精品解析：上海市市北中学2025-2026学年高一下学期期中考试数学试卷

市北中学2025学年度第二学期高一年级数学期中考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 若点是角终边上一点，则的值是______. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的定义即可求解. 【详解】由已知点到原点的距离， 所以. 故答案为： 2. 已知复数满足，则复数的虚部为__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法化简复数，结合复数的概念可得结果. 【详解】由题意可得， 故复数的虚部为. 3. 设，点的坐标为，则点的坐标为________. 【答案】 【解析】 【分析】向量的坐标等于点的坐标减去点的坐标． 【详解】解：设点的坐标为，则， ，，点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题考查平面向量的坐标表示，一个向量的坐标等于终点坐标减去起点的坐标，属于基础题． 4. 若扇形的面积是，圆心角为2弧度，则半径是___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形面积公式进行求解即可. 【详解】设圆心角为2弧度所对的弧的弧长为，半径为， 所以有， 故答案为： 5. 函数的零点为________． 【答案】 【解析】 【详解】因为函数的最小正周期为，且函数在上有唯一零点， 所以函数的零点为 . 6. 已知，化简的结果是________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以，即. 所以 . 7. 在上的值域为________． 【答案】 【解析】 【分析】由，可得，结合余弦函数的性质即可求解． 【详解】解：， ， 即，即， 故答案为：． 8. 中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____. 【答案】等腰三角形 【解析】 【分析】利用正弦定理边角互化，由结合三角函数和差公式和角的范围即可得，即可得到结果. 【详解】因为，所以由正弦定理可得， 又在中, 所以， 所以即， 由，故，则此三角形的形状是等腰三角形， 故答案为：等腰三角形 9. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________. 【答案】 【解析】 【分析】根据投影向量的概念求解. 【详解】由题意，在方向上投影向量的坐标为. 故答案为：. 10. 设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】已知对任意都有成立，说明是函数的最小值，是函数的最大值，而的最小值就是半个周期. 【详解】对于余弦函数，其周期公式为， 因为对任意的都有成立，所以是函数的最小值，是函数的最大值， 根据余弦函数的性质，相邻的最大值点与最小值点之间的水平距离是半个周期，所以的最小值为, 已知，则. 故答案为：. 11. 如图．在中，，，，则_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量加法的运算性质，结合平面向量数量积的运算性质和定义、锐角三角函数定义进行求解即可. 【详解】， 因为，所以，于是有 ， 而， 所以， 故答案为： 12. 已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合______． 【答案】 【解析】 【分析】由得到周期为4从而求得， 因为周期为4，列举，结合集合元素的互异性得到可能的的值，进而求得的值. 【详解】因为，所以周期，又由得，所以， 则，， ，， 而集合中只有3个元素，根据集合元素的互异性，说明以上四个值中一定有两个是相等的， 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，集合中只有2个元素，不合题意； 若即，则，得或，此时 ； 若即，则，得或，此时或； 综上的值为0或1或-1，所以. 故答案为：. 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出各个函数的定义域，再根据与的关系即可做出判断. 【详解】对于A，函数的定义域为， 且，所以是偶函数，故A错误； 对于B，函数的定义域为 且，所以是偶函数，故B错误； 对于C，函数的定义域为， 且，所以是奇函数，故C正确； 对于D，函数的定义域为， 且， ，，所以是非奇非偶函数，故D错误. 故选：C 14. （）是的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 【答案】A 【解析】 【分析】判断（）和之间的逻辑推理关系，即得答案. 【详解】当（）时,, 当时，有（）或（）， 故（）是的充分非必要条件， 故选：A 15. 已知函数()在区间上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. . D. 【答案】D 【解析】 【分析】令，解出零点的值，根据题意在区间上有且仅有3个零点，那么在第三个和第四个零点之间，注意端点处是否可取，列出不等式求解. 【详解】因为，所以，即，， 又因为在区间［0，2π］上有且仅有3个零点， 所以前三个零点为， 第四个零点为， 所以有， 解得. 16. 向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”. 其中，所有正确说法的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定“凸集”的定义，结合集合的运算及利用举反例的方法推理判断各个命题即可 【详解】依题意，若对于任意，线段上任意一点，都有，则集合是“凸集”， 对于①，，若对于任意满足，则， 由函数的图象知，对线段上任意一点，都有，即，为“凸集”，①正确； 对于②，若为“凸集”，则对于任意，此时，其中， 对于任意，，为“凸集”，②正确； 对于③，若，， 任取，， 则对于任意任意，，集合是“凸集”， 任取，， 则对于任意任意，，集合是“凸集”， 取，，但，不是“凸集”，③错误； 对于④，若都是“凸集”， 则对于任意， 任意，则，且， 则，也是“凸集”，④正确， 所以所有正确说法的个数为3. 故选：B 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若复数，求复数的模. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）运用纯虚数概念，结合乘法计算即可； （2）运用模长公式，结合除法和共轭复数知识求解. 【小问1详解】 由题意得， 是纯虚数， ， ， 【小问2详解】 . 18. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）求向量与的夹角.（结果用反三角表示） 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据向量共线与垂直的坐标表示直接计算即可； （2）根据向量数量积与模长的坐标表示可得夹角. 【小问1详解】 由已知，，，且，， 则，， 解得，， 即，； 【小问2详解】 由（1）得，， 设向量与的夹角为， 则， 所以向量与的夹角为. 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间和对称轴方程； （3）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）单调递减区间为.对称轴方程为 （3） 【解析】 【分析】（1）先由图形利用五点法求函数的解析式，再利用正弦函数的递增区间求解即可； （2）利用整体法，结合正弦函数的性质即可求解, （3）先由图象平移的性质求出，再利用正弦函数的值域结合题意可得. 【小问1详解】 由图可知：，所以，所以， ，由图易得，则， 又，则，则，， 所以，，结合，故 故 【小问2详解】 令,解得， 故单调递减区间为. 令，则， 故对称轴方程为. 【小问3详解】 先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），可得， 然后将的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 得，最后将的图象向右平移个单位后得到函数 ，当，时，. 所以. 20. 某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度度，其中． （1）若，求和的长； （2）求d关于的函数表达式； （3）若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 【答案】（1），； （2），； （3）59. 【解析】 【分析】（1）由图，结合几何性质与三角函数可得答案； （2）由图可得，后由（1）可得答案； （3）由（2）及 可得 .设改造后停车位数量最大值为，由图可得第n个车位顶点到EM的距离，后结合可得n，即可得答案. 【小问1详解】 注意到，又， 则. 则， 又，则，； 【小问2详解】 由图，， 又由（1），则， 即，； 【小问3详解】 由（2），. 则， 则， 化简得：，解得或. 因，则，故，. 设改造后停车位数量最大值为. 如图，过停车位顶点做射线垂线，垂足为. 则顶点到线段距离为：. 又由图及题意可得：，， 则. 注意到，则. ，则. 则，又. 则， 令， 即改造后最大停车位数量为159，则改造后的停车位比改造前增加59个. 【点睛】关键点睛：本题前两问需利用三角函数及几何知识，用已知量表示未知量；第三问，需将停车位数量与停车位顶点到停车场边界距离联系起来，再利用之前所得到的部分结论解决问题. 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为p．求证：向量的充要条件是． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先对进行化简，然后按照伴随向量的定义写出，最后求出. （2）先求出，再根据求出，然后根据正弦定理和求出的值，最后根据余弦定理求出的值. （3）先证必要性，利用设出，然后根据写出的伴随函数，求出其最大值即可；再证充分性，设出，写出的伴随函数，由题意可得，进而可得. 【小问1详解】 由题意得 ， . 【小问2详解】 ∵函数为向量的伴随函数， ， ，或. 即或（舍）， 又，由正弦定理得，，即，， ，即. 由余弦定理，得 ， 得，即． 【小问3详解】 证明：先证必要性．由题可知， ， 设，， ， ， . 再证充分性．由， 设，，则， ， 因为，，， 又因为， ，得到， 根据，得. 综上，向量的充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 市北中学2025学年度第二学期高一年级数学期中考试试卷 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 1. 若点是角终边上一点，则的值是______. 2. 已知复数满足，则复数的虚部为__________. 3. 设，点的坐标为，则点的坐标为________. 4. 若扇形的面积是，圆心角为2弧度，则半径是___________. 5. 函数的零点为________． 6. 已知，化简的结果是________． 7. 在上的值域为________． 8. 中，角所对的边分别为.且满足，则此三角形的形状是_____. 9. 已知，则在方向上的投影向量的坐标为___________. 10. 设函数，若对任意的都有成立，则的最小值为____________． 11. 如图．在中，，，，则_________． 12. 已知，，函数，对任意正整数n，有，且集合的元素个数为3，则满足要求的的取值集合______． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13～14题每题4分，第15～16题每题5分） 13. 下列函数中是奇函数的是（ ） A. B. C. D. 14. （）是的（ ）条件. A. 充分非必要 B. 必要非充分 C. 充要 D. 既非充分又非必要 15. 已知函数()在区间上有且仅有3个零点，则ω的取值范围是（ ） A. B. C. . D. 16. 向量集合，对于任意，以及任意，都有，则称集合是“凸集”，现有四个命题： ①集合是“凸集”； ②若为“凸集”，则集合也是“凸集”； ③若都是“凸集”，则也是“凸集”； ④若都是“凸集”，且交集非空，则也是“凸集”. 其中，所有正确说法的个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 三、解答题（本大题共有5题，满分78分） 17. 已知复数，且为纯虚数. （1）求复数； （2）若复数，求复数的模. 18. 已知向量，，，且，. （1）求与； （2）求向量与的夹角.（结果用反三角表示） 19. 已知函数的图象如图所示. （1）求函数的解析式； （2）求函数的单调递减区间和对称轴方程； （3）先将函数图象上所有点的纵坐标伸长到原来的3倍（横坐标不变），然后将得到的函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），最后将所得图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在有解，求实数的取值范围. 20. 某学校附近有条长500米，宽6米的道路（如图1所示的矩形ABCD），路的一侧划有100个长5米，宽2.5米的停车位（如矩形AEFG），由于停车位不足，放学时段道路拥堵，学校安保处李老师提出一个改造方案，在不改变停车位形状大小、不改变汽车通道宽度的条件下，可通过压缩道路旁边绿化带及改变停车位方向来增加停车位，记绿化带被压缩的宽度（米），停车位相对道路倾斜的角度度，其中． （1）若，求和的长； （2）求d关于的函数表达式； （3）若，按照李老师的方案，该路段改造后的停车位比改造前增加多少个？ 21. 定义：若非零向量，函数的解析式满足，则称为的伴随函数，为的伴随向量． （1）若向量为函数的伴随向量，求； （2）若函数为向量的伴随函数，在中，，，且，求的值； （3）已知，的“伴随函数”为，的“伴随函数”为，设，且的伴随函数为，其最大值为p．求证：向量的充要条件是． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $