甘肃省甘南藏族自治州临潭县第一中学2025-2026学年第二学期高二数学月考模拟卷

**基本信息** 试卷聚焦湘教版选择性必修第二册第1-3章，通过函数极值、立体几何二面角、壮锦非遗概率等综合题设计，考查数学思维与应用能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|函数求导、空间坐标、随机变量分布|基础概念辨析，如导数计算、对称点坐标| |多选|3/18|函数零点与极值、平行六面体向量、频率分布直方图|多选项分层考查，如函数零点与切线条数判断| |填空|3/15|正态分布、向量共线、函数最值|小综合应用，如向量共线求参数| |解答|5/77|函数极值与切线、立体几何证明与二面角、壮锦概率分布列、函数恒成立、四棱锥体积与二面角|融入壮锦非遗情境（17题），综合考查数学建模与逻辑推理，如概率分布列与数学期望计算|

临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高二数学月考模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1-3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数的求导正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】，故A错误；，故B正确； ，故C错误；，故D错误． 2．已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点关于轴对称的点的坐标规律为：坐标保持不变，坐标和坐标取相反数，即对称点为， 所以，点关于轴的对称点的坐标是． 3．已知随机变量的分布列为，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先确定满足不等式的正整数取值，再结合分布列计算可得. 【详解】已知随机变量的取值，满足的正整数为和， 根据离散型随机变量分布列的概率可加性，且，，可得： . 4．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得该函数的增区间. 【详解】函数的定义域为，， 由得，故函数的增区间为. 5．在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点到平面距离公式，直接求出结果即可. 【详解】已知点，则， 所以点到平面的距离为. 故选：A. 6．若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为服从两点分布，所以， 已知，可得，解得， 那么，则. 7．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】以为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果. 【详解】以为坐标原点，的正方向为轴正方向，可建立如图空间直角坐标系， ，，，，，， ，即， 与所成的角为. 8．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题设不等式的特点，构造函数，可得其在上单调递减，从而将问题转化成在上恒成立，参变分离后，只需求在的最大值即可. 【详解】由可得， 设，依题意，当时，恒成立， 故函数在上单调递减， 因，求导得， 则在上恒成立，即， 设，则，当时，，则在上单调递增； 当时，，则在上单调递减，故当时，， 故实数的取值范围为. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 【答案】ACD 【分析】根据函数零点的定义、函数对称性的性质，结合函数极值的定义、导数的几何意义和性质进行逐一判断即可. 【详解】A：令，或， 因为方程的判别式， 所以方程有两个不相等的实数根，显然不是该一元二次方程的实数根， 因此有3个零点，所以本选项说法正确； B：因为 所以的图象关于点对称，因此本选项说法不正确； C：， 令，解得，或，所以函数在区间，上单调递增； 令，解得，所以函数在区间上单调递减， 所以是函数的极大值点，是函数的极小值点，所以本选项说法正确； D：设函数的切点为， 所以过该切点的切线斜率为， 切线方程为，把代入，得 ，化简，得 ， 解得，或，所以经过点且与的图象相切的直线有3条，因此本选项说法正确. 10．在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 【答案】BD 【分析】对A：利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，又与相交，可得与为异面直线；对B：借助菱形性质可得，再利用三角形全等可得，由等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：求出、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得. 【详解】对于A：平行六面体中，， 又为棱的中点，所以与相交，故与为异面直线，A错误.    对于B：连接、，交于点，连接、， 因为，则四边形为菱形，故，点为中点. 又，，所以，故. 又点为中点，所以， 又，，平面，故平面，故B正确. 对于C：由，， 得、、均为等边三角形，故. 在等腰中，， 在等腰中，， 在中，， 在中，，则，C错误. 对于D：连接，，因为，分别为棱，的中点，所以， 又，则直线与所成角即为直线与所成角，即为. ， ，， 在中，，D正确. 11．某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了位志愿者作为样本，并统计了其年龄的数据，按区间，，，，，分组，制成了如下图所示的频率分布直方图，则（   ） A．样本数据的众数估计为岁 B．样本中年龄在的人数为 C．估计志愿者年龄的中位数为岁 D．若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于的概率为 【答案】ABC 【分析】直接由频率直方图可得中位数，众数及频数，因此可判断ABC，再由相互独立事件的概率可得D选项错误. 【详解】对于A，观察图可知，样本数据的频率最大的一组为， 所以样本数据的众数估计为，因此A选项正确； 对于B，样本中年龄在的频率为， 所以样本中年龄在的人数为，B选项正确； 对于C，前三组的频率为，所以中位数在第三组中， 因此志愿者年龄的中位数为，C选项正确； 对于D，设任意一个人的年龄为，则， 所以从所有志愿者中任选两人且两人年龄均介于的概率为，故D选项错误． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 【答案】 【分析】利用正态分布对称性转化概率 【详解】由题，， 则原不等式转化为， 由于该正态分布的累计分布函数单调递增，因此 13．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 【答案】 【详解】因为，又A，B，D三点共线， 由向量共线的充要条件得，所以． 14．已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值小于等于极大值两个条件，列出不等式组求解即可. 【详解】先对原函数求导得，令得或； 当，，当，，当，. 可得在和上单调递减，在上单调递增，有极大值． 因为函数在上有最大值，需要满足， 再由函数在开区间有最大值可得且. 根据已知函数的单调性，可得当时，恒成立. 故，求解可得，求解即，解得.综上得到. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数在处取得极值. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2) (3)最小值为-14，最大值为18. 【分析】（1）已知函数在处取极值，利用与的值列方程组求. （2）先求点处的切线斜率，再结合，用点斜率求切线方程. （3）求的点，计算这些点与区间端点函数值，比较得最值. 【详解】（1）因为函数，所以， 又因为函数在处取得极值-14， 则有，即，解得：， 经检验，时，符合题意，故， （2）由（1）知：函数，则， 所以，又因为， 所以曲线过点处的切线方程为，也即， （3）由（1）知：函数，则， 令，解得：， 在时，随的变化，的变化情况如下表所示： -3 -2 2 3 - 0 + 0 - -7 单调递减 -14 单调递增 18 单调递减 11 由表可知：当时，函数有极小值， 当时，函数有极大值， 因为， 故函数在上的最小值为，最大值为. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形性质得到是等边三角形，取的中点，连接，得，再由面面垂直性质定理得到平面，再结合题中条件利用线面垂直判定定理得证；（2）建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量法求出平面与平面的法向量，计算夹角余弦值 【详解】（1）因为底面为菱形，，所以是等边三角形，， 取的中点，连接，在菱形中，，所以是等边三角形，则，又因为平面平面，且平面平面， 平面，所以平面. （2）由（1）知平面，以A为原点，所在直线为x轴，过A作的垂线为 y轴，所在直线为z轴建立空间直角坐标系. 因为，所以， 因为E为PD的中点，所以， ，设平面的法向量为， 则，取，得. ，设平面的法向量为， 则，取，得， 二面角为钝角， 故， 所以二面角的余弦值为. 17．（15分）壮锦是壮美广西特有的非物质文化遗产，制作一幅壮锦需要经过设计和织锦两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行织锦，两个环节是否通过相互独立．只有同时通过这两个环节才能成为成品．某壮锦工坊准备制作，，三幅不同的壮锦作品，已知，，三幅作品通过设计环节的概率依次为，，，通过织锦环节的概率依次为，，． (1)若已知，，三幅中恰有一幅作品通过设计环节，求通过的作品为A的概率； (2)经过设计和织锦两个环节后，，，三幅作品成为成品作品的件数为．求随机变量的分布列及数学期望． 【答案】(1) (2)随机变量的分布列为： 0 1 2 3 【分析】（1）借助相互独立事件乘法公式与条件概率公式计算即可得； （2）计算出三幅作品分别成为成品作品的概率后，得到随机变量的所有可能取值及其概率即可得分布列，利用分布列计算即可得其期望. 【详解】（1）设事件为“、、三幅中恰有一幅作品通过设计环节”， 事件为“通过设计的作品为”， 则， ，故； （2）作品成为成品作品的概率为，作品成为成品作品的概率为， 作品成为成品作品的概率为， 可能取值为、、、， 则， ， ，， 故随机变量的分布列为： 0 1 2 3 . 18．（17分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率，然后由点斜式可得； （2）参变分离，利用导数求最值可得解. 【详解】（1）当时，，，故， 由，得切线方程为，即； （2）原条件等价于对恒成立，令，，则， ，令，得，令，得， 所以在上单调递增，在上单调递减； 计算得，，又， 所以，故的取值范围为. 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据给定条件，以为原点建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，再利用空间位置关系的向量证明推理得证. （2）利用锥体体积公式求解. （3）由（1）中信息，再求出平面的法向量，利用面面角的向量法求解. 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连接，由，， 得四边形是平行四边形，，由，得， 由平面，得直线两两垂直， 以为原点，直线分别为轴建立空间直角坐标系， 则， ， 设平面的法向量为，则，取，得， 而，则，又平面，所以平面 （2）依题意，， 所以四棱锥的体积. （3）由（1）得，，平面的法向量为， 设平面的法向量为，则，取，得， 所以平面与平面所成锐二面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高二数学月考模拟试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第1-3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.下列函数的求导正确的是() A.（x2)=-2x B.(x cosx)=cosx-xsinx c.(m10)y=1 10 D.(e2)=2e 2.已知点A(3,2,-3),则点A关于y轴的对称点的坐标是() A.(-3,-2,3) B.（-3,2,-3) C.(-3,2,3) D.（-3,-2,-3) .E知能机变量的分布列为PG=约-只，eN,则P}G≤() 4启 B.} c.} D. 6 4.函数f(x)=x2-2lx的单调递增区间是() A.(0,1) B.(1,+0) C.（-1,1) D.(-o,-1) 5.在空间直角坐标系中，已知点A(0,3,1),D(0,1,3),平面ABC的一个法向量为i=(0,-1,-3), 则点D到平面ABC的距离为() A.2v10 B.4v10 c.5分 D. 5 4 5 6.若X服从两点分布，且P(X=1)=7P(X=0),则D(X)=() 7 A.64 B合 64 7.直三棱柱ABC-AB,C,∠BCA=90°，M,N分别是AB,CC1的中点，BC=CA=CC1=2, 则BM与AN所成的角为() a牙 B日 D. 3 8.已知函数f(x)=2xnx-ax,若对任意的x,x2∈(0，+o)，,当<时，都有 2x+f(x)<2x+f(:),则实数a的取值范围为() A[层 B.（2) C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.已知函数f(x)=x3-3x2-9x,下列说法正确的是() A.f(x)有3个零点 B.f(x)的图象关于点(1，-12)对称 C.f(x)既有极大值又有极小值 D.经过点(2,0)且与f(x)的图象相切的直线有3条 10.在平行六面体ABCD-ARGD中，AB=AD=A4=2,∠4AB=∠AAD=∠BAD=D M,N分别为棱BC,CC的中点，则() A.MN//AD B.BDI平面AACC C.AC=2√6 线DN与4C所成角的余弦值 11.某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了1000位志愿者作为样本，并统计了 其年龄的数据，按区间[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]分组，制成 了如下图所示的频率分布直方图，则() 频率 组距 0.065 0.040 0.010☐ O 10152025303540年龄 A.样本数据的众数估计为22.5岁 B.样本中年龄在[30,35)的人数为175 C.估计志愿者年龄的中位数为310 13 D.若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于[25,30)的概率为0.2 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， 12.己知随机变量X~N(1,2),若P(X<a)≥2P(X>1-2a),则实数a的取值范围 13.设e,e,是不共线的向量，己知AB=22+ke,CB=e+3,CD=2e-e,,若A,B,D三 点共线，则实数k为一 14.己知两数/(e)=号+在(a1-a)上有最大值，则a的取值范围是 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分)已知函数f(x)=a+bx+2在x=-2处取得极值-14. (1)求a,b的值： (2)求曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程： (3)求函数f(x)在[「-3,3]上的最值， 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，平面ABCD L 平面PAD,PA⊥CD,PA=AB=2,E为PD的中点. B E (1)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求二面角C-AE-P的余弦值. 17.(15分)壮锦是壮美广西特有的非物质文化遗产，制作一幅壮锦需要经过设计和织锦两 大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行织锦，两个环节是否通过相互独立.只有同时 通过这两个环节才能成为成品.某壮锦工坊准备制作A,B,C三幅不同的壮锦作品，已知 4,分，C三海作品调过设计环节的械率依次为，子，，时织环节的概率依次为子 子 (1)若已知A,B,C三幅中恰有一幅作品通过设计环节，求通过的作品为A的概率； (2)经过设计和织锦两个环节后，A,B,C三幅作品成为成品作品的件数为X,求随机变 量X的分布列及数学期望E(X). 18.(17分)已知函数f(x)=ax-lnx (1)当a=2时，求y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (②若对ce小.都有f)≤号恒成立，求a的取值范国 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB/CD且CD=2,AB=1, BC=2√5，PA=1,AB⊥BC,N为PD的中点. B D (1)求证：ANIW平面PBC; (2)求四棱锥P-ABCD的体积； (3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高二数学月考模拟试卷 命题人：李文元 (考试时间：120分钟试卷满分：150分) 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答 题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.考试范围：湘教版(2019)选择性必修第二册第1-3章 第一部分（选择题共58分） 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.下列函数的求导正确的是() A.（x2）=-2x B.(xcosx)'=cosx-xsinx C.(in10)'=1 10 D.(e2)-2e 【答案】B 【详解】(x2)=-2x3,故A错误；(x COSx))=cosx-xsinx,故B正确； (n10)=0,故C错误；(e2)=2e2,故D错误. 2.已知点A(3,2,-3),则点A关于y轴的对称点的坐标是() A.(-3,-2,3) B.(-3,2,-3) C.（-3,2,3) D.（-3,-2,-3) 【答案】C 【详解】在空间直角坐标系中，点P(x,y,)关于y轴对称的点的坐标规律为：y坐标保持不 变，x坐标和z坐标取相反数，即对称点为P(-x,y,-z), 所以，点A关于y轴的对称点的坐标是(-3,2,3). 3.已知随机变量5的分布列为P(5=)=,kEN， 则P 1 3 A. 16 B. C. D. 16 【答案】D 【分析】允确定清足不等式子<5≤4的正整数取值，再结合分布列计算可有， 【详解】已知随机变量5的取值eN,满足5写≤4的正整数k为3和4， 1 根据离散型随机变量分布列的概率可加性，且P(传=)=，k∈N,可得： P3s-Pg=PG4利=守+G 4.函数f(x)=x2-2nx的单调递增区间是() A.(0,1) B.(1,+0) C.（-1,1) D.（-m,-1) 【答案】B 【分析】求出函数的定义域，利用函数的单调性与导数的关系可求得该函数的增区间 【详解】函数/田--2血x的定义域为(0+w）,了x)=2-?.2-少 由∫'(x)>0得x>1,故函数∫(x)的增区间为(1，+) 5.在空间直角坐标系中，己知点A(0,3,1),D(0,1,3),平面ABC的一个法向量为i=(0,-1,-3), 则点D到平面ABC的距离为() A. 2W10 B. 4w10 C.5 D. √5 5 4 【答案】A 【分析】根据点到平面距离公式，直接求出结果即可. 【详解】己知点A(0,3,1),D(0,1,3),则AD=(0,-2,2), AD.n -4210 所以点D到平面ABC的距离为 V1+9 故选：A 6.若X服从两点分布，且P(X=1)=7P(X=0),则D(X)=() 7 49 A·64 B. 8 C.64 > D. 8 【答案】A 【详解】因为X服从两点分布，所以P(X=)+P(X=0)=1, 已知P(X=1)=7P(X=0),可得7P(X=0)+P(K=0)1,解得P(X=0)=及 么X==7g日则以z 7.直三棱柱ABC-AB,C1,∠BCA=90°，M,N分别是AB,CC的中点，BC=CA=CC1=2, 则BM与AN所成的角为() A哥 2兀 B. 2 C. D. 【答案】B 【分析】以C为坐标原点建立空间直角坐标系，根据异面直线所成角的向量求法可求得结果 【详解】以C为坐标原点，CA,CB,CC的正方向为x,y,z轴正方向，可建立如图空间直角坐 标系， B A(2,0,0),N(0,0,1),B(0,2,0),M(1,1,2), W .AN=(-2,0,1),BM=(1,-1,2), AN.BM C cos AN,BM =0,即AN⊥BM, B y AN·BM :☑与4W所成的角为受 8.已知函数f(x)=2xnx-ax2,若对任意的x1,x2∈(0，+m),当x<飞时，都有 2x+f(5)<2x+f(x),则实数a的取值范围为() A. ,+0 B ,十0) D. ,+0) 2 2e e 【答案】C 【分析】先根据题设不等式的特点，构造函数8(x)=f(x)-2x,可得其在(0，+o)上单调递 减，从而将问题转化成g'(x)=2血x-2≤0在(0，+o)上恒成立，参变分离后，只需求 M)=血x在(0，+)的最大值即可 【详解】由2x+∫(5)<2x+f(:)可得f(伍)-2x>f(s)-2x, 设g(x)=f(x)-2x,依题意，当0<x<x2时，8()>8(x)恒成立， 故函数g(x)在(0，+o)上单调递减， 因g(x)=f(x)-2x=2xlnx-2-2x,求导得8(x)=2lhx-2ar, 则2nr-2a≤0在(0，+四）上恒成立，即a≥（也5m 设h(x)=血 ,则H)=一血，当0<r<e时，h>0,则()在(0，e上单调递增： 当xe时，i<0,则)在(e+)上单调递减，放当x=e时，)x=e-。 放实数a的取值范围为。+” 1, 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知函数f(x)=x3-3x2-9x,下列说法正确的是（) A.∫(x)有3个零点 B.f(x)的图象关于点(1，-12)对称 C.f(x)既有极大值又有极小值 D.经过点(-2,0)且与f()的图象相切的直线有3条 【答案】ACD 【分析】根据函数零点的定义、函数对称性的性质，结合函数极值的定义、导数的几何意义 和性质进行逐一判断即可. 【详解】A:令f(x)=x3-3x2-9x=0→x(x2-3x-9)=0→x=0,或x-3x-9=0, 因为方程x2-3x-9=0的判别式△=(-3)-4×1×(-9)=45>0， 所以方程x2-3x-9=0有两个不相等的实数根，显然x=0不是该一元二次方程的实数根， 因此∫(x)有3个零点，所以本选项说法正确： B:因为 f(1+x)+f(1-x)=(1+x)3-3(1+x)2-9(1+x)+(1-x)3-31-x)2-91-x)=-22, 所以∫(x)的图象关于点(1，-11)对称，因此本选项说法不正确： C:f(x)=x2-3x2-9x→f'(x)=3x2-6x-9=3(x+1)(x-3), 令f'(x)>0,解得x>3,或x<-1,所以函数f(x)在区间(3，+∞)，(-o,-1)上单调递增： 令f'(x)<0,解得-1<x<3,所以函数f(x)在区间(-1,3)上单调递减， 所以x=-1是函数∫()的极大值点，x=3是函数∫(x)的极小值点，所以本选项说法正确： D:设函数f(x)的切点为(，x号-3x-9x), 所以过该切点的切线斜率为∫'(：)=3x-6x-9, 切线方程为y-(x号-3x-9)=(3x-6x-9)(x-),把(-2,0)代入，得 0-（x-3x-9x)=(3x号-6x-9)(-2-),化简，得 2x日+3x6-12x-18=0→x6(2x+3)-6(2x+3)=0→(2x+3)(x6-6)=0, 解得=一子或=±6，所以经过点(-20且与（因的图象相切的直线有多条，因此 本选项说法正确 10.在平行六面体ABCD-ABGD中，AB=AD=A4=2,∠AAB=∠AAD=∠BAD= Γ3 M,N分别为棱BC,CC的中点，则() A.MN//AD B.BDL平面AACC C.4C=2/6 D.直线MN与AC所成角的余弦值为 6 【答案】BD 【分析】对A:利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得AD/BC,又MN与 BC相交，可得MN与AD为异面直线：对B:借助菱形性质可得AC I BD,再利用三角形 全等可得AB=AD,由等腰三角形三线合一可得AO⊥BD,即可利用线面垂直判定定理得 到BDL平面AACC；对C:求出A4、AC及c0S∠AAC后，利用余弦定理计算即可得； 对D:由MNI/BC1,AC/1AC1,可得∠ACB即为所求，求出BC1、AC1、AB后，利用余 弦定理计算即可得。 【详解】对于A:平行六面体ABCD-ABCD中，AD/IBC, 又M为棱BC的中点，所以MN与BC相交，故MN与AD为异面直线，A错误 D B M 对于B:连接AC、BD,交于点O,连接AB、AD, 因为AB=AD,则四边形ABCD为菱形，故AC L BD,点O为BD中点. 又∠AAB=∠AAD,AA=A4,所以△ADA≡△ABA,故AB=AD, 又点O为BD中点，所以AO⊥BD, 又400AC=O,AO,ACC平面AACC,故BD⊥平面AACC,故B正确 对于C:由∠A4B=A4D=BMD-胥AB=D=A4=2, 得△ABD、△ADA、△ABA均为等边三角形，故AB=AD=AA=2, 在等服a4BD中，40=4产-〔婴--)-5， 在等服ABD中，40-A8-2)-2-写-5， 在a101中，s41c-5+2-5 2xV5×2 3 在△44C中，4C=2+2-2x2x235=8,则4C=2W5,C错误 2 对于D:连接AC1,BC,因为M,N分别为棱BC,CC的中点，所以MINI/BC, 又AC11AC1,则直线BC1与AC所成角即为直线MN与AC所成角，即为∠ACB Bg-回-而+4-ad+2a0国o号+网-2+2x2x22+2-25. AC=AC=23,AB=2, 在△ABC1中，cos∠ACB= (23)+(23-22 5,D正确 2×25×2√5 6 11.某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了1000位志愿者作为样本，并统计了 其年龄的数据，按区间[10,15)，[15,20)，[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40]分组，制成 了如下图所示的频率分布直方图，则() 频率 组距 0.065 0.040 0.010 O 10152025303540年龄 A.样本数据的众数估计为22.5岁 B.样本中年龄在[30,35)的人数为175 C.估计志愿者年龄的中位数为310岁 13 D.若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于[25,30)的概率为0.2 【答案】ABC 【分析】直接由频率直方图可得中位数，众数及频数，因此可判断ABC,再由相互独立事 件的概率可得D选项错误。 【详解】对于A,观察图可知，样本数据的频率最大的一组为20,25)， 所以样本数据的众数估计为22.5，因此A选项正确： 对于B,样本中年龄在[30,35)的频率为 1-0.01×5-0.04x5-0.065×5-0.04×5-0.01×5=0.175 所以样本中年龄在[30,35)的人数为0.175×1000=175，B选项正确： 对于C,前三组的频率为0.01×5+0.04×5+0.065×5=0.575>0.5，所以中位数在第三组中， 因此志愿者年龄的中位数为m,=20+0.5-005-02=20+50-310 0.065 1313,C选项正确： 对于D,设任意一个人的年龄为X,则P(25≤X<30)=0.040×5=0.2, 所以从所有志愿者中任选两人且两人年龄均介于[25,30)的概率为0.2×0.2=0.04，故D选项 错误 第二部分（非选择题共92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知随机变量X-N1,2),若P(X<a)≥P(X>1-2a),则实数a的取值范围 【答案】a≤-1 【分析】利用正态分布对称性转化概率 【详解】由题，P(X>1-2a)=PX<2×1-(1-2a)]=P(X<1+2a), 则原不等式转化为P(X<a)≥P(X<1+2四， 由于该正态分布的累计分布函数单调递增，因此a≥1+2a→a≤-1 13.设e,e是不共线的向量，己知AB=2g+ke,CB=g+3E,CD=2e-e,若A,B,D三 点共线，则实数k为一 【答案】-8 【详解】因为BD=CD-CB=E-4e,AB=2E+ke,又A,B,D三点共线， 由向量共线的充要条件钓子专所以太。8。 14.已知函数f()=+4在(a1-d)上有最大值，则a的取值范周是 【答案】（仁3,2） 【分析】函数在开区间内有最大值，需要同时满足极大值点在区间内和区间端点处的函数值 小于等于极大值两个条件，列出不等式组求解即可 【详解】先对原函数求导得f'(x)=-(x-2)(x+2),令f'(x)=0得x=-2或x=2; 当x<-2,f'(x)<0,当-2<x<2,f(x)>0,当x>2,f'(x)<0 可得f()在(2)和(2+)上单调递减在(22)上单调选增，有极大值了2)-名 因为函数f(x)在(a,11-a)上有最大值，需要满足a<2<11-a2, 再由函数在开区间有最大值可得f11-a)≤f(2)且f(a)≤f(2) 根据已知函数的单调性，可得当11-d>2时，f11-a)<f(2)恒成立. [a<2 故1a2,求解1-d>2可得-3a<3,米解女4a9即(a+a-2≥0， f(a)≤f(2) 解得-4≤a.综上得到-3<a<2. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分)己知函数f(x)=ax3+bx+2在x=-2处取得极值-14. (1)求a,b的值： (2)求曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程： (3)求函数f()在[-3,3]上的最值， 【答案】(1)a=-1,b=12 (2)12x-y+2=0 (3)最小值为-14，最大值为18. 【分析】(1)已知函数在x=-2处取极值，利用f(-2)与f'(-2)的值列方程组求a,b (2)先求(0,0)点处的切线斜率，再结合(0)，用点斜率求切线方程 (3)求∫(x)=0的点，计算这些点与区间端点函数值，比较得最值 【详解】(1)因为函数f(x)=+bx+2,所以f'(x)=3a2+b, 又因为函数∫(x)在x=-2处取得极值-14， [f(-2)=-14 「-8a-2b+2=-14 [a=-1 则有 f"(2)=0·即1 12a+b=0 ,解得： 1b=12' 经检验，a=-1,b=12时，符合题意，故a=-1,b=12, (2)由(1)知：函数f(x)=-x3+12x+2,则f(x)=-3x2+12, 所以f'(0)=12,又因为f(0)=0+0+2=2, 所以曲线y=f(x)过点(0,0)处的切线方程为y-2=12(x-0),也即12x-y+2=0, (3)由(1)知：函数f(x)=-x+12x+2,则f'(x)=-3x2+12, 令f'(x)=0,解得：x1=-2,x2=2, 在x∈[-3,3]时，随x的变化，f'(x),f(x)的变化情况如下表所示： -3 (-3,-2) -2 （-2,2) 2 (2,3) "(x) 0 + 0 f(x) -7 单调递减 -14 单调递增 18 单调递减 11 由表可知：当x=-2时，函数f(x)有极小值f(-2)=-14, 当x=2时，函数∫(x)有极大值f(2)=18, 因为f(-2)=-14f(3)=11,f(2)=18)f(-3)=-7, 故函数f(x)在[-3,3]上的最小值为f(-2)=-14,最大值为f(2)=18 16.(15分)如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，平面ABCD L 平面PAD,PA⊥CD,PA=AB=2,E为PD的中点. B E (1)求证：PA⊥平面ABCD: (2)求二面角C-AE-P的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 7 【分析】(1)根据菱形性质得到△ABC是等边三角形，取AD的中点O,连接CO,得CO⊥AD, 再由面面垂直性质定理得到COL平面PAD，再结合题中条件利用线面垂直判定定理得证： (2)建立空间直角坐标系，写出各点坐标，利用空间向量法求出平面PAE与平面CAE的法 向量，计算夹角余弦值 【详解】(I)因为底面ABCD为菱形，∠ABC=60°，所以△ABC是等边三角形，AB=AD=2, 取AD的中点O,连接CO,在菱形ABCD中，∠ADC=60°，所以△ADC是等边三角形， 则CO⊥AD,又因为平面ABCD⊥平面PAD,且平面ABCD∩平面PAD=AD, COC平面ABCD,所以PA⊥平面ABCD B (2)由(I)知PA⊥平面ABCD,以A为原点，AD所在直线为x轴，过A作AD的垂线 为y轴，AP所在直线为z轴建立空间直角坐标系。 A(0,0,0),P(0,0,2),D(2,0,0) P 因为AC=AB+AD=(-1,3.0)+2,0,0)=(1N30,所以C1,5,0). 因为E为PD的中点，所以E(1,0,1), A亚=(0,0,2)，A正=么，0,1)，设平面PAE的法向量为乃=(x,,3), 则丽-2名-0 ,取4=1，得=(0,1,0) hAE=x+名=0 AC=1,V3,0),A正=1,0,1)，设平面CAE的法向量为乃=（化，，2）， 则 %AC=3+V3y2=0 24匠=+名，=0，取少1，得%=315）， 二面角C-AE-P为钝角， h·儿 0×(-√3)+1×1+0×√3 故cos0 17 网网】 x++) 万7， 所以三面角c-AE-P的余弦值为- 7 17.(15分)壮锦是壮美广西特有的非物质文化遗产，制作一幅壮锦需要经过设计和织锦两 大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行织锦，两个环节是否通过相互独立.只有同时 通过这两个环节才能成为成品.某壮锦工坊准备制作A,B,C三幅不同的壮锦作品，已知 4,8,C三幅作品通过设计环节的概率依次为，子，，通过织锦环节的概率依次为 33 4’5 (1)若已知A,B,C三幅中恰有一幅作品通过设计环节，求通过的作品为A的概率； (2)经过设计和织锦两个环节后，A,B,C三幅作品成为成品作品的件数为X,求随机变 量X的分布列及数学期望E(X). 【答案】) (2)随机变量X的分布列为： X 0 1 2 3 7 17 13 3 P 40 40 40 40 B(x)= 10 【分析】(1)借助相互独立事件乘法公式与条件概率公式计算即可得： (2)计算出三幅作品分别成为成品作品的概率后，得到随机变量X的所有可能取值及其概 率即可得分布列，利用分布列计算即可得其期望 【详解】(1)设事件M为“A、B、C三幅中恰有一幅作品通过设计环节”， 事件N为“通过设计的作品为A”, 则w1-引-》r-》引1到}子 Pa=1-》-日故ww)= (MN)8_1 P(M)12 4 321 231 (2)作品A成为成品作品的概率为×号三，作品8成为成品作品的概率为×子乞， 作品C成为成品作昌的题率为分号高 X可能取值为0、1、2、3， 则x=0-(1-)0 6x--高r-分1动--品品 1133 2210-40 故随机变量X的分布列为： X 0 7 17 13 40 40 40 列 B(x)=0x7+1×1+2×13+3x3-18 4040404010 18.(17分)己知函数f(x)=x-lnx (1)当a=2时，求y=f(x)在点(1，f(1)处的切线方程： (②若对x∈Le,都有f(y号恒成立，求a的取值范围 【答案】(1)x-y+1=0 2-,2 【分析】(1)利用导数的几何意义求斜率，然后由点斜式可得； (2)参变分离，利用导数求最值可得解 【详解】1)当a=2时，f(=2-r,f()=2-}放f0-1. 由f(1)=2,得切线方程为y-2=x-1,即x-y+1=0: （②原条件等价于a2对￥=Ld小恒成立，令g付) 1 h.elq小，则a≤ge 1 -Inx 8'(x)=2 ,令g'(x)>0,得1≤x<e,令g'(r)<0,得Ve<x≤e, 所以g(y)在1，v上单调递增，在(E,©上单调递减： 计算得0=宁g因名又 13 22e 、17 所以g()a=方，故a的取值范围为-n,。 2] 19.(17分)如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD,AB/1CD且CD=2,AB=1, BC=2W2,PA=1,AB⊥BC,N为PD的中点. D (1)求证：ANW平面PBC: (2)求四棱锥P-ABCD的体积； (3)求平面PAD与平面PBC所成锐二面角的余弦值， 【答案】(1)证明见解析 (2)V5 63 23 【分析】(1)根据给定条件，以A为原点建立空间直角坐标系，求出平面PBC的法向量， 再利用空间位置关系的向量证明推理得证， (2)利用锥体体积公式求解 (3)由(1)中信息，再求出平面PAD的法向量，利用面面角的向量法求解， 【详解】(1)在四棱锥P-ABCD中，取CD中点E,连接AE,由AB/1CD,CD=2,AB=1, 得四边形ABCE是平行四边形，AE/BC,由AB⊥BC,得AE⊥AB, 由PA⊥平面ABCD,得直线AE,AB,AP两两垂直， 以A为原点，直线AE,AB,AP分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系， B 则40oa0,alo0,2i10ce5.L0 POODNE号岁， 而-52丽-0-1wc-(a20o mBP=-y+z=0 设平面PBC的法向量为=（化，y,),则 m.BC=2√2x=0 取y=1,得m=(0,1,1), 而.m=-+0,则上m,又ANc平面PBC,所以ANM平面PBC 22 2)依题意，Sn=4B+C BC=3√2， 2 所以四棱锥P-ABCD的体积r-兮amAP=万 (3)由(1)得，AP=(0,0,1),AD=(2N2,-1,0),平面PBC的法向量为m=(0,1,1), iAP=c=0 设平面PAD的法向量为n=(a,b,c),则 -AD=2Wa-b=0’取a=1,得n1,2w5,0, 所以平面PAD与平面P8C所成锐二面角的余弦值c0s1m,01=m:n=25_2 |m‖n√2×33 临潭县第一中学2025-2026学年第二学期 高二数学月考模拟试卷 命题人：李文元 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 班级： 姓名： 成绩： 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4．考试范围：湘教版（2019）选择性必修第二册第1-3章 第一部分（选择题 共58分） 1、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．下列函数的求导正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知点，则点关于轴的对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．已知随机变量的分布列为，，则（    ） A． B． C． D． 4．函数的单调递增区间是（   ） A． B． C． D． 5．在空间直角坐标系中，已知点，平面的一个法向量为，则点到平面的距离为（    ） A． B． C． D． 6．若服从两点分布，且，则（     ） A． B． C． D． 7．直三棱柱，，分别是的中点，，则与所成的角为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若对任意的，当时，都有，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知函数，下列说法正确的是（   ） A．有3个零点 B．的图象关于点对称 C．既有极大值又有极小值 D．经过点且与的图象相切的直线有3条 10．在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（    ） A． B．平面 C． D．直线与所成角的余弦值为 11．某公益组织为了更好地安排志愿服务工作，抽取了位志愿者作为样本，并统计了其年龄的数据，按区间，，，，，分组，制成了如下图所示的频率分布直方图，则（   ） A．样本数据的众数估计为岁 B．样本中年龄在的人数为 C．估计志愿者年龄的中位数为岁 D．若从所有志愿者中任选两人，则其年龄均介于的概率为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，若，则实数的取值范围________． 13．设是不共线的向量，已知，若A，B，D三点共线，则实数k为______． 14．已知函数在上有最大值，则a的取值范围是______． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）已知函数在处取得极值. (1)求，的值； (2)求曲线在点处的切线方程； (3)求函数在上的最值. 16．（15分）如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，平面平面，，，E为PD的中点． (1)求证：平面； (2)求二面角的余弦值． 17．（15分）壮锦是壮美广西特有的非物质文化遗产，制作一幅壮锦需要经过设计和织锦两大主要环节，且只有设计图案通过后才能进行织锦，两个环节是否通过相互独立．只有同时通过这两个环节才能成为成品．某壮锦工坊准备制作，，三幅不同的壮锦作品，已知，，三幅作品通过设计环节的概率依次为，，，通过织锦环节的概率依次为，，． (1)若已知，，三幅中恰有一幅作品通过设计环节，求通过的作品为A的概率； (2)经过设计和织锦两个环节后，，，三幅作品成为成品作品的件数为．求随机变量的分布列及数学期望． 18．（17分）已知函数. (1)当时，求在点处的切线方程； (2)若对，都有恒成立，求的取值范围. 19．（17分）如图，在四棱锥中，平面，且，，，，，为的中点. (1)求证：平面； (2)求四棱锥的体积； (3)求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 学科网（北京）股份有限公司 $