专题09 解分式方程及分式方程应用重难点汇编（六大题型）-2025-2026学年八年级数学下册高频考点题型归纳与满分必练（苏科版新版）

**基本信息** 聚焦分式方程解法与应用，以题型为载体，覆盖基础求解、参数分析及工程、行程等实际问题，体现从概念到应用的逻辑链条，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解分式方程|5题|强调去分母、验根等步骤训练|从基本解法到易错点突破，巩固分式方程求解核心技能| |参数问题|5题|结合增根、无解、非负解等条件求参数|通过根的情况分析参数取值，发展推理意识| |工程问题|5题|涉及效率变化、合作分工等场景|以工作总量=效率×时间为模型，建立实际问题与分式方程的联系| |行程问题|5题|包含速度关系、时间差等要素|运用路程=速度×时间构建方程，培养应用意识| |销售问题|6题|涉及进价、售价、利润等数量关系|通过经济问题情境，强化数学语言表达现实世界的能力| |其他问题|6题|涵盖浓度、租车、费用比较等场景|拓展分式方程应用范围，提升问题转化能力|

专题09 解分式方程及分式方程应用重难点汇编 【题型01 解分式方程】.................................................................1 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】.................................................2 【题型03 分式方程应用-工程问题】......................................................2 【题型04 分式方程应用-行程问题】......................................................4 【题型05 分式方程应用-销售问题】......................................................6 【题型06 分式方程应用-其他问题】......................................................8 【题型01 解分式方程】 1．计算、解方程： (1) (2) 2．解分式方程 (1)； (2)． 3．解分式方程： (1)； (2)． 4．解方程： (1)； (2)． 5．解方程 (1)； (2)． 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】 6．关于的分式方程有增根，则__________． 7．关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 8．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 9．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为______． 10．若关于的分式方程无解，则的值是______． 【题型03 分式方程应用-工程问题】 11．在争创全国卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除80吨的垃圾．开工后，附近邻居主动参加义务劳动中，使清除垃圾的速度变为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务．求青年突击队原计划平均每小时清除多少吨垃圾？ 12．用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 13．某快递分拣中心引入“小宇”人工智能机器人后，分拣效率大幅提升．已知“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件．已知“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等．求“小宇”机器人每小时能完成多少件快递分拣任务？ 14．有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合作，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ (2)已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 15．宏发健身器械厂急需生产一批健身器械共360台送往A、B两个销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因而在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务． (1)问原来每天生产健身器械多少台？ (2)已知送往A销售点每台运输费是100元，送往B销售点每台运输费是150元．根据市场情况，厂家决定送往A销售点台数不少于100台，又不多于送往B销售点数量的三分之二．问：安排送往A销售点，送往B销售点各多少台，使得运输费最低，最低运输费为多少元？ 【题型04 分式方程应用-行程问题】 16．句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度． 17．小李从家出发去相距的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． (1)求小李上班步行的速度和骑自行车的速度． (2)有一天小李骑自行车出发，出发后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？ 18．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 19．周日，小明和小刚相约去万达广场看电影，请根据他们周六电话相约的内容及其它信息，算一下小明乘坐出租车和小刚骑自行车的平均速度各是多少千米每小时？ 小明：我查看了高德地图，我家离万达广场15千米，你家离万达广场10千米，我明天上午9点乘出租车从家里出发，咱们在万达广场西停车场入口处集合． 小刚：我家离万达广场比你家离万达广场近5千米，我骑自行车过去就行，我估计你打车的速度是我骑自行车速度的3倍，这个时间段的早交通高峰已过，一般不会堵车，我上午从家骑自行车出发，估计我们能同时达到． 周日上午，他们两人同时到达相约地点． 20．高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 【题型05 分式方程应用-销售问题】 21．绵阳中华大熊猫苑面向公众运营以来，以大熊猫为主题的文创产品备受青睐．某文创店第一次用元购进一种大熊猫玩偶钥匙扣，很快售完，第二次又花元购进这款钥匙扣．已知每个钥匙扣第二次购进的成本比第一次便宜了元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款钥匙扣各多少个？ (2)第二次购进这款文创品后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气原因，游览量减少，该店决定将剩下的钥匙扣打六折销售．若要使销售完两次购进的钥匙扣后的总利润不低于元；则第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为多少元? 22．兴凯湖景区某商店准备购进甲、乙两种兴凯湖沙画摆件．其中甲、乙两种沙画摆件的进价和售价如下表： 种类 甲 乙 进价（元/个） m 售价（元/个） 150 120 (1)若用3000元购进甲种沙画摆件的数量与用2400元购进乙种沙画摆件的数量相同，求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种沙画摆件共200个的总利润（利润=售价-进价）不少于8950元，且甲种沙画摆件的数量不超过100个，问该商店共有几种进货方案? (3)在（2）的条件下，商店准备对甲种沙画摆件进行每个优惠a（）元的优惠促销活动，乙种沙画摆件价格不变．请直接写出该商店要获得最大利润的进货方案? 23．某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵元，用元购买甲商品的数量恰好与用元购买乙商品的数量相同． (1)求甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)该商店计划购进这两种商品共件，甲商品的售价为元/件，乙商品的售价为元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于元，则至少购进多少件甲商品？ 24．某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． (1)请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 25．为贯彻落实“健康第一”的指导思想，切实强化学校体育工作，推动学生积极参与体育锻炼，养成良好的运动习惯，提升体质健康水平，某校计划购买篮球和排球．已知篮球的单价比排球的贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)篮球、排球的单价分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，且排球的采购数量不超过篮球数量的2倍，那么排球最多可购买多少个？ 26．2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【题型06 分式方程应用-其他问题】 27．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 28．为传承中华优秀传统文化，厚植学生家国情怀，学校精心策划并计划租用客车，组织全体师生前往孔子故里相关研学基地，开展主题为“弘扬儒学，传承经典”的研学实践活动． 请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一： 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客720人与用B型客车载客540人的车辆数相同． 材料二： A型客车租车费用为3800元/辆；B型客车租车费用为3500元/辆． 若租用B型客车，租车费用打八折． 学校参加研学活动师生共有570人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 29．请同学们根据以下表格中的素材，探索完成相关任务． 探索实践：探索奶茶甜度 素材一 奶茶的甜度由含糖浓度决定，定义为：奶茶甜度糖的质量/奶茶总质量，已知一杯质量为a克的奶茶，含糖b克时为标准糖，则甜度为，其他常见甜度对应含糖量如下： 七分糖：含糖克；五分糖：含糖克； 三分糖：含糖克． 素材二 小明点了一杯a克七分糖奶茶，店员误做成五分糖奶茶，后又向这杯奶茶中加入了克糖． 素材三 小红有一杯500克的三分糖奶茶（标准糖为每500克含糖50克），喝掉一半后想调成五分糖． 问题解决： (1)任务一：一杯总质量为400克的奶茶含糖20克，则该奶茶的甜度为 ； (2)任务二：比较奶茶的最终甜度与七分糖甜度的大小，并说明理由； (3)任务三：小红需要向剩下的奶茶中再加入多少克糖，才能将其调制成五分糖？（结果精确到1克） 30．某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车 燃油车油箱容积：50 新能源车电池容量：50 油价：6.6元/ 电价：0.36元/ 续航里程： 续航里程： 备注： 燃油车的续航里程是指：燃油车在最大燃料储备下可连续行驶的总里程． 新能源车的续航里程是指：电动车在充满电的情况下，能够行驶的最长距离． (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为___________，新能源车每千米行驶的费用为___________．（用含的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4000元和5470元，在不考虑其他因素时，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低．（年费用年行驶费用年其他费用） 31． “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． (1)问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ (2)该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题09 解分式方程及分式方程应用重难点汇编 【题型01 解分式方程】.................................................................1 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】.................................................4 【题型03 分式方程应用-工程问题】......................................................7 【题型04 分式方程应用-行程问题】......................................................10 【题型05 分式方程应用-销售问题】......................................................14 【题型06 分式方程应用-其他问题】......................................................19 【题型01 解分式方程】 1．计算、解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： 解得， 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 2．解分式方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)分式方程无解 【分析】（1）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果； （2）根据解分式方程的步骤计算即可得出结果． 【详解】（1）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验，当时，， ∴原分式方程的解为； （2）解：去分母可得：， 去括号可得：， 移项并合并同类项可得：， 系数化为1可得：， 检验，当时，， ∴原分式方程无解． 3．解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程的解为． （2）解： 去分母得， 解得 检验：将代入 ∴原方程无解． 4．解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到的值，经检验即可得到分式方程的解． 【详解】（1）解：原方程可化为， 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． （2）解：原方程可化为． 方程两边同乘以最简公分母，得， 展开，得． 解方程，得． 检验：当时，， 所以，原方程的根是． 5．解方程 (1)； (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【详解】（1）解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 是原分式方程的解； （2）解：， 去分母得， 移项、合并同类项得， ， 检验：当时，， 是原分式方程的增根，即原分式方程无解． 【题型02 根据分式方程的根情况求参数】 6．关于的分式方程有增根，则__________． 【答案】 1 【分析】分式方程的增根是使分式方程最简公分母为的未知数的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程，即可求出的值． 【详解】解：对于分式方程， 它的最简公分母为， ∵分式方程有增根， ∴增根满足，解得， 原方程两边同乘去分母，得 ，即， 将增根代入整式方程，得 ，解得． 7．关于x的方程解为非负数，则的取值范围是___________. 【答案】且 【分析】先解分式方程得到用表示的结果，再根据解为非负数得到，结合分式方程分母不为零得到，进而求出的取值范围． 【详解】解：原方程变形为：， 方程两边同乘，得， 整理得， 移项合并同类项得， 系数化为得， ∵方程的解为非负数，且分式分母不能为， ∴， 解得且． 8．已知关于的分式方程的解为正数，则的取值范围是____． 【答案】 且 【分析】根据分式方程解的情况求参数的取值范围，先解出分式方程的解，再根据解为正数且分式有意义列出不等式求解即可. 【详解】解：， 整理得， 方程两边同乘得， ， 展开整理得， 解得， 分式方程的解为正数，且分式有意义时分母不为， 且，即且， 解得且. 9．已知关于x的方程的解是负数，则m的取值范围为______． 【答案】且 【分析】先求出方程的解，再根据分式方程的解是负数求出范围，最后通过进行求解即可． 【详解】解： 解得， ∴ 解得：， 又∵，即， ∴， ∴． ∴的取值范围是且． 10．若关于的分式方程无解，则的值是______． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式方程无解的条件，熟练掌握分式方程增根的产生原因及求解方法是解题的关键． 先将分式方程化为整式方程，再根据分式方程无解的条件（解为增根），求出的值． 【详解】解：， ， ， ， ， 当时，原方程分母为零，是增根，此时方程无解， ， ， ， 故答案为：． 【题型03 分式方程应用-工程问题】 11．在争创全国卫生城市的活动中，某市青年突击队决定义务清除80吨的垃圾．开工后，附近邻居主动参加义务劳动中，使清除垃圾的速度变为原计划的2倍，结果提前4小时完成了任务．求青年突击队原计划平均每小时清除多少吨垃圾？ 【答案】平均每小时清除10吨 【分析】先设原计划平均每小时清除吨垃圾，再分别表示出原计划用时和实际用时，根据原计划用时实际用时小时这一等量关系列出分式方程，求解并检验后得到答案． 【详解】解：设青年突击队原计划平均每小时清除吨垃圾． 由题意，得． 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意． 答：青年突击队原计划平均每小时清除10吨垃圾． 12．用方程解决问题：为了提高工作效率，公司计划整理文件1080份．由于青年员工支援，实际每天整理的文件份数比原计划每天多，结果提前6天完成任务．原计划每天整理多少份文件？ 【答案】 原计划每天整理60份文件 【分析】设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件，根据实际比原计划提前6天完成任务建立方程求解即可． 【详解】解：设原计划每天整理份文件，则实际每天整理份文件， 由题意得， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：原计划每天整理60份文件． 13．某快递分拣中心引入“小宇”人工智能机器人后，分拣效率大幅提升．已知“小宇”机器人单独分拣一小时的快递件数比人工分拣团队工作一小时的快递件数多3000件．已知“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等．求“小宇”机器人每小时能完成多少件快递分拣任务？ 【答案】4000件 【分析】设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则“小宇”机器人每小时能完成件快递分拣任务，根据“小宇”机器人完成的快递分拣任务4800件所需的时间和人工分拣团队完成的快递分拣任务1200件所需的时间相等列分式方程求解即可． 【详解】解：设人工分拣团队每小时能完成x件快递分拣任务，则“小宇”机器人每小时能完成件快递分拣任务， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 所以． 答：“小宇”机器人每小时能完成4000件快递分拣任务． 14．有一市政建设工程，若甲、乙两工程队合作，需要12个月完成；若甲队先做5个月，剩余部分再由甲、乙两队合作，还需要9个月才能完成． (1)甲、乙两工程队单独完成此项工程各需要多少个月？ (2)已知甲队每月施工费用5万元，乙队每月施工费用3万元．要使该工程施工总费用不超过95万元，则甲工程队至多施工多少个月？ 【答案】(1)甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月 (2)甲工程队至多施工10个月 【分析】（1）根据题意列出分式方程组求解； （2）根据题意列出不等式求解． 【详解】（1）解：设甲工程队单独完成此项工程需要个月，乙工程队单独完成此项工程需要个月，根据题意得， ， 解得 经检验，当是方程组的解，并符合题意， 答：甲工程队单独完成此项工程需要20个月，乙工程队单独完成此项工程需要30个月； （2）解：甲工程队施工个月，乙工程队施工个月，根据题意得， ， ∴， ∴， 解得， ∴甲工程队至多施工10个月． 15．宏发健身器械厂急需生产一批健身器械共360台送往A、B两个销售点出售．当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因而在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务． (1)问原来每天生产健身器械多少台？ (2)已知送往A销售点每台运输费是100元，送往B销售点每台运输费是150元．根据市场情况，厂家决定送往A销售点台数不少于100台，又不多于送往B销售点数量的三分之二．问：安排送往A销售点，送往B销售点各多少台，使得运输费最低，最低运输费为多少元？ 【答案】(1)原来每天生产健身器械台 (2)安排送往A销售点台，送往B销售点台，运输费最低，最低运输费为元 【分析】（1）设原来每天生产健身器械台，根据“当生产150台后，接到通知，要求提前完成，因而在接下来的时间里每天生产的台数提高到了原来的倍，已知一共用了6天刚好完成了360台的生产任务”列分式方程求解即可； （2）设送往A销售点台，根据“厂家决定送往A销售点台数不少于100台，又不多于送往B销售点数量的三分之二”求出，设运输费一共为元，则有，根据一次函数的性质作答即可． 【详解】（1）解：设原来每天生产健身器械台，依题意得： ， 解得， 经检验是方程的解， 答：原来每天生产健身器械台； （2）解：设送往A销售点台， ∵厂家决定送往A销售点台数不少于100台，又不多于送往B销售点数量的三分之二， ∴， 解得， 设运输费一共为元，则有， ∵，随着的增大而减小， ∴当时，有最小值，此时， ， 所以安排送往A销售点台，送往B销售点台，运输费最低，最低运输费为元． 【题型04 分式方程应用-行程问题】 16．句容茅山，又名句曲山、地肺山，位于句容市东南，是神圣的革命圣地、全国红色旅游经典景区，素有“道教第一福地，第八洞天”称号，景区风光秀丽．从景区入口到大茅峰山顶的九霄万福宫（顶宫）主要有两条路线，一条是沿上山公路（汽车道）大约6千米行程的路线，一条是从景区入口步行一段距离沿石级（非常道）而上的大约3千米的爬山路线（如图所示）．小明和小红相约实地验证两人沿不同路线到达时间的差距，小明选择了6千米的路线，小红选择了3千米的路线，两人同时从入口出发，已知小明的速度是小红速度的1.2倍，结果小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫）．求小红爬山的速度． 【答案】小红爬山的速度为3千米/小时 【分析】小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时，由题意他们选择的路线，小红比小明早40分钟到达九霄万福宫（顶宫），列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设小红爬山的速度为x千米/小时，则小明爬山的速度为1.2x千米/小时． 根据题意得 解得： 经检验是分式方程的解． 答：小红爬山的速度为3千米/小时． 17．小李从家出发去相距的B地上班，他每天出发的时间都相同．第一天步行去上班，结果迟到了5分钟；第二天骑自行车去上班，结果早到了10分钟．已知他骑自行车的速度是步行速度的1.5倍． (1)求小李上班步行的速度和骑自行车的速度． (2)有一天小李骑自行车出发，出发后自行车发生故障．小李立即跑步去上班（耽误时间忽略不计），为了上班不迟到，他跑步的速度至少为多少？ 【答案】(1)小李上班步行的速度为，骑自行车的速度为 (2)小李跑步的速度至少为 【分析】（1）设小李上班步行的速度为，则骑自行车的速度为，根据题意列出分式方程，解方程即可得出结果； （2）先求出小李骑自行车出发所用的时间，从而得出从出发到上班所用的时间，设小李跑步的速度为，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设小李上班步行的速度为，则骑自行车的速度为． 由题意，得， 解得． 经检验，是原分式方程的解， 则． 答：小李上班步行的速度为，骑自行车的速度为． （2）解：小李骑自行车出发所用的时间为． 因为小李每天出发的时间都相同， 所以从出发到上班所用的时间为． 设小李跑步的速度为． 由题意，得， 解得． 答：小李跑步的速度至少为． 18．随着无人机技术的不断进步，某地开通了无人机急救药品配送通道，无人机从物流基地出发，匀速飞往某医院，飞行距离为16千米．若采用传统车辆匀速配送，公路距离为30千米，速度是无人机的1.5倍，但所用时间要比无人机配送多0.1小时． (1)求无人机和传统车辆的配送速度分别是多少千米/时； (2)若无人机从物流基地出发前往该医院配送急救药品，0.2小时后接到医院通知，急救药品需要在10分钟以内（含10分钟）送达，则无人机的速度至少要提高到多少千米/时，才能完成此次配送任务． 【答案】(1)无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时 (2)无人机的速度至少提高到48千米/时 【分析】（1）设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时，根据传统车辆匀速配送所用时间要比无人机配送多0.1小时，列分式方程即可求解； （2）根据题意列不等式即可解答． 【详解】（1）解：设无人机的速度为千米/时，则传统车辆的速度为千米/时， 由题意得，， 解得， 经检验，是原分式方程的根， ， 答：无人机的配送速度为40千米/时，传统车辆的配送速度为60千米/时． （2）解：设无人机的速度提高到千米/时，则 ， 解得， 答：无人机的速度至少提高到48千米/时． 19．周日，小明和小刚相约去万达广场看电影，请根据他们周六电话相约的内容及其它信息，算一下小明乘坐出租车和小刚骑自行车的平均速度各是多少千米每小时？ 小明：我查看了高德地图，我家离万达广场15千米，你家离万达广场10千米，我明天上午9点乘出租车从家里出发，咱们在万达广场西停车场入口处集合． 小刚：我家离万达广场比你家离万达广场近5千米，我骑自行车过去就行，我估计你打车的速度是我骑自行车速度的3倍，这个时间段的早交通高峰已过，一般不会堵车，我上午从家骑自行车出发，估计我们能同时达到． 周日上午，他们两人同时到达相约地点． 【答案】小刚骑自行车的速度为15千米/小时，小明乘出租车的速度为45千米/小时． 【分析】本题考查分式方程的应用，根据已知条件列出方程是解题的关键． 设小刚骑自行车的速度为x千米/小时，则小明乘出租车的速度为3x千米/小时，根据题意列出方程，解方程即可． 【详解】解：设小刚骑自行车的速度为x千米/小时，则小明乘出租车的速度为3x千米/小时， 根据题意得：， 解得， 经检验是原方程的解， 则， 答：小刚骑自行车的速度为15千米/小时，小明乘出租车的速度为45千米/小时． 20．高铁作为中国现代化交通体系的骄傲，已经成为人们出行的重要方式之一．某地去北京南站原来只有动车，动车路程为．高铁开通后，路程缩短了，且高铁的平均速度是动车的平均速度的，时间缩短了．求高铁的平均速度． 【答案】高铁的平均速度为 【分析】本题考查了分式方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． 设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为，根据题意列出方程，求出的值即可解答． 【详解】解：设动车的平均速度为，则高铁的平均速度为， 根据题意，得， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 则， 答：高铁的平均速度为． 【题型05 分式方程应用-销售问题】 21．绵阳中华大熊猫苑面向公众运营以来，以大熊猫为主题的文创产品备受青睐．某文创店第一次用元购进一种大熊猫玩偶钥匙扣，很快售完，第二次又花元购进这款钥匙扣．已知每个钥匙扣第二次购进的成本比第一次便宜了元，且第二次购进的数量是第一次的倍． (1)求该店两次购进这款钥匙扣各多少个？ (2)第二次购进这款文创品后仍按第一次的售价销售，在销售了第二次购进数量的后，由于天气原因，游览量减少，该店决定将剩下的钥匙扣打六折销售．若要使销售完两次购进的钥匙扣后的总利润不低于元；则第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为多少元? 【答案】(1) 第一次购进个，第二次购进个 (2) 第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为元 【分析】（1）根据两次进价的差价关系列分式方程求解； （2）根据总利润不低于要求元列一元一次不等式求解最低售价． 【详解】（1） 解：设第一次购进这款钥匙扣个，则第二次购进这款钥匙扣个， 根据题意得， 去分母得， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ； 答：该店第一次购进这款钥匙扣个，第二次购进这款钥匙扣个； （2） 解：设第一次销售时每个钥匙扣的售价为元， 第二次按原价销售的数量为（个），打折销售的数量为（个）， 根据题意得：， 化简得 ， 解得． 答：第一次销售时每个钥匙扣的售价至少为元． 22．兴凯湖景区某商店准备购进甲、乙两种兴凯湖沙画摆件．其中甲、乙两种沙画摆件的进价和售价如下表： 种类 甲 乙 进价（元/个） m 售价（元/个） 150 120 (1)若用3000元购进甲种沙画摆件的数量与用2400元购进乙种沙画摆件的数量相同，求m的值； (2)要使购进的甲、乙两种沙画摆件共200个的总利润（利润=售价-进价）不少于8950元，且甲种沙画摆件的数量不超过100个，问该商店共有几种进货方案? (3)在（2）的条件下，商店准备对甲种沙画摆件进行每个优惠a（）元的优惠促销活动，乙种沙画摆件价格不变．请直接写出该商店要获得最大利润的进货方案? 【答案】(1) (2)一共有6种方案 (3)购进甲种沙画摆件95个，购进乙种沙画摆件105个 【分析】（1）根据，结合已知条件，列出关于m的方程，解方程并检验，即可求得m的值； （2）设购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个，先根据（1）的结果，求出甲种沙画摆件和乙种沙画摆件的进价，再根据题意列出关于总利润的不等式，解不等式，得出x的取值范围，再考虑到实际问题，得出x为整数，即可求出该商店一共有6种进货方案； （3）设总利润为w，购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个，先列出w的表达式，并进行化简，得到，根据，得出，即w随x的增大而减少，结合（2）问答案，求得该商店要获得最大利润的进货方案． 【详解】（1）解：由题意可得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：m的值为100． （2）解：设购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个， 由（1）的结果可知，甲种沙画摆件的进价为100元/个， 乙种沙画摆件的进价为（元/个）， 由题意可得，， 化简得， 解得，， ∵， ∴， ∵x为整数， ∴或96或97或98或99或100， 即该商店一共有6种进货方案； 答：该商店一共有6种进货方案． （3）解：设总利润为w，购进甲种沙画摆件x个，则购进乙种沙画摆件个， 则 ∴， ∵， ∴， ∴w随x的增大而减少， ∵，x为整数， ∴当时，w有最大值， 此时（个） 即购进甲种沙画摆件95个，购进乙种沙画摆件105个时，该商店获得最大利润． 答：该商店要获得最大利润的进货方案为：购进甲种沙画摆件95个，购进乙种沙画摆件105个． 23．某商店购进甲、乙两种商品，已知甲商品的单价比乙商品的单价贵元，用元购买甲商品的数量恰好与用元购买乙商品的数量相同． (1)求甲、乙两种商品的单价各是多少元？ (2)该商店计划购进这两种商品共件，甲商品的售价为元/件，乙商品的售价为元/件，若全部商品销售完毕，总利润不低于元，则至少购进多少件甲商品？ 【答案】(1)甲商品的单价为元，乙商品的单价为元 (2)至少购进8件甲商品 【分析】（1）甲商品的单价乙商品的单价，甲商品的单价乙商品的单价； （2）购进甲商品数量购进乙商品数量，销售甲商品利润销售乙商品利润． 【详解】（1）解：设甲商品的单价为x元，则乙商品的单价为元． 依题意得，解得， 检验，当时，，故是原方程的解，且符合题意， 乙商品的单价：（元）． 答：甲商品的单价为150元，乙商品的单价为125元； （2）解：设购进m件甲商品，则购进件乙商品． 依题意得， 解得， m的最小值为8． 答：至少购进8件甲商品． 24．某校在即将到来的马年新春活动中向商家订购了一批文创产品，其中包括“仙境骏马手账本”和“海市萌马钥匙扣”．若购买3本手账本和4个钥匙扣需花费38元，购买4本手账本和3个钥匙扣需花费46元． (1)请问每本手账本和每个钥匙扣的售价分别为多少元？ (2)由于订购数量颇多，商家决定给予优惠，其中每本手账本降低价格是每个钥匙扣降低价格的5倍．经观测，学校花5400元购进手账本的数量比花1440元购进钥匙扣的数量少200个，请问每个钥匙扣降低的价格是多少元 【答案】(1)每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元 (2)0.2元 【分析】（1）设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，根据题意列出分式方程求解． 【详解】（1）解：设每本手账本的售价为x元，每个钥匙扣的售价为y元， 根据题意得 解得， 答：每本手账本售价为10元，每个钥匙扣售价为2元； （2）解：设每个钥匙扣降低的价格是a元，则每本手账本降低的价格是元，优惠后每本手账本的单价为元，每个钥匙扣的单价为元， 根据题意得 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：每个钥匙扣降低的价格是0.2元． 25．为贯彻落实“健康第一”的指导思想，切实强化学校体育工作，推动学生积极参与体育锻炼，养成良好的运动习惯，提升体质健康水平，某校计划购买篮球和排球．已知篮球的单价比排球的贵50元，用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同． (1)篮球、排球的单价分别是多少元？ (2)该校计划购买篮球和排球共30个，且排球的采购数量不超过篮球数量的2倍，那么排球最多可购买多少个？ 【答案】(1)篮球的单价为150元，排球的单价为100元 (2)20个 【分析】（1）设篮球的单价为x元，则排球的单价为元，根据“用600元购买篮球的个数与用400元购买排球的个数相同”列出关于的分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购买排球的个数为m个，则购买篮球的个数为，根据“排球的采购数量不超过篮球数量的2倍”列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】（1）解：设篮球的单价为x元，则排球的单价为元， 由题意得：， 解得：， 经检验：是原方程的解，且符合题意． ； 答：篮球的单价为150元，排球的单价为100元． （2）解：设购买排球的个数为m个，则购买篮球的个数为， 由题意得：， 解得：， 答：排球最多买20个． 26．2026年春晚，我国智能机器人第三次登上央视舞台，呈现连续空翻等多种武术技巧，成为社交媒体热议焦点．某公司计划购买甲、乙两种机器人，已知甲种机器人单价是乙种机器人单价的，用500万元购买甲种机器人的数量比用万元购买乙种机器人的数量多个． (1)求甲、乙两种机器人的单价分别是多少； (2)现公司计划购买甲、乙两种机器人共个，要求购买的总费用不超过万元，且甲种机器人的数量不超过乙种机器人数量的倍，那么该如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少？ 【答案】(1)甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元 (2)购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元 【分析】（1）设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元，根据题意，列出分式方程，求解即可得出结果； （2）设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个，根据题意得出不等式组，求解得出的取值范围，由费用最少，得出对应结果． 【详解】（1）解：假设乙种机器人单价为万元，则甲种机器人单价为万元， 根据题意，得出方程， 解得， 经检验，是方程的解，则， 故甲种机器人单价为万元，乙种机器人单价为万元． （2）解：设购买甲种机器人个，则购买乙种机器人个， 根据题意，列出不等式组， 解得， 由于m取正整数，则m取10，11，12，13， ∵总费用表达式为， 若想费用最小，则甲种机器人数量应越多越好， 故应购买甲种机器人个，乙种机器人个， 此时费用为（万元）， 答：购买甲种机器人个，乙种机器人个时总费用最少，最少费用为万元． 【题型06 分式方程应用-其他问题】 27．2026年，某办公设备公司积极响应国家绿色办公号召，推广高效节能的打印机产品．上半年，该公司A，B两款打印机的墨盒销量表现突出．已知用400毫升墨水量可灌满甲型墨盒的次数与用500毫升墨水量可灌满乙型墨盒的次数相同（墨水量恰好够灌满整数次），且甲型墨盒每次灌满比乙型墨盒每次灌满少用10毫升墨水． (1)求一个甲型墨盒和一个乙型墨盒每次灌满各需多少毫升墨水； (2)已知某办公设备专卖店共有A、B型打印机30台，其中A型打印机的数量至少是B型数量的，打印机的进价与售价如下表所示，若所有打印机全部售出，求该专卖店的最大利润为多少元？ A B 进价（元） 1200 2000 售价（元） 1400 2300 【答案】(1)甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升 (2)该专卖店的最大利润为7800元 【分析】（1）根据题意列出分式方程即可求解； （2）设A型打印机有m台，B型打印机有台，可得，由题意列出利润关于m的一次函数表达式即可求解． 【详解】（1）解：设甲型墨盒每次灌满需x毫升墨水，则乙型墨盒每次灌满需毫升墨水， 由题意可得， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴， ∴甲型墨盒每次灌满需40毫升，乙型墨盒每次灌满需50毫升． （2）解：设A型打印机有m台，B型打印机有台， 由题意得，， 解得， 设利润为， 由题意得， ∵， ∴随m增大而减小， 当时，取最大值为元， 答：该专卖店的最大利润为7800元． 28．为传承中华优秀传统文化，厚植学生家国情怀，学校精心策划并计划租用客车，组织全体师生前往孔子故里相关研学基地，开展主题为“弘扬儒学，传承经典”的研学实践活动． 请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一： 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客720人与用B型客车载客540人的车辆数相同． 材料二： A型客车租车费用为3800元/辆；B型客车租车费用为3500元/辆． 若租用B型客车，租车费用打八折． 学校参加研学活动师生共有570人，租用A，B两种型号客车共10辆． (1)A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ (2)本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】(1)A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 (2)36000元 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为x人，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设租A型客车m辆，B型客车辆，租车总费用w，根据载客量和总人数列出不等式确定m的取值范围，再计算出w，利用一次函数的性质即可求解． 【详解】（1）解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人， 由题意得，， 解得，， 经检验：是方程的根， ∴． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． （2）解：设租A型客车m辆，B型客车辆，租车总费用w， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，， ∴本次研学活动学校最少租车费用为36000元． 29．请同学们根据以下表格中的素材，探索完成相关任务． 探索实践：探索奶茶甜度 素材一 奶茶的甜度由含糖浓度决定，定义为：奶茶甜度糖的质量/奶茶总质量，已知一杯质量为a克的奶茶，含糖b克时为标准糖，则甜度为，其他常见甜度对应含糖量如下： 七分糖：含糖克；五分糖：含糖克； 三分糖：含糖克． 素材二 小明点了一杯a克七分糖奶茶，店员误做成五分糖奶茶，后又向这杯奶茶中加入了克糖． 素材三 小红有一杯500克的三分糖奶茶（标准糖为每500克含糖50克），喝掉一半后想调成五分糖． 问题解决： (1)任务一：一杯总质量为400克的奶茶含糖20克，则该奶茶的甜度为 ； (2)任务二：比较奶茶的最终甜度与七分糖甜度的大小，并说明理由； (3)任务三：小红需要向剩下的奶茶中再加入多少克糖，才能将其调制成五分糖？（结果精确到1克） 【答案】(1)5% (2)奶茶最终甜度比七分糖甜度小，理由见解析 (3)加入5克的糖 【分析】（1）根据素材一的公式计算即可； （2）先计算加糖后奶茶甜度，然后利用作差法比较七分糖奶茶的甜度和加糖后的奶茶甜度的大小，即可解答； （3）设需要向剩下的奶茶中加入x克糖，才能将其调制成五分糖，则奶茶质量克，含糖量克，根据五分糖的甜度列方程解答即可． 【详解】（1）解：； （2）解：七分糖奶茶甜度：， 奶茶最终甜度为：， ∵，且， ，， ， ， 即， 故奶茶最终甜度比七分糖甜度小； （3）解：设需要向剩下的奶茶中加入x克糖，才能将其调制成五分糖， 原来奶茶质量500克，含糖量克， 喝掉一半后奶茶质量250克，含糖量克， 加入x克糖后，奶茶质量克，含糖量克， 得， 解得， 经检验，是方程的解，且符合实际， 克， 答：需要再向剩下的奶茶中加入5克的糖，才能将其调制成五分糖． 30．某人近期准备换车，看中了价格相同的两款国产车 燃油车油箱容积：50 新能源车电池容量：50 油价：6.6元/ 电价：0.36元/ 续航里程： 续航里程： 备注： 燃油车的续航里程是指：燃油车在最大燃料储备下可连续行驶的总里程． 新能源车的续航里程是指：电动车在充满电的情况下，能够行驶的最长距离． (1)根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为___________，新能源车每千米行驶的费用为___________．（用含的代数式表示） (2)若燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，请分别求出这两款车的每千米行驶费用． (3)在（2）的条件下，若燃油车和新能源车每年的其他费用分别为4000元和5470元，在不考虑其他因素时，每年行驶里程超过多少千米时，买新能源车的年费用更低．（年费用年行驶费用年其他费用） 【答案】(1)元；元 (2)燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元 (3)超过3000 【分析】本题考查代数式表示，分式方程的应用、一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的分式方程和不等式． （1）根据最大燃料储备时所用总费用除以其续航里程，以及充满电时所用总费用除以其续航里程，列式表示即可； （2）根据燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元，建立方程求解，进而算出这两款车的每千米行驶费用，即可解题； （3）设不考虑其他因素时，每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低，结合“年费用年行驶费用年其他费用”建立不等式求解，即可解题． 【详解】（1）解：根据表格中的数据，燃油车每千米行驶的费用为：（元）， 新能源车每千米行驶的费用为：（元）， 故答案为：元，元； （2）解：燃油车的每千米行驶费用比新能源车多0.49元， ， 解得， 经检验，使得， 是该方程的解， 燃油车每千米行驶的费用为：（元）， 新能源车每千米行驶的费用为：（元）， 答：燃油车的每千米行驶费用为0.55元，新能源车的每千米行驶费用为0.06元； （3）解：设不考虑其他因素时，每年行驶里程超过千米时，买新能源车的年费用更低， ， 解得， 答：每年行驶里程超过3000千米时，买新能源车的年费用更低． 31． “你好！我是豆包，很高兴见到你！我能为你提供多种服务，比如解答各类知识疑问、陪你聊天解闷、协助进行内容创作等”．人工智能从横空出世到与我们日常相伴，成为我们解决问题的“好参谋、好助手”．某设计工作室自使用豆包后，每名设计员每天比原来多设计件作品，且每名设计员使用豆包设计件作品所用时间与原来设计件作品所用时间相等． (1)问该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计多少件作品？ (2)该工作室共有设计员人，由于工作需要，该设计工作室只有一部分成员使用豆包设计作品，要使每天设计作品总数不少于件，则该工作室至少有多少人使用豆包设计作品？ 【答案】(1)该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品 (2)该工作室至少有人使用豆包设计作品 【分析】本题主要考查分式方程的实际应用和一元一次不等式的实际应用．根据题目问题设恰当的未知数，并根据已知条件列出方程和不等式是解题的关键． （1）通过“工作时间＝工作总量÷工作效率”，结合“使用豆包设计件的时间＝原来设计件的时间”这一等量关系，设未知数列分式方程求解． （2）根据“使用豆包的人数×使用后的效率＋未使用的人数×原来的效率”这一不等关系，列一元一次不等式求解最小值． 【详解】（1）解：设该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， 根据题意得：， 解得：， 经检验：当时，， ∴原分式方程的解为； ∴该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品； （2）解：∵该工作室使用豆包后每名设计员每天能设计件作品， ∴该工作室使用豆包前每名设计员每天能设计件作品， ∴设该工作室有人使用豆包设计作品， 根据题意得：， 解得：． ∴该工作室至少有人使用豆包设计作品． 1 学科网（北京）股份有限公司 $