专题04 因式分解全章10大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以“概念辨析-方法应用-综合提升”为逻辑主线，覆盖因式分解全题型，重点突出提公因式法与公式法，难点突破综合运用，培养抽象能力与运算能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|2题型|判断因式分解、求参数|从定义理解到逆向应用，夯实概念基础| |基础方法|3题型|公因式确定、提公因式法、添括号|构建“找公因式-提公因式”操作流程，培养符号意识| |公式应用|3题型|公式适用性判断、平方差/完全平方公式|从公式识别到几何背景理解，发展推理能力| |综合提升|2题型|公式综合、提公因式与公式结合|融合多种方法，提升运算能力与问题解决能力|

专题04 因式分解 题型01 判断是否是因式分解 题型06 判断能否用公式法分解因式 题型02 已知因式分解的结果求参数 题型07 平方差公式分解因式（重点） 题型03 公因式 题型08 完全平方公式分解因式（重点） 题型04 提公因式法分解因式（重点） 题型09 综合运用公式法分解因式（难点） 题型05 添括号 题型10 综合提公因式和公式法分解因式（难点） 题型01 判断是否是因式分解 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 题型02 已知因式分解的结果求参数 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·浙江温州·期中）若多项式因式分解的结果为，则b的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 题型03 公因式 1．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）多项式的公因式是（    ） A．2 B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）多项式应提取的公因式是___________． 3．（23-24七年级下·浙江绍兴·月考）把多项式因式分解时，应提取的公因式是_______． 题型04 提公因式法分解因式 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 2．（2026·浙江·一模）分解因式：__________． 3．（2026·浙江台州·二模）因式分解：__________． 题型05 添括号 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若，则代数式的值为（    ） A．11 B．7 C．1 D． 2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）若，则式子的值为______． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）定义：对于一个有理数x，我们把“”称作x的对称数．若，则；若，则．例如：，． (1)填空： ①_；_；_； ②若，且，则_． (2)已知有理数a，b，当时，满足，试求代数式的值． (3)解方程：． 题型06 判断能否用公式法分解因式 1．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．+x+1 B．+2x﹣1 C．+2x+2 D．﹣2x+1 题型07 平方差公式分解因式 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 2．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 题型08 完全平方公式分解因式 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）解二元一次方程组、因式分解： (1) (2) 2．（2026七年级下·浙江·专题练习）因式分解 (1) (2) (3) (4)； 3．（2026七年级下·浙江·专题练习）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) (5) 题型09 综合运用公式法分解因式 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)． (2)． (3)． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 题型10 综合提公因式和公式法分解因式 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1)； (2)． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）因式分解： (1) (2) 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： (1)； (2)． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 因式分解 题型01 判断是否是因式分解 题型06 判断能否用公式法分解因式 题型02 已知因式分解的结果求参数 题型07 平方差公式分解因式（重点） 题型03 公因式 题型08 完全平方公式分解因式（重点） 题型04 提公因式法分解因式（重点） 题型09 综合运用公式法分解因式（难点） 题型05 添括号 题型10 综合提公因式和公式法分解因式（难点） 题型01 判断是否是因式分解 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对于选项A：是整式的乘法运算，右边是多项式和的形式，不是乘积，不属于因式分解； 对于选项B：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解； 对于选项C：，将多项式化为两个整式的积的形式，符合因式分解的定义； 对于选项D：，右边不是整式的积的形式，不属于因式分解． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）下列由左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式的乘积的变形，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解： A、左边是整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法，不是因式分解，故此选项错误； B、右侧出现分式，不是整式乘积的形式，不符合因式分解要求，故此选项错误； C、左侧是单项式，且等式左右两边不相等，不符合因式分解定义，故此选项错误； D、左侧是多项式，右侧是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，故此选项正确． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）下列各式从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】因式分解是把一个多项式化为几个整式乘积的形式，根据定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A．是整式乘法运算，结果是多项式，不符合要求，不符合题意． B．将多项式变形为整式乘积的形式，符合因式分解的定义，符合题意． C．右边不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解定义，不符合题意． D．右边中不是整式，不符合因式分解要求，不符合题意． 题型02 已知因式分解的结果求参数 1．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知关于x的二次三项式分解因式的结果为，则m和n的值分别为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了因式分解-十字相乘法．将因式分解结果化为多项式形式，然后根据系数相等求出m和n． 【详解】解：∵关于x的二次三项式分解因式的结果为， ∴， ∴， ∴． 故选：B． 2．（22-23七年级下·浙江温州·期中）若多项式因式分解的结果为，则b的值是（   ） A．5 B． C．6 D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解，根据以上内容得出多项式因式分解的结果为得出，再求出答案即可． 【详解】多项式因式分解的结果为， ． 故选：D． 3．（23-24七年级下·浙江金华·期末）已知，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查的是多项式的因式分解，掌握其运算法则是解决此题关键．首先根据多项式乘多项式的运算法则计算已知等式的右边，再根据系数相等可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ，，故A正确． 故选：A． 题型03 公因式 1．（23-24七年级下·浙江杭州·月考）多项式的公因式是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据提取公因式法分解因式解答即可． 本题考查了提取公因式分解因式，熟练掌握提取公因式法是解题的关键． 【详解】由，故公因式是， 故选C． 2．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）多项式应提取的公因式是___________． 【答案】/ 【分析】本题考查了公因式的概念，正确理解公因式的概念是解题的关键．多项式的各项都有一个公共的因式p，我们把因式p叫做这个多项式的公因式.．根据公因式的概念即得答案． 【详解】多项式应提取的公因式是． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江绍兴·月考）把多项式因式分解时，应提取的公因式是_______． 【答案】/ 【分析】本题考查公因式的确定方法，根据公因式确定的方法：“①系数：取各项系数的最大公约数；②字母：取各项都含有的相同的字母；③指数：取各项相同字母的最低次幂”进行求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 题型04 提公因式法分解因式 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，则的值为（    ） A．2027 B．2026 C．2025 D．2024 【答案】A 【分析】根据题意可得，把所求式子变形为，再代入求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 2．（2026·浙江·一模）分解因式：__________． 【答案】 【分析】直接提取公因式x进行因式分解即可． 【详解】解：原式． 3．（2026·浙江台州·二模）因式分解：__________． 【答案】 【分析】本题考查提公因式法因式分解，解题思路是找出多项式各项的公因式，提取公因式即可完成因式分解． 【详解】解：． 题型05 添括号 1．（23-24七年级上·浙江杭州·期末）若，则代数式的值为（    ） A．11 B．7 C．1 D． 【答案】D 【分析】本题考查的是求解代数式的值，添括号的应用，把化为，再整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故选D 2．（23-24七年级上·浙江台州·期末）若，则式子的值为______． 【答案】5 【分析】本题考查代数式求值，利用整体代入法求值即可． 【详解】解：∵， ∴； 故答案为：5． 3．（23-24七年级上·浙江金华·阶段检测）定义：对于一个有理数x，我们把“”称作x的对称数．若，则；若，则．例如：，． (1)填空： ①_；_；_； ②若，且，则_． (2)已知有理数a，b，当时，满足，试求代数式的值． (3)解方程：． 【答案】(1)①3，，；②2 (2) (3)当时，；当时，；当时，（舍去） 【分析】本题考查的是新定义运算，一元一次方程的解法，理解新定义运算的含义是解本题的关键； （1）①直接根据新定义列式计算即可；② 根据新定义建立方程，再解方程即可； （2）求解，当，即，可得，，当，即，可得，可得，再整体代入求值即可； （3）分三种情况讨论：当时，可得，当时，可得，当时，可得，再解方程即可并检验即可. 【详解】（1）解：①；；； ②∵， ∴，， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）∵， ∴， 当，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 当，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ； 综上： （3）当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：，不符合题意，舍去， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：，符合题意， 当时， ∴，， ∵， ∴， 解得：，符合题意， 综上：或 题型06 判断能否用公式法分解因式 1．（22-23八年级上·浙江台州·期末）下列各式能用平方差公式进行因式分解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键． 根据平方差公式分析判断即可． 【详解】解：A、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； B、可用完全平方公式分解，不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； C、不能用平方差公式进行因式分解，故此选项不符合题意； D、能用平方差公式进行因式分解，故此选项符合题意； 故选：D． 2．（21-22七年级下·浙江宁波·期中）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据完全平方式的结构逐项分析判断即可 【详解】解：A. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意； B. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，不能用完全平方公式因式分解，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，能用完全平方公式因式分解，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握完全平方式的结构熟练掌握是解题的关键． 3．（21-22七年级下·浙江宁波·期末）下列各式中，能用完全平方公式进行因式分解的是（　　） A．+x+1 B．+2x﹣1 C．+2x+2 D．﹣2x+1 【答案】D 【分析】能用完全平方公式分解的式子的特点是：三项；两项平方项的符号需相同；有一项是两平方项底数积的2倍，据此逐项分析即可． 【详解】A．+x+1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； B．+2x﹣1不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； C．+2x+2不能用完全平方公式因式分解，故不符合题意； D．﹣2x+1＝，符合题意， 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式进行因式分解，熟练掌握是解答本题的关键．两个平方项的符号需相同；另一项是两底数积的2倍，是易错点． 题型07 平方差公式分解因式 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图①是一张边长为的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为的小正方形，然后将图①剩余部分（阴影部分）剪拼成如图②的一个大长方形（阴影部分）． (1)请分别用含的代数式表示图①和图②中阴影部分的面积： 图①阴影部分面积为：___________；图②阴影部分面积为：___________； (2)根据两个图形阴影部分面积的关系，可以得到一个关于的恒等式为___________； (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)288000 【分析】（1）用代数式表示图①中两个正方形的面积差；图②是长为，宽为的长方形，再由长方形的面积公式进行解答即可； （2）由（1）中图①、图②阴影部分面积相等即可； （3）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图①中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 拼成的图②是长为，宽为的长方形，即面积为， （2）解：由（1）得，； （3）解：原式． 2．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）运动会开幕式需要各代表队排成一个正方形方阵入场展示，如下图所示，方阵一般有实心方阵和空心方阵两种形式． (1)求7列2层空心方阵的人数． (2)若某代表队既可以排成列1层空心方阵，也可以排成列2层空心方阵，且比多1，求该代表队的人数． (3)若某代表队48人全员参加，请设计出所有的正方形方阵（直接写出方阵的排列方式）． 【答案】(1)40人 (2)16人 (3)13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵 【分析】（1）根据图形列式计算即可； （2）根据题意列方程组求解即可； （3）设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且），根据题意可得方程，化简得，最后分情况求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，7列2层空心方阵的人数为：（人）． 答：7列2层空心方阵的人数为40人． （2）解：由题意得，， 解得，， ． 答：该代表队的人数为16人． （3）解：设外圈列数为，层数为，（，为正整数，且）， 则由题意得，， 化简得，． ，为正整数，且， 当时，，解得，，即可以排成13列1层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成8列2层空心方阵； 当时，，解得，，即可以排成7列3层空心方阵． 答：所有的正方形方阵排列方式为：13列1层空心方阵、8列2层空心方阵、7列3层空心方阵． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）有一个边长为的正方形，按图切割成个小方块，，，，分别为个小方块的面积． (1)用两种不同的方法表示图中所给大正方形的面积，得到等式为________． (2)图中，为线段上一点，以，为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两个正方形的面积分别记为和，若，两个正方形的面积和，求图中阴影部分面积． (3)若满足，求代数式的值． 【答案】(1)； (2)图中阴影部分面积为； (3)代数式的值为． 【分析】（）根据图示面积的表示方法即可求解； （）连接，设正方形的边长为，正方形的边长为，则有，，故，然后通过即可求解； （）设，，则，，故，通过变形，所以，然后代入即可求解． 【详解】（1）解：图中大正方形的面积为，个小方块的面积和为， ∴， 故答案为：； （2）解：如图，连接，设正方形的边长为，正方形的边长为， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴图中阴影部分面积为； （3）解：设，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 题型08 完全平方公式分解因式 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）解二元一次方程组、因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法求解即可； （2）利用完全平方公式对式子进行因式分解即可． 【详解】（1）解： 可得：， 将代入可得：，解得， 则方程组的解集为：； （2）解：． 2．（2026七年级下·浙江·专题练习）因式分解 (1) (2) (3) (4)； 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）． 3．（2026七年级下·浙江·专题练习）将下列多项式进行因式分解． (1)； (2)； (3)； (4) (5) 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解：； （5）解： 题型09 综合运用公式法分解因式 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）分解因式： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查因式分解： （1）先提公因式，再用平方差公式法因式分解即可； （2）先提负号，再用完全平方公式进行因式分解即可； （3）先用完全平方公式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 2．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段检测）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】(1) 平方差公式分解即可． (2) 先提取公因式，再套用公式分解即可． 本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键． 【详解】（1）． （2） ． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）请看下面的问题：把分解因式． 分析：这个二项式既无公因式可提，也不能直接利用公式，怎么办呢？ 19世纪的法国数学家苏菲热门抓住了该式只有两项，而且属于平方和的形式，要使用公式就必须添一项，随即将此项减去，即可得 人们为了纪念苏菲热门给出这一解法，就把它叫做“热门定理”，请你依照苏菲热门的做法，将下列各式因式分解． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了因式分解配方法，以及分组分解法，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键． （1）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可； （2）原式变形后，利用完全平方公式及平方差公式分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型10 综合提公因式和公式法分解因式 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： （2）解： 2．（25-26七年级下·浙江·期中）因式分解： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）提公因式法进行因式分解即可； （2）综合提公因式法和公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ． / 学科网（北京）股份有限公司 $