专题10 二次根式重难点题型汇编（十二大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版）

**基本信息** 以12类题型构建二次根式知识体系，从概念到应用层层递进，强化抽象能力与推理意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|题型01-04（13题）|考查定义、求值、参数及有意义条件|从概念生成到基础应用，构建二次根式认知起点| |性质应用|题型05-07（11题）|聚焦性质化简、同类及最简二次根式|衔接概念与运算，培养符号意识与推理能力| |运算求解|题型08-09（10题）|含混合运算、化简求值|整合性质与运算技巧，提升运算能力| |综合拓展|题型10-12（17题）|涉及实际应用、分母有理化及新定义问题|联结数学与现实，发展应用意识与创新思维|

专题10 二次根式重难点题型汇编 【题型01：二次根式的概念】.................................................................................................1 【题型02求二次根式的值】...................................................................................................2 【题型03求二次根式中的参数】.............................................................................................2 【题型04：二次根式有意义的条件】.....................................................................................2 【题型05：判断二次根式的性质化简】....................................................................................3 【题型06：同类二次根式的概念】.........................................................................................3 【题型07：最简二次根式】....................................................................................................3 【题型08：二次根式的混合运算】.........................................................................................3 【题型09：二次根式的化简求值】........................................................................................4 【题型10：二次根式的应用】...............................................................................................5 【题型11：利用分母有理化化简求值】...............................................................................7 【题型12：以二次根式为背景的材料阅读题二次根式中新定义问题】..............................8 【题型01：二次根式的概念】 1．在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．给出下列式子： ； ； ； ； ，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【题型02求二次根式的值】 4．二次根式的值是 _________． 5．当时，二次根式的值为______． 6．计算：__________． 【题型03求二次根式中的参数】 7．已知是整数，则正整数n的最小值为______． 8．已知那么_________． 9．如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【题型04：二次根式有意义的条件】 10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 1-．使式子有意义的x的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 12．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 13．已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【题型05：判断二次根式的性质化简】 14．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 15．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 16．实数，在数轴上的位置如图所示，则（　　） A． B． C． D． 17．若，则（　　） A． B． C． D． 18．当，代数式的值是_____． 【题型06：同类二次根式的概念】 19．下列各式中，能与合并的是（　　） A． B．4 C． D． 20．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 21．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么_________． 【题型07：最简二次根式】 22．下列二次根式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 23．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 24．若是最简二次根式，则x可取的最小整数值是_________． 【题型08：二次根式的混合运算】 25．计算：． 26．计算： (1)． (2)． 27．计算： (1)； (2)； 28．计算： (1) (2) 【题型09：二次根式的化简求值】 29．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 30．已知，．求： (1)和的值； (2)求的值． 31．已知，，求． 【题型10：二次根式的应用】 32．如图，某重型工业厂区内有一块矩形生产作业区，生产作业区的长为，宽为，在生产作业区内规划两块大小相同的小矩形作为设备检修区（阴影部分），每块小矩形检修区的长为，宽为． (1)求该矩形生产作业区的周长； (2)除设备检修区外，作业区其他部分都要在地面涂刷工业防腐涂层，已知涂刷防腐涂层的费用为50元/，求生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用． 33．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，李老师预算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由． 34．如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图1截出的正方形木板的边长为________，正方形木板的边长为________； (2)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板上截出面积都为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 35．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题：当，，时，求这个三角形的面积； (2)利用材料2解决下面的问题：如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【题型11：利用分母有理化化简求值】 36．化简：_______． 37．综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 38．观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_________________________(为正整数)． (2)利用上面的规律，计算 (3)请利用上面的规律，比较 与 的大小． 【题型12：以二次根式为背景的材料阅读题二次根式中新定义问题】 39．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 40．【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 41．【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”． 【应用探究】 (1)如图，在中，，求证：是“奇异三角形”； (2)已知，等腰是“奇异三角形，，求底边的长．（结果保留根号） 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10 二次根式重难点题型汇编 【题型01：二次根式的概念】.................................................................................................1 【题型02求二次根式的值】...................................................................................................2 【题型03求二次根式中的参数】.............................................................................................3 【题型04：二次根式有意义的条件】.....................................................................................4 【题型05：判断二次根式的性质化简】....................................................................................5 【题型06：同类二次根式的概念】.........................................................................................7 【题型07：最简二次根式】....................................................................................................8 【题型08：二次根式的混合运算】.........................................................................................10 【题型09：二次根式的化简求值】........................................................................................12 【题型10：二次根式的应用】...............................................................................................13 【题型11：利用分母有理化化简求值】...............................................................................17 【题型12：以二次根式为背景的材料阅读体二次根式中新定义问题】................................20 【题型01：二次根式的概念】 1．在下列各式中，是二次根式的有（   ） A． B．0 C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的定义， 需根据“形如的式子是二次根式”这一概念判断各选项． 【详解】解：∵二次根式的定义为形如的式子， ∴A选项是负整数，不符合二次根式的形式； B选项是整数，不符合二次根式的形式； C选项是无理数，不符合二次根式的形式； D选项满足的形式，是二次根式． 故选：D． 2．下列各式中，一定是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如的式子叫二次根式，熟练掌握二次根式成立的条件是解答本题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析即可． 【详解】解：A．当时，不是二次根式，故不符合题意；     B．∵，∴不是二次根式，故不符合题意；     C．是二次根式，故符合题意；     D．的根指数是3，不是二次根式，故不符合题意； 故选C． 3．给出下列式子： ； ； ； ； ，其中一定是二次根式的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，需满足根指数为2且被开方数非负．逐一分析各选项即可． 【详解】①：根指数为2，被开方数，符合二次根式定义． ②：被开方数为，无意义，不是二次根式． ③：根指数为2，且恒成立，无论取何值均成立，一定是二次根式． ④：根指数为2，但被开方数需满足，即．由于的取值未限定，无法保证恒成立，故不一定是二次根式． ⑤：根指数为3，属于三次根式，不是二次根式． 故选B． 【题型02求二次根式的值】 4．二次根式的值是 _________． 【答案】 【分析】先计算被开方数，再根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：， 因此． 5．当时，二次根式的值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了二次根式的求值．将代入代数式求值即可． 【详解】解：当时， ． 故答案为：2． 6．计算：__________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式的性质，从而完成求解． 【题型03求二次根式中的参数】 7．已知是整数，则正整数n的最小值为______． 【答案】2 【分析】先根据二次根式的性质化简，将能开方的因数开出来后，根据为整数，可得化简后剩余的被开方数需为完全平方数，据此求解正整数的最小值． 【详解】解：是整数， 是整数，即是完全平方数， 正整数的最小值为． 8．已知那么_________． 【答案】81 【分析】先求出x值，再求平方即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：81． 【点睛】本题考查了二次根式的意义，掌握二次根式的意义和运算方法是正确求解的基本方法． 9．如果是一个正整数，则整数的最小值是（    ） A．-4 B．-2 C．2 D．8 【答案】A 【分析】根据是一个正整数，得出，根据为整数，得出a的最小值为，最后代入验证是一个正整数符合题意，得出答案即可． 【详解】解：∵是一个正整数， ∴， ∴， ∵为整数， ∴a的最小值为， 且时，符合题意，故A正确． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质，根据题意求出，是解题的关键． 【题型04：二次根式有意义的条件】 10．若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据被开方数即可求解． 【详解】解：若式子在实数范围内有意义，则， ∴． 11．使式子有意义的x的取值范围是（　　） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】二次根式的被开方数非负，分式分母不为，据此列不等式组求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， 由得， 由得且， ∴使式子有意义的的取值范围是且． 12．函数自变量的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，需要结合二次根式有意义的条件和分式分母不为0的条件分析计算． 【详解】解：∵ 函数中，二次根式的被开方数需非负，且分母不能为0， ∴ ， 解得 ． 13．已知，则的值为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：由题意得， 解得， ∴， ∴． 【题型05：判断二次根式的性质化简】 14．若把中根号外的因式移入根号内，则转化后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据二次根式有意义的条件判断的正负，再利用二次根式的性质将根号外的因式移入根号内化简，得到结果． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， ∴， ∴． 15．实数，在数轴上的位置如图所示，且，则化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据进行化简，由，在数轴上的位置，，先判断，的符号，然后求解即可． 【详解】解： 由图可知，， 所以， 又因为， 所以， 所以， 所以． 16．实数，在数轴上的位置如图所示，则（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据数轴可得，，据此计算算术平方根，再根据整式的加减运算法则求解即可． 【详解】解：由数轴可得， ∴， ∴ ． 17．若，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式和绝对值的性质，利用二次根式性质将原式化简为绝对值形式，再根据绝对值性质列不等式求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 解不等式得 ． 18．当，代数式的值是_____． 【答案】1 【分析】根据题意得到，再利用二次根式的性质和绝对值的性质化简，再合并同类项即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 【题型06：同类二次根式的概念】 19．下列各式中，能与合并的是（　　） A． B．4 C． D． 【答案】D 【分析】能与合并的二次根式是化简后被开方数为的同类二次根式，只需将各选项化简后，判断被开方数是否相同即可． 【详解】解：A选项：，化简后不含，不能与合并； B选项：是整数，不含，不能与合并； C选项：，化简后被开方数为，不是，不能与合并； D选项：，化简后被开方数为，与是同类二次根式，能与合并． 20．若两个最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵最简二次根式与最简二次根式是同类二次根式， ∴， 解得：． 21．如果最简二次根式与是同类二次根式，那么_________． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式，解一元一次方程，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，得出，解方程即可得解，熟练掌握同类二次根式的定义是解此题的关键． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴被开方数相等，即， 解得：， 故答案为． 【题型07：最简二次根式】 22．下列二次根式中属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】最简二次根式的定义，最简二次根式需满足两个条件，一是被开方数不含分母，二是被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A、满足最简二次根式的两个条件，因此是最简二次根式； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式； C、，被开方数含分母，不是最简二次根式； D、，被开方数含能开得尽方的因数4，不是最简二次根式． 23．下列二次根式：①；②；③；④；⑤（其中）．其中是最简二次根式的是________（填序号）． 【答案】②⑤ 【分析】本题考查最简二次根式的定义．根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式． 根据最简二次根式的定义，被开方数不含分母且不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各二次根式． 【详解】解：①的被开方数为分数，不是整数，不是最简二次根式； ②的被开方数为质数，且分母无根号，是最简二次根式； ③的被开方数含完全平方因式，不是最简二次根式； ④的被开方数含完全平方因数，不是最简二次根式； ⑤的被开方数为质数，是最简二次根式． 故答案为：②⑤． 24．若是最简二次根式，则x可取的最小整数值是_________． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得a的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得， 当时，二次根式的值为，不是最简二次根式，不符合题意； 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意； ∴若是最简二次根式，则x可取的最小整数值是， 故答案为：． 【题型08：二次根式的混合运算】 25．计算：． 【答案】 【详解】解： 26．计算： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）把原式化为，再进一步计算即可； （2）先利用二次根式的乘法运算和完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 27．计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先化简再合并同类二次根式； （2）先计算二次根式的乘除，再计算减法． 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 28．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算二次根式的乘法，计算算术平方根，再合并即可； （2）先化简二次根式，计算二次根式的乘法运算，再合并即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 【题型09：二次根式的化简求值】 29．已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)8 【分析】（1）先求得和的值，根据平方差公式计算即可； （2）根据完全平方公式将原式转化为，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ． 30．已知，．求： (1)和的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据二次根式的加法法则即可求出，根据二次根式的乘法法则即可求出； （2）先根据完全平方公式变成，再代入求出答案即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ． ∴的值为，的值为． （2）∵，， ． ∴的值为． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值，完全平方公式，平方差公式．能正确根据二次根式的运算法则进行计算是解题的关键． 31．已知，，求． 【答案】 【分析】此题是关于x、y的对称式的求值，一般情况下是先用基本对称式x+y及xy表示出来，然后代入x+y及xy的值进行计算． 【详解】解：∵，， ∴ ∴原式 【点睛】解答此类完全对称式的求值问题，关键是表示出基本对称式的值． 【题型10：二次根式的应用】 32．如图，某重型工业厂区内有一块矩形生产作业区，生产作业区的长为，宽为，在生产作业区内规划两块大小相同的小矩形作为设备检修区（阴影部分），每块小矩形检修区的长为，宽为． (1)求该矩形生产作业区的周长； (2)除设备检修区外，作业区其他部分都要在地面涂刷工业防腐涂层，已知涂刷防腐涂层的费用为50元/，求生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用． 【答案】(1)矩形生产作业区的周长为 (2)生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用为元 【分析】（1）根据矩形的周长公式计算即可； （2）先求出需要涂刷的面积，再乘以单价即可． 【详解】（1）解：． 答：矩形生产作业区的周长为； （2）解： ， 元． 答：生产作业区涂刷防腐涂层所需的总费用为元． 33．李老师家装修，矩形电视背景墙的长为，宽为，中间要镶一个长为，宽为的矩形大理石图案（图中阴影部分）． (1)电视背景墙的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除去大理石图案部分，其他部分贴壁纸，若壁纸造价为20元，大理石造价为150元，李老师预算1040元购买装修材料，李老师的预算是否够？请说明理由． 【答案】(1) (2)李老师的预算够，理由见解析 【分析】（1）直接利用二次根式的加减运算法则计算得出答案； （2）直接利用二次根式的乘法运算法则以及二次根式的加减运算法则计算得出答案． 【详解】（1）解：电视背景墙长方形的周长． 答：电视背景墙的周长为． （2）解：长方形的面积：， 大理石的面积， ∴壁纸的面积， 整个电视背景墙需要花费：（元）， ， 李老师的预算够． 34．如图，现有两块同样大小的长方形木板，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板上截出两个面积分别为和的正方形木板，． (1)图1截出的正方形木板的边长为________，正方形木板的边长为________； (2)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板上截出面积都为的两个正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1) (2)不能截出，见解析 【分析】（1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为； （2）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（1）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 35．问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题：当，，时，求这个三角形的面积； (2)利用材料2解决下面的问题：如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（）求出，把的值代入海伦公式计算即可求解； （2）连接，在中，利用勾股定理求得及，再利用秦九韶公式求得，进而可求解． 【详解】（1）解：当，，时，， ∴ ； （2）解：连接， ∵，，， ∴，， 在中，，，， ∴ ， ∴四边形的面积为． 【题型11：利用分母有理化化简求值】 36．化简：_______． 【答案】 【分析】直接进行分母有理化运算即可． 【详解】解：． 37．综合探究：像，这样，如果两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，与，与都互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：； 根据以上信息解答下列问题： (1)与 互为有理化因式； (2)比较大小： ；（填“>”“<”或“=”） (3)计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：熟练掌握二次根式的性质、二次根式的乘法法则和除法法则是解决问题的关键．也考查了分母有理化． （1）根据有理化因式的定义求解； （2）先分母有理化得到，，然后比较与的大小即可； （3）先分母有理化，再利用裂项相消法求和，最后利用平方差公式计算． 【详解】（1）解：与互为有理化因式， 故答案为：（答案不唯一） （2）解：∵，， 而， ∴， 故答案为：； （3）解： ． 38．观察下列一组等式，然后解答后面的问题 (1)观察以上规律，请写出第个等式：_________________________(为正整数)． (2)利用上面的规律，计算 (3)请利用上面的规律，比较 与 的大小． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据规律，即可写出第个等式； （2）根据规律将各项分母有理化即可求解； （3）先求倒数，再分母有理化，在比较大小即可求解． 【详解】（1）解： ， 故答案为： ； （2） （3） ) 【点睛】本题考查了分母有理化，掌握平方差公式是解题的关键． 【题型12：以二次根式为背景的材料阅读题二次根式中新定义问题】 39．定义：若两个二次根式，满足，且是有理数．则称与是关于的美好二次根式． (1)若与是关于6的美好二次根式，求的值： (2)若与是关于的美好二次根式，求和的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二次根式的新定义运算，掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 （）利用二次根式的新定义运算解答即可求解 【详解】（1）解：由题意可得，， ∴； （2）解：由题意可得，， 整理得，， ， ∴ ∴， ∴． 40．【定义新知】我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的4倍的三角形叫做常态三角形．例如：某三角形三边长分别是5，6和8，因为，所以这个三角形是常态三角形． (1)【概念理解】若三边长分别是，和4，则此三角形________常态三角形；（填“是”或“不是”） (2)【初步应用】若是常态三角形，其三边长分别为、、，且，则的值为________； (3)【拓展思考】如图，在中，，，，在上，且，若是常态三角形，求线段的长． 【答案】(1)是 (2) (3)或 【分析】此题主要考查了勾股定理以及新定义． （1）直接利用常态三角形的定义判断即可； （2）利用勾股定理以及结合常态三角形的定义得出两直角边的关系，进而得出答案； （3）分两种情况利用直角三角形的性质结合常态三角形的定义得出的长，再根据勾股定理求得的长． 【详解】（1）解：∵， ∴此三角形是常态三角形， 故答案为：是； （2）解：∵Rt△ABC是常态三角形， ∴设两直角边长为a，b，斜边长为c， ∴， ， ∴， 设，则， ∴此三角形的三边长之比为， 故答案为：； （3）解：∵是常态三角形， ∴， ， ∴， ∴ (负值已舍)， ∴， ， 在中，由勾股定理得，． 当时， ∵， ，， 在中，根据勾股定理得：， ∴的长为或． 41．【定义新知】 如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“奇异三角形”． 【应用探究】 (1)如图，在中，，求证：是“奇异三角形”； (2)已知，等腰是“奇异三角形，，求底边的长．（结果保留根号） 【答案】(1)见解析 (2)底边的长为或． 【分析】本题属于三角形综合题，主要考查了等腰三角形的性质与判定，勾股定理，二次根式的化简以及中线定义的综合应用，解决问题的关键是运用等腰三角形三线合一的性质以及勾股定理进行计算求解．解题时注意：等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合． （1）取的中点D，连接，利用勾股定理求得，即可得出是“奇异三角形”； （2）需要分两种情况：①当腰上的中线时，则，过B作于E，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，即可求得的长；②当底边上的中线时，则，且，根据等腰三角形的性质以及勾股定理，列出方程，即可求得的长． 【详解】（1）解：如图，取的中点D，连接， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴是“奇异三角形”； （2）解：分两种情况： 如图，当腰上的中线时，则，过B作于E， ∵， ∴，， ∴， ∴中，， ∴中，； 如图，当底边上的中线时，则，且， 设，则， ∴， 又∵， ∴， ∴． 综上所述，底边的长为或． 1 学科网（北京）股份有限公司 $