精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（十） 数学学科 时间：45分钟 满分100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 2. 如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 3. 如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（ ） A. 该函数图象关于y轴对称 B. 函数值y随自变量x的增大而减少 C. 函数值y有最小值为0 D. 当时， 4. 将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共24分． 5. 若分式有意义，则x的取值范围是_____． 6. 反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为______． 7. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 9. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 四、解答题：本题共2小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 10. 今年5月20日是第35届中国学生营养日，某初中食堂当日营养午餐如下表所示． 菜品名称 红烧排骨 三色肉丁 冬瓜鸡蛋 青椒包菜 米饭 水果 食物种类 猪小排 猪肉（瘦）、胡萝卜、玉米粒、青豆 冬瓜、鸡蛋 青椒、包菜 粳米（标一） 苹果 （1）午餐的营养素主要来自猪小排、猪肉（瘦）所含的蛋白质和脂肪，每克猪小排、猪肉（瘦）中的蛋白质和脂肪含量如下表所示，按配餐要求推算该日午餐猪小排与猪肉（瘦）提供的蛋白质、脂肪质量应分别为克、克，求该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是多少克； 食物类别 营养素 猪小排 猪肉（瘦） 蛋白质（克） 脂肪（克） （2）按配餐要求菜品“青椒包菜”中青椒和包菜共，已知每克青椒与包菜分别含有、的膳食纤维，出于口感考虑，该菜品中青椒质量不超过包菜质量的一半，青椒与包菜的质量分别为多少时，该菜品膳食纤维的含量最高？ 11. 综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点逆时针旋转得到矩形， 当点落在线段上时， 连接交于点， 连接，，． 特例探究 （1）请直接写出线段、与之间的数量关系______； 探索发现 （2）如图2，当点落在对角线上时，连接交于点，小明发现垂直平分，请你证明这个结论； 拓展延伸 （3）在矩形旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，连接，线段 与线段 所在的直线相交于点．若，，请直接写出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初三年级周测试卷（十） 数学学科 时间：45分钟 满分100分 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共4小题，每小题6分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接OB，OC，由正方形ABCD的性质得，再根据圆周角与圆心角的关系即可得出结论． 【详解】解：连接OB，OC，如图， ∵正方形ABCD内接于， ∴ ∴ 故选：B． 【点睛】此题主要考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半． 2. 如图是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，若正六边形的边长为2，那么矩形的面积是（ ） A. 12 B. C. 16 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形和正六边形的性质，解直角三角形．根据矩形和正六边形的性质可得，然后解直角三角形可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：如图， ∵是正六边形与矩形叠拼成的一个组合图形，且正六边形的边长为2， ∴，， ∴， ∴，， 同理， ∴， ∴矩形的面积是． 故选：B． 3. 如图为函数的部分图象，则关于函数的图象与性质的描述正确的是（ ） A. 该函数图象关于y轴对称 B. 函数值y随自变量x的增大而减少 C. 函数值y有最小值为0 D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了从函数图象获取信息．分析函数的对称性、增减性、最值后即可得到答案． 【详解】解：A. 设点在函数的图象上，则， 当时，，即在函数的图象上， ∴该函数图象关于原点对称， 故此选项错误，不符合题意； B. 当时，函数值y随自变量x的增大而减少，当时，函数值y随自变量x的增大而增大，故此选项错误，不符合题意； C. 函数值y没有最小值为，故此选项错误，不符合题意； D. 当时，， ∵该函数图象关于原点对称， ∴当时，， 故选项正确， 故选：D 4. 将一张长方形纸片按如图所示的方式对折，使点落在上的点处，折痕为，点落在点处，交于点．若，，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的折叠问题，全等三角形的判定和性质，勾股定理． 先根据勾股定理求出，然后证明，得到，，即可得到，，然后在中，利用解题即可． 【详解】解：在中，， 由折叠可得，， 又∵是矩形， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴，， 设，则， 在中，，即， 解得：， 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共24分． 5. 若分式有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为零，再进一步求解即可． 【详解】解：分式 有意义，则分母 ， 解得 ． 故答案为 ． 6. 反比例函数的图象与点的位置如图，写出一个与图相符的k的值为______． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数图象上点的坐标特征及反比例函数系数k的几何意义，能根据题意得出符合要求的反比例函数图象上点的坐标是解题的关键．根据所给点A坐标，得出一个在反比例函数图象上点的坐标，据此可解决问题． 【详解】解：由所给函数图象可知， ∵点A的坐标为， ∴点可在反比例函数的图象上． 将点代入得， ， ∴k的值可以是． 故答案为：（答案不唯一） 7. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】方程有两个实数根，则判别式且被开方数，列不等式组并求解即可． 本题主要考查了一元二次方程根的判别式与根的情况，二次根式的定义，熟练掌握一元二次方程有两个实数根时判别式是解题的关键． 【详解】解：由条件得， 解得． 故答案为：． 8. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点O，四边形为矩形，边与相切于点，连接，，连接交于点．若，则图中阴影部分的面积为______________． 【答案】 【解析】 【分析】根据圆的切线的性质和矩形的性质，得到，由垂径定理可得，由圆周角定理可得，进而证明是等边三角形，得到，再根据阴影部分的面积求解即可． 【详解】解：所在圆的圆心为点O，边与相切于点， ，， 四边形为矩形， ， ， ， ， ， ， ，， ， 是等边三角形， ， ， 阴影部分的面积， 故答案为：． 【点睛】本题考查了求不规则图形面积，矩形的性质，圆周角定理，垂径定理，圆的切线的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，扇形面积，掌握圆的相关性质是解题关键． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 9. 计算、化简： （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式混合运算，熟练掌握运算法则，是解题的关键． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，立方根定义，进行计算即可； （2）根据分式混合运算法则，进行计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 四、解答题：本题共2小题，共42分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 10. 今年5月20日是第35届中国学生营养日，某初中食堂当日营养午餐如下表所示． 菜品名称 红烧排骨 三色肉丁 冬瓜鸡蛋 青椒包菜 米饭 水果 食物种类 猪小排 猪肉（瘦）、胡萝卜、玉米粒、青豆 冬瓜、鸡蛋 青椒、包菜 粳米（标一） 苹果 （1）午餐的营养素主要来自猪小排、猪肉（瘦）所含的蛋白质和脂肪，每克猪小排、猪肉（瘦）中的蛋白质和脂肪含量如下表所示，按配餐要求推算该日午餐猪小排与猪肉（瘦）提供的蛋白质、脂肪质量应分别为克、克，求该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是多少克； 食物类别 营养素 猪小排 猪肉（瘦） 蛋白质（克） 脂肪（克） （2）按配餐要求菜品“青椒包菜”中青椒和包菜共，已知每克青椒与包菜分别含有、的膳食纤维，出于口感考虑，该菜品中青椒质量不超过包菜质量的一半，青椒与包菜的质量分别为多少时，该菜品膳食纤维的含量最高？ 【答案】（1）该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是克、克 （2）青椒与包菜的质量分别为克、克时，该菜品膳食纤维的含量最高 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，一次函数的应用； （1）设该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是克，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设青椒的质量为克，则包菜的质量为克，该菜品膳食纤维的含量为，列出函数关系式，根据一次函数的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：设该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是克，根据题意得， 解得： 答：该日午餐所需要的猪小排与猪肉（瘦）的质量分别是克、克； 【小问2详解】 解：设青椒的质量为克，则包菜的质量为克，该菜品膳食纤维的含量为，依题意， 依题意， 解得： ∵ ∴当时，取得最大值， ∴，即青椒与包菜的质量分别为克、克时，该菜品膳食纤维的含量最高 11. 综合与探究 问题情境 数学活动课上，老师提出如下问题：将图1中的矩形绕点逆时针旋转得到矩形， 当点落在线段上时， 连接交于点， 连接，，． 特例探究 （1）请直接写出线段、与之间的数量关系______； 探索发现 （2）如图2，当点落在对角线上时，连接交于点，小明发现垂直平分，请你证明这个结论； 拓展延伸 （3）在矩形旋转的过程中，当，，三点在同一条直线上时，连接，线段 与线段 所在的直线相交于点．若，，请直接写出此时的长． 【答案】（1） （2）见解析 （3）或15 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质证明、是等腰直角三角形，得到，在和在中，利用勾股定理分别表示出，，最后根据等量代换即可得证； （2）由旋转的性质证明，得到，进而由，根据等边对等角等量代换证明，得到，通过等角的余角相等得到，即可得到，最后根据等腰三角形“三线合一”的性质可得出结论； （3）分两种情况：当点在、之间时，当点在、之间时，分别通过证明，根据相似三角形的对应边成比例列式计算即可得解． 【小问1详解】 解：由旋转可得，，，， 是等腰直角三角形， ， 在矩形中，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，， 在中，， ， ， 即； 【小问2详解】 证明：由旋转可得：，，， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， ， ，， 即垂直平分； 【小问3详解】 解：由旋转可得：，， 在矩形中，，， ，，三点在同一条直线上， ， ， 当点在、之间时，如图所示， ∵，，三点在同一条直线上， ， ， ， 设，则， ，解得； 当点在、之间时，如图所示， 四边形是矩形， ， ， ， 设，则， ，解得； 综上，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $