期末复习专题03 平面向量特殊题型【6大题型+强化训练】讲义-2025-2026学年高一下学期数学人教A版必修第二册

专题03 平面向量特殊题型 一、有向线段的定比分点坐标公式 若点P是直线P1P2上的一点，且点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则当＝λ时，点P的坐标为(λ≠－1)． 特别地，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式． 【注意】若＝λ，其中λ≠－1 (1)当λ>0时，点P在线段P1P2上 (2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上 (3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上 二、极化恒等式 1.极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. (1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)模式:在平行四边形ABCD中,O是对角线交点,则: ①·=(||2-||2)(平行四边形模式); ②·=||2-||2(三角形模式). 三、等和线 1.平面向量共线定理 已知平面内一组基向量,,且=λ+μ(λ,μ∈R),若λ+μ=1,则A,B,P三点共线;反之亦然. 2.平面向量等和线定理 平面内一组基底,,且=λ+μ(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,且k===,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线恰为直线AB时,k=1; (2)当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(0,1); (3)当直线AB在O点和等和线之间时,k∈(1,+∞); (4)当等和线过O点时,k=0. 四、奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0. 1．奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 2．三角形的四心与奔驰定理的关系 ①若O为△ABC的重心，则++=0⇔S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1； ②若O为△ABC的外心，则sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0，且||=||=||； ③若O为△ABC的内心，则a·+b·+c·=0，或sin A·+sin B·+sin C·=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)； ④若O为△ABC的垂心，则tan A·+tan B·+tan C·=0，且==. 考点一 线段的定比分点 考点二 利用向量线性运算解决最值和范围问题 考点三 利用坐标解决三点共线问题 考点四 极化恒等式的应用 考点五 等和线的应用 考点六 奔驰定理的应用 考点一 线段的定比分点 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 【答案】， 【分析】根据定比分点坐标公式求出点坐标，再根据向量的坐标公式求解即可. 【详解】根据题意可知，点分所成的比分别是，， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点坐标为， 设，利用定比分点坐标公式可得 ，，所以点的坐标为， 所以，. 2．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知点，且，则点的坐标为___________________． 【答案】 【分析】设点的坐标，应用平面向量坐标表示求解. 【详解】设点，那么， 由可得，，故 3．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设点， 由点在的延长线上，且，得， 又，， 所以，解得， 所以点的坐标为． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据向量线性运算的坐标表示，求出向量的坐标，进而求出结果. 【详解】 由题意可得， 因为边的中线为，所以， 因为P为上靠近A的三等分点，所以， 所以点P的坐标为. 故选：B. 考点二 利用向量线性运算解决最值和范围问题 5．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 【答案】 【分析】借助平面向量线性运算法则及三点共线定理计算即可得空一；借助模长与数量积关系及基本不等式计算即可得空二. 【详解】由，则，故， 由P为线段CD上一点，则、、三点共线，故，即有； ， 由，当且仅当，即，时，等号成立， 故，则， 即的最小值为. 6．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 【答案】 【分析】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系，然后列出的坐标，进而根据已知条件列出方程组，从而求得结果. 【详解】以为原点，以所在直线为轴建立平面直角坐标系， 设，则. 则，因为， 所以，设， 则. 所以，所以. 因为，所以，即的取值范围是. 故答案为：.    7．（25-26高三上·四川眉山·月考）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据已知条件得出与的关系，再将进行化简，最后结合向量模的性质求出其取值范围. 【详解】因为，，， 两边平方可得， 化简可得，故， ， ， 因为， , ， ， 故选：. 8．（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 【答案】 【分析】利用平面向量的坐标运算以及正弦函数的性质求解. 【详解】    如图，因为，所以以为坐标原点， 方向为轴建立平面直角坐标系，则, 设,则， 过点作轴的垂线，垂足为，则， 所以， 所以， 因为，所以， 所以， 则， ，所以， 所以当，即时，有最大值为， 故答案为：. 9．（25-26高三·全国·月考）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式，结合配方法进行求解即可. 【详解】建立如图所示的直角坐标系，过作，垂足为， 因为， 所以有，   ，设，， 因此有 因为， 所以有， 而， 所以， 当时，有最大值，当，xy有最小值， 所以的取值范围是 故选：B 【点睛】关键点睛：建立平面直角坐标系，利用平面向量运算的坐标表示公式是解题的关键. 考点三 利用坐标解决三点共线问题 10．（25-26高一下·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： (1)； (2)三点共线． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）以为原点建立平面直角坐标系，先求出各点坐标，再写出向量 与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使 ），且无公共点，即可证两直线平行。 （2）在同一坐标系中，写出向量与的坐标，验证它们满足线性倍数关系（即存在实数使），且两向量有公共点，即可证三点共线． 【详解】（1） 如图，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 已知， 则，，，，，， ，， 所以，即与共线， 又因为与无公共点，所以； （2）由（1）得，， 所以，即与共线， 又因为与有公共点，所以三点共线． 11．（25-26高一下·江苏·月考）设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 【答案】4 【分析】将三点共线转化为两向量共线，利用坐标求解即可. 【详解】由三点共线， 得和共线, 即得，解得. 12．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】点不能构成三角形，故共线， 故，解得. 13．（25-26高一下·北京丰台·期中）已知平面向量，. (1)若，求实数的值； (2)设，若三点共线，求m的值. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据平面向量的坐标表示和几何意义建立关于的方程，解之即可； （2）法一：易知，根据平面平行向量的坐标表示建立关于的方程，解之即可； 法二：易知存在实数使得，利用向量的坐标运算和相等向量的概念建立关于的方程组，解之即可. 【详解】（1）因为，，所以， 因为，所以， 整理得，解得或. （2）法一：因为A，B，C三点共线， 所以， 因为，， 所以，所以. 法二：因为A，B，C三点共线， 所以存在实数，使得， 即， 所以即. 14．（25-26高一下·河南新乡·月考）已知向量，，.若A，B，C三点共线，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据向量的坐标运算以及共线关系即可求解. 【详解】若A，B，C三点共线，则向量与共线. 因为，， 由于与共线，所以，化简得，解得. 考点四 极化恒等式的应用 15．（25-26高一下·广东江门·期中）如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A．24 B． C．30 D．20 【答案】A 【分析】设中点为，连接，，由题意可得，由向量的线性运算可得，，由,求解即可. 【详解】设中点为，连接， 因为， 所以， 所以， 所以的轨迹是以为圆心，1为半径的一段圆弧， 连接， 则, 所以， 所以 因为, 所以. 16．（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）（多选）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，，在正方形的边上，且，关于点对称，则的值可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】BC 【详解】由题意可得. 因为正方形的边长为2，所以，所以，则. 17．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】根据数量积的运算可得，再由正方形的性质可得最大值. 【详解】连接，取的中点，连接，由题意知，所以， 则． 易知当点与点重合时，取得最大值，且， 故由正方形的性质知， 所以的最大值为． 18．（25-26高一下·河北保定·期中）已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 【答案】 【分析】利用恒等式，将与建立联系，再通过的范围求的取值范围. 【详解】连接并延长交于，同时交圆于，由等边的性质知是的中点，且， ， ， 当点P在圆上运动时，P位于C处时，有最大值为； 当P位于Q处时，有最小值为； 所以， 所以. 19．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，在矩形ABCD，中，E，F分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD内一点（含边界），满足且，则的最小值为_________． 【答案】 【分析】取，利用平面向量三点共线的性质得到三点共线，从而得到点在直线上，且，且位于矩形内部（含端点），则利用向量的基本定理和数量积得到，又长是定值，求的最小值就是求的最小值，而的最小值为当时最小且最小值为，从而得到的最小值. 【详解】，，， 取,则, 则三点共线，即点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 取的中点，连接，则， 因为， ,所以， 因为，所以，所以， 因为，所以， 设的中点为, 则 ， 因为，分别为的中点， 所以，， 求的最小值转化为求的最小值， 又为的中点，则为定点， 因为点在直线上且位于矩形内部（含端点）， 所以当时，最小，且最小值为, 所以的最小值为. 20．（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 【答案】 【分析】以为原点建立坐标系，设，由三点共线，，结合列方程组求解即可；根据即可求解． 【详解】解：如图，以为原点建立坐标系， 则，设， 三点共线，则， 又， ，解得， ； 设的中点为， ， ， 又E为线段上一点， ， ． 考点五 等和线的应用 21．（2026·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为___________． 【答案】 【分析】建立适当的平面直角坐标系，讨论四种情况，即可求出的取值范围. 【详解】建立如图所示的平面直角坐标系： 则，所以， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 当时，有，即，此时的取值范围为， 综上所述，的取值范围为. 故答案为：. 22．（25-26高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】建立坐标系，设，然后利用坐标运算以及辅助角公式变形，通过三角函数的性质求解范围. 【详解】如图建立平面直角坐标系，设，则， 则，， 因为，所以，即 所以，， 所以的取值范围是. 故答案为：. 23．（2025高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为__________．    【答案】 【分析】建立直角坐标系，确定向量坐标，根据得到，，根据得到，变换，计算得到答案. 【详解】由题意，易知不为，建立如图所示坐标系，    设点，，，， ，，， ，，即， ，， ，， 故，即， 设， 当三点共线时，在直线的异侧，故，则， 则，即， 故，即， 解得或（舍去）； 故答案为：． 24．（25-26高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 【答案】C 【分析】构建直角坐标系，令，，根据向量线性关系的坐标表示列方程组得，结合辅助角公式、正弦函数性质求最值. 【详解】构建如下直角坐标系：，令，， 由可得：， 则且， 所以当时，的最大值为. 故选：C 25．（25-26高一下·浙江·期末）（多选）如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（    ）    A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个 C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个 【答案】BCD 【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，依次求出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【详解】如图建系，取，∵，    ∴， 动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 综上，， 选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误； 选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点有两个，故B正确； 选项C，当点取点时，且，解得，为，故C正确； 选项D，当点取的中点或的中点时，均满足，此时点有两个，故D正确； 故选：BCD. 【点睛】关键点睛： 求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论的位置，根据，确定的范围，即可求解.（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化） 26．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以直线FB为x轴，线段FB的中垂线为y建立平面直角坐标系，结合已知求出点P的坐标，再由点P所在区域求解作答. 【详解】在正六边形中，以直线FB为x轴，线段FB中垂线为y轴建立平面直角坐标系，如图， 令，则点， 因此，因，则， 于是得点，又点是内（包括边界）的一个动点， 显然点P在直线及上方，点P纵坐标最大不超过3，即有，解得， 所以的取值范围是. 故选：B 考点六 奔驰定理的应用 27．（25-26高三·全国·二轮复习）（多选） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 【答案】ABC 【分析】对于A，取中点，连接，由题意可得，即有，同理可得，，即可判断；对于B，设内切圆的半径为，由三角形的面积公式可得，整理即可判断；对于C，由题意可得，再由三角形的面积公式可得 ，，设，可得，进而可得，，，即可判断；对于D，设的外接圆半径为，根据题意及三角形的面积公式可得，，，即可判断. 【详解】A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得三点共线，三点共线， 所以M为的重心，A正确； B选项，若M为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； C选项，若M为的垂心，， 则， 如图，⊥，⊥，⊥，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， 同理可得，即，故， ，则， 故， ，则， 故， ， 故， 同理可得， 故，C正确； D选项，若，，M为的外心， 则， 设的外接圆半径为，故， ， 故，，， 所以，D错误. 故选：ABC 28．（25-26高一下·山东·月考）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 【答案】ABD 【分析】A选项，，作出辅助线，得到，，三点共线，同理可得为的重心；B选项，设内切圆半径为，将面积公式代入得到；C选项，设外接圆半径，由三角形面积公式求出三个三角形的面积，得到比值；D选项，得到，作出辅助线，由面积关系得到线段比，设，，，表示出，，，结合三角函数得到，进而求出余弦值. 【详解】对A选项，因为，所以， 取的中点，则，所以， 故，，三点共线，且， 同理，取中点，中点，可得，，三点共线，，，三点共线， 所以为的重心，A正确； 对B选项，若为的内心，可设内切圆半径为， 则，，， 所以， 即，B正确； 对C选项，若，，为的外心，则， 设的外接圆半径为，故，， ， 故，，， 所以，C错误； 对D选项，若为的垂心，， 则， 如图，，，，相交于点， 又， ，即， ，即， ，即， 设，，，则，，， 因为，， 所以，即， ，则，D正确； 故选：ABD. 29．（2026高一·全国·专题练习）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，利用同底的两个三角形面积比推得即可求解作答. 【详解】是的垂心，延长CO，BO，AO分别交边AB，AC，BC于点P，M，N，如图， 则，， 因此，，同理， 于是得， 又，即，由“奔驰定理”有， 则，而与不共线，有，，即， 所以. 故选：A 30．（25-26高一下·重庆·阶段检测）（多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 【答案】ABD 【分析】根据重心性质可得，再由奔驰定理可判断A正确，结合内心性质以及奔驰定理可知，因此是的内心，即B正确；利用平面向量共线定理可知，计算可得C错误，再由外心性质以及三角换元结合辅助角公式，由三角函数值域计算可得D正确. 【详解】对于A，不妨取分别为的中点，如下图所示： 所以，， 同理可得，所以， 又因为，所以，即A正确； 对于B，记点到的距离分别为， ， 因为，所以， 即，又因为，所以， 因此是的内心，即B正确； 对于C，若，所以， 因此，， 可得 化简可得， 又因为不共线，所以，解得； 因此， 则，所以C错误； 对于D，若是的外心，，所以， 又易知，所以， 因为，则， 化简可得，由题意可得同时为负， 记,其中，则， 因为，所以， 可得，即，因此D正确. 1．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】根据向量的坐标运算求解，注意三等分点有两种可能. 【详解】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 2．（25-26高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，再根据向量的坐标运算，结合二次函数的最值求解即可. 【详解】设，则，，则.故当时，取最小值. 故选：C 3．（25-26高三上·山西·月考）在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，根据向量相等，即可求出的取值范围． 【详解】设，以为原点，，的方向为轴，轴的正方向建立直角坐标系，则.要使点为内一点（含边界），直线，，所以，即. 故选：D. 4．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 【答案】C 【详解】因为，，所以， 又A、C、D三点共线，所以，所以，解得. 5．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 【答案】A 【分析】分析出为等腰直角三角形，建立平面直角坐标系，表达出，求出最小值. 【详解】分别表示与同方向的单位向量， 故为的平分线所在直线， 又，故的平分线所在直线与垂直， 由三线合一可得， 取的中点，则，， ，故， 所以为等腰直角三角形， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立平面直角坐标系， 则，设，， 则， 故当时，取得最小值，最小值为. 6．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据给出的向量关系得到三角形的形状，并运用极化恒等式将所求数量积转化为有关线段的函数，当线段取最小值，也就是点到直线垂线段最短时，取得最小值. 【详解】    因为表示方向上的单位向量，同理表示方向上的单位向量， 根据平行四边形法则，所以所在直线是的角平分线， 又， 所以的角平分线与边垂直， 所以是等腰三角形，， 取中点，则有， 因为，所以， 又因为，所以，所以， 所以根据勾股定理， 根据极化恒等式，， 要使得取得最小值，即线段最小，此时， 在直角三角形中，由等面积法，得到， 所以的最小值为. 7．（25-26高一下·辽宁·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】作出辅助线，利用极化恒等式得到，结合的最值得到答案. 【详解】取的中点，连接， 则，， 两式分别平方再相减得， 设中点为，连接交圆弧于点，则当与重合时，最小，最小值为2， 当与或重合时，最大，最大值为， 所以. 8．（25-26高一下·广东韶关·期末）如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（    ） A．满足的点必为的中点. B．满足的点有且只有一个. C．的最大值为3. D．的最小值不存在. 【答案】C 【分析】建立坐标系，讨论，，，四种情况，出的范围，再判断每个选项的正误，即可得出结果. 【详解】如图建系，取，∵， ∴， 动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点， 当时，有且，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 当时，有且，则，∴，∴， 综上，， 选项A，取，满足，此时，因此点不一定是的中点，故A错误； 选项B，当点取点或的中点时，均满足，此时点不唯一，故B错误； 选项C，当点取点时，且，解得，取得最大值为，故C正确； 选项D，当取点时，取得最小值，故D错误； 故选：C. 【点睛】关键点点睛： 求解本题的关键在于根据题中所给条件，利用建系的方法，讨论的位置，根据，确定的范围，即可求解.（向量用坐标表示后，向量的计算和证明都归结为数的运算，这使问题大大简化） 9．（25-26高三·全国·三轮复习）（多选）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 【答案】ABC 【分析】对A：取边中点，连接，结合奔驰定理，可得，进而可判断A； 对B：设内切圆半径为，进而用表示出，再结合奔驰定理可判断B； 对C：设外接圆半径为，根据圆的性质结合题意可得，，，从而可用表示出，进而可判断C； 对D：延长、、交、、于点、、，根据题意，结合奔驰定理可得，.从而可设，，则，，代入即可求解，进而可判断D. 【详解】对A：如图： 取边中点，连接，由， 所以，所以、、三点共线，且，所以为的重心，故A正确； 对B：如图： 因为则为内心，可设内切圆半径为，则有，，， 所以，故B 正确； 对C：如图： 因为为的外心，设外接圆半径为，有，， 所以，，故， 所以. 故C正确； 对D：由为的垂心，，所以. 如图： 则，. 设，，则，， 所以. 所以.故D错误. 故选：ABC 【点睛】结论点睛：奔驰定理与三角形的“心”： 若为所在平面上一点，则（奔驰定理） （1）为的重心. （2）为的内心. （3）为的外心. （4）为的垂心. 10．（2026高一·全国·专题练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知是内一点，的面积分别为，且.则下列说法正确的是（    ）. A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 【答案】ABD 【分析】取线段的中点，得到，所以三点共线，再取线段的中点，证得三点共线，且三点共线，可得判定A正确；由“奔驰定理”，化简得到，可判定B正确；由，化简得到 ，求得，结合，可判定C错误；设内切圆的半径为，利用面积比求得，结合余弦定理，可判定D正确. 【详解】对于A中，若，则， 如图所示，取线段的中点，连接， 则， 所以，即，所以三点共线， 分别取线段的中点，连接， 同理可证：三点共线，且三点共线， 所以点为的重心，所以A正确； 对于B中，若， 由“奔驰定理”可得，所以， 所以，即，所以B正确； 对于C中，若， 即， 可得， 又由，且不共线， 所以， 所以由“奔驰定理”，可得，所以C错误； 对于D中，若为的内心，设的内切圆的半径为， 则, 因为，所以， 设，则， 由余弦定理，可得，所以D正确. 故选：ABD. 11．（25-26高一下·江西·月考）如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为__________．    【答案】/ 【分析】建立如图平面直角坐标系，设，利用平面向量线性运算的坐标表示和相等向量建立方程组，解出x、y，进而利用辅助角公式化简可得（其中），结合正弦函数的想即可求解. 【详解】以A为坐标原点，所在的直线分别为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图所示．    所以，设， 则， 所以． 所以．所以． 所以， 其中，所以， 此时，所以的最小值为． 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题主要考查平面向量线性运算的坐标表示，三角恒等变换的化简和三角函数的性质，解决本题的关键在于合理巧妙建立平面直角坐标系. 12．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 【答案】 【详解】以为原点建立如图所示坐标系， 则，设，则， 则， 由题意知，圆的半径为． 因为点在弧（包括端点）上，所以， 所以的取值范围是． 13．（25-26高一下·福建莆田·期中）Rt中，为的外接圆上一动点，则的最大值为__________． 【答案】 【分析】利用数量积的定义，结合投影向量和圆的性质可求答案. 【详解】设的夹角为，的外接圆的圆心为,则为的中点， ， 表示向量在上投影数量，如图，当与圆相切时，取到最大值； 记的中点为，连接,由圆的性质可得四边形为矩形， 因为所以，所以， 所以,即的最大值为. 14．（25-26高一下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 【答案】/ 【详解】设，因为平面上两点的坐标分别是，，且， 即，所以，解得，即的坐标为. 15．（25-26高一下·江苏泰州·期中）已知，，三点在同一条直线上，则实数的值为__________. 【答案】5 【分析】根据向量共线的坐标表示求解即可. 【详解】，， 因为三点共线，所以向量，共线， 所以，解得， 当时，，此时，则向量，共线， 又为公共点，所以三点共线， 综上，实数的值为5. 16．（2026高一·全国·专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 【答案】 【分析】作出辅助线，由奔驰定理得到，设，则，设，则，由，得到，求出，根据互补得到，由同角三角函数关系得到答案. 【详解】如图，延长交于点，延长交于点，延长交于点. 故⊥,⊥,⊥, ，由“奔驰定理”得，， 则，即，设，则， 同理，即，设，则. 由，得，即，所以， 所以，所以， 又，所以， 所以， 则. 故答案为： 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 平面向量特殊题型 一、有向线段的定比分点坐标公式 若点P是直线P1P2上的一点，且点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则当＝λ时，点P的坐标为(λ≠－1)． 特别地，线段P1P2的中点P0(x0，y0)的坐标为 此公式为中点坐标公式． 【注意】若＝λ，其中λ≠－1 (1)当λ>0时，点P在线段P1P2上 (2)当λ<－1时，点P在线段P1P2的延长线上 (3)当－1<λ<0时，点P在线段P1P2的反向延长线上 二、极化恒等式 1.极化恒等式:a·b=[(a+b)2-(a-b)2]. (1)几何意义:向量的数量积可以表示为以这组向量为邻边的平行四边形的“和对角线”与“差对角线”平方差的. (2)模式:在平行四边形ABCD中,O是对角线交点,则: ①·=(||2-||2)(平行四边形模式); ②·=||2-||2(三角形模式). 三、等和线 1.平面向量共线定理 已知平面内一组基向量,,且=λ+μ(λ,μ∈R),若λ+μ=1,则A,B,P三点共线;反之亦然. 2.平面向量等和线定理 平面内一组基底,,且=λ+μ(λ,μ∈R),若点P在直线AB上或在平行于AB的直线上,且k===,则λ+μ=k(定值),反之也成立,我们把直线AB以及与直线AB平行的直线称为平面向量基本定理系数的等和线. (1)当等和线恰为直线AB时,k=1; (2)当等和线在O点和直线AB之间时,k∈(0,1); (3)当直线AB在O点和等和线之间时,k∈(1,+∞); (4)当等和线过O点时,k=0. 四、奔驰定理 如图，已知P为△ABC内一点，则有S△PBC·+S△PAC·+S△PAB·=0. 1．奔驰定理推论：，则 ① ②，，. 2．三角形的四心与奔驰定理的关系 ①若O为△ABC的重心，则++=0⇔S△AOB∶S△BOC∶S△AOC=1∶1∶1； ②若O为△ABC的外心，则sin 2A·+sin 2B·+sin 2C·=0，且||=||=||； ③若O为△ABC的内心，则a·+b·+c·=0，或sin A·+sin B·+sin C·=0(a，b，c分别为角A，B，C的对边)； ④若O为△ABC的垂心，则tan A·+tan B·+tan C·=0，且==. 考点一 线段的定比分点 考点二 利用向量线性运算解决最值和范围问题 考点三 利用坐标解决三点共线问题 考点四 极化恒等式的应用 考点五 等和线的应用 考点六 奔驰定理的应用 考点一 线段的定比分点 1．（25-26高一下·全国·课堂例题）已知点，，，且依次为的三等分点，求和的坐标. 2．（25-26高一下·湖北荆州·期中）已知点，且，则点的坐标为___________________． 3．（25-26高一下·河北石家庄·月考）已知，，点在的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）在中，已知，，，边的中线为，若P为上靠近A的三等分点，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点二 利用向量线性运算解决最值和范围问题 5．（2026·天津东丽·二模）在中，，，，，P为线段CD上一点，若，则___；则的最小值为______． 6．（25-26高一上·辽宁大连·期末）在平面四边形中，，，，点在边（含端点）上运动，设，则的取值范围是_____. 7．（25-26高三上·四川眉山·月考）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 8．（2025·广西柳州·三模）在中，，，，为内一点，且.若，则的最大值为______. 9．（25-26高三·全国·月考）在直角梯形ABCD中，，点E为BC边上一点，且，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点三 利用坐标解决三点共线问题 10．（25-26高一下·宁夏石嘴山·期中）如图所示，已知直角梯形，，，过点作于点，为的中点，建立恰当的坐标系用向量的方法证明： (1)； (2)三点共线． 11．（25-26高一下·江苏·月考）设x为实数，若三点共线，则实数x的值为_________. 12．（25-26高一下·山东菏泽·期中）已知向量，若点不能构成三角形，则实数应满足的条件为（    ） A． B． C． D． 13．（25-26高一下·北京丰台·期中）已知平面向量，. (1)若，求实数的值； (2)设，若三点共线，求m的值. 14．（25-26高一下·河南新乡·月考）已知向量，，.若A，B，C三点共线，则实数（   ） A． B． C． D． 考点四 极化恒等式的应用 15．（25-26高一下·广东江门·期中）如下图，在四边形中，，，，，，分别为边，上的动点，且，则的最小值为（     ） A．24 B． C．30 D．20 16．（25-26高一下·辽宁抚顺·期中）（多选）铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示.若图中正方形的边长为2，圆的半径为3，正方形的中心与圆的圆心重合，动点在圆上，，在正方形的边上，且，关于点对称，则的值可能是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 17．（25-26高一下·安徽芜湖·期中）在边长为的正方形中，，分别为边，上的点，且满足，是正方形边上的任意一点，则的最大值为__________． 18．（25-26高一下·河北保定·期中）已知点P为边长为2的等边外接圆⊙O上的一个动点，则的取值范围是______ 19．（25-26高三下·江西·阶段检测）如图，在矩形ABCD，中，E，F分别是BC和CD的中点，若P是矩形ABCD内一点（含边界），满足且，则的最小值为_________． 20．（2026·天津和平·二模）已知边长为3的正方形，F为边上靠近点B的三等分点，E为线段上一点，M为线段上一点，若，则__________；若以为底边作等腰三角形，则当点E在边上运动时，的取值范围为__________. 考点五 等和线的应用 21．（2026·湖南常德·一模）如图，四边形是边长为1的正方形，延长CD至E，使得．动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到A点，，则的取值范围为___________． 22．（25-26高一下·福建泉州·月考）在中，，．为所在平面内的动点，且，若，则的取值范围是________． 23．（2025高一·全国·专题练习）如图，矩形中，，，、分别为线段、上的点，且满足，若，则的最小值为__________．    24．（25-26高一下·山东·期中）在矩形ABCD中，，，动点P在以点A为圆心的单位圆上．若，则的最大值为（    ） A．3 B． C． D．2 25．（25-26高一下·浙江·期末）（多选）如图，延长正方形的边至点E，使得，动点P从点A出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周后回到点A，若，则下列判断正确的是（    ）    A．满足的点P必为的中点 B．满足的点P有两个 C．满足的点P有且只有一个 D．的点P有两个 26．（25-26高三上·湖北武汉·阶段检测）如图所示，在正六边形中，点是内（包括边界）的一个动点，设，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点六 奔驰定理的应用 27．（25-26高三·全国·二轮复习）（多选） “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若M为的垂心，，则 D．若，，M为的外心，则 28．（25-26高一下·山东·月考）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（ ） A．若，则M为的重心 B．若M为的内心，则 C．若，，M为的外心，则 D．若M为的垂心，，则 29．（2026高一·全国·专题练习）已知是内的一点，若的面积分别记为，则.这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.如图，已知是的垂心，且，则（    ） A． B． C． D． 30．（25-26高一下·重庆·阶段检测）（多选）如图，为内任意一点，角的对边分别为．总有优美等式成立，因该图形酷似奔驰汽车车标，故又称为奔驰定理．则以下命题是真命题的有（   ） A．若是的重心，则有 B．若成立，则是的内心 C．若，则 D．若是的外心，，则 1．（25-26高三上·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 2．（25-26高三上·山东临沂·期中）已知向量，若点是直线上的一个动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高三上·山西·月考）在等腰直角中，D为斜边BC的中点，点Р为内一点（含边界），若，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26高一下·内蒙古乌兰察布·阶段检测）已知向量，，，若A、C、D三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 5．（25-26高一下·四川绵阳·期中）已知非零向量与满足，且，点是的边上的动点，则的最小值为（ ） A． B．2 C． D．1 6．（25-26高一下·江西南昌·期中）已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（25-26高一下·辽宁·期中）如图，已知正方形的边长为4，若动点P在以为直径的半圆上（正方形内部，含边界），则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 8．（25-26高一下·广东韶关·期末）如图，四边形是正方形，延长至，使得.若动点从点出发，沿正方形的边按逆时针方向运动一周回到点，其中，下列判断正确的是（    ） A．满足的点必为的中点. B．满足的点有且只有一个. C．的最大值为3. D．的最小值不存在. 9．（25-26高三·全国·三轮复习）（多选）几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，，，的面积分别为，，，且.以下命题正确的有（    ） A．若，则为的重心 B．若为的内心，则 C．若，，为的外心，则 D．若为的垂心，，则 10．（2026高一·全国·专题练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车，（Mercedesbenz）的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”：已知是内一点，的面积分别为，且.则下列说法正确的是（    ）. A．若，则为的重心 B．若，则 C．若，则 D．若为的内心，且，则 11．（25-26高一下·江西·月考）如图，在梯形中，，且，点是以为圆心，为半径的圆上的一点，若，则的最小值为__________．    12．（25-26高一下·山东济南·期中）如图，圆O内接边长为1的正方形ABCD，P是弧BC（包括端点）上一点，则的取值范围为____________． 13．（25-26高一下·福建莆田·期中）Rt中，为的外接圆上一动点，则的最大值为__________． 14．（25-26高一下·上海·期中）已知平面上两点的坐标分别是，，是直线上的一点，且，则点的坐标为______. 15．（25-26高一下·江苏泰州·期中）已知，，三点在同一条直线上，则实数的值为__________. 16．（2026高一·全国·专题练习）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似.故形象地称其为“奔驰定理”.其内容为：已知是内一点的面积分别为，则.设是锐角的垂心.且，则__________. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $