专题02 实数5大考点（期末真题汇编，湖南专用）七年级数学下学期新教材湘教版

**基本信息** 专题整合实数核心考点，精选湖南多地期末真题，涵盖平方根、立方根等5大考点，基础题与综合题梯度分布，适配期末复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|约15题|平方根概念（25的平方根）、无理数判断（√5）|结合湖南期末真题情境，考查概念辨析| |填空|约10题|算术平方根计算（√16）、小数点移动规律（被开方数与算术平方根关系）|注重规律探究（立方根小数点移动）| |解答|约8题|实数运算（√4+³√-8）、剪拼问题（五正方形拼大正方形）|跨学科融合几何直观，核心素养导向|

专题02 实数 高频考点概览 考点01平方根 考点02立方根 考点03无理数与实数 考点04 实数的运算与大小比较 考点05 平方根与立方根的综合 考点01 平方根 1.（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）有理数25的平方根是（   ） A． B． C．5 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根的定义，掌握平方根的定义是解题的关键． 根据平方根的定义，一个正数有两个平方根，他们互为相反数即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴有理数25的平方根是， 故选：D． 2.（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）的平方根是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方根的定义，熟记平方根的定义：如果，那么叫做的平方根是解题的关键．根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵， ∴的平方根是． 故选：C． 3.（2024七年级上·湖南·期末）下列说法正确的是（   ） A．平方根是本身的数是0和1 B．1的平方根是1 C． 的平方根是 D．是的一个平方根 【答案】D 【分析】本题考查平方根，熟练掌握其定义是解题的关键；根据平方根的定义及性质逐项判断即可． 【详解】解：平方根是本身的数是0，则A不符合题意； 1的平方根是，则B不符合题意； 没有平方根，则C不符合题意； 是的一个平方根，则D符合题意； 故选：D． 4.（23-24七年级下·湖南·期末）“的平方根是”，用式子表示就是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查的是平方根的定义和性质，依据平方根的定义和性质解答即可，熟练掌握平方根的定义和性质是解题的关键． 【详解】， 故选：B． 5.（23-24七年级下·湖南益阳·期末）16的算术平方根是（   ） A． B． C．8 D．4 【答案】D 【分析】本题主要考查了求一个数的算术平方根， 根据算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：16的算术平方根是， 故选：D． 6.（24-25七年级·湖南·期末）的算术平方根是_____． 【答案】3 【分析】本题考查了求算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：， 故的算术平方根是， 故答案为：． 7.（23-24八年级上·湖南常德·期末）的值等于（   ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了算术平方根的定义：若一个非负数x的平方等于a，则x是a的算术平方根，熟记定义是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，故选：A． 8.（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）下列各式中错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是平方根，算术平方根的含义，根据平方根，算术平方根的含义求解即可． 【详解】解：A．，故选项不符合题意； B．，故选项不符合题意； C．，故选项不符合题意； D．，则的计算错误，故选项符合题意． 故选：D． 9.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）下列说法中不正确的有（    ） ①一个数的算术平方根一定是正数；    ②100的算术平方根是10，记作； ③的算术平方根是；    ④的算术平方根为． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的概念理解以及求一个数的算术平方根，熟练掌握算术平方根的概念是解题的关键． 根据算术平方根的概念分别判断每一个选项即可． 【详解】解： 说法①错误，0的算术平方根是0，不是正数，因此“一定是正数”不正确； 说法②正确，100的算术平方根是10，记作，符合定义； 说法③正确，，故，其平方的算术平方根为（非负）； 说法④错误，的算术平方根为，而非，当为负数时结果应为，因此说法不成立， 故选：B． 10.（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）如下表，被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动符合一定规律．若，，则的值为_______． ... 0.0001 0.01 1 100 10000 ... ... 0.01 0.1 1 10 100 ... 【答案】0.0441/ 【分析】本题考查了算术平方根的规律探索，掌握被开方数的小数点位置移动和它的算术平方根的小数点位置移动规律是解决此题的关键．由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位，据此即可求解． 【详解】解：由表可知，被开方数的小数点向左（右）移动（为正整数）位，则它的算术平方根的小数点向左（右）移动位， ∵210的小数点向左移动3位，可以得到，且，， ∴44100的小数点向左移动6位，可以得到， ∴的值为0.0441． 故答案为：0.0441． 11.（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）一个正数的两个平方根分别是和，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了平方根的概念，根据一个正数的两个平方根互为相反数列出方程求解即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为与， ∴， ∴， 故答案为：． 12.（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若，则的值是（　　） A．0 B．1 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的非负性，熟练掌握非负数的性质是解题的关键．根据算术平方根和完全平方的非负性得到，，求出的值，再根据算术平方根的定义即可得出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴ 故选：B． 13.（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）若m，n为实数，且，则的平方根是________． 【答案】 【分析】本题主要考查了绝对值、算术平方根的非负性、平方根等知识点等知识，掌握相关知识并能灵活运用是解题的关键． 先根据绝对值和算术平方根的非负性求得m、n的值，再根据平方根的计算即可解答． 【详解】解：∵， ∴，即， ∴的平方根是． 故答案为：． 14.（24-25八年级上·湖南岳阳·期末）已知实数，，满足：，求： (1)，，的值． (2)的平方根． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性、平方根，熟练掌握偶次幂、绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键； （1）根据题意易得，，，然后进行求解即可； （2）根据（1）可得的值，然后根据平方根可进行求解． 【详解】（1）解：∵，且，，， ∴，，， 解得：； （2）解：由（1）得：， ∴， ∴9的平方根为， 即的平方根为． 15.（24-25七年级下·湖南株洲·期末）【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸片，可以得到一个边长为的大正方形，如图1所示． 【类比迁移】（1）如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方形（图3）．图3中拼成的大正方形的面积是 ，边长是 ． 【猜想验证】（2）猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形．已知如图4放置的两个正方形，其边长分别为，请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想．在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的位置以及线段长度（用表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）． 【答案】（1）5，；（2）见解析 【分析】本题考查了算术平方根的应用，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据图2和图3面积相等可得出图3拼成的大正方形的面积，再根据勾股定理即可求出边长； （2）根据题意画出裁剪线，然后拼接即可． 【详解】解：（1）图2可以把它剪拼成一个大正方形（图3）， 图3中拼成的大正方形的面积等于图2的面积， 图3中拼成的大正方形的面积为； 边长为， 故答案为：5，； （2）如图所示： 考点02 立方根 1.（24-25七年级上·湖南衡阳·期末）的立方根是_______． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了立方根的定义，熟练掌握立方根的定义是解题的关键．先明确立方根的概念，即如果一个数的立方等于，那么叫做的立方根．然后找到哪个数的立方等于即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴的立方根是． 故答案为：． 2.（24-25八年级上·湖南衡阳·期末）如果一个数的立方根是3，那么这个数是_____． 【答案】27 【分析】本题主要考查立方根，熟练掌握立方根的定义是解决本题的关键． 根据立方根的定义解决此题． 【详解】解：由题意得，这个数是， 故答案为：27． 3.（24-25七年级下·湖南邵阳·期中）下列选项中正确的是(　　) A．8的立方根是 B．的平方根是 C．4的算术平方根是2 D．立方根等于平方根的数是1 【答案】C 【分析】本题主要考查立方根、平方根和算术平方根，解题的关键是掌握立方根、平方根和算术平方根的定义．根据立方根、平方根和算术平方根的定义求解即可． 【详解】解：A．8的立方根是2，此选项错误； B．的平方根是，此选项错误； C．4的算术平方根是2，此选项正确； D．立方根等于平方根的数是0，此选项错误； 故选：C． 4．（23-24八年级上·湖南郴州·期末）计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 …… …… 结果 …… …… 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1) (2)若，则 参考值：，  ，   【答案】(1) (2)6180 【分析】本题主要考查了立方根的性质： （1）根据表格可得被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位，即可求解； （2）根据（1）中的规律解答即可． 【详解】（1）解：完成表格，如下： 式子 …… …… 结果 …… 6 60 …… 由此发现，被开方数的小数点向右（或向左）移动3位，则它的立方根的小数点向右（或向左）移动1位； ∵， ∴； 故答案为：； （2）解：∵， ∴． 故答案为：6180． 5.．（22-23八年级上·湖南常德·期末）若与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据题意得出，进而求得的值，再求立方根即可求解． 【详解】解：∵与互为相反数， ∴， 解得：， ∴的值为， 故答案为：的值为． 【点睛】本题考查了立方根的应用，掌握立方根的定义是解题的关键． 6.（24-25八年级上·湖南怀化·期末）数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出“39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙．你知道怎样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试． 第一步：， ， 它的立方根是一个两位数． 第二步：的个位数是9，． 能确定的个位数是9． 第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59 而，可得． 由此确定59319的立方根的十位数是3，它的立方根是39． [解答问题] 根据上面的材料解答下面的问题： （1）求110592的立方根，写出步骤． （2）填空：______． 【答案】（1）110592的立方根是48，步骤见解析；（2）． 【分析】（1）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可； （2）根据题中所给的分析方法先求出这个数的立方根是两位数，然后根据第二和第三步求出个位数和十位数即可． 【详解】解：（1）第一步：，，， ∴， ∴能确定110592的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是2，， ∴能确定110592的立方根的个位数是8． 第三步：如果划去110592后面的三位592得到数110， 而，则，可得， 由此能确定110592的立方根的十位数是4，因此110592的立方根是48； （2）第一步：∵ ，，， ∴， ∴能确定85184的立方根是个两位数． 第二步：∵的个位数是4，， ∴能确定85184的立方根的个位数是4． 第三步：如果划去85184后面的三位184得到数85， 而，则，可得， 由此能确定85184的立方根的十位数是4，因此85184的立方根是44， 即． 故答案为：44． 【点睛】本题主要考查了数的立方，理解一个数的立方的个位数就是这个数的个位数的立方的个位数是解题的关键． 考点03 无理数与实数 1.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）下列各数中，属于无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了无理数的定义，无理数是无限不循环小数． A为有限小数，C为整数，D为分数，均为有理数；B为，是无理数． 【详解】解： A． 为有限小数，为有理数； B． 为无限不循环小数，为无理数； C．为整数，是有理数； D． 为分数，是有理数； 故选：B． 2.（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）实数中无理数的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义（无限不循环小数是无理数），逐个判断给出的实数，统计无理数的个数即可． 【详解】解：是分数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数； 是无限不循环小数，是无理数； 是有限小数，属于有理数； 是开方开不尽的数，为无限不循环小数，是无理数； 是无限循环小数，属于有理数； 综上可知，无理数共有个． 3.（23-24八年级上·湖南·期末）在实数，，，，，（相邻两个2中间一次多1个0）中，无理数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查无理数的定义，无限不循环小数是无理数，先化简可开方的数，再逐一判断每个数即可． 【详解】解：是无理数， 是有限小数，属于有理数； 是无限循环小数，属于有理数； 是无理数； 是整数，属于有理数； （相邻两个2中间一次多1个0）是无限不循环小数，属于无理数； 综上所述，无理数有，，（相邻两个2中间一次多1个0），共个． 4.（23-24八年级上·湖南株洲·期末）估计的运算结果应在（    ） A．4到5之间 B．5到6之间 C．6到7之间 D．7到8之间 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算，先得，则，即可作答． 【详解】解：∵ ∴ 则 ∴ 故选：C 5.（23-24八年级上·湖南衡阳·期末）已知，且，是两个连续的整数，则的平方根是（    ） A．3 B． C．4 D． 【答案】B 【分析】此题考查了实数的估算与大小比较及平方根．先由题意确定出a，b的值，再根据平方根计算出此题的结果． 【详解】解：∵，， ∴的平方根是 故选B 6.（24-25七年级下·湖南·期末）如图，数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5，则表示数的点应在（    ）    A．线段上 B．线段上 C．线段上 D．线段上 【答案】C 【分析】根据判断即可． 【详解】， ， 由于数轴上，，，，五个点分别表示数1，2，3，4，5， 的点应在线段上， 故选：C． 【点睛】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算的方法是解题的关键． 7.（24-25七年级下·湖南永州·期末）介于与之间的整数是_______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，不等式的性质，根据，则，所以，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴介于与之间的整数是， 故答案为：． 8.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，数轴上两点对应的实数分别是1和，若点到点的距离与点到点的距离相等，则点所对应的实数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查实数与数轴，根据题意求出的长，进而得到的长以及的长，即可确定点C对应的实数． 【详解】由题意知， 点到点的距离与点到点的距离相等， ， ， 点所对应的实数是， 故选：B． 9.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点与数轴上表示的点重合，将该圆沿数轴滚动1周，点到达点的位置，则点表示的数是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查数轴上两点间的距离及点所对应的数，解题的关键是熟练掌握数轴上两点间距离是两数之差的绝对值．根据圆的周长公式得到圆滚动的长度，分两种情况结合数轴上两点间距离即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， 点A滚动长度为：， ∴往右滚动1周对应的数为：，往左滚动1周对应的数为：， ∴点表示的数是：或， 故选D． 10.（24-25七年级下·湖南岳阳·期末）如图，面积为2的正方形的顶点A在数轴上，且表示的数为．若，则数轴上点E所表示的数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查实数与数轴，算术平方根的应用，根据正方形的面积，求出的长，进而得到的长，进而求出点E所表示的数即可． 【详解】解：∵面积为2的正方形， ∴， ∴， ∴数轴上点E所表示的数为； 故选A． 11.（23-24八年级上·湖南邵阳·期末）下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的；③；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限小数；其中正确的个数有（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】此题主要考查了实数与数轴以及无理数的定义，直接利用实数的相关性质结合无理数的定义分别分析得出答案． 【详解】①负数有立方根，原说法错误； ②数轴上的点与实数成一一对应关系，原说法正确； ③，原说法错误； ④任何实数不是有理数就是无理数，原说法正确； ⑤两个无理数的和不一定还是无理数，原说法错误； ⑥无理数都是无限小数，原说法正确， 故选：B． 12.（25-26七年级上·湖南·期末）下列说法中不正确的是（   ） A．在实数范围内，没有平方根 B．数轴上的点与实数一一对应 C．相反数等于本身的数有无数个 D．与实际完全符合的数称为准确数 【答案】C 【分析】本题考查的是实数相关概念，准确掌握平方根、数轴、相反数、准确数的定义是解题的关键．根据各概念的定义逐一分析：利用平方根的被开方数非负性判断选项；根据数轴与实数的对应关系判断选项；结合相反数的定义确定 “相反数等于本身的数” 的个数判断选项；依据准确数的定义判断选项，进而找出不正确的说法． 【详解】解：选项：在实数范围内，平方根的被开方数需非负，是负数，因此无平方根，表述正确； 选项：数轴上的每一个点都对应唯一的实数，每一个实数也能在数轴上找到唯一对应的点，即“一一对应”，表述正确； 选项：相反数的定义是“绝对值相等、符号相反的数”，只有的相反数等于它本身，并非“无数个”，表述错误； 选项：准确数是与实际情况完全符合的数（区别于近似数），表述正确． 故选：． 13.（23-24八年级上·湖南·期末）的相反数是_________． 【答案】 【分析】本题考查了实数、相反数，根据只有符号不同的两个数互为相反数即可得解，熟练掌握相反数的定义是解此题的关键． 【详解】解：的相反数是， 故答案为：． 14.（24-25七年级下·湖南娄底·期末）下列结论错误的是（　　） A．3 B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，，，即，该选项错误，符合题意； B、根据加法交换律，，等式成立，该选项正确，不符合题意； C、，，该选项正确，不符合题意； D、根据乘法交换律，，等式成立，该选项正确，不符合题意； 故选A． 15.（24-25七年级下·湖南湘西·期末）请结合对话，回答下列问题： 若的小数部分是，则的值是______． 【答案】 【分析】本题考查了无理数的估算，根据无理数的估算方法得，然后代入求解即可，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的小数部分， ∴， 故答案为：． 16（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）若的整数部分为a，的整数部分为b，则______． 【答案】5 【分析】本题考查了估算无理数的大小，能估算出、的范围是解此题的关键．先求出、的范围，求出a、b的值，再代入求出即可． 【详解】解：，， ，． 的整数部分为3，的整数部分为2． ，． ． 故答案为：5． 17.（21-22八年级上·湖南永州·期末）已知实数x，y满足，试判断是有理数还是无理数。 【答案】当，时，是有理数；当，时，是无理数 【分析】根据偶次方和算术平方根的非负性求出x，y的值，然后代入式子中进行计算即可解答． 【详解】解：依题意得： ∴． ∴ 当，时，原式是有理数 当，时，原式是无理数 【点睛】本题考查了偶次方和算术平方根的非负性，无理数，熟练掌握偶次方和算术平方根的非负性是解题的关键． 18.（24-25八年级上·湖南·期末）阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算的近似值． 小明的方法：∵，设， ∴， ∴， ∴， 解得，， ∴． 问题： (1)请你依照小明的方法，估算的近似值； (2)已知非负整数，，，若，且，结合上述材料估算的近似值（用含，的代数式表示）． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据题目信息，找出前后的两个平方数，从而确定出，再根据题目信息近似求解即可； （）根据题目提供的求法，先求出值，然后再加上即可； 本题考查了无理数的估算，解题的关键是读懂题目提供信息，然后根据信息中的方法改变数据即可，找出一般性的方法解决问题． 【详解】（1）解：∵， 设， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴； （2）解：设， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 考点04 实数的运算与大小比较 1.（24-25七年级下·湖南怀化·期末）比较大小：2________（填“＜”，“＞”或“＝”）． 【答案】 【分析】本题考查了实数的大小比较，熟练掌握实数大小比较的方法是解题的关键．根据实数大小比较的方法进行比较即可得答案． 【详解】解：∵，，， ∴， 故答案为：． 2.（23-24八年级上·湖南永州·期末）比较大小：_____（填，，）． 【答案】 【分析】本题考查二次根式大小比较，掌握二次根式的大小比较方法是解题关键． 先将两个数进行平方再比大小． 【详解】 解：，， ， ． 答案：． 3.（24-25八年级上·湖南永州·期末）比较大小：______（填“”、“”或“”）． 【答案】 【分析】本题考查的是实数的大小比较．由得，再利用不等式的基本性质可得，从而可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 4.（24-25九年级上·湖南常德·期末）以下四个数中最小的是（      ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了实数的大小比较；先根据实数的大小比较法则比较大小，即可求解． 【详解】解：， ∴最小的是， 故选：D． 5.（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题考查了实数的混合运算． 先计算乘方、算术平方根、绝对值，再计算加减即可． 【详解】解：原式． 6.（24-25七年级下·湖南郴州·期末）计算： 【答案】 【分析】此题考查了实数的混合运算．根据立方根、算术平方根、绝对值进行化简，再计算加减法即可． 【详解】解： 7.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末）计算：． 【答案】 【分析】利用算术平方根及立方根的定义，绝对值的性质，有理数的乘方法则计算后再算乘法，最后算加减即可． 本题考查实数的运算，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 【详解】解：原式 ． 8.（24-25八年级上·湖南益阳·期末）小明制作了一张面积为的正方形贺卡．现有一个长方形信封如图所示，该信封的长、宽之比为，面积为． (1)求长方形信封的长和宽． (2)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断． 【答案】(1)长方形信封的长为，宽为 (2)能，理由见解析 【分析】本题考查算术平方根的实际应用： （1）设长方形信封的长为，宽为，利用面积公式列出方程进行求解即可； （2）求出正方形的边长，比较长方形的宽和正方形的边长的大小关系即可得出结果． 【详解】（1）解：设长方形信封的长为，宽为． 由题意，得， ∴， ∴，． 答：长方形信封的长为，宽为． （2）能 理由：面积为的正方形贺卡的边长是． ∵，， ∴，即信封的宽大于正方形贺卡的边长， ∴小明能将这张贺卡不折叠就放入此信封． 86． 9.（24-25七年级上·湖南株洲·期末）现在定义了一个新运算：，定义的内容被遮盖住了，根据下面各式，回答问题：           (1)请你补全______． (2)现在若关于新运算，求的值： (3)在上述新运算下，若不论取何值时，等式总成立，则求的值 【答案】(1)； (2) (3)1 【分析】本题主要考查新定义运算，理解题目定义新运算的运算法则是解题的关键． （1）根据材料提示表示其计算过程即可求解； （2）根据材料提示，列出方程即可求解； （3）根据计算法则进行化简，得到即可求解． 【详解】（1）解：根据材料提示可得，， 故答案为； （2）解：∵， ∴， 解得：； （3）解：∵， ∴ ∴， ∵等式总成立， ∴ ∴． 10.（25-26八年级上·湖南株洲·期末）若无理数的被开方数（为正整数）满足（其中为正整数），则称无理数的“湘一区间”为；同理规定无理数的“湘一区间”为．例如：因为，所以，所以的“湘一区间”为，的“湘一区间”为．请解答下列问题： (1)的“湘一区间”是___________；的“湘一区间”是___________； (2)若无理数（为正整数）的“湘一区间”为，且的“湘一区间”为，求的值； (3)实数满足关系式：，求的“湘一区间”． 【答案】(1)， (2)或3 (3) 【分析】本题考查无理数的估值，二次根式的双重非负性，理解题干中的湘一区间的概念是解题关键． （1）根据湘一区间的概念求解即可； （2）根据湘一区间的概念列出关于a的不等式，求出a的范围，根据a为正整数确定a的值，进而求解即可； （3）观察出和中，根号下的式子为相反数，从而利用根号下的式子大于等于0，确定的值和已知等式右边式子的值为0，再利用二次根式的双重非负性得到关于m和x，y的关系，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴的“湘一区间”是； ∵， ∴， ∴根据题意，无理数的“湘一区间”是； （2）解：由题意，得，， ∴ ∴， ∵a为正整数， ∴或， 当时，； 当时，； （3）解：由题意，可知和有意义， ∴，， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴的“湘一区间”是． 考点05 平方根与立方根的综合 1.（24-25七年级下·湖南·期末）已知的算术平方根是5，的平方根是，c是的整数部分． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题题目主要考查算术平方根及平方根，估算算术平方根的整数部分，求代数式的平方根，熟练掌握这些基本运算是解题关键． （1）根据算术平方根及平方根确定，，再由估算算术平方根的整数部分确定； （2）将的值代入代数式，然后计算平方根即可． 【详解】（1）解：的算术平方根是5， ， 解得：． ∵的平方根是， ， 解得：． 是的整数部分，而， ； （2）解：∵，， ， ∴的平方根为． 2.（24-25八年级上·湖南株洲·期末）已知的平方根是，的算术平方根是4，求： (1)a、b的值． (2)求的立方根． 【答案】(1)； (2)3． 【分析】本题考查了平方根、算术平方根、立方根的意义，熟练掌握定义是解答本题的关键． （1）根平方根、算术平方根的意义可以求得a、b的值； （2）先求出的值，再求的立方根即可． 【详解】（1）解：∵的平方根是， ∴，解得． ∵的算术平方根是4， ∴， 解得， （2）∵ ∴． ∴的立方根为3． 3.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）已知的平方根是，的立方根是，求 【答案】 【分析】本题考查了平方根和立方根，代数式求值，根据平方根和立方根的定义求出的值，再代入代数式计算即可求解，掌握平方根和立方根的定义是解题的关键． 【详解】解：∵的平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， 即， ∴， ∴． 4.（23-24八年级上·湖南郴州·期末）若都是实数，，求的立方根． 【答案】3 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，非负数的性质，先根据被开方数要大于等于0得到，进而求出，再根据立方根的定义求解即可． 【详解】解；∵式子要有意义， ∴ 解得：， ∴， ∴， ∴的立方根是3． 5.（22-23八年级上·湖南永州·期末）（1）若实数m，n满足等式，求的立方根； （2）已知 ，求的平方根． 【答案】（1）3；（2） 【分析】（1）根据绝对值的和算术平方根的非负性，可得，再代入，根据立方根的性质，即可求解； （2）根据算术平方根的非负性，可得，且，从而得到，，再根据平方根的性质，即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得∶， ∴， ∴的立方根是3． （2）解：∵， ∴，且， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根是． 【点睛】本题主要考查了平方根和立方根的定义，熟练掌握算术平方根的非负性是解题的关键． 6.（24-25八年级上·湖南邵阳·期末）已知的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，求的值． 【答案】 【分析】此题主要考查了实数的运算，涉及了平方根以及立方根和估算无理数的大小，正确得出a，b，c的值是解题关键． 直接利用平方根以及立方根和估算无理数的大小得出a，b，c的值进而得出答案． 【详解】解：的平方根是，的立方根是2，是的整数部分，而， ，，， 解得：，，， ． 7.（24-25七年级下·湖南永州·期末）已知的立方根是，的算术平方根是4，c是正数且算术平方根等于本身． (1)求a，b，c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】此题考查立方根的意义、算术平方根的意义、平方根的意义、解二元一次方程组等知识点，读懂题意，掌握解答顺序，正确计算是解答本题的关键． （1）利用立方根的意义、算术平方根的意义求出a，b，c的值； （2）将a，b，c的值代入代数式求出值后，进一步求得平方根即可． 【详解】（1）∵的立方根是，的算术平方根是4， ∴， 解得： ∵c是正数且算术平方根等于本身 ∴； （2）∵，， ∴ ∴的平方根为． 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $学科网 www.zxxk.com 专题02 实数 ☆高频烤点概览 考点01平方根 考点02立方根 考点03无理数与实数 考点04实数的运算与大小比较 考点05平方根与立方根的综合 目目 考点01 平方根 1.(24-25八年级上·湖南衡阳·期末)有理数25的平方根是() A.5 B.±V5 C.5 D 2.（24-25八年级上湖南邵阳·期末) 4的平方根是() 8 A.8 B.8 c.±8 D 9 9 3.(2024七年级上·湖南·期末)下列说法正确的是() A.平方根是本身的数是0和1 B.1的平方根是1 C.-1的平方根是-1 D.0.1是0.01的一个平方根 4(23-24七年级下淡南期末)“号的平方根是子，用武了衣示就是 3 42 A.±g3 4_2 C.93 D 5.(23-24七年级下·湖南益阳·期末)16的算术平方根是() A.±8 B.±4 C.8 D 6.(24-25七年级湖南期末)√81的算术平方根是· 7.(23-24八年级上湖南常德期末)√9的值等于() A.3 B.3 C.-3 D. 8.(24-25七年级上·湖南衡阳·期末)下列各式中错误的是() A.±V0.36=±0.6B.V0.36=0.6 C.1.44=1.2 D 9.(24-25七年级下·湖南邵阳·期末)下列说法中不正确的有() 1/8 让教与学更高效 ±5 () 4 ±0.3 1.44=±1.2 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 ①一个数的算术平方根一定是正数； ②100的算术平方根是10，记作√100=10； ③（π-3.14）2的算术平方根是π-3.14； ④的算术平方根为a. A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 10.(24-25八年级上·湖南邵阳期末)如下表，被开方数x的小数点位置移动和它的算术平方根√x的小数 点位置移动符合一定规律.若√=0.21， /44100=210,则x的值为 0.0001 0.01 100 10000 0.01 0.1 1 10 100 11.(24-25八年级上湖南衡阳·期末)一个正数的两个平方根分别是2m-1和3-m,则m的值为 12.(2425八年级上湖南邵阳期末)若V-2024+y-20242=0,则，2的值是() A.0 B.1 C.-1 D.2 13.(2425八年级上湖南岳阳期末)若m,n为实数，且Vm-4+n-9=0,则”的平方根是 m 14.(24-25八年级上湖南岳阳·期末)已知实数a,b,c满足：√a-5+b-7+(c+3)2=0,求： (1)a,b,C的值. (2)a+b+c的平方根. 15.(24-25七年级下·湖南株洲·期末)【回顾旧知】学习实数时，我们通过剪拼两个边长为1的小正方形纸 片，可以得到一个边长为√2的大正方形，如图1所示. 园 ③ ⑤ ② (④) ② ④ ① ⑤ ① ③ ① ① ③ ② 图1 图2 图3 【类比迁移】(1)如图，有五个边长为1的小正方形组成的图形纸（图2），可以把它剪拼成一个大正方 形（图3）.图3中拼成的大正方形的面积是_，边长是_ 【猜想验证】(2)猜想：大小不同的两个正方形，也可以剪拼成一个大正方形.已知如图4放置的两个正 2/8 命学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 方形，其边长分别为α，b,请你设计一种剪拼的方法验证上述猜想.在图4中需要裁剪的边上标出裁剪点的 位置以及线段长度（用α，b表示），画出裁剪线，标出各裁剪后的图形序号（类似图2），在图5中的方框 画出拼接后的大正方形的示意图（类似图3）· b 图4 图5 目目 考点02 立方根 1.(24-25七年级上·湖南衡阳·期末) 的立方银定 2.(2425八年级上湖南衡阳·期末)如果一个数的立方根是3，那么这个数是· 3.(24-25七年级下·湖南邵阳·期中)下列选项中正确的是() A.8的立方根是±2 B.√16的平方根是±4 C.4的算术平方根是2 D.立方根等于平方根的数是1 4.(23-24八年级上·湖南郴州·期末)计算下表中各式的值，并将结果填在相应的空格中 式子 … 3/0.000216 0.216 216 结果 根据你发现的规律，先完成上表，并直接填写下列两个小题的答案： (1)0.0618≈_ (2)若a≈18.351，则a= 参考值：618≈8.5178,61.8≈3.9536， V6.18≈1.8351 式子 30.000216 0.216 216 结果 0.06 0.6 6 5.(22-23八年级上湖南常德期末)若17-a与3a-1互为相反数，则a的值为 6.（24-25八年级上·湖南怀化·期末)数学家华罗庚在一次出国访问途中，看到飞机上的乘客阅读的杂志上 3/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 有道智力题，求59319的立方根，华罗庚脱口而出39”，邻座的乘客十分惊奇，忙问其中的奥妙.你知道怎 样迅速的计算结果吗？请你按下面的结果试一试. 第一步：1000=10,31000000=100 1000<59319<1000000,10<59319<100 它的立方根是一个两位数. 第二步：：59319的个位数是9,93=729. ·能确定59319的个位数是9. 第三步：如果划出59319后面的三位数，得到数59 而27<59<64，可得30<59319<40. 由此确定59319的立方根的十位数是3，：它的立方根是39， [解答问题] 根据上面的材料解答下面的问题： (1)求110592的立方根，写出步骤. (2)填空：85184= 目目 考点03 无理数与实数 1.(24-25七年级下·湖南衡阳期末)下列各数中，属于无理数的是() A.3.14 B.2 C.-64 2(2425凡年级下湖商衡用期末)实数号，一反，x17325,03巾无理数的个数为() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 3.(23.24八年级上湖南·期末)在实数9,31415926,0.123123123,2V4,02020202（相 邻两个2中间一次多1个0)中，无理数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 4.（23-24八年级上·湖南株洲·期末)估计3+√13的运算结果应在() A.4到5之间B.5到6之间 C.6到7之间 D.7到8之间 5.(23-24八年级上·湖南衡阳期末)已知a<√21<b,且a,b是两个连续的整数，则a+b的平方根是() A.3 B.±3 C.4 D.±4 4/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 6.(24-25七年级下·湖南·期末)如图，数轴上A,B,C,D,E五个点分别表示数1,2,3,4,5，则表 示数√0的点应在() A B CDE 012 23人5 A.线段AB上B.线段BC上 C.线段CD上 D.线段DE上 7.(24-25七年级下·湖南永州期末)介于-√7与-√13之间的整数是 8.（24-25七年级下·湖南邵阳·期末)如图，数轴上A,B两点对应的实数分别是1和√，若点A到点B的距 离与点C到点B的距离相等，则点C所对应的实数为() 9AB, 323 0 A.1+√5 B.2√5-1 C.2+5 D.23+1 9.(24-25七年级下·湖南邵阳·期末)如图，圆的直径为1个单位长度，该圆上的点A与数轴上表示-1的点 重合，将该圆沿数轴滚动1周，点A到达点A的位置，则点A表示的数是() A -10 A.π-1 B.-π-1 C.π+1 D.元-1或-π-1 10.(24-25七年级下·湖南岳阳·期末)如图，面积为2的正方形ABCD的顶点A在数轴上，且表示的数为 -2.若AD=AE,则数轴上点E所表示的数为() E -2-1‘01> A.√2-2 B.√2-1 C.V2+2 D.2+1 11.(23-24八年级上湖南邵阳·期末)下列说法：①负数没有立方根；②实数和数轴上的点是一一对应的； ③√-10)2--10；④任何实数不是有理数就是无理数；⑤两个无理数的和还是无理数；⑥无理数都是无限 小数；其中正确的个数有() A.2个 B.3个 C.4个 D.5个 5/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 12.(25-26七年级上·湖南·期末)下列说法中不正确的是() A.在实数范围内，-8没有平方根 B.数轴上的点与实数一一对应 C.相反数等于本身的数有无数个 D.与实际完全符合的数称为准确数 13.(23-24八年级上·湖南期末)√2的相反数是 14.(24-25七年级下·湖南娄底期末)下列结论错误的是（) A.3<25 B.V2+-V5)=-√5+√2 C.4-⑤=4-5 D.√5x√2=√2x√5 15.(24-25七年级下·湖南湘西·期末)请结合对话，回答下列问题： 我用计算器计算发现40 .·27<40<64,∴.3<40<4， 是一个小数，你能不用计 ·.40的整数部分是3. 算器找出这个小数的整 减去整数部分就是小数 数部分和小数部分吗？ 部分，∴.40的小数部 分是40-3. 若25的小数部分是b,则25-b的值是 16(24-25八年级上·湖南邵阳·期末)若√10的整数部分为a,√6的整数部分为b,则a+b= 17.(21-22八年级上湖南永州·期末)已知实数x,y满足√x-2+y2-1=0,试判断y+3是有理数还是 无理数。 18.(24-25八年级上·湖南期末)阅读材料： 学习了无理数后，某数学兴趣小组开展了一次探究活动：估算√4的近似值， 小明的方法：：√9<V14<16,设V4=3+k(0<k<1), :（14=(3+2, ∴.14=9+6k+k2, .14≈9+6k, 解得，飞5， 6 43+33.83. 6 问题： (1)请你依照小明的方法，估算√30的近似值： (2)已知非负整数a,b,m,若a<Vm<a+1,且m=a2+b,结合上述材料估算√m的近似值（用含a, 6/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 b的代数式表示) 目目 考点04 实数的运算与大小比较 1.（24-25七年级下·湖南怀化期末)比较大小：2 √6（填<”，“>”或“=”）. 2.(23-24八年级上湖南永州期末)比较大小：657√2（填>，<，=）· 3.（24-25八年级上湖南永州期末)比较大小：√4+14（填“>”、“<”或“=”）· 4.（24-25九年级上·湖南常德·期末)以下四个数中最小的是() A.-3.14 B.3 c.0 D.-π 5.(24-25七年级下·湖南衡阳期末)计算： 写5- 6.(24-25七年级下湖南郴州期末)计算：27-4-V-3)2+l-√2 7.(24-25七年级下湖南邵阳期末)计算：√25+1-√2×(-1)226-27。 8.(24-25八年级上·湖南益阳·期末)小明制作了一张面积为121cm的正方形贺卡.现有一个长方形信封如 图所示，该信封的长、宽之比为3：2，面积为210cm 口口口口口▣ 邮政编码： (1)求长方形信封的长和宽. (②)小明能将贺卡不折叠就放入此信封吗？请通过计算给出判断. 9.(24-25七年级上·湖南株洲·期末)现在定义了一个新运算：ab=■，定义的内容被遮盖住了，根据下面 各式，回答问题： 14=(1+4-1×4-25=-2+5)-（-2)×5 3-6=[3+(-6)]-3×(-6)-4-7=[(-4)+(-7)]-(-4)×(-7) (1)请你补全ab=· (2)现在若关于新运算-3b=-1,求b的值： (3)在上述新运算下，若不论b取何值时，等式ab=a总成立，则求a的值 7/8 命学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 10.(25-26八年级上湖南株洲·期末)若无理数√厅的被开方数T(T为正整数)满足n2<T<(n+1)2(其中 n为正整数)，则称无理数√厅的“湘一区间”为n,n+);同理规定无理数-厅的湘一区间”为-n-1,-).例 如：因为12<2<2？，所以1<√2<2，所以√2的“湘一区间”为1,2)，√2的湘一区间”为(-2，-1).请解 答下列问题： (1)√10的湘一区间”是 ;-√⑧的“湘一区间”是 (2)若无理数√a(a为正整数)的湘一区间”为2,3)，且√a+3的湘一区间”为(3,4)，求√a+1的值； (3)实数x,y,m满足关系式：√2x+3y-m+√3x+4y-2m=√x+y-2026+√2026-x-y,求√m的湘一☒ 间. 目目 考点05 平方根与立方根的综合 1.（24-25七年级下·湖南期末)已知2a+1的算术平方根是5,10+3b的平方根是±4，c是√19的整数部分 (1)求a,b,c的值； (2)求a-5b+c的平方根. 2.(24-25八年级上湖南株洲期末)已知3a-2的平方根是±5,4a-2b-8的算术平方根是4，求： (1)a、b的值. (②)求a+3b的立方根. 3.(23-24八年级上·湖南郴州期末)已知x+7的平方根是±5,2x-y+12的立方根是4，求(x-y)+) 4.(23-24八年级上湖南郴州·期末)若x,y都是实数，y=Vx-6+√6-x+7,求x+3y的立方根 5.(22-23八年级上·湖南永州期末)(1)若实数m,n满足等式m-6+√n-5=0,求2m+3n的立方根， (2)已知y=√x-24+V24-x-1,求Vx-y的平方根. 6.(24-25八年级上湖南邵阳·期末)已知2a-1的平方根是3，b+9的立方根是2，c是√57的整数部分， 求a+2b+c的值， 7.(24-25七年级下·湖南永州期末)已知-5a+3的立方根是-3,3a+b-1的算术平方根是4，c是正数且 算术平方根等于本身。 (1)求a,b,c的值： (2)求4a-2b-c的平方根. 8/8