专题05 分式全章35大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以“概念-性质-运算-方程”为逻辑主线，覆盖分式全考点，突出浙江地域考情，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|4题型|判断、有意义/无意义、值为零条件|从分式定义到字母取值限制，构建概念认知| |性质应用|6题型|系数化整、约分、最简分式、值的变化|以分式基本性质为核心，延伸变形技巧| |运算能力|10题型|乘除、加减、混合运算、化简求值|从单一运算到综合运算，提升运算推理能力| |方程应用|15题型|定义、求解、行程/工程/经济问题|从方程概念到实际建模，培养应用意识|

专题05 分式 题型01 分式的判断 题型19 异分母分式加减法（重点） 题型02 分式无意义的条件（常考点） 题型20 整式与分式相加减（重点） 题型03 分式有意义的条件（常考点） 题型21 分式加减混合运算（难点） 题型04 分式值为零的条件（常考点） 题型22 分式加减的实际应用（难点） 题型05 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型23 分式加减乘除混合运算（难点） 题型06 约分 题型24 分式化简求值（难点） 题型07 最简分式 题型25 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型08 分式的求值 题型26 分式方程的定义 题型09 利用分式基本性质判断分式值的变化 题型27 根据分式方程解的情况求值 题型10 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型28 分式方程无解问题（难点） 题型11 分式乘法（重点） 题型29 列分式方程（常考点） 题型12 分式除法（重点） 题型30 解分式方程（化为一元一次）（难点） 题型13 分式乘除混合运算 题型31 分式方程的行程问题（重点） 题型14 分式乘方（重点） 题型32 分式方程的工程问题（重点） 题型15 含乘方的分式乘除混合运算（难点） 题型33 分式方程的经济问题（重点） 题型16 同分母分式加减法（重点） 题型34 分式方程和差倍分问题（重点） 题型17 通分 题型35 分式方程的其它实际问题 题型18 最简公分母 题型01 分式的判断 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 题型02 分式无意义的条件 1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）当____时，分式无意义． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）当_____时，分式无意义． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）若分式无意义，则x的值为 ___________． 题型03 分式有意义的条件 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）要使分式有意义，需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）分式有意义的条件是______． 题型04 分式值为零的条件 1．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江温州·二模）若分式的值为0，则的值为__________． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）若分式的值为零，则________． 题型05 将分式的分子分母各项系数化为整数 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 题型06 约分 1．（2026九年级下·浙江·专题练习）计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）先利用分式的基本性质化简分式后再求值：，其中，． 3．（2026·浙江衢州·一模）约分：． 题型07 最简分式 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）下列分式中，最简分式是（　　）． A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）下列各式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·浙江丽水·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 题型08 分式的求值 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为________． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则分式的值为________． 3．（2026·浙江金华·二模）已知，求分式的值． 题型09 利用分式基本性质判断分式值的变化 1．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．扩大3倍 B．不变 C．扩大9倍 D．扩大2倍 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为（ ） A． B． C． D． 题型10 求使分式值为整数时未知数的整数值 1．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）设是大于1925的正整数，使得为完全平方数的的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 题型11 分式乘法 1．（2026·浙江台州·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）计算：__________． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 题型12 分式除法 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）计算：______． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）计算：_______． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 题型13 分式乘除混合运算 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算下列各题： (1) (2) (3) (4)． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 题型14 分式乘方 1．（2022九年级·浙江·专题练习）计算：（）3＝___；（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy＝_____． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算： 题型15 含乘方的分式乘除混合运算 1．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)． 2．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式        ①                 ②                        ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 3．（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 题型16 同分母分式加减法 1．（25-26七年级下·浙江·单元测试）计算：___________． 2．（2026七年级下·浙江·专题练习）计算：___________． 3．（2023·浙江台州·模拟预测）化简：______． 题型17 通分 1．（2023七年级下·浙江·专题练习）根据分式的基本性质，完成下列各等式． （1），横线上应填______；        （2），横线上应填______； （3）（b≠0），横线上应填______；      （4），横线上应填______； （5）3x﹣2＝，横线上应填______；     （6），横线上应填______． 2．（2021九年级·浙江·专题练习）分式的约分、通分： 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做_______． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做_______． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 题型18 最简公分母 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）下列说法正确的是（    ） A．若分式的值为0，则 B．是最简分式 C．把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D．与的最简公分母是 3．（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是_______． 题型19 异分母分式加减法 1．（2026·浙江杭州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 3．（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式=……………………① ……………………② ……………………③ 当时，原式． (1)请指出第一次出现错误步骤的序号：________________． (2)写出正确的解答过程． 题型20 整式与分式相加减 1．（2025·浙江·模拟预测）计算：的结果是______． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）设为正整数，化简． 题型21 分式加减混合运算 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个代数式只含有字母，，把替换成，把替换成，得到一个新的代数式．若不论，如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当，时，代数式值为，新代数式值为，两者不相等，所以不是对称式． (1)请判断和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； (2)关于字母，的代数式（为常数）是对称式，求的值． 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 3．（2023·浙江杭州·二模）某同学化简分式：出现了错误，解答过程如下： 解： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学的解答过程是从第_________步开始出错． (2)请写出此题的正确解答过程． 题型22 分式加减的实际应用 1．（2025·浙江台州·一模）已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为___________小时． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 3．（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 题型23 分式加减乘除混合运算 1．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）先化简，再求值：，请从1，0，中选取一个合适的数代入求值． 2．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式A的“关联分式”例如分式，，，，是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，，请直接判断是不是的“关联分式”？ （2）求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）观察（1）（2）的结果，直接写出分式的“关联分式”：______． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式： (1)请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明； (2)请你利用欧拉分式解决下列问题： 计算：； 求的值．（带特殊值不给分） 题型24 分式化简求值 1．（2026·浙江杭州·一模）已知实数a，b均为正数，记为a，b的算术平均数，为a，b的调和平均数． (1)当，时，求其算术平均数和调和平均数． (2)试比较a，b的算术平均数和调和平均数的大小，并说明理由． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 题型25 已知分式恒等式，确定分子或分母 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）若，求的值为________． 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则________． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 题型26 分式方程的定义 1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 题型27 根据分式方程解的情况求值 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 2．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如果关于的方程有增根，那么增根是_____． 3．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 题型28 分式方程无解问题 1．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若分式方程无解，则的值为_________． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的分式方程无解，则a的值是______． 题型29 列分式方程 1．（2026·浙江温州·二模）瑞安特产马蹄笋闻名浙南，某农户采挖一批马蹄笋，质量为240千克，若每筐多装2千克，则所用筐数比原来少4筐．设原来每筐装千克，可列出方程（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江台州·二模）某文具店购进一批笔记本，若每本降价3元销售，顾客用360元可以比原价多买到4本．设笔记本原价x元/本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 题型30 解分式方程（化为一元一次） 1．（2026·浙江台州·二模）若，则______． 2．（2026·浙江台州·二模）若，则______． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 题型31 分式方程的行程问题 1．（2026·浙江台州·二模）2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步，再骑行，最后跑步．已知小华全程共花了，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 题型32 分式方程的工程问题 1．（2026·浙江舟山·一模）李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则___________．（用含，的最简分式表示） 题型33 分式方程的经济问题 1．（25-26八年级下·浙江嘉兴·阶段检测）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 3．（2022·浙江温州·模拟预测）猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是_元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是_元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的_（填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 题型34 分式方程和差倍分问题 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程：_______． 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同． (1)求甲、乙两种糖果的售价； (2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 题型35 分式方程的其它实际问题 1．（2026·浙江湖州·模拟预测）古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，设升级条乙类生产线需投入万元． (1)升级条甲类生产线需投入______万元，用万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含的式子表示) (2)升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 分式 题型01 分式的判断 题型19 异分母分式加减法（重点） 题型02 分式无意义的条件（常考点） 题型20 整式与分式相加减（重点） 题型03 分式有意义的条件（常考点） 题型21 分式加减混合运算（难点） 题型04 分式值为零的条件（常考点） 题型22 分式加减的实际应用（难点） 题型05 将分式的分子分母各项系数化为整数 题型23 分式加减乘除混合运算（难点） 题型06 约分 题型24 分式化简求值（难点） 题型07 最简分式 题型25 已知分式恒等式，确定分子或分母 题型08 分式的求值 题型26 分式方程的定义 题型09 利用分式基本性质判断分式值的变化 题型27 根据分式方程解的情况求值 题型10 求使分式值为整数时未知数的整数值 题型28 分式方程无解问题（难点） 题型11 分式乘法（重点） 题型29 列分式方程（常考点） 题型12 分式除法（重点） 题型30 解分式方程（化为一元一次）（难点） 题型13 分式乘除混合运算 题型31 分式方程的行程问题（重点） 题型14 分式乘方（重点） 题型32 分式方程的工程问题（重点） 题型15 含乘方的分式乘除混合运算（难点） 题型33 分式方程的经济问题（重点） 题型16 同分母分式加减法（重点） 题型34 分式方程和差倍分问题（重点） 题型17 通分 题型35 分式方程的其它实际问题 题型18 最简公分母 题型01 分式的判断 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下列各式：，，，，是分式的有（　　）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查分式的概念，分母中含有字母（变量）的代数式就是分式，只需紧扣定义逐个核对，就能判断出有几个代数式是分式． 【详解】解：分母含有变量x，是分式； 分母为常数3，不含变量，不是分式； 分母为，含有变量b，是分式； 分母为常数（圆周率），不含变量，不是分式； 分母为，含有变量x，是分式． 因此，是分式的有，，，共3个． 故选：C． 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）下列各式中，属于分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了分式的定义，解题的关键是理解分式的概念，即形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 根据分式的定义，判断每个选项的分母是否含有字母；分母不含字母的是整式，分母含有字母的是分式，由此对各选项进行分析判断． 【详解】解：分式的定义为：形如、B是整式，B中含有字母且的式子叫做分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 选项，分母是常数，不是字母，属于整式． 选项，分母为其中含有字母a和符合分式的定义，属于分式． 选项，式子中没有分母含字母的形式，属于整式． 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）下列代数式中，属于分式的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是分式的识别，根据分式的定义，分母中含有字母的代数式称为分式，根据定义求解即可. 【详解】解：A选项的分母是数字3，不含字母，属于整式； B选项的分母是字母，符合分式的定义； C选项是多项式，没有分母，属于整式； D选项的分母是数字7，不含字母，属于整式； 综上，只有B选项是分式； 故选：B． 题型02 分式无意义的条件 1．（24-25七年级下·浙江湖州·期末）当____时，分式无意义． 【答案】1 【分析】本题考查分式无意义的条件，掌握分式无意义的条件是解题的关键． 根据分式无意义的条件，即分母为0，即可解答． 【详解】解：∵分式无意义， ∴， 解得． 故答案为：1． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）当_____时，分式无意义． 【答案】1 【分析】本题考查分式无意义的条件，熟练掌握分母为零时分式无意义的条件是解题的关键．根据分母为零时分式无意义进行解题即可． 【详解】解：要使分式无意义， 则分母为零， 即， 解得． 故答案为：1． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）若分式无意义，则x的值为 ___________． 【答案】 【分析】本题考查了分式无意义的条件，理解分式无意义时分母为零是解题的关键． 根据分式的分母为零，分式无意义计算可求解． 【详解】解：， 解得， 故当时，分式无意义， 故答案为：． 题型03 分式有意义的条件 1．（2026·浙江宁波·模拟预测）要使分式有意义，需满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， 解得：． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）要使分式有意义，则的取值应满足的条件是（    ） A． B． C． D．可以取任意实数 【答案】B 【分析】本题考查的是分式有意义的条件，根据分式有意义的条件是分母不等于零列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 故选：B． 3．（22-23七年级下·浙江宁波·期中）分式有意义的条件是______． 【答案】 【分析】根据分式分母不为0求解即可． 【详解】解：分式有意义， ， 解得：． 题型04 分式值为零的条件 1．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查分式等于0的条件，分式有意义的条件，分式求值，根据题意求出，是关键．根据分式等于0的条件可得，，再代入分式求值即可． 【详解】解：∵， ∴且， ∴且， ∴，， ∴ ． 故选：C． 2．（2026·浙江温州·二模）若分式的值为0，则的值为__________． 【答案】 【详解】解：∵分式的值为0， ∴， 解得， 经检验，时，，符合题意． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）若分式的值为零，则________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了分式值为零的条件，分式的值为零的条件：分式分子的值为零，分母的值不为零；根据条件可直接得到答案． 【详解】解：根据题意可知：且， 解得， 故答案为：2 题型05 将分式的分子分母各项系数化为整数 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）不改变分式的值，把它的分子与分母中的系数化为整数，下列式子正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式的性质，分子分母同时乘以10，即可求解． 【详解】解：， 故选：A． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）不改变分式的值，把它的分子和分母中各项的系数都化为整数，结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查分式的基本性质的运用，注意当分子、分母为多项式时，要乘每一项．利用分式的基本性质：分式的分子和分母同时乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变．把原分式的分子分母同乘10，再进一步计算即可． 【详解】解：， 故选：D． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·期末）不改变分式的值，把分子和分母中各项的系数都化为整数，则结果为_____． 【答案】 【分析】本题考查分式的基本性质，熟练掌握其性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将分子、分母同乘10即可． 【详解】解： 故答案为：． 题型06 约分 1．（2026九年级下·浙江·专题练习）计算的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】运用积的乘方法则计算分子，再通过约分得到最终结果. 【详解】解：原式. 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）先利用分式的基本性质化简分式后再求值：，其中，． 【答案】化简为，值为0 【详解】解： 当，时，原式． 3．（2026·浙江衢州·一模）约分：． 【答案】 【分析】将原式分子、分母进行因式分解后，再进行约分即可得到答案． 【详解】解： ． 题型07 最简分式 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期中）下列分式中，最简分式是（　　）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查最简分式，掌握定义：一个分式的分子与分母没有非零次的公因式时叫最简分式，是解题的关键． 根据最简分式的定义看分子与分母是否有非零次的公因式，求解即可． 【详解】解：A、，不是最简分式，不符合题意； B、，不是最简分式，不符合题意； C、，不是最简分式，不符合题意； D、是最简分式，符合题意． 故选：． 2．（21-22七年级下·浙江湖州·期末）下列各式中是最简分式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】最简分式是指分式的分子和分母没有公因式，不能再约分的分式，根据最简分式的概念即可求解． 【详解】解：A. ，故不符合题意； B. ，故不符合题意； C. ，故不符合题意； D. ，是最简分式，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查最简分式的概念，解决本题的关键是要熟练掌握最简分式的概念． 3．（21-22七年级下·浙江丽水·期末）下列分式中，最简分式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据最简分式的定义：分式分子分母除了以外，没有其他的公因式，判断即可． 【详解】解：A、，故A不符合题意； B、原式为最简分式，故B符合题意； C、，故C不符合题意； D、，故D不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义，是解本题的关键． 题型08 分式的求值 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知，，则的值为________． 【答案】/0.5 【分析】首先求出，，然后得到，，然后相乘得到，推出，然后将原式通分整体代入求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， 即，， ∴，， ∴， ∴，即， ∴ ∵ ． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则分式的值为________． 【答案】 【分析】首先得到，然后代入求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴． 3．（2026·浙江金华·二模）已知，求分式的值． 【答案】 【分析】先将变形为，再代入即可求值． 【详解】∵由题可得， ∴． 题型09 利用分式基本性质判断分式值的变化 1．（21-22七年级下·浙江宁波·阶段检测）将分式中的a，b都扩大为原来的3倍，则分式的值（     ） A．扩大3倍 B．不变 C．扩大9倍 D．扩大2倍 【答案】A 【分析】根据分式的基本性质将扩大后的a、b代入原分式，化简后和原分式比较，即可解答． 【详解】解：∵将a、b都扩大为原来的3倍后，代入原分式得 新分式 ∴新分式的值是原分式的3倍，即分式的值扩大3倍. 2．（24-25七年级下·浙江台州·期末）将分式中的x，y同时扩大为原来的3倍，则分式的值（   ） A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的2倍 C．扩大为原来的3倍 D．缩小为原来的3倍 【答案】C 【分析】本题考查分式的性质，将原分式中的和同时扩大为原来的3倍，代入后化简新分式，与原分式比较即可得出结论． 【详解】解：将原分式为．当和均扩大为原来的3倍， 代入得新分式： 原分式为，新分式化简后为原分式的3倍，即． 因此，分式的值扩大为原来的3倍， 故选C． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）分式的值为，将，都扩大倍，则变化后分式的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查分式性质，将原分式中的变量扩大倍后，代入计算新分式的值，并与原值比较即可得到答案，熟记分式性质是解决问题的关键． 【详解】解：， 当和均扩大2倍时，新分式， 则变化后的分式值为， 故选：D． 题型10 求使分式值为整数时未知数的整数值 1．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）设是大于1925的正整数，使得为完全平方数的的个数是（   ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】A 【分析】本题考查了完全平方数的性质，设（N为完全平方数，，1，4，9，16，…，）则，进而得，和都是正整数，都是100的因数，依此即可求解． 【详解】解：设（N为完全平方数，，1，4，9，16，…，） 则， 所以， 即，和都是正整数，都是100的因数，N为完全平方数，，1，4，9，16，…， ∴当时，； 当时，此时不是整数； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，（舍去）； 故使得为完全平方数的n的个数是4． 故选：A． 2．（24-25九年级·浙江·自主招生）若是整数，分式的值也是整数，则满足条件的的个数是（      ） A．3个 B．4个 C．5个 D．8个 【答案】D 【分析】本题主要考查了分式的化简，将化简为，是解题的关键． 将分式变形为，得出的值为整数，只需为整数即可，然后分别求出x的值即可． 【详解】解： ， 若要的值为整数，只需为整数即可，可以是， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 综上分析可知，分式的值为整数．满足条件的的个数共有8个， 故答案为：D． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，例如：，；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，例如，．我们知道，假分数可以化为带分数，例如：，类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式和的形式）． 例如：①； ② (1)判断为________（填真分式或假分式）； (2)仿照例子，将分式化为带分式． (3)若分式的值为整数，求的整数值． 【答案】(1)真分式 (2) (3)的可能整数值为． 【分析】本题考查分式的混合运算，理解题意并将各式进行正确地变形是解题的关键． （1）根据题干中的定义进行判断即可； （2）将原式变形后进行化简即可； （3）将原式变形后化为代分式，然后结合已知条件确定整数x的值即可． 【详解】（1）解：由题意可得为真分式， 故答案为：真分式； （2）； （3）， 当为整数时，也为整数， 可取得的整数值为，， 的可能整数值为． 题型11 分式乘法 1．（2026·浙江台州·一模）计算的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式乘法法则，分子相乘的积作为积的分子，分母相乘的积作为积的分母，再约去公因式即可． 【详解】解：． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期末）计算：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了分式的乘法运算法则，熟练掌握分式乘法中分子相乘、分母相乘以及约分的方法是解题的关键．本题是分式的乘法运算，解题思路为：根据分式乘法法则，将分子相乘的积作为新分子，分母相乘的积作为新分母，然后进行约分化简． 【详解】解： 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了单项式乘多项式，分式的乘法运算，解题的关键在于熟练掌握相关运算法则． （1）根据单项式乘多项式法则计算，即可解题； （2）根据分式的乘法运算法则计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型12 分式除法 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查的是分式的除法运算，根据分式的除法法则计算即可，熟练掌握分式的除法法则是解决此题的关键． 【详解】 ， 故答案为：． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）计算：_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了分式除法运算，根据分式除法运算法则进行计算即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）先化简：，再从1，2，3中选择一个恰当的数作为x的值代入求值． 【答案】， 【分析】本题考查分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解题的关键，最后在选择一个恰当的数作为x的值时，要保证选取的x不能使分母为0．先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选出合适的x的值代入进行计算即可． 【详解】原式， 要使分式有意义，，且， 所以且， 所以只能取， 当时，原式． 题型13 分式乘除混合运算 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）化简： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据单项式除单项式的运算法则计算即可； （2）利用完全平方公式和单项式乘多项式的运算法则计算即可求解； （3）根据单项式乘多项式的运算法则计算即可； （4）先因式分解，再将除法运算为乘法运算，再约分化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算下列各题： (1) (2) (3) (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）直接约分即可； （2）先把分子和分母分解因式，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （3）先把分子和分母分解因式，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可； （4）先把分子和分母分解因式，再把除法运算化为乘法运算，然后约分即可． 【详解】（1）原式； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 【点睛】本题考查了分式的乘除法：分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作积的分子，分母的积作积的分母；分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）分式的分子和分母分别相乘，再进行约分即可； （2）把除法变成乘法，再进行约分即可； （3）先分解因式，再进行约分即可； （4）先分解因式，同时把除法变成乘法，再进行约分即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ； （3）原式 ； （4）原式 ． 【点睛】本题考查了分式的乘除法的应用，主要考查学生的计算能力．掌握分式的乘除运算法则是解题的关键. 题型14 分式乘方 1．（2022九年级·浙江·专题练习）计算：（）3＝___；（9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy＝_____． 【答案】 3x﹣2y+1 【分析】根据分式的乘方法则和分式的约分方法计算即可． 【详解】解：()3＝＝＝﹣； （9x2y﹣6xy2+3xy）÷3xy = = ＝3x﹣2y+1； 故答案为：﹣；3x﹣2y+1． 【点睛】本题考查了分式的乘方和分式的约分，分式的乘方是把分子、分母分别乘方，分式的约分是把分式分子、分母中除1以外的公因式约去． 2．（2024七年级下·浙江·专题练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的乘除混合运算． （1 ）先乘方，再计算乘除． （2 ）先把分子分母因式分解，然后约分即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 3．（24-25八年级上·山东淄博·期中）计算： 【答案】 【分析】本题考查了分式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算乘方运算，再计算乘除运算即可得到结果． 【详解】解： ． 题型15 含乘方的分式乘除混合运算 1．（2023七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) 【分析】（1）直接根据分式的乘法法则进行计算即可； （2）（4）直接根据分式的除法法则进行计算即可； （3）根据分式的乘法法则进行计算即可； （5）、（6）、（7）根据分式的乘法及除法法则进行计算即可； （8）、（9）、（10）、（11）、（12）根据分式混合运算的法则进行计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： （7）解： （8）解： ； （9）解： ； （10）解： ； （11）解： （12）解： ． 【点睛】本题考查的是分式的乘除法计算，分式的乘除法混合计算，熟知分式的乘法及除法法则是解答此题的关键． 2．（2025·广东深圳·二模）以下是小茗同学化简分式的运算过程： 解：原式        ①                 ②                        ③ (1)上面的运算过程中第_________步开始出现了错误； (2)请你写出完整的解答过程． 【答案】(1)① (2)见解析 【分析】本题考查了分式的化简，熟练掌握分式的基本性质，化简的基本技能是解题的关键． （1）从第①步开始出现错误，错误的原因是除法不能直接约分． （2）根据分式的运算，正确计算即可， 【详解】（1）解：上面的运算过程中第①步开始出现了错误， 故答案为：①； （2）原式                                                                     ． 3．（23-24八年级上·西藏拉萨·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了分式的混合运算． （1）先计算分式的乘方，再计算乘除法即可； （2）把分式的除法变为乘法计算即可． 【详解】（1）解：原式= ； （2）解：原式= 题型16 同分母分式加减法 1．（25-26七年级下·浙江·单元测试）计算：___________． 【答案】1 【分析】先根据同分母分式加法法则将分子相加，再合并同类项化简分子，最后约分得到结果． 【详解】解：． 2．（2026七年级下·浙江·专题练习）计算：___________． 【答案】1 【分析】两个分式分母相同，分母不变，把分子相加即可； 【详解】解：． 3．（2023·浙江台州·模拟预测）化简：______． 【答案】2 【详解】解：原式 ． 题型17 通分 1．（2023七年级下·浙江·专题练习）根据分式的基本性质，完成下列各等式． （1），横线上应填______；        （2），横线上应填______； （3）（b≠0），横线上应填______；      （4），横线上应填______； （5）3x﹣2＝，横线上应填______；     （6），横线上应填______． 【答案】 b y x 【分析】根据分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，从而求出答案． 【详解】解：（1）； （2）； （3）（b≠0）； （4）； （5）； （6）； 故答案为；b，y，，x，，； 【点睛】此题考查了分式的基本性质，一定要熟练掌握分式的基本性质是解题的关键，是一道基础题． 2．（2021九年级·浙江·专题练习）分式的约分、通分： 把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做_______． 把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，叫做_______． 【答案】 分式的约分 分式的通分 【分析】根据分式的基本性质即可得到答案． 【详解】把分式中分子与分母的公因式约去，这种变形叫做分式的约分，约分的根据是分式的基本性质；把几个异分母分式化为与原分式的值相等的同分母分式，这种变形叫做分式的通分，通分的根据是分式的基本性质，通分的关键是找最简公分母． 故答案为：分式的约分；分式的通分． 【点睛】本题考查的是分式的约分和分式的通分的概念，属于基础题型． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）若分式的分母经通分后变为，则分子应变为_______． 【答案】 【分析】本题考查分式的通分，分母变为，乘了，根据分式的基本性质，分子也应乘以． 【详解】解：， 因此分子应变为：， 故答案为：． 题型18 最简公分母 1．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）分式和的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了最简公分母．熟练掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义求解作答即可．通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母． 【详解】解：由题意知，最简公分母为， 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）下列说法正确的是（    ） A．若分式的值为0，则 B．是最简分式 C．把分式中的x和y都扩大到原来的4倍，那么这个分式的值扩大为原来的4倍 D．与的最简公分母是 【答案】C 【分析】本题考查了分式的值为零的条件，最简分式的定义，分式的性质，最简公分母； A.由分式值为零的条件得且，即可判断； B.将分子分母进行因式分解，由最简分式的定义即可判断； C.按要求扩大倍数进行化简，即可判断； D.按最简公分母定义找出最简公分母，即可判断； 理解分式的值为零的条件：分子的值为零，分母不等于零；最简分式的定义：分子分母除了，没有其它公因式；会找最简公分母是解题的关键． 【详解】解：A. 分式的值为0，则且，解得，结论错误，故不符合题意； B.，结论错误，故不符合题意； C.，结论正确，故符合题意； D.最简公分母是，结论错误，故不符合题意； 故选：C． 3．（2024·浙江台州·模拟预测）分式方程，各分母的最简公分母是_______． 【答案】 【分析】本题考查了解分式方程，最简公分母，要注意：通常取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母，掌握最简公分母是解题的关键． 根据最简公分母的定义即可得出答案． 【详解】解：分式方程，各分母的最简公分母是， 故答案为：． 题型19 异分母分式加减法 1．（2026·浙江杭州·一模）下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A选项：，A错误． B选项：，B错误． C选项：，C错误． D选项：，D正确． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）从A地到B地有两条路，每条路都有，其中第一条路是平路，第二条路有的上坡路，的下坡路，小丽在上坡路上的骑车速度为，在平路上的骑车速度为，在下坡路上的骑车速度为，则（） A．走第一条路花费时间比第二条少 B．走第一条路花费时间比第二条多 C．走第一条路花费时间比第二条少 D．走第一条路花费时间比第二条多 【答案】A 【分析】分别计算走两条路花费的时间，再作差比较即可得到结果． 【详解】解：∵第一条路全长，平路骑车速度为， ∴走第一条路花费的时间为； ∵第二条路有的上坡路，的下坡路，上坡速度为，下坡速度为， ∴走第二条路花费的时间为， ∵， ∴走第一条路花费时间比第二条少． 3．（2026·浙江衢州·一模）小王的解题过程如下： 先化简，再求值：，其中． 解：原式=……………………① ……………………② ……………………③ 当时，原式． (1)请指出第一次出现错误步骤的序号：________________． (2)写出正确的解答过程． 【答案】(1)① (2)； 【分析】（1）观察解题过程，可得出结论； （2）根据异分母分式加减法法则进行解答即可． 【详解】（1）解：出现错误步骤的序号为① （2）解： ； 当时，原式． 题型20 整式与分式相加减 1．（2025·浙江·模拟预测）计算：的结果是______． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减运算．根据分式的加减运算法则进行计算，即可求解． 【详解】解：． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）在分式中，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”，当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”，假分式可以化成“带分式”，即整式与真分式的和的形式，如：． (1)判断下列“假分式”化成“带分式”的结果是否正确（填写“是”或者“否”）． ①（   ）；②（   ）． (2)若分式的值为整数，求满足条件的所有正整数a的值； (3)若分式和的值同时为整数，求满足条件的所有实数x的值． 【答案】(1)①是；②否 (2)2或8 (3)或 【分析】本题主要考查分式化简，新定义运算，熟练掌握分式的性质是解题的关键． （1）①根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； ②根据题中所给新定义和所给方法进行计算判断即可； （2）由题中所给方法化为带分式的形式即可； （3）设，则，且a为整数，，则有，然后根据或解方程，进而可求解． 【详解】（1）解：①由题意可得：，①正确， 故答案为：是； ② ，②错误， 故答案为：否； （2）解：， ∵该分式的值为整数， ∴的值可为，， 又∵a为正整数， ∴a的值为2或8； （3）解：∵分式和的值同时为整数， ∴设，则，且a为整数，， ∴ ∴或， 解得或（舍去）或或（舍去）， ∴或． 3．（24-25八年级上·浙江温州·期末）设为正整数，化简． 【答案】 【分析】本题考查了分式的加减，根据原式=，裂项相减即可求解． 【详解】解：原式= ． 题型21 分式加减混合运算 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）一个代数式只含有字母，，把替换成，把替换成，得到一个新的代数式．若不论，如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等，则称其为对称式．例如：代数式，新代数式为，因为，所以是对称式；而代数式，新代数式为，因为当，时，代数式值为，新代数式值为，两者不相等，所以不是对称式． (1)请判断和是不是对称式？模仿上面的格式说明理由； (2)关于字母，的代数式（为常数）是对称式，求的值． 【答案】(1)是对称式，不是对称式 (2) 【分析】本题考查了整式的化简与整式恒成立求参数，正确理解新定义的含义是解题的关键． （1）根据对称式的定义对各式进行判断即可； （2）根据对称式的定义，交换的位置，得到，由题意得，得到，化简求解即可． 【详解】（1）解：代数式，交换字母后的代数式为：， ∵， ∴是对称式； 代数式，交换字母后的代数式为：， 当，时， ，， ∴， ∴不是对称式； （2）代数式交换，的位置得到， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵对称式是不论如何取值，新代数式的值与原代数式的值始终相等， ∴不论如何取值均成立， ∴． 2．（24-25七年级下·浙江金华·月考）【阅读理解】 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，解决问题的策略一般都是进行一定的转化，其中“作差法”就是常用的方法之一．作差法：就是通过作差、变形，利用差的符号确定它们的大小．即要比较代数式的大小，只要算的值，若，则；若，则；若，则． 【知识运用】 （1）请用上述方法比较下列代数式的大小（直接在空格中填写“”或“”）： ①当时，_______；②若，，________ （2）试比较与的大小，并说明理由； 【拓展运用】（3）已知甲、乙两船同时从A港出发航行，设甲、乙两船在静水中的速度分别为，，水流速度为，且，两船同时顺流航行后立即返航，甲、乙两船返航所用时间分别为，，请通过比较，的大小，判断哪条船先返回A港？并说明理由． 【答案】（1）①；②；（2），理由见解析；（3）甲船返航先返回A港 【分析】本题主要考查行程问题，整式的混合运算，分式加减混合运算的综合，理解行程中的数量关系，掌握整式的混合运算的方法，“作差法”的计算与比较方法是解题的关键． （1）根据材料提示，运用“作差法”即可求解； （2）运用“作差法”，乘法公式，不等式的性质，即可求解； （3）根据题意可得甲、乙船顺流速度与路程，分别求出返航时间，再用“作差法”比较即可求解． 【详解】解：（1）①由题意得：由于， 则， ， 故答案为：； ②由于，，则 ， ， 故答案为：； （2），理由如下： 由题意得： ， 则； （3）甲船返航先返回A港，理由如下： 由题意得：甲船顺流速度为，则甲船顺流的路程为， 乙船顺流速度为，则乙船顺流的路程为， 返航时甲船速度为，则， 返航时乙船速度为，则， ， 由于， ， ， 则甲船返航先返回A港． 3．（2023·浙江杭州·二模）某同学化简分式：出现了错误，解答过程如下： 解： （第一步） （第二步） （第三步） （第四步） (1)该同学的解答过程是从第_________步开始出错． (2)请写出此题的正确解答过程． 【答案】(1)二 (2) 【分析】（1）根据分式的加减运算法则可作出判定； （2）根据分式的加减运算法则进行化简即可． 【详解】（1）解：第二步开始出错，因为丢掉了分式的分母， 故答案为：二； （2）解： ． 【点睛】本题考查分式的加减，熟练掌握分式的加减运算法则并正确求解是解答的关键． 题型22 分式加减的实际应用 1．（2025·浙江台州·一模）已知某船从甲港口到乙港口的距离为千米， 船速为千米/时， 返回时的速度是去时的2倍，则船往返的总时间为___________小时． 【答案】 【分析】本题主要考查了列代数式、分式的加减运算等知识点，理解题意正确的列出代数式成为解题的关键． 先根据时间、路程、速度的关系分别求出去时和返回所用的时间，然后把往返的时间分别相加，再化简即可解答． 【详解】解：∵船去时所用时间为：（小时）， ∵船返回时所用时间为：（小时​​​​）， 则船往返的总时间为（小时）． 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）商店通常用以下方法来确定两种糖混合而成的什锦糖的价格：A种糖的单价为元千克，种糖的单价为元千克，且．则千克A种糖和千克种糖混合而成的什锦糖的单价为（元千克）．把质量相同的A种糖和种糖混合而成，记为甲种什锦糖（单价记为）；把总价相同的A种糖和种糖混合而成，记为乙种什锦糖（单价记为）．请解决以下问题： (1)分别求出，（可用含有，的代数式表示）； (2)你认为购买哪一种什锦糖较便宜？为什么？ 【答案】(1)元千克，元千克 (2)购买乙种什锦糖较便宜，理由见解析 【分析】（1）设质量各为千克，，求出甲的售价，设总价各为元，求出乙的售价； （2）利用作差法，求出，利用非负数的意义判断差的符合，进而比较大小． 本题考查了分式的化简以及异分母分式相加减，掌握作差法比较大小是解题的关键． 【详解】（1）解：设甲什锦糖由相同质量的A，两种糖果混合，设质量各为千克， 则售价为：元千克， 乙什锦糖由总价相同的A、两种糖果混合，设总价各为元， 则售价为：元千克， 答：甲、乙两种什锦糖的售价应为元千克，元千克． （2）解：购买乙种什锦糖较便宜，理由如下： ． ，，， ． 甲的售价高于乙的售价， 购买乙种什锦糖较便宜． 3．（2025·浙江·三模）小明在探究并联电阻的总电阻时，发现：总电阻的倒数等于各并联电阻，的倒数和，即． (1)请用含R和的式子表示及． (2)若，均为正整数，探究，分别取多少Ω时，总电阻R恰好为？ 【答案】(1) (2)①，；②，；③， 【分析】本题考查了分式的加减，分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减． （1）先移项再通分得，再取倒数即可； （2）先将代入，再化简得，再根据，均为正整数，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，均为正整数， ∴①当时，则，； ②当时，则，； ③当时，则，． 题型23 分式加减乘除混合运算 1．（25-26八年级上·浙江台州·阶段检测）先化简，再求值：，请从1，0，中选取一个合适的数代入求值． 【答案】化简结果为，运算结果为 【分析】本题考查了分式化简求值，分式有意义的条件，分式加减乘除混合运算等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 先进行小括号里的运算，同时将除号后的分式分子、分母分解因式，再将除法转化为乘法，然后化为最简，再根据分式有意义、运算过程有意义，确定未知数的值代入求值． 【详解】解：原式 ， 要使原来的分式和运算过程有意义， 必须有，且，且， 所以，，， 所以从1，0，中，只能选， 所以， 原式． 2．（2023八年级上·浙江台州·竞赛）【阅读材料】若分式与分式的差等于它们的积，即，则称分式是分式A的“关联分式”例如分式，，，，是的“关联分式”． 【解决问题】 （1）已知分式，，请直接判断是不是的“关联分式”？ （2）求分式的“关联分式”； 【拓展延伸】 （3）观察（1）（2）的结果，直接写出分式的“关联分式”：______． 【答案】（1）是A的“关联分式” （2）（3） 【分析】本题考查了新定义下的分式的运算，熟练掌握分式的运算是解答本题的关键． （1）根据“关联分式”的定义验证即可； （2）根据“关联分式”的定义列出等式计算即可； （3）根据“关联分式”的定义列出等式计算即可． 【详解】解：（1）. ， ， ， 是A的“关联分式”； （2）设分式的“关联分式”为，根据新定义得： ， ， 分式的“关联分式”为； （3）设分式的“关联分式”为，根据新定义得： ， 解得：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江宁波·月考）欧拉是18世纪瑞士著名的数学家、物理学家、天文学家．以欧拉命名的常数、公式、定理随处可见．在分式中，就有这样一个欧拉分式： (1)请你对欧拉分式中，当时的情况进行证明； (2)请你利用欧拉分式解决下列问题： 计算：； 求的值．（带特殊值不给分） 【答案】(1)详见解析 (2)； 【分析】本题主要考查分式的加减法、有理数的加减混合运算、分式的值，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． （1）先通分，再化简计算即可； （2）①令，，，进而得出答案； ②对原式进行变形，即可得出答案． 【详解】（1）解：当时， 原式 ； （2）解：①令，，， 则原式； ②原式 ． 题型24 分式化简求值 1．（2026·浙江杭州·一模）已知实数a，b均为正数，记为a，b的算术平均数，为a，b的调和平均数． (1)当，时，求其算术平均数和调和平均数． (2)试比较a，b的算术平均数和调和平均数的大小，并说明理由． 【答案】(1)算术平均数为，调和平均数为 (2)算术平均数调和平均数，当且仅当时等号成立 【分析】（1）根据题意代入即可求解； （2）利用作差法即可比较． 【详解】（1）解：根据题意得，当，时，算术平均数为，调和平均数为； （2）解：， ， ， 即，当且仅当时等号成立． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）在解决某些连等式问题时，通常可以引入参数“”，将连等式变成几个含的等式，这样就可以通过适当变形解决问题． 例：已知，且，求的值． 解：令，则，，，． 根据材料回答问题： (1)若，且，求的值． (2)若且，求的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）令，得到，，，然后代入代数式化简即可； （2）令，得到，，，然后分和两种情况分别化简计算． 【详解】（1）解：令，则，，， ； （2）解：令，则，，， ， ， 若，则有，解得， ，，， ； 若，则有，，， ； 的值为或． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值： ，其中可在，，三个数中任选一个合适的数． 【答案】，取，原式 【分析】先将分子分母因式分解，再约分，然后括号内进行通分，将除法计算转化为乘法计算，约分化简即可，再根据分式有意义的条件确定的值代入进行计算即可． 【详解】解：原式 ， ，， ，，， 取，原式． 题型25 已知分式恒等式，确定分子或分母 1．（24-25七年级下·浙江金华·月考）若，求的值为________． 【答案】 【分析】本题考查了分式的减法、二元一次方程组，熟练掌握分式的减法法则是解题关键．先计算等式右边的减法，再与等式的左边进行比较可得一个关于的二元一次方程组，解方程组即可得． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 由得：， 解得：， 将代入①得：， ∴， 所以． 故答案为：． 2．（22-23八年级上·浙江台州·期末）已知，且，则________． 【答案】2 【分析】本题考查分式的加减，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会恒等变形，由题意，可得，因为，所以，推出，由此即可解决问题． 【详解】解析：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）已知，，都是正数）． (1)计算：； (2)若，说明的理由； (3)设，且为正整数，试用等式表示，之间的关系． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或或 【分析】本题考查了分式的加减运算； （1）根据分式减法计算即可． （2）根据得到，的关系式． （3）根据与，的关系求解． 【详解】（1）解： ． （2）， ， ， ， ， ． （3） ， 是正整数，，都是正数， 或或． 或或， 或或． 题型26 分式方程的定义 1．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了分式方程的定义，根据分式方程的定义对各选项进行逐一分析即可，正确理解分式方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，不含有分式，不是分式方程，不符合题意； 、，含有分式，是分式方程，符合题意； 故选：． 2．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列方程：①；②；③；④．其中分式方程有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据分母中含有未知数的方程叫做分式方程，判断即可． 【详解】 解：①分母中含有未知数，故是分式方程； ②分母中不含有未知数，故是整式方程； ③分母中含有未知数，故是分式方程； ④分母中含有未知数，故是分式方程． 故选：C． 【点睛】 本题考查了分式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 3．（2023七年级下·浙江·专题练习）下列关于x的方程是分式方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫分式方程．根据定义结合选项即可求解． 【详解】解：选项A、B、D是整式方程，不符合题意； 选项C，是分式方程，符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查分式方程的定义，熟练掌握分式方程的定义是解题的关键． 题型27 根据分式方程解的情况求值 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）关于x的分式方程有增根，则m的值为（   ） A． B．1 C．0 D．3 【答案】B 【分析】根据分式方程的增根是使最简公分母的的值，先求出增根，再将增根代入去分母得到的整式方程即可求出的值． 【详解】解：∵分式方程有增根， ∴最简公分母，解得， 即方程的增根为， 方程两边同乘，得， 展开整理得：， 移项化简得：， 将代入得， 解得． 2．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）如果关于的方程有增根，那么增根是_____． 【答案】 【分析】先确定最简公分母为，增根是使分式方程的最简公分母为的未知数的值，即，解得． 【详解】解：方程两边都乘， 得， ∵原方程有增根， ∴最简公分母， 解得． 3．（2026九年级下·浙江杭州·专题练习）若关于的分式方程有解，则的取值范围是___________． 【答案】， 【分析】分式方程去分母转化为整式方程，表示出分式方程的解，确定出m的范围即可. 【详解】解：， 去分母，得：， 整理得：, ∴当时，方程无解， ∴； 当时，， ∴， 解得， ∴m的取值范围是：，． 题型28 分式方程无解问题 1．（2023七年级下·浙江宁波·竞赛）已知关于的分式方程有增根，则的值为（    ） A． B． C． D．或 【答案】C 【分析】本题考查了分式方程的解法，首先去分母，把分式方程转化为整式方程，可得：，可知当时，方程无解，当时，方程的解为，因为分式方程的解为增根，所以可得：，解方程求出的值即可，本题中需要注意无解和增根的区别． 【详解】解：， 去分母得：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：， 当时，方程无解， 此时； 当时， 可得：， 分式方程有增根， ， 解得：， 检验：当时，原方程的增根为，符合题意； 当时，分式方程有增根． 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江温州·期末）若分式方程无解，则的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是分式方程的无解问题，解题关键是熟练掌握分式方程的无解问题的解法． 先将分式方程去分母，化为整式方程，当分式方程无解时，即时，将代入整式方程即可求解． 【详解】解：原方程去分母得， 分式方程无解， ， ， 将其代入得． 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江绍兴·阶段检测）关于x的分式方程无解，则a的值是______． 【答案】3或/或3 【分析】本题考查了分式方程的解，理解分式方程无解有整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况是解决问题的关键． 去分母得：，进而得出，再分整式方程无解和整式方程的解是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案． 【详解】解：， 去分母得：， 整理得：， 当，即时，，此时整式方程无解，分式方程无解， 当，即时， 由得，把代入得：，解得：， ∴关于的分式方程无解时，或， 故答案为：3或． 题型29 列分式方程 1．（2026·浙江温州·二模）瑞安特产马蹄笋闻名浙南，某农户采挖一批马蹄笋，质量为240千克，若每筐多装2千克，则所用筐数比原来少4筐．设原来每筐装千克，可列出方程（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总质量、每筐质量、筐数的数量关系，结合筐数的差值列出对应方程即可． 【详解】解：设原来每筐装千克，则每筐装千克，依题意得： ． 2．（2026·浙江台州·二模）某文具店购进一批笔记本，若每本降价3元销售，顾客用360元可以比原价多买到4本．设笔记本原价x元/本，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据总价和单价分别表示出原价与降价后购买笔记本的数量，再根据“降价后比原价多买4本”的等量关系列方程． 【详解】解：原价为元/本，每本降价3元后，售价为 元/本， 360元按原价可购买笔记本数量为本，360元按降价后价格可购买笔记本数量为本， 降价后可比原价多买到4本，即降价后购买数量减去原价购买数量等于4， 列方程得 ， 故选：A． 3．（2026·浙江衢州·一模）人数相同的两个艺术兴趣小组一起制作纪念书签，甲组制作360张，乙组制作300张．已知甲组每位成员平均制作书签比乙组多3张，设甲组平均每人制作x张，由题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】解题思路为：根据设出的甲组平均每人制作数量，得到乙组平均每人制作数量，再利用两个小组人数相等的关系，根据人数总制作数量平均每人制作的数量列方程即可． 【详解】解：∵设甲组平均每人制作张，甲组每位成员平均制作比乙组多张， ∴乙组平均每人制作张． ∵两个小组人数相同，且 ∴甲组人数为，乙组人数为． 可得方程． 题型30 解分式方程（化为一元一次） 1．（2026·浙江台州·二模）若，则______． 【答案】3 【分析】本题考查分式方程的求解，解题思路为将分式方程转化为整式方程求解，再检验得到原方程的解． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得，， 移项得，， 检验：当时，，故是原分式方程的解． 2．（2026·浙江台州·二模）若，则______． 【答案】 【分析】先去分母转化为整式方程求解，最后检验分母不为零． 【详解】解：， 方程两边同乘得：， 解得：， 检验：当时，， 是原分式方程的解． 3．（25-26九年级下·浙江杭州·期中）若，则______． 【答案】2 【分析】先统一分母，将分式方程化为整式方程求解，求解后进行检验得到最终结果． 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同乘，得 ， 移项合并同类项，得， 系数化为，得， 检验：当时， ， 因此是原分式方程的解． 题型31 分式方程的行程问题 1．（2026·浙江台州·二模）2026年4月26日，“骑跑中国”2026骑跑两项全民系列赛在黄岩顺利开赛．小华参加了其中的“骑跑全程组”，需先跑步，再骑行，最后跑步．已知小华全程共花了，骑行的平均速度是跑步的平均速度的2倍，求小华跑步的平均速度．设小华跑步的平均速度为，根据题意，可列方程为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据公式“时间路程速度”，结合“总时间跑步总时间骑行时间”列方程即可． 【详解】解：∵设小华跑步的平均速度为，骑行平均速度是跑步平均速度的2倍， ∴骑行平均速度为． ∵小华两次跑步总路程为，骑行路程为， ∴跑步总时间为，骑行时间为． ∵全程总时间为，总时间等于跑步总时间与骑行时间之和， ∴可得方程． 2．（25-26九年级上·浙江温州·阶段检测）某校组织九年级学生赴温州乐园开展研学活动，已知学校离温州乐园16千米．师生乘大巴车前往，某老师因有事情，推迟了5分钟出发，自驾小车以每小时比大巴车快5千米速度的前往，结果同时到达．设大巴车的平均速度为x千米/时，则可列方程为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了分式方程的应用，正确理解题意是解题的关键． 根据大巴车比小车多用时小时列方程即可． 【详解】解：大巴车用时小时，自驾小车用时小时，大巴车比小车多用时小时，所以可列方程． 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江金华·期末）小明在长为的跑道上训练机器人，机器人匀速行走1分钟后，提速度到原速的倍后继续匀速行走，结果比原计划提前40秒到达终点． (1)求该机器人走完全程所花的时间． (2)若A机器人一半路程以a米/分的速度行驶，另一半路程以b米/分的速度行驶；B机器人用一半时间以a米/分的速度行驶，另一半时间以b米/分的速度行驶．试比较A，B两机器人行走的时间大小，并说明理由． 【答案】(1)机器人走完全程所花的时间为分钟 (2)当时，两机器人行走的时间相同，当时，A机器人行走的时间多，理由见解析 【分析】本题考查分式方程的应用、分式的加减运算的应用、列代数式，理解题意，正确列出方程和代数式是解答的关键． （1）设原行走的速度为分，根据“结果比原计划提前40秒到达终点”列分式方程求解即可； （2）先根据题意求得两个机器人所需时间，然后作差，利用分式加减法计算后比较大小，进而可得结论． 【详解】（1）解：设原行走的速度为分， 根据题意得：， 解得， 经检验，为原方程的解， ， 机器人走完全程所花的时间分钟； （2）解：机器人所需时间， B机器人所需时间， ， 当时，， ∴，则，即两机器人行走的时间相同． 当时，，， ∴，则，即A机器人行走的时间多． 题型32 分式方程的工程问题 1．（2026·浙江舟山·一模）李技师与张技师为艺术节做手工艺品，张技师比李技师每小时少件，已知张技师做件与李技师做件所用时间相等，问张技师、李技师每小时各做手工艺品多少件？设张技师每小时做手工艺品件，则根据题意，可列出方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵设张技师每小时做手工艺品件，张技师比李技师每小时少做件， ∴李技师每小时做件， ∵工作时间 ， ∴张技师做件的时间为，李技师做件的时间为， 又∵张技师做件与李技师做件所用时间相等， ∴可得方程 ． 2．（24-25七年级下·浙江丽水·期末）为解决供水问题需铺设一条长2400米的管道，实际施工时……．设实际每天铺设管道米，可得方程．根据此情景，题中用“……”表示的缺失条件为（   ）． A．每天比原计划少铺设20米，结果延期6天完成 B．每天比原计划多铺设20米，结果提前6天完成 C．每天比原计划少铺设6米，结果延期20天完成 D．每天比原计划多铺设6米，结果提前20天完成 【答案】B 【分析】本题考查分式方程解应用题，根据方程的结构，分析原计划与实际施工的关系，原计划每天铺设米，实际每天铺设米，因此实际每天比原计划多铺设20米，从而确定缺失条件，即可得到答案，看懂分式方程，读懂题意是解决问题的关键． 【详解】解：方程中，分母和分别表示原计划与实际每天铺设的管道长度，原计划时间为，实际时间为，方程左边为原计划时间减去实际时间等于6，说明实际比原计划提前6天完成， 综上所述，缺失条件为“每天比原计划多铺设米，结果提前天完成”， 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）某河道绿化工程由甲、乙两工程队合作完成．已知甲工程队每天完成米，共完成了米，用时天：乙工程队每天完成米，共完成了米，用时天．若，则___________．（用含，的最简分式表示） 【答案】 【分析】先表示出，再根据即可用含的式子表示出s．本题主要考查了列代数式（分式），能根据题意用含的式子表示出s是解题的关键． 【详解】∵甲工程队每天完成a米，共完成了s米，用时天， ∴； 同理可得，． ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：． 题型33 分式方程的经济问题 1．（25-26八年级下·浙江嘉兴·阶段检测）如图，题目中的部分文字被墨水污染无法辨认，导致题目因缺少条件而无法解答．经查看答案解析发现，若设第一次购买了x个魔方，则可列方程进行解答．则被墨水污染部分的文字为：这次商家每个魔方________5元（填“涨价”或“优惠”），结果比上次________买了10个（填“多”或“少”）． 【答案】 优惠 少 【分析】由x表示第一次购买魔方的数量，可得出表示第二次购买魔方的数量，进而可得出第二次比第一次少买 10 个，利用单价，总价，数量之间的关系，结合所列方程，可得出第二次购买魔方的单价比第一次低 5 元，进而可找出被墨水污染部分的文字． 【详解】解：∵设第一次购买了x个魔方， ∴方程中表示第二次购买魔方的数量， ∴第二次购买魔方的数量比第一次少10个， ∵表示第一次购买魔方时，魔方的单价，表示第二次购买魔方时，魔方的单价，且， ∴第二次购买魔方的单价比第一次购买魔方的单价少5元， ∴第二次购买魔方时，每个魔方优惠5元，结果比上次少买了10个． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）飞箭航模店推出了“神舟”和“天宫”模型．已知每个“神舟”模型的成本比“天宫”模型高，现购进一批“天宫”模型花费800元，购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个，两种模型共花费3000元． (1)每个“神舟”和“天宫”模型的成本各多少元？ (2)这两种模型开始都以每个150元出售，最后剩下5个“神舟”模型打八折出售，很快全部售完．该航模店共获利润多少元？ 【答案】(1)每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元 (2)该航模店共获利润1050元 【分析】（1）设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元，根据购进“神舟”模型的数量比“天宫”模型多12个列出分式方程，据此求解即可； （2）分别计算出两种模型的销售额，减去成本，即可求解． 【详解】（1）解：设每个“天宫”模型的成本为元，每个“神舟”模型的成本为元， 根据题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：每个“天宫”模型的成本为100元，每个“神舟”模型的成本为110元； （2）解：“天宫”模型数量：个， “神舟”模型数量：个， “天宫”模型销售额：元， “神舟”模型前个销售额：元， 剩下5个“神舟”模型打八折：元， ∴总销售额：元， 总成本为3000元，所以总利润：元． 3．（2022·浙江温州·模拟预测）猕猴桃被誉为“维C之王”，其中含血清素可以稳定情绪，丰富膳食纤维能促进心脏健康．在泰顺猕猴桃销售旺季时，爸爸妈妈让他们的两个孩子泰泰与顺顺去猕猴桃市场采购相同价格的同一种猕猴桃．泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤． (1)求这种猕猴桃的单价． (2)两人第二次再去采购该种猕猴桃时，每斤单价比上次少了2元．两个人购买方案不同如图所示．他们想通过这两次购买体验，作为数学项目化学习的一个素材，探究谁的购买方案更加合算．计算得泰泰两次购买的猕猴桃平均价格是_元/斤，顺顺两次购买的猕猴桃平均价格是_元/斤． (3)泰泰和顺顺通过这次购买猕猴桃的项目化学习，总结出连续购买某种商品更合算的方案，并迁移联想到爸爸的加油习惯是按照同样的金额加油，而妈妈总是说“把油箱加满”．他们要建议父母按相同的_（填“金额”或“油量”）加油更合算．请你通过计算说明理由． 【答案】(1) (2)；5 (3)金额；理由见解析 【分析】（1）设猕猴桃的单价为x，根据泰泰用240元买的猕猴桃数量比顺顺用300元买的猕猴桃数量少10斤，列出方程，解方程即可； （2）根据两个人的购买方案，分别求出购买的猕猴桃平均价格即可； （3）设两次油价分别为a，b，分别求出两种方式下加油单价，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：设猕猴桃的单价为x，根据题意得： ， 解得：， 经检验是原方程的解， 答：这种猕猴桃的单价为6元． （2）解：泰泰两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）， 顺顺两次购买的猕猴桃平均价格为： （元/斤）； （3）解：设两次油价分别为a，b．则选择相同油量加油的单价为， 选择每次相同金额的单价为， ， ∴按相同金额加油更合算． 题型34 分式方程和差倍分问题 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）某种罐装凉茶一箱的价格为元，某商场实行促销活动，买一箱送四罐，每罐的价格比原来便宜元，设每箱中有凉茶罐，则可列方程：_______． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找到等量关系是解题的关键． 利用每罐的价格优惠后每罐的价格元，列出方程即可． 【详解】解：根据题意可得：； 故答案为： 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·期末）某超市有甲、乙两种糖果，已知甲种糖果的进价为18元/千克，乙种糖果的进价为6元/千克，1千克甲种糖果的售价比1千克乙种糖果的售价高20元．若顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同． (1)求甲、乙两种糖果的售价； (2)为了促销，超市对甲种糖果进行9折销售．某顾客同时购买甲种糖果和乙种糖果若干千克，超市共获毛利80元．则共有几种购买方案． 【答案】(1)甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元 (2)2 【分析】本题考查分式方程的应用、二元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键． （1）设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元，根据：“顾客花150元购买的甲种糖果的千克数与花50元购买的乙种糖果的千克数相同，”列分式方程求解即可； （2）设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克，根据题意列二元一次方程，再根据a、b均为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设甲糖果的售价为x元，则乙糖果的售价为元， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解， ∴（元）， 答：甲糖果的售价为30元，则乙糖果的售价为10元． （2）解：设顾客购买甲糖果a千克，购买乙糖果b千克， 由题意得，， 即， ∵a、b均为正整数， ∴或， 答：共有2种购买方案． 3．（23-24七年级上·浙江宁波·期末）某校七、八年级师生开展“一日游”活动，已知七年级师生共250人，八年级师生共230人．参观某景点时，需要乘船游玩，现有两种型号的游船，每艘型船的座位数是每艘型船的1.25倍．若七年级师生全部乘坐型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐型船，要比七年级乘坐的型船总数多一艘且空10个座位． (1)两种游船每艘分别有多少个座位； (2)若两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，请写出所有的租船方案． 【答案】(1)型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位 (2)共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船 【分析】本题考查了分式方程的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）找准等量关系，正确列出二元一次方程． （1）设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位，根据七年级师生全部乘坐A型船若干艘，刚好坐满；八年级全部乘坐B型船，要比七年级乘坐的A型船总数多一艘且空10个座位．列出分式方程，解方程即可； （2）设租用A型船a艘，B型船b艘，根据两个年级的师生联合租船，且每艘游船恰好全部坐满，列出二元一次方程，求出非负整数解，即可得出结论． 【详解】（1）解：设型船每艘有个座位，则型船每艘有个座位， 由题意得，， 解得，， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． ， 答：型船每艘有50个座位，型船每艘有40个座位； （2）设需租用型船艘，租用型船艘， 由题意得，， ， 又均为非负整数， 或或， 共3种租船方案：①租用12艘B型船；②租用4艘A型船，7艘B型船；③租用8艘A型船，2艘B型船． 题型35 分式方程的其它实际问题 1．（2026·浙江湖州·模拟预测）古代用漏壶计时，水匀速滴出，水位均匀下降；某漏壶开始时水深30厘米，2小时后水深26厘米．设从开始到水深变为20厘米共经过小时，则下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】水匀速滴出，单位时间内下降的水位深度不变，利用下降速度相等列方程即可． 【详解】解：由题意得，． 2．（24-25八年级上·浙江台州·期末）某校有一块长方形劳动实践基地，长为，宽为，其中． (1)去年实践基地收获蔬菜，该校安排甲乙两组志愿者进行采摘．已知甲组每分钟采摘速度是乙组的2倍，而甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟．求甲、乙两组每分钟各采摘多少千克的蔬菜？ (2)今年从该基地中截取出一个边长为的正方形地块，用来种植类蔬菜，而剩余土地用来种植类蔬菜，最终收获类蔬菜，类蔬菜．哪类蔬菜的单位面积产量大？请说明理由． (3)该校打算将原劳动基地进行扩建，计划将长增加，宽增加，若扩建后的长方形基地面积是原来的整数倍，求整数的值． 【答案】(1)甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； (2)类蔬菜的单位面积产量大，理由见解析 (3)整数的值为或． 【分析】（1）设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜，根据“工作时间工作总量工作效率”，结合“甲组单独完成采摘任务所需要的时间比乙组单独完成任务所需要的时间少10分钟”，可列出关于的分式方程，解方程并检验后即可得出的值（即乙组的工作效率），再将其代入中，即可求出甲组的工作效率； （2）根据“单位面积产量总产量种植面积”，可用含的代数式表示出，两类蔬菜的单位面积产量，然后利用作差法即可得出结论； （3）设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数），利用长方形的面积公式，结合扩建后的长方形基地面积是原来的倍，可建立关于的一元一次方程，解方程即可得出用含的代数式表示的的值，再结合“，为整数，且为正整数”，即可得出答案． 【详解】（1）解：设乙组每分钟采摘千克的蔬菜，则甲组每分钟采摘千克的蔬菜， 由题意得： ， 解得：， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟采摘千克的蔬菜，乙组每分钟采摘千克的蔬菜； （2）解：类蔬菜的单位面积产量大，理由如下： 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， 类蔬菜的单位面积产量为：（千克）， ， ， ， 又，， ， ， ， 答：类蔬菜的单位面积产量大； （3）解：设扩建后的长方形基地面积是原来的倍（为正整数）， 由题意得： ， 解得：， ，为整数，且为正整数， 或， 的值为或． 【点睛】本题主要考查了分式方程的实际应用（分式方程的其它实际问题），一元一次方程的应用（几何问题），列代数式，异分母分式加减法，不等式的性质等知识点，读懂题意，根据题中的等量关系正确列出方程和代数式是解题的关键． 3．（24-25八年级上·浙江台州·期末）为进一步发展新质生产力，某企业计划对现有甲、乙两类生产线的设备进行更新换代，经测算，升级1条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，设升级条乙类生产线需投入万元． (1)升级条甲类生产线需投入______万元，用万元升级甲类生产线的条数为______条；(用含的式子表示) (2)升级一条甲类、乙类生产线各需投入多少资金？ 【答案】(1)，； (2)升级条甲类生产线需投入万元，升级条乙类生产线需投入万元． 【分析】本题考查了分式方程的应用以及列代数式； （1）根据升级一条甲类、乙类生产线需投入资金间的关系，可得出升级1条甲类生产线需投入万元，再利用用万元升级甲类生产线的条数升级条甲类生产线需投入金额，可用含的代数式表示出用万元升级甲类生产线的条数； （2）根据用万元升级甲类生产线的条数和用万元升级乙类生产线的条数相同，可列出关于的分式方程，解之经检验后，即可得出结论． 【详解】（1）解：升级条甲类生产线比升级条乙类生产线需多投入万元，且升级条乙类生产线需投入万元， 升级条甲类生产线需投入万元， 用万元升级甲类生产线的条数为条． 故答案为：，； （2）根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 万元． 答：升级条甲类生产线需投入万元，升级条乙类生产线需投入万元． / 学科网（北京）股份有限公司 $