专题02 二元一次方程组全章24大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 聚焦二元一次方程组全体系，以24类题型构建从概念到应用的完整训练链，强化抽象能力与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|题型1-4|围绕定义、解及方程组判定，考查抽象能力|从二元一次方程到方程组，构建概念体系| |解法技巧|题型6-8|涵盖代入/加减消元及特殊解法，突出运算能力|从基本解法到技巧提升，形成解题方法链| |参数综合|题型5,10-12|含解求参数、错解复原等，强调推理意识|结合方程解的性质，深化代数推理能力| |应用拓展|题型13-24|涉及几何、实际问题等，注重模型意识|从数学内部到现实情境，实现知识迁移应用|

专题02 二元一次方程组 题型01 二元一次方程的定义 题型13 根据几何图形列二元一次方程组(重点） 题型02 二元一次方程的解 题型14 根据实际问题列二元一次方程组(重点） 题型03 判断是否是二元一次方程组 题型15 分配问题(重点） 题型04 判断是否是二元一次方程组的解 题型16 图表信息题 题型05 已知二元一次方程组的解求参数（常考点） 题型17 几何问题 题型06 代入消元法(重点） 题型18 方案问题(重点） 题型07 加减消元法(重点） 题型19 数字问题 题型08 二元一次方程组的特殊解法(难点） 题型20 销售利润问题(重点） 题型09 构造二元一次方程组求解 题型21 和差倍分问题 题型10 已知二元一次方程组解的情况求参数(重点） 题型22 古代问题（常考点） 题型11 二元一次方程组的错解复原问题（常考点） 题型23 二元一次方程的其他应用问题 题型12 方程组相同解问题（常考点） 题型24 三元一次方程组 题型01 二元一次方程的定义 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，属于二元一次方程的（    ） A． B． C． D． 题型02 二元一次方程的解 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知是二元一次方程的一组解，则___________ 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若是方程的一个解，则______． 题型03 判断是否是二元一次方程组 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段检测）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 题型04 判断是否是二元一次方程组的解 1．（22-23七年级下·浙江嘉兴·月考）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）下列各组数中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知市场上一种型大纸板的长为，宽为，某工厂计划购进这种型大纸板加工成图1所示的甲种纸板和乙种纸板． (1)一张型大纸板现按下列三种方法裁切，若要不造成大纸板浪费，请分别求出裁出的甲、乙纸板的数量(裁切时不计损耗)： 方法一：全部裁切成甲种纸板，则可裁切出____________张； 方法二：全部裁切成乙种纸板，则可裁切出____________张； 方法三：裁切成甲、乙两种纸板各若干张，则可裁切出甲种纸板___________张，乙种纸板________张． (2)若工厂要用图1所示的甲和乙两种纸板，做成如图2所示的竖式长方体的无盖纸盒，①在（1）的方案下，工厂现购进型号的大纸板共张，其中5张大纸板按照方法一裁切，张大纸板按照方法二裁切，其余的按照方法三裁切．若要不造成纸板浪费，则能制作成竖式纸盒多少个？ ②在（1）的方案下，工厂现购进型号的大纸板共张，其中5张大纸板按照方法一裁切，张大纸板按照方法二裁切，其余的按照方法三裁切．若要不造成纸板浪费，求与之间的关系． 题型05 已知二元一次方程组的解求参数 1．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于x，y的方程组的解是，其中的值被遮住了，但仍能求出的值是（   ） A．10 B． C．8 D． 2．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）已知是关于的方程的一个解，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．7 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）写出一个解为的二元一次方程组：________． 题型06 代入消元法 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”， 例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”． (1)下列数对中，“和积等数对”的是_；“差积等数对”的是_．（填序号） ①，②，③． (2)若数对是“和积等数对”，求x的值； (3)是否存在非零有理数m，n，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出m与n的比值． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）解下列方程组： (1)； (2) 题型07 加减消元法 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示放入长方形中，，．若两个正方形的重叠部分长方形的边长为1，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．阴影部分的周长为32 D．阴影部分的面积为 2．（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 3．（2026·浙江台州·二模）解方程组：． 题型08 二元一次方程组的特殊解法 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为___________． 3．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 题型09 构造二元一次方程组求解 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，约定：上方从左至右相邻两数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若的值为5，则的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则的值为10． A．Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ，Ⅱ均对 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为_______． 3．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）已知代数式，当时，它的值是，当时，它的值是．求，的值． 题型10 已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）若方程组的解，满足，则的取值_____． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“互为相反关系”． (1)方程组的解与是否具有“互为相反关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解与具有“互为相反关系”，求的值． 题型11 二元一次方程组的错解复原问题 1．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则_________，_________，_________． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则________． 题型12 方程组相同解问题 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若关于的方程组的解为，则方程组的解是__________． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，求a与b的值． 题型13 根据几何图形列二元一次方程组 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究制作无盖纸盒的方案 素材1 将边长为的大正方形纸板按图1所示的两种方法裁剪：甲方法裁剪出5个小长方形纸板和1个小正方形纸板；乙方法剪4个小长方形和4个小正方形纸板（假设裁剪时损耗忽略不计）． 素材2 将以上裁剪的纸板制作成横式无盖的纸盒，如图2所示，它由3个小长方形纸板和2个小正方形纸板搭成． 问题解决 任务1 纸盒大小 计算该横式无盖纸盒的体积． 任务2 再次拼搭 现有3张大正方形纸板，将它们裁剪、拼搭，则它们最多能搭几个横式无盖纸盒． 任务3 深入探究 现有22张大正方形纸板和张小正方形纸板，将大正方形纸板裁剪，裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，求出的最小值，并写出裁剪方案． 题型14 根据实际问题列二元一次方程组 1．（2026·浙江台州·二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是说“今有多人共买一物，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则少4钱，问人数和物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房间、房客人，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型15 分配问题 1．（23-24七年级下·浙江金华·期中）现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 题型16 图表信息题 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实际收费如表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 上海 a b 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 2 10 北京 3 23 则_____， _____． 2．（24-25七年级下·浙江温州·月考） 制作更多的罐头 素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮 素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计）    圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？ 任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买_____张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案） 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 题型17 几何问题 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）有两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将长为的纸条的与长为的纸条的叠合在一起，形成长为90的纸条，则__________． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长为7，宽为5的长方形中，放入5个形状和大小完全相同的小长方形（不重叠无缝隙），则小长方形的周长为________． 题型18 方案问题 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计奖品购买及获奖人数方案 我校举办“数学文化节”活动，对获奖同学进行表彰奖励，分别设置一等奖、二等奖和三等奖．学校准备购买若干定制笔记本与定制水笔作为奖品，需考虑奖品购买方案及获奖人数． 素材1 已知购买1包定制笔记本与4盒定制水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒定制水笔需要480元． 素材2 学校用1050元购买若干包定制笔记本与若干盒定制水笔两种奖品． 素材3 （1）1包定制笔记本有10本笔记本，1盒定制水笔有6支水笔． （2）计划设置获奖总人数为人，二等奖获奖人数是一等奖的2倍． （3）一等奖：1本笔记本，1支水笔．二等奖：1本笔记本．三等奖：1支水笔． 问题解决： (1)求出1包定制笔记本与1盒定制水笔的价格． (2)若用完1050元购买两种奖品，可以购买几包定制笔记本与几盒定制水笔？写出购买方案． (3)在任务2中购买的奖品恰好全部发完，求的值．（直接写出答案） 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生； ②型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人； ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金． (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）2024年春晚名为《武BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 2 360 信息二 型机器人每台每天可分拣快递22万件；型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人（都有），费用恰好用完800万元，请写出所有符合情况的方案，并选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 题型19 数字问题 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 2．（2026·浙江湖州·模拟预测）若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作，即．已知，，则两位数的数值是____． 3．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）已知代数式，当时，它的值为4；当时，它的值为，则________，________． 题型20 销售利润问题 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数 收费标准（元/人） 40 30 15 赵老师；如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费20100元；若两个年级联合组团只需花费13800元． 根据以上信息，解决春游中的相关问题： (1)问题1：大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)问题1：八、九年级各有多少人参加春游？ 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）根据如表素材，探索完成任务． 背景 观成中学在组织开展数学节活动时，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元； 若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元． 请利用二元一次方程相关知识解决以下问题： (1)A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)李老师计划正好用200元购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），请求出所有符合题意的购买方案？ 题型21 和差倍分问题 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，矿泉水每瓶4元，运动饮料每瓶12元．设矿泉水瓶，运动饮料瓶，正确方程组是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）为表彰优秀，七班用一批笔记本奖励期中考试优秀的同学．若每人奖励本，还剩本；若每人奖励本，还差本，问七班期中考试优秀的同学有多少人，一共有多少本笔记本？ 3．（25-26七年级下·浙江·期中）2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元． (1)请你求出A，B两款门票的价格； (2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案． 题型22 古代问题 1．（2026·浙江台州·二模）古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱．问绫布和罗布每尺各多少钱？设绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·浙江温州·一模）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为,“”的值为，则“天”与“地”的和为______． 题型23 二元一次方程的其他应用问题 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为． ①王老师的水杯容量为_ ； ②接入水杯的温水吸收的热量为_ （用含t的代数式表示）． (2)小Q同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求小Q同学的接水时间． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10吨，则按每吨a元收费；若每月用水超过10吨，则超过部分按每吨b元收费（）． (1)已知小明家3月份用水12吨，交水费26元；4月份用水15吨，交水费35元．求a和b的值． (2)到了5月份，为了应对旱情，自来水公司调整了收费标准：超过10吨但不超过20吨的部分，每吨加收1元的污水处理费，超过20吨的部分每吨加收2元污水处理费．已知小明家5月份和6月份用水都超过20吨，且6月份的用水量比5月份多10吨．若这两个月的水费总和为192元，求小明家5月份和6月份各用水多少吨？ 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸每张可分别做几面小旗子？ (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，学校计划用这两种卡纸共同做52面小旗子，在制作过程中，若A、B两种卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，请求出学校共有几种采购方案，并写出采购总费用最低的方案是多少元？ 题型24 三元一次方程组 1．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若是从1，0，这三个数中取值的一列数，，，问中有______个0． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 二元一次方程组 题型01 二元一次方程的定义 题型13 根据几何图形列二元一次方程组(重点） 题型02 二元一次方程的解 题型14 根据实际问题列二元一次方程组(重点） 题型03 判断是否是二元一次方程组 题型15 分配问题(重点） 题型04 判断是否是二元一次方程组的解 题型16 图表信息题 题型05 已知二元一次方程组的解求参数（常考点） 题型17 几何问题 题型06 代入消元法(重点） 题型18 方案问题(重点） 题型07 加减消元法(重点） 题型19 数字问题 题型08 二元一次方程组的特殊解法(难点） 题型20 销售利润问题(重点） 题型09 构造二元一次方程组求解 题型21 和差倍分问题 题型10 已知二元一次方程组解的情况求参数(重点） 题型22 古代问题（常考点） 题型11 二元一次方程组的错解复原问题（常考点） 题型23 二元一次方程的其他应用问题 题型12 方程组相同解问题（常考点） 题型24 三元一次方程组 题型01 二元一次方程的定义 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二元一次方程的定义逐项判断即可，二元一次方程需满足三个条件：一是含有两个未知数，二是所含未知数的项的次数均为1，三是必须为整式方程． 【详解】解：选项A 中，是分式，该方程不是整式方程，不符合定义； 选项B 中，项的次数为2，不符合次数要求，不符合定义； 选项C 含有两个未知数，所含未知数的项的次数都是1，且是整式方程，符合二元一次方程定义； 选项D 中，项的次数为2，不符合次数要求，不符合定义． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列方程是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义，根据“含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的整式方程是二元一次方程”，逐一判断选项即可． 【详解】解：二元一次方程需满足三个条件：①是整式方程；②含有两个未知数；③所有含未知数的项的次数都是1． ∵ 选项A中，项的次数为，不满足次数要求， ∴ A不是二元一次方程，不符合题意； ∵ 选项B中，方程是整式方程，含有，两个未知数，且含未知数的项的次数都是，符合二元一次方程的定义， ∴ B是二元一次方程，符合题意； ∵ 选项C中，是分式，方程不是整式方程， ∴ C不是二元一次方程，不符合题意； ∵ 选项D中，项的次数为，不满足次数要求， ∴ D不是二元一次方程，不符合题意． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列方程中，属于二元一次方程的（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的判定条件：含有两个未知数，所有未知数的次数都为1，且方程为整式方程，根据条件逐一判断即可． 【详解】解：A选项是二元一次方程； B选项中是分式，方程不是整式方程，不是二元一次方程； C选项中未知数的次数为2，不是二元一次方程； D选项中项的次数为2，不是二元一次方程． 题型02 二元一次方程的解 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）已知，是方程的解，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据方程解的定义，将，代入方程，即可求得的值． 【详解】解：根据题意，将，代入方程， 得：， 解得：． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知是二元一次方程的一组解，则___________ 【答案】 【分析】把代入二元一次方程，可得，再代入，即可求解． 【详解】解：∵是二元一次方程的一组解， ∴， ∴. 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若是方程的一个解，则______． 【答案】 【详解】解：将代入方程，得， 解得． 题型03 判断是否是二元一次方程组 1．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是(　　) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A：只有未知数x，所以A不是二元一次方程组 ； B：，不是二元一次方程，所以B不是二元一次方程组； C：两个方程中，含有三个未知数，所以C不是二元一次方程组； D：两个方程中含有，，该方程组含有两个未知数，且每个方程中含未知数的项的次数都是1，符合二元一次方程组的定义，所以D是二元一次方程组． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·阶段检测）下列方程组中，属于二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的定义．根据二元一次方程组的特征：①含有两个二元一次方程，②方程都为整式方程，③未知数的最高次数都为一次，即可求解． 【详解】解：A、不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意； B、不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意； C、属于二元一次方程组，故本选项符合题意； D、不属于二元一次方程组，故本选项不符合题意； 故选：C 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）下列方程组中，是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，即两个结合在一起的共含有两个未知数的一次方程叫二元一次方程组．根据该定义对各选项逐一分析即可． 【详解】A.该方程组中含有三个未知数，故不符合题意； B.该方程组是二元一次方程组，故符合题意； C.该方程组中的次数是二次，故不符合题意； D.该方程组中不是整式，故不符合题意， 故选：B． 题型04 判断是否是二元一次方程组的解 1．（22-23七年级下·浙江嘉兴·月考）下列某个方程与组成方程组的解为，则这个方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接把，代入各方程进行检验即可． 【详解】、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 、把，代入：左边，故此项符合题意； 、把，代入：左边，故此项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二元一次方程组的解，解题的关键是正确理解方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值． 2．（22-23七年级下·浙江湖州·期末）下列各组数中，是二元一次方程的解的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程的解的意义，将解代入原方程中逐一判断即可． 【详解】解：当时，，则A选项不是方程的解题，故A选项不符合题意； 则D选项是方程的解，故D选项符合题意； 当时，，则B和C选项不是方程的解题，故B和C都不符合题意， 故选D． 【点睛】本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握其解的意义是解题的关键． 3．（25-26七年级上·浙江台州·期末）已知市场上一种型大纸板的长为，宽为，某工厂计划购进这种型大纸板加工成图1所示的甲种纸板和乙种纸板． (1)一张型大纸板现按下列三种方法裁切，若要不造成大纸板浪费，请分别求出裁出的甲、乙纸板的数量(裁切时不计损耗)： 方法一：全部裁切成甲种纸板，则可裁切出____________张； 方法二：全部裁切成乙种纸板，则可裁切出____________张； 方法三：裁切成甲、乙两种纸板各若干张，则可裁切出甲种纸板___________张，乙种纸板________张． (2)若工厂要用图1所示的甲和乙两种纸板，做成如图2所示的竖式长方体的无盖纸盒，①在（1）的方案下，工厂现购进型号的大纸板共张，其中5张大纸板按照方法一裁切，张大纸板按照方法二裁切，其余的按照方法三裁切．若要不造成纸板浪费，则能制作成竖式纸盒多少个？ ②在（1）的方案下，工厂现购进型号的大纸板共张，其中5张大纸板按照方法一裁切，张大纸板按照方法二裁切，其余的按照方法三裁切．若要不造成纸板浪费，求与之间的关系． 【答案】(1)6；4；3，2 (2)①个；② 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及二元一次方程的应用，关键是根据裁切方法求出甲、乙纸板的数量，再结合无盖纸盒所需纸板的数量关系建立方程求解． （1）全部裁切成甲种纸板或乙种纸板时，用型大纸板的长、宽分别除以甲、乙种纸板的长、宽，得到每行、每列可裁的张数，两者相乘即为总张数；设裁出甲种纸板张、乙种纸板张，根据“裁切后无浪费”即甲、乙纸板的总面积等于型大纸板的面积，列二元一次方程，化简后求非负整数解． （2）①先分别计算5张按方法一、张按方法二、张按方法三裁切后得到的甲、乙纸板总数量，再根据竖式无盖纸盒“1张甲种纸板张乙种纸板”的配套关系，列一元一次方程，解出后，代入甲种纸板的数量得到纸盒数量； ②把总张数换成，同理先表示出甲、乙纸板的总数量，再根据配套关系列方程，化简后得到与的关系式． 【详解】（1）解：方法一：A型大纸板长，宽，甲种正方形纸板边长， ∵，， ∴可裁出甲种纸板（张）； 方法二：乙种纸板长，宽， ∵，， ∴可裁出乙种纸板（张）； 方法三：设裁出甲种纸板张，乙种纸板张， 由题意得，化简得， ∵、为非负整数， ∴当时，， 故可裁出甲种纸板3张，乙种纸板2张； 故答案为：6；4；3，2． （2）解：①由题意，5张按方法一裁切，可得甲种纸板（张）， 张按方法二裁切，可得乙种纸板张， 张按方法三裁切，可得甲种纸板张，乙种纸板张， ∵竖式无盖纸盒需要1张甲种纸板和4张乙种纸板， ∴， 解得， ∴纸盒数量为（个）； 答：能制作成竖式纸盒个． ②由题意，甲种纸板的总数量为， 乙种纸板的总数量为， ∵竖式无盖纸盒需要1张甲种纸板和4张乙种纸板， ∴， 化简得：． 题型05 已知二元一次方程组的解求参数 1．（25-26七年级下·浙江·期中）已知关于x，y的方程组的解是，其中的值被遮住了，但仍能求出的值是（   ） A．10 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把代入方程求出y的值，再把x、y的值代入即可求出m的值． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 把，代入得：， ∴． 2．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）已知是关于的方程的一个解，则的值为（    ） A．1 B．2 C． D．7 【答案】A 【分析】将解代入原方程得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值． 【详解】∵是方程的一个解， ∴将，代入，得：， 解得：． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）写出一个解为的二元一次方程组：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据方程组解的定义，只要构造出满足的二元一次方程组即可，答案不唯一． 【详解】解：根据题意， 可得，， 因此得到二元一次方程组． 题型06 代入消元法 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形正确的是（   ） A．由①得 B．由①得 C．由②得 D．由②得 【答案】B 【分析】利用等式的基本性质，对两个方程分别移项变形，对比选项即可得到正确结果． 【详解】解：， 由①得， 由②得， 观察四个选项，选项B符合题意． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）我们规定：对于数对，如果满足，那么就称数对是“和积等数对”：如果满足，那么就称数对是“差积等数对”， 例如，．所以数对为“和积等数对”，数对为“差积等数对”． (1)下列数对中，“和积等数对”的是_；“差积等数对”的是_．（填序号） ①，②，③． (2)若数对是“和积等数对”，求x的值； (3)是否存在非零有理数m，n，使数对是“和积等数对”，同时数对也是“差积等数对”，若存在，求出m与n的比值． 【答案】(1)③；① (2) (3)存在， 【分析】（1）根据题目所给定义进行逐个计算判断即可； （2）根据定义建立方程，再求解x即可； （3）根据新定义可得，可得，可用m来表示n，代入方程即可求解m，进一步求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴①是“差积等数对”； ∵， ∴②既不是“和积等数对”，也不是“差积等数对”； ∵， ∴， ∴③是“和积等数对”； （2）解：∵数对是“和积等数对”， ∴， 解得：； （3）解：存在， ∵数对是“和积等数对”，同时数对是“差积等数对”， ∴， ∴， 即， 把代入得：， ∵， 解得：， ∴． ∴， ∴与的比值为． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）解下列方程组： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 所以原方程组的解为； （2）解：， 由得：， 把代入②得：， 解得：， 所以原方程组的解为． 题型07 加减消元法 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示放入长方形中，，．若两个正方形的重叠部分长方形的边长为1，则下列说法错误的是（   ） A． B． C．阴影部分的周长为32 D．阴影部分的面积为 【答案】D 【分析】根据题意得到，即可求出，利用线段的和差关系即可求出，由平移可知阴影部分的周长，阴影部分的面积等于长方形的面积减去正方形和正方形的面积加上2倍的长方形的面积． 【详解】解：依题意有： ， 得， 解得，故A说法正确； ∵ ， ∴B说法正确； 由平移可知，阴影部分的周长为， 故C说法正确； 阴影部分的面积为， 故D说法错误． 2．（2026·浙江丽水·一模）已知关于，的二元一次方程组的解满足，则的值为_________． 【答案】 【分析】利用加减消元法解二元一次方程组，得到用含的代数式表示的与，再代入，得到关于的一元一次方程，求解即可得到的值. 【详解】解： 3．（2026·浙江台州·二模）解方程组：． 【答案】 【详解】解：， 得 ， 解得， 把代入①得， ∴方程组的解为． 题型08 二元一次方程组的特殊解法 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）关于x，y的方程组的解为，则方程组的解是____________________ ． 【答案】． 【分析】根据题意可得，即可求解． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解为，且 ∴， 解得． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于的二元一次方程组的解为，则关于的二元一次方程组的解为___________． 【答案】 【详解】解：根据题意得，， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江嘉兴·期中）已知方程组的解是，则方程组的解是________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，将与看作整体，对应已知方程组中的a与b，得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：对比两个方程组的结构可得， 由，得， 由，得， 因此方程组的解为． 题型09 构造二元一次方程组求解 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，约定：上方从左至右相邻两数之差等于这两数下方箭头共同指向的数．下列判断正确的是（    ） 结论Ⅰ：若的值为5，则的值为1； 结论Ⅱ：的值为定值； 结论Ⅲ：若，则的值为10． A．Ⅱ，Ⅲ均对 B．Ⅱ对，Ⅲ错 C．Ⅱ错，Ⅲ对 D．Ⅰ，Ⅱ均对 【答案】B 【分析】根据题意可知，，，，对于结论Ⅰ，求出的值，再根据和的两个关系式求解即可；对于结论Ⅱ，利用，将等式作差即可得到结果；对于结论Ⅲ，利用Ⅱ中的关系式，容易计算出，再计算出的值即可． 【详解】解：根据题意可得，，，， 对于结论Ⅰ：当时，， ∴， 解得，故Ⅰ错误； 对于结论Ⅱ：∵， ∴， 整理，得为定值，故Ⅱ正确； 对于结论Ⅲ：由Ⅱ可知，， ∴， 解得， 当时，，即； 当时，，即； ∴Ⅲ错误． 2．（25-26八年级下·浙江金华·期中）已知，为有理数，，分别为的整数部分和小数部分，且，则的值为_______． 【答案】 【分析】先估算的取值范围，得出，再代入，整理得，根据题意得到，解二元一次方程组得到，代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵，分别为的整数部分和小数部分， ∴， 把代入得： ， 整理得： ， ∵a，b为有理数， ∴， 解得：， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）已知代数式，当时，它的值是，当时，它的值是．求，的值． 【答案】， 【分析】根据题意可得到关于和的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：∵代数式，当时，它的值是；当时，它的值是， ， 解得： 题型10 已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）若方程组的解，满足，则的取值_____． 【答案】16 【分析】将方程组内的两方程求和，再结合得到关于k的方程求解即可． 【详解】解：， ①+②得， 将代入可得：，解得：． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）已知关于x，y的方程组的解是整数，且a是正整数，则______． 【答案】1或4 【分析】先解方程组得，根据方程组的解是整数，且a是正整数，可得或4，再将a的值代入中验证是否为整数，即可得解． 【详解】解：解方程组，得 ， ∵a是正整数， ∴， ∴， 又∵是整数， ∴是6的因数， ∴或6， ∴或4， 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 综上，或4． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）对于未知数为，的二元一次方程组，如果方程组的解满足，我们就说方程组的解与具有“互为相反关系”． (1)方程组的解与是否具有“互为相反关系”？说明你的理由． (2)若方程组的解与具有“互为相反关系”，求的值． 【答案】(1)具有，理由见解析 (2) 【分析】（1）解方程组，根据新定义进行判断即可； （2）根据题意，得到，进而得到方程组的解与方程组的解相同，求出方程组的解，代入，进行求解即可. 【详解】（1）解：具有，理由如下： ， ，得，解得； 把代入，得，解得， ∴， ∴方程组的解与具有“互为相反关系”； （2）解：由题意，方程组的解与方程组的解相同， 解，得， 把，代入，得， 解得. 题型11 二元一次方程组的错解复原问题 1．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）已知方程组，由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为；乙看错了②中的b，得到方程组的解为．则乙把②中的b看成的数是（   ） A． B． C．6 D．3 【答案】C 【分析】甲看错方程①中的，因此甲得到的解满足正确的方程②；乙看错方程②中的，因此乙得到的解满足正确的方程①，先联立求出正确的的值，再设乙看错的为，代入乙的解即可求出的值. 【详解】∵ 甲看错方程①中的a，甲得到的解满足正确的方程②， ∴ 代入②得 ③， ∵ 乙看错方程②中的b，乙得到的解满足正确的方程①， ∴ 代入①得 ④， 联立③④，③+④得 ， 设乙把②中的b看成了，将，代入看错的方程② ， 得 ， 整理得 ， 解得 ， 则乙把②中的b看成的数是． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）在解关于x，y的方程组时，甲同学因看错了c，得到的解为，而正确的解为，则_________，_________，_________． 【答案】 2 1 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组，掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．将代入方程，将代入方程组，从而求出a、b、c的值即可． 【详解】解：将代入方程，得， 经整理，得①， 将代入方程组，得， 解方程③，得， 由①和②建立关于a和b的二元一次方程， 解得， ． 故答案为：2，1，． 3．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）已知关于的二元一次方程组的解为，小强因看错了系数，得到的解为，则________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解．根据题意把代入二元一次方程组可得的值，根据小强看错系数得到解为，由此可得新的方程组，运用加减消元法可求出的值，代入计算即可求解． 【详解】解：把代入二元一次方程组得， ， ∴由得，， ∵小强看错了系数得到， ∴， ∴， ①②得，， 解得，， 把代入②得，， 解得，， ∴， 故答案为：11． 题型12 方程组相同解问题 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若方程组解为，则关于的方程组的解为_____． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的同解变形与整体换元思想，解题的关键是通过整体换元，将新方程组转化为已知解的原方程组形式求解． 设，，将新方程组转化为与原方程组形式一致的方程组，利用原方程组的解求出、的值，再反解出、． 【详解】解：设，， 则原方程组可化为：， 由已知方程组的解为，可得： 即：， 解得：． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）若关于的方程组的解为，则方程组的解是__________． 【答案】 【分析】利用整体换元思想，对比两个方程组的结构，将新方程组中的和看作原方程组对应的未知数，结合原方程组的解构造关于，的方程，求解即可得到结果． 【详解】解：设，则方程组可化为， ∵原方程组的解为， ∴方程组的解为， 即， 解得． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）若关于x，y的方程组与关于x，y的方程组有相同的解，求a与b的值． 【答案】的值为4，的值为 【分析】先利用加减消元法求出第二个方程组的解，再代入第一个方程组，利用加减消元法解方程组即可得． 【详解】解：， ①②得：，解得， 将代入①得：，解得， ∴这个方程组的解为， ∵关于的方程组与关于的方程组有相同的解， ∴， ③④得：，解得， 将代入④得：，解得， ∴的值为4，的值为． 题型13 根据几何图形列二元一次方程组 1．（23-24七年级下·浙江杭州·期末）如图所示，块相同的小长方形地砖拼成一个大长方形，若其中每一个小长方形的长为，宽为，则依据题意可得二元一次方程组为（　　）      A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据题意列二元一次方程组，能根据题意正确列出二元一次方程组是解答本题的关键． 根据大长方形的宽为以及小长方形的长与宽之间的关系，即可得出关于、的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：． 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）把图1中周长为的长方形纸片分割成四张大小不等的正方形纸片、、、和一张长方形纸片，并将它们按图2的方式放入周长为的长方形中．设正方形的边长为，正方形的边长为． (1)用和的代数式表示：正方形的边长为___________，正方形的边长___________，长方形的长为___________，长方形的宽为___________．由图1可得___________． (2)求图2阴影部分的周长． 【答案】(1)；；；；2 (2)20 【分析】本题考查了整式的混合运算． （1）根据题意可表示出正方形、的边长，长方形的长和宽，再根据图1中长方形的周长为，可求出的值； （2）根据图2的周长可得，从而求出，然后可求出阴影部分的周长． 【详解】（1）解：∵正方形的边长为，正方形的边长为， ∴正方形的边长为， 正方形的边长为， 长方形的长为， 长方形的宽为， 由图1可得， ∴， 故答案为：；；；；2； （2）解：如图2： 由题意得： ， ∴， 阴影部分的周长 ． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）根据以下素材，探索完成任务． 探究制作无盖纸盒的方案 素材1 将边长为的大正方形纸板按图1所示的两种方法裁剪：甲方法裁剪出5个小长方形纸板和1个小正方形纸板；乙方法剪4个小长方形和4个小正方形纸板（假设裁剪时损耗忽略不计）． 素材2 将以上裁剪的纸板制作成横式无盖的纸盒，如图2所示，它由3个小长方形纸板和2个小正方形纸板搭成． 问题解决 任务1 纸盒大小 计算该横式无盖纸盒的体积． 任务2 再次拼搭 现有3张大正方形纸板，将它们裁剪、拼搭，则它们最多能搭几个横式无盖纸盒． 任务3 深入探究 现有22张大正方形纸板和张小正方形纸板，将大正方形纸板裁剪，裁剪出的小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，求出的最小值，并写出裁剪方案． 【答案】任务；任务2：2张乙方法裁剪，1张甲方法裁剪（或3张都是乙方法裁剪），最多可以得到4个盒子；任务3：的最小值是11，甲方法裁剪11张，则采用乙方法裁剪11张． 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程，是解题的关键： 任务1：先算出小正方形的边长，再根据长方体体积公式求解； 任务2：设用甲方法裁剪m张纸板，用乙方法裁剪n张纸板， (m、n为整数)，由于一个纸盒需要2个小正方形和3个小长方形，设能搭成a个纸盒，则得到两个约束条件，再分类讨论即可； 任务3：设22张大正方形纸板采用甲方法裁剪张，则采用乙方法裁剪张．则小长方形有：张，小正方形有：张，因为小长方形和小正方形纸板恰好全部用完，所以，即，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得小正方形纸板的边长是， 所以横式无盖纸盒的体积; 任务2：设用甲方法裁剪m张纸板，用乙方法裁剪n张纸板， (m、n为整数)， ∵一张甲方法裁剪的纸板有1个小正方形和5个小长方形，一张乙方法裁剪的纸板有4个小正方形和4个小长方形，则小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵一个纸盒需要2个小正方形和3个小长方形，设能搭成a个纸盒，则 当时，小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵， ∴最多能搭成4个纸盒； 当时，小正方形总数为个，小长方形总数为个， ∵，， ∴最多能搭成4个纸盒， ∴2张乙方法裁剪，1张甲方法裁剪（或3张都是乙方法裁剪），最多可以得到4个盒 子 任务3：设22张大正方形纸板采用甲方法裁剪张，则采用乙方法裁剪张． 则小长方形有：张， 小正方形有：张， 因为小长方形和小正方形纸板恰好全部用完， 所以，即， 因为是整数，， 所以，的最小值是11， 此时，甲方法裁剪11张，则采用乙方法裁剪11张． 题型14 根据实际问题列二元一次方程组 1．（2026·浙江台州·二模）我国古代数学名著《九章算术》中记载“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”意思是说“今有多人共买一物，若每人出8钱，则多3钱；若每人出7钱，则少4钱，问人数和物价各多少？”设人数为x人，物价为y钱，则可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设人数为x人，物价为y钱，可列方程组为： . 2．（2026·浙江·模拟预测）一早餐店主营牛奶、饭团和面包，其店内海报如图．某日该早餐店准备了150杯牛奶，100个饭团和160个面包，全部售出后当天总收入为1500元．已知两种套餐售出数量恰好相等，记为a份，单独售出牛奶m杯，饭团n个，面包p个，则下列等式错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：套餐①和套餐②各一杯牛奶，共杯，单独售出牛奶m杯， ∴，A选项正确，不符合题意； 套餐①一个饭团，共个，单独售出饭团n个， ∴，B选项正确，不符合题意； 套餐②两个面包，共个，单独售出面包p个， ∴，C选项正确，不符合题意； 总收入等于套餐①、套餐②的收入加上单独售出的收入， 即， D选项错误，符合题意． 3．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）我国古代《算法统宗》里有这样一首诗：“我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．”诗中后两句的意思是：如果每一间客房住7人，那么有7人无房住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间客房．设该店有客房间、房客人，下列方程组中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题根据题意，从两种住宿方案中分别找出总人数的等量关系，列出二元一次方程组，即可得到正确选项． 【详解】解：设该店有客房间，房客人． ∵ 每间客房住7人时，有7人无房住，总人数满足 ． 又∵ 每间客房住9人时，空出一间客房，即只有间房住人，总人数满足 ． ∴ 可得方程组 ． 题型15 分配问题 1．（23-24七年级下·浙江金华·期中）现用180张铁皮制作一批盒子，每张铁皮可做6个盒身或做20个盒底，而一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子．问用多少张白铁皮制盒身、多少张白铁皮制盒底，可以使盒身和盒底正好配套．设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套，则可列方程是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系进行列方程． 设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，根据一个盒身和两个盒底配成一个完整的盒子，盒身与盒底正好配套可知盒底是盒身的两倍，故可列出二元一次方程组． 【详解】解：设用张铁皮做盒身，y张铁皮做盒底，可以使盒身与盒底正好配套， 列方程为， 故选B． 2．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）某市无偿捐助新鲜蔬菜运往灾区，现有甲、乙、丙三种车型供选择，每辆车的运载能力和运费如表所示：（假设每辆车均满载） 车型 甲 乙 丙 汽车运载量（辆） 汽车运费（元辆） (1)全部蔬菜可用甲型车辆，乙型车辆，丙型车___________辆来运送； (2)若全部蔬菜都用甲、乙两种车型来运送，需运费元，问分别需甲、乙两种车型各几辆？ 【答案】(1) (2)需甲车型辆，乙车型辆 【分析】（）根据丙型车需要的运载量除以每一辆丙型汽车运载量即可得出丙型车的数量； （）设分别需甲、乙两种车型辆，辆，由题意得，然后解方程组即可； 【详解】（1）解：丙型车的数量为（辆）， （2）解：设分别需甲、乙两种车型辆，辆， 由题意得， 解得， 答：需甲车型辆，乙车型辆； 3．（23-24七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸．每张可分别做几面小旗子． (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，正好赶上商场促销活动：买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．学校计划用这两种卡纸共同做60面小旗子． ①制作过程中，若A、B卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，则做这些小旗子需要两种卡纸各多少张，并求出最低采购费用． ②由于艺术节实际需要，现须用卡纸再做灯笼42个．已知一张A、B卡纸可分别做灯笼3个和2个．请你结合方案评价表直接在表格中写出一种小旗子、小灯笼的制作数量方案（同一张卡纸只能做同一类手工，即不能既做小旗子又做小灯笼）． 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 【答案】(1)A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子． (2)①购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元．②填表见解析 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用，理解题意，确定相等关系是解本题的关键． （1）设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面，再建立方程组解题即可； （2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，可得，整理得，再利用方程的正整数解进一步可得答案；②由买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸．可得尽可能多买A卡纸，当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张，此时费用为，设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，再建立方程组可得答案． 【详解】（1）解：设A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子，则 ， 解得：， ∴A卡纸每张可做面小旗子，B卡纸每张可做面小旗子． （2）①设购买A卡纸张，B卡纸张，则赠送了B卡纸张，则 ， ∴， ∴， ∵，为正整数， ∴或， ∵A卡纸每张4元，B卡纸每张3元， 当时，则费用为（元）， 当时，则费用为（元）， ∴购买A卡纸6张，B卡纸4张，费用最低为元． ②∵买一张A卡纸，就赠送一张B卡纸． ∴尽可能多买A卡纸， 当购买A卡纸张，则赠送B卡纸张， 此时费用为， 设A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼， ∴， 解得：， ∴A卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼，B卡纸张有张做小旗子，张做小灯笼， 制作分配方案如下： 由A卡纸制作 由B卡纸制作 小旗子（面） 小灯笼（个） 小旗子（面） 小灯笼（个） 方案评价表 方案等级 采购费用 制作中卡纸使用情况 评分 优秀 低于65元 两种卡纸均无余料剩余 3分 良好 低于65元 两种卡纸均有余料剩余 2分 合格 低于65元 仅一种卡纸有余料剩余 1分 题型16 图表信息题 1．（2024·浙江宁波·模拟预测）某公司有一批货物需要分别寄到上海和北京．某快递公司规定：寄件不超过1千克的部分按起步价计费；寄件超过1千克部分的按千克计费．收费标准及实际收费如表： 收费标准 目的地 起步价（元） 超过1千克的部分（元/千克） 上海 a b 北京 实际收费 目的地 质量（千克） 费用（元） 上海 2 10 北京 3 23 则_____， _____． 【答案】 8 2 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键，根据寄往上海和北京的快递的质量及所需费用，即可得出关于a，b的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：根据题意：， 解得：， 故答案为：8，2． 2．（24-25七年级下·浙江温州·月考） 制作更多的罐头 素材一 原材料是边长为8分米的正方形铝皮 素材二 通过两种方式裁剪，制作如图所示的罐头（罐头封扣处损耗忽略不计）    圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 任务一 （1）填空：现在有21张铝皮，若使用裁法一剪裁的有x张，裁法二剪裁的y张，请根据素材，完成表格； 任务二 （2）结合任务一，将裁剪出的圆形和长方形材料用于制作铝制罐头（上下盖均为圆形，侧面为长方形）且裁剪出的材料恰好用完，则最多可以做多少个罐头？ 任务三 （3）若在2024年年终盘点库存时，发现库存中还剩长方形材料40张，在新的一年，对原材料购买时，至少应该买_____张正方形铝皮，才能将库存一次性用完．（直接写出答案） 【答案】（1）见解析；（2）56个；（3）20 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程（组）是解题的关键． （1）根据题意列出代数式，即可完成表格； （2）根据题意，列出关于的方程组，求出的值，即可解答； （3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少，设买张正方形铝皮，根据题意列出方程，求出的值，即可解答． 【详解】解：（1）根据素材，完成表格如下： 圆形材料 长方形材料 裁法一 裁法二 合计 （2）由题意得， 解得：， 则长方形材料有（张）， 因为1个铝制罐头需要2张圆形材料和1张长方形材料， 所以最多可以做56个罐头； （3）由素材二可知，使用裁法二剪裁得到的圆形材料更多，长方形材料更少， 设买张正方形铝皮，则圆形材料有张，长方形材料有张， 由题意得，， 解得：， 所以至少应该买20张正方形铝皮，才能将库存一次性用完． 故答案为：20． 3．（24-25七年级下·浙江台州·期末）近年来，“低空经济”越来越得到国家重视，无人机长距离海岛场景物流运输逐渐兴起，海鲜1小时到达市民餐桌成为了现实．一家快递公司利用无人机将某海岛黄鱼运输到指定陆地驿站，该快递公司有大小两款无人机可供选择，每款无人机单次运输价格相同，以下表格统计了试运营前两天的运营状况． 大无人机运输次数（单） 小无人机运输次数（单） 营收（元） 第一天 4 20 3600 第二天 8 28 5760 (1)求大小两款无人机的单次运输价格； (2)正式运营后，快递公司开展促销活动，第一天大无人机共营收5100元，小无人机共营收4320元，且小无人机运输次数是大无人机的两倍，已知大无人机实行八五折优惠，求小无人机的优惠折扣； (3)在（2）的折扣下，某两天大无人机共运营单，小无人机共运营单，这两天平均每单的运输营收比试运营那两天多了1元． ①求和的数量关系； ②若这两天两款无人机总营收是打折前小无人机单次运输价格的整数倍，则这两天总营收的最小值为多少元？ 【答案】(1)大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元； (2)小无人机实行九折优惠； (3)①；②这两天总营收的最小值为18840元． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次方程的应用以及整数倍数问题，解题的关键是根据题目中的数量关系，准确列出方程或方程组，结合实际情况求解． （1）设未知数，根据两天营收列方程组求解单价； （2）先求大无人机运输次数，再得小无人机运输次数，进而求出折扣； （3）①分别算出试运营和当前的平均每单营收，列等式得出a 和b 的关系；②根据总营收是 120 的整数倍，结合a、b关系求最小值． 【详解】（1）解：设大无人机单次运输价格为元，小无人机单次运输价格为元． 根据题意，得： 得：，解得． 把代入①，得，解得． 所以原方程组的解是 答：大无人机单次运输价格为300元，小无人机单次运输价格为120元． （2）解：大无人机实行八五折优惠，其打折后的单价为（元）． 大无人机共营收5100元，则大无人机运输次数为（次）． 因为小无人机运输次数是大无人机的两倍，所以小无人机运输次数为 （次）． 小无人机共营收4320元，则打折后的单价为元． ； 答：小无人机的优惠折扣为九折． （3）①试运营两天总营收为 元，总运输次数为次，试运营平均每单营收为元． 在（2）的折扣下，大无人机单价255元，小无人机单价108元，这两天总营收为，总运输次数为． ∵这两天平均每单的运输营收比试运营多了1元， ∴，则， 化简得：，即 ， ∴． ②  由①知，这两天总营收为． 打折前小无人机单次运输价格为120元， ∵总营收是120的整数倍，即为整数，，， ∴ 为整数， 又∵ 157 是质数， ∴a是40的倍数，a的最小值为40． 则总营收的最小值为元． 答：这两天总营收的最小值为18840元． 题型17 几何问题 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，在长方形中，放入六个形状大小相同的长方形，所标尺寸如图所示，则图中阴影部分面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先列方程组求出长方形的长宽，再用割补法求阴影部分面积即可． 【详解】解：设小长方形的长为、宽为， 根据题意得，，解得：， ∴小长方形的长为、宽为， ∴阴影部分的面积是：． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）有两张等宽的长方形纸条，长分别为a，b．如图，将长为的纸条的与长为的纸条的叠合在一起，形成长为90的纸条，则__________． 【答案】110 【分析】根据纸条的总长度为90，列出方程组，解方程组，得出，最后求出的值即可． 【详解】解：根据题意得：， 解得：， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，在长为7，宽为5的长方形中，放入5个形状和大小完全相同的小长方形（不重叠无缝隙），则小长方形的周长为________． 【答案】8 【分析】设小长方形的较长边长为x，另一边长为y，根据长方形的长为7，宽为5，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设小长方形的较长边长为x，另一边长为y， 由题意得：， 解得：， ∴， 即小长方形的周长为8． 题型18 方案问题 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）根据以下素材，探索完成任务． 设计奖品购买及获奖人数方案 我校举办“数学文化节”活动，对获奖同学进行表彰奖励，分别设置一等奖、二等奖和三等奖．学校准备购买若干定制笔记本与定制水笔作为奖品，需考虑奖品购买方案及获奖人数． 素材1 已知购买1包定制笔记本与4盒定制水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒定制水笔需要480元． 素材2 学校用1050元购买若干包定制笔记本与若干盒定制水笔两种奖品． 素材3 （1）1包定制笔记本有10本笔记本，1盒定制水笔有6支水笔． （2）计划设置获奖总人数为人，二等奖获奖人数是一等奖的2倍． （3）一等奖：1本笔记本，1支水笔．二等奖：1本笔记本．三等奖：1支水笔． 问题解决： (1)求出1包定制笔记本与1盒定制水笔的价格． (2)若用完1050元购买两种奖品，可以购买几包定制笔记本与几盒定制水笔？写出购买方案． (3)在任务2中购买的奖品恰好全部发完，求的值．（直接写出答案） 【答案】(1)一包定制笔记本为150元，一盒定制水笔为60元 (2)购买5包定制笔记本、5盒定制水笔，或3包定制笔记本、10盒定制水笔，或1包定制笔记本、15盒定制水笔 (3)80 【分析】（1）设一包定制笔记本的价格为x元，一盒定制水笔的价格为y元，根据购买1包定制笔记本与4盒水笔需要390元；购买2包定制笔记本与3盒水笔需要480元；列出二元一次方程组，解方程组即可； （2）设购买a包定制笔记本，b盒定制水笔，根据用完1050元购买两种奖品，列出二元一次方程，求出正整数解，即可得出结论； （3）设一等奖获奖人数为n人，则二等奖获奖人数为人，则三等奖获奖人数为人，分三种情况，根据题意分别列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设一包定制笔记本的价格为x元，一盒定制水笔的价格为y元， 根据题意得：， 解得：， 答：一包定制笔记本的价格为150元，一盒定制水笔的价格为60元； （2）解：设购买a包定制笔记本，b盒定制水笔， 根据题意得：， 整理得：， ∵a、b为正整数， ∴或或， ∴购买方案有3种： 方案一：购买5包定制笔记本，5盒定制水笔； 方案二：购买3包定制笔记本，10盒定制水笔； 方案三：购买1包定制笔记本，15盒定制水笔； （3）解：设一等奖获奖人数为n人，则二等奖获奖人数为人，则三等奖获奖人数为人， 根据奖品发放规则可知，所需笔记本总数为（本），所需水笔总数为（支）， 根据题意可知，购买笔记本包，购买水笔盒， 分三种情况： ①按方案一购买（5包定制笔记本，5盒定制水笔）， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去； ②按方案二购买（3包定制笔记本，10盒定制水笔）， 根据题意得：，， 解得：，，符合题意； ③按方案三购买（1包定制笔记本，15盒定制水笔）， 根据题意得：， 解得：，不符合题意，舍去； 综上所述，m的值为80． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）综合与实践 为传承红色基因，培育爱国情怀，某校计划组织名师生前往红色教育基地开展研学实践活动，需租用型、型两种大巴车，相关信息如下： ①若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生； ②型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人； ③两种大巴车的最大载客人数和日租金如下表所示： 型号 最大载客人数 日租金（元） 请根据上述信息，完成下列任务： (1)【任务1】求和的值． (2)【任务2】学校计划同时租用型大巴车和型大巴车（两种车型均至少租用辆），且恰好坐满名师生．问共有几种租车方案？并指出其中最省钱的方案和所需的租金． (3)【任务3】若租车公司推出“研学特惠”活动，即型大巴车日租金降为元/辆，型大巴车日租金为元/辆．学校计划用元租用大巴车，且全部用完，且能载名师生．请问学校的计划能实现吗？如果可以，直接写出租车方案；如果不行，请说明理由． 【答案】(1) ， (2) 共有种租车方案，最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元 (3) 能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆 【分析】（1）根据若租用型大巴车辆、型大巴车辆，则还差个座位可载满全部师生；型大巴车每辆的最大载客人数比型大巴车每辆的最大载客人数的倍少人；列二元一次方程组求解； （2）设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆，根据租车的数量是整数，可知共有种租车方案，分别计算出种方案所需费用，通过比较得出最省钱的租车方案； （3）由（2）可知共有种租车方案：分别计算出降价后种租车方案所需租金，得到符合要求的租车方案． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：， 答：型号大巴车最大载客数为人，型号大巴车最大载客数为人； （2）解：设租用辆型大巴车，则需要租用型大巴车辆， 为整数且， 解得：， 且为整数， 当时，， 当时，， 共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； ， 最省钱的方案是租用型大巴车辆，型大巴车辆，所需租金为元； （3）解：由（2）可知共有种租车方案： 方案一、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 方案二、租用型大巴车辆，型大巴车辆， 所需租金为（元）； 学校的计划能实现，租车方案为租用型大巴车辆，型大巴车辆． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）2024年春晚名为《武BOT》的机器人舞蹈，凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下： 信息一 型机器人台数 型机器人台数 总费用（单位：万元） 2 3 340 3 2 360 信息二 型机器人每台每天可分拣快递22万件；型机器人每台每天可分拣快递18万件． (1)求两种型号智能机器人的单价； (2)现该企业准备购买两种型号智能机器人（都有），费用恰好用完800万元，请写出所有符合情况的方案，并选择哪种购买方案，能使每天分拣快递的件数最多？ 【答案】(1)A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元 (2)符合条件的方案有三种：①购买A型1台，B型12台；②购买A型4台，B型8台；③购买A型7台，B型4台，购买A型智能机器人1台，B型智能机器人12台时，每天分拣快递的件数最多 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用和二元一次方程的特殊求解，解题的关键是理解题意，正确列出二元一次方程组． （1）设两种型号智能机器人的单价分别为，万元，根据题意，列出二元一次方程组，求解即可； （2）设购买两种型号智能机器人分别为，台，根据题意列出方程，再根据，为正整数，求解即可． 【详解】（1）解：设两种型号智能机器人的单价分别为，万元, 根据题意可得，，解得， 答：A型智能机器人的单价为80万元，B型智能机器人的单价为60万元； （2）解：设购买两种型号智能机器人分别为，台， 由题意可得，， 化简可得，，即， 又∵，为正整数， ∴符合条件的，如下： ，，此时每天分拣快递的件数为（万件）； ，，此时每天分拣快递的件数为（万件）； ，，此时每天分拣快递的件数为（万件）； ∵， ∴，时，每天分拣快递的件数最多， 答：符合条件的方案有三种：①购买A型1台，B型12台；②购买A型4台，B型8台；③购买A型7台，B型4台，购买A型智能机器人1台，B型智能机器人12台时，每天分拣快递的件数最多． 题型19 数字问题 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）宋代数学家杨辉称“幻方”为“纵横图”，传说最早出现的幻方是夏禹时代的“洛书”，杨辉的著作《续古摘奇算法》中总结了“洛书”的构造．在如图所示的三阶幻方中，每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，则的值是（　　） A． B．0 C．1 D．3 【答案】B 【分析】首先根据“每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等”列方程组求出，然后求出第一行三个数之和和中间的数，进而求解即可． 【详解】解：根据题意得，， 解得， ∴，， ∴的值是． 2．（2026·浙江湖州·模拟预测）若一个两位数十位上的数字是m，个位上的数字是n，则这个两位数可记作，即．已知，，则两位数的数值是____． 【答案】63 【详解】解：由题意得，， ∵， ∴， 整理得 ，即， 联立得方程组 ， 将两个方程相加得，， 解得，， 把代入，得， ∴． 3．（22-23七年级下·浙江绍兴·期中）已知代数式，当时，它的值为4；当时，它的值为，则________，________． 【答案】 5 【分析】根据题意列二元一次方程组求解即可． 【详解】解：由题意可得， 解得：． 题型20 销售利润问题 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）某体育用品商场销售A，B两款足球，售价和进价如表： 类型 进价（元/个） 售价（元/个） A款 m 120 B款 n 90 若该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；若该商场购进10个A款足球和15个B款足球需1700元． (1)求m和n的值； (2)某校在该商场一次性购买A款足球x个和B款足球y个，共消费3300元，那么该商场可获利多少元？ (3)若某日该商场售出A、B两款足球盈利600元，则该商场当日售出A、B两款足球各多少个？（每款都有销售）请写出所有情况． 【答案】(1)m的值为80，n的值为60； (2)该商场可获利1100元； (3)该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 【分析】（1）根据“该商场购进5个A款足球和12个B款足球需1120元；购进10个A款足球和15个B款足球需1700元”，可得出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出m，n的值； （2）利用销售总价等于销售单价乘以销售数量，可得出关于x，y的二元一次方程，再在方程的两边同时除以3，即可求出结论； （3）设该日商场销售a个A款足球，个B款足球，利用总利润等于每个的销售利润乘以销售数量，可得出关于a，b的二元一次方程，结合a，b均为正整数，即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， 答：m的值为80，n的值为60； （2）解：根据题意得：， ∴， ∴． 答：该商场可获利1100元； （3）解：设该商场当日售出A款足球a个，B款足球b个， 根据题意得：， 整理得：， 又∵a、b均为正整数， ∴或或或， ∴该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个； 答：该商场当日售出A款足球3个，B款足球16个或A款足球6个，B款足球12个或A款足球9个，B款足球8个或A款足球12个，B款足球4个． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）某中学拟组织全校师生外出春游．下面是活动过程中几位老师的对话． 情境 信息 租车环节 李老师：客运公司有50座的大巴车和30座的中巴车可供租用，我们八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计9000元，且每辆车租车的空位不超过1个． 赵老师：九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计8000元，且每辆车的空位不超过2个． 购票环节 旅行社面向团队游客推出的收费标准如下： 人数 收费标准（元/人） 40 30 15 赵老师；如果九年级师生和八年级师生分别组团购票共需花费20100元；若两个年级联合组团只需花费13800元． 根据以上信息，解决春游中的相关问题： (1)问题1：大巴车和中巴车每辆每天的租金分别是多少元？ (2)问题1：八、九年级各有多少人参加春游？ 【答案】(1)大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元 (2)八年级有人参加春游，九年级有人参加春游 【分析】（1）设大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元，利用八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，一天的租金共计元，九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，一天的租金共计元，列方程组求解即可； （2）根据题意得出八年级人数，九年级人数，设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游，情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解；情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数，此时九年级人数，两年级总人数大于，根据题意列方程求解即可． 【详解】（1）解：设大巴车每辆每天的租金为，中巴车每辆每天的租金为， 根据题意，得：， 解得：， 答：大巴车每辆每天的租金为元，中巴车每辆每天的租金为元； （2）解：∵八年级师生租了6辆大巴车和7辆中巴车，且每辆车的空位不超过1个， ∴八年级师生人数范围为八年级人数， 即八年级人数， ∵九年级师生租用4辆大巴车和8辆中巴车，且每辆车的空位不超过2个， ∴九年级师生人数范围为九年级人数， 即九年级人数， 设八年级有人参加春游，九年级有人参加春游， 情况一：当八年级人数小于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：，方程无解； 情况二：当八年级人数大于等于时，即八年级人数， 此时九年级人数，两年级总人数大于， 由题意，得：， 方程化简得：， 解得：， 经检验符合题意， 综上，八年级有人参加春游，九年级有人参加春游． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）根据如表素材，探索完成任务． 背景 观成中学在组织开展数学节活动时，去奶茶店购买A、B两种款式的奶茶作为奖品． 素材 若买10杯A款奶茶，5杯B款奶茶，共需160元； 若买15杯A款奶茶，10杯B款奶茶，共需270元． 请利用二元一次方程相关知识解决以下问题： (1)A款奶茶和B款奶茶的销售单价各是多少元？ (2)李老师计划正好用200元购买A、B两种款式的奶茶（两种都要），请求出所有符合题意的购买方案？ 【答案】(1)A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元 (2)符合题意的购买方案有3种：购买A种款式的奶茶14杯，购买B种款式的奶茶5杯；购买A种款式的奶茶10杯，购买B种款式的奶茶8杯；购买A种款式的奶茶2杯，购买B种款式的奶茶15杯 【分析】（1）设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元，根据素材内容列方程组求解即可； （2）设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯，根据“正好用200元购买A、B两种款式的奶茶”列出二元一次方程，进而根据m、n均为正整数找出符合题意的购买方案即可． 【详解】（1）解：设A款奶茶的销售单价是x元，B款奶茶的销售单价是y元， 由题意得：， 解得：，     答：A款奶茶的销售单价是10元，B款奶茶的销售单价是12元； （2）解：设购买A种款式的奶茶m杯，购买B种款式的奶茶n杯， 由题意得：， 整理得：， ∵m、n均为正整数， ∴或或， ∴符合题意的购买方案有3种： ①购买A种款式的奶茶14杯，购买B种款式的奶茶5杯； ②购买A种款式的奶茶8杯，购买B种款式的奶茶10杯； ③购买A种款式的奶茶2杯，购买B种款式的奶茶15杯． 题型21 和差倍分问题 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，矿泉水每瓶4元，运动饮料每瓶12元．设矿泉水瓶，运动饮料瓶，正确方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据班级运动会购买矿泉水与运动饮料共花费520元买50瓶饮品，列出二元一次方程组即可． 【详解】解：由题意得：， 故选：C． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）为表彰优秀，七班用一批笔记本奖励期中考试优秀的同学．若每人奖励本，还剩本；若每人奖励本，还差本，问七班期中考试优秀的同学有多少人，一共有多少本笔记本？ 【答案】七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本． 【分析】设七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本，根据“若每人奖励本，还剩本”可列出方程，再根据“若每人奖励本，还差本”可列出方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本， 根据题意得， 解得： 答：七班期中考试优秀的同学有人，一共有本笔记本． 3．（25-26七年级下·浙江·期中）2025年，“浙”火出圈，从城市到乡村，从球场到街巷，席卷了整个之江大地．“浙”把浙江各地的文化元素都串联了起来，让其成为外界了解“诗画江南、活力浙江”的鲜活窗口．一张小小的门票，撬动文旅消费走向更广阔的市场，小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元． (1)请你求出A，B两款门票的价格； (2)某校计划组织校篮球队去观摩学习，准备花费360元购买A，B两款门票（两款门票均购买），且门票总数不少于15张，请你列出该校所有可能的购票方案． 【答案】(1)A门票每张20元，B门票每张30元 (2)①购买A门票15张，B门票2张；②购买A门票12张，B门票4张；③购买A门票9张，B门票6张； 【分析】（1）设门票每张元，门票每张元，根据小李买4张A款门票和1张B款门票共计花了110元，小张买5张A款门票和6张B款门票共计花了280元，列出方程组，解方程组即可； （2）设购买门票张，门票张，根据准备花费360元购买A，B两款门票，列出二元一次方程，求方程的正整数解，再根据门票总数不少于15张，舍去不符合题意的解即可． 【详解】（1）解：设门票每张元，门票每张元． 由题意得：， 解得， 答：门票每张20元，门票每张30元． （2）解：设购买门票张，门票张，由题意得： ，     ， ∵都是正整数， 取 ， ∴该校所有可能的购票方案如下：①购买门票15张，门票2张； ②购买门票12张，门票4张； ③购买门票9张，门票6张． 题型22 古代问题 1．（2026·浙江台州·二模）古籍《算法统宗》中记载：“今有绫七尺，罗九尺，共价适等；只云罗每尺价比绫每尺少钱三十六文，问各钱价若干？”意思是：现在有一匹7尺长的绫布和一匹9尺长的罗布，它们的总价恰好相等；只知道每尺罗布比每尺绫布便宜36文钱．问绫布和罗布每尺各多少钱？设绫布每尺价格为文，罗布每尺价格为文，则可列方程组为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，一匹7尺绫布和一匹9尺罗布价格相等，可得方程；每尺罗布比绫布便宜36文，可得方程，即可解答． 【详解】解： 由“绫七尺，罗九尺，共价适等”得， 由“罗每尺价比绫每尺少钱三十六文”得， 故方程组为． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）《九章算术》中记载了这样的问题：六鸡、七鸭共重24千克，鸡重鸭轻，互换其中一只，恰好一样重．问：每只鸡、鸭平均各重多少千克？设每只鸡平均重千克，每只鸭平均重千克，根据题意可列出方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由题意可得方程． 3．（2026·浙江温州·一模）清朝时期的课本《代微积拾级》中用“”来表示相当于的代数式．若“”的值为,“”的值为，则“天”与“地”的和为______． 【答案】 【详解】解：设“天”与“地”分别为，， 由题意得：，整理得：， 得：， ∴， ∴“天”与“地”的和为． 题型23 二元一次方程的其他应用问题 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，某校的饮水机有温水、开水两个按钮．利用图中信息解决下列问题： 物理常识 开水和温水混合时会发生热传递，开水放出的热量等于温水吸收的热量，可以转化为“开水的体积开水降低的温度温水的体积温水升高的温度．” (1)王老师拿空水杯先接了的温水，又接了的开水，刚好接满，且水杯中的水温为． ①王老师的水杯容量为_ ； ②接入水杯的温水吸收的热量为_ （用含t的代数式表示）． (2)小Q同学拿空水杯先接了一会儿温水，又接了一会儿开水，得到一杯体积为，温度为的水（不计热损失），求小Q同学的接水时间． 【答案】(1)①400；② (2)小Q同学的接水时间为 【分析】（1）分别求出接温水的体积和接开水的体积，二者求和即可得到答案；②用接温水的体积乘以温水升高的温度即可得到答案； （2）设小Q同学接温水的时间为，接开水的时间为，根据一共接水，且水温为建立方程组求解即可． 【详解】（1）解：①， ∴王老师的水杯容量为； ②， ∴接入水杯的温水吸收的热量为； （2）解：设小Q同学接温水的时间为，接开水的时间为， 由题意得，， 解得， ∴， 答：小Q同学的接水时间为． 2．（25-26七年级下·浙江台州·期中）某市为了鼓励居民节约用水，对自来水用户按分段计费方式收取水费：若每月用水不超过10吨，则按每吨a元收费；若每月用水超过10吨，则超过部分按每吨b元收费（）． (1)已知小明家3月份用水12吨，交水费26元；4月份用水15吨，交水费35元．求a和b的值． (2)到了5月份，为了应对旱情，自来水公司调整了收费标准：超过10吨但不超过20吨的部分，每吨加收1元的污水处理费，超过20吨的部分每吨加收2元污水处理费．已知小明家5月份和6月份用水都超过20吨，且6月份的用水量比5月份多10吨．若这两个月的水费总和为192元，求小明家5月份和6月份各用水多少吨？ 【答案】(1) (2)小明家5月份用水22.2吨，6月份用水32.2吨 【分析】（1）根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得出结果； （2）设小明家5月份用水吨，则6月份用水吨，根据题意列出一元一次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：由题意可得方程组， 得， 故③， 把③代入①得， 故方程组的解为； （2）解：设小明家5月份用水吨，则6月份用水吨，， 根据题意得方程：， 解得：， 则6月份用水量为：（吨）． 答：小明家5月份用水22.2吨，6月份用水32.2吨． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）有A、B两种卡纸，可用来做小旗子，若1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面． (1)求A、B两种卡纸每张可分别做几面小旗子？ (2)由于艺术节场地布置的需要，某学校打算采购A、B两种卡纸．A卡纸每张4元，B卡纸每张3元，学校计划用这两种卡纸共同做52面小旗子，在制作过程中，若A、B两种卡纸恰好充分利用，没有余料剩余，请求出学校共有几种采购方案，并写出采购总费用最低的方案是多少元？ 【答案】(1) 每张A卡纸可做5面小旗子，每张B卡纸可做3面小旗子； (2) 共有3种采购方案，采购总费用最低为44元． 【分析】（1）设A、B两种卡纸每张可分别做面，面小旗子，根据1张A卡纸和1张B卡纸共能做小旗子8面，2张A卡纸和3张B卡纸共能做小旗子19面．列出二元一次方程组，求解即可； （2）设采购A卡纸张，采购B卡纸张，均为非负整数，根据计划用这两种卡纸共同做52面小旗子列出二元一次方程，得到，再求出，根据为正整数，且是3的非负整数倍，求出符合条件的解，可得共3种采购方案，分别求出费用即可解答． 【详解】（1）解：设A、B两种卡纸每张可分别做面，面小旗子， 根据题意，得， 解得， 答：每张A卡纸可做5面小旗子，每张B卡纸可做3面小旗子； （2）解：设采购A卡纸张，采购B卡纸张，均为非负整数， 根据题意得，整理得， 又为非负整数，且是3的非负整数倍， 符合条件的解为，，， 共3种采购方案， 当时，费用为（元）； 当时，费用为（元）； 当时，费用为（元）； ∵， ∴采购总费用最低为44元， 答：学校共有3种采购方案，采购总费用最低为44元． 题型24 三元一次方程组 1．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）小明去商店购买盒子，若A、B、C三种型号的盒子各买一个共需花费9元，若购买5个型盒子、3个型盒子、1个型盒子共需花费20元，那么一个型盒子比一个型盒子贵____元． 【答案】 【分析】设、、三种型号盒子的单价分别为元，元，元，根据题意列出三元一次方程组，利用加减消元法消去，即可得到的值，从而得到答案． 【详解】解：设、、三种型号盒子的单价分别为元，元，元， 由题意得， 得， ∴，即， ∴一个型盒子比一个型盒子贵元． 2．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）若是从1，0，这三个数中取值的一列数，，，问中有______个0． 【答案】133 【分析】本题考查了数字规律题，三元一次方程组的应用，根据题意找出规律列方程组是解题关键．设1，0，这三个数的各数分别为、、，利用总个数为建立方程，根据这三个数的特点，由总和得出，由平方和得出，再解三元一次方程组即可． 【详解】解：设1，0，这三个数的各数分别为、、， 根据题意得：， 由得：， 由得：， 解得：， 将代入得：， 解得：， 即中有133个0， 故答案为：133． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）2026年是中国农历马年，以生肖马为主题的玩偶凭借可爱的形象“圈粉”无数．某商店销售甲、乙、丙三种型号以马为主题的生肖玩偶，已知购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元，购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶的总价格为元． (1)若丙型玩偶的单价为元，求甲、乙两种型号玩偶的单价各是多少元？ (2)在（1）的条件下，某班级计划用元全部购买甲、乙两种型号玩偶（两种玩偶都要有）作为班级活动的奖品，请问该班级有几种购买方案？ (3)某班级计划购买只甲型玩偶、只乙型玩偶和只丙型玩偶给班级的位学生每人一只玩偶，请问该班级共需花费多少元？ 【答案】(1)甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元 (2)一共有四种购买方案 (3)该班级共需花费元 【分析】（1）设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组，即可求解； （2）设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只，根据题意列出二元一次方程组，根据，都是正整数，确定方程的整数解，即可求解； （3）设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元，根据题意得出，共需花费，消去字母，即可求解． 【详解】（1）解：设甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元．   由题意得 解得 答：甲、乙两种型号玩偶的单价分别为元，元． （2）解：设甲、乙两种型号玩偶的分别购买只，只．   由题得 ， 化简得， ∴ ， 因为，都是正整数， 所以方程有4个正整数解， 分别为，，， 所以一共有四种购买方案． （3）解：设甲、乙、丙三种型号玩偶的单价分别为元，元，元．   由题意得， 解得， 共需花费 （元） ， 答：该班级共需花费元． / 学科网（北京）股份有限公司 $