专题03 整式的乘除全章33大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以幂的运算为基础，通过正逆用结合、公式变形及几何直观，构建从基础到综合的整式乘除方法体系，培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |幂的运算|7题型|逆用幂的运算法则化繁为简|从同底数幂乘除到幂的乘方、积的乘方，形成“正向运算-逆向应用”递进| |整式乘法|10题型|(x+p)(x+q)型公式法、不含某项求系数|从单项式乘除到多项式乘多项式，结合几何面积验证代数关系| |乘法公式|6题型|平方差与完全平方公式变形求值|公式直接运算到几何应用、系数求解，体现“代数推理-几何直观”融合| |整式除法|10题型|科学计数法表示与还原、混合运算技巧|从同底数幂除法到整式四则混合，衔接负整数指数幂等拓展内容|

专题03 整式的乘除 题型01 同底数幂相乘（重点） 题型18 运用平方差公式进行运算（重点） 题型02 用科学计数法表示数的乘法（常考点） 题型19 平方差公式与几何图形（难点） 题型03 同底数幂乘法的逆用（难点） 题型20 运用完全平方公式进行运算（重点） 题型04 幂的乘方运算（重点） 题型21 完全平方公式在几何图形中的应用（难点） 题型05 幂的乘方的逆用（难点） 题型22 求完全平方式中的字母系数（难点） 题型06 积的乘方运算（重点） 题型23 整式的混合运算（难点） 题型07 积的乘方的逆用（难点） 题型24 通过对完全平方公式变形求值（难点） 题型08 计算单项式乘单项式 题型25 同底数幂的除法运算（重点） 题型09 计算单项式乘多项式及求值（常考点） 题型26 同底数幂除法的逆用（难点） 题型10 单项式乘多项式的应用 题型27 零指数幂 题型11 计算多项式乘多项式 题型28 负整数指数幂 题型12 (x+p)(x+q)型多项式乘法（重点） 题型29 科学计数法表示绝对值小于1的数（难点） 题型13 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型30 还原用科学计数法表示的小数 题型14 多项式乘多项式的化简求值（重点） 题型31 计算单项式除以单项式 题型15 多项式乘多项式与图形面积（难点） 题型32 多项式除以单项式 题型16 多项式乘法中的规律性问题（难点） 题型33 整式四则混合运算（难点） 题型17 整式乘法混合运算（常考点） 题型01 同底数幂相乘 1．（2026·浙江台州·二模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】A、不是同类项，不能合并，原计算错误； B、，原计算错误； C、，原计算错误； D、，正确. 2．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）设，，，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】首先，根据同底数幂的乘法、幂的乘方运算将，进行代入化简，最后，逐一排除即可． 【详解】解：∵，，， 选项A、B：∴， ∴，选项A、B均不符合题意； 选项C、D：∴， ∴， ∴选项C不符合题意，选项D符合题意， 故选：D． 题型02 用科学计数法表示数的乘法 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）用四舍五入法把精确到千万位的近似数为______用科学记数法表示． 计算： ______结果用科学记数法表示 【答案】 【分析】本题考查了近似数和科学记数法；熟知“科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数”是解题的关键． 先将原数精确到千万位，再用科学记数法表示为的形式即可求解；先计算，然后用科学记数法表示为的形式即可求解． 【详解】解：用四舍五入法把精确到千万位的近似数为； ． 故答案为：；． 2．（22-23七年级上·上海闵行·期中）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为______（用科学记数法表示） 【答案】 【分析】根据题意列出代数式，再根据单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质进行计算即可． 【详解】解：计算机工作秒运算的次数为： ． 故答案为：． 【点睛】此题考查了科学记数法，单项式的乘法法则以及同底数幂的乘法的性质，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 3．（24-25七年级上·浙江温州·月考）材料一：柯伊伯带是位于太阳系海王星轨道外侧（距离太阳约30个天文单位），在黄道面附近的天体密集的圆盘区域，柯伊伯带的假说最先由美国天文学家弗雷德里克·伦纳德提出，十几年后杰拉德·柯伊伯证实了该观点，柯伊伯带类似于小行星带，但范围大得多，它比小行星带宽20倍且重20至200倍．   材料二：天文单位是天文学中计量天体间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，根据国际天文学联合会的定义，一个天文单位等于．   根据上面的材料，写出柯伊伯带距离太阳的距离________（结果用科学记数法表示） 【答案】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数．根据科学记数法的表示方法，结合路程速度时间，进行解答即可． 【详解】解：柯伊伯带距离太阳的距离为： ． 故答案为：． 题型03 同底数幂乘法的逆用 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则等于 _____ 【答案】6 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）若，，则的值是______． 【答案】 【分析】根据同底数幂相乘法则的逆运算进行计算即可． 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 【答案】(1) (2)2 (3) 【分析】（1）将原式化为，进而计算即可； （2）将等式左边化为，根据列方程求解即可； （3）将化为，进而比较即可． 【详解】（1）解： （2）解： ∵， ∴， ∴ 得 （3）解： ∵ ∴ ∴． 题型04 幂的乘方运算 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查幂的运算法则和合并同类项法则，根据初中整式运算的对应规则，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解： ，故A选项错误． ，故∴ B选项错误． ，故C选项正确． ，故D选项错误． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）计算：___________． 【答案】 【分析】根据幂的乘方运算法则计算即可． 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算：_____________． 【答案】 【详解】解：． 题型05 幂的乘方的逆用 1．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）在关于的二元一次方程组的下列说法中，正确的是（   ） ①当时，方程组的解的值互为相反数；②满足关系式；③若，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】B 【分析】先求得原方程组的解为，①把代入，求得x，y的值即可判断；②在原方程组中，消去a，得到x，y的关系式，即可判断；③把底数统一化成3，等式左右两边的底数相同时，指数也相同，得到x，y的方程，把方程组的解代入求出a值，即可判断． 【详解】解：∵， 由①得：③， 把③代入②中，得：④， 把④代入③中，得：， ∴原方程组的解为． ①当时，，， ∴方程组的解互为相反数， ∴①正确； ②在原方程组中，得：， ∴②不正确； ③∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴③正确． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）已知，则可以用m，n表示成__________． 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法法则与幂的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件即可求解. 【详解】解：∵,， ∴ . 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知，那么的值是___________． 【答案】16 【分析】将所求代数式根据幂的运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解： 把，代入得： 原式． 题型06 积的乘方运算 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别根据去括号法则，合并同类项法则，积的乘方法则，同底数幂的乘法法则逐一判断选项． 【详解】解：A、，故A错误； B、与不是同类项，不能合并，故B错误； C、，计算正确，故C正确； D、，故D错误． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据相关幂的运算法则逐一判断选项即可得到结果． 【详解】解：对于选项A，根据积的乘方法则，可得，运算正确，符合题意； 对于选项B，根据幂的乘方法则，可得，运算错误； 对于选项C，根据同底数幂乘法法则，可得，运算错误； 对于选项D，与不是同类项，不能合并，运算错误． 3．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据合并同类项、幂的乘方、积的乘方、同底数幂乘法的规则逐一判断选项即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算错误，不符合题意； D、，原式计算正确，符合题意． 题型07 积的乘方的逆用 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）的计算结果是______． 【答案】0.5 【分析】本题可逆用积的乘方运算法则，将原式变形后化简计算．积的乘方运算法则．反之． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·浙江台州·阶段检测）计算_________ 【答案】 【分析】利用积的乘方的逆运算进行求解． 【详解】解：． 3．（25-26七年级上·浙江·寒假作业）逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 【答案】(1) (2)5，81，6 (3)64 (4) 【分析】本题主要考查的幂的运算法则的逆向运用，解题关键是正确运用公式，将所求的式子变形． （1）把看作一个整体，先用同底数幂的运算法则，在运用积的乘方法则计算即可； （2）依次用同底数幂的运算法则，幂的乘方法则，积的乘方法则，计算即可； （3）由，得，根据，即可求解； （4）先变形，，，进而即可得出结论． 【详解】（1）解：． 故答案为：． （2）解：， ， ． 故答案为：5，81，6． （3）解：， ． ． （4）解：， ， ， 又， ， 即． 故答案为：． 题型08 计算单项式乘单项式 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式加减、积的乘方、单项式乘法、幂的乘方，依次计算各选项结果，即可得到符合要求的选项． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，∴ A不符合题意； B、，∴ B不符合题意； C、，∴ C符合题意； D、，∴ D不符合题意． 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·阶段检测）________． 【答案】 【分析】根据单项式乘单项式法则计算即可． 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据单项式乘单项式法则计算即可； （2）根据幂的乘方与积的乘方法则， 单项式乘多项式法则计算， 再合并同类项得到结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09 计算单项式乘多项式及求值 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算：______． 【答案】 【分析】利用乘法分配律，将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）计算_____． 【答案】 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）x与相乘的结果为________． 【答案】/ 【详解】解：． 题型10 单项式乘多项式的应用 1．（25-26七年级下·浙江·期中）已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为___________． 【答案】 【分析】利用长方形面积公式列式运算即可． 【详解】解：长方形的面积． 2．（23-24七年级下·浙江·期中）计算：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘以多项式，直接根据单项式乘以多项式的计算法则求解即可． 【详解】解：， 故答案为：． 3．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查整式运算与图形面积，涉及三角形面积公式、不规则图形面积求法及整式的混合运算等知识，数形结合，准确表示出三角形面积是解决问题的关键． （1）根据三角形面积公式进行计算即可； （2）用含有的代数式分别表示三个阴影部分三角形的面积即可； （3）根据题意得出，再进行化简即可． 【详解】（1）解：如图所示： 由三角形面积公式代值可得： ； （2）解：如图所示： ； （3）解：由（2）可知阴影部分面积的代数式为，4张小正方形的面积总和为， 则， 即， ， ， 即． 题型11 计算多项式乘多项式 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知（a是常数），则的值为____． 【答案】 【详解】解：∵ ∴ ∴. 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）小Q在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小正告诉他结果中的一次项系数为． (1)被染黑的常数为_ ； (2)请你帮助小Q算出这道题的结果． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设被染黑的常数为a，根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，再根据一次项系数为得到关于a的方程，解方程即可得到答案； （2）根据（1）所求，结合多项式乘以多项式的运算法则求解即可． 【详解】（1）解：设被染黑的常数为a， 则 ， ∵一次项系数为， ∴， ∴， ∴被染黑的常数为； （2）解：由（1）得 ． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）仔细阅读下面例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 由题意得，即， 则有，解得，所以另一个因式为的值是． 问题：请仿照上述方法解答下面问题， (1)若，则___________；___________； (2)已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值． 【答案】(1)1； (2)； 【分析】（1）计算出的展开结果即可得到答案； （2）设另一个因式为，则，再仿照题意求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：设另一个因式为， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴另一个因式为． 题型12 (x+p)(x+q)型多项式乘法 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】先按照多项式乘以多项式计算，然后根据已知条件得出，，解一元一次方程即可求出m，n的值． 【详解】解： ， 则，， 解得：，． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．8 D．9 【答案】C 【分析】根据多项式乘以多项式的运算法则求出的展开结果，进而得到关于a、b的方程，解方程求出a、b的值即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知关于的等式恒成立，则__________． 【答案】7 【分析】首先，将多项式展开，然后，根据题意得到关于的方程组，最后，解方程组即可． 【详解】解：∵，关于的等式恒成立， ∴， 解得， ∴． 题型13 已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若多项式的展开式中不含项，则常数的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】先根据多项式乘以多项式运算法则，把多项式展开后合并，然后令项系数等于，再解方程即可． 【详解】解：， 的展开式中不含项， ， ． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 【答案】D 【分析】根据题意先求出的值，即可得出，求出a、b的值，代入求值即可． 【详解】解：∵， 又∵展开式中不含x的二次项，且常数项为， ∴，解得：， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江·期中）已知的乘积中不含的一次项，则与满足的关系是__________． 【答案】 【详解】解：， ∵的乘积项中不含的一次项， ∴. 题型14 多项式乘多项式的化简求值 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）若，则的值为__________ 【答案】 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的求值，根据多项式乘以多项式的计算法则求出，据此利用整体代入法求解即可． 【详解】解：∵， ∴ ， 故答案为：． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】31 【分析】本题主要考查代数式的化简与求值，涉及完全平方公式和分配律的应用，以及合并同类项．其中正确展开平方项，正确处理减号后的运算符是解题的关键． 利用完全平方公式展开，利用分配律展开乘法项，将展开后的所有项合并进行化简，代入值并计算最终结果． 【详解】解：原式展开并化简得 = = 当时， = ． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【分析】本题考查了整式的乘法运算化简求值，先利用多项式乘多项式和单项式乘多项式法则去括号，再合并同类项，然后把的值代入化简后的式子进行计算，即可解答． 【详解】解： ， 当时，原式． 题型15 多项式乘多项式与图形面积 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图所示，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在边、上，点L、N分别在边、上，点H、K在边上，点J在边上，记如图三个阴影部分面积分别为，，，已知所表示的阴影部分为正方形，若，则长方形的面积为________． 【答案】143 【分析】设的边长为，则，，，，，，可得，，，代入即可求解． 【详解】解：设的边长为， ∵正方形的边长为8，正方形和边长为6，四边形是长方形， ∴，， 则，，，，，， ∴，，， ∵， ∴， 解得， ∴，， ∴． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或 (1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________； (2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值； (3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）用两种方法表示出大正方形的面积即可解答； （2）利用（1）的结论求解即可； （3）根据图3可得：，设长方形的长为c，则长方形的长为，宽为；长方形的长为，宽为；然后求出长方形面积与长方形的面积，最后作差即可解答． 【详解】（1）解：图2的正方形的面积一种表示方法为，另一种表示方法为， 所以． （2）解：设，则 ， ， ∵， ∴ ， 解得：． （3）解：由图可知：， 设长方形的长为c，则长方形的长为 ，宽为； 长方形的长为 ，宽为； ∴长方形的面积为，长方形的面积为， ∴长方形面积与长方形的面积差为，即． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米， 改造成一个大长方形花园． (1)请用含a的代数式表示扩建后的长方形花园的面积； (2)求扩建后花园的面积增加多少平方米（用含a的代数式表示）． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】（1）扩建后的长方形花园的面积等于一个长为米，宽为米的长方形面积，据此根据长方形的面积公式求解即可； （2）求出扩建前长方形花园的面积，再求出扩建后长方形花园的面积减去扩建前长方形花园的面积的结果即可得到答案． 【详解】（1）解： 平方米， ∴扩建后的长方形花园的面积为平方米； （2）解： 平方米， ∴扩建前长方形花园的面积为平方米， 平方米， ∴扩建后花园的面积增加平方米． 题型16 多项式乘法中的规律性问题 1．（25-26七年级下·浙江·期中）【文化欣赏】 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式 【应用体验】 请问展开式中，共有___________项，含项的系数是___________． 【答案】 【分析】根据题意，依次求出展开式的项数及的系数，发现规律即可解决问题． 【详解】解：∵展开式共有3项，且x的系数为； 展开式共有4项，且的系数为； 展开式共有5项，且的系数为； …， ∴展开式共有项，且的系数为， 当时， 展开式中共有2027项，且的系数为． 故答案为：①2027，②． 2．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式： 【应用体验】已知，则m的值为___． 【答案】 【分析】根据公式，令，代入公式求解即可． 【详解】解：由题意得，， 令， 得 ， ， ， ∴m的值是． 3．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 【答案】 【分析】本题考查了整式规律探究，根据展开，即可求解． 【详解】解：， ， ， 故答案为：． 题型17 整式乘法混合运算 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的多项式含有因式，则实数的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 【答案】C 【分析】设另一个多项式为，再利用整式的乘法进行整理得得到对应各项系数，然后求得的值． 【详解】解：设多项式的另一个因式是，则，∴，， ∴，． 2．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）在1，2，3，…，2019中，可以表示为（表示不超过实数的最大整数）的形式的数有（   ） A．980个 B．988个 C．990个 D．998个 【答案】C 【分析】本题主要考查新定义，整式的混合运算，理解新定义的含义，掌握整式的混合运算法则是解题的关键． 根据题意，令，则，所以均可表示为的形式，再根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】解：令，则， ， 均可表示为的形式， 当时，，当时，， ∴在中，可以表示为的形式的数有（个）， 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）数学探究 探究主题：月历中的数学 计算发现 （1）用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置A，B，C，D上的数按逆时针方向依次两两相乘一次，再把他们的积相加，所得的和叫做这个“十”字型框架的“美好数”．尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”：_． 猜想说理 （2）移动“十”字型框架，多次尝试可以发现，每个“美好数”都与E位置上的数有关．请设出字母，用数学式子表示你发现的规律，并说明理由． 拓展研究 （3）在另一张月历中，两个“十”字型框架如图3摆放，两个“十”字型框架E位置上的数分别为a，b，若两个“美好数”的差为1280，求． 【答案】（1）576；（2），见解析；（3）32 【分析】本题考查了整式的混合运算、有理数的混合运算、列代数式、整式的加减，解决本题的关键是根据“美好数”的定义解决问题． （1）先利用乘法分配律变形，再求和即可； （2）设E位置上的数为x，其余数分别为、、、，则，化简求出结果即可； （3）根据（2）可得，两个“美好数”的差是1280，即为，因为，所以． 【详解】（1）解： ． 故答案为：． （2）设E位置上的数为x，其余数分别为、、、， 理由： ． （3）因为， 即， 由题意得， 所以． 题型18 运用平方差公式进行运算 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）下列各题中，适合用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平方差公式的结构特点，平方差公式要求两个二项式相乘，一项相同，另一项互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解： A． 中，没有对应相同的项，不满足平方差公式结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； B． 中，相同项为 ，相反项为和，满足平方差公式结构，可以用平方差公式计算，符合题意； C．，两项均互为相反数，不满足结构，不能用平方差公式计算，不符合题意； D．，两项都相同，没有互为相反数的项，不满足结构，不能用平方差公式计算，不符合题意． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）一个长方体的长，宽，高恰好是三个连续的奇数，若中间的奇数为，则这个长方体的体积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意列式计算即可． 【详解】解：设中间的数为n，那么最小的奇数是，最大的奇数是，则有： ． 3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算幂的乘方与积的乘方，再计算单项式乘以单项式即可得出结果； （2）先根据完全平方公式和平方差公式进行计算，再去括号，最后合并同类项即可得出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型19 平方差公式与几何图形 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图2．根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平方差公式与几何图形．第一个图形中阴影部分的面积是边长是的正方形的面积减去边长是的小正方形的面积，等于；第二个图形中阴影部分是一个长是，宽是的长方形，面积是，这两个图形的阴影部分的面积相等． 【详解】解：第一个图形中阴影部分的面积，第二个图形中阴影部分的面积， 而两个图形中阴影部分的面积相等， ∴ ． 故选：B． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【详解】解：设正方形、的边长分别为、， 由图甲得：， ， 即：． 由图乙得：， ， ， ． ，， 故选：． 3．（25-26七年级下·浙江·期中）观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别求出两个图中阴影部分的面积，根据题意建立等量关系即可． 【详解】解：第一个图阴影部分的面积为：， 第二个图阴影部分的面积为：， 根据题意，第一个图和第二个图阴影部分的面积相等， ∴． 题型20 运用完全平方公式进行运算 1．（2026·浙江温州·二模）计算：__________． 【答案】 【分析】利用完全平方公式计算即可． 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，22 【详解】解： ， 当时， 原式． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若定义一种新运算：． (1)设为整式，，求整式并化简． (2)在（1）的条件下，当时，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意先化简求出，再根据新运算定义解答即可； （2）根据新运算定义和已知数据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 根据新运算定义：，， ∴， 解得：． （2）解：∵，， ∴根据新运算定义：． 题型21 完全平方公式在几何图形中的应用 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】正方形的边长为，表示出两个阴影部分的面积，然后利用整式的乘法以及加减运算求解． 【详解】解：令正方形的边长为， ∵， ∴， 则，， 令， 则，， ∴． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）图1为自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的边长为____． 【答案】10 【分析】由图2阴影面积列出方程化简得；由图3阴影面积为；将上述结果代入大正方形面积公式求解即可． 【详解】解：根据图2所示的阴影部分面积为60可得： ， 展开化简：， ， ∴，即． 根据图3所示的阴影部分面积为60可得：． ∴大正方形面积：． ∴未裁剪前大正方形红布的边长为． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在大正方形纸片中按如图所示方式放入两个大小相同的小正方形纸片，设阴影部分的面积为，，． (1)用含，的代数式表示，． (2)求阴影部分的面积．（用含，的式子表示，并化简） 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）设小正方形的边长为，则，，根据正方形的性质得出，根据，，则，即，可得出，． （2）根据阴影面积大正方形面积两个小正方形的面积和，求解即可． 【详解】（1）解：设小正方形的边长为， ∵两个小正方形大小相同， ∴，， ∵四边形是大正方形， ∴， ∵， ， ∴， 解得：， ∴，． （2）解： ． 题型22 求完全平方式中的字母系数 1．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 【答案】B 【分析】本题考查完全平方公式的结构特征，根据完全平方式的定义，对应各项系数关系求解m即可． 【详解】解：完全平方公式为． ∵ 是完全平方式，其中首项为，末项 ∴中间项满足 ．即． 解得． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知是完全平方式，则实数________． 【答案】 【分析】根据完全平方式的特点求解即可． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若是完全平方式，那么a的值是________． 【答案】 5或 【分析】根据完全平方式的结构，即可列出等式求解的值． 【详解】解：是完全平方式． 约去得 当时，解得 当时，解得 题型23 整式的混合运算 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）先化简，再求值：，当时，求代数式的值； 【答案】化简为，值为18 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式进行运算，再对括号内进行运算，然后进行除法运算，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ； 当，时， 原式 ． 3．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】，24 【分析】先利用整式的混合运算法则化简，然后将代入求值即可． 【详解】解： ． 当时，原式． 题型24 通过对完全平方公式变形求值 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和 ，则图中阴影部分面积是______． 【答案】 【分析】设两个正方形的边长分别为和，根据题意可得， ，阴影部分为直角三角形，其面积等于，利用完全平方公式变形求出的值即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 由题意可知，为线段上的一点，且， ， 两正方形的面积和 ， ， ， ， ， ， ， 如图，延长与交于点，延长与交于点，则 ， 阴影部分的面积 ． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）根据代入计算即可； （2）根据代入计算即可． 【详解】（1）∵，， ∴； （2）∵，， ∴． 3．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，则_ ； 【类比应用】 (2)若关于的方程满足，求的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）利用完全平方公式的变形，代入已知的和的值计算； （2）先由方程变形得到，再利用完全平方公式变形代入求值。 【详解】（1）解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以； （2）解：∵，且， ， ， 由完全平方公式可得：，， ， ∵， 题型25 同底数幂的除法运算 1．（2026·浙江台州·二模）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：选项A，，∴A错误； 选项B，，∴B错误； 选项C，，∴C错误； 选项D，，∴D正确． 2．（2026·浙江杭州·一模）下列整式运算，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据整式的基本运算法则，包括合并同类项、同底数幂的除法、幂的乘方、积的乘方，由对应法则逐一判断即可． 【详解】解：选项A：与不是同类项，不能合并，故A计算错误； 选项B：根据同底数幂除法法则，底数不变，指数相减，得，故B计算错误； 选项C：根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，得，故C计算正确； 选项D：根据积的乘方法则，每个因式分别乘方，得，故D计算错误． 3．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1)1 (2) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 题型26 同底数幂除法的逆用 1．（25-26七年级下·浙江·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用同底数幂的除法法则和幂的乘方法则，将所求式子变形后，代入已知条件即可求解． 【详解】解：． 2．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则________． 【答案】1 【分析】本题考查幂的乘方的逆用与同底数幂的除法运算法则的逆用，先将所求式子根据运算法则变形，再代入已知条件计算即可． 【详解】解：逆用同底数幂的除法法则，可得 ， 逆用幂的乘方法则，可得， 已知，，代入得： ． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，，则______． 【答案】1 【分析】先逆用同底数幂的除法将原式化为，再逆用幂的乘方化为，进而计算即可． 【详解】解：． 题型27 零指数幂 1．（2026·浙江台州·二模）计算：． 【答案】 【分析】分别运用零指数幂、立方根、绝对值的运算法则化简各项，再进行有理数加法运算即可． 【详解】解：． 2．（2026·浙江台州·二模）计算：． 【答案】 【分析】根据零指数幂、绝对值、算术平方根的基础运算分别化简各项后再进行加减计算． 【详解】解：． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（1）先计算乘方，零次幂，负整数指数幂，再合并即可； （2）先计算多项式乘以多项式，再合并即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型28 负整数指数幂 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先分别计算单项式乘以多项式、多项式乘以多项式，再合并同类项即可； （2）先分别计算平方、零次方及负整数指数幂，再计算乘法，最后计算减法即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）阅读理解学习： 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． (1)【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是________（填序号即可）； ①；②；③；④ (2)【能力提升】已知． ①若，，求对称式的值； ②若，且对称式的值为，求的值． 【答案】(1)②④ (2)①8；② 【分析】（1）根据对称式的定义进行排除选项即可； （2）①根据题意易得，然后根据完全平方公式进行求解即可； ②由①可得，然后根据完全平方公式可进行求解． 【详解】（1）解：①，交换两个字母的位置可得：，当且仅当时，两个代数式相等，所以不是对称式； ②交换代数式两个字母的位置得：，观察发现它们相等，所以是对称式； ③交换代数式两个字母的位置得：，观察发现它们不一定相等，所以不是对称式； ④交换代数式任意两个字母的位置得：或或，观察发现它们都是相等的，所以是对称式； ∴符合题意的有②④； （2）解：①∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②由①可知：， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 题型29 科学计数法表示绝对值小于1的数 1．（2026·浙江台州·二模）一根头发丝的直径约为 ．将数据0.00007用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】科学记数法的标准形式为 （, 为整数），对于小于1的正数，的值等于原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数的相反数． 【详解】解：科学记数法要求， 将小数点向右移动5位得到7，可得，故， 即． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）神舟二十号载人飞船成功发射，三名航天员顺利进驻空间站，与神舟十九号乘组完成“天宫会师”．载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度约为厘米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】表示绝对值小于1的正数时，科学记数法的形式为，其中满足，为原数左起第一个非零数字前所有零的个数． 【详解】∵ 对于，左起第一个非零数字为，前共有个零，且， ∴ ． 3．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）红细胞的平均直径是米，用科学记数法可以表示为________． 【答案】 【分析】科学记数法表示绝对值小于1的数，掌握科学记数法的表示形式，以及确定的方法是解题的关键，当原数绝对值小于1时，的绝对值等于原数变为时小数点移动的位数，为负数，据此即可求解． 【详解】解：． 题型30 还原用科学计数法表示的小数 1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为（  ） A．200 B．0.2 C．0.02 D．0.002 【答案】C 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为0.02， 故选：C． 2．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）已知空气的单位体积质量为克/厘米3，将用小数表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查写出用科学记数法表示的原数．将科学记数法表示的数，“还原”成通常表示的数，就是把a的小数点向左移动n位所得到的数．科学记数法的标准形式为（，n为整数）．本题把数据中的小数点向左移动3位就可以得到． 【详解】解：． 故选：D． 3．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】绝对值小于1的数用科学记数法表示时，一般形式为a×10-n.其中n的值由原数左边起第一个不为零数字前面的0的个数决定． 【详解】解：∵1nm=0.0000001cm． ∴5nm=0.0000005cm． ∴0．0000005cm=5×10-7cm． 故选：C． 【点睛】本题考查了用科学记数法表示较小的数，一般形式为a×10-n.其中1≤|a|＜10，n的值由原数左边起第一个不为0的数字前面的0的个数所决定． 题型31 计算单项式除以单项式 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A：，A错误； 对选项B：，B错误； 对选项C：，C正确； 对选项D：，D错误． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意； B、，原式计算错误，不符合题意； C、，原式计算正确，符合题意； D、，原式计算错误，不符合题意； 3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 题型32 多项式除以单项式 1．（25-26七年级下·浙江·期中）计算：________． 【答案】 【详解】解： ． 2．（2026七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别计算乘方、负整数指数幂、零指数幂，再计算加减法； （2）根据多项式除以单项式法则计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型33 整式四则混合运算 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）计算 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）解决下列问题： (1)已知，，求的值； (2)先化简，再求值：已知，求的值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先根据幂的运算法则对式子进行变形，再代入进行求解． （2）先去括号，再合并同类项，由推出，再整体代入计算可得答案． 【详解】（1）解： 当，时， 原式． （2）解： ， ． 将代入化简后的式子， 可得． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】 【详解】解： ， ∵， ∴原式． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 整式的乘除 题型01 同底数幂相乘（重点） 题型18 运用平方差公式进行运算（重点） 题型02 用科学计数法表示数的乘法（常考点） 题型19 平方差公式与几何图形（难点） 题型03 同底数幂乘法的逆用（难点） 题型20 运用完全平方公式进行运算（重点） 题型04 幂的乘方运算（重点） 题型21 完全平方公式在几何图形中的应用（难点） 题型05 幂的乘方的逆用（难点） 题型22 求完全平方式中的字母系数（难点） 题型06 积的乘方运算（重点） 题型23 整式的混合运算（难点） 题型07 积的乘方的逆用（难点） 题型24 通过对完全平方公式变形求值（难点） 题型08 计算单项式乘单项式 题型25 同底数幂的除法运算（重点） 题型09 计算单项式乘多项式及求值（常考点） 题型26 同底数幂除法的逆用（难点） 题型10 单项式乘多项式的应用 题型27 零指数幂 题型11 计算多项式乘多项式 题型28 负整数指数幂 题型12 (x+p)(x+q)型多项式乘法（重点） 题型29 科学计数法表示绝对值小于1的数（难点） 题型13 已知多项式乘积不含某项求字母的值 题型30 还原用科学计数法表示的小数 题型14 多项式乘多项式的化简求值（重点） 题型31 计算单项式除以单项式 题型15 多项式乘多项式与图形面积（难点） 题型32 多项式除以单项式 题型16 多项式乘法中的规律性问题（难点） 题型33 整式四则混合运算（难点） 题型17 整式乘法混合运算（常考点） 题型01 同底数幂相乘 1．（2026·浙江台州·二模）下列式子运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江舟山·期末）计算正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）设，，，（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 题型02 用科学计数法表示数的乘法 1．（23-24七年级上·浙江杭州·阶段检测）用四舍五入法把精确到千万位的近似数为______用科学记数法表示． 计算： ______结果用科学记数法表示 2．（22-23七年级上·上海闵行·期中）一种计算机每秒可做次运算，它工作秒运算的次数为______（用科学记数法表示） 3．（24-25七年级上·浙江温州·月考）材料一：柯伊伯带是位于太阳系海王星轨道外侧（距离太阳约30个天文单位），在黄道面附近的天体密集的圆盘区域，柯伊伯带的假说最先由美国天文学家弗雷德里克·伦纳德提出，十几年后杰拉德·柯伊伯证实了该观点，柯伊伯带类似于小行星带，但范围大得多，它比小行星带宽20倍且重20至200倍．   材料二：天文单位是天文学中计量天体间距离的一种单位，其数值取地球和太阳之间的平均距离，根据国际天文学联合会的定义，一个天文单位等于．   根据上面的材料，写出柯伊伯带距离太阳的距离________（结果用科学记数法表示） 题型03 同底数幂乘法的逆用 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若，则等于 _____ 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）若，，则的值是______． 3．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）逆向运用幂的运算法则可以得到，根据算式的结构特征，逆向运用幂的运算法则，常可以化繁为简，化难为易，使问题巧妙获解． (1)计算的结果是________； (2)若，求的值； (3)已知，比较a，b，c的大小． 题型04 幂的乘方运算 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）计算：___________． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算：_____________． 题型05 幂的乘方的逆用 1．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）在关于的二元一次方程组的下列说法中，正确的是（   ） ①当时，方程组的解的值互为相反数；②满足关系式；③若，则． A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2．（25-26七年级下·浙江·期中）已知，则可以用m，n表示成__________． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知，那么的值是___________． 题型06 积的乘方运算 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列运算中正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 题型07 积的乘方的逆用 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）的计算结果是______． 2．（25-26七年级下·浙江台州·阶段检测）计算_________ 3．（25-26七年级上·浙江·寒假作业）逆向思维的重要性在于它能够帮助我们更好地解决问题、理解他人、创新突破，并且对于应对未来的挑战具有重要意义．在数学领域中，逆向思维是一种重要的思维方式，它可以帮助我们从不同的角度解决问题．我们知道，一般的数学公式、法则、定义可以正向运用，也可以逆向运用．对于“同底数幂的乘法”“幂的乘方”“积的乘方”这几个法则的逆向运用表现为，，（，都是正整数）．请你运用这个思路和幂的运算法则解决下列问题： (1)计算：______． (2)，，． (3)已知，求的值． (4)已知，，，请把，，用“”连接起来：______． 题型08 计算单项式乘单项式 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列运算结果为的是（    ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江绍兴·阶段检测）________． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算： (1) (2) 题型09 计算单项式乘多项式及求值 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算：______． 2．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）计算_____． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）x与相乘的结果为________． 题型10 单项式乘多项式的应用 1．（25-26七年级下·浙江·期中）已知长方形的长为，宽为，则该长方形的面积为___________． 2．（23-24七年级下·浙江·期中）计算：______． 3．（24-25七年级下·浙江丽水·期中）在数学综合实践课上，田田设计了一个类似字母“”的图案，其设计原理是：用图1中4张边长为的类正方形，1张边长为的类正方形，4张长为，宽为的类长方形，拼成一个如图2的大正方形，画出涂色部分，形成类似字母“”的图案． (1)当厘米，厘米时，求“”图案中阴影部分的面积； (2)用含字母的代数式表示阴影部分的面积； (3)若阴影部分的面积恰好等于4张小正方形的面积总和，请计算的值． 题型11 计算多项式乘多项式 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知（a是常数），则的值为____． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）小Q在计算时，不小心将第二个括号中的常数染黑了，小正告诉他结果中的一次项系数为． (1)被染黑的常数为_ ； (2)请你帮助小Q算出这道题的结果． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）仔细阅读下面例题，并解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值． 解：设另一个因式为， 由题意得，即， 则有，解得，所以另一个因式为的值是． 问题：请仿照上述方法解答下面问题， (1)若，则___________；___________； (2)已知二次三项式有一个因式为，求另一个因式以及的值． 题型12 (x+p)(x+q)型多项式乘法 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若等式对任意实数x都成立，则常数m，n的值分别为（　　） A．， B．， C．， D．， 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若，则的值是（   ） A． B． C．8 D．9 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知关于的等式恒成立，则__________． 题型13 已知多项式乘积不含某项求字母的值 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若多项式的展开式中不含项，则常数的值为（    ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）已知多项式与的乘积展开式中不含x的二次项，且常数项为2，则的值为（   ） A．1 B．4 C．8 D．16 3．（25-26七年级下·浙江·期中）已知的乘积中不含的一次项，则与满足的关系是__________． 题型14 多项式乘多项式的化简求值 1．（23-24七年级下·浙江宁波·期中）若，则的值为__________ 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）先化简，再求值：，其中． 题型15 多项式乘多项式与图形面积 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图所示，在长方形中放入一个边长为8的大正方形和两个边长为6的小正方形和，其中点E、G分别在边、上，点L、N分别在边、上，点H、K在边上，点J在边上，记如图三个阴影部分面积分别为，，，已知所表示的阴影部分为正方形，若，则长方形的面积为________． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现．例如图1，可得等式或 (1)如图2，请写出你发现的恒等式：________________； (2)利用（1）中的发现计算：若，，求的值； (3)利用6个相同的宽为，长为的小长方形，拼成如图3所示的大长方形，记长方形面积与长方形的面积差为S，求S（用含的代数式表示）． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，有一块长为米、宽为米的长方形花园（阴影部分），因绿化面积不达标，计划按如图所示的方式等距外扩1米， 改造成一个大长方形花园． (1)请用含a的代数式表示扩建后的长方形花园的面积； (2)求扩建后花园的面积增加多少平方米（用含a的代数式表示）． 题型16 多项式乘法中的规律性问题 1．（25-26七年级下·浙江·期中）【文化欣赏】 杨辉三角是二项式系数在三角形中的一种几何排列，是中国古代数学重要成就．观察如图各式及其展开式 【应用体验】 请问展开式中，共有___________项，含项的系数是___________． 2．（25-26九年级下·浙江温州·开学考试）【文化欣赏】我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开的系数规律如图所示，其中“五乘”对应的展开式： 【应用体验】已知，则m的值为___． 3．（2025·浙江·中考真题）【文化欣赏】 我国南宋时期数学家杨辉于1261年写下《详解九章算法》，书中记载的二项和的乘方展开式的系数规律如图所示，其中“三乘”对应的展开式： ． 【应用体验】 已知，则m的值为________ 题型17 整式乘法混合运算 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若关于x的多项式含有因式，则实数的值为（   ） A．3 B． C．1 D． 2．（2025九年级下·浙江温州·学业考试）在1，2，3，…，2019中，可以表示为（表示不超过实数的最大整数）的形式的数有（   ） A．980个 B．988个 C．990个 D．998个 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）数学探究 探究主题：月历中的数学 计算发现 （1）用图2所示的“十”字型框架任意框住月历中的5个数（如图1中的阴影部分），将位置A，B，C，D上的数按逆时针方向依次两两相乘一次，再把他们的积相加，所得的和叫做这个“十”字型框架的“美好数”．尝试计算图1中“十”字型框架的“美好数”：_． 猜想说理 （2）移动“十”字型框架，多次尝试可以发现，每个“美好数”都与E位置上的数有关．请设出字母，用数学式子表示你发现的规律，并说明理由． 拓展研究 （3）在另一张月历中，两个“十”字型框架如图3摆放，两个“十”字型框架E位置上的数分别为a，b，若两个“美好数”的差为1280，求． 题型18 运用平方差公式进行运算 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）下列各题中，适合用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）一个长方体的长，宽，高恰好是三个连续的奇数，若中间的奇数为，则这个长方体的体积为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）计算： (1)； (2)． 题型19 平方差公式与几何图形 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图1，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图2．根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）有两个正方形，现将放在的内部如图甲，将并排放置后构造新的正方形如图乙．若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为5和22，则正方形的边长之和为（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26七年级下·浙江·期中）观察如图所示的图形，依据图形面积的关系，可以验证的一个乘法公式是（   ） A． B． C． D． 题型20 运用完全平方公式进行运算 1．（2026·浙江温州·二模）计算：__________． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）先化简，再求值：，其中． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若定义一种新运算：． (1)设为整式，，求整式并化简． (2)在（1）的条件下，当时，求的值． 题型21 完全平方公式在几何图形中的应用 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，将两张长为，宽为的长方形纸片按图1，图2两种方式先后放置在同一个正方形中．两种放置均有部分重叠，记图1重叠部分的面积为图2重叠部分的面积为．若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．12 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）图1为自制的“福”字中国结，其中主体部分（图2、图3阴影部分）均由边长为的大正方形红布裁剪而成，图2、图3空白部分为裁剪掉部分．图2的四个角落图形相同，其中四边形和分别是边长为和的正方形，中间处是边长为的正方形，图3阴影部分是由四块边长为的正方形和一块边长为的正方形组成，且图2和图3两块阴影部分的面积都是60，则未裁剪前大正方形红布的边长为____． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在大正方形纸片中按如图所示方式放入两个大小相同的小正方形纸片，设阴影部分的面积为，，． (1)用含，的代数式表示，． (2)求阴影部分的面积．（用含，的式子表示，并化简） 题型22 求完全平方式中的字母系数 1．（25-26七年级下·浙江杭州·阶段检测）如果是一个完全平方式，则m的值是（　　） A．3 B． C．6 D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）已知是完全平方式，则实数________． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若是完全平方式，那么a的值是________． 题型23 整式的混合运算 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）先化简，再求值：，当时，求代数式的值； 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）先化简，再求值：，其中，． 3．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）先化简，再求值：，其中． 题型24 通过对完全平方公式变形求值 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图所示，为线段上的一点，以、为边分别向上下两侧作正方形，正方形，两正方形的面积分别记为和，若，两正方形的面积和 ，则图中阴影部分面积是______． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知，， (1)求的值； (2)求的值． 3．（2026·浙江丽水·一模）【阅读理解】我们已经学过完全平方公式：，适当地变形，可以解决很多的数学问题． 例：若，，求的值． 解：由完全平方公式：， 因此． 因为，， 所以． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)填空：若，，则_ ； 【类比应用】 (2)若关于的方程满足，求的值． 题型25 同底数幂的除法运算 1．（2026·浙江台州·二模）下列式子运算正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江杭州·一模）下列整式运算，计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）计算： (1) (2) 题型26 同底数幂除法的逆用 1．（25-26七年级下·浙江·期中）若，，则（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）若，，则________． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）若，，则______． 题型27 零指数幂 1．（2026·浙江台州·二模）计算：． 2．（2026·浙江台州·二模）计算：． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）计算： (1)； (2)． 题型28 负整数指数幂 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）计算： (1)； (2)． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）阅读理解学习： 【阅读材料】一个含有多个字母的代数式中，如果任意交换两个字母的位置，代数式的值都不变，这样的代数式叫做对称式．例如：代数式中任意两个字母交换位置，可得到代数式，，，因为，所以是对称式；而代数式中字母，交换位置，得到代数式，因为与不一定相等，所以不是对称式． (1)【理解判断】下列四个代数式中，是对称式的是________（填序号即可）； ①；②；③；④ (2)【能力提升】已知． ①若，，求对称式的值； ②若，且对称式的值为，求的值． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）计算：． 题型29 科学计数法表示绝对值小于1的数 1．（2026·浙江台州·二模）一根头发丝的直径约为 ．将数据0.00007用科学记数法表示为（    ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）神舟二十号载人飞船成功发射，三名航天员顺利进驻空间站，与神舟十九号乘组完成“天宫会师”．载人飞船采用的多层隔热材料是一种厚度约为厘米的镀铝聚酯薄膜，以增强隔热效果，数据用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）红细胞的平均直径是米，用科学记数法可以表示为________． 题型30 还原用科学计数法表示的小数 1．（24-25七年级下·浙江温州·月考）某种细胞的直径是 毫米，这个数用小数可表示为（  ） A．200 B．0.2 C．0.02 D．0.002 2．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）已知空气的单位体积质量为克/厘米3，将用小数表示为（　　） A． B． C． D． 3．（21-22七年级下·浙江绍兴·期末）某H品牌手机上使用5nm芯片，1nm＝0.0000001cm，则5nm用科学记数法表示为（    ） A． B． C． D． 题型31 计算单项式除以单项式 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）先化简，再求值：，其中． 题型32 多项式除以单项式 1．（25-26七年级下·浙江·期中）计算：________． 2．（2026七年级下·浙江·专题练习）计算： (1) (2) (3) 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）计算： (1)； (2)． 题型33 整式四则混合运算 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）计算 (1)； (2)． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）解决下列问题： (1)已知，，求的值； (2)先化简，再求值：已知，求的值． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）先化简，再求值：，其中． / 学科网（北京）股份有限公司 $