精品解析：河北远航学校扬帆初中2025-2026学年下学期九年级第三次学情 自测 数学试卷

远航学校扬帆初中2025-2026学年第二学期初三第三次模拟 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小的比较．根据题意，选出比小的数即可． 【详解】解：根据两个负数，绝对值大的反而小可知， 所以比低的温度是． 故选：． 2. 将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可知 ，利用角的和差关系 即可求解． 【详解】解： 该图中一副三角尺的直角顶点重合， ． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则、积的乘方法则、同底数幂的除法法则，逐一计算各选项进行判断． 【详解】解：选项A：，错误； 选项B：，错误； 选项C：，错误； 选项D：，正确． 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，两直线被一组平行线所截，截得的对应线段成比例，据此即可求解﹒ 【详解】解：∵五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的， ∴， 即， ∴﹒ 故选：D 5. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了由三视图判断几何体，熟练掌握三视图与几何体各部分形状的对应关系是解题的关键． 通过分析三视图的形状，尤其是俯视图中的圆，判断物体的组成部分（圆柱和长方体的组合），再结合各视图的特征排除不符合的选项． 【详解】解：由俯视图中有圆，得物体上方侧面应为曲面，排除选项A； 由主视图和左视图中下方是长方形，得物体下方应为长方体，排除选项D； 由圆柱的直径与长方体的宽度关系，选项B中圆柱直径过宽，不符合视图特征，选项C符合． 故选：C． 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先将方程化为一般形式，求出得到点坐标，再根据对称特征求对称点坐标即可． 【详解】解： ，其中 ， ∴ ， ，即点坐标为， ∵点关于y轴对称的点的坐标为， ∴点关于y轴对称的点为． 7. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了根据概率求数量，根据题意得出数字有个，数字有2个，则数字只有个，结合选项，即可求解． 【详解】解：正方体共6个面，向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为， ∴数字有个，数字有2个，则数字只有个 选项A中数字有2个，符合题意 故选：A． 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式的代数式求值以及分式化简，先将分式化简，利用平方差公式和完全平方公式进行因式分解，约分后代入计算即可． 【详解】解：∵ ， 代入，得． ∴ 答案为． 故选：A． 9. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 由折叠可得：，，则，那么，继而根据相似三角形的性质以及平行线分线段成比例定理逐一判断即可． 【详解】解：由折叠可得：，， ∴，故A正确，不符合题意； ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴，故B正确，不符合题意； ∵， ∴，， ∴，， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴，，， ∴，故D错误，符合题意， 故选：D． 10. 反比例函数的图象上有两点，，且，则下列结论正确的是（） A. B. C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】分情况讨论两点、的位置，结合的条件推导的取值范围，反比例函数的，在每个象限内随增大而减小． 【详解】解：∵反比例函数中， ∴双曲线两个分支分别在第一、三象限，且每个象限内随的增大而减小． 分三种情况讨论∶ 1．若、都在第一象限则，解得． ∵， ∴，符合题意． 2．若、都在第三象限则，解得： ∵， ∴，符合题意． 3．若在第三象限、在第一象限则，解得：， ∴，不符合题意， 综上所述，或． 11. 如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ对Ⅱ不对 D. Ⅰ不对Ⅱ对 【答案】A 【解析】 【分析】本题先通过矩形性质与折叠性质，过点作交于点，利用平行线性质推出，结合，得到，证明结论Ⅰ正确；再结合折叠后角相等、平分及平行线内错角相等的性质，推导出，根据平角为列出方程，解得，证明结论Ⅱ正确，最终得出两个结论均成立． 【详解】解：过点作交于点，如图： ∵矩形，， ∴折叠后， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即，结论Ⅰ正确； ∵矩形，， ∴折叠后，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，结论Ⅱ正确； 综上，结论Ⅰ和Ⅱ都对． 12. 如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先由菱形的性质求出，由位似变换得，根据点得平移方式为先向左平移2个单位，再向下平移2个单位，设菱形内任意一点，经过操作后对应点，由点与重合可得，，从而可求出点的坐标为． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴点是对角线的中点， ∵， ∴， ∵以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍， ∴点经过位似变换后，坐标变为， 又点平移后得到， ∴平移的方式为：先向左平移2个单位，再向下平移2个单位， 设菱形内任意一点，则经过操作后，对应点， ∵点与重合， ∴，， ∴， ∴点的坐标为． 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 【答案】 2 【解析】 【详解】解：． 14. 平行四边形的两条对角线分别为6和10，其中一条边长为m，若m为整数，则m的值可以为________（写出一个即可） 【答案】 5（答案不唯一） 【解析】 【分析】先利用平行四边形对角线互相平分的性质，得到两条对角线一半的长度，再结合三角形三边关系得到边长的取值范围，根据为整数，即可得到符合条件的的值. 【详解】 平行四边形的对角线互相平分 两条对角线一半的长度分别为 ， 平行四边形的一边与两条对角线的一半可构成三角形 根据三角形三边关系可得 即 又为整数 可取中任意一个. 故答案为 （答案不唯一） 15. 将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 【答案】 【解析】 【分析】设长方体木块的长为，根据图形中高度之间的数量关系列出方程组，利用加减消元法求解即可． 【详解】解：设长方体木块的长为， 由题意可知木块的宽为， 根据图和图可得方程：，即， ，得， 解得． 16. 如图，已知正六边形，从点A引出的三条对角线把它分成4个三角形，点F到对角线的距离是1，的外心为O，的内心为I，则________． 【答案】## 【解析】 【分析】过点F作于点G，根据正六边形的性质可得，，则可证明，，进一步可证明；求出的长，进而可求出的长，根据直角三角形的外心为斜边的中点可得，由勾股定理求出的长，根据内心的性质和等面积法推出的长，利用勾股定理求出，进而求出的长，据此可求出答案． 【详解】解：如图所示，过点F作于点G， ∵六边形是正六边形， ∴，， ∴， ∴ 同理可得， 又∵， ∴， ∴； ∵，点F到对角线的距离是1， ∴，， ∴； 在中，， ∴； ∵的外心为O， ∴点O为的中点， ∴， 在中，由勾股定理得； 如图所示，过点I作于点H， ∵的内心为I， ∴点I到的三边的距离相等，都为的长，， ∵， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式及不等式组，并将解集表示在数轴上 （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示出其解集； （2）解不等式，并在如图所示的数轴上表示其解集； （3）直接写出的所有整数解的和． 【答案】（1），数轴见详解 （2），数轴见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）通过移项、合并同类项等步骤求出不等式的解集，并表示在数轴上即可． （2）先去括号，再通过移项、合并同类项、系数化为等步骤求出不等式的解集，并表示在数轴上即可． （3）先分别求出两个不等式的解集，然后取它们的交集得到不等式组的解集，最后找出解集中的所有整数解并求和． 【小问1详解】 解： ， 得到 ， 可得． 【小问2详解】 解： ，可得， 得到 ， 可得， 得到． 【小问3详解】 解：不等式组， 由（1）可知 的解集为， 由（2）可知 的解集为， 所以不等式组的解集为， 在这个解集中的整数解为，，，，， 它们的和为 ． 18. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： （1）接力中，计算错误的学生有________； （2）请给出正确的计算过程． 【答案】（1）佳佳，昊昊 （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）根据有理数混合运算的法则进行计算即可，注意负数的乘方； （2）先算乘方，再算乘除，最后算加减即可． 【小问1详解】 解：，计算，除法没有分配律， 佳佳计算错误， 昊昊应先计算乘除，最后算加减，不能先计算， 昊昊计算错误， 计算错误的学生有：佳佳，昊昊； 【小问2详解】 ． 19. 如图，交于点，点在线段上，且，，连接． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理和三角形外角的性质，证明是解题的关键． （1）由平行线的性质得到，则可由证明，据此可证明结论； （2）由三角形外角的性质可得，由全等三角形的性质可得，，则，再由等边对等角和三角形内角和定理可求出答案． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴ ， 又∵， ∴． 20. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 m 7 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）补齐乙队成绩条形统计图； （3）①甲队成绩的中位数为_________，乙队成绩的中位数为___________； ②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 【答案】（1） （2）见解析 （3）①9分，8分②，，中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好 【解析】 【分析】（1）根据样本容量=频数÷所占百分比，结合圆心角的计算解答即可． （2）根据样本容量，求得7分的人数补图即可． （3）①根据有序数据的中间数据或中间两个数据的平均数为中位数计算即可． ②根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：本次抽样调查的样本容量是（人）， ∴（人），， 故答案为：；12． 【小问2详解】 ∵（人）， ∴补图如下： 【小问3详解】 ①∵甲队的第10个，11个数据都是9分， ∴中位数是（分）； ∵乙队的第10个，11个数据都是8分， ∴中位数是（分）； 故答案为：9分，8分． ②②（分）， （分）， 故从中位数角度看甲队成绩较好，从平均数角度看甲队成绩较好． 【点睛】本题考查了中位数，条形统计图，扇形统计图，熟练掌握中位数，平均数，扇形统计图，条形统计图的基本计算是解题的关键． 21. 如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． （1）若的半径为3，，求劣弧的长． （2）如图2，若与相切于点M．则与的位置关系是________； （3）在（2）的基础上，若，，求的半径． 【答案】（1） （2）相切 （3）3 【解析】 【分析】（1）由菱形的性质和证是等边三角形，再证出，最后由弧长公式计算即可； （2）连接，作于点N，由菱形的性质证出 ，根据切线的判定即可得答案； （3）设的半径为r，根据勾股定理得，计算即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形， ， ， 是等边三角形， ， ， 是等边三角形， ， 劣弧的长=； 【小问2详解】 解：如下图，连接，作于点N， 与相切于点M， ， 四边形是菱形， 平分， ， ， 是的半径， 又， 与相切； 【小问3详解】 解：设的半径为r，则， ， ， ， ，解得：， 的半径为3． 22. 家用冰箱冷冻食材时，食材放出的热量（焦耳）满足公式（c为比热容，m为质量，为温度降低量）．已知：鸡肉的比热容，某块鱼肉的质量为，从冷冻至，共放出热量． （1）的鸡肉从冷冻至，求放出的热量（用科学记数法表示）； （2）①求鱼肉的比热容； ②若用同样的冰箱冷冻鱼肉，放出热量，求温度降低量． （3）冷冻相同质量的鸡肉和鱼肉，鸡肉放出的热量比鱼肉多，已知两者温度降低量均为，求冷冻的鸡肉的质量． 【答案】（1） （2） ① ② （3） 【解析】 【分析】本题所有小题均利用题干给出的热量计算公式求解． （1）代入已知量直接计算放出热量； （2）①求出温度降低量，代入公式，解方程即可；②设出温度降低量为未知数，代入公式解方程即可； （3）设质量为未知数，根据热量差列一元一次方程求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，温度降低量 ， 代入公式 ， 得：  ． 【小问2详解】 解：① 由题意得，温度降低量 ， 代入公式得 ， 解得 ． ② 设温度降低量为， 代入公式得：  ， 解得． 【小问3详解】 解：设冷冻的鸡肉和鱼肉的质量为 ， 由题意得： ， 代入，， ， 得： ， 整理得， 解得 ． 答： 冷冻的鸡肉的质量为． 23. 【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点. 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕. 嘉嘉认为M是边的三等分点，嘉嘉的证明过程如下. ∵E，F分别是的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴★________， ∴. ∵， ∴■_______，即， ∴M是边的三等分点 （1）在证明过程中，“★”代表________，“■”代表________. 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇认为G即为边AB的三等分点. （2）①利用尺规作图补全图形. ②求证. 【拓展研究】三等分点的应用 （3）如图3，在菱形中，，，E是上靠近点D的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长. 【答案】（1），；（2）①见解析；②见解析；（3） 【解析】 【分析】（1）证明，得到.由得到，即，即可得到答案； （2）①利用尺规按照要求作图补全图形； ②连接，证明，则.设，，则，得到，则.在中，由勾股定理，得，解得即可得到答案； （3）连接，交于点O，连接，，与交于点N，得到，.证明，得到，设，则，则.在中，，即，解方程求出.由的，求出，即可得到答案 【详解】解：（1）∵E，F分别是的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∴. ∵， ∴，即， ∴M是边的三等分点 在证明过程中，“★”代表，“■”代表. 故答案为：； （2）①（作法不唯一）补全图形如下： ②证明：如图3，连接；由尺规作图，可知， ∴，，， ∴，. ∵， ∴， ∴. 设，，则. ∵E为的中点， ∴， ∴. 在中，由勾股定理，得， 即，解得， ∴， ∴， ∴. （3）如图4，连接，交于点O， 连接，，与交于点N， ∴，． ∵四边形为菱形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 设，则， ∴． 在中，，即， 解得（舍去），， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴. 【点睛】此题考查了菱形的性质、相似三角形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、正方形的性质等知识，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键 24. 某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的抛物线． （1）若输入，，得到如图1所示的抛物线，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）的坐标； （2）已知输入． ①若输入的，得到抛物线，将（1）中抛物线移动，使其与重合，求移动的最短距离； ②无论b值如何变化，嘉淇发现抛物线的顶点在一条确定的曲线上，求该曲线的解析式． （3）若抛物线M的顶点E在抛物线N上，抛物线N的顶点F在抛物线M上（点E，F不重合），我们把这样的两条抛物线M，N互称为“伴随抛物线”，如图2，若（1）中得到的抛物线的伴随抛物线记为，的顶点为，将和构成的封闭图形记为G（加粗部分）．若直线将G上的整点（横、纵坐标都是整数）平分，直接写出k的取值范围． 【答案】（1），，． （2）①，② （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的解析式，二次函数与一次函数的综合问题等知识．掌握“伴随抛物线”的定义是解题的关键． （1）把函数解析式化为顶点式为，于是得到点C的坐标， 令，解方程即可得到结论； （2）①根据两点间的距离公式即可得到结论； ②根据抛物线的顶点的坐标即可得到结论. （3）根据“伴随抛物线”的定义求得的解析式为．根据是过原点的直线，且将G上的整点平分，于是得到结论． 【小问1详解】 解：根据题意得：， ∴点C的坐标为， 令， 解得，，， ∴，． 【小问2详解】 解：①，顶点的坐标为：， ∴移动的最短距离为； ②∵， ∴顶点的坐标为， 令，， ∴ 即该曲线的解析式为； 【小问3详解】 解：k的取值范围为，， ∵的顶点为， ∴当时，， ∴的顶点坐标为， 设的解析式为， 将代入解析式， 解得： ∴的解析式为． ∴G上的整点个数有4个，分别为：，，， ∵是过原点的直线，且将G上的整点平分， ∴直线在，之间， 令，解：， 令，得， ∴k的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 远航学校扬帆初中2025-2026学年第二学期初三第三次模拟 数学试卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．） 1. 下列温度中，比低的温度是（ ） A. B. C. D. 2. 将一副三角尺的直角顶点重合，按图中位置摆放，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，五线谱是由等距离、等长度的五条平行横线组成的，同一条直线上的三个点A，B，C都在横线上．若线段AC＝9，则线段AB的长是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 某物体的三视图如图所示，与它对应的物体是（） A. B. C. D. 6. 若一元二次方程的两根之和与两根之积分别为m，n，则点在平面直角坐标系中关于y轴对称的点是（ ） A. B. C. D. 7. 抛掷一个质地均匀的正方体木块（6个面上分别标有，，中的一个数字），若向上一面出现数字1的概率为，出现数字2的概率为，则该木块不可能是（ ） A. B. C. D. 8. 若，则的值为（ ） A. B. C. D. 9. 将直角三角形纸片（）按如图方式折叠两次再展开，下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 10. 反比例函数的图象上有两点，，且，则下列结论正确的是（） A. B. C. 或 D. 11. 如图，将矩形沿折叠，点，分别落在，处，交于点．将沿折叠，点落在矩形内的处，． 结论Ⅰ：； 结论Ⅱ：若平分，则． 对于结论Ⅰ和Ⅱ，下列判断正确的是（ ） A. Ⅰ和Ⅱ都对 B. Ⅰ和Ⅱ都不对 C. Ⅰ对Ⅱ不对 D. Ⅰ不对Ⅱ对 12. 如图，美工组用机械臂绘图时，对平面直角坐标系中的菱形执行了两步操作：先以O为位似中心将菱形放大为原来的2倍，然后拖动菱形平移，得到菱形．已知，，，若菱形内部一点F经过上述操作后得到的对应点与它本身重合，则点F的坐标是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分） 13. 计算：________． 14. 平行四边形的两条对角线分别为6和10，其中一条边长为m，若m为整数，则m的值可以为________（写出一个即可） 15. 将两块完全相同且宽为的长方体木块先按图的方式放置，再按图的方式放置，测得的数据如图所示（单位：），则桌子的高度________． 16. 如图，已知正六边形，从点A引出的三条对角线把它分成4个三角形，点F到对角线的距离是1，的外心为O，的内心为I，则________． 三、解答题（本大题共8小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 解不等式及不等式组，并将解集表示在数轴上 （1）解不等式，并在如图所给的数轴上表示出其解集； （2）解不等式，并在如图所示的数轴上表示其解集； （3）直接写出的所有整数解的和． 18. 老师设计了接力游戏，用合作的方式完成有理数运算，规则是：每人只能看到前一人给的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一人，最后完成化简．过程如图所示： （1）接力中，计算错误的学生有________； （2）请给出正确的计算过程． 19. 如图，交于点，点在线段上，且，，连接． （1）求证：． （2）若，，求的度数． 20. 市体育局对甲、乙两运动队的某体育项目进行测试，两队人数相等，测试后统计队员的成绩分别为：7分、8分、9分、10分（满分为10分）．依据测试成绩绘制了如图所示尚不完整的统计图表： 甲队成绩统计表 成绩 7分 8分 9分 10分 人数 0 1 m 7 请根据图表信息解答下列问题： （1）填空：__________，_________； （2）补齐乙队成绩条形统计图； （3）①甲队成绩的中位数为_________，乙队成绩的中位数为___________； ②分别计算甲、乙两队成绩的平均数，并从中位数和平均数的角度分析哪个运动队的成绩较好． 21. 如图1，O为菱形对角线上一点，以点O为圆心，为半径的圆与菱形相邻两边的交点分别为点E、F． （1）若的半径为3，，求劣弧的长． （2）如图2，若与相切于点M．则与的位置关系是________； （3）在（2）的基础上，若，，求的半径． 22. 家用冰箱冷冻食材时，食材放出的热量（焦耳）满足公式（c为比热容，m为质量，为温度降低量）．已知：鸡肉的比热容，某块鱼肉的质量为，从冷冻至，共放出热量 ． （1）的鸡肉从冷冻至，求放出的热量（用科学记数法表示）； （2）①求鱼肉的比热容； ②若用同样的冰箱冷冻鱼肉，放出热量，求温度降低量． （3）冷冻相同质量的鸡肉和鱼肉，鸡肉放出的热量比鱼肉多，已知两者温度降低量均为，求冷冻的鸡肉的质量． 23. 【情境】在一次综合实践活动课上，老师给每名同学各发了一张正方形纸片，请同学们思考如何确定正方形一边上的一个三等分点. 嘉嘉通过折叠的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作1】如图1，他先将正方形纸片对折，使点A与点B重合，然后展开铺平，折痕为；再将正方形纸片对折，使点B与点D重合，再展开铺平，折痕为，沿翻折，得折痕，交于点G；过点G折叠正方形纸片，使折痕. 嘉嘉认为M是边的三等分点，嘉嘉的证明过程如下. ∵E，F分别是的中点，四边形是正方形， ∴，， ∴，， ∴★________， ∴. ∵， ∴■_______，即， ∴M是边的三等分点 （1）在证明过程中，“★”代表________，“■”代表________. 淇淇利用折叠和尺规作图相结合的方法确定正方形一边上的一个三等分点. 【操作2】如图2，她先将正方形纸片对折，使点A和点D重合，然后展开铺平，确定的中点E；再利用尺规作图在正方形内作，最后延长，交边于点G，淇淇认为G即为边AB的三等分点. （2）①利用尺规作图补全图形. ②求证. 【拓展研究】三等分点的应用 （3）如图3，在菱形中，，，E是上靠近点D的一个三等分点，记点D关于的对称点为，射线与菱形的边交于点F，请直接写出的长. 24. 某课外小组利用几何画板来研究二次函数的图象，给出二次函数解析式，通过输入不同的b，c的值，在几何画板的展示区内得到对应的抛物线． （1）若输入，，得到如图1所示的抛物线，求顶点C的坐标及抛物线与x轴的交点A，B（点A在点B的左侧）的坐标； （2）已知输入． ①若输入的，得到抛物线，将（1）中抛物线移动，使其与重合，求移动的最短距离； ②无论b值如何变化，嘉淇发现抛物线的顶点在一条确定的曲线上，求该曲线的解析式． （3）若抛物线M的顶点E在抛物线N上，抛物线N的顶点F在抛物线M上（点E，F不重合），我们把这样的两条抛物线M，N互称为“伴随抛物线”，如图2，若（1）中得到的抛物线的伴随抛物线记为，的顶点为，将和构成的封闭图形记为G（加粗部分）．若直线将G上的整点（横、纵坐标都是整数）平分，直接写出k的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $