精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

2025-2026学年第二学期初三学业水平考试教学质量监测（二） 数学学科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数大于负数；两个负数，绝对值大的反而小进行比较即可判断求解，掌握有理数的大小比较方法是解题的关键． 【详解】解：∵正数大于负数， ∴比小的数在，， 中， ∵两个负数，绝对值大的数反而更小， 又∵， ∴， ∴比小的数是， 故选：． 2. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线 经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，结合图形即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 3. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求旋转角，把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，整个图形由三个叶片组成，则相邻叶片之间的夹角为， ∴该叶片图案绕中心至少旋转后能与原来的图案重合， ∴角的大小可以为， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查整式的基本运算，需要根据合并同类项法则，同底数幂的乘法法则，幂的乘方法则和完全平方公式，逐一判断各选项是否正确. 【详解】选项A：∵ 与 不是同类项，不能合并，∴ A计算错误； 选项B：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，得 ，∴ B计算错误； 选项C：根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，得 ，∴ C计算正确. 选项D：根据完全平方公式，得 ，∴ D计算错误. 综上，答案选C. 5. 如图，在中，，轴，点 在反比例函数的图象上，若点在反比例函数的图象上，则 的值为（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与面积，根据反比例函数 的几何意义求解即可． 【详解】如图， 交 轴于 ， ∵， ∴， ∵点 在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， ∵点在反比例函数的图象上， ∴， 解得， ∵过第二象限， ∴， ∴， 故选：C． 6. 如图，在 中，，以点 为圆心， 的长为半径画弧，与 的另一个交点为 ，连接 ．若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据勾股定理求出，由作图知：，根据等边对等角得出，然后根据正切的定义求出即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图知：， ∴， ∴． 7. 某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度 （米）与注水时间（小时）之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米，则该蓄水池内部结构的半径约为（ ）（注：） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，能够正确分析图象和理解“每小时的注水量为54立方米”是解题的关键． 根据函数图象可求得每小时的注水高度为2米，再根据每小时的注水量为54立方米列关于半径r的方程求解即可． 【详解】解：由图可知，，则每小时的注水高度为2米， 设该蓄水池内部结构的半径为米， ， 解得，（不符题意，故舍去）， 则该蓄水池内部结构的半径约为3米． 8. 已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的增减性，能够熟练利用增减性比较函数值大小是解题的关键． 根据每个选项的条件，利用反比例函数的增减性逐个判断即可． 【详解】解：∵反比例函数， ∴函数图象在第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ， A.若，则，根据增减性得，，故不符合题意； B.若，则，根据增减性得，，即，故符合题意； C.若，则或，根据增减性得，故不符合题意； D.若，则或，根据增减性得或，故不符合题意． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用科学记数法表示较大数，熟练掌握用科学记数法表示较大数是解题的关键．用科学记数法表示较大数时，形式为 ，其中 ，为正整数．数据218000000用科学记数法表示时，， ，即可写出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 10. 如图，在平面直角坐标系中有一三角形，其中，，，以点， 为圆心，分别以 ， 的长为半径作弧，两条弧相交于第一象限的点 ，则点 的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，由题意，得，，，则有，所以，则，故有点 的横坐标等于点的纵坐标，点 的纵坐标等于点的横坐标的绝对值，又点 在第一象限，从而求解， 【详解】解：如图，连接，，由题意，得，，， ∴， ∴， ∴， ∴绕点顺时针旋转得到， ∴点 的横坐标等于点的纵坐标，点 的纵坐标等于点的横坐标的绝对值， ∵点 在第一象限， ∴点 的坐标为． 11. 如图， 是 的直径，点 在 上，连接 ．过点 作 的垂线，垂足为 在 的垂线上截取交 于点 ，连接 ，交于点 ．若，则的长度为_____． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据已知条件及垂径定理得到，，，然后，由勾股定理得，，最后可得出的长． 【详解】解：如图，连接， ∵ 是 的直径，， ∴，，， ∵， ∴，， ∴． 12. 如图，在四边形中， ，点 在边 上，且．点 在边 上，平分与 交于点 ．若，则的长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】解法一：分别延长交于点 ，先证，在中，求得 ，再在中，求得，然后由即可求解；解法二：同理先求 ，进而得到 ，分别过点F，G作的垂线，垂足分别为P，O，接着证，连接，设，再在中，利用勾股定理求出 ，进而得到． 【详解】解法一：如解图①，分别延长交于点 ， ， ， 平分， ， ， ， ， ， ，即为直角三角形， 在中，， ， ， ，即为直角三角形， 在中，， ， ， ． 解法二：， ， 平分， ， ， ， ， ，即为直角三角形， ∴在中，， ， ， 如解图②，分别过点F，G作的垂线，垂足分别为P，O， ∴四边形为矩形， ， ，， ， ， 连接，设， 则，， ， ，即， 解得， ． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先分别化简二次根式、绝对值、零指数幂，然后计算加减法即可； （ ）先通分括号内的式子，同时将括号外除法转化为乘法，然后约分即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 14. 年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图； （2）估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； （3）若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的 名男生和 名女生中随机抽取 名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1） 100；补全条形图如图所示： （2）900名 （3） 【解析】 【分析】（1）根据喜欢歌舞的人数和所占百分比求出总人数，进而可求出喜爱小品的人数，并补全条形图即可； （2）由总人数乘以喜爱小品的人数的百分数即可得解； （3）画树状图展示 种等可能的结果数，再找出抽取的两人恰好是一名男生和一名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：抽取的总人数为（人）， 所以喜欢小品的人数为（人）， 图略； 故答案为：100； 【小问2详解】 解：估计喜欢小品节目类型的人数为人； 【小问3详解】 解：画树状图为： 共有 种等可能的结果数，其中抽取的两人恰好是一名男生和一名女生结果数为， 所以抽取的两人恰好是一名男生和一名女生概率． 【点睛】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用，用样本估计总体，列表法与树状图法求概率，利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件A或的结果数目 ，然后利用概率公式计算事件A或事件的概率． 15. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（ 类）和敖丙手办（类）盲盒，已知生产商每天生产 类手办比生产类手办多200个，单独生产 类手办2天的总产量与单独生产类手办3天的总产量相同． （1）求生产商每天单独生产 ，两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 70 100 类/个 90 140 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过15000元的资金购进 ，两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； 【答案】（1）生产商每天单独生产 类手办600个，每天单独生产类手办400个 （2）购进 类手办150个、类手办50个可使商家获利最大，求最大利润为7000元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一次函数的应用，一元一次不等式的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先设生产商每天单独生产类手办 个，则每天单独生产 类手办个，再列出一元一次方程，即可作答． （2）设购进 类手办 个，则购进类手办个，得，解得，设获利为元，则，结合一次函数的性质进行作答即可． 【小问1详解】 解：设生产商每天单独生产类手办 个，则每天单独生产 类手办个， 根据题意，得， 解得，（个）. 答：生产商每天单独生产 类手办600个，每天单独生产类手办400个. 【小问2详解】 解：设购进 类手办 个，则购进类手办个， 根据题意，得， 解得， 设获利为元，则， ， 随 的增大而减小， ， 当时值最大，， 则（个） 答：购进 类手办150个、类手办50个可使商家获利最大，求最大利润为7000元． 16. 如图，在 中，，以 为直径作 交 于点 ，过点 作，垂足为 ，延长 交 的延长线于点 ． （1）求证： 为 的切线； （2）若，，求 的长． 【答案】（1） 证明：如图，连接， ， ∵ 为 的直径， ∴， ∴ ， ∵， ∴点 为 的中点， ∵点为 的中点， ∴为 的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵为 的半径， ∴ 为 的切线； （2） 【解析】 【分析】（）连接， ， 为 的直径，则有，所以点 为 的中点，又点为 的中点，所以为 的中位线，然后证明即可； （ ）先由勾股定理得，又，则， 所以，然后代入即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴由勾股定理，得， 由（）知，即， ∴， ∴， ∵，，， ∴，解得，， ∴． 17. 综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图）可近似看作抛物线． 建立模型：如图 ，抛物线与水平地面交于 ，两点，以 的中点为原点， 所在直线为 轴，过点作 的垂线与抛物线交于点 ，且点 是抛物线的顶点，以所在直线为 轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． （3）如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在 轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点 处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出 的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）确定，，，设抛物线的函数表达式为，代入后得到关于 ， ， 的方程组，求解即可； （2）当 时，代入由（1）所得的抛物线的函数表达式得到，求解后可得答案； （3）确定平移后的抛物线解析式为，确定抛物线上的点 的坐标为，再代入求出对应的 的值即可． 【小问1详解】 解：∵，，为 的中点， ∴， ∵以点为原点， 所在直线为 轴，以所在直线为 轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）， ∴，，， 设抛物线的函数表达式为，过点，，， ∴， 解得： ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由（1）知：抛物线的函数表达式为， 当 时，得：， 解得：或， ∴， ∴活动区域在水平方向上的最大宽度为； 【小问3详解】 解：∵将抛物线支架沿竖直方向向上平移， ∴平移后的抛物线的解析式为， ∵在 轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点 处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于， ∴此时抛物线上的点 的坐标为， ∴， ∴， ∴ 的最小值． 18. 如图－1，在矩形中，，先将矩形 对折得到折痕，再展开， 是 上一点，沿折叠使点 落在上的点 处，与交于点 ，延长交 于点 ． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：； （3）如图－2，在图－1的基础上，取 上的一点，连接，将沿折叠，点 的对应点恰好落在 上的点处，求的长． 【答案】（1） 证明：由折叠的性质可知，E，F分别为的中点，， ， 由折叠而来， ， 在中，， ， ， ， ， ， ， 是等边三角形； （2） 证明：由（1）可得， ， ， ， ，即 为的中点，， 是等边三角形， ， ， ， ， 如解图①，连接， 在和中， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得，由，求得，从而求得，其次求得即可证得为等边三角形； （2）连接，通过计算求得，从而证得，根据“”证明，得出； （3）由（1）知，在中求出，由是由翻折得到，，在中，，，，根据求得 ． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）可得， ， ， 由折叠的性质可得， ， ， ， ∴在中，， 即， 解得. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初三学业水平考试教学质量监测（二） 数学学科 考试时长：90分钟 满分：100分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各数中比小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图为小颖在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜后反射入眼，若，，，则入射角的度数为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，风力发电机的叶片在风的吹动下转动，使风能转化为电能．图中的三个叶片组成的图形绕着它的中心旋转角后，能够与它本身重合，则角的大小可以为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，轴，点 在反比例函数的图象上，若点 在反比例函数的图象上，则 的值为（ ） A. 6 B. C. D. 6. 如图，在 中，，以点 为圆心， 的长为半径画弧，与 的另一个交点为 ，连接 ．若，则的值为（ ） A. B. 2 C. D. 7. 某工厂有一款自动蓄水池，其内部结构呈圆柱体形状，某次匀速注水时蓄水池内水位高度 （米）与注水时间（小时）之间的关系如图所示，若该蓄水池匀速注水时，每小时的注水量为54立方米，则该蓄水池内部结构的半径约为（ ）（注：） A. 1米 B. 2米 C. 3米 D. 4米 8. 已知点在反比例函数的图象上，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分． 9. 苏步青来自“数学家之乡”，为纪念其卓越贡献，国际上将一颗距地球约218000000公里的行星命名为“苏步青星”．数据218000000用科学记数法表示为______． 10. 如图，在平面直角坐标系中有一三角形，其中，，，以点 ， 为圆心，分别以， 的长为半径作弧，两条弧相交于第一象限的点 ，则点 的坐标为______． 11. 如图， 是 的直径，点 在 上，连接 ．过点 作 的垂线，垂足为 在 的垂线上截取交 于点 ，连接 ，交于点．若，则的长度为_____． 12. 如图，在四边形 中， ，点 在边 上，且．点 在边 上，平分与 交于点 ．若，则的长为__________． 三、解答题：本题共6小题，共64分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 13. 计算与化简： （1）计算：． （2）化简：． 14. 年兔年春晚以“欣欣向荣的新时代中国，日新月异的更美好生活”为主题，荟袭歌舞、戏曲、相声、小品、武术、杂技、少儿等多种类型节目，在开心，奋进拼搏的氛围中，陪伴全球华人开开心心过大年为了解学生最喜欢的节目，某校从“歌舞、相声、小品、其他”四种类型的节目对学生进行了一次抽样调查，每个学生只选择以上四种节目类型中的一种，现将调查的结果绘制成了两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）抽取的总人数是______ ，并补全条形统计图； （2）估计该校名学生中，喜欢小品节目类型的人数； （3）若老师从九年级（1）班学生喜欢歌舞类型的 名男生和 名女生中随机抽取 名学生，将他们确定为班级节目表演重点培养对象，请用列表法或画树状图的方法求抽取的两名学生为一名男生和一名女生的概率． 15. 2025年初，国产动画电影“哪吒2魔童闹海”票房创历史新高．某生产商推出了哪吒手办（ 类）和敖丙手办（ 类）盲盒，已知生产商每天生产 类手办比生产 类手办多200个，单独生产 类手办2天的总产量与单独生产 类手办3天的总产量相同． （1）求生产商每天单独生产 ， 两类手办的个数； （2）两种手办某商家的购进价和售价如下表： 进价 售价 类/个 70 100 类/个 90 140 根据网上预约的情况，该商家计划用不超过15000元的资金购进 ， 两种手办共200个，若这200个手办全部售完，请你设计购进方案，使商家获利最大，并求最大利润； 16. 如图，在 中，，以 为直径作 交 于点 ，过点 作，垂足为 ，延长 交 的延长线于点 ． （1）求证：为 的切线； （2）若，，求的长． 17. 综合与实践 问题情境：远离城市喧嚣，走进自然山野，露营已成为当下人们放松身心、享受生活、感受自然之美的热门休闲方式．已知某款露营帐篷的支架撑开后（如图 ）可近似看作抛物线． 建立模型：如图 ，抛物线与水平地面交于 ， 两点，以 的中点 为原点， 所在直线为 轴，过点 作 的垂线与抛物线交于点 ，且点 是抛物线的顶点，以所在直线为 轴，建立平面直角坐标系（单位长度为）．已知，． 问题解决： （1）求抛物线的函数表达式． （2）为保证在帐篷内坐着休息时不碰头，要求活动区域的高度不低于，求活动区域在水平方向上的最大宽度． （3）如图3，为获得更舒适的空间且方便悬挂露营灯，将抛物线支架沿竖直方向向上平移（平移后的抛物线可视为原抛物线向上平移后的一部分）后，在 轴右侧抛物线上距原点水平距离为的点 处悬挂露营灯，要求悬挂的露营灯高度不低于，直接写出 的最小值． 18. 如图－1，在矩形 中，，先将矩形 对折得到折痕，再展开， 是 上一点，沿折叠使点 落在上的点处，与交于点 ，延长交于点 ． （1）求证：是等边三角形； （2）求证：； （3）如图－2，在图－1的基础上，取上的一点，连接，将沿折叠，点 的对应点恰好落在 上的点处，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $