精品解析：安徽省合肥市第六中学2024-2025学年高一下学期期末教学质量检测数学试题

合肥六中2024-2025学年下学期高一期末教学质量检测 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求出复数z，根据复数模的计算公式，即得答案. 【详解】由，得， 故， 故选：B 2. 用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先根据直观图画法得底不变，再研究高，最后根据三角形面积公式求结果. 【详解】根据斜二测画法的特征，可得底不变，为4，高为 ， 所以直观图的面积是. 故选：A 3. 一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为（ ） A. 12 B. 15 C. 17 D. 19 【答案】D 【解析】 【分析】根据百分位数的计算规则，算出第60百分位数，再算出平均数，列出关于的等式，计算得出的值. 【详解】位置，根据百分位数的计算规则，第60百分位数是第5个数据，即7， 因为这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，所以， 解得. 故选：D 4. 已知平面向量，则在上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据投影向量的定义计算即得. 【详解】∵，∴， 所以在上的投影向量为：. 故选：A. 5. 在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据各选项的条件，结合正弦定理解三角形，判断解的个数，即可得答案. 【详解】对于A，，则，只有一解，A不符合题意； 对于B，，满足，只有一解，B不符合题意； 对于C，，则， 故，结合， 故B有两解，分别在以及之间，C符合题意； 对于D，，则， 故，此时无解，D不符合题意， 故选：C 6. 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别写出样本空间，利用古典概型的概率计算公式求解. 【详解】从两名男生（记为和）、两名女生（记为1和2）中任意抽取两人， 记事件“抽到的两人是一男生一女生”， 在有放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共16个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 在无放回简单随机抽样方式下的样本空间为： 共12个样本点， 其中有8个样本点， 所以. 故选：D. 7. 分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设为边中点，连接，作于，即为中点，求得，，化简得，再通过面积公式和基本不等式即可得到答案. 【详解】设为边中点，连接，作于，即为中点， 因为， 同理， 则 ， 所以，因为， 所以面积为， 当且仅当时取等号. 故选：B 8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证得平面，再求得，从而得为正方体一部分，进而知正方体的体对角线即为球直径，从而得解. 【详解】解法一:为边长为2的等边三角形，为正三棱锥， ，又，分别为、中点， ，，又，平面，平面，，为正方体一部分，，即 ，故选D． 解法二: 设，分别为中点， ，且，为边长为2的等边三角形， 又 中余弦定理，作于，， 为中点，，， ，，又，两两垂直，，，，故选D. 【点睛】本题考查学生空间想象能力，补体法解决外接球问题．可通过线面垂直定理，得到三棱两两互相垂直关系，快速得到侧棱长，进而补体成正方体解决． 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于复数，若，则 B. 若互为共轭复数，则为实数 C. 若是关于的二次方程的根，则 D. 复数满足，则的最小值是 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A，通过举特例可判断选项正误；对于B，由共轭复数概念可判断选项正误；对于C，将代入方程结合复数相等定义可判断选项正误；对于D，设，由题可得，然后由三角变换可得最小值. 【详解】对于A，取，，可得，，故A错误； 对于B，因互为共轭复数，设，则，从而为实数，故B正确； 对于C，将代入方程可得，则，故C正确； 对于D，设，则，令，. 则 ，当且仅当，即时取等号，故D错误. 故选：BC 10. 一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. 两两独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据互斥事件的概念以及相关公式和古典概型与事件独立的乘法公式进行计算与判断即可. 【详解】由题意：事件的样本点为：，事件的样本点为，事件的样本点为. 所以样本点为：，所以，故A正确； 因为的样本点为：，所以的样本点为，又的样本点为，所以事件与互斥，故B正确； 因为的样本点为，所以，，. 因为，所以事件，不相互独立，故C错误； 因为，的样本点为，所以，又，所以，故D正确. 故选：ABD 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 的最小值为 D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用面面平行的判定推理平面平面，然后利用直线与平面相交判断A；利用定义法作出线面角，并在直角三角形中求出线面角的正弦判断B；把三角形与三角形置于同一平面内，利用余弦定理求出线段长判断C；先利用线面垂直的判定推理平面，取棱的中点利用面面平行的判定推理得平面平面，进而平面，从而求出点的轨迹为正六边形，求解周长即可判断D． 【详解】对于A：先证平面平面，由正方体性质可知，且， 且，所以四边形和均为平行四边形， 所以，，因为平面， 在平面外，所以平面，平面， 又平面，，所以平面平面， 又为的中点，为线段上动点（包括端点）， 所以直线与平面相交，从而直线与平面相交，故A错误； 对于B：连接，则，由平面，平面， 得，又，，平面， 则平面，过作交于，连接， 于是平面，是直线与平面所成的角，，，所以，故B正确； 对于C，把三角形与三角形置于同一平面内，连接， 则的最小值为， 在中，，， ， 由余弦定理得，C正确； 对于D，由正方体的性质知平面，平面，所以， 因为四边形为正方形，所以，平面， 所以平面，平面，所以， 同理可得，平面，故平面； 如图， 取棱的中点分别为， 连接，可得六边形为正六边形， 而，平面，平面，故平面， 同理可证平面，，，平面， 故平面平面，所以平面， 即过点且与垂直的平面截正方体所得截面即为正六边形，边长为， 其周长为，所以点的轨迹为正六边形，则点的轨迹长度为，D正确． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则圆台的表面积为_________． 【答案】 【解析】 【分析】求出上、下圆的面积，作出截面，利用勾股定理求出母线的长，进而求出圆台的侧面积，即可求出圆台的表面积. 【详解】由题意， 圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为， ∴上下圆面积分别为：，， 作出截面图，并作出截面上端点对底边的垂线，如下图所示， 由几何知识得， ，，，， 在Rt中，， 由勾股定理得，， ∴圆台的侧面积为：， ∴圆台的表面积为：， 故答案为：. 13. 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件，将其分成两种情况，利用相互独立事件的概率乘法公式和互斥事件的概率加法公式计算即得. 【详解】在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局包括两种情况： (1)后四球胜方依次是甲、乙、甲、甲，则概率为， (2) 后四球胜方依次是乙、甲、甲、甲，则概率为， 由互斥事件的概率加法公式，所求事件的概率为. 故答案为：. 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用三角恒等变换公式和正余弦定理对已知条件进行变形，从而可求出A，再利用正弦定理边化角和三角函数性质可求答案. 【详解】∵，∴， ∴ 由余弦定理得，， ∴， ∴由得，，∴， ∴，，. 又由正弦定理得，， ， 是锐角三角形，， ， ，， . 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理即可证明结论； （2）作出异面直线与所成角，判断是直角三角形，即可求得答案. 【小问1详解】 连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 【小问2详解】 取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 16. 记的内角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，为的中点且，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理及两角和的正弦公式将已知化为，利用化简得，根据角的范围即可求解. （2）将平方得，再根据余弦定理得，即可求解. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可知：， 所以，即， 因为，所以，所以，所以， 因为，所以． 【小问2详解】 在中，因为， 所以. 所以①， 又由余弦定理，所以②． 联立①②可得． 17. 新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． （2）学校建议，本次物理测试成绩不低于分学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． （3）已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 【答案】（1）图见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图各小矩形面积和为1及频率、频数的关系求解. （2）根据频率分布直方图求第70百分位数可得； （3）根据方差的求法，方差转化为，进而可得. 【小问1详解】 由频率分布直方图可得物理测试成绩在的频率为 ， 频数为， 所以1800名学生中物理测试成绩在内的频数为270，补全频率分布直方图如图所示． 【小问2详解】 易得前两段频率之和为，前三段频率之和， 则有 满足，所以（分） 【小问3详解】 成绩在的频数为270人，， 成绩在的频数为540人，， 所以的学生成绩的平均值为， 由方差公式知，， 所以该班成绩的方差为： 所以的最大值为． 18. 如图，在四棱锥中，底面，是的中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先证平面，再证平面，即可证； （2）由可求； （3）为二面角的平面角，求出，可求. 【小问1详解】 证明：因为底面，底面，所以， 因为四边形为正方形，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 在中，因为，是的中点，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以， 因为，平面，所以平面， 因为平面，所以． 【小问2详解】 连接交于点，如图所示： 则，又因底面，平面，所以， 因为，平面，所以平面，则点到平面的距离为，因为是的中点，所以， 因为底面正方形边长为，所以，， 所以，， 所以， ，所以． 在中，满足，有， 所以， 设点到平面的距离为， 由可得 【小问3详解】 由（1）可得平面，因为平面平面， 所以，所以为二面角的平面角， ， 因为，，所以， 所以，解得， 因为，即，所以， 故二面角的余弦值为． 19. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令则是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号. （1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值； （2）甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； （3）甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求. 【答案】（1）列举出第二次排序时所有可能的及相应的值如下： （2） （3） 【解析】 【分析】（1）列举出第二次排序时所有可能的及相应的值如表所示； （2）根据（1）的结果，先计算，设甲参加第一轮测试值记为，第二轮测试值记为，则即可求解； （3）先计算，再计算两轮测试中被授予“特级品酒师”称号的概率，最后计算即可. 【小问1详解】 列举出第二次排序时所有可能的及相应的值列表如下： 【小问2详解】 由（1）可知，， 设甲参加第一轮测试值记，第二轮测试值记为， 所以 . 【小问3详解】 由（1）可知，， 则两轮测试中被授予“特级品酒师”称号的概率， 所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥六中2024-2025学年下学期高一期末教学质量检测 数 学 （考试时间：120分钟 满分：150分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 复数满足，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 用斜二测画法画一个边长为4的正三角形的直观图，则直观图的面积是（ ） A. B. C. D. 3. 一组数据按从小到大排列为：1，2，4，6，7，10，．这组数据的第60百分位数等于他们的平均数，则为（ ） A 12 B. 15 C. 17 D. 19 4. 已知平面向量，则在上投影向量为（ ） A. B. C. D. 5. 在中，内角的对边分别为，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是（ ） A. B. C D. 6. 从两名男生和两名女生中任意抽取两人，分别采取有放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样，在以上两种抽样方式下，抽到的两人是一男一女的概率分别为（ ） A. B. C. D. 7. 分别为的外心和重心，，若，则的面积的最大值（ ） A. 2 B. C. D. 8. 已知三棱锥P-ABC的四个顶点在球O的球面上，PA=PB=PC，△ABC是边长为2的正三角形，E，F分别是PA，AB的中点，∠CEF=90°，则球O的体积为 A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于复数，若，则 B. 若互共轭复数，则为实数 C. 若是关于的二次方程的根，则 D. 复数满足，则的最小值是 10. 一个质地均匀的正八面体，八个面分别标以数字1到8，任意抛掷一次这个正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为，记事件“得到的点数不大于4”，记事件“得到的点数为偶数”，记事件“得到的点数为质数”，则下列说法正确的是（ ） A. B. 事件与互斥 C. 两两独立 D. 11. 如图，在棱长为2的正方体中，为的中点，为线段上动点（包括端点），则下列说法中正确的是（ ） A. 存在点使得平面 B. 直线与平面所成角正弦值为 C. 的最小值为 D. 若点在正方体，表面上运动（包含边界），且，则点的轨迹长度为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知圆台的上、下底面半径分别为1和2，高为，则圆台的表面积为_________． 13. 甲、乙两运动员进行乒乓球比赛，在一局比赛中，先得11分的运动员为胜方，如果出现平的情况，先多得2分者为胜方．在平后，双方实行轮换发球，每人每次只发1个球．若在某局比赛中，甲发球时甲得分的概率为，乙发球时甲得分的概率为，各球的结果相互独立，在双方平后，甲先发球，则甲以赢下此局的概率为_________． 14. 在锐角中，内角所对的边分别为，且，则的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． （1）证明：平面； （2）求异面直线与所成角的余弦值． 16. 记的内角的对边分别为，满足． （1）求角； （2）若，为的中点且，求． 17. 新高考模式下，学生是否选择物理作为高考考试科目对大学专业选择有着非常重要的意义．合肥六中为了解高一年级1800名学生物理科目的学习情况，将他们某次物理测试成绩（满分100分）按照分成6组，制成如图所示的频率分布直方图． （1）求1800名学生中物理测试成绩在内的频数并补全频率分布直方图． （2）学校建议，本次物理测试成绩不低于分的学生选择物理为高考考试科目，若学校希望高一年级恰有的学生选择物理为高考考试科目，试求的估计值（结果精确到）． （3）已知落在的学生成绩的平均数为，方差，落在的学生成绩的平均数为，方差，若两组学生成绩的平均数之差不大于6，求落在的学生成绩的方差的最大值． 18. 如图，在四棱锥中，底面，是中点，点在棱上，且，四边形为正方形，． （1）证明：； （2）求点到平面的距离； （3）求二面角的余弦值． 19. 品酒师需定期接受酒味鉴别功能测试.一种通常采用的测试方法如下：拿出瓶外观相同但品质不同的酒让其品尝，要求其按品质优劣为它们排序，经过一段时间，等其记忆淡忘后，再让其品尝这瓶酒，并重新按品质优劣为它们排序，这称为一轮测试.根据一轮测试中的两次排序偏离程度的高低对其酒味鉴别能力进行评价.现设，分别以表示第一次排序时被排为的三种酒在第二次排序时的序号，并令则是对两次排序的偏离程度的一种描述.若两轮测试都有，则该品酒师被授予“特级品酒师”称号；若两轮测试都有，且至少有一轮测试出现，则该品酒师被授予“一级品酒师”称号. （1）用下列表格形式写出第二次排序时所有可能的排序结果，并求出相应的值； （2）甲参加了两轮测试，两轮测试结果相互独立，记事件“甲被授予一级品酒师称号”，求； （3）甲连续两年都参加了两轮测试，两年测试结果相互独立，记事件“在这两年中甲至少有一次被授予特级品酒师称号”，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $