专题02 实数（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材湘教版

专题02 实数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 双重非负性的应用 题型02 实数的分类与概念辨析 题型03 实数混合运算 题型04 实数与数轴 题型05 实数的规律探究与简单应用 题型06 新定义下的实数运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平方根 1. 能准确区分“平方根”与“算术平方根”。 2. 能根据定义求一个非负数的平方根和算术平方根。 3. 掌握算术平方根“”的双重非负性（a≥0，≥0）。 命题点： 常考“已知一个数的平方根求这个数”或“利用非负性求字母值”。陷阱： 题目给的是“平方根是 ”，学生容易误以为这个数是 。 立方根 1. 理解立方根的唯一性（任何实数都有且只有一个立方根）。 2. 能熟练求任意实数的立方根，掌握 = -的性质。 命题点： 负数的立方根计算、解含立方根的方程（如 ）。趋势： 常与平方根结合出现在混合运算中。 无理数 1. 能依据定义（无限不循环小数）准确识别无理数。 2. 掌握常见无理数的形式（如π、开方开不尽的数、有规律但不循环的小数）。 命题点： 判断一组数中哪些是无理数、实数分类。易错： 、 这类数的辨别。 实数的性质 1. 理解实数与数轴上的点一一对应关系。 2. 掌握实数的相反数、绝对值的意义，与有理数性质一致。 命题点： 数轴上点的平移、折叠问题（对称性）。难点： 结合几何图形（如弦图）估算无理数的大小。 实数的混合运算 1. 掌握运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 2. 能熟练进行含绝对值、算术平方根、立方根的混合运算。 必考点： 解答题第一题通常是纯计算题（含 、 、$ 实数的大小比较 1. 能利用数轴、绝对值或平方的方法比较两个实数的大小。 2. 掌握估算无理数大致范围的方法（找相邻的完全平方数）。 命题点： 比较 与 的大小、确定无理数的整数部分。方法： “夹逼法”找相邻的完全平方数。 实数与数轴 1. 能在数轴上表示无理数（如）的近似位置。 2. 能根据数轴上点的位置，写出其对应的实数或进行相关计算。 压轴点： 动点问题、数轴折叠问题（求对称点表示的数）。结合： 常与勾股定理结合构造 等长度。 知识点01 平方根与算术平方根 定义：若 x² = a (a ≥ 0)，则 x 叫做 a 的平方根。正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作 ；0的算术平方根是0。 核心要点： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 具有双重非负性：a ≥ 0 且 ≥ 0。 = |a|。 易错点：混淆平方根与算术平方根；忽略算术平方根的非负性；计算 时漏掉绝对值。 知识点02 立方根 定义：若 x³ = a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 。 核心要点： 任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 = 。 易错点：混淆立方根与平方根的性质；求负数的立方根时符号出错。 知识点03 实数 定义与分类：有理数和无理数统称为实数。无理数是无限不循环小数（如π，等）。 核心要点： 实数与数轴上的点一一对应。 实数的相反数、绝对值意义与有理数相同。 可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，且有理数的运算律在实数范围内依然适用。开方运算与乘方运算是同级运算。 易错点：对无理数概念理解不清（误认为带根号的数就是无理数）；实数运算时，忽略运算顺序，特别是开方与乘除的先后。 题型一 双重非负性的应用 解｜题｜技｜巧 特征： 题目给出 或类似形式。 解法： 搬出结论——几个非负数的和为0，则每一个都为0。即 且 。 【典例1】若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【答案】A 【分析】几个非负数的和为0，则这些非负数都是0，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴，， ． 【变式1】已知，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题利用绝对值和算术平方根的非负性解题，两个非负数的和为0，则每个非负数都为0，据此列方程组求出的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：∵任意实数的绝对值和算术平方根都是非负数， ∴， 又∵ ∴ 将两个方程相加，得，解得 把代入，得，解得 把代入，得 因此的值为． 【变式2】若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】D 【分析】根据非负数的性质列式求出a、b、c的值，然后代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴． 【变式3】若m、n满足，则的值是______． 【答案】4 【分析】根据平方数与算术平方根的非负性求出、的值，再计算的值即可． 【详解】解：∵，且， 又， ∴， 解得：， ∴． 题型二 实数的分类与概念辨析 易｜错｜点｜拨 是有理数。 负数没有平方根，但有立方根。 无限不循环小数才是无理数（循环的是分数）。 【典例1】在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【答案】B 【分析】根据无理数定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给定实数，统计无理数个数得到结果，常见无理数包括含π的数、开方开不尽的数、无限不循环小数三类． 【详解】∵是分数，0是整数，3.14是有限小数，是整数，以上都属于有理数； 又∵中π是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开平方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数， ∵开立方开不尽， ∴是无理数， ∵0.202002000…是无限不循环小数， ∴是无理数， 是分数、0是整数、3.14是有限小数、是整数，这些都是有理数， ∴无理数共有4个． 【变式1】阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【答案】(1)无理数 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）根据无理数的意义进行判断； （2）仿照阅读材料中的证明过程进行解答即可； （3）根据相反数的意义得，再根据立方根的意义求解即可． 【详解】（1）解：是无理数； （2）证明：假设是有理数， 那么存在两个互质的正整数，，使得， ∴， 两边立方，得：， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， 设（是正整数）， ∴，即， ∵是偶数， ∴是偶数， ∴是偶数， ∴，都是偶数，与假设矛盾， 即不是有理数； （3）解：∵是无理数，且与互为相反数， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式2】请完成下列表格： 原数 绝对值 相反数 【答案】见解析 【分析】本题考查了求绝对值，求相反数． 根据绝对值、相反数的定义填表即可． 【详解】解：表格如下： 原数 绝对值 相反数 【变式3】把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 题型三 实数混合运算 解｜题｜技｜巧 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。估算时，将被开方数置于两个连续完全平方数之间。 【典例1】计算：． (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式1】计算：． 【答案】 【详解】解：原式． 【变式2】计算． (1)； (2)； 【答案】(1) (2)7 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式3】计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 题型四 实数与数轴 解｜题｜技｜巧 数轴上点的位置可估算其代表的无理数大小，反之，已知无理数可在数轴上通过几何构造（如勾股定理）近似表示其点。 【典例1】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：由题图可知，且， ∴，， B选项正确． 【变式1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由数轴可得，即可判断各选项． 【详解】解：由数轴可得，， 故，，， 故正确的是C选项． 【变式2】实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知，，再化简得到平方根即可； （2）根据算术平方根、立方根、相反数的概念得到，再代入求平方根即可． 【详解】（1）解：由实数a，b，c在数轴上对应的点的位置， 可知，， ， 则的平方根为； （2）解：，则， ，则，即，解得， ，解得， ， 则的平方根为． 【变式3】已知实数a，b满足：． (1)求a，b的值； (2)求的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置．（标出后在对应位置旁写出你求的平方根） 【答案】(1)， (2)，图见解析 【分析】（1）根据算术平方根，绝对值的非负性求解即可； （2）先求解的平方根为，再估算，进一步画图即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， ∴，； （2）解：∵，， ∴， ∴的平方根为， ∵，， ∴数轴表示如下图所示 . 题型五 实数的规律探究与简单应用 解｜题｜技｜巧 观察相邻项或间隔项之间的算术关系（和、差、积、商）或与序号n的关系。有时需将数进行适当变形（如分母有理化）以发现规律。 【典例1】先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据所给式子总结变化规律可得，然后根据规律求解即可． 【详解】解：∵①， ②， ③， …， ∴， ∴． 【变式1】观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 【答案】 【分析】根据已知等式总结规律，将所求算式各项展开后，利用裂项相消法计算即可． 【详解】解：由已知各式可得规律：， 因此 ． 【变式2】已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 【答案】 【分析】根据数字间的规律探索列式计算即可获得答案． 【详解】， ， ， ， ． 【变式3】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）观察3个等式得出第5个等式和第个等式； （2）根据，计算求解即可． 【详解】（1）解：第5个等式：， 第个等式：； （2）解： ． 题型六 新定义下的实数运算 解｜题｜技｜巧 第一步：精读定义，理解规则（最关键的一步） · 技巧：逐字逐句阅读，用笔圈出关键词。明确： 1. 运算对象：是几个数参与运算？通常是两个（二元运算）。 2. 运算顺序：新运算符号左右两边的数，哪个是“第一操作数”，哪个是“第二操作数”？顺序是否可交换？ 第二步：类比转化，代入计算 · 技巧：将新运算符号看作一个“函数关系”或“计算公式”。计算时，严格按照定义，将具体数值代入对应位置。 易错点防范：特别注意运算顺序。 · 技巧：当出现如 ( (x ※ y) ※ z ) 或 ( x ※ (y ※ z) ) 时，必须遵循 “先算括号内” 的原则。先根据定义算出内层新运算的结果，再将此结果作为新的操作数，与另一个数进行外层的新运算。 第四步：方程思想（已知结果，反求参数或未知数） · 技巧：当题目给出如“已知 ( x ※ 4 = 10 )，求 ( x )”这类条件时，将新定义运算转化为关于 ( x ) 的方程。 第五步：验证运算律（谨慎判断） · 技巧：若要判断是否满足交换律 ( a ※ b = b ※ a )，只需按定义分别计算左右两边，看是否恒等。判断结合律 ( (a ※ b) ※ c = a ※ (b ※ c) ) 方法类似。绝大多数新定义运算不满足这些律。 · 交换律。 易｜错｜点｜拨 错误理解定义，张冠李戴 忽略定义中的隐藏条件（最常见失分点） 混淆运算顺序，先入为主 错误示例：定义 ( a § b = 2a + 3b )，求 ( 1 § 2 § 3 ) 时，错误地从左往右计算：先算 ( 1§2=8 )，再算 ( 8§3=25 )。 0. 正确理解：新运算符号“§”的优先级并未定义。若无括号，表达式“( 1 § 2 § 3 )”本身是模糊的、无意义的。题目若出现，一定会通过括号明确运算顺序，如 ( (1 § 2) § 3 ) 或 ( 1 § (2 § 3) )。 0. 防范策略：新运算没有默认的优先级和结合性！ 必须严格依赖括号来确定计算顺序。若无括号，则表达式不成立。 在复杂题中遗忘“新定义”本质，套用旧律 错误示例：在求解涉及新运算的方程或化简时，不自觉地对新运算符号使用分配律、结合律等。 0. 防范策略：时刻提醒自己“这是一个全新的规则”，除非经过证明，否则绝不能假设它满足任何已知的运算律。每一步转化都必须严格基于题目给出的定义。 求解方程后不检验 0. 错误示例：由新定义转化得到的方程，解出未知数后，未代入原定义检验是否满足隐藏条件（如分母非零）。 0. 防范策略：养成习惯，将方程的解代回原定义式或题目条件中，验证其合理性和有效性。 【典例1】若一个四位数，满足千位与十位的2倍的差为1，百位与个位的和为8，则称这个数为“奋进数”，则最大的“奋进数”为_____；若为“奋进数”，将其千位与百位组成的两位数记为，十位与个位组成的两位数记为，已知能被11整除，则符合条件的为_____． 【答案】 9840 7731 【分析】根据“奋进数”定义设四位数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，可得，第一问要得到最大四位数，需让高位数字尽可能大，即可求出最大奋进数；第二问先表示出，代入化简，结合能被11整除的条件，根据的取值范围计算得到符合条件的． 【详解】解：设这个四位数的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， 其中，均为整数， 由“奋进数”定义得，变形，， 由得，由得， 要使四位数最大，需高位数字尽可能大：最大取9， 此时，解得，符合； 最大取，此时，符合条件， 因此最大的“奋进数”为9840； 由题意得，代入得： ， ， ， ∴， ∵能被11整除， ∴为整数且是11的倍数， ∴分子是11的倍数， 可得为11的倍数， ∵，， ∴， ∵为偶数，则的可能取值为： 当时，，不是整数，不符合； 当时，， ①，，不是整数，不符合； ②，不是整数，不符合； 当时，，，解得， ∴的值可能是， ①，是整数，符合； ②，不是整数，不符合， 综上所述：， ∴为． 【变式1】云端扶摇阁学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a，m可以求b的值．如果知道a，b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】根据题目规定的定义，分别求出两个T的值再求和，即可得到答案． 【详解】，， ，， ． 【变式2】对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【答案】A 【分析】根据根整数的定义，结合无理数的估算逐一判断三个说法即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴根据定义得， ∴平方得， ∵是整数， ∴的取值为，共个，故②正确； 由题意，只需进行次运算得，即第二次运算结果满足对运算一次得，且第一次不能直接得到， ∵， ∴，即， 若，则，只需次运算，不符合要求，因此可取； 最小满足，得，最小正整数； 最大满足，得，最大正整数； ∴最大值与最小值的和为，故③正确； 综上，三个说法都正确． 【变式3】定义运算符号，规则为．若，，且，则以下关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意易得，，则有，，，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：，，， ，， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ，，，， ，， ，故A，B，C选项错误，D选项正确． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在校园文化广场的矩形花坛设计中，对角线长为，估计这个对角线的长度在哪两个整数之间（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 【答案】B 【分析】将被开方数和相邻整数的平方数比较，即可确定√7的范围． 【详解】∵ ，且， ∴ ， 即， 因此的长度在2和3之间． 2．平方根和立方根是七年级下学期学习的两个重要概念．根据相关的定义，8的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 【答案】C 【详解】解：∵ ∴ 8的立方根是2. 3．比较大小：______（填“＞”或“＜”） 【答案】＞ 【分析】两个正分数比较大小，当分母相同时，只需比较分子的大小，先确定的范围，即可得到结果. 【详解】， ， 又与的分母相同，分母相同的正分数，分子越大分数值越大， . 4．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 【答案】/ 【分析】根据题意得出，结合数轴即可求解． 【详解】解：正方形的面积为， 正方形的边长为， 则由题意可知， 点表示的数为， 点所表示的数为． 5．计算：． 【答案】11 【分析】先分别根据算术平方根、绝对值、乘方的运算法则化简各项，再计算加减即可得到结果． 【详解】解： ． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 【答案】A 【分析】利用“正数的两个平方根互为相反数”的性质列方程求解，再计算得到这个正数即可． 【详解】解：∵一个正数的两个不相等的平方根互为相反数， ∴ ， 整理得， 解得， 将代入其中一个平方根，得， ∵， ∴这个正数是． 2．若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据实数的分类即可求解． 【详解】解：若用A表示有理数，B表示无理数，C表示正整数，则能正确表示它们之间关系的是 3．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 【答案】3 【分析】本题考查了立方根的应用，设截去的每个小正方体的棱长是，由题意得出，整理得，再利用立方根的定义解方程即可得出答案． 【详解】解：设截去的每个小正方体的棱长是， 由题意得：， 整理得：， 解得：， 截去的每个小正方体的棱长是． 4．对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 【答案】 【分析】根据新定义的运算规则，按照运算顺序先计算括号内的部分，再计算括号外的部分，先比较各数大小，再根据运算规则取对应值即可得到结果． 【详解】解：， ，，，， ， ． 5．在如图所示的数轴上表示下列各数：，，，，并用“”把它们连接起来． 【答案】，在数轴上表示见详解 【分析】将各数化简后在数轴上表示出来，再将各数用“”连接起来即可． 【详解】解：，，，， 在数轴上表示各数： ∴． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156 【答案】D 【分析】本题考查了无理数大小的规律，从特殊到一般的规律的探究是解题的关键．本题需要先找出的规律，再根据规律计算的值，最后根据已知条件求出的值． 【详解】解：设为距离最接近的整数，即， 当时，，解得， 所以，此时， 当时，， 解得， 所以，此时， 当时，，解得, 所以,此时， 以此类推，可以发现当时，的和为2，且对应的的个数为， 因为每个的和为2，所以，即一共有1012组，每组对应的的个数为个， 1025156． 故选：D． 2．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据数轴和题意求得、、、，以此规律即可解答． 【详解】解：由题意可得，则表示的数为， ， 表示的数为3， ， 同理：，，， …… ，即选项A符合题意． 3．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 4．若实数，同时满足，，则的值是___________． 【答案】 【分析】先求出，从而可得，再结合得出或，由①②可得，解得，此时，由①③可得，此方程组无解；从而即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴或， 由①②可得，解得，此时， 由①③可得，此方程组无解； 综上所述，的值是． 5．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 【答案】(1)6 (2)或或（答案不唯一，符合题意即可） (3) (4)23 【分析】（1）先估算的大小，再由新定义可得结果； （2）根据定义可知，可得满足题意的x的整数值； （3）根据数轴上两点的距离得到点C表示的数，代入求出的值，再根据题中新定义即可得结果； （4）先逐项化简并归纳规律，最终求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，且x为整数， ∴或或（答案不唯一，符合题意即可）． （3）解：∵点A表示1，点B表示，点A是的中点， ∴点C表示的数为， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的值为． （4）解：，， ，…， ∵，， ∴ ． 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 实数（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 双重非负性的应用 题型02 实数的分类与概念辨析 题型03 实数混合运算 题型04 实数与数轴 题型05 实数的规律探究与简单应用 题型06 新定义下的实数运算 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 平方根 1. 能准确区分“平方根”与“算术平方根”。 2. 能根据定义求一个非负数的平方根和算术平方根。 3. 掌握算术平方根“”的双重非负性（a≥0，≥0）。 命题点： 常考“已知一个数的平方根求这个数”或“利用非负性求字母值”。陷阱： 题目给的是“平方根是 ”，学生容易误以为这个数是 。 立方根 1. 理解立方根的唯一性（任何实数都有且只有一个立方根）。 2. 能熟练求任意实数的立方根，掌握 = -的性质。 命题点： 负数的立方根计算、解含立方根的方程（如 ）。趋势： 常与平方根结合出现在混合运算中。 无理数 1. 能依据定义（无限不循环小数）准确识别无理数。 2. 掌握常见无理数的形式（如π、开方开不尽的数、有规律但不循环的小数）。 命题点： 判断一组数中哪些是无理数、实数分类。易错： 、 这类数的辨别。 实数的性质 1. 理解实数与数轴上的点一一对应关系。 2. 掌握实数的相反数、绝对值的意义，与有理数性质一致。 命题点： 数轴上点的平移、折叠问题（对称性）。难点： 结合几何图形（如弦图）估算无理数的大小。 实数的混合运算 1. 掌握运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。 2. 能熟练进行含绝对值、算术平方根、立方根的混合运算。 必考点： 解答题第一题通常是纯计算题（含 、 、$ 实数的大小比较 1. 能利用数轴、绝对值或平方的方法比较两个实数的大小。 2. 掌握估算无理数大致范围的方法（找相邻的完全平方数）。 命题点： 比较 与 的大小、确定无理数的整数部分。方法： “夹逼法”找相邻的完全平方数。 实数与数轴 1. 能在数轴上表示无理数（如）的近似位置。 2. 能根据数轴上点的位置，写出其对应的实数或进行相关计算。 压轴点： 动点问题、数轴折叠问题（求对称点表示的数）。结合： 常与勾股定理结合构造 等长度。 知识点01 平方根与算术平方根 定义：若 x² = a (a ≥ 0)，则 x 叫做 a 的平方根。正数 a 的正的平方根叫做 a 的算术平方根，记作 ；0的算术平方根是0。 核心要点： 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 具有双重非负性：a ≥ 0 且 ≥ 0。 = |a|。 易错点：混淆平方根与算术平方根；忽略算术平方根的非负性；计算 时漏掉绝对值。 知识点02 立方根 定义：若 x³ = a，则 x 叫做 a 的立方根，记作 。 核心要点： 任何数都有且只有一个立方根，正数的立方根是正数，0的立方根是0，负数的立方根是负数。 = 。 易错点：混淆立方根与平方根的性质；求负数的立方根时符号出错。 知识点03 实数 定义与分类：有理数和无理数统称为实数。无理数是无限不循环小数（如π，等）。 核心要点： 实数与数轴上的点一一对应。 实数的相反数、绝对值意义与有理数相同。 可以进行加、减、乘、除（除数不为0）、乘方运算，且有理数的运算律在实数范围内依然适用。开方运算与乘方运算是同级运算。 易错点：对无理数概念理解不清（误认为带根号的数就是无理数）；实数运算时，忽略运算顺序，特别是开方与乘除的先后。 题型一 双重非负性的应用 解｜题｜技｜巧 特征： 题目给出 或类似形式。 解法： 搬出结论——几个非负数的和为0，则每一个都为0。即 且 。 【典例1】若，则的值是（    ） A．6 B． C． D． 【变式1】已知，则的值为（） A． B． C． D． 【变式2】若，则（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3】若m、n满足，则的值是______． 题型二 实数的分类与概念辨析 易｜错｜点｜拨 是有理数。 负数没有平方根，但有立方根。 无限不循环小数才是无理数（循环的是分数）。 【典例1】在，0，，，3.14，，，0.202002000…实数中，无理数有（   ） A．5个 B．4个 C．3个 D．2个 【变式1】阅读与思考某兴趣小组阅读教材中“为什么不是有理数”的内容后产生了很大的兴趣，在课后进行了衍生探究，形成如下研究性学习报告．请认真阅读并完成任务． 关于“无理数的衍生探究”的研究报告 教材部分内容：事实上，不是有理数是可以证明的，下面给出一种证明方法． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得，于是， 两边平方，得， 由是偶数，得是偶数，所以也是偶数． 因此可设（是正整数），代入上式，得，即， 所以也是偶数，这样都是偶数，与假设互质矛盾， 即不是有理数． 方法拓展：根据上述的证明方法，进一步对是否为有理数展开了以下论证． 假设是有理数，那么存在两个互质的正整数，，使得于是， 两边立方，得 任务： (1)是___________．（填“无理数”或“有理数”） (2)根据前面的证明思路，补全剩余的证明过程． (3)若是无理数，且与互为相反数，直接写出的值． 【变式2】请完成下列表格： 原数 绝对值 相反数 【变式3】把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 题型三 实数混合运算 解｜题｜技｜巧 运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后加减，有括号先算括号内。估算时，将被开方数置于两个连续完全平方数之间。 【典例1】计算：． (1)； (2) 【变式1】计算：． 【变式2】计算． (1)； (2)； 【变式3】计算： (1)； (2) 题型四 实数与数轴 解｜题｜技｜巧 数轴上点的位置可估算其代表的无理数大小，反之，已知无理数可在数轴上通过几何构造（如勾股定理）近似表示其点。 【典例1】实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】实数，在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】实数的化简与计算．已知实数a，b，c在数轴上对应的点的位置如图所示． (1)化简：的平方根． (2)若的算术平方根为3，的立方根为和是互为相反数，求的平方根． 【变式3】已知实数a，b满足：． (1)求a，b的值； (2)求的平方根，并在图所示的数轴上标出平方根的大概位置．（标出后在对应位置旁写出你求的平方根） 题型五 实数的规律探究与简单应用 解｜题｜技｜巧 观察相邻项或间隔项之间的算术关系（和、差、积、商）或与序号n的关系。有时需将数进行适当变形（如分母有理化）以发现规律。 【典例1】先观察下列三个等式，再回答下列问题：①；②；③，请你根据上面三个等式提供的信息，计算的结果为（    ） A． B． C． D． 【变式1】观察下列各式： ，，… 请利用你所发现的规律， 计算，其结果为______． 【变式2】已知，，，⋯，，其中为正整数．设，则的值是________． 【变式3】观察下列等式： 第1个等式：； 第2个等式：； 第3个等式：； ……按照以上规律，解决下列问题． (1)写出第5个等式：______________；第个等式：________________；（用含的等式表示） (2)请用（1）中你发现的规律计算：． 题型六 新定义下的实数运算 解｜题｜技｜巧 第一步：精读定义，理解规则（最关键的一步） · 技巧：逐字逐句阅读，用笔圈出关键词。明确： 1. 运算对象：是几个数参与运算？通常是两个（二元运算）。 2. 运算顺序：新运算符号左右两边的数，哪个是“第一操作数”，哪个是“第二操作数”？顺序是否可交换？ 第二步：类比转化，代入计算 · 技巧：将新运算符号看作一个“函数关系”或“计算公式”。计算时，严格按照定义，将具体数值代入对应位置。 易错点防范：特别注意运算顺序。 · 技巧：当出现如 ( (x ※ y) ※ z ) 或 ( x ※ (y ※ z) ) 时，必须遵循 “先算括号内” 的原则。先根据定义算出内层新运算的结果，再将此结果作为新的操作数，与另一个数进行外层的新运算。 第四步：方程思想（已知结果，反求参数或未知数） · 技巧：当题目给出如“已知 ( x ※ 4 = 10 )，求 ( x )”这类条件时，将新定义运算转化为关于 ( x ) 的方程。 第五步：验证运算律（谨慎判断） · 技巧：若要判断是否满足交换律 ( a ※ b = b ※ a )，只需按定义分别计算左右两边，看是否恒等。判断结合律 ( (a ※ b) ※ c = a ※ (b ※ c) ) 方法类似。绝大多数新定义运算不满足这些律。 · 交换律。 易｜错｜点｜拨 错误理解定义，张冠李戴 忽略定义中的隐藏条件（最常见失分点） 混淆运算顺序，先入为主 错误示例：定义 ( a § b = 2a + 3b )，求 ( 1 § 2 § 3 ) 时，错误地从左往右计算：先算 ( 1§2=8 )，再算 ( 8§3=25 )。 0. 正确理解：新运算符号“§”的优先级并未定义。若无括号，表达式“( 1 § 2 § 3 )”本身是模糊的、无意义的。题目若出现，一定会通过括号明确运算顺序，如 ( (1 § 2) § 3 ) 或 ( 1 § (2 § 3) )。 0. 防范策略：新运算没有默认的优先级和结合性！ 必须严格依赖括号来确定计算顺序。若无括号，则表达式不成立。 在复杂题中遗忘“新定义”本质，套用旧律 错误示例：在求解涉及新运算的方程或化简时，不自觉地对新运算符号使用分配律、结合律等。 0. 防范策略：时刻提醒自己“这是一个全新的规则”，除非经过证明，否则绝不能假设它满足任何已知的运算律。每一步转化都必须严格基于题目给出的定义。 求解方程后不检验 0. 错误示例：由新定义转化得到的方程，解出未知数后，未代入原定义检验是否满足隐藏条件（如分母非零）。 0. 防范策略：养成习惯，将方程的解代回原定义式或题目条件中，验证其合理性和有效性。 【典例1】若一个四位数，满足千位与十位的2倍的差为1，百位与个位的和为8，则称这个数为“奋进数”，则最大的“奋进数”为_____；若为“奋进数”，将其千位与百位组成的两位数记为，十位与个位组成的两位数记为，已知能被11整除，则符合条件的为_____． 【变式1】云端扶摇阁学习小组学习了幂的有关知识发现：根据，知道a，m可以求b的值．如果知道a，b可以求m的值吗？他们为此进行了研究，规定：若，那么．例如，那么，则（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式2】对于一个正实数，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为的根整数，如：，．如果我们对连续求根整数，直到结果为1为止．例如：对11连续求根整数2次，，这时候结果为1，又例如：对17连续求根整数3次，，这时候结果为1．现有如下三种说法： ①； ②若，则满足题意的整数有5个； ③只需进行2次连续求根整数运算后结果为1的所有正整数中，最大的与最小的和是19． 其中正确的说法有（     ） A．3个 B．2个 C．1个 D．0个 【变式3】定义运算符号，规则为．若，，且，则以下关系中，正确的是（     ） A． B． C． D． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．在校园文化广场的矩形花坛设计中，对角线长为，估计这个对角线的长度在哪两个整数之间（   ） A．1和2 B．2和3 C．3和4 D．4和5 2．平方根和立方根是七年级下学期学习的两个重要概念．根据相关的定义，8的立方根是（   ） A． B． C．2 D． 3．比较大小：______（填“＞”或“＜”） 4．如图，面积为7的正方形的顶点A在数轴上，且点A表示的数为1，以A为圆心，长为半径画弧，交于A右侧数轴于点E，则点E所表示的数为___________． 5． 计算：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1．若一个正数的两个不相等的平方根分别是和＋，则这个正数是(    ) A．4 B．8 C．16 D．64 2．若用表示有理数，表示无理数，表示正整数，则下列四个图中，能正确表示它们之间关系的是（   ） A． B． C． D． 3．已知一个正方体的体积是，现在要在它的8个角上分别截去1个大小相同的小正方体，截去后余下部分的体积为，则截去的每个小正方体的棱长是______． 4．对任意两个实数，定义一种运算：，例如：，那么_________． 5．在如图所示的数轴上表示下列各数：，，，，并用“”把它们连接起来． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1．用表示距离最接近的整数，已知，则n的值为（） A．1019090 B．1021110 C．1023132 D．1025156 2．如图，通过画边长为1的正方形，就能准确地把表示在数轴上点处，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，记右侧最近的整数点为，以点为圆心，为半径画半圆，交数轴于点，如此继续，则的长为（    ） A． B． C． D． 3．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 4．若实数，同时满足，，则的值是___________． 5．对于实数a，我们规定：用符号表示不大于的最大整数，称为a的根整数， 例如：，． (1)计算：________； (2)若，写出一个满足题意的x的整数值________； (3)如图，数轴上表示1和的对应点分别为A、B，点A是的中点，O为原点，设C点表示的数为x，试求的值． (4)思考并计算，直接写出答案________． 2 / 11 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $