专题06 数据分析与新定义（期末真题汇编，北京专用北京版）八年级数学下学期

**基本信息** 北京各区期末真题汇编，聚焦数据分析（频率、方差、统计图表）与新定义问题，兼具地域性与实战性，适配初中数学期末复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----|----| |单选题|5道|频率、方差计算与比较|结合运动员成绩、投篮数据等情境，考查数据稳定性分析| |填空题|5道|方差性质、频率计算|通过身高数据、测试分组等，强化基础概念应用| |解答题|14道|数据分析（频数分布表/图、用样本估计总体）、新定义（平面直角坐标系新定义）|数据分析题关联体育活动时长、零件质量检测等现实问题；新定义题如“阶遥远点”“关联点”，融合几何直观与逻辑推理，贴合中考命题趋势|

专题06 数据分析与新定义 3大高频考点概览 考点01 频率与方差 考点02 数据分析 考点03 新定义 地 城 考点01 频率与方差 一、单选题 1．(24-25八下·北京平谷区·期末)有7个互不相等的数组成了一组数据，其平均数a与这7个数都不相等，把a和这7个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（  ） A．新数据的平均值比原数据的平均值小 B．新数据的方差比原数据的方差大 C．这两组数据的中位数可能相同 D．以上结论都不正确 2．(24-25八下·北京顺义区·期末)已知一组数据4，5，5，6，，要使这组数据的方差最小，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 3．(24-25八下·北京房山区·期末)下表记录了四名男子跳远运动员最近10次训练成绩（单位：）的平均数与方差： 1号 2号 3号 4号 平均数 7.98 7.85 7.83 7.98 方差 1.4 2.8 0.9 3.6 要选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（   ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 4．(24-25八·北京通州区·期末)如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（    ）    A． B． C． D．无法确定 5．(24-25八下·北京昌平区·期末)体育课上，甲、乙两名同学进行了8组投篮练习，每组练习投篮10次，下表是甲、乙两名同学的进球数记录，设两组数据的平均数分别为，，方差分别为，，则下列说法正确的是（    ）． 甲 7 4 7 10 9 8 7 4 乙 6 7 8 6 8 7 7 7 A．， B．， C．， D．， 二、填空题 6．(24-25八下·北京顺义区·期末)某校有甲、乙两个舞蹈队，每个舞蹈队各有5名学生，测量并获取了这两个舞蹈队学生的身高（单位：），整理数据如下： 甲队 163 165 165 166 167 乙队 161 165 166 168 173 如果一个舞蹈队学生的身高的方差越小，那么该队舞台呈现效果越好．据此推断，在甲、乙两队中，舞台呈现效果更好的是________（填“甲队”或“乙队”）． 7．(24-25八下·北京房山区·期末)小雯要计算一组数据94，89，90，92，87，98的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据4，，0，2，，8，若这组新数据的方差为，则________（填“”“”或“”）． 8．(24-25八下·北京石景山区·期末)一组数据，，，的方差为___________． 9．(24-25八·北京通州区·期末)某班进行体育中考模拟测试，按测试成绩将40人分成5个小组，第5组的频率是，则第5小组有_____名同学． 10．(24-25八下·北京延庆区·期末)一组数据“，，，”的方差为，则_____． 地 城 考点02 数据分析 一、解答题 1．(24-25八下·北京平谷区·期末)2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取50名学生，记录这50名学生某日校外体育活动时长（单位：分钟）．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息： a．50名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．50名学生校外体育活动时长在这一组的是： 55  55  56  56  56  56  56  56  56  56 56  56  56  57  57  58  58  59  59  59 c．50名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 (1)根据以上信息，回答下列问题： ①补全频数分布直方图； ②的值为 ，的值为 ． (2)甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 59 丙 60 60 60 59 对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 2．(24-25八下·北京顺义区·期末)某厂加工了5000个零件，从中随机抽取了部分零件检测了它们的质量（单位：g），对这些零件质量的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．零件质量频数分布表： 分组/g 频数 频率 4 0.08 7 16 0.32 14 0.28 0.12 3 0.06 合计 1.00 b．零件质量频数分布直方图： 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)当一个零件的质量满足时，评定该零件为一等品．估计这5000个零件中一等品的个数． 3．(24-25八下·北京房山区·期末)房山区第二届中小学数学节在2025年3月启动，本届数学节以“数启智慧，学创未来”为主题．某学校组织了“数学节设计大赛”活动，共有160名同学参与（全校共32个班，每班5名同学参与），评委小组给每位同学的参赛作品打分（百分制）． (1)为了更好地了解本次大赛成绩的分布情况，随机抽取了40名同学的成绩作为样本，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．40名同学成绩的频数分布表与频数分布直方图如下： 40名同学成绩的频数分布表 分组/成绩x 频数 频率 2 0.05 m 0.10 10 0.25 10 0.25 合计 40 1.00 40名同学成绩的频数分布直方图 b．40名同学成绩在这一组的数据如下表所示： 成绩（分） 80 82 85 87 88 89 频数 4 2 1 1 1 1 根据以上信息，回答下列问题： ①________； ②补全40名同学成绩的频数分布直方图； ③学校准备对成绩优秀（分数不低于85分）的同学进行表彰，通过分析样本数据，估计160名参与者中可获得表彰的有________名学生； (2)学校准备对成绩优秀的班级也进行表彰．对每个班级，计算5名参赛同学成绩的平均数和方差，平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的班级排序靠前．其中，甲、乙、丙三个班每班5名同学的成绩如下： 班级 成绩1 成绩2 成绩3 成绩 成绩5 甲班 93 92 93 93 94 乙班 91 95 94 92 p 丙班 92 91 94 93 94 若乙班在甲、乙、丙三个班中排序居中，则这三个班中排序最靠前的是________班，表中p（p为整数）的值为________． 4．(24-25八下·北京石景山区·期末)据灯塔专业版数据，截至年月日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房(包含港澳台和海外票房)已突破亿元，排名全球影视票房第五、某校电影兴趣小组整理了该影片上映前天(年月日至月日)每日的票房(单位：亿元)，相关信息如下： a．《哪吒之魔童闹海》上映前天的单日票房统计图： b．将前天单日票房的数据分组整理后，画出部分组的频数分布直方图如下(数据分成组：，，，，)： c．影片放映前天分时段的单日票房的平均数、方差如下： 时段 第天 第天 平均数 方差 根据以上信息，完成下列问题： (1)完成频数分布直方图 (2)该影片放映的第天(年月日至月日)的单日票房平均数约为亿元，则前天的单日票房平均数约为第天的___________倍(结果保留整数)         (3)___________(填“>”“<”或“=”)． 5．(24-25八·北京通州区·期末)在2025年十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫生健康委员会宣布实施“体重管理年”3年行动．旨在引导全社会养成重视体重、科学饮食与锻炼的习惯，健康生活，（身体质量指数）是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准． a．九年级男女生标准如下： 等级 九年级男生标准 九年级女生标准 低体重 正常 超重 肥胖 b．某校九年级（1）班男女生统计图如下： c．该校九年级（1）班男生在13.2～19.6的数据为： 14.1，14.5，15.9，16.3，16.5，16.6，16.6，16.7，16.9，17.1，17.5，18.1，18.4； (1)九年级（1）班男生正常的人数是 人，的中位数为 ； (2)扇形统计图中低体重的圆心角为 °； (3)该校九年级共有男生440人，女生400人，估算该校正常的人数． 6．(24-25八下·北京昌平区·期末)2025年5月20日是第36届中国学生营养日，为了解学生的营养状况，某校开展“数学+生物”跨学科实践活动，各小组自主选择探究主题．水是七大营养素之一，科学饮水有助于维持身体健康，因此某小组决定开展初中生饮水习惯调查．该小组从不同地区的两个学校各抽取n名初二年级学生进行调查，其中学校A的饮水量数据x的频数分布表与频数分布直方图如下所示： 分组/升 频数 频率 3 0.0375 6 0.0750 14 0.1750 19 0.2375 12 0.1500 9 0.1125 a b 7 0.0875 2 0.0250 合计 n 1.0000 (1)填空：______，______，______； (2)补全频数分布直方图； (3)根据中国营养学会制定的《中国学龄儿童膳食指南（2022）》，学龄儿童每日的饮水量应为0.8～1.4升．已知学校A初二年级共有210人，请你估计初二年级学生饮水量达到标准的人数； (4)学校A、学校B学生饮水量的中位数分别为，，其中，则______（填“＞”，“＝”，“＜”）． 7．(24-25八下·北京延庆区·期末)为了提升学生的数学核心素养，激发学生学习数学的兴趣，某校组织了“数学节”活动，设置了数学小游戏、作品展示、数学知识竞赛三个主题．在活动中，学校有200名学生参加了数学知识竞赛，从中随机抽取40名学生的成绩（百分制）数据，整理并绘制了如下统计图表： 40名学生成绩的频数分布表 成绩（分） 频数 频率 合计 40名学生成绩的频数分布直方图 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中的值为_____，的值为_____； (2)补全频数分布直方图； (3)若对成绩不低于80分的学生进行奖励，估计参加数学知识竞赛的200名学生中获得奖励的学生有_____名． 地 城 考点03 新定义 一、解答题 1．(24-25八下·北京平谷区·期末)对于实数和平面直角坐标系中的两点和给出如下定义：如果或者，则称点和点是阶遥远点．如果图形上任意点和图形上任意点都是阶遥远点，则称图形和图形是阶遥远图形． 已知点，，，． (1)下列各点中，点A的阶遥远点是 ； ，，，． (2)如果直线与四边形是1阶遥远图形，求的取值范围． (3)已知点，，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，若等腰直角与四边形为阶遥远图形，直接写出实数的取值范围． 2．(24-25八下·北京顺义区·期末)在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得，则称点是图形的“关联点”． (1)如图，点． ①在点，，中，线段的“关联点”是________； ②若点是线段的“关联点”，则的取值范围是________， (2)已知点，，，，，，且线段上的任意一点都是四边形的“关联点”，直接写出的取值范围． 3．(24-25八下·北京房山区·期末)在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：点P是图形上任意一点，点是图形上任意一点，取线段中点．则称点T是图形和图形的“居中点”． (1)如图1，点，点． ①在点，，中，点 是点O和线段的“居中点”； ②若点是直线和线段的“居中点”，则的最大值为 ； (2)已知点，，，，，，若图形上存在图形和线段的“居中点”，直接写出的取值范围． 4．(24-25八下·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．对于线段与轴上的点，给出如下定义：将线段绕点旋转得到线段(，分别是，的对应点)，若线段的两个端点都在四边形的边上，则称线段是四边形的以点为中心的“关联线段”． (1)如图，点，，，．在线段，，中，四边形的以点为中心的“关联线段”是___________   (2)点．若线段是四边形的以点为中心的“关联线段”，则点的横坐标的最小值为___________         (3)点．若直线上存在点，使得线段是四边形的以点为中心的“关联线段”，直接写出的取值范围． 5．(24-25八·北京通州区·期末)在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度得到点，点绕点M逆时针旋转得到点Q，称点Q为点P关于点M的“k阶变换点”．已知点． (1)如图1，若点，点Q为点P关于点M的“1阶变换点”则点Q的坐标为 ； (2)如图2；若点M为x轴上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，点Q的纵坐标为，求点M的坐标； (3)如图3，正方形，点A坐标为，M是正方形上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，直接写出的取值范围． 6．(24-25八下·北京昌平区·期末)对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：图形和上任意两点间距离的最小值，称为图形与图形的“下限距离”，记作．图形和上任意两点间距离的最大值，称为图形与图形的“上限距离”，记作．        (1)若，，图形为线段，图形为线段． 如图，，，则的值是______，的值是______； 点，是直线上的点（点在点左侧），且满足，则的最小值为______，当取最小值时，的取值范围是______； (2)图形为正方形，边长为，对角线在轴上，图形N是直线上的线段（点在点左侧），，若存在，且满足最大值是，直接写出点的坐标． 7．(24-25八下·北京延庆区·期末)在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义： 如果存在点，使得以为对角线的四边形是平行四边形，则称点是点关于线段的“关联点”．已知，，，，，，． (1)在点，，中，点_____是点关于线段的“关联点”； (2)求点关于线段的“关联点”的坐标； (3)若点关于线段的“关联点”在的内部，直接写出的取值范围． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 数据分析与新定义 3大高频考点概览 考点01 频率与方差 考点02 数据分析 考点03 新定义 地 城 考点01 频率与方差 一、单选题 1．(24-25八下·北京平谷区·期末)有7个互不相等的数组成了一组数据，其平均数a与这7个数都不相等，把a和这7个数组成一组新的数据，下列结论正确的是（  ） A．新数据的平均值比原数据的平均值小 B．新数据的方差比原数据的方差大 C．这两组数据的中位数可能相同 D．以上结论都不正确 【答案】D 【分析】设7个数据为，则，根据平均数，方差，中位数的定义计算判定即可．本题考查了中位数，方差，平均数的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：设7个数据为，且， 则，即， 则，故平均数不变，A错误； 根据方差定义，得起始数据的方差为：， 新数据的方差为： ， 分子相同，分母变大，故新方差变小，故B错误； 根据，则起始数据的中位数为， 新数据的中位数是从小到大排列后中间两个数的平均数，即第4个，第5个数据的平均数， ∵平均数a与这7个数都不相等，即新数据中的8个数据互不相等， ∴新数据从小到大排列后第4个，第5个数据的平均数不与相等，故C错误； 故D正确． 故选：D． 2．(24-25八下·北京顺义区·期末)已知一组数据4，5，5，6，，要使这组数据的方差最小，则的值为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了求方差，先求出平均数为，再根据方差计算公式表示出方差，利用偶次方的非负性求解即可． 【详解】解：∵原数据为4、5、5、6、， ∴平均数为． ∴方差为 ， ∵， ∴，当且仅当，即时等号成立， ∴， 故选：C． 3．(24-25八下·北京房山区·期末)下表记录了四名男子跳远运动员最近10次训练成绩（单位：）的平均数与方差： 1号 2号 3号 4号 平均数 7.98 7.85 7.83 7.98 方差 1.4 2.8 0.9 3.6 要选择一名成绩好且发挥稳定的运动员参加比赛，应该选择（   ） A．1号 B．2号 C．3号 D．4号 【答案】A 【分析】本题考查了平均数和方差，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．首先比较平均数，平均数相同时选择方差较小的参加比赛． 【详解】解：∵1号和4号的平均数较大， ∴从1号和4号中选择一人参加竞赛， ∵1号的方差较小， ∴选择1号参加比赛， 故选：A． 4．(24-25八·北京通州区·期末)如图是甲、乙两人5次投篮成绩统计图（每人每次投球10个），则对于方差的描述正确的是（    ）    A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】根据甲、乙的进球的统计图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小，由此即可得到答案． 【详解】解：由图可知，甲的成绩波动幅度比乙的波动幅度小， ∴ ， 故选：A． 【点睛】本题主要考查了方差的定义，解题的关键在于能够熟练掌握，波动越小，方差越小，数据越稳定． 5．(24-25八下·北京昌平区·期末)体育课上，甲、乙两名同学进行了8组投篮练习，每组练习投篮10次，下表是甲、乙两名同学的进球数记录，设两组数据的平均数分别为，，方差分别为，，则下列说法正确的是（    ）． 甲 7 4 7 10 9 8 7 4 乙 6 7 8 6 8 7 7 7 A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】本题主要考查平均数与方差，解题的关键是掌握平均数与方差的计算公式． 首先依据平均数计算公式分别计算出，，即可判断其大小；再依据方差的计算公式分别计算甲、乙的方差即可作出判断． 【详解】解：∵， ， 故选：B． 二、填空题 6．(24-25八下·北京顺义区·期末)某校有甲、乙两个舞蹈队，每个舞蹈队各有5名学生，测量并获取了这两个舞蹈队学生的身高（单位：），整理数据如下： 甲队 163 165 165 166 167 乙队 161 165 166 168 173 如果一个舞蹈队学生的身高的方差越小，那么该队舞台呈现效果越好．据此推断，在甲、乙两队中，舞台呈现效果更好的是________（填“甲队”或“乙队”）． 【答案】甲队 【分析】本题考查了平均数、方差，熟记方差的计算公式和方差的意义是解此题的关键． 分别计算出两队同学的身高的平均数和方差，比较方差大小即可得出答案． 【详解】甲队的平均身高， 甲队的方差， 乙队的平均身高， 乙队的方差， ， 甲队舞台呈现效果更好． 故答案为：甲队． 7．(24-25八下·北京房山区·期末)小雯要计算一组数据94，89，90，92，87，98的方差，在计算平均数的过程中，将这组数据中的每一个数都减去90，得到一组新数据4，，0，2，，8，若这组新数据的方差为，则________（填“”“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查方差的意义：一般地设个数据，，，的平均数为，则方差，它反映了一组数据的波动大小，方差越大，波动性越大，反之也成立，关键是掌握一组数据都加上同一个非零常数，方差不变． 根据一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个非零常数，那么这组数据的波动情况不变，即方差不变，即可得出答案． 【详解】解：一组数据中的每一个数据都加上（或都减去）同一个常数后，它的平均数都加上（或都减去）这一个常数，两数进行相减，差不变，则方差不变， ． 故答案为：． 8．(24-25八下·北京石景山区·期末)一组数据，，，的方差为___________． 【答案】 【分析】本题考查了方差的计算公式．一般地设n个数据，，，…的平均数为，则方差． 先求出平均数，再根据方差的计算公式进行计算即可． 【详解】解：数据，，，的平均数为：， 数据，，，的方差为： ． 故答案为：． 9．(24-25八·北京通州区·期末)某班进行体育中考模拟测试，按测试成绩将40人分成5个小组，第5组的频率是，则第5小组有_____名同学． 【答案】12 【分析】本题主要考查了频率的计算公式：频数频率数据总和，是需要识记的内容．根据频数频率数据总和，计算可得答案． 【详解】解：名， 故答案为：12． 10．(24-25八下·北京延庆区·期末)一组数据“，，，”的方差为，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查方差的有关计算，熟练掌握方差计算公式是解题关键，若一组数据、……，为平均数，那么该组数据的方差为：．先求出该组数据的平均数，再利用方差公式计算求解即可． 【详解】解：∵平均数为 ∴， 故答案为：． 地 城 考点02 数据分析 一、解答题 1．(24-25八下·北京平谷区·期末)2025年2月，北京市教育委员会发布《关于进一步加强新时代中小学体育工作的若干措施》，明确要求中小学每天综合体育活动时间不低于2小时．某校从初二年级随机抽取50名学生，记录这50名学生某日校外体育活动时长（单位：分钟）．研究小组对数据进行整理分析，得到如下信息： a．50名学生校外体育活动时长的频数分布直方图如下（数据分成5组：，，，，）： b．50名学生校外体育活动时长在这一组的是： 55  55  56  56  56  56  56  56  56  56 56  56  56  57  57  58  58  59  59  59 c．50名学生校外体育活动时长的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 (1)根据以上信息，回答下列问题： ①补全频数分布直方图； ②的值为 ，的值为 ． (2)甲、乙、丙三名学生参加为期5天的专项训练，每日活动时长记录如下（单位：分钟）： 学生 第一天 第二天 第三天 第四天 第五天 甲 64 58 60 60 59 乙 60 63 60 60 59 丙 60 60 60 59 对每一名学生计算5天活动时长的平均数和方差．规定平均数较大的学生排序靠前；若平均数相同，则方差较小的学生排序靠前．若丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中，则这三名学生中排序最靠前的是 ，表中（为整数）的值为 ． 【答案】(1)补全频数分布直方图见解析，，； (2)乙，． 【分析】本题考查了频数分布直方图，求一组数据的平均数，中位数、众数和方差，列不等式求p的值是解题的关键． （）样本容量减去已知各组的人数，即得这一组的人数，即可补全图形； 在这一组的数据从小到大排列的第8和第9个数据就是中间两个数据，它们的平均值即为中位数；这一组中的数据56的人数最多，是人，且超过其他组的最多人数，故求得众数； （）计算，的值，即知三名学生中排序最靠前的是甲学生；根据列出不等式，求得，所以或，再分两种情况分别求出三位学生的方差值验证即可． 【详解】（1）解：这一组的频数为， 故可补全频数分布直方图如下： ；根据频数分布直方图可知，和两组共有17人， 因此中位数在这一组中产生， 在这一组的数据从小到大排列的第8和第9个数据均为56， 故中位数为：； 根据频数分布直方图可知，这一组中的数据56的人数最多，是11人，且超过其他组的最多人数， 所以众数的值为， 故答案为：，； （2）解：∵丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中， ∴只需比较甲乙， 由，， ， 所以这三名学生中排序最靠前的是乙学生； ， ， 丙在甲、乙、丙三名学生中的排序居中， ， ， 解得， 为整数， 或， 当时，， 此时，，，符合题意； 当时，， 此时，，，不符合题意； 综上所述，表中的值为． 故答案为：乙，． 2．(24-25八下·北京顺义区·期末)某厂加工了5000个零件，从中随机抽取了部分零件检测了它们的质量（单位：g），对这些零件质量的数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．零件质量频数分布表： 分组/g 频数 频率 4 0.08 7 16 0.32 14 0.28 0.12 3 0.06 合计 1.00 b．零件质量频数分布直方图： 根据以上信息，回答下列问题： (1)________，________，________； (2)请补全频数分布直方图； (3)当一个零件的质量满足时，评定该零件为一等品．估计这5000个零件中一等品的个数． 【答案】(1)6；50；； (2)见解析 (3)估计这5000个零件中一等品的个数为个． 【分析】本题考查了频数和频率，频数分布直方图，利用样本频率估计总体，根据题意找出所需数据是解题关键． （1）先利用频数频率求出抽取的零件总数，再求出和即可； （2）根据（1）所得数据补全频数分布直方图即可； （3）用5000个零件乘以一等品的频数求解即可． 【详解】（1）解：抽取的零件总数为个，即； 则，， 故答案为：6；50；； （2）解：补全频数分布直方图如下： （3）解：（个）， 答：估计这5000个零件中一等品的个数为个． 3．(24-25八下·北京房山区·期末)房山区第二届中小学数学节在2025年3月启动，本届数学节以“数启智慧，学创未来”为主题．某学校组织了“数学节设计大赛”活动，共有160名同学参与（全校共32个班，每班5名同学参与），评委小组给每位同学的参赛作品打分（百分制）． (1)为了更好地了解本次大赛成绩的分布情况，随机抽取了40名同学的成绩作为样本，并对数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．40名同学成绩的频数分布表与频数分布直方图如下： 40名同学成绩的频数分布表 分组/成绩x 频数 频率 2 0.05 m 0.10 10 0.25 10 0.25 合计 40 1.00 40名同学成绩的频数分布直方图 b．40名同学成绩在这一组的数据如下表所示： 成绩（分） 80 82 85 87 88 89 频数 4 2 1 1 1 1 根据以上信息，回答下列问题： ①________； ②补全40名同学成绩的频数分布直方图； ③学校准备对成绩优秀（分数不低于85分）的同学进行表彰，通过分析样本数据，估计160名参与者中可获得表彰的有________名学生； (2)学校准备对成绩优秀的班级也进行表彰．对每个班级，计算5名参赛同学成绩的平均数和方差，平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的班级排序靠前．其中，甲、乙、丙三个班每班5名同学的成绩如下： 班级 成绩1 成绩2 成绩3 成绩 成绩5 甲班 93 92 93 93 94 乙班 91 95 94 92 p 丙班 92 91 94 93 94 若乙班在甲、乙、丙三个班中排序居中，则这三个班中排序最靠前的是________班，表中p（p为整数）的值为________． 【答案】(1)①；②见详解；③ (2)甲， 【分析】本题主要考查频数分布直方图，平方数，方差的运用，掌握以上知识的计算是关键． （1）①根据频数的计算方法求解即可；②根据频数得到的人数，由此即可补全图形；③根据样本百分比估算总体数量的计算方法求解； （2）分别算出平均分，方差进行比较即可求解． 【详解】（1）解：①； ②的人数为：（人）， ∴补全图形如下， ③成绩优秀（分数不低于85分）的同学的人数为（人）， ∴（人）； （2）解：平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的班级排序靠前， 甲班5名参赛同学成绩的平均数为（分），方差为， 乙班5名参赛同学成绩的平均数为（分）， 丙班5名参赛同学成绩的平均数为（分）， ∵乙班在甲、乙、丙三个班中排序居中，，， ∴这三个班中排序最靠前的是甲， 当乙、丙平均分相同时，， 解得，， 此时乙班的方差为， ∵， ∴不符合题意，舍去， ∴乙班的平均分高于丙班的平均分， ∴当时，，不符合题意； 当时，，符合题意， 此时乙班的方差为， ∴，， 符合平均数较大的班级排序靠前，若平均数相同，则方差较小的班级排序靠前， ∴． 4．(24-25八下·北京石景山区·期末)据灯塔专业版数据，截至年月日，《哪吒之魔童闹海》全球总票房(包含港澳台和海外票房)已突破亿元，排名全球影视票房第五、某校电影兴趣小组整理了该影片上映前天(年月日至月日)每日的票房(单位：亿元)，相关信息如下： a．《哪吒之魔童闹海》上映前天的单日票房统计图： b．将前天单日票房的数据分组整理后，画出部分组的频数分布直方图如下(数据分成组：，，，，)： c．影片放映前天分时段的单日票房的平均数、方差如下： 时段 第天 第天 平均数 方差 根据以上信息，完成下列问题： (1)完成频数分布直方图 (2)该影片放映的第天(年月日至月日)的单日票房平均数约为亿元，则前天的单日票房平均数约为第天的___________倍(结果保留整数)         (3)___________(填“>”“<”或“=”)． 【答案】(1)见解析 (2)11 (3) 【分析】本题考查了统计图的相关知识． （1）根据散点图求出，的数据，再补全频数分布直方图即可； （2）根据c求出前天的单日票房平均数，再比较即可； （3）根据散点图判断即可． 【详解】（1）解：由散点图可知有三个点在，有七个点在， 补全频数分布直方图如下： （2）解：由c可知：前天的单日票房平均数． ∴前天的单日票房平均数约为第-天的， 故答案为：； （3）解：由散点图可知，第-天的数据集中在之间，而第-天的数据分布较乱，在之间均有分布， ∴第-天的数据比第-天的数据稳定， 即， 故答案为：． 5．(24-25八·北京通州区·期末)在2025年十四届全国人大三次会议民生主题记者会上，国家卫生健康委员会宣布实施“体重管理年”3年行动．旨在引导全社会养成重视体重、科学饮食与锻炼的习惯，健康生活，（身体质量指数）是国际上常用的衡量人体胖瘦程度以及是否健康的一个标准． a．九年级男女生标准如下： 等级 九年级男生标准 九年级女生标准 低体重 正常 超重 肥胖 b．某校九年级（1）班男女生统计图如下： c．该校九年级（1）班男生在13.2～19.6的数据为： 14.1，14.5，15.9，16.3，16.5，16.6，16.6，16.7，16.9，17.1，17.5，18.1，18.4； (1)九年级（1）班男生正常的人数是 人，的中位数为 ； (2)扇形统计图中低体重的圆心角为 °； (3)该校九年级共有男生440人，女生400人，估算该校正常的人数． 【答案】(1)18，17.8 (2)36 (3)估计该校共有680人正常 【分析】（1）根据中位数的定义求解即可； （2）减去其余的角度即可； （3）总人数乘以样本中优秀人数所占比例即可． 【详解】（1）解： 在等级中有11个正常数据：；在等级中有7个正常数据 该校九年级（1）班男生正常的人数是人 ； 的中位数为； 故答案为: ； （2）根据统计图，低体重的人数占比为，因此，扇形统计图中低体重的圆心角为； 故答案为:36； （3）人， 答:估计该校共有680人正常． 【点睛】本题考查了统计图的应用，解题的关键是能够从统计图中获取有用的信息，并进行正确的计算．同时，本题也体现了数学在实际生活中的应用，有助于提高学生的数学应用能力． 6．(24-25八下·北京昌平区·期末)2025年5月20日是第36届中国学生营养日，为了解学生的营养状况，某校开展“数学+生物”跨学科实践活动，各小组自主选择探究主题．水是七大营养素之一，科学饮水有助于维持身体健康，因此某小组决定开展初中生饮水习惯调查．该小组从不同地区的两个学校各抽取n名初二年级学生进行调查，其中学校A的饮水量数据x的频数分布表与频数分布直方图如下所示： 分组/升 频数 频率 3 0.0375 6 0.0750 14 0.1750 19 0.2375 12 0.1500 9 0.1125 a b 7 0.0875 2 0.0250 合计 n 1.0000 (1)填空：______，______，______； (2)补全频数分布直方图； (3)根据中国营养学会制定的《中国学龄儿童膳食指南（2022）》，学龄儿童每日的饮水量应为0.8～1.4升．已知学校A初二年级共有210人，请你估计初二年级学生饮水量达到标准的人数； (4)学校A、学校B学生饮水量的中位数分别为，，其中，则______（填“＞”，“＝”，“＜”）． 【答案】(1)80，8，0.1000； (2)见解析； (3)人 (4)＜ 【分析】本题考查频数分布表和频数分布直方图，用样本估计总体、中位数，解答本题的关键是熟练掌握频数分布表和频数分布直方图的关键数据． （1）根据组数据求出n值，n值减去其他各组频数即得a值，a值除以n值，即得b值； （2）利用a值补全频数分布直方图即可； （3）201乘，，三组总占比，即得； （4）A校抽取的80名学生的饮水量按从小到大的顺序排列，第40名和第41名学生在组，得中位数，由B校中位数，得． 【详解】（1）解：（名）， （名）， ； 故答案为：80，8，0.1000； （2）解：补全频数分布直方图如图 （3）解：（名）， 答：约有105名同学饮水达标； （4）解：∵， ∴抽取A校的80名学生的饮水量按从小到大的顺序排列，第40名和第41名学生在组， ∴， ∵， ∴． 故答案为：<． 7．(24-25八下·北京延庆区·期末)为了提升学生的数学核心素养，激发学生学习数学的兴趣，某校组织了“数学节”活动，设置了数学小游戏、作品展示、数学知识竞赛三个主题．在活动中，学校有200名学生参加了数学知识竞赛，从中随机抽取40名学生的成绩（百分制）数据，整理并绘制了如下统计图表： 40名学生成绩的频数分布表 成绩（分） 频数 频率 合计 40名学生成绩的频数分布直方图 根据以上信息，回答下列问题： (1)表1中的值为_____，的值为_____； (2)补全频数分布直方图； (3)若对成绩不低于80分的学生进行奖励，估计参加数学知识竞赛的200名学生中获得奖励的学生有_____名． 【答案】(1)， (2)见解析； (3) 【分析】本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，解题的关键是明确题意，利用表格中的数据，求出所求问题的答案． （1）利用乘以得，利用求得，进而求得的值； （2）先求出对应的频数，即可补全频数分布直方图； （3）用乘以不低于分的学生所占的百分比即可． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，； （2）解：，则对应的频数为，对应的频数为， 补全频数分布直方图如图： （3）解：（人， ∴估计学校名学生中获得奖励的学生有名． 故答案为：． 地 城 考点03 新定义 一、解答题 1．(24-25八下·北京平谷区·期末)对于实数和平面直角坐标系中的两点和给出如下定义：如果或者，则称点和点是阶遥远点．如果图形上任意点和图形上任意点都是阶遥远点，则称图形和图形是阶遥远图形． 已知点，，，． (1)下列各点中，点A的阶遥远点是 ； ，，，． (2)如果直线与四边形是1阶遥远图形，求的取值范围． (3)已知点，，以为直角边，点为直角顶点作等腰直角，若等腰直角与四边形为阶遥远图形，直接写出实数的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或 【分析】（1）根据题设定义逐个判断即可； （2）由题可知直线经过定点，分类讨论当时，临界点为，当时，临界点为，代入求解即可； （3）根据在正方形左侧、右侧、内部分别讨论求解． 【详解】（1）：，符合； ：，，不符合； ：，，不符合； ：，符合； 综上，点A的阶遥远点是和． 故答案为：，； （2）设所在直线为为为， 解得为， 同理可求为． 对于，当时，，过定点， 设与轴交点为，如图， 若，则经过一、二、三象限． 当为时，求得， 均是等腰直角三角形， 和直线上任意两点间的最短距离均相等． 延长交于点，即是等腰直角三角形， 由得， 过作轴垂线，垂足为，则为等腰直角三角形， 对于和，则． 当绕着沿顺时针旋转时，如图中为等腰直角三角形， 对于和，满足题意． 当绕着沿逆时针旋转时，如图中，为等腰直角三角形， 对于和，不满足题意． 故，求得． 再根据对称性，当时，同理求得． 综上所述，或； （3）由题可得，，， ∴或，根据对称性，此处只需考虑的情况. ①在正方形左侧时，如图，只需使点和点是阶遥远点， 则，所以； ②在正方形右侧时，如图，只需满足点和点是阶遥远点即可， 则，所以； ③在正方形内时， （i）如图， 过作于；过作轴，过作轴，和交于点；过作于． 四边形为矩形，， 轴，，又， 是等腰直角三角形， 故对于和， 当时，，为等腰直角三角形， ，故 （ii）如图， 延长交于，过作轴于，过作于． 是等腰直角三角形， 故易知也是等腰直角三角形， 对于和， 当时， ，故． 当介于上述（i）和（ii）之间时，满足题意，故． 综上，或或． 2．(24-25八下·北京顺义区·期末)在平面直角坐标系中，对于点和图形，给出如下定义：若在图形上存在一点，使得，则称点是图形的“关联点”． (1)如图，点． ①在点，，中，线段的“关联点”是________； ②若点是线段的“关联点”，则的取值范围是________， (2)已知点，，，，，，且线段上的任意一点都是四边形的“关联点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)①、；② (2)或 【分析】（1）①根据“关联点”的定义进行判断即可； ②先求出直线的解析式为，设线段上任意一点的坐标为，根据点是线段的“关联点”，得出，求出或，根据，求出的取值范围即可； （2）先求出直线的解析式为：，直线的解析式为：，当点T在点时，线段上任意一点都是的“关联点”，将线段从此位置向右平移，一直到点在时，线段上任意一点都是的“关联点”，当时，线段上任意一点都是四边形的关联点；将线段向右平移，一直到点T在上时，上任意一点都是的“关联点”，得出当时，线段上任意一点都是四边形的关联点，即可得出答案． 【详解】（1）解：①∵，， ∴， ∴是线段的“关联点”； ∵，， ∴， ∴是线段的“关联点”； ∵线段上没有点符合要求， ∴不是线段的“关联点”； 综上分析可知：线段的“关联点”是、； ②设直线的解析式为，把代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为， 设线段上任意一点的坐标为， ∵点是线段的“关联点”， ∴， ∴ ， ∴或， ∴或， ∵， ∴． （2）解：设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 把代入得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 当点T在点时，线段上任意一点都是的“关联点”，将线段从此位置向右平移，一直到点在时，线段上任意一点都是的“关联点”， ∴当时，线段上任意一点都是四边形的关联点； 把代入得：， 解得：， 设直线的解析式为：，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设直线上任意一点坐标为，则： ， ∴， ∴此时线段上任意一点都是的“关联点”， 将线段向右平移，一直到点T在上时，上任意一点都是的“关联点”， ∴当时，线段上任意一点都是四边形的关联点； 综上分析可知：当或时，线段上任意一点都是四边形的关联点． 【点睛】本题主要考查了新定义运算，求不等式的解集，求一次函数解析式，解题的关键是理解新定义，熟练掌握“关联点”的定义． 3．(24-25八下·北京房山区·期末)在平面直角坐标系中，对于图形和图形，给出如下定义：点P是图形上任意一点，点是图形上任意一点，取线段中点．则称点T是图形和图形的“居中点”． (1)如图1，点，点． ①在点，，中，点 是点O和线段的“居中点”； ②若点是直线和线段的“居中点”，则的最大值为 ； (2)已知点，，，，，，若图形上存在图形和线段的“居中点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1)， ② (2)的取值范围是或 【分析】本题考查坐标与图形，中点坐标，一次函数，解题的关键是正确理解“居中点”的定义． （1）根据点的坐标写出直线的解析式，根据中点坐标公式可得点关于，，的对称点，依次判断所得对称点是否在线段上即可；根据“居中点”的定义和一次函数图象的性质，确定取最大值的条件，解方程即可得的最大值； （2）根据点的坐标，在平面直角坐标系中画图，改变的大小，分析图形的运动方向，可得线段与四边形的距离随的变化规律，分类讨论，分别确定不同情况下的最大值和最小值，即可得的取值范围． 【详解】（1）解：设所在直线的解析式为， ∵， ∴， 解得，， ∴所在直线的解析式为， ∵，，，， ∴点关于，，的对称点依次为，，， ∵， ∴点不在线段上， ∴点不是点O和线段的“居中点”， ∵和的横纵坐标满足，且横坐标在范围内， ∴点和在线段上， ∴点和是点O和线段的“居中点”， 故答案为：，． ②如图，点，关于点的对称点分别为，， 连接，则点为线段与线段的“居中点”， ∵点是直线和线段的“居中点”， ∴直线与线段有公共点， ∵ ∴当直线过点时，取得最大值，由得，， ∴的最大值为， 故答案为：． （2）解：设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， ∵，， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， ∵，，，， ∴四边形是菱形，且形状和大小与无关， 又∵，， ∴的中点为，即， ∵，， ∴的中点为，即， 当时，如图，越小，线段与菱形距离越远， ∵图形上存在图形和线段的“居中点”， ∴当点位于上时，取最大值， ∵，直线的解析式为， ∴， ∴， 当的中点位于上时，取最小值， ∵的中点为，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 当时，如图，越大，线段与菱形距离越远， ∵图形上存在图形和线段的“居中点”， ∴当点位于上时，取最小值， ∵，直线的解析式为， ∴， ∴， 当的中点位于上时，取最大值， ∵的中点为，直线的解析式为， ∴， ∴， ∴， 答：的取值范围是或． 4．(24-25八下·北京石景山区·期末)在平面直角坐标系中，四边形的顶点坐标分别为，，，．对于线段与轴上的点，给出如下定义：将线段绕点旋转得到线段(，分别是，的对应点)，若线段的两个端点都在四边形的边上，则称线段是四边形的以点为中心的“关联线段”． (1)如图，点，，，．在线段，，中，四边形的以点为中心的“关联线段”是___________   (2)点．若线段是四边形的以点为中心的“关联线段”，则点的横坐标的最小值为___________         (3)点．若直线上存在点，使得线段是四边形的以点为中心的“关联线段”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义，旋转对称的性质，理解“关联线段”的定义是解答本题的关键． （1）根据“关联线段”的定义逐一判断即可； （2）根据点横坐标的越小，则旋转中心越小，由点M求出旋转中心即可； （3）分当时和当时两种情况求解即可． 【详解】（1）由定义可知，可绕旋转得到“关联线段”； 无法绕x轴上点T旋转到正方形边上； 可以绕点旋转得到“关联线段”； 故四边形的以点T为中心的“关联线段”是 ． 故答案为；； （2）由定义可知，绕T旋转到正方形上，则一定在线段上，要使得N点横坐标有最小值，则M绕T旋转后的对应点为B，N绕T旋转后的点横坐标有最大值为1，故此时T为时，最小为． （3）当时，在上任取一点P，如图，由定义可知，P关于x轴上的点T旋转到正方形上，只能在边上，连接与x轴分别交于E，F两点，则，，则T一定在线段上． 要使得Q点关于T旋转也能得到正方形上，但是此时我们并不知道Q的具体位置，那么不妨将正方形绕着点T旋转，Q一定在旋转后的正方形上． 因为T在上可以移动，所以我们可以将正方形分别绕E、F旋转得到两个正方形，，则点Q一定在矩形上． 要使得直线上存在点Q，则该矩形需要与直线有交点，临界状态即分别为过点与． 将代入中，得，解得或（舍去）． 将代入中，得，解得或 (舍去)． 所以． 当时，由对称性可得 综上所述，或． 5．(24-25八·北京通州区·期末)在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：将点P向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度得到点，点绕点M逆时针旋转得到点Q，称点Q为点P关于点M的“k阶变换点”．已知点． (1)如图1，若点，点Q为点P关于点M的“1阶变换点”则点Q的坐标为 ； (2)如图2；若点M为x轴上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，点Q的纵坐标为，求点M的坐标； (3)如图3，正方形，点A坐标为，M是正方形上一点，点Q为点P关于点M的“2阶变换点”，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查点的平移，旋转的性质，两点间距离，读懂题意是解题的关键． （1）先根据定义和求出点的坐标，再根据题意即可求出点Q的坐标； （2）设，根据题意得出，最后利用即可求出点M的坐标； （3）找出的最大值与最小值，即可得出． 【详解】（1）解：由题意得：， ， 故点P向左移动1个单位，向上移动1个单位后是， ∵点绕点M逆时针旋转得到点Q， 故， 故答案为：； （2）解：设， ， 故点P向左或向右取决于，上下不平移，则， 点与都在x轴上，点Q的纵坐标为， 应在左侧， ， ， 解得， ． （3）解：； 设，则，， ，， ， 当时，则 ，， 此时存在最大值，， 当时，则 ，， 此时存在最小值，， ． 6．(24-25八下·北京昌平区·期末)对于平面直角坐标系中的图形，，给出如下定义：图形和上任意两点间距离的最小值，称为图形与图形的“下限距离”，记作．图形和上任意两点间距离的最大值，称为图形与图形的“上限距离”，记作．        (1)若，，图形为线段，图形为线段． 如图，，，则的值是______，的值是______； 点，是直线上的点（点在点左侧），且满足，则的最小值为______，当取最小值时，的取值范围是______； (2)图形为正方形，边长为，对角线在轴上，图形N是直线上的线段（点在点左侧），，若存在，且满足最大值是，直接写出点的坐标． 【答案】(1)，； ，； (2)或）或或． 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中两点之间的距离公式，解决本题的关键是读懂题目中“上限距离”和“下限距离”的定义画出图形，根据点的坐标计算出两点之间的距离． 根据“上限距离”和“下限距离”的定义，过点作，可得：，； 根据垂线段最短的定义，过点作直线的垂线段，当点的坐标是时，根据可以求出点的坐标是，此时的“上限距离”是；当点的坐标是时，根据可以求出点的坐标是，此时的“上限距离”是，从而可得：； 根据“上限距离”和“下限距离”的定义，分四种情况讨论，当点的坐标是，点的坐标是；当点的坐标是，点的坐标是，当点的坐标是，点的坐标是，当点的坐标是，点的坐标是． 【详解】（1）解：如下图所示，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， ， ； 如下图所示，连接，过点作， 点的坐标是，点的坐标是， 点的坐标是， ， 点的坐标是， ， ， ； 故答案为：，； 解：如下图所示，当点在的位置时， ， ， 设点的坐标为， ， 则有， 解得：或(不符合题意，舍去)， 当时， 点的坐标是， 此时，， ； 如下图所示， 当点的坐标是时， 设点的坐标是， ， ， 解得：或(不符合题意，舍去)， 点的坐标是， 此时， 综上所述，的最小值是，当取最小值时，的取值范围是； 故答案为：，； （2）解：如下图所示， 当点在原点时，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是， 满足，， 此时，， 此时，点的坐标是； 如下图所示， 当点在原点时，坐标为，点的坐标是，点的坐标是时， 满足， 此时，，， 此时点的坐标是； 如下图所示， 当点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是时， ， 此时，，， 此时，点的坐标是； 如下图所示，当点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是，点的坐标是时， ， 此时，，， 此时，点的坐标是； 综上所述，点的坐标是或或或． 7．(24-25八下·北京延庆区·期末)在平面直角坐标系中，对于点和线段，给出如下定义： 如果存在点，使得以为对角线的四边形是平行四边形，则称点是点关于线段的“关联点”．已知，，，，，，． (1)在点，，中，点_____是点关于线段的“关联点”； (2)求点关于线段的“关联点”的坐标； (3)若点关于线段的“关联点”在的内部，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2) (3)且 【分析】本题考查了坐标与图形，平行四边形的性质，一次函数的应用，理解新定义是解题的关键； （1）在坐标系中描点，根据平行四边形的性质，即可求解； （2）先求得的中点为，根据新定义得出的中点为关于线段的“关联点”的中点，即可求解； （3）当为平行四边形的对角线时，点关于线段的“关联点”在上，进而找到时的临界点，求得直线的解析式，进而令，求得的最小值，进而根据坐标系可得的横坐标为的最大值，排除重合的情形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，       根据定义可得点是点关于线段的“关联点”； 故答案为：． （2）解：∵， ， ∴的中点为 ∵平行四边形的对角线为， ∴的中点为关于线段的“关联点”的中点， ∵ ∴点关于线段的“关联点”的坐标为 （3）解：如图， ∵在直线上， 当为平行四边形的对角线时， ∴点关于线段的“关联点”在上， 连接， 设直线的解析式为，代入， ∴ 解得， ∴直线的解析式为 当时，，则 设直线的解析式为 代入， ∴ 解得： ∴直线的解析式为， 当时，，则 ∴ 根据坐标系可得的中点为，则 ∴当时，点关于线段的“关联点”在的内部， 当重合不符合题意，此时， 综上所述，且，点关于线段的“关联点”在的内部， 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $