专题04 二元一次方程组（期末真题汇编，山东专用）七年级数学下学期

**基本信息** 山东多地七年级下期期末试题汇编，聚焦二元一次方程组四大高频考点，涵盖概念辨析、解法应用、同解错解问题及实际应用，试题梯度分明，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|13题|二元一次方程（组）概念、解的判定、解法辨析|结合表格数据考查方程组解的关联，如临沂期末题通过两方程解表求方程组解| |填空题|10题|解的代入、参数计算、实际问题建模|融入古代数学文化，如《算法统宗》饮酒问题列方程组| |解答题|12题|解方程组、含参问题、实际应用（销售/工程/几何）|设计分层任务，如滨州期末题先求进价再探究购买方案，体现模型思想|

专题04 二元一次方程组 4大高频考点概览 考点01二元一次方程（组）、解的相关概念 考点02解二元一次方程组 考点03二元一次方程组同解、错解问题 考点04 二元一次方程组的实际应用 ( 考点01 二元一次方程（组）、解的相关概念 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列各组数满足方程的是（） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．1或 3．（24-25七年级下·山东淄博·期末）下面组数值中，是二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 7 2 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）方程组的解为，则被遮盖的①、②的两个数分别为（   ） A．12，2 B．2，12 C．2，8 D．21，5 6．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是二元一次方程的是（    ） A．①⑤ B．①④ C．①④⑤ D．②③⑤ 二、填空题 7．（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知是二元一次方程的一个解，则m的值为______． 三、解答题 8．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． ( 考点0 2 解二元一次方程组 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东日照·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）解关于x，y的方程组下列消元方法正确的是（   ） A．，消去x B．由②得代入①，消去y C．，消去x D．由②得代入①，消去y 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 二、填空题 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下列表格中给出的几组数都是关于x，y的二元一次方程的解，表格中m的值为________． x 0 1 2 5 y 3 1 m 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知关于x，y的方程组，则的值为______． 6．（24-25七年级下·山东济南·期末）已知，则的值是______． 7．（24-25七年级下·山东滨州·期末）已知，用含的式子表示______． 8．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知方程组，则代数式的值为______． 三、解答题 9．（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程组： (1) (2) 10．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 11．（24-25七年级下·山东青岛·期末）解方程组： (1)； (2)． 12．（24-25七年级下·山东滨州·期末）解方程组：． 13．（24-25七年级下·山东德州·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． (1)方程组的解x与y______（“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)关于x，y的方程组，其中a、b都是正整数，若该方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出a，b的值． ( 考点0 3 二元一次方程组同解 、错解 问题 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若方程组的解满足，则等于（ ） A． B． C． D． 二、填空题 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 3．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则______． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）方程组的解x，y互为相反数，则k的值是________． 5．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为______． 三、解答题 6．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 8．（24-25七年级下·山东威海·期末）小明在解方程组时，发现系数“□”模糊不清． (1)小明把“□”猜成3，求方程组的解； (2)已知原方程组的正确解x，y互为相反数，求“□”表示的数值． ( 考点0 4 二元一次方程组的实际应用 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济宁·期末）我国古代的《孙子算经》中有一个“二人持钱”问题，原文为：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文为：现有甲、乙两人各自带着一些钱，若甲拿到乙所带钱数的一半，则甲的总钱数为50文；若乙拿到甲所带钱数的三分之二，则乙的总钱数也是50文，求甲、乙两人最初各自带的钱数．要解决这个问题，若设甲原有x文钱，乙原有y文钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 3．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，将一块长12米宽6米的长方形苗圃划出五个大小相同的小长方形来种植五种不同的植物，则剩余阴影部分的面积为（    ）平方米． A．32 B．40 C．44 D．48 4．（24-25七年级下·山东济宁·期末）明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题：“隔墙听得客分银、不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（注：明代时1斤等于16两，故有“半斤八两”）．问：人与银各几何？”其大意如下：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两，问人与银各多少？设共有x人，y两银，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十六，三十八客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今38位客人醉倒了，他们总共饮16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶．根据题意，可列方程组为______． 6．（24-25七年级下·山东临沂·期末）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．书中有一道题的大意为：现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？设雀每只x斤，燕每只y斤，则可列出方程组为________． 7．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶______． 8．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，平面直角坐标系中的大长方形是由8块完全相同的小长方形拼成的，其中点的坐标为，则点的坐标为_____． 三、解答题 9．（24-25七年级下·山东滨州·期末）某超市为满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元． (1)求、两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 10．（24-25七年级下·山东日照·期末）某家电专卖店销售A，B两种型号的空调，已知四、五月份的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台总 销售额/万元 四月 10 15 12 五月 13 18 15 (1)分别求两种型号空调的销售单价； (2)六月份进入空调销售高峰期，专卖店为提升销售额，决定对，两种型号空调分别推出“以旧换新”和打折促销优惠政策：每台旧空调可抵1200元换购一台型空调；每台型空调优惠．某公司计划购买台型空调，台型空调，公司现有旧空调若干（数量大于）可供换购，若购买资金为36000元，请问有几种购买方案？并写出所有可行的购买方案． 11．（24-25七年级下·山东临沂·期末）根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过600元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的6倍，扫把簸箕套装不少于20套． 素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需35元，买2条毛巾和4套扫把簸箕套装共需50元． 素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的9折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打5折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 12．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若要从这两种食品中摄入的蛋白质含量等于，应选用两种食品各多少包（两种食品都选且不能拆分）？ 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04 二元一次方程组 4大高频考点概览 考点01二元一次方程（组）、解的相关概念 考点02解二元一次方程组 考点03二元一次方程组同解、错解问题 考点04 二元一次方程组的实际应用 ( 考点01 二元一次方程（组）、解的相关概念 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东威海·期末）下列各组数满足方程的是（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二元一次方程的解，掌握知识点是解题的关键． 将每个选项中的x和y值代入方程，验证是否成立即可． 【详解】解：方程是， 对于选项A：， 代入得，成立； 对于选项B：， 代入得，不成立； 对于选项C：， 代入得，不成立； 对于选项D：， 代入得，不成立． ∴只有选项A满足方程． 故选:A． 2．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于，的方程是二元一次方程，则的值为（   ） A．0 B． C．1 D．1或 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，熟练掌握二元一次方程的定义是解题的关键；根据二元一次方程的定义，方程中两个未知数的次数均为1，且系数不为零．由此确定关于的条件． 【详解】解：由题意得：且， ∴且， 解得：， 故选：B. 3．（24-25七年级下·山东淄博·期末）下面组数值中，是二元一次方程的解的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程的解；将各选项的x和y值分别代入方程中，验证等式是否成立即可． 【详解】解：选项A：代入方程左边：，不等于10，不满足方程． 选项B：代入方程左边：，等于右边10，满足方程． 选项C：代入方程左边：，不等于10，不满足方程． 选项D：代入方程左边：，不等于10，不满足方程． 综上，只有选项B满足方程， 故选：B． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 2 … 关于的二元一次方程的解如表： … 0 1 … … 7 2 … 则关于x，y的二元一次方程组的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，通过观察表格，找到两个二元一次方程的公共解，即可求解． 【详解】解：观察表格可知，方程和的公共解是． 因此得是． 故选D． 5．（24-25七年级下·山东泰安·期末）方程组的解为，则被遮盖的①、②的两个数分别为（   ） A．12，2 B．2，12 C．2，8 D．21，5 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，已知方程组的解为，，将其代入第二个方程可求出的值（即②），再将和的值代入第一个方程即可求出①的值． 【详解】解：将代入方程，得：， 解得： 因此，， 将和代入方程，得：， 因此，， 综上，被遮盖的两个数分别为12和2， 故选：A． 6．（24-25七年级下·山东烟台·期末）下列方程：①；②；③；④；⑤，其中是二元一次方程的是（    ） A．①⑤ B．①④ C．①④⑤ D．②③⑤ 【答案】B 【分析】本题考查二元一次方程的定义． 根据二元一次方程的定义（含有两个未知数，且未知数的次数为1的整式方程），逐一判断各方程是否符合条件． 【详解】解：方程① 含两个未知数，次数均为1，且为整式方程，符合条件． 方程②： 含两个未知数，次数为2，不符合条件． 方程③： 含两个未知数，y出现在分母，导致方程不是整式方程，不符合条件． 方程④： 化简后为，含两个未知数且次数为1，符合条件． 方程⑤： 含两个未知数，但xy项的次数为2，不符合条件． 综上，符合二元一次方程定义的为①和④． 故选B． 二、填空题 7．（24-25七年级下·山东淄博·期末）已知是二元一次方程的一个解，则m的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将已知解代入方程中解得m的值即可． 【详解】解：∵是二元一次方程的一个解， 则， 解得：， 故答案为：. 三、解答题 8．（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x，y的二元一次方程均可以变形为的形式，其中a，b，c，均为常数且，，规定：方程的“关联系数”记为． (1)【探索发现】二元一次方程的“关联系数”为______． (2)【拓展应用】已知关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为，若，为该方程的一组解，且均为正整数，求m，n的值． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组解的情况求参数，解题的关键是理解题意，熟练掌握解方程组的方法． （1）根据关联系数的定义进行解答即可； （2）根据关联系数的定义得出该二元一次方程为，把代入，得出，根据m、n均为正整数，求出结果即可； 【详解】（1）解：∵规定：方程的“关联系数”记为， ∴二元一次方程的“关联系数”为； 故答案为：； （2）解：∵关于x，y的二元一次方程的“关联系数”为， ∴二元一次方程为． ∵为该方程的一组解， ∴，即． ∵m，n均为正整数， ∴或 ( 考点0 2 解二元一次方程组 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东日照·期末）对定义一种新运算，规定：（其中均为非零常数）．例如，若，则下列结论：①；②若，则；③若，则有且仅有1组正整数解；④若对任意有理数都成立，则．其中正确的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组及新定义运算，理解新定义运算的规定是解决本题的关键．根据新定义运算建立方程组求解a、b的值，逐一验证各结论的正确性． 【详解】由得：，即； 由得：，即． 联立方程组： ， 解得：，，故结论①正确． ，即，解得，结论②正确． 方程的正整数解为： 时，； 时，， 共有2组解，结论③错误． 由得： ， ∴， 对所有成立，需，即，结论④错误． 综上，正确的结论为①、②，共2个， 故选B． 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）解关于x，y的方程组下列消元方法正确的是（   ） A．，消去x B．由②得代入①，消去y C．，消去x D．由②得代入①，消去y 【答案】C 【分析】本题考查二元一次方程组的消元方法，需通过代入或加减消元判断各选项的正确性． 【详解】选项A：将得：，与①相加后为：，即，消去的是y而非x，故A错误． 选项B：由②得代入①，得，方程仍含y，消去的是x，故B错误． 选项C：将得：，得：，两式相减得：，即，消去x，故C正确． 选项D：由②得，故D错误． 故选C． 3．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）已知方程组，则的值为（   ） A． B．2 C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了解二元一次方程组，先分别求出，，然后利用因式分解转化为求解． 【详解】 将①式与②式相加： ∴ 用②式减去①式： ∴ ∴ 故选B． 二、填空题 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）下列表格中给出的几组数都是关于x，y的二元一次方程的解，表格中m的值为________． x 0 1 2 5 y 3 1 m 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的解，能熟记方程的解的定义（使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解）是解此题的关键． 将代入中求出，再把代入求出，再将代入方程即可求出m． 【详解】解：把代入，得， ∴， 则， 把代入，得， ∴， ∴二元一次方程为：， 把代入，得， ∴， ∴． 故答案为：． 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）已知关于x，y的方程组，则的值为______． 【答案】1 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握消元法解方程组是解题的关键．将方程组的两个方程相加，得到，等式两边同时除以3即可得出答案． 【详解】解： 得，， 整理得：， 故答案为：1． 6．（24-25七年级下·山东济南·期末）已知，则的值是______． 【答案】8 【分析】本题主要考查了非负数的性质，解二元一次方程组．根据非负数的性质可得关于x，y的方程组，解出方程组即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴． 故答案为：8． 7．（24-25七年级下·山东滨州·期末）已知，用含的式子表示______． 【答案】 【分析】此题主要考查等式的性质变形， 根据等式的性质进行变形即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山东聊城·期末）已知方程组，则代数式的值为______． 【答案】7 【分析】本题考查了解二元一次方程组，由得，由．然后代入计算即可． 【详解】解： ，得 ，得 ∴ 故答案为：7 三、解答题 9．（24-25七年级下·山东聊城·期末）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组． （1）用加减消元法解二元一次方程组即可； （2）先对方程组中的方程进行化简整理，再用加减消元法解二元一次方程组即可． 【详解】（1）解： 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． （2）解： 原方程组整理化简为：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 10．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若关于x，y的方程组． (1)求方程组的解（用含m的代数式表示）； (2)若方程组的解满足，，求m的整数解． 【答案】(1) (2)2， 【分析】本题考查了解二元一次方程组和一元一次不等式组，一元一次不等式的整数解，解决本题的关键是求出方程组的解集． （1）利用加减法解方程组即可； （2）根据方程组的解满足，得到不等式组，解不等式组就可以得出m的范围，进而求得m的整数解． 【详解】（1）， ②-①得： 解得：， 把代入①得：， 解方程组为； （2），， ， 解得：， 的整数解是：2， 11．（24-25七年级下·山东青岛·期末）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握加减消元法是解题的关键． （1）利用加减消元法解方程组即可； （2）利用加减消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 方程组的解为； （2）解：， ，得，     ，得， ，得， 解得：， 把代入，得， 解得：， 方程组的解为． 12．（24-25七年级下·山东滨州·期末）解方程组：． 【答案】． 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种．先化简，然后用加减消元法求解即可． 【详解】解：整理得， 得，即， 将代入①得，即， 则这个方程组的解为． 13．（24-25七年级下·山东德州·期末）对于关于x，y的二元一次方程组，如果方程组的解x，y满足，我们就说方程组的解x与y具有“友好关系”． (1)方程组的解x与y______（“具有”或“不具有”）“友好关系”； (2)若方程组的解x与y具有“友好关系”，求m的值； (3)关于x，y的方程组，其中a、b都是正整数，若该方程组的解x与y具有“友好关系”，请求出a，b的值． 【答案】(1)具有 (2)或 (3)或 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，根据方程组的解的情况求参数，正确理解题意是解题的关键． （1）利用加减消元法求出方程组的解，再根据“友好关系”的定义判断即可； （2）利用加减消元法得到，再根据“友好关系”的定义得到，解方程即可得到答案； （3）利用加减消元法求出方程组的解，进而得到，根据“友好关系”的定义可得，据此讨论求解即可． 【详解】（1）解： 得：，解得， 把代入②得：，解得， ∴原方程组的解为， ∴， ∴方程组的解x与y具有“友好关系”； （2）解： 得，， ∴， ∵方程组的解x与y具有“友好关系”， ∴， ∴或， 解得或， ∴m的值为或； （3）解： 得，，解得， 把代入②得，， ∴， ∴ ∵方程组的解具有“友好关系”， ∴， ∴， 当时，可得， ∵a与b都是正整数， ∴或； 当时，可得，而a与b都是正整数矛盾，此种情况不成立， ∴当或时，此时方程组的解具有“友好关系”． ( 考点0 3 二元 一次方程组同解 、错解 问题 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东淄博·期末）若方程组的解满足，则等于（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，二元一次方程组解法，根据题意，两个方程相加得出，再根据，即可得出，即可得出答案，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：， ，得， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题 2．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）甲、乙两人同时解关于的方程组，甲解得正确结果为，乙因为抄错了，解得错误结果为，则的值应为________． 【答案】7 【分析】本题考查了二元一次方程组解的运用，根据甲的解得到，根据乙的解得到，运用特殊解法得到，由此即可求解． 【详解】解：甲解得正确结果为，代入方程组， ∴， ∴由②解得，， 乙因为抄错了，解得错误结果为， ∴，即， ∴得，，即， ∴， 故答案为：7 ． 3．（24-25七年级下·山东潍坊·期末）小莹和小亮同时解关于，的方程组，小莹解得正确结果为，小亮因为抄错了，解得错误结果为，则______． 【答案】3 【分析】本题主要考查二元一次方程组的解，把代入方程组得，再把代入方程组中第一个方程得，联立①②③，求出，，的值代入计算即可． 【详解】解：把代入方程组得， ∵是方程的一组解， ∴， 联立①②③，并解得， ∴， 故答案为：3． 4．（24-25七年级下·山东临沂·期末）方程组的解x，y互为相反数，则k的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解； 两方程相加可得，再根据x，y互为相反数可知，据此求解即可． 【详解】解：， ①+②得：， ∴， ∵x，y互为相反数， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 5．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）若关于x、y的方程组和的解相同，则的值为______． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解答此题的关键是根据两方程组有相同的解得到关于x、y的方程组，求出x、y的值，再将x、y的值代入含a、b的方程组即可求出a、b的值，即可求出代数式的值． 因为两个方程组有相同的解，故只要将两个方程组中不含有a，b的两个方程联立，组成新的方程组，求出x和y的值，再代入含有a，b的两个方程中，解关于a，b的方程组即可得出a，b的值，代入计算即可． 【详解】解：联立， 解得， 将代入， 得， 解得， ∴． 故答案为：0． 三、解答题 6．（24-25七年级下·山东临沂·期末）已知关于x，y的方程组． (1)请直接写出方程的所有正整数解； (2)若方程组的解满足，求m的值． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查的是二元一次方程的正整数解问题，二元一次方程组的解法，同解方程组的含义，掌握“二元一次方程组的解法” 是解本题的关键． （1）由x，y为正整数，从而可得方程的正整数解； （2）先构建新的方程组，再解方程组求解x，y的值，再把x，y的值代入，再求解m的值即可． 【详解】（1）解：方程的所有正整数解：或； （2）解：由题意得：， 解得， 把 代入， 得： ， 解得． 7．（24-25七年级下·山东泰安·期末）阅读下列文字，请仔细体会其中的数学思想． （1）解方程组，利用加减消元法，很快可求得此方程组的解为______； （2）如何解方程组呢？我们可以把，看成一个整体，设，，很快可以求出原方程组的解为______； 由此请你解决下列问题： 若关于，的方程组与有相同的解，求、的值． 【答案】（1）；（2）；，． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，熟练掌握二元一次方程组的解法，理解同解方程组的意义，并利用整体思想解题是关键． （1）利用加减消元法解二元一次方程组即可得； （2）直接根据（1）的结论可得，由此即可得；根据两个方程组有相同的解求出，的值，继而求出的值即可得． 【详解】解：（1）， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 则方程组的解为， 故答案为：； （2）由（1）得：， 解得：， 即原方程组的解为， 故答案为：； ，的方程组与有相同的解， ， 解得：， 将代入方程得：，解得：， 将代入方程得：，解得：， 则，， 解得：，． 8．（24-25七年级下·山东威海·期末）小明在解方程组时，发现系数“□”模糊不清． (1)小明把“□”猜成3，求方程组的解； (2)已知原方程组的正确解x，y互为相反数，求“□”表示的数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，也考查了二元一次方程组的解，能得出关于的方程是解（2）的关键． （1）得出，求出，把代入求出即可； （2）把代入求出，再求出，最后求出答案即可． 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， 所以方程组的解是：； （2）解：设“□”为， 、是一对相反数， 把代入得：， 解得：， 即， ∴方程组的解是， 代入得：， 解得：， 即原题中“□”是． ( 考点0 4 二元一次方程组的实际应用 ) 一、单选题 1．（24-25七年级下·山东济宁·期末）我国古代的《孙子算经》中有一个“二人持钱”问题，原文为：“今有甲乙二人持钱不知其数．甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问甲、乙持钱各几何？”译文为：现有甲、乙两人各自带着一些钱，若甲拿到乙所带钱数的一半，则甲的总钱数为50文；若乙拿到甲所带钱数的三分之二，则乙的总钱数也是50文，求甲、乙两人最初各自带的钱数．要解决这个问题，若设甲原有x文钱，乙原有y文钱，则可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组．设甲原有x文钱，乙原有y文钱，根据“若甲得到乙一半的钱，则甲有50文钱；若乙得到甲三分之二的钱，则乙也有50文钱”，即可得出关于x、y，的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：由题意可得： 故选：C． 2．（24-25七年级下·山东德州·期末）现有一项工作，A、B、C、D四人都可做，下表显示了两人组合共同完成该项工作所需要的时间，要想只安排一个人去做该工作，并且要求在最短的时间内完成，应该安排的人是（   ） 组合 A与B B与C A与C B与D 所需时间 7天 9天 11天 14天 A．A B．B C．C D．D 【答案】B 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用；设A、B、C、D的工作效率分别为、、、，通过比较各组合的工作效率，确定每个人的工作效率高低，从而找出单独完成时间最短的人即可． 【详解】解：设A、B、C、D的工作效率分别为、、、（效率指每天完成的工作量）．根据组合时间可得： 1． 2． 3． 4． 解前三个方程： 联立方程1、2、3，得： ，，． 比较可知：． 由方程4得：（负数不合理，说明D效率极低）． 综上，B的效率最高，单独完成时间最短，应安排B． 故选：B． 3．（24-25七年级下·山东聊城·期末）如图，将一块长12米宽6米的长方形苗圃划出五个大小相同的小长方形来种植五种不同的植物，则剩余阴影部分的面积为（    ）平方米． A．32 B．40 C．44 D．48 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设小长方形的长为米，宽为米，根据题意列出二元一次方程组，解方程组得出小长方形的长和宽，即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：设小长方形的长为米，宽为米， 由题意可得：， 解得：， ∴剩余阴影部分的面积为（平方米）， 故选：A． 4．（24-25七年级下·山东济宁·期末）明代珠算大师程大位著有《珠算统筹》一书，书中有一题：“隔墙听得客分银、不知人数不知银，七两分之多四两；九两分之少半斤（注：明代时1斤等于16两，故有“半斤八两”）．问：人与银各几何？”其大意如下：隔墙听人分银子，每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两，问人与银各多少？设共有x人，y两银，则可列方程组为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了列二元一次方程组； 设共有x人，y两银，根据“每人分7两，则多4两；每人分9两，则少8两”列方程组即可． 【详解】解：设共有x人，y两银， 根据题意得：， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25七年级下·山东德州·期末）明代《算法统宗》有一首饮酒数学诗：“醇酒一瓶醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十六，三十八客醉颜生，试问高明能算士，几多醇酒几多薄？”这首诗是说：“好酒一瓶，可以醉倒3位客人：薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今38位客人醉倒了，他们总共饮16瓶酒．试问：其中好酒、薄酒分别是多少瓶？”设有好酒瓶，薄酒瓶．根据题意，可列方程组为______． 【答案】 【分析】设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据他们总共饮16瓶酒．得，根据好酒一瓶，可以醉倒3位客人；薄酒三瓶，可以醉倒1位客人，如今38位客人醉倒了，得，即可得到方程组． 本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设有好酒x瓶，薄酒y瓶．根据题意，得 ． 故答案为：． 6．（24-25七年级下·山东临沂·期末）被历代数学家尊为“算经之首”的《九章算术》是中国古代算法的扛鼎之作．书中有一道题的大意为：现在有5只雀、6只燕，分别集中放在天平上称重，聚在一起的雀重燕轻．将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，5只雀和6只燕共重1斤，问雀和燕各重多少？设雀每只x斤，燕每只y斤，则可列出方程组为________． 【答案】 【分析】本题考查根据实际问题列方程组，根据5只雀和6只燕共重1斤，将一只雀一只燕交换位置而放，重量相等，列出方程组即可． 【详解】解：由题意，可得； 故答案为： 7．（24-25七年级下·山东滨州·期末）一辆自行车换胎，若新轮胎安装在前轮，则自行车行驶2500后报废；若新轮胎安装在后轮，则自行车行驶1500后报废，如果可以在自行车行驶一定的路程后，通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，那么这对新轮胎一共能支持自行车行驶______． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用． 设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废，根据通过交换前后轮轮胎使一辆自行车的一对新轮胎同时报废，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之可得出x，y的值，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：设新轮胎安装在后轮行驶时更换到前轮，在前轮又行驶了报废， 根据题意得：， 解得：， ∴（）， ∴这对新轮胎一共能支持自行车行驶． 故答案为：． 8．（24-25七年级下·山东日照·期末）如图，平面直角坐标系中的大长方形是由8块完全相同的小长方形拼成的，其中点的坐标为，则点的坐标为_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，坐标与图形，设小长方形的长为a，宽为b，根据点A的坐标结合图形可得方程组的解为，解方程组即可得到答案． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， ∵点A的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴点B的坐标为， 故答案为：． 三、解答题 9．（24-25七年级下·山东滨州·期末）某超市为满足广大航天爱好者的需求，计划购进、两种航天载人飞船模型进行销售，据了解，2件种航天载人飞船模型和3件种航天载人飞船模型的进价共计95元；3件种航天载人飞船模型和2件种航天载人飞船模型的进价共计105元． (1)求、两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ (2)若该超市计划正好用250元购进以上两种航天载人飞船模型（两种航天载人飞船模型均有购买），请你写出所有购买方案． 【答案】(1)A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元 (2)①购进7件A型飞船模型和5件B型飞船模型；②购进4件A型飞船模型和10件B型飞船模型；③购进1件A型飞船模型和15件B型飞船模型 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用及二元一次方程的正整数解的应用，找准等量关系列出二元一次方程（组）是解题关键． （1）设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元，根据“2种A型飞船模型和3种B型飞船模型的进价共计95元；3种A飞船模型和2种B型飞船模型的进价共计105元”，即可得关于x、y的二元一次方程组，解之即可； （2）设购进a件A型飞船模型和b件B型飞船模型，根据总价单价数量，得到关于a、b的二元一次方程，结合a、b是正整数即可得所有购买方案． 【详解】（1）解：设A种飞船模型每件进价x元，B种飞船模型每件进价y元， 根据题意，得， 解得， 答：A种飞船模型每件进价25元，B种飞船模型每件进价15元； （2）解：设购进a件A种飞船模型和b件B种飞船模型， 根据题意，得， ∴， ∵a，b均为正整数， ∴当时，；当时，；当时，， ∴所有购买方案如下： ①购进7件A种飞船模型和5件B种飞船模型； ②购进4件A种飞船模型和10件B种飞船模型； ③购进1件A种飞船模型和15件B种飞船模型． 10．（24-25七年级下·山东日照·期末）某家电专卖店销售A，B两种型号的空调，已知四、五月份的销售情况如表所示： A型空调数量/台 B型空调数量/台总 销售额/万元 四月 10 15 12 五月 13 18 15 (1)分别求两种型号空调的销售单价； (2)六月份进入空调销售高峰期，专卖店为提升销售额，决定对，两种型号空调分别推出“以旧换新”和打折促销优惠政策：每台旧空调可抵1200元换购一台型空调；每台型空调优惠．某公司计划购买台型空调，台型空调，公司现有旧空调若干（数量大于）可供换购，若购买资金为36000元，请问有几种购买方案？并写出所有可行的购买方案． 【答案】(1)型空调销售单价为6000元，型空调销售单价为4000元 (2)共有两种购买方案；方案一：购买型空调3台，型空调6台；方案二：购买型空调6台，型空调2台 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次不定方程的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，找出合适的等量关系，列方程组和二元一次不定方程． （1）设型空调销售单价为元，型空调销售单价为元，根据表格找出等量关系式，列出相应的方程组，从而可以解答本题； (2)根据条件列出二元一次不定方程，求解所有满足条件的解，得出方案即可． 【详解】（1）（1）设型空调销售单价为元，型空调销售单价为元，根据题意得 ， 解得： 答：型空调销售单价为6000元，型空调销售单价为4000元． （2）根据题意得：， 化简，得， 由题意可知，，都是正整数， 所以方程的所有正整数解为或， 所以共有两种购买方案；方案一：购买A型空调3台，B型空调6台；方案二：购买A型空调6台，B型空调2台． 11．（24-25七年级下·山东临沂·期末）根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买保洁物品 问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布，劳动课正式成为中小学的一门独立课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 为了保障劳动教育的有序进行，某学校需要增加保洁物品的库存量，计划用不超过600元的总费用购买扫把簸箕套装与毛巾两种物品．考虑两种物品的易损情况，要求毛巾的数量是扫把簸箕套装数量的6倍，扫把簸箕套装不少于20套． 素材2 商店物品价格情况：买3条毛巾和2套扫把簸箕套装共需35元，买2条毛巾和4套扫把簸箕套装共需50元． 素材3 商店提供以下两种优惠方案： 方案1：两种商品按原价的9折出售； 方案2：两种商品总额不超过400元的按原价付费，超过400元的部分打5折． 问题解决 任务1 确定物品单价 请运用所学知识，求出毛巾和扫把簸箕套装的单价． 任务2 探究购买方案 如果学校只按商店提供的其中一种优惠方案来购买，学校该购进毛巾和扫把簸箕套装数量分别是多少？ 【答案】任务1：毛巾单价为5元，扫把簸箕套装的单价为10元；任务2：学校购买扫把簸箕套装20套，毛巾120条 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出方程组与不等式是解此题的关键． 任务1：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； 任务2：设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条，根据题意列出一元一次不等式，计算即可得解． 【详解】任务1： 解：设毛巾的单价为元，扫把簸箕套装单价为元． 根据题意得： 解得 答：毛巾单价为5元，扫把簸箕套装的单价为10元． 任务2： 设学校购买扫把簸箕套装套，则购买毛巾条， ∴购买扫把簸箕套装和毛巾的费用为（元） 方案一： 依题意，得， 解得， ∵扫把簸箕套装不少于20套． 即， 则方案一不符合题意，故舍去； 方案二： ∵扫把簸箕套装不少于20套，即， ∴总费用， ∴根据题意，得， 解得， ∵， ∴， ∴ 答：学校选择方案2，购买扫把簸箕套装20套，毛巾120条． 12．（24-25七年级下·山东菏泽·期末）为响应“全民植树增绿，共建美丽中国”的号召，某学校组织学生到郊外参加义务植树活动，并准备了两种食品作为午餐．这两种食品每包质量均为，营养成分如图所示． (1)若要从这两种食品中摄入热量和蛋白质，应选用两种食品各多少包？ (2)运动量大的人或青少年对蛋白质的摄入量应更多．若要从这两种食品中摄入的蛋白质含量等于，应选用两种食品各多少包（两种食品都选且不能拆分）？ 【答案】(1)应选用两种食品各为3包，2包 (2)应选用两种食品各为5包，2包或2包，4包 【分析】本题主要考查二元一次方程（组）的运用，理解数量关系，正确列式求解是关键． （1）设两种食品各为x包，y包，，根据材料提示的热量与蛋白质的数量列方程组求解即可； （2）设两种食品各为m包，n包，，根据题意列方程，结合题意，分别列举不等的值，代入计算即可求解． 【详解】（1）解：设两种食品各为x包，y包，根据题意可列方程组， ， 解方程组得， ∴应选用两种食品各为3包，2包． （2）解：设两种食品各为m包，n包，根据题意可列方程为， ∴， ∵为正整数， ∴当，或，时，符合题意， ∴应选用两种食品各为5包，2包或2包，4包． 2 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $