专题01 相交线与平行线全章25大题型（期末复习专项训练）七年级数学下学期新教材浙教版

**基本信息** 以概念理解为基础，性质应用为核心，综合探究为提升，系统覆盖相交线与平行线全考点，分层突破重点难点 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念理解|题型1-8|选择填空为主，考查对顶角、垂线等定义辨析|从图形识别到概念内涵，构建几何基础认知| |性质应用|题型9-15|结合生活情境，重点考查平行线性质与判定|性质与判定互逆推导，形成逻辑推理链| |综合探究|题型16-20|解答题为主，涉及动态几何与多结论证明|从单一性质到综合应用，培养数学思维| |平移|题型21-25|作图与实际应用结合，考查平移性质|从现象识别到定量计算，体现数学应用意识|

专题01 相交线与平行线 题型01 对顶角的定义 题型14 两直线平行内错角相等（重点） 题型02 对顶角相等（常考点） 题型15 两直线平行同旁内角互补（重点） 题型03 垂线的定义理解 题型16 根据平行线性质探究角的关系（难点） 题型04 垂线段最短（常考点） 题型17 根据平行线性质求角的度数（难点） 题型05 点到直线的距离（常考点） 题型18 平行线的性质在生活中的应用（难点） 题型06 同位角、内错角、同旁内角 题型19 根据平行线判定与性质求角度（难点） 题型07 用直尺、三角板画平行线 题型20 根据平行线判定与性质证明（难点） 题型08 平行公理的应用（常考点） 题型21 生活中的平移现象 题型09 同位角相等两直线平行（重点） 题型22 图形的平移 题型10 同一平面内垂直同一直线的两直线平行（重点） 题型23 根据平移的性质求解（难点） 题型11 内错角相等两直线平行（重点） 题型24 利用平移解决实际问题（难点） 题型12 同旁内角互补两直线平行（重点） 题型25 平移（作图） 题型13 两直线平行同位角相等（重点） 题型01 对顶角的定义 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）下列选项中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列图形中与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 题型02 对顶角相等 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为______． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，相交于点O．若，则______． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角的度数，某人设计了如下测量方案：作的延长线，量出的度数，即为的度数．这个测量方案的数学依据是________． 题型03 垂线的定义理解 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列命题错误的是（    ）． A．两点确定一条直线． B．两点之间，线段最短． C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知直线相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为________． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，，比大，则_______度． 题型04 垂线段最短 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，小吴，小越，小临和小安四位同学各自打算从位于点A的学校步行出发，分别沿，，，的路径前往位于所在直线的苕溪边，假设四位同学步行速度相同，则用时最少的是（    ） A．小吴 B．小越 C．小临 D．小安 题型05 点到直线的距离 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，点A，B，C在直线l上，点M在直线l外，于点B，若，，，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 2．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，点A到的距离是图中某条线段的长，则这条线段是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 题型06 同位角、内错角、同旁内角 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，被直线所截，以下角中与是同旁内角的是（　　）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 题型07 用直尺、三角板画平行线 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图所示，在的方格纸中，点均在格点上，仅用直尺完成： (1)在图中过点作线段的垂线段，垂足为． (2)在图中过点作线段的平行线． 2．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）如图，在的网格中，点都在格点上，利用网格作图并回答问题． (1)在网格中找一格点，画直线，使；利用网格作的垂线，垂足为点，连接，； (2)线段__________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：__________（填、或），理由：__________． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，点P是内一点．（以下作图工具不限） (1)过点P画直线l平行于； (2)过点P画直线垂直，垂足为Q； (3)量出点P到的距离．（精确到） 题型08 平行公理的应用 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）下列说法中正确的个数为（    ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直． ②有且只有一条直线垂直于已知直线． ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25七年级下·浙江·期中）下列说法中，错误的个数是（    ） ①两条不相交的直线叫作平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④如果两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交． A．4 B．3 C．2 D．1 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）下列说法正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．两条不相交的直线是平行线 C．过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．平行于同一直线的两直线平行 题型09 同位角相等两直线平行 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，能判断直线的条件是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，已知点在上，，则下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件是(填序号)_________ 题型10 同一平面内垂直同一直线的两直线平行 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．对顶角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 2．（22-23七年级下·浙江温州·期中）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相________．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是___． 题型11 内错角相等两直线平行 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，不添加辅助线，写出一个能判断的条件：________． 题型12 同旁内角互补两直线平行 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线，被直线所截，下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）下列结论错误的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 题型13 两直线平行同位角相等 1．（2026·浙江衢州·一模）如图，一段管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，根据图形及上下文的含义进行推理并填空： (1)因为，根据：“两直线平行，同位角相等”，所以______； (2)因为______，根据：“______”，所以； (3)因为______，根据“______”，所以． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知：，求证：； 题型14 两直线平行内错角相等 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）两个直角三角形按如图1初始放置，，其中，此时与重合．当点从点出发沿射线方向滑动的同时，点在射线上滑动．滑动过程中，三角形不动，三角形形状、大小不变． (1)若，， ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，若点运动到延长线上时，连结，设．当时，求的值； (2)如图4，过点作射线交线段于点，设，在整个滑动过程中，若存在与三角形的某一边平行时，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）完成下面的证明： 如图，已知，，． 求证：． 证明： ①（_______②______） ③_______（_______④______） 即 ⑤（_________⑥__________） ⑦_____（_________⑧_________） 又 ． 题型15 两直线平行同旁内角互补 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列说法中正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，若，则_____． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，点C在上，，，请说明平分． 解：理由如下： ， ________（两直线平行，同位角相等）， ________（________）． ， ∴________， ∴CE平分（角平分线的定义）． 请你补全上述说理过程． 题型16 根据平行线性质探究角的关系 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，与相交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，求的度数． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点D与．作，使的两边与的两边分别平行． (1)按要求画出图形； (2)判断与有怎样的数量关系． 题型17 根据平行线性质求角的度数 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）一个人从点出发，沿北偏东的方向走到处，再从点处沿南偏西的方向走到点处，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）数学课上，同学们用和两条平行线展开探究，如图，，． (1)若． ①如图1，点落在、之间（不含在，上），求的度数； ②如图2，点落在上，作的平分线并反向延长交的平分线于点，求的度数； (2)如图3，点、落在上，点落在、之间，作直线、，分别交于点、，是边上的一点，连接，恰好平分，是射线上的一点，连接，若，设，，，直接写出、、之间的数量关系． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，，． (1)试说明的理由； (2)若，，求的度数． 题型18 平行线的性质在生活中的应用 1．（25-26七年级下·浙江·期中）如图①，有一个长方形纸条，，．如图②，将长方形沿折叠，与交于点，如图③，将四边形沿向上折叠，与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，车道与平行，若拐角，则拐角的大小为（   ） A． B． C． D． 题型19 根据平行线判定与性质求角度 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，凹镜面内有一光源，其发出的两束光线经过反射以后得到和，如果，则关于或下列说法中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图已知，有一块三角板，其中，，现将该三角板如图所示放置，使顶点始终落在上，过点作交于点． (1)如图1，若，则___________； (2)若的平分线交于点； ①如图2，是否存在，使得与同时成立，若存在请求出，若不成立，请说明理由． ②如图3，将三角板沿直线从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持不变，请探究与之间的数量关系． 题型20 根据平行线判定与性质证明 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）补全下列证明过程及括号内的推理依据： 如图，已知，于D，于F，，求证：平分． 证明：∵，（已知）． ∴_（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（_） （_）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴平分（_） 题型21 生活中的平移现象 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下面物体运动情况或图形，属于平移的是（　　） A．转动的风车 B．电梯的升降 C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列各汽车标志可以看作是由其中某部分图案平移得到的是（    ） A． B． C． D． 题型22 图形的平移 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列汉字或图案中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）下列各组运动项目图标，将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是(    ) A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，已知与互补．判断与是否垂直，并说明理由． 题型23 根据平移的性质求解 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，将沿方向平移到的位置．已知的周长是，四边形的周长是，则平移的距离为_____ ． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，将直线沿着的方向平移得到直线，若，则____． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为___________． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 题型24 利用平移解决实际问题 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）一块长为60厘米，宽为20厘米的长方形地板中间产生了一条裂缝（如图甲），一段时间后裂缝右边的一块向右平移了8毫米，则产生的裂缝面积是______平方厘米．    2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图， 一块长为米， 宽为米的矩形土地被踩出两条小路 （过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米） ． 若小路①，②的面积分别为，，则，的大小关系是_______． 3．（23-24七年级下·浙江·期中）如图（单位，），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），那么草坪（阴影部分）的面积是_______． 题型25 平移（作图） 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）在如图所示方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）． (1)在图1中，将平移，得到； (2)在图2中，线段与相交，产生，使得中的一个角等于． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，在网格中将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)画出平移后的三角形． (2)在网格中找到一个格点，使的面积与的面积相等，请画出格点三角形．（只需要画出一个符合条件的三角形） 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，点，，，都在网格图的格点上，按要求画图． (1)连接，将线段先向右平移格，再向下平移格，记两次平移后得到的线段为线段，在图中画出线段． (2)如图2，连结，记线段与的夹角为，请在图中画一个三角形，使得三角形中的一个角等于，且点在格点上． / 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 相交线与平行线 题型01 对顶角的定义 题型14 两直线平行内错角相等（重点） 题型02 对顶角相等（常考点） 题型15 两直线平行同旁内角互补（重点） 题型03 垂线的定义理解 题型16 根据平行线性质探究角的关系（难点） 题型04 垂线段最短（常考点） 题型17 根据平行线性质求角的度数（难点） 题型05 点到直线的距离（常考点） 题型18 平行线的性质在生活中的应用（难点） 题型06 同位角、内错角、同旁内角 题型19 根据平行线判定与性质求角度（难点） 题型07 用直尺、三角板画平行线 题型20 根据平行线判定与性质证明（难点） 题型08 平行公理的应用（常考点） 题型21 生活中的平移现象 题型09 同位角相等两直线平行（重点） 题型22 图形的平移 题型10 同一平面内垂直同一直线的两直线平行（重点） 题型23 根据平移的性质求解（难点） 题型11 内错角相等两直线平行（重点） 题型24 利用平移解决实际问题（难点） 题型12 同旁内角互补两直线平行（重点） 题型25 平移（作图） 题型13 两直线平行同位角相等（重点） 题型01 对顶角的定义 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）下列选项中，与是对顶角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义解答，即两个角的两边互为反向延长线，这两个角互为对顶角． 【详解】解：C选项中的与是对顶角． 2．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）下面四个图形中，与是对顶角的图形是（） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】互为对顶角的两个角必须满足两个条件：①有公共顶点；②角的两边互为反向延长线，据此逐项判断即可． 【详解】解∶A、与的两边不互为反向延长线，故不是对顶角； B、与的两边不互为反向延长线，故不是对顶角； C、与没有公共顶点，故不是对顶角； D、与有公共顶点，且两边互为反向延长线，故是对顶角． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）下列图形中与互为对顶角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A．与没有公共顶点，故不是对顶角，不符合题意； B．与有一条公共边，故不是对顶角，不符合题意； C．与有公共顶点，且两边互为反向延长线，故是对顶角，符合题意； D．与的两边不互为反向延长线，故不是对顶角，不符合题意． 题型02 对顶角相等 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，相交于点O，，若，则的度数为______． 【答案】/55度 【分析】先根据垂线定义得出，再根据对顶角相等得出，最后求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，直线，相交于点O．若，则______． 【答案】 【分析】根据对顶角相等进行解答即可． 【详解】解：∵， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图是某古城墙的一角，因无法直接测量墙角的度数，某人设计了如下测量方案：作的延长线，量出的度数，即为的度数．这个测量方案的数学依据是________． 【答案】对顶角相等 【详解】解：∵与是对顶角， ∴量出的度数，即可得到的度数． 因此，这个测量方案的依据是：对顶角相等． 题型03 垂线的定义理解 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列命题错误的是（    ）． A．两点确定一条直线． B．两点之间，线段最短． C．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离． 【答案】D 【分析】根据初中几何基本概念，辨析各选项命题即可找出错误项． 【详解】A选项、“两点确定一条直线”是几何基本公理，A正确； B选项、“两点之间，线段最短”是几何基本公理，B正确； C选项、“在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直”是垂直的基本性质，C正确； D选项、点到直线的距离的定义为“从直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离”，D选项误将垂线段本身定义为距离，概念错误，D错误． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）已知直线相交于点O，，垂足为O．若，则的度数为________． 【答案】或 【分析】分两种情况：在内部和在外部，先根据垂直的定义得到，进而求出的度数，再根据平角的定义即可求出的度数． 【详解】解：如图所示，当在内部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图所示，当在外部时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，，比大，则_______度． 【答案】43 【详解】解：设度，则， ∵， ∴， 由题意得， 解得， ∴度． 题型04 垂线段最短 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，某污水处理厂要从A处把处理过的水引入排水渠，为了节约用料，铺设垂直于排水渠的管道．这种铺设方法蕴含的数学原理是（　　） A．两点确定一条直线 B．两点之间，线段最短 C．过一点可以作无数条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【详解】解：由题意得这种铺设方法蕴含的数学原理是垂线段最短 ． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，体育课上，老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是（    ） A．两点之间，线段最短 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．两点确定一条直线 D．垂线段最短 【答案】D 【详解】解：由图可知，垂直于起跳线，即是落地点到起跳线的垂线段， 在连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， 老师测量学生跳远成绩选取的是的长度，其依据是垂线段最短． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，小吴，小越，小临和小安四位同学各自打算从位于点A的学校步行出发，分别沿，，，的路径前往位于所在直线的苕溪边，假设四位同学步行速度相同，则用时最少的是（    ） A．小吴 B．小越 C．小临 D．小安 【答案】B 【详解】解：∵ ∴的长度最短 ∵四位同学步行速度相同， ∴用时最少的是小越． 题型05 点到直线的距离 1．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，点A，B，C在直线l上，点M在直线l外，于点B，若，，，则点M到直线l的距离为（    ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】A 【分析】根据直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做该点到这条直线的距离，即可得答案． 【详解】解：∵，， ∴M到直线l的距离为2． 2．（24-25七年级下·浙江衢州·期末）如图，点A到的距离是图中某条线段的长，则这条线段是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了点到直线的距离，关键是掌握点到直线的距离是一个长度，而不是一个图形，也就是垂线段的长度，而不是垂线段．利用点到直线的距离定义可得答案． 【详解】解：点A到直线的距离是线段的长， 故选：C． 3．（24-25七年级下·浙江嘉兴·期末）如图，于点，则点到的距离是（    ）． A．线段的长 B．线段的长 C．线段的长 D．线段的长 【答案】C 【分析】本题考查了点到直线的距离的定义，注意：从直线外一点向这条直线作垂线，这点和垂足之间线段的长，叫作这点到直线的距离．根据点到直线的距离的定义得出答案即可． 【详解】解：于， 点到直线的距离是线段的长度， 故选：C． 题型06 同位角、内错角、同旁内角 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，的内错角是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：的内错角是． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，直线，被直线所截，以下角中与是同旁内角的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角． 【详解】解：与是同旁内角的是． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，和是同位角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两条直线被第三条直线所截，在截线的同一侧，且在被截直线的同一方的两个角叫做同位角；在两条被截直线之间，并且在截线两侧的两个角叫做内错角；在两条被截直线之间，并且在截线同一旁的两个角叫同旁内角． 【详解】解：选项A：和是内错角，不符合题意． 选项B：和是同旁内角，不符合题意． 选项C：和是同位角，符合题意． 选项D：和既不是同位角，也不是内错角，也不是同旁内角，不符合题意． 题型07 用直尺、三角板画平行线 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图所示，在的方格纸中，点均在格点上，仅用直尺完成： (1)在图中过点作线段的垂线段，垂足为． (2)在图中过点作线段的平行线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据网格的特点、垂线的定义求解即可； （2）根据网格的特点和平行线定义求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：，即为所求； （2）解：如图所示：，即为所求. 2．（25-26七年级下·浙江湖州·期中）如图，在的网格中，点都在格点上，利用网格作图并回答问题． (1)在网格中找一格点，画直线，使；利用网格作的垂线，垂足为点，连接，； (2)线段__________的长度是点到直线的距离； (3)比较大小：__________（填、或），理由：__________． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)，垂线段最短． 【分析】（）根据题意画图即可； （）根据点到直线的距离定义即可求解； （）根据垂线段最短即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：线段的长度是点到直线的距离， 故答案为：； （3）解：比较大小：，理由：垂线段最短， 故答案为：，垂线段最短． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）如图，点P是内一点．（以下作图工具不限） (1)过点P画直线l平行于； (2)过点P画直线垂直，垂足为Q； (3)量出点P到的距离．（精确到） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)1.2cm 【分析】本题考查按要求作图、平行线，垂线，点到直线的距离等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识． （1）根据平行线的性质求解即可； （2）根据垂线的性质求解即可； （3）根据点到直线的距离求解即可． 【详解】（1）如图所示，直线l即为所求； （2）如图所示，直线即为所求； （3）（都可以）． 题型08 平行公理的应用 1．（24-25七年级下·浙江杭州·阶段检测）下列说法中正确的个数为（    ） ①在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和垂直． ②有且只有一条直线垂直于已知直线． ③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行． ④从直线外一点到这条直线的垂线段，叫做这点到这条直线的距离． ⑤过一点，有且只有一条直线与已知直线平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题主要考查了关于直线的位置关系和平行公理的知识点，解题的关键在于准确理解直线的平行、垂直关系以及平行公理．根据在同一平面内，两条直线的位置关系，垂直的性质，平行线平行公理及推论，点到直线的距离等逐一进行判断即可． 【详解】解：因为在同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交和平行，故①不正确； 因为，在平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线．故②不正确； 如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行．故③正确； 从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．故④不正确； 过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行．故⑤不正确． 所以正确的是③，有1个． 故选：A． 2．（24-25七年级下·浙江·期中）下列说法中，错误的个数是（    ） ①两条不相交的直线叫作平行线；②过一点有且只有一条直线与已知直线平行；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④如果两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线也相交． A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查平行线的定义，平行线公理，垂线段最短，掌握平行线的定义，平行线公理是解题的关键． 根据平行线的定义，平行线公理，垂线段最短，同一平面内，直线的位置关系，逐一判断各个小题，即可得到答案． 【详解】解：①在同一平面内，两条不相交的直线叫做平行线，故原说法错误， ②过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故原说法错误， ③连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，原说法正确， ④两条直线与第三条直线相交，那么这两条直线不一定相交，故原说法错误， ∴错误的有3个， 故选：B． 3．（24-25七年级下·浙江杭州·月考）下列说法正确的是（　　） A．过任意一点可作已知直线的一条平行线 B．两条不相交的直线是平行线 C．过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直 D．平行于同一直线的两直线平行 【答案】D 【分析】本题主要考查平行线和垂线的定义及平行公理，熟练掌握公理、定理是解决本题的关键． 根据平行线和垂线的定义及平行公理进行判断． 【详解】A．过不在直线上一点可作已知直线的一条平行线，故选项错误； B．同一平面内两条不相交的直线是平行线，故选项错误； C．同一平面内过直线上一点只能画一条直线与已知直线垂直，故选项错误； D．平行于同一直线的两直线平行，故选项正确； 故选D． 题型09 同位角相等两直线平行 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，能判断直线的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】 根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A. 不能判断直线，不符合题意； B. 是同位角，根据同位角相等、两直线平行可判断，符合题意； C. 不能判断直线，不符合题意； D. 不能判断直线，不符合题意. 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，已知点在上，，则下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据平行线的判定方法进行判断即可. 【详解】解：A、，不能判断； B、，不能判断； C、，不能判断； D、延长，如图，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； 3．（25-26七年级下·浙江绍兴·期中）如图，对于下列条件：①；②；③；④．其中一定能得到的条件是(填序号)_________ 【答案】②③ 【详解】解：，∴； ， ∴； ，∴； ，∴； 综上分析可知，一定能得到的条件有． 题型10 同一平面内垂直同一直线的两直线平行 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列说法正确的是（   ） A．对顶角相等 B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 C．垂直于同一条直线的两条直线互相平行 D．从直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 【答案】A 【分析】根据对顶角性质，垂线的性质，平行线的判定，点到直线距离的定义，逐一判断各选项的正误． 【详解】解：∵对顶角的性质为对顶角相等， ∴选项A说法正确； ∵只有在同一平面内，过一点才有且只有一条直线与已知直线垂直，选项B未添加“同一平面内”的前提， ∴选项B说法错误； ∵只有在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行，选项C未添加“同一平面内”的前提， ∴选项C说法错误； ∵从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，不是垂线段本身， ∴选项D说法错误． 2．（22-23七年级下·浙江温州·期中）在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相________．（“平行”或“不平行”，填入其中一个） 【答案】平行 【分析】此题可以从同位角相等、内错角相等、同旁内角互补等方面来判定两直线平行．此结论也可以当作定理来用．根据题意画出画出图形，再利用平行线的判定证明． 【详解】如图，，，说明． 解：，（已知）， ∴，（垂直的定义）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：平行． 3．（2024七年级下·浙江·专题练习）设，，为同一平面内三条不同直线，若，，则与的位置关系是___． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的判定，解题时利用了：在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行．根据在同一平面内，两条直线都与同一条直线垂直，则这两直线平行作答． 【详解】解：在同一平面内，，， ∴， 即与的位置关系是平行， 故答案为：． 题型11 内错角相等两直线平行 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，下列条件中能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行线的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．由，根据“内错角相等，两直线平行”可得，不能判定，不合题意； B．由，根据“内错角相等，两直线平行”可得，不能判定，不合题意； C．由，不能判定，不合题意； D．由，根据“同旁内角互补，两直线平行”能判定，符合题意． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，下列条件能判定的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：A、，由内错角相等，两直线平行，可判定，不符合题意； B、，由同位角相等，两直线平行，可判定，符合题意； C、，由同位角相等，两直线平行，可判定，不符合题意； D、，由同旁内角互补，两直线平行，可判定，不符合题意． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，不添加辅助线，写出一个能判断的条件：________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】平行线判定方法有：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．据此可得结论． 【详解】解：当或或时， 能判定， 因此写出一个能判断的条件：可以是．（答案不唯一） 题型12 同旁内角互补两直线平行 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，直线，被直线所截，下列条件中，不能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理逐项判定即可． 【详解】解：A：、是同旁内角，同旁内角互补，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； B：、是同位角，根据同位角相等，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意； C：、是对顶角，无法判断两直线的关系，故本选项符合题意； D：、是对顶角，，故，满足同旁内角互补，两直线平行，可以判定，故本选项不符合题意． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，能判定的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“同旁内角互补，两直线平行”即可判断． 【详解】解：能判定的条件只能是． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）下列结论错误的是（   ） A．对顶角相等 B．若，则 C．同位角相等 D．过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查平面几何的基本概念和性质，逐一判断各选项结论的正误，即可得到答案． 【详解】解：∵ 对顶角的性质为对顶角相等， ∴ 选项A结论正确，不符合要求； ∵ 根据平行线的传递性，平行于同一直线的两条直线互相平行，当时，可得， ∴ 选项B结论正确，不符合要求； ∵ 只有两直线平行时，同位角才相等，未给出两直线平行的前提，同位角不一定相等，原结论不成立， ∴ 选项C结论错误，符合要求； ∵ 根据平行公理，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行， ∴ 选项D结论正确，不符合要求． 题型13 两直线平行同位角相等 1．（2026·浙江衢州·一模）如图，一段管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行．若第一个弯道处，则第二个弯道处的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵ 管道经过两次拐弯后，和原来的管道平行 ， ∴ 拐弯前后的两段管道所在的直线平行， ∴， ∵ ∴ ． 2．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，根据图形及上下文的含义进行推理并填空： (1)因为，根据：“两直线平行，同位角相等”，所以______； (2)因为______，根据：“______”，所以； (3)因为______，根据“______”，所以． 【答案】(1) (2)，内错角相等，两直线平行 (3)，同旁内角互补，两直线平行 【详解】（1）解：∵， ∴（两直线平行，同位角相等）； （2）解：∵， ∴（内错角相等，两直线平行）； （3）解：∵， ∴（同旁内角互补，两直线平行）． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，已知：，求证：； 【答案】见解析 【分析】由对顶角相等可得，再根据同旁内角互补、两直线平行即可证明结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 题型14 两直线平行内错角相等 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）两个直角三角形按如图1初始放置，，其中，此时与重合．当点从点出发沿射线方向滑动的同时，点在射线上滑动．滑动过程中，三角形不动，三角形形状、大小不变． (1)若，， ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，若点运动到延长线上时，连结，设．当时，求的值； (2)如图4，过点作射线交线段于点，设，在整个滑动过程中，若存在与三角形的某一边平行时，请直接写出的度数．（用含的式子表示） 【答案】(1)①；② (2)或或 【分析】（1）①利用两直线平行同位角相等即可求解；②过点B作，可得，从而得到，进而得到，即可求解； （2）分三种情况进行讨论，当时，过点作，利用平行线的性质即可求解；当时，利用平行线的性质即可求解；当时，过点作，利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：①当时， ； ②如图，过点B作， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①当时，过点作， ， ， ， ∴； ②如图所示，当时，； ∴； ③当时，过点作， ， ， ， ∴； 综上所述，的度数为或或． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）完成下面的证明： 如图，已知，，． 求证：． 证明： ①（_______②______） ③_______（_______④______） 即 ⑤（_________⑥__________） ⑦_____（_________⑧_________） 又 ． 【答案】证明见详解 【分析】根据平行线的性质和判定方法，垂直的定义，同角的余角相等，进行作答即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， ， （垂直的定义）， 即， ， ， （等量代换）， （内错角相等，两直线平行）， 又， ． 题型15 两直线平行同旁内角互补 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）下列说法中正确的是（　　） A．相等的角是对顶角 B．两直线平行，同旁内角相等 C．连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短 D．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】C 【分析】根据对顶角、垂线段的定义，命题与定理，平行线的判定与性质逐项推理即可． 【详解】解：A、对顶角相等，但是相等的两个角不一定是对顶角，故本选项错误； B、两直线平行，同旁内角互补，故本选项错误； C、从直线外一点到这条直线上的各点连接的所有线段中，垂线段最短，符合垂线段的性质，故本选项正确； D、在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故本选项错误． 故选：C． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，若，则_____． 【答案】 【分析】设的同旁内角为，由对顶角相等可得，再结合两直线平行，同旁内角互补，求出． 【详解】解：如图， 由对顶角相等可得，， ∵， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，点C在上，，，请说明平分． 解：理由如下： ， ________（两直线平行，同位角相等）， ________（________）． ， ∴________， ∴CE平分（角平分线的定义）． 请你补全上述说理过程． 【答案】见解析 【详解】解：理由如下： ， （两直线平行，同位角相等），（两直线平行，内错角相等）． ， ∴， ∴平分（角平分线的定义）． 题型16 根据平行线性质探究角的关系 1．（25-26七年级上·浙江杭州·期末）已知长方形，现将长方形先沿着对角线向上折到如图1的位置，此时线段与交于点E，且，再将三角形沿着向下折叠．如图2，当点恰好落在线段上时，则______；如图3，当点落在下方，且时，则______（用含n的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，折叠的性质等，熟练运用相关知识探索角之间的数量关系是解题的关键． 答题空1：先证，，再在中，运用三角形内角和定理，求得，最后求得； 答题空2：通过翻折的性质和平行线性质得到， 又，从而得到，最后得到． 【详解】解：答题空1：当点恰好落在线段上时， ， ∴， ∵长方形， ∴，， ∴， ∵将长方形沿着对角线向上折到如图1的位置， ∴， ∵， ∴，， 在中， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴； 答题空2：当点落在下方，且时， 由折叠的性质，， ∵， ∴， ∵长方形， ∴，，， ∴， 由折叠的性质，， ∴， ∵， ∴， 整理得，． 故答案为：， 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，与相交于点． (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若平分，求的度数． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】（1）由，根据同位角相等、两直线平行，得到，进而得到，推出，即可得证； （2）根据角平分线的定义求出，根据平行线的性质得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知点D与．作，使的两边与的两边分别平行． (1)按要求画出图形； (2)判断与有怎样的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)相等或互补 【分析】（1）根据题意画出图形即可； （2）根据平行线的性质得出角之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：与的数量关系为相等或互补，理由如下： 如图1所示，与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 如图2所示，与相交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 综上，与的数量关系为相等或互补． 题型17 根据平行线性质求角的度数 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）一个人从点出发，沿北偏东的方向走到处，再从点处沿南偏西的方向走到点处，那么的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用平行线的性质以及方位角求解即可． 【详解】解：如图：可知A点和B点的南北方向互相平行， 由题意得，，， ∵， ∴， ． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）数学课上，同学们用和两条平行线展开探究，如图，，． (1)若． ①如图1，点落在、之间（不含在，上），求的度数； ②如图2，点落在上，作的平分线并反向延长交的平分线于点，求的度数； (2)如图3，点、落在上，点落在、之间，作直线、，分别交于点、，是边上的一点，连接，恰好平分，是射线上的一点，连接，若，设，，，直接写出、、之间的数量关系． 【答案】(1)①，② (2) 【分析】（1）①过点作，根据平行线的性质得到，，再由即可求解；②过点作，设，则，，，根据平行线的性质得到，，即可求解； （2）过点作，过点作，由角平分线的定义得，，由平行线的性质得，，,，即可求出、、之间的数量关系． 【详解】（1）解：①如图1，过点作， ． ， ． ，， ． ， ． ②如图2，过点作， 设， 平分， ，． ， ． 平分， ． ，， ． ，． ． （2）解：如图3，过点作，过点作， 平分， ，． ， ． ． ，， ． ． ， ． ，， ． ,． ． ． ． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，已知，，． (1)试说明的理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）证明，再证明，进一步证明即可； （2）证明，求解，，再进一步利用平行线的性质证明即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 题型18 平行线的性质在生活中的应用 1．（25-26七年级下·浙江·期中）如图①，有一个长方形纸条，，．如图②，将长方形沿折叠，与交于点，如图③，将四边形沿向上折叠，与交于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意，可得折叠对应的角相等，再根据平行线的性质和角之间的数量关系，计算即可求解． 【详解】解：长方形沿折叠，四边形沿向上折叠， 图①中的和图②中的对应，即，图③中的， 在图①中，，， ，，即， 在图②中，， ， 在图③中，， ， ， ， 即． 2．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）光线在不同介质中的传播速度是不同的，因此光线从水中射向空气时，要发生折射．由于折射率相同，在水中平行的光线，在空气中也是平行的．如下图是从玻璃杯底部发出的一束平行光线经过水面折射形成的光线示意图，水面与玻璃杯的底面平行．若，，则的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质．先利用平行线的性质可得：，，然后利用角的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：如图： ∵， ， ∵， ， ， ， ， 故选：C． 3．（2024·浙江·模拟预测）如图，车道与平行，若拐角，则拐角的大小为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行线的性质．由两直线平行，内错角相等，即可得到． 【详解】解：∵， ， 故选：D． 题型19 根据平行线判定与性质求角度 1．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，，一副三角板如图摆放，，，若，下列结论：①；②；③；④．其中正确的是（   ） A．①③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】设交于点H，由得，，故，故①正确；由，，得，，故，故，故，，故，故②正确；由上述条件得，故，故③正确；从而，，故，故④正确． 【详解】解：如图，设交于点H， ， ， ，故①正确； ，，， ， ， ， ，， ，故②正确； ， ，故③正确； ，， ，故④正确． 2．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，凹镜面内有一光源，其发出的两束光线经过反射以后得到和，如果，则关于或下列说法中一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点作，得到，根据平行的性质可得，即可得出结论． 【详解】解：过点作， ∵， ∴， ∴， ∴，故选项C一定正确． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图已知，有一块三角板，其中，，现将该三角板如图所示放置，使顶点始终落在上，过点作交于点． (1)如图1，若，则___________； (2)若的平分线交于点； ①如图2，是否存在，使得与同时成立，若存在请求出，若不成立，请说明理由． ②如图3，将三角板沿直线从左往右平移，且在平移的过程中，始终保持不变，请探究与之间的数量关系． 【答案】(1) (2)①；②或或或 【分析】（1）根据平行线的性质解答即可； （2）①根据平行线的性质以及角平分线的定义，即可求解；②分四种情况讨论，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：①存在，使得与同时成立； ∵，， ∴，，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； ②如图3， 当点A在点E左侧时，若点P在点O左侧， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图， 当点A在点E左侧时，若点P在点O右侧， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图4所示，当点A在点E右侧时，点P在点O的左侧， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； 如图当点A在点E右侧时，点P在点O的右侧， 同理， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或或或． 题型20 根据平行线判定与性质证明 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图1，，点E在上，点H在上，点F在直线之间，连接． (1)求证：； (2)如图2，点M在直线与之间，且，若，求的度数． (3)如图3，连接，移动点M至直线上方，使得，延长交直线于点P，若，，平分，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)； (3)． 【分析】（1）过点F作，根据两直线平行内错角相等进行求解即可； （2）设，而，可得，由（1）得：，由，再建立方程求解即可； （3）令，，可得．证明，．结合．再进一步求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作， ， ， ， ； （2）解：设，而， ∴， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：∵， ∴令，， ∴． ∵， ∴， ∴． 又∵， ∴． ∵平分， ∴． 由（1）知， ， ∴， 解得， ∴． 2．（25-26七年级下·浙江·期中）如图，已知，． (1)试判断与的位置关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】（1）由同旁内角互补得和平行，由平行线的性质和等量代换得，再由平行线的判定得两直线平行； （2）由第一问的平行关系，结合角平分线的性质求出的大小，再根据平行线的性质即可求出的度数． 【详解】（1）解：，理由如下： ， ， ， ， ， ． （2）由（1）知，， ， 平分， ， 由（1）知，， ． 3．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）补全下列证明过程及括号内的推理依据： 如图，已知，于D，于F，，求证：平分． 证明：∵，（已知）． ∴_（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（_） （_）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴平分（_） 【答案】；两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；角平分线的定义 【详解】证明：∵，（已知）． ∴（在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） （两直线平行，内错角相等）， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴平分（角平分线的定义） 题型21 生活中的平移现象 1．（24-25七年级下·浙江宁波·期末）下面物体运动情况或图形，属于平移的是（　　） A．转动的风车 B．电梯的升降 C．书页的翻动 D．对称的蝴蝶 【答案】B 【分析】本题考查生活中的平移现象，理解平移的定义以及平移的特征是正确判断的前提．理解平移的三大特征：①直线运动；②大小形状不变；③方向不变．根据平移的特征进行判断即可． 【详解】解：A．转动的风车属于旋转运动，各点做圆周运动，不是平移，故此选项不符合题意； B．电梯的升降，做直线运动，形状和方向不变，是典型的平移，故此选项符合题意； C．书页的翻动属于旋转运动，围绕装订线转动，不是平移，故此选项不符合题意； D．对称的蝴蝶属于轴对称，不是平移，故此选项不符合题意． 故选：B． 2．（24-25七年级下·浙江温州·期中）甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，下列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是（　　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了生活中的平移现象，熟练掌握平移的定义是解题的关键．根据平移的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：甲骨文是我国的一种古代文字，是汉字的早期形式，上列甲骨文中，能看作由其中一部分平移得到的是： 故选：A． 3．（24-25七年级下·浙江温州·期中）下列各汽车标志可以看作是由其中某部分图案平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平移不改变图形的形状和大小，结合图案，对选项一一分析，排除错误答案． 【详解】解：可以看作是由其中某部分图案平移得到的是 故选：D 题型22 图形的平移 1．（25-26七年级下·浙江台州·期中）下列汉字或图案中，能用其中一部分平移得到的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平移的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、该图案由两个圆组成，右边的圆可以看作是左边的圆向右平移得到，形状、大小、方向均未改变，符合平移的特征； B、若将上半部分向下平移，无法与下半部分重合，不符合平移的定义； C、右边的三角形需要翻转才能与左边的重合，不符合平移的定义； D、该图案由一个大正方形和一个小正方形组成，两者的大小不同，无法通过平移得到． 2．（25-26七年级下·浙江丽水·期中）下列各组运动项目图标，将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：符合将其中一个图形只经过平移就能得到另一个图形的是： ． 3．（25-26七年级下·浙江台州·期中）如图，已知与互补．判断与是否垂直，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】先证明，再证明，根据即可证明． 【详解】，理由如下： ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 题型23 根据平移的性质求解 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，将沿方向平移到的位置．已知的周长是，四边形的周长是，则平移的距离为_____ ． 【答案】5 【分析】利用平移的性质得到，，平移的距离为，结合的周长是，四边形的周长是，再进一步求解即可． 【详解】解：由题知， ∵由沿方向平移得到， ∴，， ∵的周长是，四边形的周长是， ∴，， 两式相减得， ， ∴， 即平移的距离为． 2．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，将直线沿着的方向平移得到直线，若，则____． 【答案】/度 【分析】如图：由邻补角互补可得，再根据平移的性质、两直线平行同位角相等即可解答． 【详解】解：如图：∵， ∴， ∵直线沿着的方向平移得到直线 ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·浙江金华·期中）如图，，，，将沿方向平移，得到，连接，则阴影部分的周长为___________． 【答案】17 【详解】解：由平移的性质可知：， ∴， ∴阴影部分的周长为． 4．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）如图，网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点都在格点上（每个小正方形的顶点叫格点）． (1)平移，使点A平移到点D，点B平移到点E，点C平移到点F，画出平移后的； (2)在整个平移过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)作图见详解 (2)22 【分析】（1）根据点A和点D的位置可确定平移方式，再根据平移方式确定点E和点F的位置，进而作图即可； （2）根据平移的性质可得，，在平移的过程中线段扫过的面积是四边形的面积，利用网格图的特征，通过割补法求解面积即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求： （2）解：． 题型24 利用平移解决实际问题 1．（23-24七年级下·浙江嘉兴·期中）一块长为60厘米，宽为20厘米的长方形地板中间产生了一条裂缝（如图甲），一段时间后裂缝右边的一块向右平移了8毫米，则产生的裂缝面积是______平方厘米．    【答案】16 【分析】本题主要考查了生活中的平移现象，利用利用两个长方形形的面积差得出裂缝的面积是解题关键． 利用新长方形的面积减去原长方形的面积得到产生的裂缝的面积． 【详解】解：产生的裂缝的面积为：（平方厘米）． 故答案为：16． 2．（2024八年级下·浙江·专题练习）如图， 一块长为米， 宽为米的矩形土地被踩出两条小路 （过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米） ． 若小路①，②的面积分别为，，则，的大小关系是_______． 【答案】＝ 【分析】根据题意可知小路①、②的面积都相当于长为米、 宽为 2 米的长方形的面积 ．本题考查了不规则图形的面积计算， 解题的关键是将不规则图形转化为规则图形 ． 【详解】解：过，间任意一点作的平行线， 被每条小路截得的线段长都是 2 米， （平方米）；（平方米）． ． 故答案为：． 3．（23-24七年级下·浙江·期中）如图（单位，），一块长方形草坪中间有两条宽度相等的石子路（每条石子路间距均匀），那么草坪（阴影部分）的面积是_______． 【答案】48 【分析】本题考查生活中的平移现象，掌握平移的性质是正确解答的关键． 根据平移的性质将阴影部分转化为长为，宽为的长方形即可． 【详解】解：如图，将图中阴影部分①向右平移，阴影部分②向左平移，可以拼成长为，宽为的长方形， 所以阴影部分的面积为， 故答案为：48． 题型25 平移（作图） 1．（25-26七年级下·浙江杭州·期中）在如图所示方格中，按下列要求作格点三角形（图形的顶点都在正方形格纸的格点上）． (1)在图1中，将平移，得到； (2)在图2中，线段与相交，产生，使得中的一个角等于． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）把向右平移1个单位长度得到，据此结合网格的特点作图即可； （2）取格点E，连接，由网格的特点可得，则． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：如图所示，即为所求． 2．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）如图，在网格中将先向右平移4个单位，再向上平移2个单位，得到． (1)画出平移后的三角形． (2)在网格中找到一个格点，使的面积与的面积相等，请画出格点三角形．（只需要画出一个符合条件的三角形） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的方式找到的各个顶点平移后的对应点，顺次连接即可； （2）根据网格的特点构造同底等高的三角形即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）如图，即为所求． 3．（25-26七年级下·浙江温州·期中）如图，点，，，都在网格图的格点上，按要求画图． (1)连接，将线段先向右平移格，再向下平移格，记两次平移后得到的线段为线段，在图中画出线段． (2)如图2，连结，记线段与的夹角为，请在图中画一个三角形，使得三角形中的一个角等于，且点在格点上． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）根据平移的性质，先分别确定点、向右平移格，再向下平移格后的对应点、的位置，再顺次连接即可． （2）取格点、，连接、，根据格线特征可得，从而得，进而得，即有，画出即可． 【详解】（1）解：如图，线段即为所求； （2）解：如图，为所求． / 学科网（北京）股份有限公司 $