期末专题：正比例与反比例（专项训练）-2025-2026学年六年级数学下册北师大版

**基本信息** 以正反比例概念为核心，通过“定义判断-关系推导-实际应用”三级训练体系，系统培养比例思维与模型意识 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|选择1-5、填空8|比值/乘积一定判断法|从定义出发，通过正反例对比强化概念理解| |关系应用|填空6-7、11-12|比例式构建与转化|结合公式推导，建立量间依存关系| |实际问题解决|解答16-22|图像分析与比例方程|联系生活情境，培养用数学语言表达现实问题的能力|

期末专题：正比例与反比例 一、选择题 1．每杯青提茉莉的价格一定，购买的数量和所需的钱数（    ）。 A．成正比例 B．成反比例 C．不成比例 D．无法确定 2．关于圆柱的侧面积、底面周长、高这三种量，下列说法正确的是（    ）。 A．当底面周长一定时，圆柱的侧面积与高成正比例 B．当高一定时，圆柱的侧面积与底面周长成反比例 C．当侧面积一定时，底面周长与高成正比例 D．当底面周长一定时，圆柱的侧面积与高成反比例 3．一辆汽车3小时行驶200千米。照这样的速度，它行驶35千米，需要m小时。根据这个信息，列出比例正确的是（    ）。 A．3∶200＝35∶m B．m∶35＝200∶3 C．200∶3＝35∶m D．m∶3＝200∶35 4．下面是数学社团四名同学关于“两个量是否成正比例”的说法，正确的（    ）。 笑笑：“路程与时间的比值一定，路程与时间成正比例。” 妙想：“铅笔的单价一定，应付金额与买的数量成正比例。” 奇思：“正方形的周长公式是，正方形的周长是边长的4倍，所以正方形的周长与边长成正比例。” 淘气：“东东的年龄会随爸爸年龄的变化而变化，爸爸的年龄与东东的年龄成正比例。” A．只有笑笑 B．只有笑笑和淘气C．只有妙想和奇思 D．只有笑笑，妙想和奇思 5．机器上有大、小两个齿轮，在同一时间内，两个齿轮转过相同的齿数。根据这一现象，下列说法错误的是（    ）。 A．大、小齿轮在同一时间内转动时，小齿轮转的圈数多 B．转过的总齿数一定时，齿轮的齿数和转过的圈数成反比例 C．小齿轮有24个齿，大齿轮有56个齿，若小齿轮每分钟转28圈，则大齿轮每分钟转12圈 D．同一时间内，大齿轮转动6圈，小齿轮转动15圈，说明大、小齿轮的齿数比是2∶5 二、填空题 6．若，则x∶y＝( )∶( )，x和y成( )比例关系。 7．下表中，如果x和y成正比例，那么“？”处应填( )；如果x和y成反比例，那么“？”处应填( )。 x 6 9 y 18 ？ 8．六年级同学总人数一定，出勤人数与缺勤人数( )；六年级同学排队做操，每行人数和排成的行数( )。（在括号里填“成正比例”“成反比例”或“不成比例”） 9．古代用“土圭之法”测量日影、判断节气。在同一时间、同一地点，一根高3米的标杆，影长120厘米，同时测得土圭的影长为180厘米。土圭的实际高度是( )米。 10．小鹿和兔子的奔跑情况如下图所示。小鹿的奔跑路程与奔跑时间成( )比例，从图上看，( )奔跑的速度更快。 11．用一批纸装订练习本。如果每本30页，可以装订400本；如果要装订500本，每本有24页。题中纸的总页数一定，关系式：( )____( )纸的总页数（一定），( )和( )成( )比例。 12．“天猫双十一”期间，某线上商场所有物品都以同样的折扣销售。原价400元的衣服，现价280元。如果用a表示原价，b表示现价，用式子表示a和b的数量关系是( )，a和b成( )比例关系。 13．两个相互啮合的齿轮，它们在同一时间内转动时，大齿轮与小齿轮转过的总齿数是相同的。大齿轮有34个齿，小齿轮有24个齿。当大齿轮每分转60圈时，小齿轮每分转( )圈。 14．学校会议室用方砖铺地，如果用面积36平方分米的方砖，需要80块。如果改用边长为8分米的方砖，需要( )块。 15．某平行四边形的底和高的关系如下图所示。当底是20cm时，高是( )cm，当高是3cm时，底是( )cm，底和高成( )比例，平行四边形相邻的两边( )比例。 三、解答题 16．要给一间会议室铺砖，用面积是36平方分米的方砖需160块，用面积是64平方分米的方砖，需要多少块？（用比例解） 17．某工程队修一条公路，原计划每天修450米，80天完成。实际每天比原计划多修150米，实际多少天可以完成？（要求用比例知识解答） 18．加工一种零件，3天可以完成120个，照这样计算，再做2天，一共可以完成多少个？（用比例解） 19．修一条路，原计划每天修1.5千米，原计划每天比实际少修0.5千米，实际提前5天完成，这条路原计划多少天修完？（用比例知识解决） 20．下面的图像表示摩托车和电动车的行驶情况。 (1)摩托车的行驶路程与行驶时间是否成正比例？电动车呢？请写出理由。 (2)计算一下，12分钟摩托车行驶了( )千米，电动车行驶了( )千米。 (3)从图像上看，( )行驶的快一些。摩托车行24千米所用的时间比电动车行24千米所用时间( )（填“多”或“少”）( )分钟。 21．下边的图象表示实验小学食堂的用煤天数和用煤量的关系。 (1)根据图象，你能判断用煤天数和用煤量成什么比例吗？ (2)如果用x表示用煤的天数，y表示用煤的吨数，k表示每天的用煤量，它们之间的关系可以表示为( )。 (3)根据图象判断，5天要用多少吨煤？2.7吨煤可用多少天？ 22．中国空间站“天和”核心舱绕地球做近似匀速圆周运动，速度约为7.9千米/秒。 时间/秒 0 100 200 300 400 路程/km 0 790 1580 2370 (1)空间站匀速飞行400秒，飞过的实际路程约是多少千米？算一算并完成表格。 (2)如果用s表示路程，用t表示时间，那么s＝___________。路程与时间是否成正比例？为什么？ (3)在星下点轨迹图上，用1厘米表示395千米。空间站飞行300秒的实际路程按此比例尺画到图上，应画多少厘米？ 第4页，共6页 第5页，共5页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 1．A 【分析】每杯青提茉莉的价格一定，根据单价、数量、总价之间的关系判断购买的数量和所需的钱数的商一定还是乘积一定即可判断出二者之间的关系。 【详解】所需钱数÷购买的数量＝每杯青提茉莉的价格（一定），单价一定，所需钱数与购买的数量的商一定，购买的数量和所需钱数成正比例。 2．A 【分析】如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系。 【详解】A．圆柱的侧面积÷高＝底面周长，当底面周长一定时，圆柱的侧面积与高成正比例，选项说法正确； B．圆柱的侧面积÷底面周长＝高，当高一定时，圆柱的侧面积与底面周长成正比例，选项说法错误； C．圆柱的底面周长×高＝侧面积，当侧面积一定时，底面周长与高成反比例，选项说法错误； D．圆柱的侧面积÷高＝底面周长，当底面周长一定时，圆柱的侧面积与高成正比例，选项说法错误。 说法正确的是当底面周长一定时，圆柱的侧面积与高成正比例。 3．C 【分析】速度＝路程÷时间，“照这样的速度”的意思就是速度不变，路程与时间成正比例关系，即路程∶时间＝速度（一定）。 【详解】A．3∶200是时间比路程，35∶m是路程比时间，两个比的意义不同，错误； B．m∶35是时间比路程，200∶3是路程比时间，两个比的意义不同，错误； C．200∶3是路程比时间，35∶m是路程比时间，两个比的意义相同，都表示速度，正确； D．m∶3是时间比时间，200∶35是路程比路程，两个比的意义不同，不能表示相等的速度，错误。 根据这个信息，列出比例正确的是200∶3＝35∶m。 4．D 【分析】两个相关联的量，如果这两个量比值一定，它们成正比例，据此逐一判断四人说法。 【详解】笑笑：路程÷时间＝速度（比值一定），成正比例，说法正确。 妙想：应付金额÷数量＝单价（比值一定），成正比例，说法正确。 奇思：正方形周长÷边长＝4（比值一定），成正比例，说法正确。 淘气：爸爸与东东年龄的比值不固定，不成正比例，说法错误。 综上，笑笑、妙想、奇思说法正确，淘气说法错误。 5．D 【分析】互相啮合的齿轮，在同一时间内转过的总齿数相等，即“齿轮齿数转动圈数转过的总齿数（一定）”。两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量。据此可知齿数与圈数成反比例关系。 【详解】A．转过的总齿数一定，齿轮齿数越少，转动圈数越多。小齿轮的齿数较少，所以小齿轮转的圈数多，此选项正确； B．转过的总齿数一定，即齿轮齿数与转动圈数的乘积一定，符合反比例的意义，所以齿轮的齿数和转过的圈数成反比例，此选项正确； C．大齿轮每分钟转的圈数为24×28÷56＝12（圈），计算结果与选项一致，此选项正确； D．齿数与圈数成反比例，所以大齿轮齿数∶小齿轮齿数小齿轮圈数∶大齿轮圈数。已知大齿轮转6圈，小齿轮转15圈，则齿数比为15∶6＝5∶2，此选项错误。 6． 3 4 正 【分析】两种相关联的量中相对应的两个数的比值一定，这两个量是正比例关系。先根据等式求出x与y的比，再根据正比例关系的定义判断x和y成什么比例关系。 【详解】 4x＝3y x∶y＝3∶4 （比值一定） x和y成正比例关系。 7． 27 12 【分析】如果两个量是比值一定，就成正比例；如果两个量是乘积一定，则成反比例。据此解答。 【详解】如果x和y成正比例，则x和y的比值一定， ＝ 解：6x＝18×9 6x＝162 6x÷6＝162÷6 x＝27 如果x和y成反比例，则x和y的乘积一定， 6×18＝9x 解：9x＝108 9x÷9＝108÷9 x＝12 8． 不成比例 成反比例 【分析】如果x÷y＝k（一定），x和y成正比例关系；如果xy＝k（一定），x和y成反比例关系；除此之外不成比例关系。 【详解】出勤人数＋缺勤人数＝总人数，六年级同学总人数一定，出勤人数与缺勤人数不成比例；每行人数×排成的行数＝总人数，六年级同学排队做操，每行人数和排成的行数成反比例。 9．4.5 【分析】在同一时间、同一地点，物体的实际高度与影长的比值固定，即每厘米影长对应的实际高度相等。 【详解】3米＝300厘米 300÷120＝2.5（厘米） 2.5×180＝450（厘米） 450厘米＝4.5米 10． 正 小鹿 【分析】两种相关联的量，若比值一定，这两个量成正比例关系，正比例关系的图像是一根直线，小鹿的奔跑路程÷时间＝速度（一定），且小鹿奔跑的图像也符合正比例图像的特征，据此解答； 从图中可以看出，相同的奔跑时间下，小鹿对应的奔跑路程比兔子更远，根据速度＝路程÷时间，时间相同，路程更大，那么小鹿奔跑的速度更快。 【详解】由小鹿奔跑的图像可得： 7.5∶10＝15∶20＝30∶40＝…… 路程∶时间＝速度（一定） 路程与时间的比值一定，小鹿的奔跑路程与奔跑时间成正比例； 由分析可知，从图上看，小鹿奔跑的速度更快。 11． 每本页数 × 装订本数＝ 每本页数 装订本数 反 【分析】两种相关联的量中相对应的这两个数的乘积一定，这两种量叫做成反比例关系。纸的总页数是固定的，每本的页数和装订的本数是两种相关联的量，且它们的乘积等于纸的总页数。 【详解】30×400＝12000（页） 24×500＝12000（页） 每本的页数×装订的本数＝纸的总页数（一定），因为纸的总页数一定，也就是每本的页数和装订的本数的乘积一定，因此每本的页数和装订的本数成反比例。 12． b＝0.7a 正 【分析】根据题意，所有物品折扣相同。利用已知衣服的现价除以原价，求出折扣；再根据“现价＝原价×折扣”，将原价用a表示，现价用b表示，列出等式。 （2）若两个相关联量的比值（商）一定，则这两个量成正比例关系。若两个相关联量的乘积一定，则这两个量成反比例关系。据此分析a和b的比例关系。 【详解】（1）280÷400＝0.7＝，即打七折。 因为现价＝原价×0.7，所以b＝a×0.7，即b＝0.7a。 （2）由 b＝0.7a 可知＝0.7。 因为a和b是两种相关联的量，且它们的比值一定（等于0.7），符合正比例关系的定义。所以，a和b成正比例关系。 13．85 【分析】由题意得，齿数×齿轮转的圈数＝总齿数（一定），积一定，齿数与齿轮转的圈数成反比例关系，据此列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设小齿轮每分钟转圈。 24＝34×60 24＝2040 ＝2040÷24 ＝85 所以小齿轮每分转85圈。 14．45 【分析】学校会议室的地面面积一定，每块方砖的面积×需要方砖的块数＝会议室的地面面积（一定），则每块方砖的面积和需要方砖的块数成反比例，现在每块方砖的面积×需要的块数＝原来每块方砖的面积×需要的块数，据此用比例解答。 【详解】解：设需要块。 如果改用边长为8分米的方砖，需要45块。 15． 6 40 反 不成 【分析】由图像可知，当底为120厘米，高为1厘米，底和高的乘积为定值（平行四边形面积不变），所以平行四边形的面积为120平方厘米，当底为20厘米时，计算出对应高为6厘米。 当高为3cm时，底为40厘米（依据底和高的乘积为120）； 因为底×高为120（为定值），根据反比例的定义，两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的乘积一定，这两种量就叫做成反比例的量，所以底和高成反比例； 平行四边形相邻两边的长度和与积都不是定值，因此相邻两边不成比例。 【详解】（平方厘米） （厘米） （厘米） 当底是20厘米时，高是6厘米，当高是3厘米时，底是40厘米，底和高成反比例，平行四边形相邻的两边不成比例。 16．90块 【分析】会议室的总面积是一定的，根据数量关系“方砖面积块数会议室总面积”，可知方砖的面积与需要的块数的乘积一定，所以方砖面积与块数成反比例关系。据此设需要块，根据“旧方砖面积块数＝新方砖面积块数”列出方程求解即可。 【详解】解：设需要块。 答：需要90块。 17．60天 【分析】因为修路的总长度是固定不变的，而每天修的长度×天数＝修路总长度（积一定），所以每天修的长度和天数成反比例关系。设实际需要x天完成，实际每天修的长度是450＋150＝600米，根据反比例的等量关系可列出方程：600x＝450×80，解方程即可解答。 【详解】解：设实际x天可以完成。 （450＋150）×x＝450×80 600x＝36000 600x÷600＝36000÷600 x＝60 答：实际60天可以完成。 18． 200 个 【分析】因为3天可以完成120个，所以每天完成的个数＝1203， 一共可以完成的个数＝对应的时间（原来的3天再做的2天）完成的个数。 根据“照这样计算”可知，每天完成的个数是固定的，也就是加工零件的工作效率是一定的，因此工作总量和工作时间成正比例关系。 设一共可以完成个，根据工作总量与工作时间的比值相等列出比例式进行解答。 【详解】解：设一共可以完成个。 答：一共可以完成200个。 19．20天 【分析】由题可知，这条路的总长度是不变的，根据“工作效率×工作时间＝工作总量”，当工作总量一定时，工作效率与工作时间成反比例关系；设原计划x天修完，则实际用了（x－5）天修完，根据“实际每天修的长度×实际修的天数＝原计划每天修的长度×原计划修的天数”列出反比例方程，并求解。 【详解】解：设这条路原计划x天修完，则实际用了（x－5）天修完。 （1.5＋0.5）×（x－5）＝1.5x 2×（x－5）＝1.5x 2x－10＝1.5x 2x－1.5x＝10 0.5x＝10 x＝10÷0.5 x＝20 答：这条路原计划20天修完。 20．(1)都成正比例；理由见详解 (2) 14.4 9.6 (3) 摩托车 少 10 【分析】（1）根据正比例的定义，判断两种相关联的量的比值是否为定值。从图像中选取几组路程和时间的数据，分别计算摩托车、电动车的路程与时间的比值，若比值始终不变，就说明路程和时间成正比例关系。 （2）先从图像中读取摩托车、电动车在固定时间（如10分钟）对应的行驶路程，算出两者的行驶速度；再用速度乘12分钟，得到12分钟对应的行驶路程。 （3）在路程－时间图像中，相同时间内比较两车的行驶路程，路程更远的速度更快；再从图像中找到两车行驶24千米对应的时间，计算时间差，判断谁用时更少。 【详解】（1）摩托车：12÷10＝1.2，24÷20＝1.2，比值一定，成正比例。 电动车：8÷10＝0.8，16÷20＝0.8，比值一定，成正比例。 两个车的的路程和时间的比值都是一定的，符合正比例的意义。 （2）摩托车：12÷10＝1.2（千米/分） 1.2×12＝14.4（千米） 电动车：8÷10＝0.8（千米/分） 0.8×12＝9.6（千米） （3）比较快慢：10分钟时，摩托车行12千米，电动车行8千米，12＞8，摩托车快。 时间差：30－20＝10（分钟） 摩托车行24千米所用的时间比电动车行24千米所用时间少10分钟。 21．(1)成正比例 (2)（一定） (3)1.5吨；9天 【分析】（1）根据两种相关联的量， 一种量变化。另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就是成正比例的量。 （2）由以上分析可知，用煤的吨数∶用煤的天数＝每天的用煤量（一定），据此用字母表示它们之间的关系。 （3）因为每天的用煤量都是0.3吨，用每天的用煤量×用煤的天数＝用煤的吨数，用煤的吨数÷每天的用煤量＝用煤的天数，据此得解。 【详解】（1）（一定） 比值一定，则用煤天数和用煤量成正比例关系。 答：用煤天数和用煤量成正比例关系。 （2）如果用表示用煤的吨数，表示用煤的天数，表示每天的用煤量，因为用煤的吨数∶用煤的天数＝每天的用煤量（一定），所以它们之间的关系可以表示为（一定）。 （3）（吨） （天） 答：5天要用煤1.5吨，2.7吨煤可以用9天。 22．(1)千米，填表见详解 (2)；成正比例，比值一定 (3)厘米 【分析】（1）根据路程＝速度×时间，已知速度是7.9千米/秒，时间是400秒，代入数据解答即可； （2）根据路程＝速度×时间，如果用s表示路程，用t表示时间，速度是7.9千米/秒，那么s＝7.9t；两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果这两种量中相对应的两个数的比值一定，这两种量就叫做成正比例的量，据此分析解答； （3）已知比例尺：1厘米表示395千米，需先求300秒的实际路程，再算图上距离；根据路程＝速度×时间，图上距离＝实际距离÷1厘米代表的实际距离，代入数据解答即可。 【详解】（1）7.9×400＝3160 （千米） 答：飞过的实际路程约是3160千米。 （2）根据路程＝速度×时间，速度是7.9千米/秒， 所以s ＝7.9t。因为＝7.9（一定），也就是路程和时间的比值是固定不变的速度，所以路程与时间成正比例； （3）7.9×300＝2370（千米） 2370÷395＝6（厘米） 答：应画6厘米。 答案第2页，共10页 答案第3页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $