精品解析：2026年河南周口市项城市正泰博文学校模拟预测数学试题

数学（六） 注意事项：1.本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的0，则数轴上x的值最有可能是（ ） A. 2 B. 1.8 C. D. 5.4 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将上、下两个面为矩形且互相平行的六面体称之为“刍童”，如图所示“刍童”的俯视图为（不考虑厚度）（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（ ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A. B. C. D. 6. 为落实全面推进乡村振兴战略，广饶某乡镇要修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，如图所示，水渠从C村沿（ ）方向修建可以保持与的方向一致． A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏东 7. 中国古代四大发明（造纸术、印刷术、指南针、火药）对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是（ ） A. B. C. D. 8. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 10. 如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数为，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为安．下列说法错误的是（ ） 参考信息：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． ③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值． A. 用m表示I为： B. 电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大 C. 当电流表显示安时，踏板上人的质量为80千克 D. 电子体重计可称的最大质量为120千克 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若单项式与单项式是同类项，则____． 12. 设方程的正根介于整数与之间，则____． 13. 摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 14. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】 已知．则m的值为_____． 15. 如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为____________． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 17. 随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习的时间频率分布表 组别 时间x（min） 频率 A B C D E 合计 根据提供的信息，回答以下问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在_____组（填组别）； （3）该校九年级共有名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 18. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，． （1）求直吊臂的长度； （2）直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 参考数据：，，，，，（结果精确到1米） 19. 如图，在中，，，O为线段上一点，以O为圆心、为半径的圆与相切于点B． （1）请用圆规和无刻度的直尺在圆O上找一点D，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （2）连接，判断是不是等边三角形，如果是，请证明，并计算的面积；如果不是，说明理由． 20. 如图，曲线过点． （1）求t的值； （2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； （3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 21. 中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清时期达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． （1）编织这两个型号的中国结恰好用绳30米，则大号、小号各编织多少个？ （2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这样的中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为10元．当大号编织多少个时总利润最大？最大总利润是多少元？ 22. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 23. 【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学（六） 注意事项：1.本试卷共8页，三大题，满分120分，考试时间100分钟． 2.本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（每小题3分，共30分） 1. 如图，将一把损坏的刻度尺贴放在数轴上（数轴的单位长度是），刻度尺上的“0”和“3”分别对应数轴上的0，则数轴上x的值最有可能是（ ） A. 2 B. 1.8 C. D. 5.4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了用数轴上的点表示有理数．根据数轴上x的值在刻度尺的和之间，得出数轴上x的值的取值范围，即可求解． 【详解】解：数轴上x的值在刻度尺的和之间， 根据题意可得，数轴上x的值的取值范围是， 观察四个选项，只有符合题意题意， 故数轴上x的值最有可能是． 故选：C． 2. 据国内产品榜统计数据，某款搜索工具在上线仅20天后，其日活跃用户数（）迅速突破两千万大关，达22150000．将数据22150000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为的形式，其中为整数，表示时关键要正确确定的值以及的值．据此求解即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 我国古代数学名著《九章算术》中，将上、下两个面为矩形且互相平行的六面体称之为“刍童”，如图所示“刍童”的俯视图为（不考虑厚度）（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用几何体三视图的定义进行逐项判断即可． 【详解】解：该“刍童”上、下底面都是矩形，且下底面比上底面更大；从上向下观察，外围可见下底面的大矩形，内部可见上底面的小矩形，所有边都可见，以及上、下底面对应顶点连接的侧棱的投影， 故选：C． 4. 下列运算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方，熟练掌握运算法则是解题关键．根据同底数幂的乘法与除法、合并同类项、幂的乘方逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项正确，符合题意； B、，则此项错误，不符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：A． 5. 观察下表可知关于，的二元一次方程组的解为（ ） 的解 的解 0 1 … 1 5 … 6 4 2 … 3 2 0 … A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是掌握解是能使得等式成立的值，观察表格得知能使得两个方程都成了，即可得出答案． 【详解】解：通过观察表格知，与有一组公共解为， 故二元一次方程组的解为， 故选：A． 6. 为落实全面推进乡村振兴战略，广饶某乡镇要修建一条灌溉水渠，水渠从A村沿北偏东方向到B村，从B村沿北偏西方向到C村，如图所示，水渠从C村沿（ ）方向修建可以保持与的方向一致． A. 北偏东 B. 北偏西 C. 北偏西 D. 北偏东 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方位角、平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题关键．如图（见解析），延长至点G，先根据平行线的性质可得，再根据平行线的性质可得，然后根据平角的定义可得，最后根据方位角的定义即可得出答案． 【详解】解：如图，延长至点G， 由题意得：， ∴，， 要使与的方向一致，则， ∴， ∴， 即水渠从C村沿北偏东方向修建，可以保持的方向一致， 故选A． 7. 中国古代四大发明（造纸术、印刷术、指南针、火药）对世界文明的发展具有深远的影响．某校历史社团开设了关于四大发明的项目化学习活动，甲、乙两名同学通过抽签的方式从这四项发明中随机抽取一项开展活动，则他们恰好抽到同一项发明的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到他们恰好抽到同一项发明的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：设分别用A、B、C、D表示造纸术、印刷术、指南针、火药，画树状图如下： 由树状图可知，共有16种等可能性的结果数，其中他们恰好抽到同一项发明的结果数有4种， ∴他们恰好抽到同一项发明的概率为， 故选：D． 8. 在水分、养料等条件一定的情况下，某植物的生长速度（厘米/天）和光照强度（勒克斯）之间存在一定关系．在低光照强度范围（）内，与近似成一次函数关系；在中高光照强度范围内，与近似成二次函数关系．其部分图象如图所示．根据图象，下列结论正确的是（ ） A. 当时，随的增大而减小 B. 当时，有最大值 C. 当时， D. 当时， 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质、二次函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 根据抛物线可直接判断A选项；根据抛物线以及相关数据可得抛物线的对称轴为，进而判定B选项；根据函数图象可判定C选项；根据二次函数的对称性可判定D选项． 【详解】解：A．当时，随的增大先增大、后减小，即A选项错误，不符合题意； B．由函数图象可知：抛物线的对称轴为，即当时，有最大值，则B选项正确，符合题意； C．由函数图象可知：当时，，即C选项错误，不符合题意； D．当时，由图象知，对应的值有两个，即D选项错误，不符合题意． 故选B． 9. 如图，在中，，将绕点顺时针旋转得到，点B，C的对应点分别为的延长线与边相交于点，连接．若，则线段的长为（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质、线段垂直平分线的判定、旋转的性质、勾股定理等知识，熟练掌握旋转的性质是解题关键．连接，交于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出垂直平分，则可得，，然后利用勾股定理和三角形的面积公式求出的长，由此即可得． 【详解】解：如图，连接，交于点， 由旋转的性质得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴，， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， 故选：D． 10. 如图是一款简易电子体重计：一个装有踏板（踏板质量忽略不计）的可变电阻，与踏板上人的质量m之间的函数为，其图象如图1所示．图2的电路中，电源电压恒为12伏，定值电阻的阻值为40欧，接通开关，人站上踏板，电流表显示的读数为I安，该读数可以换算为人的质量m，电流表量程为安．下列说法错误的是（ ） 参考信息：①导体两端的电压U，导体的电阻R，通过导体的电流I，满足关系式； ②串联电路中电流处处相等，各电阻两端的电压之和等于总电压． ③测量过程电流不能超过电流表量程的最大值． A. 用m表示I为： B. 电流表显示的读数越大，说明踏板上人的质量越大 C. 当电流表显示安时，踏板上人的质量为80千克 D. 电子体重计可称的最大质量为120千克 【答案】D 【解析】 【分析】先计算电路中的总电阻，根据计算可以判断A的正误；根据，电流越大，越小，根据图象知随m的增大而减小，可以判定B；当时，，根据得，由可计算判定，当时，，计算判定即可． 本题考查了一次函数的应用，跨学科综合，熟练掌握函数的性质，欧姆定律的意义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，电路中的总电阻，且，， 故， 根据，得， 故A正确，不符合题意； 根据，电流越大，越小，根据图象知随m的增大而减小， 故B正确，不符合题意； 当时，，根据得， 由，得， 故C正确，不符合题意； 根据题意，当时，，此时最小，m最大， 根据得，由，得 ． 故D错误，符合题意； 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 若单项式与单项式是同类项，则____． 【答案】4 【解析】 【分析】根据同类项的定义，所含字母相同，相同字母的指数相同，求出和的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：根据题意，由同类项的定义得：，， 解得：，， 因此． 12. 设方程的正根介于整数与之间，则____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的求解与无理数的估算，掌握配方法解一元二次方程和利用夹逼法估算无理数的大小是解题的关键．先通过配方法求出方程的正根为，再根据得到，进而推出，确定正根介于整数与之间，从而求出的值． 【详解】解：， 移项得：， 配方得：， 即， 直接开平方得：， 解得，， ， ， ， 则， 故答案为：． 13. 摩天轮示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离约为，摩天轮匀速旋转一圈大约用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为____m．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意求出圆的半径，根据转速求出圆心角的度数，最后利用弧长公式求解． 【详解】解：根据题意得，摩天轮的半径为， 摩天轮每分钟转动的圆心角度数为， ∴后圆心角， ∴的长度为． 14. 【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式：． 【应用体验】 已知．则m的值为_____． 【答案】24 【解析】 【分析】根据题中给出的“三乘”对应的展开式计算，对比已知等式的系数即可求出m的值． 【详解】解：∵， ∴ 即， ∴． 15. 如图，正方形ABCD中，，O是BC边的中点，点E是正方形内一动点，，连接DE，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得DF，连接AE、CF．则线段OF长的最小值为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM，证明△EDO≌△FDM，可得FM＝OE＝2，由勾股定理可求出，从而在等腰中，根据勾股定理可求出，最后根据OF+MF≥OM，即可得出OF的最小值． 【详解】如图，连接DO，将线段DO绕点D逆时针旋转90°得DM，连接OF，FM，OM， ∵∠EDF＝∠ODM＝90°， ∴∠EDO＝∠FDM， ∵DE＝DF，DO＝DM， ∴△EDO≌△FDM(SAS)， ∴FM＝OE＝2， ∵正方形ABCD中，AB＝6，O是BC边的中点， ∴OC＝3， ∴在中，， ∴在等腰中，． ∵OF+MF≥OM， ∴， ∴线段OF长的最小值为 故答案为：． 【点睛】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质、正方形的性质、勾股定理以及三角形三边关系等知识，正确作出辅助线是解题关键． 三、解答题（本大题共8个小题，满分75分） 16. 按要求完成下列各题： （1）计算：； （2）解不等式组：，并把它的解集表示在数轴上． 【答案】（1） （2）；解集表示见解析 【解析】 【分析】本题考查实数的混合运算和解不等式组，掌握相关的运算法则是解题的关键． （1）利用绝对值法则、零指数幂、立方根的定义计算即可； （2）先解每一个不等式，把解集表示在数轴上，再确定不等式组的解集． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 解①，得， 解②，得， ∴不等式组的解集为：． 不等式组的解集表示在数轴上如下： 17. 随着人工智能的快速发展，初中生使用AI大模型辅助学习快速普及，并呈现出多样化趋势．某研究性学习小组采用简单随机抽样的方法，对本校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间（用表示，单位：）进行了抽样调查，把所得的数据分组整理，并绘制成频数分布直方图： 抽取的学生一周使用大模型辅助学习的时间频率分布表 组别 时间x（min） 频率 A B C D E 合计 根据提供的信息，回答以下问题： （1）请把频数分布直方图补充完整（画图后标注相应数据）； （2）调查所得数据的中位数落在_____组（填组别）； （3）该校九年级共有名学生，根据抽样调查结果，估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【答案】（1）见解析 （2）C （3）人 【解析】 【分析】（1）由频数分布表可知，组的频率为，由频数分布直方图可知，组的频数为，可以求出抽查的总人数为人，用总人数减去其他组的人数即可得到组的人数； （2）根据中位数的定义可知，把这组数据按照从小到大的顺序排列，第、个数据的平均数是这组数据的中位数，由频数分布直方图可知第、个数据在组，所以调查所得数据的中位数在组； （3）利用频数分布表可知使用大模型辅助学习的时间不少于的学生的频率为，用样本估计总体求出该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数． 【小问1详解】 解：由频数分布表可知，组的频率为， 由频数分布直方图可知，组的频数为， 抽查的总人数为人， 组的人数为人， 补全频数分布直方图，如下图所示： 【小问2详解】 解：抽查的总人数为， 把这组数据按照从小到大的顺序排列，第、个数据的平均数是这组数据的中位数， ， 第、个数据在组， 调查所得数据的中位数落在组； 【小问3详解】 解：由频数分布表可知使用大模型辅助学习的时间不少于的学生的频率为， 估计该校九年级学生一周使用大模型辅助学习的时间不少于的学生人数为人． 18. 某型号起重机吊起一货物M在空中保持静止状态时，货物M与点O的连线恰好平行于地面，米，． （1）求直吊臂的长度； （2）直吊臂与的长度保持不变，绕点O逆时针旋转，当时，货物M上升了多少米？ 参考数据：，，，，，（结果精确到1米） 【答案】（1）10米 （2）5米 【解析】 【分析】（1）根据，即可求解； （2）设旋转后的点B，M的对应点为，延长交于点，过点B作于点E，则，则四边形为矩形，可得米，在中，根据，可求出，即可求解． 【小问1详解】 解：根据题意得：， 在中，∵米，， ∴米 ， 即直吊臂的长度为10米； 【小问2详解】 解：设旋转后的点B，M的对应点为，延长交于点F，过点B作于点E，则， 根据题意得：米 ，米， ∴， ∴四边形为矩形， ∴米， 在中，米， ∴米， ∴货物M上升了5米． 19. 如图，在中，，，O为线段上一点，以O为圆心、为半径的圆与相切于点B． （1）请用圆规和无刻度的直尺在圆O上找一点D，使得；（要求：不写作法，保留作图痕迹，使用铅笔作图） （2）连接，判断是不是等边三角形，如果是，请证明，并计算的面积；如果不是，说明理由． 【答案】（1）见解析 （2）为等边三角形，证明见解析；的面积为 【解析】 【分析】（1）如图所示，以点B为圆心，的长为半径画弧，交圆O于点D，则，点即为所求； （2）连接，设交于点H，根据切线的性质可得，从而得到，进而得到，再由圆周角定理可得，可证明为等边三角形，再利用等边三角形的性质和勾股定理计算出的面积即可． 【小问1详解】 解：如图所示，点D即为所求． 理由：如图，连接， ∵圆O与相切， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：为等边三角形，证明如下： 如图，连接，设交于点H， ∵圆O与相切， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵为等边三角形，， ∴， ∴， ∴， ∴． 20. 如图，曲线过点． （1）求t的值； （2）直线也经过点P，求l与y轴交点的坐标，并在图中画出直线l； （3）在（2）的条件下，若在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）随机取一个格点（横、纵坐标都是整数的点），求该格点在曲线G上的概率． 【答案】（1） （2）， 直线l的函数图象，如图所示； （3） 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，反比例函数的性质，一次函数的性质，画函数图象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）直接把代入进行计算，得； （2）先得出，再代入直线，求出，即可求出l与y轴交点的坐标，再由两点确定一条直线画出直线的函数图象； （3）先得出格点共有个，分别是再分析得出格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上，最后运用概率公式列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：∵曲线过点． ∴； 【小问2详解】 解：由（1）得， 故， ∵直线也经过点P， ∴把代入，得， 解得， ∴； 令，则， ∴l与y轴交点的坐标为； 图象略； 【小问3详解】 解：依题意，在l与两坐标轴围成的三角形内部（不包含边界）的格点共有个，分别是， ∵曲线， 则， ∴格点在曲线G上，即有两个格点在曲线G上， 即该格点在曲线G上的概率． 21. 中国结起源于旧石器时代的结绳记事，唐宋时期发展为装饰艺术，明清时期达到鼎盛．某种中国结有大、小两个型号，编织一个大号需用绳4米，编织一个小号需用绳3米． （1）编织这两个型号的中国结恰好用绳30米，则大号、小号各编织多少个？ （2）计划用不超过1200米的绳子编织350个这样的中国结，一个大号的利润为12元，一个小号的利润为10元．当大号编织多少个时总利润最大？最大总利润是多少元？ 【答案】（1）大号编织3个，小号编织6个，或大号编织6个，小号编织2个． （2）当大号编织150个时总利润最大，最大总利润是3800元． 【解析】 【分析】（1）根据编织大号所用绳子加上编织小号所用绳子等于30米建立二元一次方程，再求方程的正整数解； （2）根据编织大号所得利润加上编织小号所得利润等于总利润建立一次函数，再利用绳长的限制建立不等式组求出自变量的取值范围，最后根据一次函数的性质求解． 【小问1详解】 解：设编织大号个，编织小号个，根据题意，得 ， ∵、都是正整数， ∴方程的解为或， 答：大号编织3个，小号编织6个，或大号编织6个，小号编织2个． 【小问2详解】 解：设编织大号个，编织小号个，设总利润为元， 则， ∵， ∴（为整数）， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，最大，最大利润为． 答：当大号编织150个时总利润最大，最大总利润是3800元． 22. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求a的值． （2）过点与x轴平行的直线交抛物线于B，C两点，且点B为线段的中点，求t． （3）设，抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线，之间．若直线，之间的距离为9，求的最大值． 【答案】（1） （2） （3）6 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）先求出对称轴，由题意，可知，关于对称轴对称，的纵坐标均为，中点得到，对称性得到，求出，再代入函数解析式求出的值即可； （3）先求出函数的顶点坐标为，当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，令，求出的值，进而确定的值，进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线（a为常数）经过点， ∴， 解得：； 【小问2详解】 解：由（1）知：， ∴对称轴为直线， ∵点在轴上，过点与x轴平行的直线交抛物线于两点， ∴关于对称轴对称，的纵坐标均为， 又∵点B为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∴代入，得：， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的顶点坐标， 当抛物线的一段夹在两条均与x轴平行的直线之间时， 为直线与抛物线的交点，和关于对称轴对称， 又∵直线之间的距离为9，为定值， ∴当一条直线恰好经过抛物线的顶点，即：时，最大，此时另一条直线的解析式为，如图： ∴当时，解得：， 即：， ∴的最大值为． 23. 【问题背景】在学习了平行四边形后，某数学兴趣小组研究了有一个内角为的平行四边形的折叠问题．其探究过程如下： 【探究发现】如图①，在平行四边形中，，，E为边的中点，点F在边上，且，连接，将沿翻折得到，点D的对称点为点G．小组成员发现四边形是一个特殊的四边形，请判断该四边形的形状，不需要说明理由． 【探究证明】取图①中的边的中点M，点N在边上，且，连接，将沿翻折得到，点B的对称点为点H．连接，，如图②．求证：四边形是平行四边形． 【探究提升】在图②中，四边形能否成为轴对称图形．如果能，直接写出的值；如果不能，说明理由． 【答案】[探究发现]：四边形是菱形； [探究证明]：证明：如图： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形， ， 为边的中点，为边的中点， ，， 四边形是平行四边形， ，， ，， 四边形是菱形， ，， ，， 四边形是平行四边形； [探究提升]：四边形为轴对称图形时，的值为或 【解析】 【分析】本题考查四边形综合应用，涉及到平行四边形，矩形，菱形、等边三角形等知识，解题的关键是掌握菱形的判定定理，平行四边形的判定定理； [探究发现]由将△沿翻折得到△，即知，，而，故； [探究证明]同探究发现可知四边形是菱形，有，而为边的中点，为边的中点，四边形是平行四边形，即可得，，又，，故，，从而四边形是平行四边形； [探究提升]若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形，分两种情况进行讨论：当四边形是矩形时，过作于，过作于，设，则，可得，，求出，即可得；当四边形是菱形时，延长交于，设，求出，即可得． 【详解】[探究发现]：解：四边形是菱形，理由如下： 将△沿翻折得到△， ，， ， ， 四边形是菱形； [探究证明]：略 [探究提升]：解：四边形能成为轴对称图形，理由如下： 由[探究证明]知，四边形是平行四边形，若四边形为轴对称图形，则四边形是矩形或菱形， 当四边形是矩形时，过作于，过作于，如图： ， ， ， 设，则， ， 为中点， ，， 四边形是菱形， ， 四边形是矩形， ， ，， ， ， ， ， ， ； 当四边形是菱形时，延长交于，如图： 设，则， 四边形是菱形， ， ，， 四边形是平行四边形，， ，， ， △是等边三角形， ， ， ； 综上所述，四边形为轴对称图形时，的值为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $