第九章 统计期末复习讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

第九章 统计 序号 单元核心知识模块 新课标学业质量要求 单元核心复习目标 达标层级 （3 级） 高考对接考向 学生掌握情况自查 1 随机抽样 能结合实际问题识别随机抽样类型，依据抽样原则规范抽取样本，具备初步数据收集统计意识 理解简单随机抽样的概念，掌握抽签法、随机数法的一般步骤；理解分层随机抽样的概念，学会用分层抽样的方法从总体中抽取样本；区分简单随机抽样与分层随机抽样，并会选择适当方法进行抽样；掌握分层随机抽样在实际生活中的应用. □基础达标 □能力提升 □素养拓展 抽样方法辨析、分层抽样计算、实际抽样方案选取 □未掌握 □部分掌握 □完全掌握 2 样本估计总体 能结合实际问题识别随机抽样类型，依据抽样原则规范抽取样本，具备初步数据收集统计意识 能用样本估计总体的集中趋势参数（平均数、中位数、众数），理解集中趋势参数的统计含义，能用样本估计总体的离散程度参数（标准差、方差、极差），理解离散程度参数的统计含义；能用样本估计总体的取值规律；能用样本估计百分位数，理解百分位数的统计含义. □基础达标 □能力提升 □素养拓展 统计量计算、总体特征推断、百分位数应用、数据分析题型 □未掌握 □部分掌握□完全掌握 1、 重难考点分层突破 1.简单随机抽样 （1）定义：一般地，设一个总体含有N（N为正整数）个个体，从中逐个不放回地抽取n（）个个体作为样本，如果每次抽取时各个个体被抽到的机会都相等，就把这种抽样方法叫做简单随机抽样. （2）最常用的简单随机抽样方法有两种：随机数法和抽签法. 2.分层抽样 （1）定义：一般地，在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出的个体合在一起作为样本，这种抽样方法是分层抽样. （2）应用范围：总体是由差异明显的几个部分组成的. （3）分层抽样的关键是根据样本特征的差异进行分层，实质是等比例抽样，抽样比 . 3.频率分布表与频率分布直方图 频率分布表与频率分布直方图的绘制步骤如下： （1）求极差，即求一组数据中最大值与最小值的差； （2）决定组距与组数； （3）将数据分组； （4）列频率分布表，落在各小组内的数据的个数叫做频数，每小组的频数与样本容量的比值叫做这一小组的频率，计算各小组的频率，列出频率分布表； （5）画频率分布直方图，依据频率分布表画出频率分布直方图，其中纵坐标（小长方形的高）表示频率与组距的比值，其相应组距上的频率等于该组上的小长方形的面积，即每个小长方形的面积. 各个小长方形面积的总和等于1. 4.用样本的数字特征估计总体的数字特征 数字特征 样本数据 频率分布直方图 众数 出现次数最多的数据 取最高的小长方形底边中点的横坐标 中位数 将数据按大小依次排列，处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数） 把频率分布直方图划分为左右两个面积相等的部分，分界线与x轴交点的横坐标 平均数 样本数据的算术平均数 每个小长方形的面积乘小长方形底边中点的横坐标之和 方差和标准差反映了数据波动程度的大小. 方差：； 标准差：. 5.百分位数 （1）把100个样本数据按从小到大排序，得到第p个和第p+1个数据分别为.可以发现，区间内的任意一个数，都能把样本数据分成符合要求的两部分.一般地，我们取这两个数的平均数，并称此数为这组数据的第p百分位数，或p%分位数. （2）一般地，一组数据的第p百分位数是这样一个值，它使得这组数据中至少有p%的数据小于或等于这个值，且至少有的数据大于或等于这个值. （3）四分位数 常用的分位数有第25百分位数，第50百分位数（即中位数），第75百分位数.这三个分位数把一组由小到大排列后的数据分成四等份，因此称为四分位数.其中第25百分位数也称为第一四分位数或下四分位数等，第75百分位数也称为第三四分位数或上四分位数等. 2、 易混易错点清零 1.抽样方式易错 简单随机抽样：总体个数有限、逐个抽取、不放回；易混：放回抽样不属于此类. 分层抽样：按比例分层抽取，每层抽样比一致；易错：层数划分混乱、抽样比例计算出错. 系统抽样：等距分段抽取，先编号分组；易错：分段间隔算错，首尾样本选取失误. 区分误区：随机≠随便抽取，分层看类别差异，系统看排布规律. 2.频率分布图表易错 频率分布直方图： 纵坐标：，不是频率 频率=×组距，所有矩形面积和为1 中位数：平分面积的竖线对应数值； 平均数：每组中点×频率求和. 茎叶图：看清茎、叶代表数位，避免读数错位；忽略重复数据统计. 易错：误把纵坐标当作频率，计算概率、频数出错. 3.统计概念认知误区 样本估计总体：样本结论不能等同于总体绝对事实，存在误差. 相关概念区分：个体、样本、总体、样本容量，容量无单位. 易混：相关关系≠函数关系，统计趋势不能判定必然因果. 4.计算常见失误 数据求和、平方运算粗心出错 单位、有效数字统一规范遗漏 图表读取数据看错行列、组别边界 5.百分位数求解步骤 数据从小到大排序； 计算位次i=n×p%； i为整数，取第i与i+1项均值；非整数向上取整取值. 6.实际应用题解题步骤 建模：实际场景对应抽样、图表、数字特征题型； 套公式列式，分步计算； 结合实际意义解释结果，检验数值合理性. ‌ 1、 工业情境： 1.常见应用场景 简单随机抽样质检：工业流水线成品、零部件逐一随机不放回抽检，随机抽取批次工件检测精度、合格率，无差别抽取样本评估整批产品质量. 分层抽样产能统计：按不同生产车间、不同工序、不同设备型号、不同班次分层，按比例抽取样本，统计各层级产能、次品率、设备故障情况，解决总体差异大的抽样统计问题. 制程数据分布统计：收集大批量工件加工误差、设备运行时长、单件生产耗时、产品重量尺寸等数据，制作频率分布表与频率分布直方图，直观呈现工业数据分布规律. 生产数据特征分析：通过样本数据的平均数、中位数、众数、方差、标准差，分析产品加工精度均值、生产效率平均水平、产品质量波动、设备运行稳定性. 工业数据分级判定：利用百分位数、四分位数，对产品精度、生产能耗、工时效率、次品偏差数据进行分级，划定合格标准、优质等级、临界预警阈值. 2.常考题型： 简单随机抽样、分层抽样的方案辨析与样本数量计算； 工业生产数据的极差、组距、频率、频数计算，补全频率分布表与直方图； 从工业样本数据、频率分布直方图中求解众数、中位数、平均数、方差，分析生产质量稳定性； 工业检测数据的百分位数、四分位数计算，依据分位数划分产品质量等级、判定生产达标情况； 用工业样本统计数据估计总体产能、合格率、能耗水平，完成统计推断与实际生产评价. 例：1.某AI数据中心共有4个开源大模型供公众使用.该中心分别对这4个模型在某天内的词元调用量进行调查，画出频率分布直方图，其中词元调用量的平均数低于中位数的为( ) A. B. C. D. 答案：D 解析：在频率分布直方图中，中位数左右两边面积相等，平均数受极端值影响，偏向长尾方向. 直方图左偏（左边拖尾长，右边集中），如D选项→平均数<中位数； 直方图右偏（右边拖尾长，左边集中），如B选项→平均数>中位数； 直方图对称，如AC选项→平均数≈中位数.故选D. 2.某科研团队构建了超导量子计算原型机，为了评估其稳定性，团队记录了6次关键性能测试的保真度数据:0.9992，0.9988，0.9990，0.9987，0.9994，0.9990，则这组数据的75%分位数为( ) A.0.9988 B.0.9991 C.0.9992 D.0.9994 答案：C 解析：把这组数据从小到大排列为:0.9987，0.9988，0.9990，0.9990，0.9992，0.9994，又，所以这组数据的75%分位数为重新排列后的第5个数0.9992.故选：C. 2、 农业情境： 1.常见应用场景 简单随机抽样测产：随机选取农田地块、农林作物、畜禽样本，不放回抽样检测作物长势、果实品质、畜禽健康状况，预估整片种养区域整体产量与质量. 分层抽样农情统计：按种植品类、土地地势、种养片区、耕作模式分层，按比例抽取样本，统计作物产量、病虫害发生率、农资损耗数据，解决农业总体差异显著的抽样问题. 农情数据分布统计：采集农作物亩产量、植株高度、果实重量、灌溉用水量、病虫害侵染数量数据，绘制频率分布表与直方图，分析农业生产数据分布规律. 农业数据特征分析：利用平均数、中位数、众数、方差、标准差，研判区域农作物平均产能、种养效率，分析农产品品质、农事生产的波动稳定性. 农业数据分级判定：借助百分位数、四分位数，对农作物产量、农产品品质、农资消耗、灾害受损程度分级，划定农产品优劣等级、丰产标准与灾害预警阈值. 2.常考题型 农业场景下简单随机抽样、分层抽样的方法辨析、抽样方案判断及样本容量计算； 农业生产数据极差、组距、频数、频率运算，补全频率分布表格、完善频率分布直方图； 依托样本数据与频率分布直方图，求解各类数字特征，分析农作物产能、农产品品质的稳定程度； 计算农业检测数据的百分位数、四分位数，利用分位数完成农产品质量分级、丰产达标判定； 以样本统计量估计总体参数，推断区域农作物总产量、优品率、农资消耗整体水平，完成农业生产评价. 例：1.2023年袁隆平“超级稻”突破亩产，再次刷新了杂交水稻单季亩产世界纪录.已知甲、乙两种杂交水稻在面积相等的两块试验田中连续6年的产量如图所示，则( ) A.甲的平均产量高于乙的平均产量 B.甲的最高产量高于乙的最高产量 C.甲的产量更稳定 D.乙的产量更稳定 答案：D 解析：A选项，甲的平均产量为kg， 乙的平均产量为，A错误； B选项，甲的最高产量为1200kg，乙的最高产量为1251kg，B错误； C、D选项，由折线图可知甲的波动更大，所以乙的产量更稳定，D正确.故选:D 2.气象学上判定春季进入夏季的标准为：当某地连续5天的日平均气温达到或超过时，便将这5天中的第一天定为夏季的开始.已知甲、乙、丙3个地区某连续5天日均气温的数据特征如下： 甲地：中位数是27，平均数是26. 乙地：最高气温31，平均数是26，方差是10.4. 丙地：中位数是24，众数是22. 则由此判断一定进入夏季的地区是( ) A.乙地 B.丙地 C.甲地，乙地 D.乙地，丙地 答案：B 解析：设5天气温从小到大排列为. 甲地：中位数，平均数26.因中位数大于平均数26，所以必有，可构造，不一定入夏，如21，26，27，28，28. 乙地：5天平均气温为26，总和为，方差，故气温与均值差的平方和为.假设存在一天气温为21（低于22），与均值差为，平方为25，最高气温31，剩余4天平方和只需，又因为.所以完全可以构造出五个数满足总和130，方差10.4，最大为31的数值，因此乙地不能保证每天气温，不一定进入夏季，如21，25，26，27，31. 丙地：中位数，众数22，，故；众数为22，则，5天均，一定入夏. 3、 校园生活情境： 1.常见应用场景： 简单随机抽样调研：随机抽取在校学生、课堂作业、考试试卷样本，不放回抽样抽查学习情况、答题质量、日常行为，预估全校整体学习与生活状态. 分层抽样学情统计：按年级、班级、性别、选科类型分层，按比例抽取样本，统计学业成绩、体测水平、社团参与、课后时长数据，解决校园总体个体差异显著的抽样问题. 校园数据分布统计：采集学生考试分数、体测成绩、课后学习时长、校园消费金额、出勤时长数据，绘制频率分布表与直方图，分析校园学情数据分布规律. 校园数据特征分析：利用平均数、中位数、众数、方差、标准差，研判学生整体学业水平、身体素质均值，分析班级成绩、体测数据的波动稳定性. 校园数据分级判定：借助百分位数、四分位数，对考试成绩、体测分数、学习时长数据分级，划定学业优良等级、体测达标标准与学情分层阈值. 2.常考题型： 校园场景下简单随机抽样、分层抽样的方法辨析、抽样方案判断及样本容量计算； 校园学情与生活数据极差、组距、频数、频率运算，补全频率分布表格、完善频率分布直方图； 依托样本数据与频率分布直方图，求解各类数字特征，分析学生学业、体测数据的稳定程度与整体水平； 计算校园学情数据的百分位数、四分位数，利用分位数完成学生成绩分层、体测等级、学情达标判定； 以样本统计量估计总体参数，推断全校学业水平、体测合格率、课后学习时长整体情况，完成校园学情综合评价. 例：1.某学校为培养学生创新精神和实践能力，组织了一次“科技小发明”竞赛活动，并对200位参赛学生的综合表现进行评分，评分的频率分布直方图如图，根据图中数据，下列说法错误的是( ) A. B.估计评分的平均数为76.5 C.估计评分的第25百分位数为65 D.评分在的人数约为20 答案：C 解析：对A，由频率之和为1得，解得，故A正确； 对B，平均数为，故B正确； 对C，评分在的频率为0.1，评分在的频率为0.2，评分的第25百分位数对应累计频率为0.25，落在组内，故第25百分位数为，故C错误； 对D，评分在的频率为0.1，则其中人数约为，故D正确.故选：C. 2.高一某班参加“红五月校园合唱比赛”，10位评委的打分如下：，则( ) A.该组数据的平均数为7，众数为 B.该组数据的第60百分位数为6 C.评判该班合唱水平的高低可以使用这组数据的平均数、中位数，也可以使用这组数据的众数 D.如果再增加一位评委给该班也打7分，则该班得分的方差变小 答案：D 解析：选项A，这组数据从小到大排列为，故平均数为，众数为7和8，中位数为7，故A错误； 选项B，，则第百分位数为，故B错误； 选项C：因为众数有两个，故不能用众数评判该班合唱水平的高低，故C错误； 选项D，方差为，如果再增加一位评委给该班也打7分，则平均分不变也为7，此时的方差为，故D正确.故选：D. · 学科网（北京）股份有限公司 $