内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年九年级下学期5月阶段检测数学试题

**基本信息** 以真实情境与梯度设计为特色，涵盖气温比较、新能源汽车利润、桥拱抛物线建模等现实问题，融合抽象能力、模型意识与推理能力考查。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数、统计调查、概率、几何作图|第3题以“载人飞船返回舱”调查情境考查普查适用场景，体现数据意识| |填空题|4/12|一元二次方程、光的折射、电路概率|第11题结合电路图设计开关概率问题，渗透应用意识| |解答题|6/64|数据统计、函数应用、圆的证明、抛物线建模|第17题桥拱抛物线模型解决水位上涨与灯笼悬挂问题，强化模型意识；第18题旋转综合题考查相似全等推理，发展推理能力|

2025-2026学年第二学期初三学业水平考试教学质量监测（三） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年元旦这天，海拉尔、扎兰屯、牙克石、额尔古纳四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是(     ) A. B. C. D. 2.下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 3.下列调查中，适合用普查的方式调查的是(     ) A. 了解全国中小学课间分钟的实施情况 B. 了解全国小学放春假的情况 C. 了解某省市民对马年春晚中国产机器人空翻、武术对打节目的评分 D. 某班学生对我国首次海上成功回收载人飞船返回舱的了解情况 4.如图，这是一靶盘，圆内接四边形是边长为的正方形，现随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为(     ) A. B. C. D. 5.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线直线与相交于点，连接，若，则的长是(     ) A. B. C. D. 6.如图，在中，，，以为直径作半按以下步骤操作：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交半于点，交于点，则、、弧所围成的阴影部分的周长为(     ) A. B. C. D. 4.如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点 ，在第一象限，对角线轴，交轴于点若矩形的面积 是，：：，则的值为(     ) A. B. C. D. 8.若点和都在一次函数为常数的图象上，且当时，，则的值可能是(    ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知一元二次方程的两个实数根为，，则      ． 10.如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上若，，则的度数为         ． 11.如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于         ． 12. 如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为         ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 先化简，再求值：，其中． 14.本小题分 随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为广大群众喜闻乐见的运动方式为了让学生以享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛活动，满分分，并随机在八、九年级各抽取了名学生的成绩成绩得分用表示，且均为整数，将成绩分成四组：，，，，整理数据信息如下： 八年级抽取的学生成绩在组的数据为：，，，，，，，，， 八年级抽取的学生成绩分布表： 等级 成绩 人数 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 九年级 请根据上述信息，回答下列问题： 填空：______，______； 在收集九年级名学生数据的过程中，将一个数据“”误写成了“”，小宇认为从中位数角度看，不会影响被调查学生户外运动知识水平的反映情况，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由； 随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增强，露营、钓鱼、骑行、爬山等户外运动逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式小宇和小强收集了印有这四种运动的卡片除正面内容外，其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“骑行”和“爬山”的概率． 15.本小题分 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售据了解，辆型汽车，辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车，辆型汽车的进价共计万元． 求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 若该公司计划用不多于万元购进以上两种型号的新能源汽车共辆两种型号的汽车均购买，若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，问：购进型，型汽车各几辆，全部售出后能获得最大利润？最大利润是多少？ 16.本小题分 如图，在中，，点在边上，与相切于点，与相交于，两点，连接，． 求证：平分； 若，，求的半径． 17.本小题12分 综合与实践 问题情境： “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的秋登宣城谢朓北楼，生动描绘了小桥倒映水中的美景春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据： 已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，之间的距离为米，桥拱最高点到水面的距离为米 数学建模： 如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． 求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为米． 若在桥拱最高点处有一个星形灯饰大小忽略不计，求灯饰与其水中倒影之间的距离； 工作人员计划在桥拱悬挂盏红灯笼，其中盏甲型灯笼自身高度为米，另外盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 18.本小题分 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． 如图，求证：∽； 如图，当，时，求的长； 如图，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于． 求证：≌； 当时，直接写出的值． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期初三学业水平考试教学质量监测（三） 数 学 学 科 考试时长：90分钟　满分：100分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.年元旦这天，海拉尔、扎兰屯、牙克石、额尔古纳四地最低气温分别为，，，，这些气温中最低的是(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：给出的四个气温分别为，，，， 计算得各数的绝对值为，，，， ， ， 因此最低气温为， 故选：． 根据正数和负数的概念比较即可． 本题考查有理数比较大小，正数和负数，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 2.下列计算正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据合并同类项、积的乘方、平方差公式、完全平方公式的知识逐项分析判断如下： 选项A：，A错误，不符合题意； 选项B：，B错误，不符合题意； 选项C：，C正确，符合题意； 选项D：，D错误，不符合题意； 故选：． 运用合并同类项、积的乘方、平方差公式、完全平方公式的知识，逐个计算选项判断正误即可． 本题考查了整式的混合运算，熟练掌握运算法则是关键． 3.下列调查中，适合用普查的方式调查的是(     ) A. 了解全国中小学课间分钟的实施情况 B. 了解全国小学放春假的情况 C. 了解某省市民对马年春晚中国产机器人空翻、武术对打节目的评分 D. 某班学生对我国首次海上成功回收载人飞船返回舱的了解情况 【答案】D  【解析】解：根据普查适用于范围小、易全面统计的调查，范围广、调查对象数量大的调查适合抽样调查．据此逐项分析判断如下： 选项调查对象为全国中小学，范围广，适合抽样调查，不符合题意； 选项调查对象为全国小学，范围广，适合抽样调查，不符合题意； 选项调查对象为某省全体市民，数量大、范围广，适合抽样调查，不符合题意； 选项调查对象仅为一个班级的学生，范围小、数量少，适合普查，符合题意； 故选：． 普查适合调查对象范围小、数量少、便于全面统计的调查，调查范围广、对象数量大的调查适合抽样调查，据此分析选项即可． 本题考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握该知识点是关键． 4.如图，这是一靶盘，圆内接四边形是边长为的正方形，现随意向该标靶区域投掷飞镖，则飞镖落在阴影区域的概率为(     ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解：如图，连接、， 是边长为的正方形， ， 、是的半径， 是等腰直角三角形， ， 圆的面积为， 飞镖落在阴影区域的概率为， 故选：． 连接、，求出，圆的面积为，即可得出答案． 本题考查了圆内接四边形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、几何概率，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 5.如图，在中，分别以点和点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于，两点，作直线直线与相交于点，连接，若，则的长是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：由作图过程可知，是的垂直平分线， ， ， ， ，， ， ， ， 是斜边上的中线， ， ， 故选：． 由作图过程可知，是的垂直平分线，由垂直平分线的性质可得，由等边对等角得出，进而证明，推出，可得是斜边上的中线，进而即可求解． 本题主要考查了作图基本作图，线段垂直平分线的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 6.如图，在中，，，以为直径作半按以下步骤操作：以点为圆心，以适当的长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线交半于点，交于点，则、、弧所围成的阴影部分的周长为(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：在中，，， ，， 由作图可知，平分， ， ， 连接，，，则， ， ，， 的长为， 阴影部分的周长为， 故选：． 求出弧长，线段，的长，可得结论． 本题考查作图基本作图，解直角三角形，弧长公式等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，掌握弧长公式，属于中考常考题型． 7.如图，矩形的顶点在反比例函数的图象上，顶点，在第一象限，对角线轴，交轴于点若矩形的面积是，：：，则的值为(     ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由条件可知， ：：， ，， ∽， ：：， ，即， ． 故选：． 根据条件证∽，利用面积比等于相似比平方可得：：，继而可求出值． 本题考查了反比例函数值的几何意义，熟练掌握该知识点是关键． 8.若【答案】A  【解析】解：点和都在一次函数为常数的图象上，且当时，， 即随的增大而减小， ， ， 的值可能是． 故选：． 由当时，利用一次函数的性质可得出，解之即可得出的取值范围，再对照四个选项即可得出结论． 本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键． 点和都在一次函数为常数的图象上，且当时，，则的值可能是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.已知一元二次方程的两个实数根为，，则         ． 【答案】．  【解析】解法一：， 解得，， ． 故答案为：． 根据因式分解法求出方程的解． 本题考查了根与系数的关系，熟练掌握该知识点是关键． 10.如图，烧杯内液体表面与烧杯下底部平行，光线从液体中射向空气时发生折射，光线变成，点在射线上若，，则的度数为         ． 【答案】．  【解析】解：，，， 两直线平行，同位角相等， ， 故答案为：． 由平行线的性质推出，即可求出． 本题考查了平行线的性质，关键是相关性质的熟练掌握． 11.如图，电路图上有四个开关，，，和一个小灯泡，任意闭合其中一个开关，则小灯泡发光的概率等于         ． 【答案】．  【解析】解：根据电路图可知，只有当开关单独闭合时，小灯泡才发光， 小灯泡发光的概率为， 故答案为：． 利用简单概率公式求解． 本题主要考查了概率公式，掌握其相关知识点是解题的关键． 12.如图，在菱形中，对角线与相交于点，，，点在线段上，，点在线段上，，连接，点为的中点，连接，则的长为        ． 【答案】．  【解析】解：在菱形中，对角线与相交于点，，， ，，， ， ， 如图，取中点，连接， 点为的中点，点为的中点， ，， ， ， ， ， 故答案为：． 由菱形对角线互相垂直且平分，可得，，，取中点，连接，则，，再用勾股定理解即可． 本题主要考查了菱形的性质，掌握其相关知识点是解题的关键． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 计算：； 先化简，再求值：，其中． 解： ...............................................3分 ...............................................5分 原式...............................................3分 ，...............................................4分 当时，原式．...............................................5分 根据二次根式的性质，负整数指数幂的运算法则，特殊三角函数值先化简，再计算； 先化简分式，再将代入求值． 本题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是关键． 14.本小题分 随着全民健身与全民健康深度融合，户外运动逐渐成为广大群众喜闻乐见的运动方式为了让学生以享受运动为前提，获取参与户外运动的知识与技能，某校开展了户外运动知识竞赛活动，满分分，并随机在八、九年级各抽取了名学生的成绩成绩得分用表示，且均为整数，将成绩分成四组：，，，，整理数据信息如下： 八年级抽取的学生成绩在组的数据为：，，，，，，，，， 八年级抽取的学生成绩分布表： 等级 成绩 人数 分析数据： 年级 平均数 中位数 众数 优秀率 八年级 九年级 请根据上述信息，回答下列问题： 填空：______，______； 在收集九年级名学生数据的过程中，将一个数据“”误写成了“”，小宇认为从中位数角度看，不会影响被调查学生户外运动知识水平的反映情况，请你判断小宇的结论是否正确？并说明理由； 随着年轻一代消费者逐渐成为消费主力，他们对“走出去”的渴望日益增强，露营、钓鱼、骑行、爬山等户外运动逐渐成为当代年轻人的热门娱乐方式小宇和小强收集了印有这四种运动的卡片除正面内容外，其余完全相同现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，从中随机抽取一张不放回，再从中随机抽取一张请用列表或画树状图的方法求抽到的两张卡片恰好是“骑行”和“爬山”的概率． 【答案】  小宇的结论不正确，理由如下： 由表格可知九年级名学生的中位数是，将数据误写成了，中位数可能会变大，即反映该校学生户外运动知识一般水平发生变化，所以小宇的结论不正确   【解析】解：用抽取总人数分别减去其它三组数的人数求出可得： ，..............................................1分 将组数据重新排列为：，，，，，，，，，， 因为这组数据共有个，第个数是，第个数是， 所以中位数...............................................2分 故答案为：，； 由表格可知九年级名学生的中位数是，将数据误写成了，中位数可能会变大，即反映该校学生户外运动知识一般水平发生变化，所以小宇的结论不正确；...............................................4分 露营，钓鱼，骑行，爬山依次记为，，，，画出树状图： ...............................................5分 由树状图可知：一共有种可能出现的结果，抽到两张卡片恰好是骑行和爬山的结果有种， ．...............................................7分 用抽取总人数分别减去其它三组数的人数求出，再根据中位数的定义解答； 根据中位数的定义解答； 先画出树状图，再根据概率公式计算即可． 本题考查了列表法或树状图法求概率，熟练掌握该知识点是关键． 15.本小题分 随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具，某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售据了解，辆型汽车，辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车，辆型汽车的进价共计万元． 求，两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ 若该公司计划用不多于万元购进以上两种型号的新能源汽车共辆两种型号的汽车均购买，若该汽车销售公司销售辆型汽车可获利元，销售辆型汽车可获利元，问：购进型，型汽车各几辆，全部售出后能获得最大利润？最大利润是多少？ 【答案】每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元  购进辆型汽车，辆型汽车时，能获得最大利润，最大利润是元  【解析】解：设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元， 根据题意列二元一次一方程组得：，...............................................3分 解得．...............................................4分 即每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元， 答：每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元；...............................................5分 设该公司购进辆型汽车，则该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的利润为元 根据题意得：，...............................................6分 整理得，， 解得，...............................................7分 利润， 即，...............................................8分 ， 随的增大而增大， 由题意知，当时，取得最大值，最大值为元，...............................................9分 此时辆． 答：购进辆型汽车，辆型汽车时，能获得最大利润，最大利润是元．.....................10分 设每辆型汽车的进价是万元，每辆型汽车的进价是万元，根据辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元；辆型汽车、辆型汽车的进价共计万元，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组即可出结果； 设该公司购进辆型汽车，全部售出后获得的总利润为元，则该公司购进辆型汽车，又因为总利润每辆型汽车的销售利润型汽车的购进数量每辆型汽车的销售利润型汽车的购进数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，关键是根据题意找到关系式． 16.本小题分 如图，在中，，点在边上，与相切于点，与相交于，两点，连接，． 求证：平分； 若，，求的半径． 【解析】证明：连接，    与圆相切于点，  ， ...............................................2分 ，  ，  ，  ， ...............................................4分 ，  平分...............................................6分 解：由可知，  ，  ，  设，则，  ，  为直径，  ，...............................................8分 ，  ，  ，  ，.................................10分 ，  ，即，  解得，.................................11分 ，  答：的半径为．.................................12分 由平行线等腰三角形即可得求证：易证，，则，即可得证；  由题可得，，设，可得，，，，再根据，可得，代入求解即可． 本题主要考查了切线的性质、平行线的性质、角平分线的定义、解直角三角形等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 17.本小题分 综合与实践 问题情境： “两水夹明镜，双桥落彩虹”出自唐代诗人李白的秋登宣城谢朓北楼，生动描绘了小桥倒映水中的美景春节期间，某公园的工作人员计划对园中一处小桥进行装饰，营造出别样的节日美景． 测量数据： 已知该桥拱呈抛物线型，测得桥拱与水面的交界点，之间的距离为米，桥拱最高点到水面的距离为米 数学建模： 如图，以水面为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系． 求该抛物线的函数表达式； 问题解决： 如图，当水位上涨后，桥拱下水面宽为米． 若在桥拱最高点处有一个星形灯饰大小忽略不计，求灯饰与其水中倒影之间的距离； 工作人员计划在桥拱悬挂盏红灯笼，其中盏甲型灯笼自身高度为米，另外盏乙型灯笼自身高度均为米，若要求灯笼底部距离水面的距离均为米，请直接写出盏灯笼分别与桥拱最高点的水平距离． 【解析】解：轴垂直平分，， ，， 由题意．得， 设该抛物线的函数表达式为，将代入， 得，...........................2分 解得， ...........................4分 由抛物线的对称性，得， 当时，，...........................6分 米， 答：灯饰与其水中倒影之间的距离为米...........................8分 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米，甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为米， 由题意可得，甲型灯笼的悬挂点到的距离为米， 由得，点与之间的距离为米， 甲型灯笼的悬挂点即为点． 甲型灯笼与桥拱最高点的水平距离为米； 由题意可得，乙型灯笼的悬挂点到的距离为米，...........................10分 由得，与之间的距离为米， 该悬挂点到的距离为米， 令，...........................11分 解得或， 乙型灯笼与桥拱最高点的水平距离均为米...........................12分 因为已知抛物线的顶点坐标和与轴的交点坐标，所以可设顶点式来求解函数表达式．因为、和的坐标可由题干数据确定，所以将这些坐标代入顶点式，即可求出参数和的值． 求出点纵坐标，可得点到水面的距离，即可得到点到像点的距离； 因为灯笼底部距离水面的距离为米，所以先确定灯笼底部所在的纵坐标．因为要结合灯笼自身高度，所以可得到灯笼顶部对应的纵坐标，将其代入抛物线表达式，即可求出对应的横坐标，进而得到与点的水平距离． 本题考查二次函数的应用，镜面对称，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 18.本小题分 在中，，将绕点旋转得到，点的对应点在边上，连接． 如图，求证：∽； 如图，当，时，求的长； 如图，过点作的平行线交的延长线于点，连接交于． 求证：≌； 当时，直接写出的值． 【解析】证明：由旋转的性质可知，，，， ， ∽；...........................2分 解：由可知，∽， ，， 又， ， ...........................4分 在直角中，， ， ，...........................5分 ， ， 在直角中，， ， 解得，...........................6分 证明：由旋转的性质可知，，，， ， ， ，...........................7分 ， ， ，， ， 在和中， ， ≌...........................9分 解：如图，作，垂足为，延长、交于点，设， ， ， 在直角中，， ， ， ， ∽，...........................10分 ， ， ， ， ， ≌， ，，...........................11分 ， ，， 在和中， ， ≌， ， ， ∽， ．...........................12分 根据旋转的性质和相似三角形的判定定理进行证明即可； 根据相似三角形的性质可得，是直角三角形，由勾股定理可得，，由旋转的性质可得，，则从而得到，使用勾股定理计算即可； 由旋转的性质可得，，，，则，结合，可证明通过等量代换，可得，则可证明≌； 作，垂足为，延长、交于点，设，则，使用勾股定理计算出容易证明∽，根据相似三角形的性质可得，由等腰三角形的性质，可得，进而得到容易证明≌，则由中的≌，可得由平行判定∽，则，代入即可． 本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，旋转的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质以及勾股定理，熟练掌握相关知识是解题关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $