专题05 一元二次方程（期末真题汇编，北京专用北京版）八年级数学下学期

**基本信息** 北京多区期末真题汇编的一元二次方程专题卷，聚焦解方程与参数求解、根的判别式、实际应用三大高频考点，通过分层题型实现基础巩固与综合应用的衔接。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|配方法应用、根的判别式判断、增长率模型|结合新能源充电桩成本降低等时代情境| |填空题|10|方程变形、直接开平方法、几何面积问题|融入矩形铁皮截正方形等生活实例| |解答题|23|含参数方程求解、判别式综合证明、非遗展示区甬道设计|分层设计：从基础解方程到跨学科几何建模（如古代数几何解法）|

专题05 一元二次方程 3大高频考点概览 考点01 解方程与知解求参数 考点02 一元二次方程根的判别式与求根公式 考点03 一元二次方程的实际应用 地 城 考点01 解方程与知解求参数 一、单选题 1．(24-25八下·北京平谷区·期末)关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（      ） A．0 B．2 C． D．2或 2．(24-25八下·北京顺义区·期末)若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 3．(24-25八下·北京石景山区·期末)用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 4．(24-25八·北京通州区·期末)如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 5．(24-25八下·北京延庆区·期末)如果是关于的方程的一个根，那么实数的值为（    ） A． B．4 C．1 D．2 二、填空题 6．(24-25八下·北京平谷区·期末)把方程化成的形式，则_____． 7．(24-25八下·北京顺义区·期末)方程的根为__________． 8．(24-25八下·北京房山区·期末)方程的根为__________． 9．(24-25八·北京通州区·期末)方程的解是_______． 10．(24-25八下·北京延庆区·期末)一元二次方程的解为_____． 三、解答题 11．(24-25八下·北京平谷区·期末)解方程： (1) (2) 12．(24-25八下·北京顺义区·期末)解方程：（x-1）2=9． 13．(24-25八下·北京房山区·期末)解方程： (1)； (2)． 14．(24-25八下·北京房山区·期末)用配方法解方程：． 15．(24-25八下·北京石景山区·期末)用适当的方法解方程：． 16．(24-25八·北京通州区·期末)解方程： (1)； (2)． 17．(24-25八下·北京昌平区·期末)解方程：． 18．(24-25八下·北京延庆区·期末)解方程：． 19．(24-25八下·北京延庆区·期末)解方程：． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式与求根公式 一、单选题 1．(24-25八下·北京房山区·期末)关于方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 2．(24-25八·北京通州区·期末)关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 3．(24-25八下·北京延庆区·期末)当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 二、填空题 4．(24-25八下·北京平谷区·期末)若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 5．(24-25八下·北京顺义区·期末)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 6．(24-25八下·北京房山区·期末)关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为________． 7．(24-25八下·北京石景山区·期末)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_______． 三、解答题 8．(24-25八下·北京平谷区·期末)已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 9．(24-25八下·北京顺义区·期末)关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根是正数，求的取值范围． 10．(24-25八下·北京房山区·期末)关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 11．(24-25八下·北京石景山区·期末)关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根         (2)若方程有一个根不小于，求的取值范围． 12．(24-25八·北京通州区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若为最小正整数，求此时方程的根． 13．(24-25八下·北京昌平区·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 14．(24-25八下·北京延庆区·期末)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若m>0，且该方程的两个实数根的差为6，求m的值． 地 城 考点03 一元二次方程的实际应用 一、单选题 1．(24-25八下·北京昌平区·期末)随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．最初充电桩的安装成本为1.5万元，经过两个月的优化管理，成本降至1.2万元．设月平均成本降低率为x，则下列所列的方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 2．(24-25八下·北京石景山区·期末)某科技产业园区年的营业收入为亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，年的营业收入达到亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 3．(24-25八下·北京平谷区·期末)有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为_____． 三、解答题 4．(24-25八下·北京顺义区·期末)某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 5．(24-25八下·北京房山区·期末)某学校为筹备2025年家长开放日活动，八年级师生以“墨韵书香润校园，非遗传承启新程”为主题，在学校中心广场设置6个相同的长方形文化展示区（如“非遗剪纸工作坊”“古法造纸体验区”“诗词灯谜互动角”等），每个展示区通过实物陈列，技艺演示，亲子互动等形式，让传统文化“可触可感”．中心广场长20，宽15，各展示区按2行3列排列（如图所示），广场四周设1宽的安全通道，相邻展示区之间的甬道宽度相同．已知每个展示区的面积是，请你帮助活动负责人计算甬道的宽度． 6．(24-25八·北京通州区·期末)交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 7．(24-25八·北京通州区·期末)形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 8．(24-25八下·北京昌平区·期末)在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之一，被誉为“代数之父”）在其《代数学》中利用几何方法求解一元二次方程． 以方程为例，花拉子米的两种几何解题思路如下： 思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 思路二：如图②所示，将原方程转化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 根据上述材料，解答下列问题． (1)补全花拉子米的解法步骤； (2)根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程的正数解的构图，写出必要的思考过程． 9．(24-25八下·北京延庆区·期末)某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 10．(24-25八下·北京石景山区·期末)列方程解应用题．某小区在宽为22，长为30的矩形地面上铺560的草坪，并留出如图所示的宽度相同的两条道路．求道路的宽度    试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一元二次方程 3大高频考点概览 考点01 解方程与知解求参数 考点02 一元二次方程根的判别式与求根公式 考点03 一元二次方程的实际应用 地 城 考点01 解方程与知解求参数 一、单选题 1．(24-25八下·北京平谷区·期末)关于x的一元二次方程的一个根是0，则a的值是（      ） A．0 B．2 C． D．2或 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义即使得方程左右两边相等的未知数的值．根据一元二次方程的根的定义代入计算即可． 【详解】解：因为一元二次方程有一个根是0， 所以， 解得． 故选：C． 2．(24-25八下·北京顺义区·期末)若关于的一元二次方程的一个根是1，则的值为（   ） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，将已知根代入方程，解关于的方程即可，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵方程的一个根是1， ∴将代入方程：， 化简得：， 解得：， 因此，的值为1， 故选：A． 3．(24-25八下·北京石景山区·期末)用配方法解一元二次方程，此方程可化为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查配方法解一元二次方程．首先将常数项移到方程右边，再对左边进行配方，通过添加合适的常数使左边成为完全平方式，右边同步运算即可得到答案． 【详解】 移项得， 配方得， ∴． 故选：C． 4．(24-25八·北京通州区·期末)如果是一元二次方程的一个根，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．先把的值代入方程即可得到一个关于的方程，解一元一次方程即可． 【详解】解：把代入方程得：， 解得． 故选：A． 5．(24-25八下·北京延庆区·期末)如果是关于的方程的一个根，那么实数的值为（    ） A． B．4 C．1 D．2 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程的解，理解方程解的意义是解题的关键．把代入方程得到关于m的方程，然后解关于m的方程即可． 【详解】解：把代入方程得， 解得． 故选：D． 二、填空题 6．(24-25八下·北京平谷区·期末)把方程化成的形式，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了用配方法解一元二次方程． 将原方程配方，求出、的值，再计算即可． 【详解】解：将配方得， ∴，， ∴， 故答案为：． 7．(24-25八下·北京顺义区·期末)方程的根为__________． 【答案】0和2 【分析】本题考查了解一元二次方程．通过因式分解法求解一元二次方程，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故答案为：0和2． 8．(24-25八下·北京房山区·期末)方程的根为__________． 【答案】，/， 【分析】本题考查用因式分解法解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键．将方程移项化为一般形式，通过因式分解求解即可． 【详解】原方程移项得，， 因式分解得，， 解得，或， 即，， 故答案为：，． 9．(24-25八·北京通州区·期末)方程的解是_______． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，把常数移到右边，再利用直接开平方法解答即可，掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． 【详解】解：移项，得 ， 两边开平方，得， 即，， 故答案为：，． 10．(24-25八下·北京延庆区·期末)一元二次方程的解为_____． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，掌握方程解法是解题关键．直接提取公因式求解即可． 【详解】解：， ， 解得，， 故答案为：，． 三、解答题 11．(24-25八下·北京平谷区·期末)解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程．熟练掌握解一元 二次方程的方法是解题的关键． （1）移项，提公因式分解因式解答； （2）用二次三项式的因式分解方法分解因式解答． 【详解】（1）解：， 移项，得， 提公因式，得， ∴，， ∴． （2）解：， 分解因式，得， ∴， ∴． 12．(24-25八下·北京顺义区·期末)解方程：（x-1）2=9． 【答案】x1=4，x2=-2 【分析】先开方，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可． 【详解】解：两边开方得：x-1=±3， 解得：x1=4，x2=-2． 【点睛】本题考查了解一元二次方程的应用，解此题的关键是能把一元二次方程转化成一元一次方程求解． 13．(24-25八下·北京房山区·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键． （1）先将方程变形为，再利用直接开平方法解方程即可得； （2）利用公式法解方程即可得． 【详解】（1）解：， ， ， ， 或， 所以方程的解为． （2）解：方程中的， 方程根的判别式为，方程有两个不相等的实数根， 所以方程的解为， 即． 14．(24-25八下·北京房山区·期末)用配方法解方程：． 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的常用方法（直接开平方法、配方法、公式法、换元法、因式分解法等）是解题关键．先将变形为，再利用完全平方公式配方为，再求解即可得． 【详解】解：， ， ， ， ， ， 所以方程的解为． 15．(24-25八下·北京石景山区·期末)用适当的方法解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，运用公式法进行解方程，即可作答． 【详解】解：∵， 则， ∴． ∴方程的解为，． 16．(24-25八·北京通州区·期末)解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)，； (2)，． 【分析】本题主要考查了用因式分解法解一元二次方程． 利用提公因式法分解因式可得：，根据两数的乘积为，则这两个数中至少有一个为，可得两个一元一次方程：或，解两个一元一次方程即可求出原方程的解； 利用十字相乘法分解因式可得：：，根据两数的乘积为，则这两个数中至少有一个为，可得两个一元一次方程：或，解两个一元一次方程即可求出原方程的解． 【详解】（1）解：， 整理得：， 移项得：， 提公因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，； （2）解：， 分解因式得：， 可得：或， 当时，可得：， 当时，可得：， 方程的解为，． 17．(24-25八下·北京昌平区·期末)解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查解一元二次方程，掌握知识点是解题的关键． 根据配方法解一元二次方程的步骤，逐步计算求解即可． 【详解】解： 或， ∴，． 18．(24-25八下·北京延庆区·期末)解方程：． 【答案】 【分析】利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：， 或， ． 19．(24-25八下·北京延庆区·期末)解方程：． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的求解，解题的关键是掌握一元二次方程的求根公式．对于一元二次方程，可以先计算判别式的值，再根据求根公式求出方程的解． 【详解】解：， ， ． ． 方程的解为． 地 城 考点02 一元二次方程根的判别式与求根公式 一、单选题 1．(24-25八下·北京房山区·期末)关于方程的根的情况，下列说法正确的是（    ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法判断 【答案】C 【分析】本题考查根的判别式，求出判别式的符号，进行判断即可，熟练掌握根的个数与判别式之间的关系，是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴方程没有实数根； 故选C． 2．(24-25八·北京通州区·期末)关于的一元二次方程的根的情况是（   ） A．有两个不相等的实数根 B．只有一个实数根 C．有两个相等的实数根 D．没有实数根 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根的情况，在解题时熟练掌握一元二次方程根的判别式与一元二次方程根的对应情况是解此类题的关键． 根据一元二次方程的系数结合根的判别式计算即可得出，即可得出结论． 【详解】∵在方程中， ， ∴方程有两个不相等的实数根． 故选：A． 3．(24-25八下·北京延庆区·期末)当关于的一元二次方程有两个不相等的实数根时，的取值范围是（    ） A． B． C．且 D．且 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元二次方程的定义和一元二次方程根的判别式，对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．根据一元二次方程的定义和根的判别式进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴且， 故选：C． 二、填空题 4．(24-25八下·北京平谷区·期末)若关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，则k的取值范围是_． 【答案】＞ 【分析】由关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根，可得：＜ 再列不等式，解不等式可得答案． 【详解】解： 关于x的一元二次方程x2+2x+k＝0无实数根， ＜ ＜ ＜ ＜ ＞ 故答案为：＞ 【点睛】本题考查的是一元二次方程的根的判别式，一元一次不等式的解法，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 5．(24-25八下·北京顺义区·期末)若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是________． 【答案】 【分析】本题考查了根据一元二次方程根的情况求参数，掌握一元二次方程根的判别式的运用是解题的关键． 根据一元二次方程有两个不相等的实数根可得，由此即可求解． 【详解】解：由题知，， 关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ，即 解得， 故答案为：． 6．(24-25八下·北京房山区·期末)关于x的方程有两个相等的实数根，则实数c的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式的运用，根据方程有两个相等的实数根得到，由此即可求解． 【详解】解：关于x的方程有两个相等的实数根， ∴， 解得，， 故答案为： ． 7．(24-25八下·北京石景山区·期末)关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为_______． 【答案】 【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义，方程有两个相等的实数根，则有，得到关于的方程，解方程即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ，即， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根． 三、解答题 8．(24-25八下·北京平谷区·期末)已知关于的一元二次方程 (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一根为正数，求实数的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了根的判别式、解一元一次不等式等知识，对于一元二次方程，则有方程有两实根，方程有两不等实根，方程有两相等实根， 方程没有实根． （1）先求出的值，再根据的意义即可得到结论； （2）利用因式分解法求得方程的根为，然后根据方程有一根为正数列出关于k的不等式并解答． 【详解】（1）证明：（1）， ， ， ， ， 方程总有两个实数根． （2）， ， 方程有一根为正数，     ，   ． 9．(24-25八下·北京顺义区·期末)关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根是正数，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的知识是解题的关键． （1）利用根的判别式进行求解即可； （2）利用公式法解方程得到，，再根据方程的一个根为正数进行求解即可． 【详解】（1）证明：由题意得： 方程总有两个实数根； （2）解： ， 方程有一个根是正数， ． 10．(24-25八下·北京房山区·期末)关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根； (2)若方程有一个根为非负数，求的取值范围． 【答案】(1)证明过程见详解 (2) 【分析】本题主要考查一元二次方程根的判别式，求根式公式的运用，理解题意，掌握判别式，求根公式，分类讨论思想是关键． （1）根据一元二次方程根的判别式计算即可； （2）根据求根公式得到，分类讨论即可求解． 【详解】（1）解：关于的一元二次方程， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）解：关于的一元二次方程，， ∴， 当时，， 解得，， ∵方程有一个根为非负数， ∴， 解得，，与不符合； 当时，， 解得，， ∴， 解得，； 综上所述，． 11．(24-25八下·北京石景山区·期末)关于的一元二次方程． (1)求证：方程总有两个实数根         (2)若方程有一个根不小于，求的取值范围． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了根的判别式、偶次方的非负性以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）利用因式分解法求出方程的解． （1）计算根的判别式的值，利用配方法得到，根据非负数的性质得到，然后根据判别式的意义得到结论； （2）利用因式分解法解一元二次方程可得出，结合该方程方有一个根不小于5，可得出，解之即可得出m的取值范围． 【详解】（1）证明：∵，，， ∴ ， ∴方程总有两个实数根； （2）解：∵， 即， ∴， ∵方程有一个根不小于5， ∴， ∴． ∴的取值范围是． 12．(24-25八·北京通州区·期末)已知关于的一元二次方程． (1)若方程有两个实数根，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，若为最小正整数，求此时方程的根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了根的判别式以及因式分解法解一元二次方程，解题的关键是：（1）牢记“当方程有两个不相等的实数根，则”；（2）利用因式分解法求出方程的两个根． （1）根据方程根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）由（1）的结论结合为正整数，即可得出，将其代入原方程，再利用因式分解法解一元二次方程，即可求出原方程的解． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有两个实数根, ， 解得：， 的取值范围为． （2）解：∵，且为最小正整数， ∴， 原方程为，即， 解得：，， 若为最小正整数时，方程的根为，． 13．(24-25八下·北京昌平区·期末)已知关于x的一元二次方程有两个不相等实数根． (1)求m的取值范围； (2)若是该方程的一个根，求m的值及该方程的另一个根． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查根的判别式、解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解答本题的关键． （1）根据方程有两个不相等实数根，可知，然后即可求得的取值范围； （2）将代入题目中的方程，可以求得的值，然后即可求出方程的根，从而可以得到方程的另一个根． 【详解】（1）解： 方程有两个不相等实数根， ， 解得； （2）解：是方程的一个根， ， 解得， 方程为， 解得，， 方程的另一个根是． 14．(24-25八下·北京延庆区·期末)已知关于x的一元二次方程． (1)求证：该方程总有两个实数根； (2)若m>0，且该方程的两个实数根的差为6，求m的值． 【答案】(1)见解析 (2)2 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）先求出一元二次方程的两个根为，再由m>0，且该方程的两个实数根的差为6，即可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴该方程总有两个实数根； （2）解： ∴， 解得：， ∵m>0， ∴， ∵该方程的两个实数根的差为6， ∴，解得：． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式，解一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法，利用一元二次方程的根的判别式判断方程的根的情况是解题的关键． 地 城 考点03 一元二次方程的实际应用 一、单选题 1．(24-25八下·北京昌平区·期末)随着新能源汽车的推广，某市大力推进公共充电桩的建设．最初充电桩的安装成本为1.5万元，经过两个月的优化管理，成本降至1.2万元．设月平均成本降低率为x，则下列所列的方程正确的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用（平均变化率问题），解题的关键是根据平均降低率的规律列出方程． 根据平均降低率的公式，结合初始成本、降低率和两个月后的成本，列出方程并判断选项． 【详解】解：设月平均成本降低率为，则第一个月后的成本为万元，第二个月后的成本为万元， 根据题意，两个月后成本降至1.2万元， 因此方程为： 故选：C． 2．(24-25八下·北京石景山区·期末)某科技产业园区年的营业收入为亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，年的营业收入达到亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为，依题意，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】本题考查一元二次方程的应用，涉及平均增长率问题． 设年平均增长率为，根据题意得． 【分析】解：设年平均增长率为，则2023年的营业收入为亿元，2024年的营业收入在2023年的基础上再增长一次， ， 故选：A． 二、填空题 3．(24-25八下·北京平谷区·期末)有一块长、宽的矩形铁皮，如果在铁皮的四个角上各截去一个相同的小正方形，然后把四边折起来，做成一个底面面积为的无盖的盒子，设截去小正方形的边长为，则可列方程为_____． 【答案】 【分析】此题主要考查了一元二次方程的应用，对于面积问题应熟记各种图形的面积公式学会通过图形求出面积是解题关键．设截去的小正方形的边长为，从而得出这个长方体盒子的底面的长是，宽是，根据矩形的面积的计算方法即可表示出矩形的底面面积，得出方程求出即可． 【详解】解：设截去的小正方形的边长为，根据题意列方程，得 ． 故答案为：． 三、解答题 4．(24-25八下·北京顺义区·期末)某学校要举办数学节，向全校学生征集数学节设计．如图，王博同学设计的矩形长，宽，为了使这个更美观，他要给添加一个边框，边框上、下、左、右的宽度相等，且添加边框后的整个图形的面积为，求边框的宽． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确建立方程是解题关键．设边框的宽为，根据添加边框后的整个图形的面积为建立方程，解方程即可得． 【详解】解：设边框的宽为， 由题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去）， 答：边框的宽为． 5．(24-25八下·北京房山区·期末)某学校为筹备2025年家长开放日活动，八年级师生以“墨韵书香润校园，非遗传承启新程”为主题，在学校中心广场设置6个相同的长方形文化展示区（如“非遗剪纸工作坊”“古法造纸体验区”“诗词灯谜互动角”等），每个展示区通过实物陈列，技艺演示，亲子互动等形式，让传统文化“可触可感”．中心广场长20，宽15，各展示区按2行3列排列（如图所示），广场四周设1宽的安全通道，相邻展示区之间的甬道宽度相同．已知每个展示区的面积是，请你帮助活动负责人计算甬道的宽度． 【答案】甬道的宽度为3米． 【分析】题目主要考查一元二次方程的应用，理解题意列出方程是解题关键． 设甬道的宽度为x米，根据图形列出方程求解即可． 【详解】解：设甬道的宽度为x米， 根据题意得：， 解得：或（不符合题意，舍去） ∴甬道的宽度为3米． 6．(24-25八·北京通州区·期末)交警部门提醒市民，骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔2月份到4月份的销量，该品牌头盔2月份销售50个，4月份销售72个，2月份到4月份销售量的月增长率相同．求该品牌头盔销售量的月增长率． 【答案】设该品牌头盔销售量的月增长率为20% 【分析】本题考查了一元二次方程的应用．设该品牌头盔销售量的月增长率为，利用该品牌头盔4月份的销售量该品牌头盔2月份的销售量该品牌头盔销售量的月增长率），可列出关于的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【详解】解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）. 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 7．(24-25八·北京通州区·期末)形如的代数式叫做完全平方式，有些代数式可以通过配方得到完全平方式，我们把这种组成完全平方式的变形过程叫做配方．配方在某些求代数式最值问题、解方程等都有广泛的应用． 例如：，可得：当时，代数式有最小值，最小值为2．请回答下列问题： (1)当取何值时，代数式有最小值，最小值为多少． (2)某中学准备在校园里靠墙围一个长方形花园篱笆，如图，围墙的长为，篱笆的长为，当为多少米时，围成的长方形花园面积最大，求出最大面积． 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值为 (2)当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 【分析】本题考查完全平方公式的应用，解题的关键是明确题意，列出关系式． （1）将代数式配方成，再根据非负数的性质可得答案； （2）设，则，根据题意可以得到面积与矩形一边长的关系式，然后配方即可求得结果，注意求出的边长要符合题意． 【详解】（1）解：∵， ∵， ∴． 当时，代数式有最小值，最小值为． （2）解：设，则， ∴， 解得． ∴． ∵， ∴当时，长方形花园的面积有最大值，最大面积是． 8．(24-25八下·北京昌平区·期末)在公元9世纪，花拉子米（杰出的数学家、天文学家和地理学家之一，被誉为“代数之父”）在其《代数学》中利用几何方法求解一元二次方程． 以方程为例，花拉子米的两种几何解题思路如下： 思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 思路二：如图②所示，将原方程转化为（    ），可得方程，则方程的正数解是． 根据上述材料，解答下列问题． (1)补全花拉子米的解法步骤； (2)根据花拉子米的思路，在图③中，任选一种方法画出能够得到方程的正数解的构图，写出必要的思考过程． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查解一元二次方程−配方法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据已知算式和图形可得答案． （2）根据“在边长为x的正方形的两个相邻边上作边长分别为和2的矩形，再补上一个边长为2的小正方形，最终把图形补成一个大正方形”，可得答案． 【详解】（1）解：思路一：如图①所示，在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和的矩形，再补上四个边长为的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是； 思路二：如图②所示，将原方程转化为可得方程，则方程的正数解是． 故答案为：，5； （2）解： 思路一：在边长为x的正方形的每条边上作边长分别为x和2的矩形，再补上四个边长为2的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是． 思路二：在边长为x的正方形的两条邻边上作边长分别为x和4的矩形，再补上一个边长为2的小正方形，使其成为一个大正方形；通过不同的方式来表示大正方形的面积，可以将原方程化为，可得方程，则方程的正数解是． 9．(24-25八下·北京延庆区·期末)某科技公司通过引入AI算法优化云计算资源调度，使服务器运行成本逐月下降．原来单台服务器每月运行成本为2500元，经过两个月的技术迭代后，单台服务器每月运行成本降至1600元．求单台服务器运行成本的月平均降低率． 【答案】单台服务器运行成本的月平均降低率为 【分析】本题考查了一元二次方程的意义，设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意列出方程解方程，即可求解． 【详解】解：设单台服务器运行成本的月平均降低率为，根据题意得， 解得：（舍去） 答：单台服务器运行成本的月平均降低率为． 10．(24-25八下·北京石景山区·期末)列方程解应用题．某小区在宽为22，长为30的矩形地面上铺560的草坪，并留出如图所示的宽度相同的两条道路．求道路的宽度    【答案】2 【分析】本题考查了一元二次方程的实际应用． 设道路的宽度为，根据题意列方程求解即可． 【详解】解：设道路的宽度为， 根据题意，得． 解得，（不合题意，舍去）． 答：道路的宽度为． 试卷第1页，共3页 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $