辽宁省锦州市某校2024-2025学年高二下学期期中考试数学试卷

2024-2025 学年度第二学期期中考试 高二数学试题 答案 1. 若随机变量，且，则（ ） A. 0.4 B. 0.5 C. 0.2 D. 0.3 【答案】A 【详解】由条件可知，, 而. 2. 设等比数列的前n项和为，若，，则等比数列的公比等于（ ） A. B. C. 2 D. 5 【答案】A 【详解】由，，得， 则，所以，所以. 3. 已知函数 的图象如图所示， 是 的导函数，则下列数值排序正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】由图可知，的增长速度越来越慢，所以， 表示在上的平均变化率， 由图可知. 4. 若数列满足，，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】数列满足，， ，，，，， 是周期为的周期数列，而，故． 5. 在某电路上有两个独立工作的元件，每次通电后，需要更换元件的概率为0.3，需要更换元件的概率为0.2，则在某次通电后有且只有一个需要更换的条件下，需要更换的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】记事件为在某次通电后､有且只有一个需要更换，事件为需要更换， 则， 由条件概率公式可得. 6．已知等差数列的前项和为，若，，则下列结论正确的个数为（ ） ①数列是递减数列 ② ③当取得最大值时， ④ A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】设的公差为， ，故， ，故，所以， 由于，故，，即是递减数列， 由于是递减数列，，，故当取得最大值时， 7. 已知函数及其导函数的定义域均为R，且，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【详解】设，则，故单调递增. 又，故可转化为，即， 由单调递增可得，解得或， 即不等式的解集为. 8．已知数列满足，，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由，得， 所以 ，， 显然满足上式，则，所以， 因为函数在上单调递减，在上单调递增， 又，，且， 所以当时，取最小值. 9. 已知具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，….，，由此得到的线性回归方程为，则下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线至少经过点，，….，中的一个点 B. 若，，则回归直线一定经过点 C. 若点，，….，都落在直线上，则变量x，y的样本相关系数 D. 若，，则相应于样本点的残差为 【答案】BCD 【解析】 【分析】选项A、选项B可由回归直线必经过样本中心点，不一定经过样本点来判断；选项C，可通过已知方程，得到斜率，去判断相关系数；选项D，样本点的残差等于该点的实际值减去模拟出的预测值，即可做出判断. 【详解】线性回归方程为不一定经过，，…，中的任何一个点， 但一定会经过样本中心点，故A错误，B正确； 选项C，直线的斜率，且所有样本点都落在直线上， 所以这组样本数据完全负相关，且相关系数达到最小值，即样本相关系数，故C正确； 选项D，样本点的残差为，故D正确. 故选：BCD. 10.若随机事件，发生的概率分别为，，下列说法正确的有（ ） A.若，则，相互独立 B.若，相互独立，则 C.若，则 D.若，则 ABC 11．已知函数，则（    ） A．在区间上单调递增 B．有最大值 C．当时，的图象过的切线有且仅有条 D．关于的方程有两个不等实根，则的取值范围是 【答案】AC 【详解】对于A选项，对任意的，恒成立， 所以，在区间上单调递增，A对； 对于B选项，当时，，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以有最小值，无最大值，B错； 对于C选项，当时，，设切点为， ，则切线斜率为， 所以曲线在点的切线方程为， 将点的坐标代入切线方程为，整理可得， ，即方程有两个不等的实根， 所以，当时，的图象过的切线有且仅有条，C对； 对于D选项，方程，即， 令，而， 当时，，当时，. 所以在区间上单调递减，在区间上单调递增， 当时，且，如图， 要使方程有两个不等实根，的范围是，D错. 故选：AC. 12. 在3与15之间插入3个数，使这5个数成等差数列，则插入的3个数之和为__________． 【答案】27 【详解】令插入的3个数依次为，即成等差数列， 因此，解得，所以插入的3个数之和为． 13.曲线与存在过原点的公切线，则b的值为__________． 答案 . 设上的切点为，， 故切线的斜率，切线方程为， 因为过原点，所以，解得， 切线斜率为； ，设切点为， 则，故， 切线方程又过原点，代入可得 解得. 14 答案 1 15．已知， 在处取得极值， (1)求的值. (2)在区间上的最值. 【详解】（1）因为函数，所以， 又函数在处取得极值. 则有，即， 解得：或-------------------------------------------------5分 经检验，时，单调递减，无极值不符合题意， 经检验，时，符合题意，故.-------------------------7分 （2）由（1）知：函数，则， 令，解得：， 在时，随的变化，的变化情况如下表所示： 单调递减 单调递增 单调递减 -------------------------------------------------------------------10分 由表可知：当时，函数有极大值； 当时，函数有极小值； 因为，， 故函数在上的最小值为，最大值为.---------13分 16. 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能，较长时间有节奏的深长呼吸，能使人体呼吸大量的氧气，吸收氧气量若超过平时的倍，就可以抑制人体癌细胞的生长和繁殖.其次长跑锻炼还改善了心肌供氧状态，加快了心肌代谢，同时还使心肌肌纤维变粗，心收缩力增强，从而提高了心脏工作能力.某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查，调查男、女生人数均为200，统计得到以下列联表： 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 （1）是否有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联？ （2）为弄清学生不喜欢长跑的原因，从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人，再从这9人中抽取3人进行面对面交流，记随机变量表示抽到的3人中女生的人数，求的分布列； （3）将频率视为概率，用样本估计总体，从该校全体学生中随机抽取12人，记其中喜欢长跑的人数为，求的数学期望. 附：，其中. 0.100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 【小问1详解】 根据题意，由列联表中数据， 可得， 即有的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联；-------------------5分 【小问2详解】 从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方法随机抽取9人， 其中男生的人数为人，女生的人数为人， 从9人中随机抽取3人，即随机变量的可能取值为， 可得， ， 则随机变量的分布列为： 0 1 2 3 ----------------------------------------------------------------------12分 【小问3详解】 由题意知，任抽1人喜欢长跑的概率为， 所以随机变量服从二项分布，即， 所以.-------------------------------------------15分 17. 已知数列的前项和为，数列为等比数列，且，分别为数列第二项和第三项. （1）证明数列是等差数列，并求其通项公式； （2）求数列的通项公式及其前项和； （3）若数列，证明：数列前项和. 【小问1详解】 因为数列的前项和为，且， 当时，； 当时，， 经验证，当时也满足； 所以； 又， 所以是公差为2的等差数列，通项公式为.------------------------6分 【小问2详解】 由（1）知，于是 又因为数列为等比数列，且分别为数列第二项和第三项， 所以， 则，，则，-------------------------------------8分 所以.-------------------------------------------------------------10分 【小问3详解】 由已知， 于是.------------------------15分 18.已知函数. 数列 满足 ，且函数g(x)在点(n，g(n))处的切线斜率为数列 的通项 (1)求数列 的通项公式； (2)若数列 满足 记 为数列 的前n项和，求 解:(1)因为 - 又 所以 是以1为首项，2为公差的等差数列， -----------------------------------------------------------------------4分 因为 所以 所以函数g(x)在点(n，g(n))处的切线斜率为 -------6分 (2)由(1)可得 -----------------------------------------------------8分 数列 的前n项和， 所以 ,① ………………… 12分 由①-②得 --------------------------------- 15分 所以 =-------------------------17分 19．已知函数． (1)讨论函数的单调性； (2)若函数的最小值为，求a的值； (3)证明：当时，． 【详解】（1）解：由函数，可得其定义域为，可得， ①当时，若，恒成立，恒成立， 可得，所以在内单调递减； ②当时，令，，可得；令得：， 所以在内单调递减，在内单调递增， 综上所述，当时，在内单调递减； 当时，在内单调递减，在内单调递增．--------------------4分 （2）解：由函数，可得， ①当时，在区间上恒成立，区间上单调递增， 所以（舍去）； ②当时，令，可得， （i）当时，即，区间上单调递增，（舍）； （ii）当时，即， 区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以； 令函数，可得， 所以函数为单调函数，所以，解得， 故关于的方程的解为； （iii）当时，即，区间上单调递减， 所以，解得（舍去）； 综上所述，实数的值为．--------------------------------------------------------------10分 （3）证明：当时，，要证， 即证， 记函数，定义域为，可得， 令， 由，可得在为单调增函数， 因为，且， 所以存在，使得，即，所以， -----14分 当时，，单调递减；当时，，单调递增； 所以 将代入得，其中， 故，即 故当时，．-----------------------------------------------------17分 1 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025 学年度第二学期期中考试 高二数学试题 命题教师:高一备课组 考生请注意 I.考试时间120分钟。满分150分; II. 只交答题纸,在卷上作答无效。 一、单项选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四 个选项中,只有一个选项是正确的,请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1. 若随机变量~N3,o②}),且P(>4)=0.3,则P(2<<4)=( A.0.4 B. 0.5 C. 0.2 D.0.3 2. 设等比数列{a.的前n项和为S,若S.=-3,S。=21,则等比数列的公比q等于( A. -2 B. -1 C. 2 D.5 3. 已知函数f(x) 的图象如图所示,f(x)是f(x)的导函数,则下列数值排序正确的 是() A.0<f'(4)<f(4)-f(③)<f'(3) V )-f() B. 0<f”(3)<f'(4)<f(4)-f(3) c.0<f(4)-f(3)<f”(4)<f”(3) C 34 0<f(4)<f③)<f(4)-f(③ 4. 若数列fa)满足a=2,a.=a.-1,则a2o24=( ) A. -1 C. 2 D.3 5. 在某电路上有M、V两个独立工作的元件,每次通电后,需要更换M元件的概率为0.3 需要更换V元件的概率为0.2,则在某次通电后M、N有且只有一个需要更换的条件下,M需 要更换的概率是( ) 高二 数学期中考试试题 第1页共5页 1 D7 6. 已知等差数列{a.}的前n项和为S.,若S>0,S<0,则下列结论正确的个数为( _ ②a0 ①数列a.是递减数列 ③当S.取得最大值时,n-12 #④ 2 B. 2 C. 3 A.1 D. 4 7. 已知函数f(x)及其导函数f(x)的定义域均为R,f(0)=0且f(x)+f^(x)>0,则不等 式f(x2+4x-5)>0的解集为( 。 C. (-5,1) A. (-oo,-5)U(1,+oo) B. (-oo,-1)U(5,+oo) D. (-1.5) 8. 已知数列{a)满足a=10,-n2,则的最小值为( ) 7 11 C.7 D. 20 二、多项选择题:本大题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的四 个选项中,有多项符合题目要求.全部选对得6分,选对但不全的得部分分,有选 错的得0分. 9. 已知具有相关关系的两个变量x,y的一组观测数据(x,y),(x2,y),.,(x,y), 由此得到的线性回归方程为三x土,则下列说法中正确的是( ) A. 回归直线父=6x+至少经过点(×,y),(x2,y),..,(x,y)中的一个点 则回归直线-fx+ā一定经过点(x,) C. 若点(×,y),(x2,y2),.., (x,y.)都落在直线x+y+2=0上,则变量x,y的样本 相关系数,--1 D. 若y=2020,y=2023,则相应于样本点(xz,y。)的残差为-3 高二 数学期中考试试题 第2页共5页 10. 若随机事件A,B发生的概率分别为P(A)=0.3,P(B)=0.6,下列说法正确的有 ) A.若P(AB)=0.18,则A,B相互独立 B.若A,B相互独立,则P(BlA)=0.6 C.若P(BA)=0.4,则P(AB)=0.12 D.若AcB,则P(AB)=0.3 11. 已知函数f(x)=xe*-a,则( _ A. /(x)在区间[0,2]上单调递增 B. /(x)有最大值---a C. 当a=0时,y=f(x)的图象过(1,0)的切线有且仅有2条 D. 关于x的方程/(x)=0有两个不等实根,则a的取值范围是(-+ 三、填空题:本大题共3小题,每小题5分,共15分. 12. 在3与15之间插入3个数,使这5个数成等差数列,则插入的3个数之和为_ 13. 曲线f(x)=e与g(x)-lnx+b存在过原点的公切线,则b的值为__. 四、解答题:本大题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤. 15.(本小题满分3分) (1)求b,c的值 (2)求f(x)在区间[-4,4]上的最值 高二 数学期中考试试题 第3页共5页 16.(本小题满分15分) 长跑可提高呼吸系统和心血管系统机能,较长时间有节奏的深长呼吸,能使人体呼吸大量的氧 气,吸收氧气量若超过平时的7-8倍,就可以抑制人体痪细胞的生长和繁殖,其次长跑锻炼还改 善了心肌供氧状态,加快了心肌代谢,同时还使心肌肌纤维变粗,心收缩力增强,从而提高了 心脏工作能力,某学校对男、女学生是否喜欢长跑进行了调查,调查男、女生人数均为200,统 计得到以下2x2列联表 喜欢 不喜欢 合计 男生 120 80 200 女生 100 100 200 合计 220 180 400 (1) 是否有95%的把握认为学生对长跑的喜欢情况与性别有关联? (2) 为弄清学生不喜欢长跑的原因,从调查的不喜欢长跑的学生中按性别采用分层抽样的方 法随机抽取9人,再从这9人中抽取3人进行面对面交流,记随机变量×表示抽到的3人中女 生的人数,求x的分布列; (3) 将频率视为概率,用样本估计总体,从该校全体学生中随机抽取12人,记其中喜欢长跑 的人数为Y,求Y的数学期望 n#(ad-be)} 其中n=a+b+c+d =#(22) 0.050 0.025 0. 100 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 5.024 10.828 高二 数学期中考试试题 第4页共5页 17.(本小题满分15分) 已知数列{a 的前n项和为S.,S.=n^2}+2n(nEN),数列{b.)为等比数列,且a-1,+1 分别为数列. 第二项和第三项 (1)证明:数列a.是等差数列,并求其通项公式; (2)求数列{.的通项公式及其前n项和M.: (3)若数列d.= (a.+1)log2V# 一,证明:数列{d.)的前n项和T.<1. 18. (本小题满分17分) 已知函数f(x)=x+2,g(x)=2* 数列(aJ满足a=1,an+1=f$(). 且函数g(x)在点(n,g(n))处的切线斜率为数列(b-]的通项 bn (1)求数列fa3.fb)的通项公式 (2) 若数列fc]满足Cn=b:a,记T.为数列fcn]的前n项和,求T. 19.(本小题满分17分) x (1)讨论函数f(x)的单调性; 高二 数学期中考试试题 第5页共5页