精品解析：上海市南洋模范中学2025-2028学年高一下学期5月阶段考试数学试题

2026南模高一下5月月考数学试卷 满分150分·120分钟·共21题 一、填空题（54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知一个扇形的面积为6π，圆心角为，则该扇形的弧长为______． 【答案】2π 【解析】 【详解】由扇形的面积公式，知，解得半径为， 所以扇形的弧长为. 2. 已知数列：1，，，4，，…，则是这个数列的第______项． 【答案】406 【解析】 【分析】确定数列通项公式，进而可求解. 【详解】由数列是首项为1，公差为5的等差数列，通项公式为， 故数列：1，，，4，，…，通项公式为， 由，∴． 即是这个数列的第406项. 3. 已知角满足，则________． 【答案】 【解析】 【详解】, . 4. 设等比数列的前n项和为，若，则公比______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据前n项和定义可得，结合等比数列的定义运算求解即可. 【详解】因为，所以， 显然，则，即，解得. 5. 已知等比数列的前项和为，若，，则________． 【答案】 【解析】 【详解】由等比数列前n项和的性质可知，仍然成等比数列， 所以可看作是这个数列的前4项的和， 由，可知. 6. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】由三角函数的值域和已知条件可得，取，求解即可. 【详解】因为， 且， 所以， 不妨取， 则， 所以. 7. 设集合，，则___________． 【答案】 【解析】 【详解】， ， 故 8. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 【答案】3379 【解析】 【详解】由，得，解得， 同理由， 所以，因此数列是以3为周期的数列， 所以. 9. 如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 【答案】 【解析】 【分析】先通过方程的解，得到相邻交点的横坐标差，结合求出；再由和图像单调性确定，最后计算的值. 【详解】令，可得或，. 由题图可知，，所以， 因为，即，故. 因为，即， 又因为点在单调递减区间上，所以可取，则， 从而. 10. 若数列满足，，且对于都有，则________． 【答案】 【解析】 【分析】令，由题意可证得数列是以为首项，2为公差的等差数列，即可求出数列的通项公式，再由裂项相消法求和即可得出答案. 【详解】因为对于都有， ，令， 所以， 所以数列是以为首项，2为公差的等差数列. 所以 ， 所以， 所以，，……， ， 将这项累加，则， 所以 ， 则， 所以 . 11. 若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 【答案】19 【解析】 【详解】因为数列是“和谐数列”，且， 所以共有6项，且. 若，，，各项全为0，则满足条件的数列只有1个； 若，，，有2项为0，1项为1，1项为， 则满足条件的数列的个数为； 若，，，有2项为1，2项为， 则满足条件的数列的个数为，所以的个数为. 12. 将关于的方程（常数，）在上的解从小到大排列构成的无穷数列记作，若是等差数列，且中属于区间的项恰比属于区间中的项少2项，则的取值集合为________． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦函数的性质确定t的可能取值，按照t的取值分类讨论，即可求解. 【详解】由函数的性质可得，若原方程的解从小到大可以组成一个无穷等差数列， 可得或， 当时，由于区间与区间的区间长度相同，均为1， 所以若在区间中的项恰好比在区间中的项少2项， 则与均为函数的最大值点， 所以，所以，该方程无解； 同理当时，也不合题意； 当时，由于区间与区间的区间长度相同，均为1， 所以若在区间中的项恰好比在区间中的项少2项， 则与均为函数的零点， 所以，所以； 所以. 二、选择题（18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】令，得， 则函数在上单调递增， 当时，真包含于，因此是函数的单调区间，A是； 不存在整数，使得选项BCD为的子集，BCD不是. 14. 数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由递增数列得，化简即可求的取值范围. 【详解】因为为递增数列，所以， 因为，所以， 化简可得， 因为在上单调递增，且恒大于0， 则在上单调递减， 则数列递减，因为， 所以当时，，所以. 故选：A 15. 若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息（单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案，其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用伯努利不等式对数列通项进行放缩，再通过裂项相消法求前项和，最终转化为由数列的单调性求的取值范围. 【详解】由伯努利不等式可得， 所以， 即，因此. 令，则， 则， 又，则，即，所以，因此数列为递增数列， 当时，，所以. 因对任意的，恒成立，则对任意的，恒成立， 则小于的最小值，即. 16. 已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数. 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 【答案】A 【解析】 【分析】①结合题设定义分、两种情况求出的值域即可判断；②根据减函数的定义可得，且时，都有，再结合的定义可得，进而判断即可. 【详解】①由， 当时，，则， 即，所以，则， 此时； 当时，，则， 即，所以，则， 此时. 综上所述，的最大值为，故①正确； ②因为函数和都是减函数， 则对于，且时，都有， 由，则， 所以必有，， 又，则， 所以也是减函数，故②正确. 三、解答题（78分，17-19题每题14分，20-21题每题18分） 17. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，为角终边上的一点． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由三角函数定义求得，代入求值； （2）由诱导公式化简，代入求值. 【小问1详解】 因为，所以， 所以 . 【小问2详解】 18. 在数列中，. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，数列的前n项和为，证明：. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由递推公式得到，利用等差数列的定义进行证明； （2）根据（1）求出的通项公式，利用错位相减法可求出数列的前n项和为，即可证. 【小问1详解】 由，可得， 又因为，所以， 所以是首项为1，公差为3的等差数列. 【小问2详解】 由（1）知，，所以. ，① ，② ①-②得， ， 所以， 又，所以. 19. 某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． （1）判断是否为等比数列？并说明理由； （2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 【答案】（1）答案见解析； （2）9. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，可得，再利用构造法推理得解. （2）由（1）的结论，取，再结合已知利用单调性解指数不等式即得. 【小问1详解】 依题意，，， ，即， 而当，即时，不是等比数列； 当且时，数列是一个以为公比，为首项的等比数列. 【小问2详解】 当时，由（1）知数列是一个以为首项，为公比的等比数列， 则，即， 设第年转型升级，则，则， 数列是递增数列，，而，则， 所以该工厂在第9年转型升级. 20. 已知函数的定义域为，点在函数的图象上，若满足，则称为函数的点，函数的所有点组成的集合称为函数的集． （1）设，分别判断和是否为函数的点（不必说明理由）； （2）设，记函数的集为，求； （3）设，且存在，使得函数的集为，求的最大值． 【答案】（1）是点；是点． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据点的定义计算即可； （2）结合以及余弦函数的性质化简即可； （3）令，将问题转化为对于任意，，分、、三种情况，结合正弦函数的性质求解. 【小问1详解】 因为，所以， 则，故是点；是点． 【小问2详解】 由题意知，， 因为，所以． 又因为，所以，所以恒成立． 故. 【小问3详解】 由题意，对于任意，都有． 令，则对于任意，， 若，则对于任意恒成立， 因为，所以， 则，则； 若，则对于任意恒成立， 因为，所以，则， 则，则； 若，则恒成立， 若，则取，此时对于任意，恒成立， 故的最大值为. 21. 对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，． （1）若为的“影数列”，为的“镜数列”， （ⅰ）求的值； （ⅱ）比较和的大小，并说明理由． （2）若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 【答案】（1）（ⅰ），（ⅱ），理由见解析 （2）不存在，理由见解析 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）由题设定义得出，，再计算的值；（ⅱ）先比较前四项，再由数学归纳法证明，时，； （2）由题设定义得出与的通项公式，进而构造函数证明数列中每一项，都有中的项与之相等，再由反证法假设数列中存在连续三项构成等比数列，由等比中项的性质推出矛盾，从而得出证明. 【小问1详解】 解：（ⅰ）由题意，，； 所以 （ⅱ）当时，； 当时，； 当时，； 当时，， 当，时，，数学归纳法证明如下 （1）当时，，命题成立； （2）假设当时，命题成立， 即，则当时， （*） ∵，，即命题也成立由 由（1）（2）可知，当，时，． 【小问2详解】 ，则，， 设，即，则， 设函数，函数单调递增，对于任意，有唯一的与之对应， 即数列中每一项，都有中的项与之相等， 单调递增，所以新， 假设数列中存在连续三项构成等比数列，，，， 故，整理得到， 当时，等式不成立；当时，为偶数，等式不成立； 所以等式无正整数解． 故假设不成立，即不存在连续三项构成等比数列． 【点睛】方法点睛：对于新定义题目，必须先看清楚题目是如何定义的，然后依据定义小心验证自己的理解是否有偏差题目，了解之后再考虑提炼第二问的解决方法. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026南模高一下5月月考数学试卷 满分150分·120分钟·共21题 一、填空题（54分，1-6题每题4分，7-12题每题5分） 1. 已知一个扇形的面积为6π，圆心角为，则该扇形的弧长为______． 2. 已知数列：1，，，4，，…，则是这个数列的第______项． 3. 已知角满足，则________． 4. 设等比数列的前n项和为，若，则公比______. 5. 已知等比数列的前项和为，若，，则________． 6. 已知，则__________. 7. 设集合，，则___________． 8. 在数列中，如果，都有（为常数），那么这个数列叫做等积数列，叫做这个数列的公积.已知是等积数列，，公积为4，则__________. 9. 如图，点是函数的图象与直线的相邻的三个交点，是的图象与轴的交点，若，则______. 10. 若数列满足，，且对于都有，则________． 11. 若数列（）满足，则称数列为“和谐数列”.已知数列是“和谐数列”，且，则满足条件的数列的个数为______. 12. 将关于的方程（常数，）在上的解从小到大排列构成的无穷数列记作，若是等差数列，且中属于区间的项恰比属于区间中的项少2项，则的取值集合为________． 二、选择题（18分，13-14题每题4分，15-16题每题5分） 13. 下列区间中，函数单调递增的区间是（ ） A. B. C. D. 14. 数列的通项公式为，若为递增数列，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 15. 若客户M准备在银行存入本金1万元，存期为n年，年利率为x，银行存款有单利计息（单利本利和=本金+本金×利率×时间）和复利计息两种方案，客户M经过考虑选择了复利计息的方案，其实这背后蕴藏着一个著名的伯努利不等式：. 已知数列的前n项和为，，若对任意的，恒成立，则λ的取值范围为（ ） A. B. C. D. 16. 已知是定义在上的函数，记，给出下列两个结论： ①若函数，则的最大值为； ②若函数和都是减函数，则也是减函数. 则下列判断正确的是（ ） A. ①②都正确 B. ①正确，②错误 C. ①②都错误 D. ①错误，②正确 三、解答题（78分，17-19题每题14分，20-21题每题18分） 17. 已知角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的正半轴重合，为角终边上的一点． （1）求的值； （2）求的值． 18. 在数列中，. （1）求证：数列是等差数列； （2）令，数列的前n项和为，证明：. 19. 某集团投资一工厂，第一年年初投入资金5000万元作为初始资金，工厂每年的生产经营能使资金在年初的基础上增长50%．每年年底，工厂向集团上缴万元，并将剩余资金全部作为下一年的初始资金，设第n年的初始资金为万元． （1）判断是否为等比数列？并说明理由； （2）若工厂某年的资金不足以上缴集团的费用，则工厂在这一年转型升级．设，则该工厂在第几年转型升级？ 20. 已知函数的定义域为，点在函数的图象上，若满足，则称为函数的点，函数的所有点组成的集合称为函数的集． （1）设，分别判断和是否为函数的点（不必说明理由）； （2）设，记函数的集为，求； （3）设，且存在，使得函数的集为，求的最大值． 21. 对于函数和数列、，若，，则称为函数的“影数列”，为函数的一个“镜数列”．已知，，． （1）若为的“影数列”，为的“镜数列”， （ⅰ）求的值； （ⅱ）比较和的大小，并说明理由． （2）若为函数的“影数列”，为函数的“镜数列”，现将与的公共项按从小到大的顺序重新构成数列，试问在数列中是否存在连续三项构成等比数列？请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $