精品解析：安徽合肥市第八中学2026届高三考前自测卷数学试题

合肥八中2026届高三最后一卷 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用一元二次不等式的解法求出A，再利用要使二次根式有意义的未知数的取值范围求出B，再求. 【详解】由于，， 所以. 2. 已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】，在复平面内，复数对应的点为， 复数与对应的点关于直线对称，则复数对应的点为， 则， 所以，故选项D正确. 3. 两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据投影向量的定义即可求解. 【详解】因为， 所以在上的投影向量的长度为. 4. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据奇偶性的定义可得为奇函数，进而分离常数，结合指数函数的单调性可判断的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，得，， 则，所以函数为奇函数， 又， 由于在上单调递增，且，故在上单调递增， 由，则， 即，解得，则的取值范围为. 5. 设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】先化简函数，根据点为函数图象的一个对称中心求出，再根据在上的最大值为2结合三角函数最值求出，两者结合即可推出的最小值. 【详解】， 点是的对称中心，因此，代入得 ， 即，整理得； 当时，， 而根据解析式可知最大值为， 说明区间必须包含，因此 ， 解得； 结合且， 时，，不满足； 时，，满足条件. 因此的最小值为. 6. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据正三角形面积比等于边长比的平方求出上下底面积比，再利用棱台体积公式求出棱台体积，最后通过三棱锥体积公式求出两部分体积并计算体积比. 【详解】已知正三角形面积比为边长比的平方， 又因为正三棱台上、下底面边长为和， 因此上下底面积比 ， 设上底面积 ，则下底面积 ， 设棱台的高，即上下底面的距离为， 根据棱台体积公式 可得：  ，​ 又因为​在上底面，到下底面的距离就是棱台的高， 因此： ，​ ，  因此体积比：. 7. 双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据双曲线的定义可得，由几何关系可得，且，利用余弦定理以及勾股定理化简即可求解. 【详解】、为双曲线右支上两点且 ， 所以 ， 设，可得， 由于且，所以，且 在直角三角形中，， 在中由余弦定理，， 由可得 ，即， 化简得，可得 可得， 所以， 化简得，即， 所以 ， 解得：或（舍去） 所以双曲线的离心率为. 8. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由可得， 与互为反函数，故其交点在直线上，且交点横坐标小于1， 而与交点的横坐标等于1， 从而，，在同一直角坐标系中的大致图象如图所示：与的图像交点为,与的图像交点为, 且 当直线位于点的上方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的上方，的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 当直线位于点的下方时，此时直线与三个函数的交点横坐标满足， 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为2，公比为的等比数列，且，，则（ ） A. ， B. 数列的前50项中，有7项在数列中 C. 数列的前项和为 D. 数列的前5项和为650 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意列方程求解即可判断A；求出数列，的通项公式，进而求解判断B；利用分组求和法求解判断C；利用错位相减法求解判断D. 【详解】对于A，由于，，则， 解得，故A正确； 对于B，由，得，则， 由，得，而， 则在数列的前50项中，在数列中的有，共3项，故B错误； 对于C，由于，则， 所以数列的前项和为，故C正确； 对于D，由于，则， 设数列的前项和为， 则， 所以， 两式相减得： ， 故，则，故D正确. 10. 在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为，，，若5轮比赛后A，B的总得分分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用随机变量二项分布的期望、方差以及概率计算公式，逐项计算判断即可. 【详解】由题意，随机变量，， 对于A，故，，若，则，故A正确； 对于B，若，则， 化简整理得，即， 所以时，，故B错误； 对于C，由题意，，， 所以， 由得，， 故，即，故C正确； 对于D，由题意，， 则，解得，故D正确. 故选：ACD． 11. 三棱锥中，，且，，与平面所成角为，下列说法中正确的有（ ） A. 当时 B. 当时三棱锥的外接球半径为 C. 三棱锥的外接球半径为2时 D. 三棱锥的外接球半径最小时，三棱锥的体积为 【答案】AD 【解析】 【分析】由题意，建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，利用线面角公式求出与的数量关系，结合外接球球心坐标公式、体积公式列方程分别求出点的坐标，再利用三角函数范围确定参数. 【详解】由，，得. 以为原点，为轴正方向，为轴正方向，过点垂直于底面的直线为轴，建立空间直角坐标系，如下图所示： 则，，. 设，由得：， ，则，所以. 因，则，所以. 代入得： ， 由得，即，所以，结合，得. 在底面上的投影为，与平面所成角满足：. 对于A，当时，则有，解得，则，，故A正确； 对于B，当时，由选项A得，则对于，有， ，故. 设球心，则，， 由得，解得，则球心，半径，故B错误； 对于C，设球心，半径，由得，所以. 由 得 . 当时，由 ，解得（舍）或（舍）； 当时，由 ，解得（舍）或. 代入得 ，即，解得， 则，而，故C错误； 对于D，外接球半径最小时，球心在底面上，，此时， 由 ，得，代入，解得，所以，，故， 则三棱锥的体积为，故D正确. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】求出圆心到直线距离的范围，再由弦长、半径、圆心距之间的关系求解. 【详解】因为圆， 所以圆心为，半径， 所以圆心到直线：的距离 ， 因为，所以， 又， 所以当时， . 13. 已知数列，令为，，…，中的最大值（，2，…，），则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”，例如：为1，3，4，2，则“控制数列”为1，3，4，4，其“阶数”为3，若由1，2，3，4任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为_____． 【答案】11 【解析】 【分析】根据题意，确定前两项或前三项的数，进而分析其余项的数. 【详解】当由1,4构成时，则，，、为2，3的一个排列，故满足条件的数列共有个； 当由2,4构成时，则，，、为1，3的一个排列或，，， 故满足条件的数列共有个； 当由3,4构成时，则，，、为1，2的一个排列或，，、为2，4的一个排列 或，，、为1，4的一个排列，故满足条件的数列共有个； 由题可知，若，则“控制数列”其“阶数”为1，不符合题意； 所以使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为个. 14. 若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的最大值是_____． 【答案】 【解析】 【详解】求导得 ，令，则. 由，可设，，则， ，其值域为. 性质要求存在不同的两点，其切线斜率乘积为，即存在使得. 由于乘积为负，与异号，故区间必须包含正数和负数，即，解得. 存在异号两数乘积为等价于存在使得且，即且， 结合得，即，所以，故. 因此性质成立当且仅当，此时，由柯西不等式，得， 当时取等，于是，故的最大值为. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对边分别为，若. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先用同角三角函数的平方关系将式子进行化简，进而用正弦定理进行角化边，最后用余弦定理解得答案； （2）用面积公式，结合正弦定理即可得到答案. 【小问1详解】 ∵，∴，∴，由正弦定理得， 又由余弦定理得，∴， 由于，所以. 【小问2详解】 ∵是锐角三角形，得到. 由正弦定理可知，， 由三角形面积公式有： 又因故 故取值范围是 16. 某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和“英语秀达人”两项特色活动，两项活动前10名得分统计如下： 数智达人前10名分数 148，146，144，142，140，140，138，136，134，132 英语秀达人前10名分数 144，143，142，141，140，140，139，138，137，136 （1）求出数智达人前10名分数的平均数、标准差； （2）经检查发现：有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前10名，但是老师却将其数智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前10名分数的平均分为141，标准差为． ①求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由； ②为了便于成绩分析，对数智达人前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为50、标准差为10．请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数智达人分数，表示数智达人分数对应的“分数”，，为常数），并证明． （参考公式：） 【答案】（1）平均数为140，标准差为； （2）①142分，理由见解析；②，证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用平均数和标准差公式代入计算即可； （2）①根据平均分多1分，可得实际分数比统计的多10分，再结合标准差为分析两种情况；②分别代入并验证即可. 【小问1详解】 设数智达人前10名学生分数的平均分为，标准差为， 则， ； 【小问2详解】 ①正确的数智达人前10名分数的平均分为141，比原平均分140高1分，故10名同学的总分增加了分. 设被错误统计在“数智达人”名单中的分数为，该生正确的“数智达人”分数为，则. 核对两个成绩单，有两种可能：1. 错误记录的分数，正确分数；2. 错误记录的分数，正确分数. 若， ，则： ； 若， ，则： ； 所以， ，即：正确的数智达人得分为142分． ②设转换公式为，则 ， 所以，将 代入， 得，所以，， 即满足要求的线性转换公式为， 证明：因为“分数”转换之前的10个正确分数的平均分是， 标准差为，则转换后的平均分． 因为， 所以转换后的标准差 ， 即转换公式，满足条件得证． 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，侧面为正三角形，且平面平面． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的正弦值． 【答案】（1）8； （2）． 【解析】 【分析】(1)求三棱锥的体积采用换底的方法，根据等体积法，找已知底面以及已知点到平面的距离，计算体积； (2)根据题干所给垂直条件，找出三条两两垂直的直线，建立空间直角坐标系，利用向量法计算二面角的平面角． 【小问1详解】 记的中点为，连接，，， 因为，，，可得， 又因为为正三角形，则，且， 又因为，可得， 因为平面平面，且平面与平面交线为， 由面面垂直的性质定理知：面，所以， 所以． 在三角形中由余弦定理可得 ，故， 所以， 所以三棱锥的体积； 故三棱锥的体积为8； 【小问2详解】 由 解得四棱锥的高， 以为原点建立如图所示空间直角坐标系， 则，，，设， 由得 ， 解得，或者，； 由（1）中且可得， 经检验得：，，即， 因为，， 设平面的法向量为， 则，即，令， 则； 设平面的法向量为，设二面角为， 故，因为， 所以， 故二面角的正弦值为． 18. 已知椭圆：，直线：与椭圆有且仅有一个公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．当点运动时，记点的轨迹为曲线， （1）求，之间的关系； （2）求曲线的轨迹方程； （3）若点在第一象限，直线和曲线交于、，且，求点坐标． 【答案】（1） （2）（，） （3） 【解析】 【分析】（1）联立椭圆和直线方程，根据一个交点令二次函数根的判别式为零求解； （2）根据第1小问得出点坐标，进而求出直线的方程和动点坐标，从而找到变量之间的关系； （3）通过联立直线和曲线的方程，结合韦达定理和题目条件，得到参数和的关系，利用第1小问的结论，求出参数进而得到点的坐标. 【小问1详解】 联立方程可得， 因为有且仅有一个公共点，所以， 化简可得. 【小问2详解】 由（1）可解得点坐标为，即， 因此过点且与垂直的直线的方程为，即， 分别代入可得，， 所以，即，， 则，即， 所以曲线的轨迹方程是. 【小问3详解】 联立方程可得 ， 设，，根据韦达定理可得， ，则， ， 代入化简可得， 因为，代入可得， 解得，， 因为在第一象限，所以，， 即点坐标为. 19. 记，已知函数和的定义域都为，若存在，，…，，使得，当且仅当，，，…，时等号成立，则称和在上“次缠绕”． （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，，使得，且和在上“次缠绕”． 【答案】（1）函数和在上“3次缠绕”，理由见解析 （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）构建辅助函数，通过辅助函数的零点来判断“几次缠绕”； （2）转化为存在互异的三个正数，根据题目条件构建辅助函数，通过求导分类讨论参数的范围和函数的单调性进行求解； （3）构建辅助函数，结合题目中“次缠绕”的条件进行证明. 【小问1详解】 函数和在上“3次缠绕”， 理由如下： 设函数，则的零点为，0，1， 令，则， 当且仅当，即，，2，3时等号成立， 所以函数和在上“3次缠绕”． 【小问2详解】 设， 因为和在上“3次缠绕”， 所以存在互异的三个正数，，，使得， 当且仅当，，2，3时等号成立，所以，，是的三个零点， 注意到，所以1是的一个零点， 求导可得，分类讨论， 当时，，在上单调递增，则1是的唯一零点，不合题意； 当，即时，，在上单调递减，则1是的唯一零点，不合题意； 当时，令，即， 可知方程在上存在两根，，且， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以， 因为， 设函数， 求导可得，所以在上单调递减，， 即，所以存在，， 因为，，所以存在，， 所以恒成立， 即时，和在上“3次缠绕”， 综上所述，的取值范围是． 【小问3详解】 取， 设函数， 令，，， 显然，且， 当且仅当，时，等号成立， 所以对任意，存在，，， 其中， 使得，且和在上“次缠绕”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 合肥八中2026届高三最后一卷 数学试题 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4．本卷命题范围：高考范围． 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，在复平面内，复数与对应的点关于直线对称，则（ ） A. 0 B. C. D. 3. 两个粒子，从同一发射源发射出来，在某一时刻，它们的位移分别为，，则在上的投影向量的长度为（ ） A. B. C. D. 2 4. 意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 5. 设函数，若点为函数图象的一个对称中心，且在上的最大值为2，则的最小值为（ ） A. 4 B. 5 C. 7 D. 10 6. 如图，正三棱台的上、下底面边长分别为1和3，平面将棱台分成两部分，则三棱锥和四棱锥的体积比是（ ） A. B. C. D. 7. 双曲线：（，）的左、右焦点为、，、为双曲线右支上两点且满足，若时，，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 3 8. 若实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知数列是首项为1，公差为的等差数列，数列是首项为2，公比为的等比数列，且，，则（ ） A. ， B. 数列的前50项中，有7项在数列中 C. 数列的前项和为 D. 数列的前5项和为650 10. 在足球训练课上，A，B两位同学进行“点球”比赛，规则为：比赛共进行5轮，在每轮比赛中，两人各罚点球一次，射中得1分，射不中得0分．已知A，B每次点球命中的概率分别为，，，若5轮比赛后A，B的总得分分别为，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. C. 若，则 D. 若当且仅当时，取得最大值，则 11. 三棱锥中，，且，，与平面所成角为，下列说法中正确的有（ ） A. 当时 B. 当时三棱锥的外接球半径为 C. 三棱锥的外接球半径为2时 D. 三棱锥的外接球半径最小时，三棱锥的体积为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 圆与直线：交于、两点，则弦长的最小值为______． 13. 已知数列，令为，，…，中的最大值（，2，…，），则称数列为的“控制数列”，中不同数的个数称为“控制数列”的“阶数”，例如：为1，3，4，2，则“控制数列”为1，3，4，4，其“阶数”为3，若由1，2，3，4任意顺序构成，则使“控制数列”的“阶数”为2的所有的个数为_____． 14. 若函数的图象上存在不同的两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称函数具有性质．若函数具有性质，其中，，为实数，且满足，则实数的最大值是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 在中，内角所对边分别为，若. （1）求； （2）若为锐角三角形，且，求面积的取值范围. 16. 某中学举办校园文化节，设置了“数智达人”和“英语秀达人”两项特色活动，两项活动前10名得分统计如下： 数智达人前10名分数 148，146，144，142，140，140，138，136，134，132 英语秀达人前10名分数 144，143，142，141，140，140，139，138，137，136 （1）求出数智达人前10名分数的平均数、标准差； （2）经检查发现：有一名同学的数智达人与英语秀达人得分均在前10名，但是老师却将其数智达人与英语秀达人得分统计反了，已知正确的数智达人前10名分数的平均分为141，标准差为． ①求该生正确的数智达人得分是多少？并说明理由； ②为了便于成绩分析，对数智达人前10名的正确分数进行“分数”转换，要求如下：转化前后名次不变，且10个“分数”的平均分为50、标准差为10．请你给出一个满足要求的线性转换公式：（其中，表示数智达人分数，表示数智达人分数对应的“分数”，，为常数），并证明． （参考公式：） 17. 如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，，，，，侧面为正三角形，且平面平面． （1）求三棱锥的体积； （2）求二面角的正弦值． 18. 已知椭圆：，直线：与椭圆有且仅有一个公共点，过点且与垂直的直线分别交轴、轴于，两点．当点运动时，记点的轨迹为曲线， （1）求，之间的关系； （2）求曲线的轨迹方程； （3）若点在第一象限，直线和曲线交于、，且，求点坐标． 19. 记，已知函数和的定义域都为，若存在，，…，，使得，当且仅当，，，…，时等号成立，则称和在上“次缠绕”． （1）判断和在上“几次缠绕”，并说明理由； （2）设，若和在上“3次缠绕”，求的取值范围； （3）记所有定义在区间上的函数组成集合，证明：给定，对任意，都存在，，使得，且和在上“次缠绕”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $