事半功倍的效果． 1．已知在上是可导函数，的图象如图所示，则不等式的解集为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据原函数单调性和导函数正负的关系，结合图像，即可得到答案． 【详解】根据的图像可知在上的单调递增区间是， 所以不等式的解集为． 故选：C 2．已知函数，其导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递减 B．函数在处取得最大值 C．函数在上单调递减 D．在区间内的函数值为负 【答案】C 【分析】根据图像可得的符号，进而可判断的单调性，结合的单调性逐项分析判断. 【详解】由图像可得：当或时，；当或时，； 故的单调递增区间为，单调递减区间为， 故A错误，C正确； 函数在处取得极大值，不一定是最大值，故B错误； 根据题意只能得到的符号，以及的单调区间，无法判断的符号，故D错误. 3．若函数的导函数图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．的解集为 B．函数有2个极值点 C．函数的单调递增区间为 D．是函数的极小值点 【答案】D 【分析】由图可得的单调性，即可得其导数正负，即可得A；由图可得的正负，即可得单调性，从而可得B、C、D. 【详解】对A：由图可得，在、上单调递增， 在上单调递减，故的解集为，故A错误； 对B、C、D：由图可得，当时，， 当时，， 故在上单调递减，在上单调递增， 故函数有且仅有一个极小值点，故B、C错误，D正确. 4．已知函数的导函数的图象如图所示，则函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图像可知，是奇函数，且， 选项A：，，不符合； 选项B：，导数是奇函数，且，符合； 选项C：，定义域为R， 且， 所以是偶函数， 不符合； 选项D：，在上恒大于0，不符合． 5．已知定义在上的函数的图象如图所示，则不等式的解集为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式不等式得或，根据图像的单调递增和递减区间，得到或的解集，分别求出两个不等式组的解集，得到原不等式的解集. 【详解】，或，即或. 由图可得，当或时，单调递增，则；当时，单调递减，则； 由，解得；由，解得. 不等式的解集为. 6．若是定义在区间上的函数，其图象如图所示，设的导函数为，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】不等式等价于两种同号情况：或， 其中对应函数单调递增，对应函数单调递减，结合图像分区间讨论： ：，单调递减，乘积为负，不满足； ：，单调递减，乘积为正，满足； ：，单调递增，乘积为负，不满足； ：，单调递增，乘积为正，满足； ：，单调递减，乘积为负，不满足； 时，，，不满足； 时，，，不满足； 因此，的解集为. 7．函数是定义在上的偶函数．其图象如图所示，．设是的导函数，则关于的不等式的解集是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】借助函数图像与导数的关系计算即可得. 【详解】由，且为偶函数，故， 由导数性质结合图像可得当时，， 当时，，当时，即， 则由，有，解得， 亦可得，或，或，或， 由可得或，解得， 由可得，即， 由，可得，即或（舍去，不在内）， 由，可得， 综上所述，关于x的不等式的解集为. 8．函数的导函数的图象如图所示，以下命题正确的是（   ） A．是函数的极值点 B．是函数的极值点 C．在区间上单调递增 D．是函数的极值点 【答案】AC 【分析】由导函数图像的正负即可判断原函数的增减，依次判断即可. 【详解】对于AC，根据导函数图像可知当时，； 当时，，当且仅当时，， 所以函数在上单调递减； 在上单调递增，故是极值点，故A、C正确； 对于B，因为左右两侧导函数均大于，故不是极值点，故B错误； 对于D，因为左右两侧导函数均大于，故不是极小值点，故D错误； 9．已知定义在上的函数的导函数为，且函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．函数在上单调递增 B．是函数的极大值点 C．是函数的极小值点 D． 【答案】AD 【分析】通过分析函数的图像判断的符号，从而得到的单调区间，再对各个选项进行判断即可. 【详解】结合函数的图像可知： 当时，，故，所以在上单调递减； 当时，，故，所以在上单调递增； 当时，，故，所以在上单调递增； 当时，，故，所以在上单调递增. 对于A：在区间上，（仅在时等于0，其余点都大于0）恒成立，所以函数在上单调递增，故A正确； 对于B：因为函数在左右两侧都为正，所以不是极大值点，故B错误； 对于C：因为在左右两侧都为正，所以不是极小值点，故C错误； 对于D：由上述分析可知，函数在单调递减，在单调递增， 所以在取到极小值，也是最小值，所以，故D正确. 10．已知函数及其导函数的部分图象如图所示，设函数，则（    ） A．在区间上是减函数 B．在区间上是增函数 C．在时取极小值 D．在时取极小值 【答案】AD 【分析】根据图像得到的符号，即可得到的符号，进而得到的单调性和极值. 【详解】结合图像可知，当时，，当时，， 当时，， ，因， 故当时，，在区间上单调递增， 当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 故在时取极大值，在时取极小值. 故选：AD. ►考点04 根据函数的单调性求参数 由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上f′(x)≥0(或f′(x)≤0)恒成立． (2)函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是f′(x)>0 (或f′(x)<0)在该区间上存在解集． (3)已知区间上函数不单调，转化为导数在区间内存在变号零点，通常用分离变量法求解参变量范围． (4)已知函数在区间上存在单调递增或递减区间，转化为导函数在区间上大于零或小于零有解． 【例题精讲】 1．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，得； 函数在上单调递增，在上恒成立，即在上恒成立. ，， 在上恒成立，即. ，，； ，当且仅当，即时等号成立； ，即； 实数的取值范围是. 2．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题设不等式的特点，构造函数，可得其在上单调递减，从而将问题转化成在上恒成立，参变分离后，只需求在的最大值即可. 【详解】由可得， 设， 依题意，当时，恒成立， 故函数在上单调递减， 因，求导得， 则在上恒成立，即， 设，则， 当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减， 故当时，， 故实数的取值范围为. 3．已知函数为增函数，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出函数的导数，利用给定单调性建立不等式，分离参数并构造函数，再利用导数求出最小值即可. 【详解】函数的定义域为R，求导得， 由函数是增函数，得，恒成立， 令函数，求导得， 令函数，求导得， 函数，即在R上单调递增，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增，，则， 所以的取值范围是. 4．设函数，且在上满足，则实数a的取值范围为（    ） A．[0,1] B．[－1,1] C． D． 【答案】B 【分析】由在上满足得到是上的单调递增函数，则在上恒成立，即在上恒成立，转化为二次函数的图像和性质求解. 【详解】，， 在R上满足， 或， 则是上的单调递增函数，则在上恒成立， 即在上恒成立， 设， ， 则转化为， 则转化为在上恒成立， 则需要满足，解得，即， 则实数a的取值范围为，故选项B正确. 5．已知函数在区间上单调递减，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】结合导数与单调性的关系条件可转化为在上恒成立，由此可求结论. 【详解】函数求导得， 已知在区间上单调递减，则在上恒成立， 即在上恒成立， 令，，求导得，令，解得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 则是极小值点， ，， 在的上确界为3， ． 6．若函数 不单调，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将问题转化为在上有变号零点，结合二次函数的图像与性质分析即可求解. 【详解】函数的定义域为, , 令，解得：，且恒成立， 因为函数 不单调，则在上有变号零点， 则两个根和至少有一个在， 由于，则必在区间内，故，解得： 7．“”是“函数存在单调递减区间”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【分析】由题意得在上有解，分离参数a，结合二次函数的性质，可得a的范围，根据充分、必要条件的定义，即可得答案. 【详解】由题意得， 由函数存在单调递减区间，得在上有解， 只需，即在上有解， 整理得在上有解， 令，则， 所以当时，y有最小值，则， 所以， 当时，， 则单调递增，无单调减区间，故， 所以函数存在单调递减区间时，， 因为“”是“”的必要不充分条件， 所以“”是“函数存在单调递减区间”的必要不充分条件. 8．已知函数，则下列说法正确的是（   ） A．当时，的对称中心为 B．若函数在上单调递增，则实数的取值范围是 C．存在实数使曲线是轴对称图形 D．当时，函数的极大值点为 【答案】AC 【分析】计算出，的对称中心为，故A正确；利用判别式即可判断B；利用偶函数的定义即可判断C；利用极值点的定义判断D. 【详解】对于A，当时，，，故， 所以的对称中心为，所以A选项正确； 对于B，若函数在R上单调递增，则恒成立， ，解得，所以B选项错误； 对于C，当时，， 对于函数，因为， 所以是偶函数， 即曲线关于对称，是轴对称图形，所以C选项正确； 对于D，，令，得或0， 当时，或， 所以在区间上单调递增； 在区间上单调递减. 所以的极大值点为，所以D选项错误. 9．已知，则下列正确的是（   ） A．直线为的切线 B．若，则 C．若在上单调递增，则 D．设为曲线在处的两条切线，若，则 【答案】ACD 【分析】根据导数的几何意义可求得 处切线为得到A正确；通过举反例证明B错误；根据导数的代数意义结合分离参数求范围即可求出C正确；根据导数的几何意义求出切线方程，结合两切线平行，找到相应等式即可求得D正确. 【详解】已知，求导得 选项A：当 时，，且，因此处切线斜率为0，切线方程为， 故直线一定是的切线，故A正确； 选项B：当时，，故 B错误； 选项C：若在单调递增，则在恒成立，当时，， 因此需要对所有恒成立，即，解得，即，故C正确； 选项D：求导得：，切线等价于 ， 整理得：， 因为，两边除以得， 即，故D正确. 10．已知函数，则（    ） A．在内单调递增 B．当方程有三个不等的实根时， C．当不等式恰有三个不等的正整数解时， D．当过点可作曲线的三条切线时， 【答案】BC 【分析】A项，求出单调性，即可得出结论；B项，根据函数单调性和在与的趋近值，处的值，即可得出结论；C项，将问题转化为的图像在上方的正整数解有3个的问题，求出的值，即可求出的范围；D项，设出切点，求出切线方程，代入得出一元二次方程，构造函数，利用判别式和在对称轴处即可得求出的范围. 【详解】由题意， 在中，，，， 当时，解得或， 当即，时，函数单调递减， 当即时，函数单调递增， ∴在内单调递增，在内单调递减，故A错误； 当时，，当时，， ∴， 当方程有三个不等的实根时， ∴，即，故B正确； 当不等式恰有三个不等的正整数解时， 的图像在上方的正整数解有3个， ∵，，，， 在，内单调递减，在内单调递增， ∴当即时，的图像在上方的正整数解为，C正确； 设切点为，则切线斜率， 切线方程为， ∵切线过点， ∴， 当时，切线方程为，满足过点且与相切条件； 当时，得，即， ∵过点可作曲线的三条切线， ∴方程有两个不同的非零实根， ∴且，即且， 解得或或，D选项错误. 故选：BC 课时精练 一、单选题 1．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，当且仅当时等号成立， 所以函数的单调递增区间是. 2．已知函数，则的单调递减区间为（   ） A． B． C． D．， 【答案】D 【分析】对函数求导，结合单调性和定义域求解取值范围. 【详解】函数有意义，则且，即定义域为. ， 则 所以的单调递减区间是和. 3．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先通过求导判断函数的单调性，再利用单调性比较和的大小． 【详解】因为．当时，，所以，所以在上为单调递减函数．故． 故选：A. 4．函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】对函数求导，根据单调性列出不等式，进而求出结果. 【详解】，求导得在上恒成立， 则，因为，所以要使得不等式恒成立， 则. 故选：C． 5．已知，则a，b，c的大小顺序为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】据题意可设，求导，从而可根据导数符号得出在上单调递减，可得的大小. 【详解】， 令，则， 当时，，函数在上单调递减， 又，所以，所以，所以. 故选：B. 6．已知函数，下列说法中正确的有（   ） A．函数的极大值为，极小值为 B．若函数在上单调递减，则 C．当时，函数的最大值为，最小值为 D．若方程有3个不同的解，则 【答案】A 【详解】已知，则. 令，得极值点. 当时，，递增；当时，，递减. 当时，，递增. 选项A：极大值为，极小值为，A正确. 选项B：若在上单调递减，则，故，B错误. 选项C：当时，单调递增，最大值为，最小值为，C错误. 选项D：方程有3个不同解，等价于在极小值和极大值之间，即，D错误. 7．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据分段函数单调性，列出各段为增函数的条件，并注意两段分界处的关系，即可求解. 【详解】由题意可知，函数在上单调递增，需同时满足以下三个条件： ①在上单调递增； ②在上单调递增； ③当时，，因此. 对于①，要使在上单调递增，则在上恒成立，即在上恒成立， 所以，因为，所以，解得； 对于②，因为在上单调递增，所以在上单调递增时，； 对于③，，所以. 综上所述，实数的取值范围是，故D正确. 8．若函数在上单调递增，则实数的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】问题等价转换成在上恒成立，通过分离参数，求最值即可求解. 【详解】函数在上单调递增， 等价于在上恒成立， 即 因为指数 恒成立， 因此等价于： 因为： 时，， 整理不等式得： ， 令，因此须大于或等于在区间上的上确界， 由于在上单调递增，其上确界为，故， 的取值范围是. 二、多选题 9．若函数在区间内存在单调递增区间，则实数的取值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】转化为在内有解，然后参变分离即可求解. 【详解】， 因为函数在区间内存在单调递增区间， 所以在内有解，所以有解， 由于，所以，故， 则实数的取值范围是，结合选项可知，符合题意. 10．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，，则有（    ） A． B． C． D． 【答案】CD 【分析】研究题中所给函数的性质，利用导数除法法则求出，由题得推出在单调递减，再根据自变量大小比较、、的大小，代入余弦值化简整理，进而判断选项正误. 【详解】已知，根据商的求导法则求导得： . 由题知，因此在上单调递减. 因为，结合单调递减性得： . 由，即， 整理得. 由，即， 整理得. 综上，选项A、B错误，选项C、D正确. 11．设函数，则（    ） A．函数在区间上单调递减 B．函数是奇函数 C．直线与曲线有3个公共点 D．斜率为的直线与曲线有且仅有一个公共点 【答案】ABD 【分析】利用导数求解单调性判断A，利用函数奇偶性的定义判断B，求出公共点来判断C，分离参数并结合导数得到，，进而判断D即可. 【详解】对于A，因为， 所以， 当时，恒成立，则在区间上单调递减，故A正确； 对于B，由题意得 ， 令，则， 可得，得到函数是奇函数，故B正确； 对于C，联立方程组，解得或， 则直线与曲线的公共点为和，共2个，故C错误； 对于D，设直线方程为，联立方程组， 化简可得，若曲线和直线有且仅有一个公共点， 则有且仅有一个解， 即与有且仅有一个公共点， 而，得到在上单调递增， 当时，，当时，， 则，，得到与有且仅有一个公共点成立，故D正确. 三、填空题 12．若函数的单调递减区间为，则________． 【答案】 【详解】由，得， 因为函数的单调递减区间为， 所以不等式的解集为， 因此一元二次方程的两个实数根为， 根据韦达定理，可得方程组：，解得， 则. 13．已知函数的导函数满足在上恒成立，则不等式的解集是___________. 【答案】 【分析】构造函数，利用导数研究的单调性，利用单调性的性质求解即可. 【详解】令，则，所以在上单调递增， 由，得，即， 又在上单调递增，所以得. 所以不等式的解集是. 14．若不等式 对于任意恒成立，则实数a的取值范围是_________． 【答案】 【详解】首先对参数的取值范围进行分类讨论. ∵ 当时，若，则，故 . 当时， ，不满足 对任意恒成立，故. ∵ 当时， ，不等式恒成立，故只需考虑的情况. 当时，对 两边同时取自然对数，得，即对任意恒成立. 设，则. 令，解得. ∵ 当时，，单调递增；当时，，单调递减. ∴ . 要使恒成立，又，故解得. 综上，实数的取值范围是. 四、解答题 15．已知函数 (1)求的单调区间和极值； (2)求在上的最大值和最小值. 【答案】(1) 单调递增区间为和，单调递减区间为；极大值为2，极小值为； (2) 最大值为2，最小值为. 【分析】（1）先确定函数定义域，对原函数求导，令导数为0求得临界点，划分区间后判断各区间导数符号得到单调区间，再根据单调性确定极值； （2）利用第一问得到的区间内极值，再计算区间端点处的函数值，将极值与端点函数值比较大小，即可得到闭区间的最值. 【详解】（1）函数定义域为，对求导：，令，解得或， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 因此在处取极大值；在处取极小值. 因此的单调递增区间为和；单调递减区间为；极大值为，极小值为. （2）闭区间连续函数的最值只需要比较极值点和端点的函数值. 由于，，， ， 因此在上的最大值为，最小值为. 16．已知：函数在处取得极值， 其中为常数. (1)试确定a、b的值； (2)讨论函数的单调区间； (3)若对任意， 不等式 恒成立，求c取值范围. 【答案】(1)，； (2)递减区间为，递增区间为； (3) 【分析】（1）求出函数的导数，再由导数在1处函数值为0求解并验证作答. （2）由（1）利用导数求出函数的单调区间作答. （3）由（2）求出的最小值，再解一元二次不等式作答. 【详解】（1）函数的定义域为，求导得， 依题意，由，得，解得，由，得，解得， 此时，当时，；当时，，即在处取极小值， 所以，. （2）由（1）知，当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 所以函数的递减区间为，递增区间为. （3）由（2）知，在处取得最小值， 由，恒成立，得，解得或， 所以的取值范围为. 17．已知函数． (1)当时 （ⅰ）求在处的切线方程 （ⅱ）求函数的单调区间； (2)若对任意，恒成立，求实数a的取值范围． 【答案】(1)（ⅰ）；（ⅱ）的单调减区间是，单调增区间是 (2) 【分析】(1)先求导，求出点的斜率和函数值，利用点斜式即可求切线方程，求导即可求出单调区间 (2)写出不等式，分离参数，构造新函数求导，求出最大值即可求出的取值范围 【详解】（1）（ⅰ）当时，函数的定义域是，， ，，由点斜式可得；， 所以切线方程为； （ⅱ）令，得，解得，所以的单调减区间是， 令，得 ，解得，所以的单调增区间是， 综上，的单调减区间是，单调增区间是； （2）由任意， 知 恒成立， 因为，故，在上恒成立， 设，则， 令，得，(舍去)， 当时，，单调递增，，，单调递减， 故，取得极大值，也是最大值，且 ， 所以若在上恒成立，则 ， 故实数的取值范围是. 18．已知函数，且． (1)求的值； (2)若． （ⅰ）求在上的最大值和最小值； （ⅱ）若使得成立，求实数m的取值范围． 【答案】(1) (2)（ⅰ）最大值为，最小值为；（ⅱ） 【分析】（1）对函数求导，代入求出的关系，进而求解； （2）（ⅰ）求导，利用导数分析函数的单调性和极值，结合端点值得出在上的最大值和最小值；（ⅱ）把存在性问题转化成在上的最大值，进而构造不等式求出实数m的取值范围． 【详解】（1）函数求导得 ， 已知，则， ． （2）（ⅰ），则，求导得：， ，在上恒成立， 导数符号由决定： 当时，，，单调递增； 当时，，，单调递减； 在处取得极大值，即为最大值，， ，， ， 在上的最小值为，最大值为； （ⅱ）已知使得成立，则在上的最大值， 在上的最大值为， ，解得， 又，， 的取值范围为． 19．已知函数． (1)求函数的导函数； (2)求的极值； (3)若对于任意，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2)极小值为1，无极大值 (3) 【分析】（1）根据复合函数求导、导数四则运算求得正确答案.， （2）求导，根据导数求解单调性，即可求解极值， （3）将恒成立问题参数分离，构造函数，即可求导求解最值． 【详解】（1）由得. （2）令，则，故在单调递增， 当时，单调递减， 所以当时，取极小值，无极大值， （3）由得，故， 构造函数，则，令，则， 故当时，单调递增，时，单调递减， 故当取极小值也是最小值，， 所以，即 1 学科网（北京）股份有限公司 $