精品解析：广东省河源市正德中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题

河源市正德中学2026年春七年级期中考试试卷 数学 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算结果正确的是（ ） A. a B. 2a C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】同底数幂相乘，底数不变，指数相加． 【详解】解：． 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用积的乘方法则进行运算即可． 【详解】A. ，故A选项错误； B. ，故B选项错误； C. ，故C选项错误； D. ，故D选项正确． 【点睛】本题考查了积的乘方运算法则，熟练掌握幂的运算法则是解决本题的关键． 3. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，对各选项进行判断即可． 【详解】A．与有一条公共边，另一边互为反向延长线，属于邻补角，不是对顶角，故本选项错误； B．与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角，故本选项正确； C．与的两边不互为反向延长线，不是对顶角，故本选项错误； D．与没有公共顶点，不是对顶角，故本选项错误． 4. 宜兴气象台发布的天气预报显示，明天宜兴某地下雨的可能性是，则“明天宜兴某地下雨”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 【答案】C 【解析】 【分析】根据随机事件（不确定事件）：无法预先确定在一次实验中会不会发生的事件，称它们为不确定事件或随机事件；不可能事件：称那些在每一次实验中都一定不会发生的事件为不可能事件，判断即可． 【详解】解：∵明天宜兴某地下雨的可能性为，该事件可能发生，也可能不发生，既不是一定发生，也不是一定不发生， ∴“明天宜兴某地下雨”这一事件是随机事件． 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接运用单项式除以单项式法则进行运算即可． 【详解】解：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查的是单项式除以单项式法则知识内容，正确掌握单项式除以单项式法则是解题的关键． 6. 如图是一款教室护眼灯，用两根电线，吊在天花板上，已知，为保证护眼灯与天花板平行，添加下列条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行线的判定逐项分析即可得到结论． 【详解】解：A、由，不能判定，故该选项不符合题意； B、由，不能判定，故该选项不符合题意； C、由，能判定，故该选项符合题意； D、由，不能判定，故该选项不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解决问题的关键． 7. 已知，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂和负整数指数幂，根据零指数幂和负整数指数幂的计算法则分别求出a、b、c的值即可得到答案． 【详解】解：∵，，， ∴，，， ∴， 故选；D． 8. ，则，的值为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】根据多项式乘以多项式进行计算，即可求解． 【详解】解：∵ ∴, 故选：B． 【点睛】本题考查了多项式乘以多项式，熟练掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 9. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮坐在靠窗位置的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率公式计算即可； 【详解】由图可知，该排座位共有，，，，五个座位，其中，为靠窗座位， 座已售出， 剩余座位为，，，，共4个，其中，为靠窗座位， 小亮坐在靠窗位置的概率是． 10. 对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的混合运算，理解新运算法则是解答的关键．根据新运算的法则，列式计算即可． 【详解】解：原式 故选B． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则______度． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质、平行线的性质；关键是利用数形结合的思想解题；根据对顶角的性质和平行线的性质，可以求得的度数，从而可以得到的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法，根据科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数即可求解，解题的关键要正确确定的值以及的值． 【详解】解：， 故答案为：． 13. 如图，运动会上，小明以直线为起跳线，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为米，米，则小明的真实成绩为___________米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是垂线段最短，熟知“垂线段最短”是解答此题的关键． 根据垂线段最短即可得出结论． 【详解】解：∵小明的真实成绩为点P到直线的距离， ∴小明的真实成绩为米， 故答案为：． 14. 已知a+2b＝2，a﹣2b＝，则a2﹣4b2＝_____． 【答案】1 【解析】 【分析】原式利用平方差公式化简，将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】∵a+2b＝2，a﹣2b＝， ∴原式＝（a+2b）（a﹣2b）＝2×＝1， 故答案为1 【点睛】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键． 15. 如图，将一张长方形（长方形的对边互相平行）纸片沿折叠，使顶点C、D分别落在点、处，交于点G，若，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据平行线的性质得到，，根据折叠的性质得到，即可求出． 【详解】解：由题意得， ∴，， ∵四边形沿折叠得到四边形， ∴， ∴． 故答案为： 【点睛】本题考查了平行线的性质和折叠的性质，熟知平行线的性质和折叠的性质是解题关键． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 化简：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】，3 【解析】 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则展开原式， 再合并同类项得到最简整式，最后将x和y的值代入最简式计算出结果即可． 【详解】解：原式 ， 将，代入，得： 原式 ． 18. 生活中、经过薄凸透镜光心的光线，其传检方向不变．如图，光线从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线，由光学知识有，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，，得到，进而得到，得到，即：，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 【数学试验】 数学学习小组在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，做投掷骰子（质地均匀的正方体)试验，他们共做了100次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 12 19 15 18 20 x （1）求表格中x的值； （2）计算“3点朝上”的频率． （3） 【数学发现】数学学习小组针对数学试验的结果提出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识，出现1点朝上的概率是12％．”你认为数学学习小组的结论正确吗？并说明理由． （4） 【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 【答案】（1）16 （2） （3）不正确，理由见详解 （4）160 【解析】 【分析】（1）根据表中给出的数据接口得出的值； （2）直接利用概率公式计算即可； （3）利用大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率直接回答即可； （4）设盒子中大约有白球个，根据概率公式列出算式，再进行计算即可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得：； 【小问2详解】 解：3点朝上出现的次数是15， 所以3点朝上出现的频率； 【小问3详解】 答：数学学习小组的结论不正确，因为1点朝上的频率为，不能说明1点朝上这一事件发生的概率就是，只有当实验的次数足够多时，该事件发生的频率才稳定在事件发生的概率附近，才可以将这个频率的稳定值作为该事件发生的概率； 【小问4详解】 解：设盒子中大约有白球个，根据题意得： ， 解得：． 经检验是原方程的解， 答：估计盒子中大约有白球160个． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率的知识，解题的关键是了解“大量重复试验下事件发生的频率可以估计该事件发生的概率”，难度一般． 20. 如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． （1）求绿化区域的面积（用含的式子表示）． （2）当时，求绿化区域的面积． 【答案】（1）平方米 （2）86平方米 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法，整式的化简求值， 对于（1），根据整式的乘法法则计算； 对于（2），将a，b的值代入计算得出答案． 【小问1详解】 解：绿化区域的面积为 ． 答：绿化区域的面积为平方米； 【小问2详解】 解：当时，． 答：绿化区域的面积为86平方米． 21. 取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC(∠ACD＝30°)，将三角板ABC(∠ACB＝45°)绕点A依顺时针方向旋转一定的角度得到三角形ABC′，请问： （1）如图2，当∠CAC′＝15°时，请你判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （2）如图3，当∠CAC′为多少度时，能使CDBC′？ 【答案】（1）；理由见解析 （2）当时，能使． 【解析】 【分析】（1）求出，得出∠BAC=∠C=30，利用内错角相等两直线平行求解； （2）连接，在中利用三角形内角和定理进行解答即可． 【小问1详解】 解：如图1， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：当时，能使． 理由如下： 延长BA交CD于点E，如图2． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质、三角形内角和定理；熟练掌握平行线的判定和三角形内角和定理，并能进行推理计算是解决问题的关键． 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 （2）运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 （3）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 【答案】（1）B （2）① 3；② （3）20 【解析】 【分析】（1）分别用代数式表示图1、图2阴影部分的面积即可； （2）①根据平方差公式将化为，再整体代入计算即可；②利用平方差公式将原式变形即可求解； （3）设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b，则，阴影部分面积可以表示为，进而即可求解． 【小问1详解】 解：图1阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图2是长为，宽为的长方形，因此面积为， 故上述操作能验证的等式是； 【小问2详解】 解：①， ， ， ； ② ； 【小问3详解】 解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 大正方形与小正方形的面积之差是40， ， 阴影部分的面积为． 23. 如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； （1）填空： °； （2）若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 【答案】（1）90 （2）①；②或 【解析】 【分析】本题考查平移，平行线的性质，角平分线定义，熟练掌握平移的性质，平行线的性质，角平分线的定义是正确解答的关键． （1）根据平行线的性质得出即可； （2）①根据平行线的性质得出，根据，得出，根据角平分线定义得出，根据平行线的性质得出，即可求出求的度数； ②分两种情况进行讨论：当点在点左侧时，当点在点右侧时，分别画出图形，求出结果即可． 【小问1详解】 解：如图①，过点P作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：①，， ， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， ； ②， ， 是的角平分线， ， ， 当点在点左侧时， ， ， ， ， ； 当点在点右侧时， ， ， ， ， 综上可知，的度数为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河源市正德中学2026年春七年级期中考试试卷 数学 时间：120分钟 满分120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 计算结果正确的是（ ） A. a B. 2a C. D. 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列各图中，与是对顶角的是（ ） A. B. C. D. 4. 宜兴气象台发布的天气预报显示，明天宜兴某地下雨的可能性是，则“明天宜兴某地下雨”这一事件是（ ） A. 必然事件 B. 不可能事件 C. 随机事件 D. 确定性事件 5. 计算的结果是（ ） A. B. C. D. 6. 如图是一款教室护眼灯，用两根电线，吊在天花板上，已知，为保证护眼灯与天花板平行，添加下列条件中，正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，，则a、b、c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 8. ，则，的值为（ ）. A. ， B. ， C. ， D. ， 9. 小亮和爸爸计划乘动车外出旅游．在网上购票时，小亮选定的车厢只剩一排有余座（如图）．若此时座已售出，其余座位由系统随机分配，则小亮坐在靠窗位置的概率是（ ） A. B. C. D. 10. 对于任意有理数a，b，c，d，定义一种新运算：．则的计算结果是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分．） 11. 用一根吸管吸吮纸杯中的豆浆，图②是其截面图，已知，表示吸管，若，则______度． 12. 随着北斗系统全球组网的步伐，北斗芯片的研发生产技术也在逐步成熟，国产北斗芯片可支持接收系统的导航信号，应用于自动驾驶、无人机、机器人等高精度定位需求领域，将为中国北斗导航产业发展提供有力支持．目前，该芯片工艺已达纳米（即米）．则数据用科学记数法表示为_____． 13. 如图，运动会上，小明以直线为起跳线，两脚落在点P处，甲、乙两名同学测得小明的跳远成绩分别为米，米，则小明的真实成绩为___________米． 14. 已知a+2b＝2，a﹣2b＝，则a2﹣4b2＝_____． 15. 如图，将一张长方形（长方形的对边互相平行）纸片沿折叠，使顶点C、D分别落在点、处，交于点G，若，则的度数为______． 三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分． 16. 化简：． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 生活中、经过薄凸透镜光心的光线，其传检方向不变．如图，光线从空气中射入薄凸透镜，再经过凸透镜的光心，射入到空气中，形成光线，由光学知识有，求证：． 四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分． 19. 【数学试验】 数学学习小组在学习“用频率估计概率”的数学活动课上，做投掷骰子（质地均匀的正方体)试验，他们共做了100次试验，试验的结果如下： 向上点数 1 2 3 4 5 6 出现次数 12 19 15 18 20 x （1）求表格中x的值； （2）计算“3点朝上”的频率． （3） 【数学发现】数学学习小组针对数学试验的结果提出结论：“根据试验及‘用频率估计概率’的知识，出现1点朝上的概率是12％．”你认为数学学习小组的结论正确吗？并说明理由． （4） 【结论应用】在一个不透明的盒子里，装有40个黑球和若干个白球，它们除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出一个球，记下颜色再把它放回盒子中，不断重复试验，统计结果发现，随着试验次数越来越多，摸到黑球的频率逐渐稳定在0.2左右．据此估计盒子中大约有白球多少个？ 20. 如图，有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划对其中的阴影部分进行绿化，并在中间两块正方形区域修建两座雕塑． （1）求绿化区域的面积（用含的式子表示）． （2）当时，求绿化区域的面积． 21. 取一副三角板按图1拼接，固定三角板ADC(∠ACD＝30°)，将三角板ABC(∠ACB＝45°)绕点A依顺时针方向旋转一定的角度得到三角形ABC′，请问： （1）如图2，当∠CAC′＝15°时，请你判断AB与CD的位置关系，并说明理由； （2）如图3，当∠CAC′为多少度时，能使CDBC′？ 五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分． 22. 【探究发现】 从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． （1）上述操作能验证的等式是________（填字母序号） A． B． C． 【知识迁移】 （2）运用你从（1）选出的等式，完成下列各题： ①已知，，则的值为________； ②计算：． 【拓展应用】 （3）如图，大正方形与小正方形的面积之差是40，则阴影部分的面积为________． 23. 如图，直线，直线与、分别交于点G、，．小新将一个含角的直角三角板按如图①放置，使点N、M分别在直线、上，，； （1）填空： °； （2）若，的角平分线交直线于点O． ①如图②，当时，求α的度数； ②小新将三角板向右平移，直接写出的度数（用含a的式子表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $