专题03 函数（5大考点）（四川专用）2026年中考数学二模分类汇编

**基本信息** 聚焦函数核心考点，整合四川多地二模真题，覆盖平面直角坐标系、函数图象分析及一次、反比例、二次函数5大考点，题型含选择、填空、解答，注重数形结合与实际应用。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|12题|各考点基础概念，如对称点坐标、函数图象判断|结合矩形、圆等几何图形考查坐标系应用| |填空题|8题|函数性质与几何综合，如折叠问题、规律探究|融入动态几何（如动点面积）与跨考点综合| |解答题|17题|一次函数与反比例函数综合、二次函数几何应用|设置无人机飞行（二次函数）、蓄电池电流（反比例）等真实情境，注重分类讨论与动态问题|

专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数及函数图象的分析与判断 考点03一次函数的图象、性质及应用 考点04反比例函数的图象、性质及应用 考点05二次函数的图象、性质及应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·四川绵阳·二模）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】 先根据对称点的位置确定点所在象限， 再根据象限内点的坐标特征列不等式组求解即可. 【详解】解：∵点关于原点的对称点在第四象限， ∴点在第二象限， ∴， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为：. 2．（2026·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标． 【详解】设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形． ∵OA=8， ∴CF=8-5=3， ∴PF=4， ∴OB=EF=5+4=9． ∵PF过圆心， ∴DF=CF=3， ∴BD=8-3-3=2， ∴D(9，2)． 故选A．    3．（2026·四川泸州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标满足，则点在第__________象限． 【答案】二 【分析】根据平方和绝对值的非负性求出a与b的值，再根据平面直角坐标系中象限的坐标特征判断点A所在象限． 【详解】解：，且，， ，， 解得，， 即点的坐标为，第二象限内点的横坐标小于0，纵坐标大于0，因此点位于第二象限． 4．（2026·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________ 【答案】D（，1） 【分析】先利用圆内接四边形的性质得到∠ABO＝60°，再根据圆周角定理得到AB为⊙D的直径，则D点为AB的中点，接着利用含30度的直角三角形三边的关系得到OB＝2，OA＝2，所以A（−2，0），B（0，2），然后利用线段的中点坐标公式得到D点坐标． 【详解】解：∵四边形ABOC为圆的内接四边形， ∴∠ABO＋∠ACO＝180°， ∴∠ABO＝180°−120°＝60°， ∵∠AOB＝90°， ∴AB为⊙D的直径， ∴D点为AB的中点， 在Rt△ABO中，∵∠ABO＝60°， ∴OB＝AB＝2， ∴OA＝OB＝2， ∴A（−2，0），B（0，2）， ∴D点坐标为（−，1）． 故答案为（−，1）． 5．（2026·四川广安·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使按此规律进行下去，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】通过解直角三角形，依次求…各点的坐标，再从其中找出规律，便可得结论． 【详解】解：如图：过作轴， ∵的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∴的坐标为， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的坐标为， 同理可得：的坐标为，的坐标为，的坐标为，的坐标为， … 由上可知，A点的方位是每6个循环， 与第一点方位相同的点在x轴正半轴上，其横坐标为，其纵坐标为0， 与第二点方位相同的点在第一象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第三点方位相同的点在第二象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第四点方位相同的点在x轴负半轴上，其横坐标为，纵坐标为0， 与第五点方位相同的点在第三象限内，其横坐标为，纵坐标为， 与第六点方位相同的点在第四象限内，其横坐标为，纵坐标为， ∵， ∴点的方位与点的方位相同，在x轴上，其横坐标为，纵坐标为0， ∴点的坐标是． 函数及函数图象的分析与判断 考点02 1．（2026·四川遂宁·二模）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了函数图象．由于压强与水面的高度成正比，而上下两个容器粗细不同，那么水面高度随时间变化而分两个阶段． 【详解】解：最下面的容器较粗，那么第一个阶段的函数图象水面高度随时间的增大而增长缓慢，用时较长，即压强随时间的增大而增长缓慢，用时较长， 最上面容器最小，则压强随时间的增大而增长变快，用时最短． 故选：B． 2．（2026·四川广安·二模）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．甲、乙同学的速度和为10米/秒 B．甲、乙同学在8秒时相遇 C．甲同学的速度为5米/秒 D． 【答案】C 【分析】根据题意和函数图象中的数据，可以得到甲、乙同学在8秒时相遇，甲秒跑完米，从而可以求得甲的速度，再根据图象中的数据，可知甲、乙跑秒钟的路程之和为米，从而可以求得乙的速度，然后用除以乙的速度，即可得到的值． 【详解】解：由图象可得，甲、乙同学在8秒时相遇，故B正确， 甲的速度为(米秒)， 故C错误， 乙的速度为(米秒)， ∴甲、乙同学的速度和为10米/秒，故A正确， ∴，故D正确． 3．（2026·四川广元·二模）如图1，在矩形中，，，动点P以的速度自A点出发沿折线方向运动，动点Q以的速度自A点出发沿折线方向运动，若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，两点相遇时都停止运动，记的面积为，且s与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】第一阶段在上、在上，由为直角三角形直接求出,令得，第二阶段，用割补法求出，由顶点式知该阶段恒成立；第三阶段都在上，令得，从而． 【详解】解：当时，在上，在上，， ， 由图知时，， ， 解得， ， 令， 解得，即， 当时，在上， 在上，， ， ， ， ， 当时取最大值4，当时, 当时，恒成立， 当时，在上， 在上，， ， ， ， 令， 解得，即， ． 4．（2026·四川广安·二模）函数中，自变量x的取值范围是______________． 【答案】x≥-3且x≠0 【分析】根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于等于0，分母不等于0列不等式组求解． 【详解】解：根据题意得：x+3≥0且x≠0， 解得x≥-3且x≠0． 故答案为：x≥-3且x≠0． 一次函数的图象、性质及应用 考点03 1．（2026·四川泸州·二模）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数、一次函数的图象与性质以及函数交点问题，熟练掌握函数图象的绘制和直线平移时与函数图象交点情况的分析是解题的关键．先根据函数图象关于轴对称，求出时的函数表达式，再画出函数图象，结合直线的平移，分析直线与函数图象有四个交点时的取值范围． 【详解】解：∵函数图象关于轴对称，当时，， ∴当时，；当时，． 画出函数图象： 当时，，这是一个开口向上，顶点为，与轴交点为，的抛物线一部分． 当时，，是一条为，过的射线． 根据对称性画出时的函数图象． 联立（时），得， 当，即时，直线与（）相切． 当直线过时，． 结合图象可知，当时，直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点． 故选：A． 2．（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆心坐标及圆与坐标轴相切得出圆的半径，设圆上任意一点坐标为，由半径得，，那么圆上任意一点的横纵坐标满足方程 ，再联立与得到一元二次方程，根据直线与圆有公共点，利用一元二次方程根的判别式 建立关于 b 的不等式，最后利用二次函数的图象与性质解不等式即可． 【详解】解：圆心 ， ∴圆心到轴，轴的距离为 ∵与轴，轴均相切， 的半径， 设圆上任意一点坐标为， 由半径得， ∴圆上任意一点的横纵坐标满足方程， 当图象与有公共点时， 联立与， 得： ， 整理得：， 关于 的一元二次方程有实数根， ， 整理得，. 令， 解得， 令， ∴不等式的解集，即为抛物线在轴下方时，对应于轴交点横坐标的取值范围， ∵，抛物线开口方向向上， 不等式的解集为． 3．（2026·四川遂宁·二模）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 【答案】 【分析】本题考查一次函数图象与坐标轴的交点，旋转的性质，正方形的判定和性质等，延长交y轴于点E，先求出点A和点B的坐标，再根据旋转的性质证明四边形是正方形，进而求出和的长度即可求解． 【详解】解：如图，延长交y轴于点E， 中，令，则，令，解得， ，， ，， 绕点逆时针方向旋转得到， ，，， 四边形是正方形． ， ， 点的坐标为． 故答案为：． 4．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知点，将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点为点关于点的“位移点”．如图，已知直线过点，与轴、轴分别相交于点，．直线与直线相交于点，作点关于点的“位移点”，连接，，记的面积为．若，则的取值范围为 ___________ ． 【答案】 【分析】利用待定系数法求出直线的解析式，进而求出点的坐标，联立直线与直线求出点的坐标，根据“位移点”的定义表示出点的坐标，表示出的面积，结合列出不等式组，解不等式组即可求出的取值范围． 【详解】解：∵直线过点， ∴， 解得， ∴ 直线的解析式为， 令，得， ∴， 联立， 解得， ∴， 设，则，， ∵点为点关于点的“位移点”，， ∴点的横坐标为，纵坐标为，即， 过点作轴的平行线交直线于点， 则点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得． 5．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与轴正半轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点和点，过点作轴，垂足为，且． (1)求一次函数的解析式； (2)连接，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征、待定系数法求一次函数的解析式、勾股定理，熟练掌握反比例函数与一次函数的关系是解答本题的关键． （1）将点坐标代入反比例函数解析式求出，再求得点坐标，然后利用待定系数法即可求出一次函数的解析式； （2）将一次函数解析式与反比例函数解析式联列组成方程组，求出解比较的坐标，可以得，从而可以求出的面积，最后由可以得解． 【详解】（1）解：点在反比例函数的图象上， ，解得：． ． 轴， ，． ． ． ． 把点，代入中， ， 解得， 一次函数的表达式为． （2）由题意，将一次函数解析式与反比例函数解析式联列方程组得， 或． ， ． 由（1）得，， ． 6．（2026·四川德阳·二模）如图，正方形的顶点为原点，点坐标为，点在轴的负半轴上，双曲线经过的中点，交于点，直线经过点和的中点． (1)求双曲线和直线的解析式； (2)点为直线上一个动点，若的面积为，求点的坐标． 【答案】(1)，； (2)或 【分析】（1）根据正方形的性质得，，继而得到、，再根据待定系数法可确定双曲线及直线的解析式； （2）设，根据三角形面积公式得，求出的值再代入可得相应的的值，可得答案． 【详解】（1）解：∵，四边形为正方形， ∴， ∴正方形的边长为， ∵正方形的顶点为原点，点在轴的负半轴上， ∴，， ∵点是的中点，点是的中点， ∴、， ∵双曲线过点， ∴， ∴双曲线的解析式为； ∵直线过点、， ∴，解得：， ∴直线的解析式为； （2）解：设， ∵的面积为， ∴， 解得：， 将代入，得：， 此时点的坐标为； 将代入，得：， 此时点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或． 7．（2026·四川泸州·二模）如图，已知反比例函数的第一象限图象上的有两点和点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接、．已知与的面积满足． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在线段上若有一点，当时，求出点D的坐标． 【答案】(1)一次函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2) 【分析】（1）先求出点坐标，然后利用三角形的面积公式可求出，根据即可求出，设，于是可得，根据点在反比例函数上即可求出的值，利用点在反比例函数上即可求出的值，利用一次函数的图象经过点即可求出的值，即可确定两个函数的解析式； （2）连接，首先求出直线与轴的交点的坐标，然后可证得，于是可得，设，则有，解该分式方程，即可求得点的坐标． 【详解】（1）解：， 当时，， ， ， ， ， ， ， 设， 则，， ， 又点在反比例函数上， ， ， ∴反比例函数解析式为：， 点在反比例函数上， ， ， 又一次函数的图象经过点， ， 解得：， ∴一次函数解析式为：； （2）解：如图，连接， 由（1）可知：直线的表达式为， 当时，， ， ， 轴， ， 轴轴， ， ，， ， ， 设，则，， ， 解得：或， 经检验，或是原分式方程的解， 点在第一象限， 将舍去， ， ， 点的坐标为． 8．（2026·四川南充·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式； (2)将正比例函数的图象沿轴平移得直线与轴交于点，若的面积为，求与的值． 【答案】(1)正比例函数的解析式为，反比例函数的解析式为 (2)， 【分析】（）利用待定系数法求出反比例函数的解析式，即得点坐标，再代入正比例函数解析式解答即可求解； （）利用平移的性质可得，即得 ，再表示出点坐标，进而根据三角形的面积列出方程解答即可求解； 本题考查了待定系数法求函数解析式，一次函数图象的平移，反比例函数的几何应用，正确求出函数解析式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数的图象上， ∴， ∴反比例函数的解析式为， 把代入，得， ∴， ∵在正比例函数的图象上， ∴， ∴， ∴正比例函数的解析式为； （2）解：∵直线是正比例函数的图象沿轴平移得到， ∴， ∴， 把代入 ，得， 解得， ∴， ∴， ∵点关于原点对称， ∴， ∴， 又∵的面积为， ∴， 解得． 9．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． (1)求直线的函数解析式； (2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______； (3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】本题考查的是反比例函数与一次函数的交点问题，掌握数形结合是解题的关键， （1）把，两点坐标分别代入反比例函数，求出的值，再根据待定系数法即可求出直线的解析式； （2）根据，可知一次函数的图象在反比例函数的上方，根据图象即可解答； （3）由题意知点坐标为，即可知，，，根据四边形的面积，即可求解． 【详解】（1）解：把，两点坐标分别代入反比例函数，可得，， ∴， ． 把代入一次函数， 可得，解得， 直线的解析式为． （2）解：∵， ∴，即一次函数的图象在反比例函数的上方， 又∵， ∴由图象可知． 故答案为：； （3）如图，过点作轴于点，过点作轴于点， ∵直线的解析式为， ∴点坐标为， ， ， ，， 四边形的面积 ． 10．（2026·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)4 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）先求出，再求出直线的解析式为，过点作轴的垂线交于点，可得，根据，即可求解； （3）根据题意可得，设，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数，则， 解得， ∴反比例函数的表达式为， 将点，点代入一次函数，则， 解得， ∴一次函数的表达式为； （2）解：将代入，则，将点代入，得，解得， ∴， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 过点作轴的垂线交于点，则点的横坐标为， 将代入，则， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：∵是以为斜边的直角三角形， ∴， ∵点，点， ∴， ∵点在轴上， 设， ∴，即， 解得， ∴点的坐标为或． 反比例函数的图象、性质及应用 考点04 1．（2026·四川成都·二模）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图像在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图像与x轴有交点 D．函数图像关于直线对称 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数的图像与性质，根据k的符号结合反比例函数的特点逐一判断选项即可． 【详解】解：已知反比例函数，其中， A.∵，∴函数图像在第二，四象限，A错误，不符合题意； B.∵，y仅在每个象限内随x的增大而增大，B错误，不符合题意； C.∵中y恒不为0，∴函数图像与x轴没有交点，C错误，不符合题意； D. 反比例函数的图像是双曲线，关于直线对称，D正确，符合题意． 2．（2026·四川南充·二模）已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用待定系数法先求出电流与电阻的函数关系式为，再代入，计算即可得出结果． 【详解】解：设电流与电阻的函数关系式为， ∵当电阻R为时，电流为， ∴， ∴， ∴电流与电阻的函数关系式为， 当电阻为时，． 3．（2026·四川德阳·二模）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象和性质和正比例函数的图象和性质，要掌握它们的性质才能灵活解题． 根据及正比例函数与反比例函数图象的特点，可以从和两方面分类讨论得出答案． 【详解】解：， 分两种情况： （1）当时，正比例函数的图象过原点、第一、三象限，反比例函数图象在第二、四象限，无此选项； （2）当时，正比例函数的图象过原点、第二、四象限，反比例函数图象在第一、三象限，选项D符合． 故选D 4．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴负半轴、轴正半轴上．以、为边，在第二象限内作矩形，点的纵坐标为，点、分别在线段、上，沿将四边形翻折，点与点恰好重合，点的对称点为．若点和线段的中点都在双曲线上，则_______． 【答案】 【分析】根据矩形的性质得出，，，结合题意设，，则点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，根据折叠的性质得出，，，根据等角的余角相等得出，根据全等三角形的判定和性质得出，求出线段的中点的坐标为，根据反比例函数上点的坐标特征得出，结合勾股定理求出，即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， 设，， 则点的坐标为，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， 由题可知，四边形沿翻折得到四边形，， ∴，，， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∴点的坐标为； ∴线段的中点的坐标为 ∵点和线段的中点都在双曲线上， 故将、代入，得，， 整理，得； 在中，， 即， 故 解得：（负值舍去）， ∴点的坐标为， 故将代入，得． 5．（2026·四川成都·二模）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而减小．则k的取值范围是________． 【答案】 【分析】根据反比例函数的增减性判断出的符号，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】解： 反比例函数的图象在所在象限内，的值随值的增大而减小，，解得． 6．（2026·四川成都·二模）已知两点都在反比例函数的图象上，且，则____．（填“>”或“<”或“=”） 【答案】< 【分析】本题根据反比例函数的性质，先判断比例系数的符号，得到函数在时的增减性，再结合给定的的大小关系比较的大小． 【详解】反比例函数中，比例系数， 根据反比例函数的性质，当时，函数图象的两个分支分别位于第二、四象限，且在每个象限内，随的增大而增大， ，即两点都在第二象限， ． 7．（2026·四川成都·二模）如图，反比例函数与一次函数交于点，点，若，，当时，的取值范围是______． 【答案】或 【分析】由图像可知，反比例函数 与一次函数 交于 、 两点； 即一次函数图像在反比例函数图像下方，结合图像直接读出 的取值范围． 【详解】解：由图像，反比例函数 （，）与一次函数 交于点 ， 观察图像，当 时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即 ； 当 时，一次函数图像在反比例函数图像上方，即 ； 当 时，一次函数图像在反比例函数图像下方，即 ； 当 时，的取值范围是 或 ． 8．（2026·四川广元·二模）如图将直角三角板（）如图放置于平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的横坐标为，，且点与线段的中点均在双曲线（）上． (1)求的值； (2)设直线的解析式为，求关于的不等式的解集． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）过点作轴于点，根据题意设，，则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，根据直角三角形的性质和等角的余角相等得出，根据相似三角形的判定和性质得出，根据中点坐标求出点的坐标为，根据反比例函数上点的坐标特征求出，联立方程组求出、的值，即可求解； （2）先求出点和点的坐标，结合图象，即可求解． 【详解】（1）解：过点作轴于点，如图， 根据题意设，， 则点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ， 即， 整理，得①； ∵点为线段的中点，且点的坐标为，点的坐标为， ∴点的坐标为， ∵点、均在双曲线上， 故将、代入，得，， 即， 整理，得②， ∴联立①②得， 解得（负值舍去）， 故． （2）解：由（1）可得点的坐标为，点的坐标为， 结合图象可知：不等式的解集为或． 9．（2026·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，，点为反比例函数图象上位于点上方的一点，直线与轴，轴分别交于D，E两点． (1)求反比例函数解析式； (2)若，求点坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设，由列方程求出，从而得到点的坐标和反比例函数解析式； （2）过分别作轴的垂线，由得，再由得，从而由相似比求出的纵坐标，进而求出的坐标和直线的解析式，令得点的坐标． 【详解】（1）解：函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A， 设， ， ， ， 在第一象限， ， ， ， ； （2）解：过点作轴于 ，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ，即， 在上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 令 ，得 ， 10．（2026·四川绵阳·二模）如图，双曲线与直线的图象交于点，点，直线与轴交于点，动点在线段上，过点分别作轴，轴交双曲线于点，交轴于点，连接． (1)求的值及点的坐标； (2)求的最大值． 【答案】(1) (2)的最大值是2 【分析】（1）先根据待定系数法求，继而得到双曲线的表达式，利用图像交点列出分式方程求解即可得点的坐标； （2）设点，先求出，再用三角形面积公式得到的函数，继而计算其最大值． 【详解】（1）解：点在上， ， ， ， 把代入双曲线，得 ， 双曲线的表达式：， 与的图象交于点， ， 解得， 经检验，两个根都满足题意， ， 的横坐标为， 的纵坐标为， 即． （2）解：设点， 轴，轴， ， 在上， ， 即， ， ， ， 即 ， ，对称轴， 当时，的最大值是2． 11．（2026·四川遂宁·二模）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，根据函数图象直接写出的取值范围； (3)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，求的取值范围． 【答案】(1)， (2)或 (3)或 【分析】（1）利用待定系数法，将已知点A的坐标代入反比例函数解析式求出k，进而确定反比例函数解析式；再利用点B在反比例函数图象上求出n，最后利用点A和点B的坐标求出一次函数解析式； （2）通过观察函数图象，找出一次函数图象位于反比例函数图象上方时对应的x的取值范围； （3）先求出直线与x轴交点C的坐标，根据点P和点C的坐标表示出线段的长度，结合点A的纵坐标确定三角形的高，利用面积公式建立关于m的不等式求解． 【详解】（1）解：将点代入反比例函数得，，解得，， 反比例函数解析式为， 将点代入反比例函数得，，解得， 的坐标为， 将，代入一次函数，得， ，解得，， 一次函数的解析式为； （2）解：由题意得：或； （3）解：令，代入，得， 的坐标为， ，在x轴上， 在中，底边，其上的高为4， ， 由题意得，， ， 或， 或． 12．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，与y轴正半轴交于点C．在反比例函数图象上取点D（点D在点A右侧），使，连接交y轴于点E． (1)若，求点的坐标； (2)若，求的值； (3)过点B作y轴的垂线，垂足为F，若，求点的坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先求出点的坐标，再求出直线的解析式，与反比例函数的解析式联立求解即可； （2）过点作轴于点，过点作，交延长线于点，过点作轴于点，先证出，求出的坐标，则可得，的长，再证出，求出点的坐标，进而可得的长，代入计算正切值即可； （3）设，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，参照（2）的思路，求出点的坐标（用含的式子表示），的长，再求出的长，根据相似三角形的性质建立方程，解方程求出的值即可． 【详解】（1）解：将代入反比例函数得：， ∴， 将代入直线得：， ∵， ∴， ∴直线的解析式为， 联立，解得（即为点的横、纵坐标）或， ∴点的坐标． （2）解：如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点，过点作轴于点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 将代入反比例函数得：，即， ∴， 将点代入函数得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：，即， ∴， ∵轴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，即， ∴， 设，则， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， 解得或（舍去）， ∴，， ∴在中，， ∴在中，． （3）解：设， 如图，过点作轴于点，过点作，交延长线于点， 同理可得：，，， ∴， ∴， 将代入反比例函数得：，即， ∴，， 将点代入函数得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入函数得：，即， ∴， 代入得：，即， 设，则， ∴，， ∴， 将点代入反比例函数得：， 解得或（舍去）， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得， ∴直线的解析式为， 将代入得：，即， ∴， ∵， ∴，即， 整理得：， 解得，经检验，是所列分式方程的解， ∴，， ∴点的坐标为． 13．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，与反比例函数图象的交点为．已知，点B为中点． (1)求直线的表达式； (2)过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接，点E在线段上移动，连接，将沿直线翻折，点D的对应点为F． ①当轴时，求与重叠部分的面积； ②在点E移动的过程中，是否存在以为一条直角边的直角三角形？若存在求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①；②或或 【分析】（1）根据题意得到，,即可得到答案； （2）①求出反比例函数解析式为， 求出，根据与重叠部分的面积为的面积即可求出答案；②分三种情况进行解答即可． 【详解】（1）解：当时，， ∴， 当时，，解得， ∴， ∵， ∴， 解得， ∵点B为中点． ∴， 解得, ∴ （2）①如图， ∵过， ∴ ∴点C的坐标为 ∴， ∴反比例函数解析式为 ∵轴 ∴ ∵即，过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D， ∴ ∴， ∴， 由折叠可知， 设， ∴ 在中，, ∴， ∴， ∴与重叠部分的面积为的面积； ②存在以为一条直角边的直角三角形，求解如下： 设, 当时， ∴ ∴ ∵, ∴， 解得或（不合题意，舍去） ∴, 当时，作于H点， 设，则, 设，则, ∵ ∴ ∴， ∴ ∴ ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， ∵， ∴ 解得, ∴， 当点F在线段上方时，如图，时，则， ∴即， ∵， ∴ 解得（不合题意，舍去） ∴， 综上可知，或或 14．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求和直线的解析式； (2)点在直线下方且在反比例函数的图象上，连接， ①如图1，延长交轴于点，当和相似时，求点的坐标； ②如图2，连接，当时，求点的坐标． 【答案】(1)， (2)①，② 【分析】（1）将代入求出m，设直线的解析式为，将A，C，的坐标代入求解即可； （2）①先确定只有一种情况，作轴于点，证得求出，得，再求出所在直线的解析式，与反比例函数联立方程求解即可；②设点，过作轴，过作轴，利用，求出，过点作一条平行于y轴的直线，交直线于点，利用求出，根据列方程求解即可． 【详解】（1）解：∵点在反比例函数上， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入， 得， 解得， ∴直线的解析式为； （2）解：①在中， 当和相似时，则中必须有一个角是 ∵是公共角，在第一象限，在轴正半轴 ∴只有一种情况， 作轴于点， ∵， ∴，，， ∵， ∴， 在中，， ∵，即， ∴， 在和中： ∴ ∴，即，解得， ∵点在轴上，且在点右侧， ∴， ∴， 设所在直线的解析式为， 则解得：， ∴所在直线的解析式为， ∵点是直线与反比例函数的交点 联立方程： 整理得： 解得： 当时，（与点重合，舍去）； 当时，， ∴ ②设点， 过作轴，过作轴 ∵，，点在直线下方， ∴，， ∴，，，，， ， 过点作一条平行于y轴的直线，交直线于点， ∵点在直线上，则点的坐标是， ∴， ∴点到直线的距离是，点到直线的距离是， ∴ ， ∵， ∴ 即 解得或 当时，（与点重合，舍去）； 当时，， ∴． 15．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式和点坐标； (2)坐标轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)P为反比例函数图象第一象限上一点，连接、、、、，当时，求直线解析式． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】（1）将代入得得出，联立反比例函数与直线解析式，解方程，即可求解； （2）分在轴和在轴两种情况讨论，根据，利用两点距离公式建立方程，解方程，即可求解； （3）设，过点作交轴于点，交轴于点，分别求得，，根据，，建立方程求得的坐标，再求得直线的解析式，即可求解． 【详解】（1）解：将代入得， ， ∴， ∴反比例函数的表达式为， 联立， 解得：或， ∴， （2）解：①当在轴上时，设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， ②当在轴上时，设， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 综上所述，或； （3）解：如图，设，过点作交轴于点，交轴于点，连接, 设解析式为 ∴ 解得： ∴的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵，则直线的解析式为 同理可得直线的解析式为 当时， 解得： ∴ ∵与轴交于点． 当时，， ∴ ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ 解得：（舍去）或， ∴ 设直线的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 16．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数第三象限图象上一点，过点作直线交轴于点． ①若直线与反比例函数的图象只有一个交点，连接，，求的面积； ②是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)一次函数的表达式为：，反比例函数的表达式为：； (2)①；②存在，或 【分析】（1）将点代入，得出一次函数的表达式，先求出点坐标，再求反比例函数表达式即可得解； （2）①连接，设直线交轴于点，根据题意设出直线的解析式，进而联立反比例函数解析式，根据直线与反比例函数的图象只有一个交点，得出，，再求得直线的解析式，根据，即可求解； ②根据题意得出，分两种情况讨论，情形一：，情形二： ，根据相似三角形的性质进行分析，即可求解． 【详解】（1）解：将点代入得， 解得： ∴一次函数的表达式为： 将代入 ∴ 解得：， ∴， 将代入得，， ∴反比例函数的表达式为； （2）解：①解：如图，连接，设直线交轴于点， ∵直线 ∴设直线的解析式为 联立 ∴ 即 ∵直线与反比例函数的图象只有一个交点， ∴ 又∵ ∴ ∴直线的解析式为 当时， ∴ 设直线的解析式为 代入，得， 解得： ∴直线的解析式为 当时 ∴ ∵ ∴ ②解：如图，过点作轴于点，过点作轴于点 ∵ ∴ ∵，则 ∴ ∵ ∴ ∴， ∴与相似，点与点对应，分两种情况讨论， 情形一：， ∴ ∴ ∴ 设 ，则 ∴ ∴，代入 解得：（负值舍去） ∴ 情形二： ，则 过点作轴于点，过点作于点， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ 设 ，则 依题意， 解得： ∴, ∴ 综上所述：存在，或 二次函数的图象、性质及应用 考点05 1．（2026·四川成都·二模）已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据一次函数的图象和反比例函数的图象经过的象限，判断出a、b、c的符号，进而确定二次函数的开口方向，对称轴的位置和与y轴的交点的位置，再结合函数图象可得答案． 【详解】解：∵一次函数的图象经过第一、二、四象限， ∴， ∴， ∴二次函数的图象开口向下，对称轴在y轴右侧， ∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴， ∴二次函数的图象与y轴交于负半轴， ∴四个函数图象中，只有A选项中的函数图象符合题意． 2．（2026·四川广安·二模）将抛物线先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则的值为（    ） A． B．0 C．4 D．12 【答案】D 【分析】本题考查了二次函数图象的平移，根据抛物线平移规则：向右平移a个单位，则x替换为；向上平移b个单位，则y替换为．对原抛物线逐步平移后，得到新解析式，再与标准形式比较得出a、h、k的值，最后求和． 【详解】解：原抛物线为 ， 向右平移4个单位：将x替换为， ； 向上平移2个单位：将y替换为， ， ， 即新抛物线为 ， 与 比较， 得 ， ， ， ． 3．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】抛物线与x轴没有交点等价于对应一元二次方程无实数根，利用根的判别式列不等式求解即可． 【详解】解：∵抛物线与轴没有交点， ∴一元二次方程没有实数根， 根据一元二次方程根的判别式性质，得， 即， 解得． 4．（2026·四川宜宾·二模）若时，二次函数的最小值为，则的值是（    ） A． B． C． D．5 【答案】D 【分析】先判断二次函数开口方向，求出对称轴，根据对称轴与给定区间的位置关系分三种情况讨论，舍去不符合条件的解，即可得到正确结果． 【详解】∵二次函数的二次项系数为， ∴抛物线开口向上，对称轴为直线， 此时分三种情况讨论： ①当，即时， 在范围内，y随x的增大而增大，当时，y取得最小值， ∴， 解得， ∵，不符合条件，舍去； ②当，即时， 二次函数最小值在对称轴处取得，将代入得： ， 解得，均不在范围内，舍去； ③ 当，即时， 在范围内，y随x的增大而减小，当时，y取得最小值， ， 解得，符合的条件， ∴． 5．（2026·四川南充·二模）已知抛物线与抛物线关于y轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．1 【答案】D 【分析】先利用关于y轴对称的抛物线的坐标变换规律求出的解析式，再根据两点都在抛物线上得到关于的恒等式，利用恒等式对任意成立的条件，对应系数相等求解，即可作答． 【详解】解：∵抛物线与关于y轴对称，关于y轴对称的抛物线横坐标变号纵坐标不变， ∴将中替换为，得的解析式： . ∵点在上， ∴ . ∵点也在上， ∴将Q坐标代入解析式得： ， 把代入等式左边，得：左边 . 展开整理等式右边得：右边 . ∵等式对任意实数都成立， ∴对应项系数相等，得， 解得， 代入常数项验证得 ，符合要求． 故． 6．（2026·四川成都·二模）成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（   ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 【答案】C 【分析】先根据图象可得，和时，，即可求解对称轴，即可判断A；再将点代入求解抛物线表达式，继而进行判断B、C、D． 【详解】 解：由图象可得，和时，， ∴对称轴为直线，故A正确，不符合题意； 将点代入，则 解得 ∴抛物线表达式为， ∵， ∴当时，，故B正确，不符合题意； 当时，，故C错误，符合题意； 当时，则，解得或 ∴该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是，故D正确，不符合题意． 7．（2026·四川广安·二模）已知抛物线图像的一部分，对称轴是直线且过点，下列关系中正确个数（    ） ①； ②； ③若方程有两个不相等的实数根，则； ④； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】从图象中获取信息，利用二次函数的性质，以及图象与系数之间的关系，特殊点，最值，逐一进行判断即可． 【详解】解：∵抛物线的开口向下，对称轴为直线，与轴交于正半轴， ∴， ∴，故①正确； ∵图象过，且对称轴为直线， ∴图象过， ∴；故②正确； 由图象可知：当时，函数有最大值为， ∴当方程有两个不相等的实数根时，，故③错误； ∴故④错误； ∵， ∴， ∴，故⑤错误； 综上正确的有2个． 8．（2026·四川广元·二模）已知二次函数 （），抛物线与轴交于，两点 ，与轴交于点，顶点为有下列四个结论： ① 抛物线的对称轴为直线； ② 若，则当时，随的增大而增大； ③ 若当时，抛物线与x轴有交点，则的取值范围是； ④ 若不等式 对全体实数恒成立，则 下列判断中，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】A 【分析】根据解析式求得对称轴为直线即可判断①②，根据当时，抛物线与x轴有交点，得出，分别求得和时的函数值，即可得出，即可判断③，根据 对全体实数恒成立，可得，，解不等式即可求解． 【详解】解：二次函数对称轴公式为，本题中，代入得：，与结论一致，①正确． 二次函数开口由决定，时抛物线开口向上，对称轴为直线，当时随增大而增大，②正确． ∵ ，顶点在第一象限，在对称轴右侧，且顶点纵坐标为正，故抛物线必须开口向下． 当时，， 当时， ∵抛物线在时与x轴有交点， ∴ ， 构造关于a的函数， ∴当时，可得；③正确． ∵ 对全体实数恒成立． ∴，且 解得，与矛盾，故不存在这样的，④错误． 9．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 【答案】或 【分析】先求得的坐标；根据图象，找到二次函数图象在一次函数图象上面部分的的取值范围． 【详解】解：令，可得， ， 令，可得，解得， ， 由图可得关于x的不等式即的解集为或． 10．（2026·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 【答案】 【分析】过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F，由正方形的性质得到， 可得是等腰直角三角形，得到，设，则，利用待定系数法可得，则，可得正方形的周长为，同理可求出正方形的周长为，正方形的周长为，则可推出正方形的周长为，据此可得答案． 【详解】解：如图所示，过点分别作y轴的垂线，垂足分别为D、E、F， ∵四边形是正方形， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为； ∵， ∴； 同理可得， 设，则， ∴， ∵点在二次函数的图象上， ∴， 解得或（舍去）， ∴， ∴正方形的周长为， 同理可得正方形的周长为， ……， 以此类推，可知，正方形的周长为 ∴正方形的周长为． 11．（2026·四川广元·二模）若抛物线（是常数，）经过点，． (1)求a与b之间的关系式． (2)若将此抛物线向上平移2个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． (3)已知点，在抛物线上，满足，当对于任意的，满足时，都有．求证：． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】（1）把点，代入即可求解； （2）根据根的判别式解题； （3）用含和的式子表示出，根据证明即可． 【详解】（1）解：把点，代入， 得：， ，得 ， ∴； （2）解：原抛物线为，向上平移2个单位长度后为 ， ∵该抛物线与轴没有交点， ∴ ， 由且，可得， ∴ ， 解得； （3）证明：∵， ∴， ∵ ， ， ∴ ， ∵对于任意，都有 ， ∴恒成立， ∵时，， ∴必有， 此时的最小值在处取到， 即， 解得． 12．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线， (1)当点在该抛物线上时，求抛物线的解析式； (2)已知点，点，若抛物线与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围； (3)若直线与抛物线交于点，两点，点是抛物线的顶点，设直线，的解析式分别为与，求之间的数量关系．（用只含的代数式表示） 【答案】(1) (2)或或 (3) 【分析】（1）将代入求解； （2）首先求出抛物线经过点和，对称轴为直线，顶点为，然后分两种情况讨论求解即可； （3）设，，将直线和抛物线联立得到，利用韦达定理得到，，然后将和代入直线得到，同理可得，，然后表示出和，进而求解即可． 【详解】（1）解：当点在该抛物线上时， 解得 ∴抛物线的解析式为； （2）解：∵抛物线 ∴当或时，，即抛物线经过点和， ∵抛物线 ∴抛物线对称轴为直线，顶点为 ∵抛物线与线段有且只有一个公共点， ①当时，抛物线开口向上， 当抛物线的顶点在线段上时，符合条件， 则解得； 当抛物线过点时，与抛物线有两个交点， ∴根据函数的对称性，只要时，，即符合条件，如图所示， 当时，，解得； ②当时，抛物线开口向下， 当抛物线经过点时， 解得 ∴当时，抛物线在处的函数值小于1，在处的函数值大于1， ∴当抛物线与线段有且只有一个公共点时，； 当，抛物线开口向下， 根据函数的对称性，只要时，，即符合条件，如图所示， 当时，，解得； 综上所述，的取值范围是或或； （3）解：∵直线与抛物线交于点，两点， 设， ∴联立得， 整理得， ∴， ∵抛物线顶点，直线的解析式为 ∴ ∴ 解得 同理可得， ∴ ； ∴ ∴ ∴ ∴之间的数量关系为． 13．（2026·四川泸州·二模）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)动点在抛物线的对称轴上，且在轴下方，作射线，将射线绕点逆时针旋转后与抛物线交于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）先求出抛物线的对称轴为直线，设，根据旋转的性质并结合为等腰直角三角形可得出，，过Q作垂直直线于H，证明，得出，，则，把Q的坐标代入抛物线表达式可求出m的值，即可求解； （3）分三种情况讨论：；；，根据二次函数的性质求解即可． 【详解】（1）解：∵二次函数的图象交轴于点，交轴于点， ∴， 解得， ∴二次函数的表达式为； （2）解：∵， ∴对称轴为直线， 设， ∵旋转， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， 过Q作垂直直线于H， 则， ， ∴， ∴，， ∴， ∵Q在抛物线上， ∴， 解得或（舍去）， ∴； （3）解：平移后的抛物线表达式为， ∴其对称轴为直线， 当，即时，如图， 当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y有最小值为， 当时，y有最大值为， ∴， 解得（不符题意，舍去）； 当，即时， 此时当时，y有最小值为， 若当时，y有最大值为， 则， 解得或（不符题意，舍去）； 若当时，y有最大值为， 则， 解得或（不符题意，舍去）； 当，即时，如图， 当时，y随x的增大而减小， ∴当时，y有最大值为， 当时，y有最小值为， ∴， 解得（不符题意，舍去）； 综上，或． 14．（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 【答案】(1)抛物线解析式为： (2) (3) 或 ． 【分析】（）根据，两点，利用待定系数法求解即可得； （）先由抛物线解析式求出与轴交点的坐标，再在中用勾股定理求出的长度；根据角平分线定理得到与的比例关系，结合的长度求出，从而确定的坐标；接着求出直线的解析式，联立直线与抛物线的方程，舍去点对应的解，得到点的坐标； （）先求出直线的解析式，再利用角平分线的性质得到点到直线的距离等于的长度；结合，根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出与的长度；设出点的坐标，由的长度列方程求解得到的坐标，再根据的长度和直线的斜率求出对应点的坐标，最终得到两组符合条件的坐标． 【详解】（1）解：∵抛物线与轴交于，两点， ∴代入两点坐标得方程组：， 解得 ， ∴抛物线解析式为：； （2）解：∵抛物线解析式； 令，得， 即：抛物线与轴交点， 在中，，， 由勾股定理得， ∵平分， 根据角平分线定理：，且， 即： 解得：，即， 设直线解析式为， 代入、得：， 联立直线与抛物线方程：， 整理得：， 解得：（对应点，舍去），，代入直线得 ， ∴点坐标为：； （3）解：设直线的解析式为， 代入、得， 解得：， ∴直线的解析式为， 作，垂足为， ∵平分，， ∴ ∵点在直线上， ∴在直线上，点到直线的距离为定值：， 即：中，边上的高为， 在中，在轴上，边上的高为， ∵， ∴，，即 由，，得，， 设，由得：， 整理解得或， ① 当时，， ，，，计算得； ② 当时，， ，，，计算得； 因此坐标为： 或 ． 15．（2026·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点；与轴交于点，，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于点．若，求点的横坐标； (3)点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 【答案】(1) (2) (3)或或或． 【分析】（1）先求出，解直角三角形得到，则；再利用待定系数法求解即可； （2）求出直线的表达式为；设，则，则，，根据t的取值范围和，建立方程求解即可； （3）求出，设，由旋转得，当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点，证明，表示出，将点代入，得，解方程即可；当时，作出同样的辅助线，同理可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴； ∵在中，，， ∴， ∴， ∴； ∵抛物线与x轴相交于、两点，与y轴交于点， ∴， 解得， ∴抛物线的表达式为； （2）解：设直线的表达式为， ∴， ∴， ∴直线的表达式为； 设，则， ∴，， 当时，， ∵， ∴， 解得或（舍去）； ∴点M的横坐标为； （3）解：∵， ∴； 设， 由旋转得， 当时， 过点作轴的平行线，过点分别作的垂线，垂足分别为， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入得， 整理得， 解得， ∴或； 当时，过点作轴的平行线，过点分别作平行线的垂线，垂足为点， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 将点代入， 得， 整理得， 解得， ∴或， 综上所述：所有符合条件的点P的坐标为或或或． 16．（2026·四川绵阳·二模）如图1，抛物线过点，，与轴交于点，将沿直线平移得到，点分别对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点落在抛物线上时，，求的值； (3)如图2，抛物线平移得到抛物线，图象经过点，抛物线与直线交于另一点，与对称轴右侧的轴交于点，其中点与图象上的对应，当时，若，求的顶点坐标． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）设，过点作轴交于点，则可得，利用面积公式，再结合得，，从而可以求出，利用的平移的性质即可求解； （3）根据平移的性质可得，，根据二次函数的对称性得，利用平移的性质得直线的解析式为，从而得到，设，则是由向右平移个单位，再上平移个单位而得，可得设的解析式为，再根据和得是等腰直角三角形，即可列式求解． 【详解】（1）解：点在抛物线上， ， 即． （2）解：点在抛物线上， 设， 过点作轴交于点， ， ， 直线的解析式为：， ， ， ． ， ， 即， ， 解得（舍去）， ． 由平移性质得，且， ， ， ． （3）解：由平移性质知：， ， 又的对称轴， ， ， ，， 设直线的解析式为， 将代入得，， 直线的解析式为：， 令， 解得：， ， 在的图象上，又， 设， 则是由向右平移个单位，再上平移个单位而得， 的顶点坐标是， 的顶点坐标为， 设的解析式为：， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 将点代入解析式得： ， 即， 解得或（此时点重合，舍去）， 顶点坐标为． 17．（2026·四川成都·二模）如图，以为顶点的抛物线经过原点，直线交抛物线于点、（点在点左侧），交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线表达式； (2)当时，求当面积最大值时点的坐标； (3)定义：线段中点的轨迹为抛物线的“伴生曲线U”．直线经过（2）中的点且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出的值． 【答案】(1) (2)点的坐标为 (3) 【分析】（1）已知抛物线顶点为且过原点，设顶点式，将代入，解得，故抛物线表达式为； （2）由直线得，证得，结合根与系数的关系求得，得到直线解析式；再用割补法表示的面积，转化为二次函数求最值，得； （3）设中点，用中点公式表示，代入直线得“伴生曲线U”：；根据直线过点得，联立后令判别式，解得． 【详解】（1）解：∵为抛物线的顶点， ∴设抛物线的解析式为， 将原点代入得， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：在中，当时， 解得， ， 过A，C分别作轴的垂线，垂足为M，N，如图， ∴， ， ， ， 设， ∴， ∴，即， 联立， ∴ ， ，， 将代入中， 得 解得， 将和代入中， 得 解得或， 由图可得，， 又∵， ， ∴ ， 直线的解析式为． 由题意得，设， 过作轴交于点，连接，如图， ∴， ∴ ， 由图可得， ， ∵为定值， ∴当时，最大，此时面积最大， ∴， 点的坐标为； （3）解：设， 由（2）知， 为中点， ， ∴， 点在直线上， ∴将代入得， ， 伴生曲线U为， ∵直线过， ∴ 解得， ∴， 联立直线与伴生曲线得， ， ∵直线与伴生曲线有且只有一个交点， ∴， 解得． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 函数 5大考点概览 考点01平面直角坐标系 考点02函数及函数图象的分析与判断 考点03一次函数的图象、性质及应用 考点04反比例函数的图象、性质及应用 考点05二次函数的图象、性质及应用 平面直角坐标系 考点01 1．（2026·四川绵阳·二模）已知点关于原点对称的点在第四象限，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（2026·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（    ）    A． B． C． D． 3．（2026·四川泸州·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标满足，则点在第__________象限． 4．（2026·四川广安·二模）如图，在平面直角坐标系中，点A在轴负半轴上，点B在轴正半轴上，⊙D经过A，B，O，C四点，∠ACO＝120°，AB＝4，则圆心点D的坐标是________ 5．（2026·四川广安·二模）在平面直角坐标系中，点的坐标为，以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使，再以为直角边作，并使按此规律进行下去，则点的坐标为______． 函数及函数图象的分析与判断 考点02 1．（2026·四川遂宁·二模）向如图所示的空容器内匀速注水，从水刚接触底部时开始计时，直至把容器注满．在注水过程中，设容器内底部所受水的压强为（单位：帕），时间为（单位：秒），则关于的函数图象大致为（    ）    A． B． C． D． 2．（2026·四川广安·二模）学校利用课后服务时间开展趣味运动项目训练．在直线跑道上，甲同学从处匀速跑向处，乙同学从处匀速跑往处，两人同时出发，到达各自终点后立即停止运动．设甲同学跑步的时间为（秒），甲、乙两人之间的距离为（米），与之间的函数关系如图所示，则下列说法错误的是（　　） A．甲、乙同学的速度和为10米/秒 B．甲、乙同学在8秒时相遇 C．甲同学的速度为5米/秒 D． 3．（2026·四川广元·二模）如图1，在矩形中，，，动点P以的速度自A点出发沿折线方向运动，动点Q以的速度自A点出发沿折线方向运动，若点P、Q同时出发，运动时间为t秒，两点相遇时都停止运动，记的面积为，且s与t之间的函数关系的图像如图2所示，则图像中的值为（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川广安·二模）函数中，自变量x的取值范围是______________． 一次函数的图象、性质及应用 考点03 1．（2026·四川泸州·二模）已知某函数图象关于轴对称，当时，；当时，．若直线与这个函数图象有且仅有四个不同交点，则实数的范围是（    ） A． B． C． D．或 2．（2026·四川绵阳·二模）如图，，与轴，轴均相切，将一次函数的图象平移，当图象与有公共点时，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．（2026·四川遂宁·二模）如图，直线与轴、轴分别相交于点，，将绕点逆时针方向旋转得到，则点的坐标为______． 4．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知点，将点向右或向左平移个单位长度，再向上或向下平移个单位长度，得到点，称点为点关于点的“位移点”．如图，已知直线过点，与轴、轴分别相交于点，．直线与直线相交于点，作点关于点的“位移点”，连接，，记的面积为．若，则的取值范围为 ___________ ． 5．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与轴正半轴相交于点，与反比例函数的图象相交于点和点，过点作轴，垂足为，且． (1)求一次函数的解析式； (2)连接，求的面积． 6．（2026·四川德阳·二模）如图，正方形的顶点为原点，点坐标为，点在轴的负半轴上，双曲线经过的中点，交于点，直线经过点和的中点． (1)求双曲线和直线的解析式； (2)点为直线上一个动点，若的面积为，求点的坐标． 7．（2026·四川泸州·二模）如图，已知反比例函数的第一象限图象上的有两点和点，一次函数的图象经过点，与轴交于点，与轴交于点，过点作轴，垂足为，连接、．已知与的面积满足． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)在线段上若有一点，当时，求出点D的坐标． 8．（2026·四川南充·二模）如图，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，两点． (1)求正比例函数与反比例函数的解析式； (2)将正比例函数的图象沿轴平移得直线与轴交于点，若的面积为，求与的值． 9．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图象交于两点，与y轴交于点M，与x轴交于点N． (1)求直线的函数解析式； (2)根据图象判断，当时，x的取值范围为_______； (3)已知y轴正半轴上有一点P，，连接，，求四边形的面积． 10．（2026·四川泸州·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象交轴于点，交轴于点，交反比例函数的图象于点． (1)求反比例函数和一次函数的表达式； (2)点是反比例函数图象上一点，连接，求的面积； (3)在轴上是否存在点，使是以为斜边的直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 反比例函数的图象、性质及应用 考点04 1．（2026·四川成都·二模）关于反比例函数，下列结论正确的是（    ） A．函数图像在第一、三象限 B．y随x的增大而减小 C．函数图像与x轴有交点 D．函数图像关于直线对称 2．（2026·四川南充·二模）已知某蓄电池的电压为定值，电流与电阻是反比例函数关系，它的图象如图，若当电阻R为时，电流为，则当电阻为时，电流为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·四川德阳·二模）若，则正比例函数与反比例函数在同一坐标系中的大致图象可能是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川广元·二模）如图，在平面直角坐标系中，点、分别在轴负半轴、轴正半轴上．以、为边，在第二象限内作矩形，点的纵坐标为，点、分别在线段、上，沿将四边形翻折，点与点恰好重合，点的对称点为．若点和线段的中点都在双曲线上，则_______． 5．（2026·四川成都·二模）已知反比例函数的图象具有下列特征：在所在象限内，y的值随x值的增大而减小．则k的取值范围是________． 6．（2026·四川成都·二模）已知两点都在反比例函数的图象上，且，则____．（填“>”或“<”或“=”） 7．（2026·四川成都·二模）如图，反比例函数与一次函数交于点，点，若，，当时，的取值范围是______． 8．（2026·四川广元·二模）如图将直角三角板（）如图放置于平面直角坐标系中，已知点的坐标为，点的横坐标为，，且点与线段的中点均在双曲线（）上． (1)求的值； (2)设直线的解析式为，求关于的不等式的解集． 9．（2026·四川绵阳·二模）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A，，点为反比例函数图象上位于点上方的一点，直线与轴，轴分别交于D，E两点． (1)求反比例函数解析式； (2)若，求点坐标． 10．（2026·四川绵阳·二模）如图，双曲线与直线的图象交于点，点，直线与轴交于点，动点在线段上，过点分别作轴，轴交双曲线于点，交轴于点，连接． (1)求的值及点的坐标； (2)求的最大值． 11．（2026·四川遂宁·二模）如图，一次函数（，为常数，）的图象与反比例函数（为常数，）的图象交于，两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)当时，根据函数图象直接写出的取值范围； (3)直线与轴交于点，点是轴上的点，若的面积大于12，求的取值范围． 12．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于，B两点，与y轴正半轴交于点C．在反比例函数图象上取点D（点D在点A右侧），使，连接交y轴于点E． (1)若，求点的坐标； (2)若，求的值； (3)过点B作y轴的垂线，垂足为F，若，求点的坐标． 13．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴负半轴交于点A，与y轴正半轴交于点B，与反比例函数图象的交点为．已知，点B为中点． (1)求直线的表达式； (2)过点B作x轴的平行线与反比例函数的图象交于点D，连接，点E在线段上移动，连接，将沿直线翻折，点D的对应点为F． ①当轴时，求与重叠部分的面积； ②在点E移动的过程中，是否存在以为一条直角边的直角三角形？若存在求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 14．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，直线分别与轴，轴交于，两点，与反比例函数的图象交于点． (1)求和直线的解析式； (2)点在直线下方且在反比例函数的图象上，连接， ①如图1，延长交轴于点，当和相似时，求点的坐标； ②如图2，连接，当时，求点的坐标． 15．（2026·四川成都·二模）如图1，在平面直角坐标系中，直线与反比例函数的图象交于、两点，与轴交于点，与轴交于点． (1)求反比例函数的表达式和点坐标； (2)坐标轴上是否存在一点，使得，如果存在，请求出点坐标，如果不存在，请说明理由； (3)P为反比例函数图象第一象限上一点，连接、、、、，当时，求直线解析式． 16．（2026·四川成都·二模）如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点，与轴交于点． (1)求一次函数和反比例函数的表达式； (2)点是反比例函数第三象限图象上一点，过点作直线交轴于点． ①若直线与反比例函数的图象只有一个交点，连接，，求的面积； ②是否存在点，使得与相似，若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 二次函数的图象、性质及应用 考点05 1．（2026·四川成都·二模）已知一次函数与反比例函数的图象如图所示，则的图象可能是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·四川广安·二模）将抛物线先向右平移4个单位长度后，接着再向上平移2个单位长度，得到新抛物线，则的值为（    ） A． B．0 C．4 D．12 3．（2026·四川绵阳·二模）若抛物线与轴没有交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（2026·四川宜宾·二模）若时，二次函数的最小值为，则的值是（    ） A． B． C． D．5 5．（2026·四川南充·二模）已知抛物线与抛物线关于y轴对称，点为抛物线上的一点，若存在实数k，使得m取任意实数时，点也在抛物线上，则k的值为（    ） A． B．4 C． D．1 6．（2026·四川成都·二模）成都低空经济示范区测试一款垂直起降配送无人机．一次试验中，该无人机从地面起飞到降落过程中，飞行高度与时间满足二次函数，其图象如图所示．根据图象，下列说法错误的是（   ） A．该图象的对称轴是直线 B．此次飞行无人机飞行的最大高度为 C．当时，该无人机飞行的高度为 D．该无人机从地面起飞到降落地面经过的时间是 7．（2026·四川广安·二模）已知抛物线图像的一部分，对称轴是直线且过点，下列关系中正确个数（    ） ①； ②； ③若方程有两个不相等的实数根，则； ④； ⑤． A．2 B．3 C．4 D．5 8．（2026·四川广元·二模）已知二次函数 （），抛物线与轴交于，两点 ，与轴交于点，顶点为有下列四个结论： ① 抛物线的对称轴为直线； ② 若，则当时，随的增大而增大； ③ 若当时，抛物线与x轴有交点，则的取值范围是； ④ 若不等式 对全体实数恒成立，则 下列判断中，正确的是（     ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．（2026·四川广安·二模）如图，一次函数的图象与二次函数的图象交于点、，且点在轴上，点在轴上，则关于的不等式的解集为___． 10．（2026·四川德阳·二模）二次函数的图象如图所示，点位于坐标原点，点在轴的正半轴上，点，点在二次函数的图象上，四边形，四边形，…，四边形都是正方形，则正方形的周长为________． 11．（2026·四川广元·二模）若抛物线（是常数，）经过点，． (1)求a与b之间的关系式． (2)若将此抛物线向上平移2个单位长度，该抛物线与轴没有交点，求的取值范围． (3)已知点，在抛物线上，满足，当对于任意的，满足时，都有．求证：． 12．（2026·四川成都·二模）在平面直角坐标系中，已知抛物线， (1)当点在该抛物线上时，求抛物线的解析式； (2)已知点，点，若抛物线与线段有且只有一个公共点时，求的取值范围； (3)若直线与抛物线交于点，两点，点是抛物线的顶点，设直线，的解析式分别为与，求之间的数量关系．（用只含的代数式表示） 13．（2026·四川泸州·二模）如图，二次函数的图象交轴于点，交轴于点． (1)求二次函数的表达式； (2)动点在抛物线的对称轴上，且在轴下方，作射线，将射线绕点逆时针旋转后与抛物线交于点，是否存在点使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由； (3)将二次函数的图象向右平移个单位长度后，当时，若图象对应的函数最大值与最小值的差为5，请求出的值． 14．（2026·四川绵阳·二模）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，为抛物线上一点，平分，与轴交于点． (1)求抛物线的函数解析式； (2)求点坐标； (3)在直线上取两点（在点上方），连接，使得，求坐标． 15．（2026·四川宜宾·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于、两点；与轴交于点，，点为抛物线的顶点． (1)求抛物线的表达式； (2)点为该抛物线上一动点，过点且与轴垂直的直线交线段于，交轴于点．若，求点的横坐标； (3)点是轴上一动点，将顶点绕点旋转后刚好落在抛物线上的点处，请直接写出所有符合条件的点的坐标． 16．（2026·四川绵阳·二模）如图1，抛物线过点，，与轴交于点，将沿直线平移得到，点分别对应点． (1)求抛物线的解析式； (2)当点落在抛物线上时，，求的值； (3)如图2，抛物线平移得到抛物线，图象经过点，抛物线与直线交于另一点，与对称轴右侧的轴交于点，其中点与图象上的对应，当时，若，求的顶点坐标． 17．（2026·四川成都·二模）如图，以为顶点的抛物线经过原点，直线交抛物线于点、（点在点左侧），交轴于点，点为直线下方抛物线上一动点． (1)求抛物线表达式； (2)当时，求当面积最大值时点的坐标； (3)定义：线段中点的轨迹为抛物线的“伴生曲线U”．直线经过（2）中的点且与“伴生曲线U”有且只有一个交点，求出的值． 2/6 1/6 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网 www.zxxk.com 让教与 专题03函数 考点01 平面直角坐标系 1.C 2.A 3.二 4.D(-5,1) 5.（-2205,0 考点02 函数及函数图象的分析与判断 1.B 2.C 3.A 4.之-3且≠0 考点03 一次函数的图象、性质及应用 1.A 2.B 3.(-3,1) 4. 6 2 5.(1)y=-x+1 (2)3 6.1)y=-8 ,y=-X-2 (2)(-5,3)或1，-3) 7.(1)一次函数的解析式为y2= x+3,反比例函数的解析式为y=8 2 (28,1 3/3 学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教5 ,反比例函数的解析式为y=-6 2 8.(①)正比例函数的解析式为y=- 3 ②'=-2」 3,n=t3 9.(1)y=-x+4 (2)1<x<3 (3)5 6 0①v；y=+2 (2)4 3+√41 30,2 或0,3=④ 2 考点04 反比例函数的图象、性质及应用 1.D 2.C 3.D 4.-22 5. k>2 6.< 7.0<x<1或x>3 8.(1)25 (2)x<0或V5<x<2V5 0y- (2)0,4 10.(1)k=3,B-3,-1 (2)SAPMN的最大值是2 1.0y=8,y=x+2 2/3 学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与 (2)-4≤x<0或x≥2 (3)m<-8或m>4 12.(1)B(-4,-1 @ 片) 13.(0=x+3 25 ②E(7,3)或E3或EL,3到 14.(1)m=6,y=3x+3 ②P(2,3 15.0)y=8,8-2,-4 ae5ea》 (3)y=-4x+12 16.①）一次函数的表达式为：y=-x+5,反比例函数的表达式为：y= 4 (2)①18；②存在，C(-4,-1或C 2V152W15 3 5 考点05 二次函数的图象、性质及应用 1.A 2.D 3.A 4.D 5.D 6.C 7.A 8.A 9.x<0或x> 3/3 学更高效 命学科网 www.zxxk.com 让教与 10.8104√2 11.(1)b=-2a 2②0<a<2 9 (3)a≥2 12.(1)y=x2-4x+3 (3)kk2=-2ak,+k2) 13.(1)y=x2+2x-3 (2)P(-1,-2) (3)n=√5+1或n=-√5+4. 14.()抛物线解析式为：y=-x2- 3+4 2D523 6'12 r0）或0》r0》 15.(1)y=-x2-2x+3 (2)-2+√2 e""小严 16.(1)y=-x2+2x+3 @-号 3(号，) 17.(1)y=x2-2x ②点P至标为好】 3)m,--6-52 2 2/3 学更高效