2025-2026学年苏科版数学八年级下册期末模拟

**基本信息** 立足苏科版八下数学核心内容，以生活情境与数学思维融合为特色，覆盖分式、二次根式、平行四边形等模块，梯度设计兼顾基础巩固与创新应用。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8题/24分|随机事件、因式分解、分式性质等|第3题结合分式基本性质，考查抽象能力；第8题矩形与坐标结合，体现几何直观| |填空题|8题/24分|分式值为0、概率计算、三角形中位线等|第15题四边形中垂线与中位线综合，培养空间观念；第16题正方形动态问题，发展推理能力| |解答题|9题/52分|二次根式运算、分式方程、几何证明与探究等|20题盲盒概率分析，渗透数据意识；23题碳积分问题，强化应用意识；25题类比除法竖式因式分解，激发创新意识；26题矩形动点探究，综合考查推理与模型观念|

2026年苏科版八下数学期末模拟 一、选择题 1. 在下列事件中，随机事件是（　　） A．投掷一枚骰子，朝上的点数为7 B．从只有白球的袋子中摸出红球 C．任意画一个三角形，其内角和为180° D．篮球运动员投篮一次，命中篮筐 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C． D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） 3. 若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A．3x+3 B．x+y C．3xy D．x2 4. 要使有意义，x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1 5. 下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 6. 已知关于x的方程有增根，则k的取值范围是（　　） A．k＝1 B． C． D．k＝3 7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论错误的是（　　） A．OA＝OC B．AC＝BD C．AB＝CD D．∠ABC＝∠ADC 第7题图 第8题图 8. 如图，矩形OMNP的顶点N的坐标是（5，﹣1），则MP的长度是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9. 若分式的值为0，则的值为 . 10.分式和的最简公分母是 　 ． 11. 一只不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为　 　 ． 12. 若与最简二次根式能合并，则m的值为　 　 ． 13. 若|m+1|0，则m2026﹣n4的值为　 　 ． 14. 已知，则xy＝　 　 ． 15. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝10，点E、F分别是边AB、CD的中点，则EF的长度是 . 第15题图 第16题图 16. 已知四边形ABCD是正方形，P（不与点A重合）为射线AD上的动点，点A关于直线BP的对称点为E，连接PE、BE、CE、DE．当△CDE是等腰三角形时，∠ABP的度数为　 　 ． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 18.解方程： （1）； （2）． 19. 先化简，再求值：，请从﹣1，﹣2，2中选择一个合适的x的值代入求值． 20. 某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下4匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到“闪电”的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到“闪电”的频率 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161 （1）表中的＝　 　 ，b＝　 　 ． （2）抽到“闪电”的概率的估计值是　 　 （精确到0.01）； （3）俱乐部准备的2000个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？ 21. 若，． （1）若c＝1，则A　 　 B（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若c＞0，判断A和B的大小关系，并说明理由． 22.已知直线l及直线外l有一点A．请仅用圆规按下列要求作图. （1）在图①中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； （2）在图②中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个矩形的四个顶点．（保留作图痕迹，写出必要的说明） 23. 某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 24. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积． 25. 【类比学习】 小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 【初步应用】（1）请你完成下面的竖式计算． （2）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+△），（其中口、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出□＝　 　 ，△＝　 　 ． 【深入研究】 小明用这种方法对多项式4x3+8x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：4x3+8x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式4x3+8x2﹣x﹣2因式分解． 26. 如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点． （1）求证：四边形PMEN是平行四边形； （2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； （3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由． （答案） 一、选择题 1. 在下列事件中，随机事件是（　　） A．投掷一枚骰子，朝上的点数为7 B．从只有白球的袋子中摸出红球 C．任意画一个三角形，其内角和为180° D．篮球运动员投篮一次，命中篮筐 【分析】根据随机事件的定义解答即可． 【解答】解：A、投掷一枚骰子，朝上的点数为7是不可能事件，不符合题意； B、从只有白球的袋子中摸出红球是不可能事件，不符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和为180°是必然事件，不符合题意； D、篮球运动员投篮一次，命中篮筐是随机事件，符合题意． 故选：D． 【点评】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键． 2. 下列从左到右的变形，属于因式分解的是（　　） A．（x﹣2）2＝x2﹣4x+4 B．x2+3x+2＝x（x+3）+2 C． D．x2﹣9＝（x+3）（x﹣3） 【解答】解：根据因式分解的定义逐项分析判断如下： A选项：变形是整式乘法，右边不是积的形式，从左到右的变形不属于因式分解，不符合题意； B选项：右边是和的形式，不是整式的积，从左到右的变形不属于因式分解，不符合题意； C选项：右边含分式，不是整式，从左到右的变形不属于因式分解，不符合题意； D选项： 左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，从左到右的变形属于因式分解，符合题意. 故选：D． 3. 若分式中的x和y都扩大为原来的3倍后，分式的值不变，则A可能是（　　） A．3x+3 B．x+y C．3xy D．x2 【分析】根据分式的基本性质解答即可． 【解答】解：A．若A＝3x+3，x和y都扩大3倍后，A'＝3×3x+3＝9x+3， ∵原分式为， ∴变化后的分式为：，显然，分式值改变，故选项A错误； B．若A＝x+y，x和y都扩大3倍后，则A'＝3x+3y， ∵原分式为， ∴变化后的分式为：，分式的值不变，故选项B正确； C．若A＝3xy，x和y都扩大3倍后，A'＝3×3x×3y＝27xy， ∵原分式为， ∴变化后的分式为：，分式值改变，故选项C错误； D．若A＝x2，x和y都扩大3倍后，则A'＝（3x）2＝9x2， ∵原分式为， ∴变化后的分式为：，分式值改变，故选项D错误． 故选：B． 【点评】本题考查了分式的基本性质，掌握分式的基本性质是解题的关键． 4. 要使有意义，x的取值范围是（　　） A．x≥1 B．x＞1 C．x≤1 D．x＜1 【分析】根据二次根式的被开方数不小于零的条件和分母不为零的条件进行解题即可． 【解答】解：由题可知， ， 解得x≥1且x≠﹣1， 即x≥1． 故选：A． 【点评】本题考查二次根式有意义的条件、分式有意义的条件，熟练掌握相关的知识点是解题的关键． 5. 下列计算错误的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式混合运算的法则进行计算即可． 【解答】解：A、，原计算错误，符合题意; B、，正确，不符合题意； C、，正确，不符合题意； D、，而，原计算正确，不符合题意. 故选：A． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 6. 已知关于x的方程有增根，则k的取值范围是（　　） A．k＝1 B． C． D．k＝3 【分析】先确定分式方程的增根，再将分式方程化为整式方程，代入增根即可求出k的值． 【解答】解：关于x的方程有增根， ∵分式方程的增根会使原分式方程的分母为0，原方程分母为x﹣1和1﹣x， ∴增根满足x﹣1＝0， ∴增根为x＝1， 原方程两边同乘最简公分母x﹣1去分母，得x﹣2（x﹣1）＝3k， 将增根x＝1代入方程，得1﹣2×（1﹣1）＝3k， 解得． 故选：C． 【点评】本题考查分式方程的增根，正确进行计算是解题关键． 7. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，下列结论错误的是（　　） A．OA＝OC B．AC＝BD C．AB＝CD D．∠ABC＝∠ADC 【分析】根据平行四边形的性质解答即可． 【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，OA＝OC，∠ABC＝∠ADC， 故A，C，D正确，不符合题意； ∵AB与AD不一定相等，故B错误，符合题意． 故选：B． 【点评】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的性质有：平行四边形对边平行且相等；平行四边形对角相等，邻角互补；平行四边形的对角线互相平分． 8. 如图，矩形OMNP的顶点N的坐标是（5，﹣1），则MP的长度是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据勾股定理求出ON，根据矩形性质即可求出MP． 【解答】解：∵矩形OMNP的顶点N的坐标是（5，﹣1）， ∴， ∴在矩形OMNP中，． 故选：C． 【点评】本题考矩形的性质，坐标与图形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用． 二、填空题 9. 若分式的值为0，则是值为结果是 -1 . 【分析】直接利用分式值为零的条件，则分子为零且分母不为零进而得出答案． 【解答】解：∵的值为0； ∴且 ∴a=±1且a≠1 ∴a=-1 故答案为：-1 【点评】本题考查分式值为零的条件及分式有意义的条件. 10.分式和的最简公分母是 　6a2b3c ． 【分析】由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案． 【解答】解：∵分式的分母2a2b，3ab3c都是单项式， ∴分式与的最简公分母是6a2b3c， 故答案为：6a2b3c． 【点评】本题考查的是最简公分母，熟知当各分母都是单项式时，最简公分母就是“各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里”是解答此题的关键． 11. 一只不透明的盒子中装有红、黑、白三种不同颜色的球，其中红球有2个，黑球有4个，白球有m个，这些球除颜色外其余均相同．若从袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为，则m的值为　3　 ． 【分析】结合概率公式可得，求出m的值即可． 【解答】解：∵从袋子中任意摸出一个球，摸到白球的概率为， ∴， 解得m＝3， 经检验，m＝3是原方程的解且符合题意， ∴m的值为3． 故答案为：3． 【点评】本题考查概率公式，熟练掌握概率公式是解答本题的关键． 12. 若与最简二次根式能合并，则m的值为　1　 ． 【分析】先将化简为，被开方数为2，因此的被开方数也应为2，即可得出结果． 【解答】解：， ∵与最简二次根式能合并， ∴的被开方数与2相同， 即m+1＝2，解得m＝1， 故答案为：1． 【点评】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念． 13. 若|m+1|0，则m2026﹣n4的值为　　 ． 【分析】根据非负数的性质求出m和n的值，再代入计算即可得到答案． 【解答】解：∴m+1＝0，2n﹣1＝0， 解得m＝﹣1，n． ∴原式＝（﹣1）2026， 故答案为：． 【点评】本题主要考查了非负数的性质，代数式求值，正确进行计算是解题关键． 14. 已知，则xy＝　2　 ． 【分析】利用完全平方公式，将两边平方后，结合已知的的值，建立关于xy的方程求解． 【解答】解：根据完全平方公式得， 展开得， 将代入上式得， 移项得， 解得xy＝2． 故答案为：2． 【点评】本题考查了分式的加减法，熟练掌握运算法则是关键． 15. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD，且AC＝8，BD＝10，点E、F分别是边AB、CD的中点，则EF的长度是 . 【分析】取BC的中点H，连接EH，FH，证明四边形GHMK是矩形，结合三角形中位线定理以及勾股定理求解即可． 【解答】解：如图，取BC的中点H，连接EH，FH， ∵点E、F分别是边AB、CD的中点， ∴EH，FH分别是三角形ABC，三角形BCD的中位线， ∴EH∥AC，EH，FH∥BD，FH5， ∴四边形GHMK是平行四边形， 又∵AC⊥BD， ∴∠GKM＝90°， ∴四边形GHMK是矩形， ∴∠EHM＝90°， ∴EF， 故答案为：． 【点评】本题考查了三角形中位线定理，矩形的判定与性质，勾股定理，熟记相关性质定理是解题的关键． 16. 已知四边形ABCD是正方形，P（不与点A重合）为射线AD上的动点，点A关于直线BP的对称点为E，连接PE、BE、CE、DE．当△CDE是等腰三角形时，∠ABP的度数为　15°或30°或75°　 ． 【分析】根据题意分三种情况画出图形并进行讨论，第一种情况是当CE＝CD，且点P在射线AD上时；第二种情况是当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时；第三种情况是当ED＝EC，且点E在CD的垂直平分线上时，根据图形求解即可． 【解答】解：四边形ABCD是正方形，P（不与点A重合）为射线AD上的动点，点A关于直线BP的对称点为E，则： 由折叠的性质知BE＝AB，PE＝AP， 如图1，当CE＝CD，且点P在射线AD上时， ∴CE＝CD＝BE＝BC， ∴△BEC为等边三角形， ∴∠EBC＝60°， ∴∠ABE＝30°， ∴∠ABP＝∠PBE＝15°； 如图2，当CE＝CD，且点P在线段AD的延长线上时， 由题意知，△BCE为等边三角形， ∵∠A＝∠BEP＝90°，∠ABE＝∠ABC+∠EBC＝150°， ∴∠ABP＝∠EBP＝75°； 如图3，当ED＝EC，且点E在CD的垂直平分线上，也在AB的垂直平分线上， ∴AE＝BE， 又∵AB＝EB， ∴△ABE为等边三角形， ∴∠ABE＝60°， ∴∠ABP＝∠EBP＝30°， 综上所述，∠ABP的度数为15°或30°或75°． 故答案为：15°或30°或75°． 【点评】本题考查正方形的性质，正确进行计算是解题关键． 三、解答题 17. 计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则及性质计算后再算加减即可； （2）先利用平方差公式计算乘法，再计算二次根式的除法，最后计算减法即可得到结果． 【解答】解：（1）原式2 2 ＝﹣2； （2） ＝4﹣3﹣3 ＝﹣2． 【点评】本题考查的是二次根式的混合运算，平方差公式，熟知二次根式混合运算的法则是解题的关键． 18.解方程： （1）； （2）． 【分析】利用去分母将原方程化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【解答】解：（1）原方程去分母得：x﹣5＝2x﹣5， 解得：x＝0， 检验：当x＝0时，2x﹣5≠0， 故原分式分式方程的解为x＝0； （2）原方程去分母得：（x﹣2）2﹣（x+2）2＝16， 整理得：﹣8x＝16， 解得：x＝﹣2， 检验：当x＝﹣2时，x2﹣4＝0， 则x＝﹣2是分式方程的增根， 故原方程无解． 【点评】本题考查解分式方程，熟练掌握解方程的方法是解题的关键． 19. 先化简，再求值：，请从﹣1，﹣2，2中选择一个合适的x的值代入求值． 【分析】先对括号内的式子通分，同时将括号外的除法转化为乘法，再约分，最后从﹣1，0，2中选择一个使得原分式有意义的值代入化简后的式子计算即可． 【解答】解：（x+1） • ， ∵x＝﹣1或2时，原分式无意义， ∴x＝﹣2， 当 x＝﹣2 时，原式0． 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握运算法则和运算顺序是解答本题的关键． 20. 某马术俱乐部推出了“观赛抽纪念盲盒”活动，盲盒包含俱乐部旗下4匹参赛马（闪电、追风、凌云、踏雪）的纪念徽章，每个盲盒包含其中一个纪念徽章，且每个盲盒被抽中的概率相同．俱乐部记录抽到“闪电”获得的数据如下： 抽盲盒次数n 100 150 200 500 800 1000 抽到“闪电”的次数m 11 20 b 79 128 161 抽到“闪电”的频率 a 0.14 0.165 0.168 0.16 0.161 （1）表中的a＝　0.11　 ，b＝　33　 ． （2）抽到“闪电”的概率的估计值是　0.16　 （精确到0.01）； （3）俱乐部准备的2000个盲盒全部抽完，除“闪电”外，若抽到其他三种徽章的概率相同，则抽到“凌云”的次数是多少？ 【分析】（1）根据表格中的数据，可以计算出a、b的值；（2）根据表格中的数据，可以写出抽到“闪电”的概率的估计值； （3）根据题意和表格中的数据，可以计算出抽到“凌云”的次数． 【解答】解：（1）由表格可得， a＝11÷100＝0.11，b＝200×0.165＝33， 故答案为：0.11，33； （2）由表格可得， 抽到“闪电”的概率的估计值是0.16， 故答案为：0.16； （3）2000×（1﹣0.16）÷3 ＝2000×0.84÷3 ＝1680÷3 ＝560（次）， 即抽到“凌云”56次． 【点评】本题考查利用频率估计概率，解答本题的关键是明确题意，利用概率的知识解答． 21. 若，． （1）若c＝1，则A　＜　 B（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）若c＞0，判断A和B的大小关系，并说明理由． 【分析】（1）将c＝1代入，然后把两式作差并计算，比较其结果与0的大小关系即可； （2）把两式作差并计算，比较其结果与0的大小关系即可． 【解答】解：（1）若c＝1， 则A﹣B ， ∵a＞b＞0， ∴b﹣a＜0，a（a+1）＞0， ∴0， ∴A＜B， 故答案为：＜； （2）A＜B，理由如下： A﹣B ， ∵a＞b＞0，c＞0， ∴（b﹣a）c＜0，a（a+c）＞0， ∴0， ∴A＜B． 【点评】本题考查分式的加减法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 22. 已知直线l及直线外l有一点A．请仅用圆规按下列要求作图. （1）在图①中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个平行四边形的四个顶点； （2）在图②中，求作点B、C、D，其中有两点在直线l上，且使得点A、B、C、D是一个矩形的四个顶点．（保留作图痕迹，写出必要的说明） 【分析】（1）如图①，在直线l上任意取点B、C，连接AB，再分别以点A、B为圆心，以BC、AB为分别画弧，两弧相交于点D，由于AD＝BC，CD＝AB，根据平行四边形的判定方法可判断四边形ABCD为所平行四边形； （2）如图②，先在直线l上取点O，再以O点为圆心，OA为比较作圆交直线l于点B、D，以D点为圆心，AB为半径画弧交⊙O于C点，则四边形ABCD满足条件． 【解答】解：（1）如图①，在直线l上任意取点B、C，连接AB，再分别以点A、B为圆心，以BC、AB为分别画弧，两弧相交于点D，连接AC、CD， 则四边形ABCD为所作； （2）如图②，先在直线l上取点O，再以O点为圆心，OA为半径作圆交直线l于点B、D，然后以D点为圆心，AB为半径画弧交⊙O于C点， 则四边形ABCD为所作． 【点评】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行四边形点的判定与性质、矩形的判定． 23. 某公司为深入宣传低碳发展理念，以碳积分激励市民低碳出行，累积的积分可兑换公交优惠券等权益．已知每乘坐一次公交车可获10个碳积分，步行则按总步数核算碳积分，小悦每日上下班各出行1次，规划了两种固定绿色出行方式，具体如下： 方式一：一次公交车（中途不下车）+步行600步； 方式二：步行4200步． 已知，小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个． 求每获得1个碳积分需要步行多少步． 【分析】设每获得1个碳积分需要步行x步，根据“小悦用方式一上班获得的碳积分比用方式二上班获得的碳积分少50个”列分式方程，解答即可． 【解答】解：设每获得1个碳积分需要步行x步， 由题意列分式方程得，， 整理得，50x＝3000， 解得x＝60， 经检验，x＝60是原方程的解，且符合题意， 即每获得1个碳积分需要步行60步， 答：每获得1个碳积分需要步行60步． 【点评】本题考查了分式方程的应用，关键是根据题意找到关系式． 24. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点O是AC、BD的中点，点E在四边形ABCD外，且∠AEC＝∠BED＝90°． （1）求证：四边形ABCD是矩形； （2）若AB＝2，∠AOD＝120°，求矩形ABCD的面积． 【分析】（1）连接EO，首先根据O为BD和AC的中点，得出四边形ABCD是平行四边形，在Rt△AEC中EOAC，在Rt△EBD中，EOBD，得到AC＝BD，可证出结论； （2）根据矩形的性质和等边三角形的判定和性质，余角矩形的面积公式即可得到结论． 【解答】（1）证明：连接EO，如图所示： ∵O是AC、BD的中点， ∴AO＝CO，BO＝DO， ∴四边形ABCD是平行四边形， 在Rt△EBD中， ∵O为BD中点， ∴EOBD， ∵O为AC中点， ∴EOAC， ∴AC＝BD， 又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴平行四边形ABCD是矩形； （2）∵平行四边形ABCD是矩形， ∴∠ABC＝90°，AC＝BD， ∴AO＝OB， ∵∠AOD＝120°， ∴∠AOB＝60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AO＝BO＝AB＝2， ∴AC＝2AO＝4， ∴BC2， ∴矩形ABCD的面积＝AB•BC＝4． 【点评】本题考查了矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，熟练掌握矩形的判定和性质定理是解题的关键． 25. 【类比学习】 小明同学类比除法240÷16＝15的竖式计算，想到对二次三项式x2+3x+2进行因式分解的方法： 即（x2+3x+2）÷（x+1）＝x+2，所以x2+3x+2＝（x+1）（x+2）． 【初步应用】（1）请你完成下面的竖式计算． （2）小明看到了这样一道被墨水污染的因式分解题：x2+□x+6＝（x+2）（x+△），（其中口、☆代表两个被污染的系数），他列出了下列竖式： 得出□＝　5　 ，△＝　3　 ． 【深入研究】 小明用这种方法对多项式4x3+8x2﹣x﹣2进行因式分解，进行到了：4x3+8x2﹣x﹣2＝（x+2）（*）（*代表一个多项式），请你利用前面的方法，列出竖式，将多项式4x3+8x2﹣x﹣2因式分解． 【分析】（1）完成（x2+3x﹣4）÷（x﹣1）的竖式计算，将多项式除法类比整数除法竖式：用x2除以x得商的第一项x，乘以x﹣1得x2﹣x；用x2+3x﹣4减去x2﹣x，余4x﹣4；用4x除以x得商的第二项4，乘以x﹣1得4x﹣4；余数为0，故商为x+4，即x2+3x﹣4＝（x﹣1）（x+4）； （2）求根据竖式中常数项的关系：2△＝6，解得△＝3；再根据一次项系数的关系：□﹣2＝△，代入△＝3，得□＝5； （3）对多项式4x3+8x2﹣x﹣2因式分解，用4x3+8x2﹣x﹣2除以x+2：4x3除以x得4x2，乘以x+2得4x3+8x2；减后余﹣x﹣2，再用﹣x除以x得﹣1，乘以x+2得﹣x﹣2；余数为0，故商为4x2﹣1，即4x3+8x2﹣x﹣2＝（x+2）（4x2﹣1）；进一步分解4x2﹣1为（2x+1）（2x﹣1），最终结果为（x+2）（2x+1）（2x﹣1）． 【解答】解：（1）（x2+3x﹣4）÷（x﹣1）＝x+4， ； （2）， 由竖式可得：2△＝6，解得△＝3； 由一次项：□﹣2＝△，代入△＝3得□＝5． 故答案为：5，3． （3）4x3+8x2﹣x﹣2＝（x+2）（4x2﹣1）＝（x+2）（2x+1）（2x﹣1）， ． 【点评】本题考查了因式分解的应用，解决本题的关键是通过类比除法竖式的方法，将多项式除法转化为竖式运算，从而确定因式分解的结果． 26. 如图，已知矩形ABCD，AD＝4，CD＝10，P是AB上一动点，M、N、E分别是PD、PC、CD的中点． （1）求证：四边形PMEN是平行四边形； （2）请直接写出当AP为何值时，四边形PMEN是菱形； （3）四边形PMEN有可能是矩形吗？若有可能，求出AP的长；若不可能，请说明理由． 【分析】（1）根据三角形的中位线的性质和平行四边形的判定定理可证明． （2）当DP＝CP时，四边形PMEN是菱形，P是AB的中点，所以可求出AP的值． （3）四边形PMEN是矩形的话，∠DPC必需为90°，判断一下△DPC是不是直角三角形就行． 【解答】解：（1）∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴ME，NE是△PDC的中位线， ∴ME∥PC，EN∥PD， ∴四边形PMEN是平行四边形； （2）当AP＝5时， 在Rt△PAD和Rt△PBC中， ， ∴△PAD≌△PBC， ∴PD＝PC， ∵M、N、E分别是PD、PC、CD的中点， ∴NE＝PMPD，ME＝PNPC， ∴PM＝ME＝EN＝PN， ∴四边形PMEN是菱形； （3）四边形PMEN可能是矩形． 若四边形PMEN是矩形，则∠DPC＝90° 设PA＝x，PB＝10﹣x， DP，CP． DP2+CP2＝DC2 16+x2+16+（10﹣x）2＝102 x2﹣10x+16＝0 x＝2或x＝8． 故当AP＝2或AP＝8时，四边形PMEN是矩形． 【点评】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定定理，以及矩形的判定定理和性质，知道矩形的四个角都是直角，对边相等等性质． 学科网（北京）股份有限公司 $