专题02 三角函数的图象性质及图象变换（期末复习专项训练）高一数学下学期人教B版

**基本信息** 聚焦三角函数图象性质与变换，12类题型从基础到综合，构建“性质理解-图象应用-综合拓展”逻辑链，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|定义域/值域/周期性等（6题型）|覆盖三角函数核心性质，含选择、填空、解答题|从概念（定义域）到性质（单调性/对称性），形成性质认知体系| |图象应用|变换/解析式/零点等（4题型）|重点标注图象变换与解析式确定，结合图象分析|以图象为载体，实现性质到应用的转化，培养几何直观| |综合拓展|实际应用/恒成立问题（2题型）|结合生活情境与参数问题，体现应用意识|从数学模型到问题解决，提升数学语言表达与推理能力|

专题02 三角函数的图象性质及图象变换 题型一 三角函数的定义域 题型七 三角函数的零点问题（难点） 题型二 三角函数的值域与最值问题 题型八 三角函数的图象变换问题（重点） 题型三 三角函数的周期性问题 题型九 求图象变换前后的解析式 题型四 三角函数的单调性问题（重点） 题型十 利用图象确定三角函数解析式（重点） 题型五 三角函数的奇偶性问题 题型十一 实际应用问题 题型六 三角函数的对称性问题（重点） 题型十二 恒成立与有解问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角函数的定义域 1．函数的定义域为________． 2．函数的定义域为______． 3．记的定义域为D，集合，若，则t的取值可能是（    ） A． B． C． D． 4．函数的定义域为______. 5．函数的定义域是________． 题型二 三角函数的值域与最值问题 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 7．函数在区间上的最大值为__________. 8．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，若，则的最大值为__________． 9．若函数在上有4个最值，则______． 10．若函数的最大值为___________ 11．求下列函数的值域. (1)； (2). 题型三 三角函数的周期性问题 12．（多选）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 13．若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 14．设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 15．（多选）若，，中的2个是的相邻零点，另外1个不是的零点，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 16．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是，最小值是0 B．的最小正周期是，最小值是1 C．的最小正周期是，最小值是0 D．的最小正周期是，最小值是1 题型四 三角函数的单调性问题 17．下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 18．下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 19．下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 20．若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 21．已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则ωφ=（    ） A． B． C． D． 22．若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 题型五 三角函数的奇偶性问题 23．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 24．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 25．函数是（　　） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 26．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 27．已知函数，且 ，则____________. 题型六 三角函数的对称性问题 28．已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 29．设，则“”是“函数的图象关于直线对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 30．已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 31．函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 32．已知函数关于点对称，则______． 33．已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 题型七 三角函数的零点问题 34．函数的零点个数为（   ）.（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．9 35．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为__________. 36．曲线与在区间上的交点个数为______． 37．设函数在上的图象的所有交点为，则（    ） A． B． C． D． 38．已知函数满足，，则函数在上的零点个数为___________． 39．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是________． 题型八 三角函数的图象变换问题 40．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 41．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 42．（多选）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 B．先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 C．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度 43．（多选）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，要想得到的图象，则可将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 题型九 求图象变换前后的解析式 44．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 45．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将其横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，，则（    ） A． B． C． D． 46．将函数的图像向左平移个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值为______． 47．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 题型十 利用图象确定三角函数解析式 48．已知函数，的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 49．已知函数（，，）的一部分图象如图所示，则______. 50．（多选）若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C．的图象关于直线对称 D．若方程在上有且只有3个根，则 51．如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（   ） A．1 B． C． D． 52．如图，已知函数的图象过点和，且满足. (1)求的解析式； (2)求的递增区间和对称轴方程； (3)当时，求函数值域. 题型十一 实际应用问题 53．（多选）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中正确的是（   ） A． B．最高水位为 C．该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为 54．我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（   ） A．3.6cm B．3.9cm C．4.0cm D．4.5cm 55．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为__________.    56．某时钟的秒针端点到中心点的距离是6厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，，两点间的距离大于6厘米的时长是________秒． 57．潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 58．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆上的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 题型十二 恒成立与有解问题 59．关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 60．不等式在上有解，则实数m的取值范围是______. 61．若不等式对恒成立，则__________. 62．设函数． (1)当时，求的最小值及此时的值； (2)求函数在R上的最大值； (3)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 63．若关于的不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. $专题02 三角函数的图象性质及图象变换 题型一 三角函数的定义域 题型七 三角函数的零点问题（难点） 题型二 三角函数的值域与最值问题 题型八 三角函数的图象变换问题（重点） 题型三 三角函数的周期性问题 题型九 求图象变换前后的解析式 题型四 三角函数的单调性问题（重点） 题型十 利用图象确定三角函数解析式（重点） 题型五 三角函数的奇偶性问题 题型十一 实际应用问题 题型六 三角函数的对称性问题（重点） 题型十二 恒成立与有解问题（难点） 3 / 23 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 题型一 三角函数的定义域 1．函数的定义域为________． 【答案】 【详解】函数有意义，等价于即， 由余弦函数的性质，在一个周期上，不等式的解集为， 则在实数集上不等式的解集为， 即函数的定义域为． 2．函数的定义域为______． 【答案】 【详解】由题意得，即， 解得， 所以函数的定义域为. 3．记的定义域为D，集合，若，则t的取值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】函数的定义域， 因为 所以， 解得， 当时，，而 再考虑时，， 不包含其他选项的值，故只有A选项正确 4．函数的定义域为______. 【答案】 【详解】， 则，解得， 所以， 即函数的定义域为. 故答案为： 5．函数的定义域是________． 【答案】 【详解】由，得， 所以， 所以， 所以函数的定义域是． 题型二 三角函数的值域与最值问题 6．函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，； 当时，， 所以的值域为． 7．函数在区间上的最大值为__________. 【答案】3 【详解】， 因为，所以， 所以当，即时，取得最大值，为3. 8．在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，它们的终边关于原点对称，若，则的最大值为__________． 【答案】/ 【详解】根据题意，，则，又，所以，所以． 故答案为：． 9．若函数在上有4个最值，则______． 【答案】 【详解】因为，则， 因为在上有4个最值， 所以 解得. 10．若函数的最大值为___________ 【答案】 【详解】∵，且， ∴，∴， ∴， ∵在上单调递增，∴在上单调递减， ∴， 故答案为：. 11．求下列函数的值域. (1)； (2). 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）方法一  分离常数法 ， ， ， ， 的值域为. 方法二  利用三角函数的有界性 由，得， 所以， 由， 得， 当，即时，不等式无解； 当，即时，解得. 故的值域为. （2）利用分离参数结合换元求解. . 令，则. 当时，. 当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当 ，即时，等号成立， 所以， 所以或 此时函数的值域为. 故函数的值域为. 题型三 三角函数的周期性问题 12．（多选）下列函数中，最小正周期为，且在上单调递增的为（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【详解】选项A：的最小正周期为， 单调递增区间为，满足在上单调递增，故A正确； 选项B：，定义域为且，没有意义，最小正周期不是，故B错误； 选项C：的最小正周期为，在单调递减， 则在单调递减，故在单调递增，故C正确； 选项D：，最小正周期为， 在时，，函数在区间内先增后减，故D错误． 13．若，（），则（ ） A． B． C．0 D． 【答案】B 【详解】因为函数是周期为3的周期函数， 且，，， 所以． 故选：B. 14．设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________. 【答案】 【详解】由最小值为，则的最小正周期为，即， 则，， 解得，又，故. 15．（多选）若，，中的2个是的相邻零点，另外1个不是的零点，则的值可能是（   ） A．2 B．3 C．4 D．6 【答案】AB 【详解】若，是的相邻零点，因为，，，不是的零点，，此时； 若，是的相邻零点，，一定是的零点，不符； 若，是的相邻零点，，，则不是的零点，此时，． 故选：AB． 16．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是，最小值是0 B．的最小正周期是，最小值是1 C．的最小正周期是，最小值是0 D．的最小正周期是，最小值是1 【答案】D 【详解】由题意可得, 所以，则的最小正周期，且. 题型四 三角函数的单调性问题 17．下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】对A：因为为奇函数，故A不满足条件； 对B：为偶函数，在上单调递增，在上单调递减，故B不满足条件； 对C：为偶函数，在上单调递增，故C满足条件； 对D：，根据B选项可知，D不满足条件. 18．下列函数中，在上为减函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，，，. 在上递减，在上单调递增. 所以在上递减． 故选：D. 19．下列区间是函数的一个单调递增区间的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 所以令，解得， 当时，单调递增区间为， 因为， 所以是函数的一个单调递增区间. 20．若函数（）图象的两个对称中心之间距离的最小值为，则的单调递增区间为（   ） A．（） B．（） C．（） D．（） 【答案】C 【详解】因为函数图象的两个对称中心之间距离的最小值为， 设的最小正周期为T，则，得. 由，， 得，， 所以的单调递增区间为,（）. 21．已知函数在上单调递增，在上单调递减，且，则ωφ=（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为函数在上单调递增，在上单调递减， 可知：对应最大值，也即，， 由，且都在区间内， 所以由对称性可知：， 所以， 所以，即， 所以，，又， 取可得：， 所以， 故选：C 22．若函数在上单调递减，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令，因为，且，所以， 因为函数在上单调递减， 所以函数在上单调递减， 因为余弦函数在上单调递减， 则，解得，所以的取值范围为. 题型五 三角函数的奇偶性问题 23．下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】所有选项的定义域都是， 对于A，因为，所以是奇函数，A错误； 对于B：因为，所以是偶函数， 的周期为，加绝对值后，图象把轴下方的部分翻折到上方，周期变为（如图）， B正确； 对于C：，图象为 很显然不具备周期性，C错误； 对于D，是周期为的偶函数，D错误． 24．函数是（    ） A．奇函数 B．偶函数 C．既是奇函数又是偶函数 D．既不是奇函数也不是偶函数 【答案】A 【详解】由诱导公式可得：， 则原式可化简为：，函数定义域为， 且满足， 故函数为奇函数. 25．函数是（　　） A．最小正周期为的奇函数 B．最小正周期为的偶函数 C．最小正周期为的奇函数 D．最小正周期为的偶函数 【答案】C 【详解】 则函数为奇函数. ， 是函数的一个周期. 又，而，可知不是函数的周期， 故函数的最小正周期为. 26．函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 且， 所以函数为奇函数，其图象关于原点对称，可排除C选项； 又由，可得排除A、D项， 所以选项B符合题意. 27．已知函数，且 ，则____________. 【答案】2 【详解】令， 因为， 所以函数是定义域内的奇函数， 因为， 所以. 题型六 三角函数的对称性问题 28．已知函数的最小正周期为，则下列选项中不是图象的对称中心的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的最小正周期为，所以， 所以，所以. 令，化简得. 所以，所以是图象的对称中心. 29．设，则“”是“函数的图象关于直线对称”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】∵ 函数的对称轴满足，即. 充分性：若，则，满足对称轴条件，充分性成立. 必要性：取，是函数对称轴，但，必要性不成立. 故为充分不必要条件，A正确. 30．已知函数的图象关于点中心对称，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【详解】的图象关于点中心对称， 所以，即， 所以的最小值为4． 31．函数的图象关于点对称，且直线与函数图象的相邻两交点间距离为，则正实数的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为直线与函数图象的相邻两交点间距离为， 所以的最小正周期， 所以，由，得，解得， 因为正切函数的对称中心满足，函数的图象关于点对称， 所以，将代入得： ， 整理得， 因为 所以，取，得，即为满足条件的最小正实数值，即正实数的最小值为. 32．已知函数关于点对称，则______． 【答案】 【详解】若曲线关于点对称， 则， 则恒成立， 即或， 当时，，不符； 当时，； 故 ． 33．已知函数，且均为偶函数，则的最小值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【详解】因为均为偶函数， 所以与的图象均关于直线对称， 所以， 即，. 所以的最小值为2． 故选：B 题型七 三角函数的零点问题 34．函数的零点个数为（   ）.（参考数据：） A．5 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【详解】由函数的零点个数，即方程解的个数， 即函数与图象的交点个数， 又由，所以函数的零点位于， 在同一坐标系下画出两个函数的图象，如图所示， 可得函数与图象共有7个交点， 即函数的零点个数为7个. 35．若函数在区间内有两个零点，则实数的取值范围为__________. 【答案】 【详解】令，根据余弦函数的性质得，， 解得. 当时，； 当时，； 当时，； 因为函数在区间内有两个零点，即， 所以要大于等于，才能保证在区间内；同时要小于不在区间内， 所以实数的取值范围是. 36．曲线与在区间上的交点个数为______． 【答案】2 【详解】列表： x 0 0 0 3 在同一坐标系中作出与在区间上的图象， 如图所示： 由图象知；曲线与在区间上有2个交点． 37．设函数在上的图象的所有交点为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为，所以， 所以，所以的图象关于中心对称， 又因为， 所以的图象关于中心对称， 所以的图象交点也关于中心对称， 在同一平面直角坐标系中作出的图象，如下图所示， 由图象可知，的图象共有个交点，不妨设， 由图象的对称性可知，， 所以， 故选：B. 38．已知函数满足，，则函数在上的零点个数为___________． 【答案】5 【详解】已知，则， 当时，由解得或； 当时，由，无解； 当时，，无解； 当时，，无解； 当时，， 解得或； 当时，，无解； 综上，在上的零点为，，0，，． 39．已知函数，若满足（a、b、c互不相等），则的取值范围是________． 【答案】 【详解】根据题意，作出函数图象， 不妨设， 根据三角函数的对称性得与关于对称， 所以， 另一方面,，即， 所以. 题型八 三角函数的图象变换问题 40．为了得到函数的图象，只需把函数的图象（     ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】D 【详解】由，只需把函数的图象向右平移个单位长度. 41．为了得到函数的图象，只需把函数图象上的（    ） A．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 B．每个点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 C．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向右平移个单位 D．每个点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，再向左平移个单位 【答案】B 【详解】对函数做横坐标伸缩变换，将图像上每个点的横坐标缩短到原来的，纵坐标保持不变， 得到新函数的图象， 根据平移变换的“左加右减”规则，将变形为目标函数：， 可知需要将的图象向右平移个单位，即可得到目标函数的图象， B选项正确. 42．（多选）要得到函数的图像，只需将函数的图像（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 B．先向左平移个单位长度，再将横坐标扩大为原来的3倍 C．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向左平移个单位长度 D．先将横坐标扩大为原来的3倍，再向右平移个单位长度 【答案】BC 【详解】对于A，先向右平移个单位长度，得到， 再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故A错误； 对于B，先向左平移个单位长度，得到 ， 再将横坐标扩大为原来的3倍得到，故B正确； 对于C，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到， 再向左平移个单位长度得到 ，故C正确． 对于D，先将横坐标扩大为原来的3倍，得到， 再向右平移个单位长度，得到，故D错误． 43．（多选）已知函数的图象与函数的图象关于轴对称，要想得到的图象，则可将的图象（   ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】AB 【详解】由题意得，将的图象向左平移个单位长度， 可得，故A正确； 将的图象向右平移个单位长度，可得，故B正确； 将的图象向左平移个单位长度，可得，故C错误； 将的图象向右平移个单位长度，可得，故D错误． 题型九 求图象变换前后的解析式 44．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将函数的图象先向左平移个单位长度， 可得， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）， 可得. 45．将函数的图象上所有的点向右平移个单位长度，再将其横坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由 向右平移 个单位， 得到； 将横坐标伸长为原来的2倍，得到． 由 且 ，可得， 因此． 46．将函数的图像向左平移个单位长度后，所得到的图像关于y轴对称，则m的最小值为______． 【答案】/ 【详解】把图像上所有的点向左平移m个单位长度后， 得到的图像， 此图像关于y轴对称． 则， 解得， 又因为， 所以m的最小值为． 47．将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，已知与图象上相邻的三个交点组成一个正三角形，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题可知， 在同一坐标系中作出和的图像： 令，由相邻交点的性质可得， 解得, 分别令，得到相邻三个交点的坐标， ，， 此时等边底边，高为， 又正三角形中，所以，所以， 因为，所以，所以，所以. 题型十 利用图象确定三角函数解析式 48．已知函数，的部分图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由图可知，，所以，由. 图象过点，所以， 所以，. 又因为，所以，. 图象过点，所以. 所以. 所以. 49．已知函数（，，）的一部分图象如图所示，则______. 【答案】/ 【详解】由题意，， ，， 又因为，所以. 50．（多选）若函数的部分图象如图所示，则下列说法正确的是（    ） A．函数的最小正周期为 B． C．的图象关于直线对称 D．若方程在上有且只有3个根，则 【答案】AC 【详解】由图象可知，函数的最大值为，故，该函数过点，， 代入可得，而点在上升曲线段中， 所以，，因为， 所以，而在下降曲线段中，所以，得， ， 由图象可知，，所以，所以，所以， 所以,可知选项A正确，选项B错误； 可得函数，当时，， 所以，故选项C正确； 设，即，根据图象分析可得， 计算可得，故选项D错误. 51．如图，函数有三个相邻的零点，，，且，，则（   ） A．1 B． C． D． 【答案】B 【详解】令，则，， ，， ，， 又，，，， ，． 故选：B. 52．如图，已知函数的图象过点和，且满足. (1)求的解析式； (2)求的递增区间和对称轴方程； (3)当时，求函数值域. 【答案】(1) (2)递增区间为，；对称轴为， (3) 【详解】（1）由，，， 得，，则 又，即，得， 由，得， 根据图象可知，解得 . （2） ， 的递增区间为， 令 解得， 因此函数的对称轴为， （3），， 故， ，即的值域为. 题型十一 实际应用问题 53．（多选）潮汐现象是地球上的海水受月球和太阳的万有引力作用而引起的周期性涨落现象．某观测站通过长时间观察，发现某港口的潮汐涨落规律为（，），其中y（单位：m）为港口水深，x（单位：h）为时间（），该观测站观察到水位最高点和最低点的时间间隔为，且中午点的水深为，为保证安全，当水深超过时，应限制船只出入，则下列说法中正确的是（   ） A． B．最高水位为 C．该港口从上午8点之后开始首次限制船只出入 D．一天内限制船只出入的时长为 【答案】ACD 【详解】因为水位最高点和最低点的时间间隔为， 则，即， 且，可得，故A正确； 又因为中午点的水深为， 则，化简得，解得， 所以最高水位为函数最大值，故B错误； 因为当水深超过时限制船只出入， 令，可得， 则，，解得， 在范围内，有效区间为和， 共8小时，在上午8点之后开始首次限制，故C正确、D正确. 54．我们来看一个简谐运动的实验：将塑料瓶底部扎一个小孔做成一个漏斗，再挂在架子上，就做成了一个简易单摆．在漏斗下方放一块纸板，板的中间画一条直线作为坐标系的横轴，把漏斗灌上细沙并拉离平衡位置，放手使它摆动，同时匀速拉动纸板，这样就可在纸板上得到一条曲线，它就是简谐运动的图象．它表示了漏斗对平衡位置的位移（纵坐标）随时间（横坐标）变化的情况．如图所示．已知一根长为的线一端固定，另一端悬挂一个漏斗，漏斗摆动时离开平衡位置的位移（单位：cm）与时间（单位：s）的函数关系是，其中，，则估计线的长度应当是（精确到0.1cm）（   ） A．3.6cm B．3.9cm C．4.0cm D．4.5cm 【答案】C 【详解】因为函数的图象过，所以，即， 因为是摆动的第一个最高点，所以， 所以． 55．筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中得到使用.如图，一个半径为的筒车按逆时针方向每分钟转2圈，筒车的轴心距离水面的高度为.设筒车上的某个盛水筒到水面的距离为（单位：）（在水面下则为负数），若以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，则与时间（单位：）之间的关系为.则盛水筒出水后到达最高点的最短时间为__________.    【答案】 【详解】由题意，筒车半径为，. 又筒车的轴心距离水面的高度为，. 筒车每分钟转2圈，每分钟转过的角度为，. . 以盛水筒刚浮出水面时开始计算时间，. 即，，. 又，，. 盛水筒第一次到达最高点时用时最短，此时，解得. 故最短时间为. 56．某时钟的秒针端点到中心点的距离是6厘米，秒针绕点匀速旋转，当时间时，点与钟面上标12的点重合，在秒针旋转一周（即）的过程中，，两点间的距离大于6厘米的时长是________秒． 【答案】40 【详解】设两点间的距离为厘米，， 则，所以． 因为，所以． 由，得，解得， 则两点间的距离大于6厘米的时长是秒． 57．潮汐是指海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象，一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐．下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表： 时刻 2：00 5：00 8：00 11：00 14：00 17：00 20：00 23：00 水深（米） 7.5 5.0 2.5 5.0 7.5 5.0 2.5 5.0 经长期观测，这个港口的水深与时间的关系，可近似用函数来描述． (1)根据以上数据，求出函数的表达式及其频率； (2)在某日0时至6时，求该港口水深的最大值和最小值及对应时刻； 【答案】(1)，频率为； (2)某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为；最小值为，对应时刻为. 【详解】（1）由表格知，， 则，， 函数的最小正周期为，故频率为，， 故， 又，故，故， 又，故，解得， 故，频率为； （2）当时，， 当，即时，取得最小值，最小值为， 故的最小值为， 当，即时，取得最大值，最大值为1， 的最大值为， 某日0时至6时，该港口水深的最大值为，对应时刻为； 最小值为，对应时刻为. 58．如图，在水平面上有两个单位圆和，在时刻，质点甲从点（与水平面平行）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，质点乙从点（为圆上的最低点）开始按逆时针方向在圆上做匀速圆周运动，甲转一周需要秒，乙转一周需要秒.在时刻，设质点甲的竖直高度为，质点乙的竖直高度为，设. (1)求的解析式； (2)若，求的值域. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）设，， 由题意可得，，，，即； 由题意可得，，，，即； 则， （2）由， 当时，， 则当时，取最大值，当时，取最小值， 则，即的值域为. 题型十二 恒成立与有解问题 59．关于的方程在实数范围内有解，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为， 所以. 因为，所以. 故选：A． 60．不等式在上有解，则实数m的取值范围是______. 【答案】 【详解】， 其中， 故在上有解， 令，则， 其中在上单调递增， 故当时，取得最小值， 最小值为， 故，实数m的取值范围是. 故答案为： 61．若不等式对恒成立，则__________. 【答案】 【详解】当时，函数的零点为，， 且当时，，当时，，当时，， 所以要使不等式恒成立， 则，，则需要， 当，，则需要， 当，，则需要， 所以和为函数的零点， 则，解得：， 所以. 62．设函数． (1)当时，求的最小值及此时的值； (2)求函数在R上的最大值； (3)若不等式在上恒成立，求的取值范围； 【答案】(1)2；， (2) (3) 【分析】 【详解】（1）， 即， 设，，易得为开口向下的二次函数， 当时，，，则， 即时，即取最小值，此时，. （2）由（1）知，， 当时，即时，， 当，即时，， 当时，即时，， 综上，. （3）由题意得，则，， 若求，即求，因为开口向下， 则，解得，故的取值范围为. 63．若关于的不等式的解集为. (1)求实数的值； (2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）由不等式的解集为， 可知的两根为， 由韦达定理可得：， 解得. （2）由（1）可得：对任意的，恒成立， 令， 则， 因为，所以， 由题意可得：， 即，解得或， 即实数的取值范围是. $