专题05 一次函数实际应用的三种题型 （高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

**基本信息** 聚焦一次函数实际应用的文字、图像、表格三类信息载体，通过分层训练构建从关系建模到信息解读的完整应用体系，强化模型意识与数据观念。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |根据数量关系列表达式|8题（含弹簧伸长、费用计算等）|通过文字描述抽象等量关系，建立一次函数模型|从具体情境到函数表达式的直接转化，培养抽象能力与符号意识| |根据图像信息解决问题|8题（含无人机飞行、行程问题等）|解读函数图像中的点、线、交点意义，提取关键数据|图像直观与函数性质结合，发展几何直观与推理意识| |根据表格信息解决问题|5题（含身高脚长、电阻温度等）|分析表格数据规律，建立或应用函数关系|数据整理与规律探究，提升数据观念与应用意识|

专题05 一次函数实际应用的三种题型 考点01 根据问题中的数量关系列出函数表达式 考点02 根据图像信息解决实际问题 考点03 根据表格信息解决实际问题 考点01 根据问题中的数量关系列出函数表达式 1．一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由题意可知：当时，，当时，，则设挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为， ∴，解得：， ∴挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式为． 2．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．当时，与之间的表达式为_____． 【答案】 【分析】当时，总煤气费为不超过50立方米的费用与超过50立方米部分的费用之和，据此列式化简即可得到结果． 【详解】解：根据题意，当时，可得 ． 3．为保障古籍修复工作，实验室使用除湿机控制空气湿度．实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）成一次函数关系．某日除湿机开机后连续工作2小时，实验室湿度为；连续工作5小时，湿度降至．根据古籍保护标准，实验室湿度不得低于，否则纸张易脆裂，则该日这台除湿机开机后最多可连续工作________小时． 【答案】8 【分析】利用待定系数法求出 实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为，再根据一次函数的性质解答即可． 【详解】解：设实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为， 根据题意得该函数图象过点， ∴， 解得：， ∴实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）之间的函数关系式为， ∵， ∴随x的增大而减小， ∵实验室湿度不得低于， ∴， 当时，x取得最大值， 此时， 解得：， 即该日这台除湿机开机后最多可连续工作8小时． 4．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 【答案】 【分析】根据总费用为前的费用与超过以外的费用之和求解即可． 【详解】解：由题意得， 整理得，． 5．河南本地特产热销，某商店购进铁棍山药和新郑红枣两种特产，已知购进3箱山药和2箱红枣共需260元；购进2箱山药和3箱红枣共需240元． (1)求一箱铁棍山药和一箱新郑红枣的进价分别是多少元； (2)商店计划一次性购进两种特产共100箱，其中山药进货量不低于红枣进货量的2倍，设购进山药箱，总进货费用为W元，求W的最小值． 【答案】(1)一箱山药进价60元，一箱红枣进价40元 (2)总费用最小值为5340元 【分析】（1）利用“总费用=山药的总费用+红枣的总费用”列二元一次方程组并求解； （2）根据题意列出不等式，求出的取值范围，再将进货的总费用与山药和红枣之间的关系式列出来，根据一次函数的增减性确定的值，最后解出答案． 【详解】（1）解：设一箱山药进价为元，一箱红枣进价为元， 列方程组： ， 解得：， 答：一箱山药进价60元，一箱红枣进价40元． （2）解：设购进山药箱，则红枣为箱，由题意： ， 解得， ∵为整数， ∴的最小值为， 总费用， ∵随增大而增大， ∴时，最小， （元）． 答：总费用最小值为5340元． 6．“五一”假期，小明和父母开车到距家180千米的西乡旅游．出发前，汽车油箱内储油36升；行驶途中，小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶160千米时，发现油箱余油量为20升． (1)求：行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式； (2)当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警．若往返途中，都未加油．小明一家能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 【答案】(1) (2)不能，见解析． 【分析】（1）先根据已知条件求出汽车平均每千米的耗油量，再推导行驶路程与剩余油量的关系式即可； （2）通过计算比较可行驶路程与往返总路程，判断即可． 【详解】（1）解：由题意可知，出发前油箱储油36升，行驶160千米后余油20升， 总耗油量为（升）， 汽车平均每千米耗油量为（升）， 剩余油量等于初始油量减去行驶千米的总耗油量，总耗油量为， 因此行驶路程（千米）与剩余油量（升）的关系式为； （2）解：当油箱剩余油量为4升时汽车即将报警， 将代入得， 解得， 小明一家往返总路程为（千米）， ， 小明一家不能在汽车报警前回到家． 7．平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次． (1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 【答案】(1)， 且为整数 (2)安排甲型货船出航30次. 乙型货船出航30次可使总运量最大. 最大总运量为1800吨 【分析】（1）先表示出乙型货船的出航次数，再根据的限制条件和总运营成本的限制列出不等式组，求解即可得到的取值范围； （2）列出总运量关于的一次函数，根据一次函数的增减性结合的范围，求出总运量的最大值，即可得到对应出航安排． 解题的关键在于应用一次函数的性质；即由函数y随x的变化情况，结合自变量的取值范围确定最值． 【详解】（1）解： 由题意知，甲型货船出航次，则乙型货船出航次， 为非负整数， 根据题意列不等式组： ， 解不等式 ， 因此，且为整数； （2）解：设总运量为吨， 根据题意得： ， ， 随的增大而减小， ， 当时，取得最大值，此时（吨）， 乙型货船出航次数为 （次）， 答： 安排甲型货船出航30次，乙型货船出航30次，可使总运量最大，最大总运量为1800吨． 8．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】(1)A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元 (2)售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润为10700元 【分析】（1）设出B型车的进货单价，表示出A型车的进货单价，根据两种车购进数量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出两种车的单件利润，设A型车的销售量，表示出B型车销售量，得到总利润关于A型销售量的一次函数，再根据B型销售量的限制条件列出不等式，求出自变量的整数取值范围，最后结合一次函数的增减性求出最大利润及对应销售量． 【详解】（1）解：设B型自行车的进货单价为元，则A型自行车的进货单价为 元． 根据题意， 得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 (元)． 答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元． （2）解：由题意得，每辆A型车的利润为 (元)，每辆B型车的利润为 (元)． 设售出A型车辆，则售出B型车辆，总利润为元． 则 ． 根据题意得 ． 解不等式 得 ． 解不等式得． 因为为正整数，所以的取值为． 中，， 随的增大而减小， 当时，取得最大值，此时 (元)，(辆)． 答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元． 考点02 根据图像信息解决实际问题 9．如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点A的横坐标为25，则在第（   ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A．13 B．14 C．15 D．16 【答案】C 【分析】当时，，求出点的坐标，进而求出的解析式，联立与，求出点的坐标即可得到答案． 【详解】解：当时，， ∴点的坐标为， 由题意知点的坐标为， 设， 将代入得， ∴， ∴， ∴线段对应的函数表达式为：， 由题意可知，则， 解得：， ∴， ∴点的坐标为， ∴则在第15秒时1号和2号无人机在同一高度为． 10．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 【答案】C 【分析】运用路程除以时间等于速度，得出聪聪的速度为；根据图象信息，得出慧慧比聪聪晚出发，结合速度、路程、时间之间的关系，求出慧慧一开始的速度，再结合速度变化，；列式计算得出客人距离厨房门口，结合速度、路程、时间之间的关系求出从聪聪出发直至送餐结束，共需，即可求解． 【详解】解： A、聪聪的速度为，故A选项不符合题意； B、由图象可得，慧慧比聪聪晚出发，故B选项不符合题意； C、慧慧一开始的速度为：，当速度提高到原来的2倍时，为，则后一段行走了，则客人距离厨房门口为，故C选项符合题意， D、由C选项得出，则，即从聪聪出发直至送餐结束，共需，故D选项不符合题意． 11．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度 时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（   ） A．小球在斜面上的最大速度为 B．所在直线的函数解析式为 C．小球从斜面底端到停止所用的时间为 D．小球在水平面上运动的总路程为 【答案】C 【分析】根据待定系数法求出直线解析式，然后求出点的坐标，即可判断选项A；根据待定系数法求出直线的解析式，即可判断选项B；当时，，解得，即可判断选项C，根据提示计算即可判断选项D． 【详解】解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 小球在斜面上的最大速度为，故选项A正确，但不符合题意； 设所在直线的函数表达式为， 得， 解得， 所在直线的函数表达式为，故选项B正确，但不符合题意； 当时，， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为，故选项C错误，符合题意； 小球在水平面上运动的总路程为，故选项D正确，但不符合题意． 12．如图是某台阶的一部分，每一级台阶的长度和高度之比为，且各级台阶的长度和高度分别相等，在平面直角坐标系中，点的坐标是．有下列说法： 甲：同时经过点的直线的函数表达式为； 乙：若点平均分布在直线的两侧，则的取值范围为． 关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确 【答案】B 【分析】先求出，、，再利用待定系数法求出直线的解析式，再验证、在直线上，即可判断甲；分别求出直线和直线的解析式，结合图象即可判断乙． 【详解】解：如图， 点的坐标是， ，， 每一级台阶的长度和高度之比为， ， ， ， ， 按照得到点的坐标的方法，得到点、， 把，代入中得： ， 解得， 直线的解析式为， 当时， 当时， 即同时经过点，，，的直线的解析式为； 故甲错误； 如图，设直线的解析式为则，解得， 即直线的解析式为； 设直线的解析式为则， 解得， 即直线的解析式为； 结合图象可知，若点，，，，平均分布在直线的两侧，则的取值范围为，故乙正确． 13．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（   ） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为60米/分 【答案】C 【分析】通过图像可得小明家距离学校1200米，小华家也是，得知距离时间即可算出速度． 【详解】解：A．由图可得小明家距离学校1200米，故A正确，不符合题意； B．小华从家到学校用时分钟， 小华乘公共汽车的速度为米/分，故B正确，不符合题意； C．（分钟）， （分钟）， ∴小华乘坐公共汽车后与小明相遇的时间为，故C错误，符合题意； D．小明从家到学校的平均速度为米/分． 14．甲、乙两名快递员分别从同一个配送站出发，向不同的小区配送包裹．他们各自配送的包裹总数量（单位：件）与工作时间（单位：）之间的关系如图所示，已知甲快递员在时段内配送包裹总数量与工作时间之间的关系式为． (1)求出乙快递员在时段内，关于的函数解析式； (2)当乙快递员所配送的包裹总数量不超过甲快递员所配送的包裹总数量时，求的取值范围？ 【答案】(1)，见详解 (2)，见详解 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，准确识别函数图象与实际意义的对应关系是解题的关键． （1）结合函数图象，用待定系数法求函数解析式即可； （2）根据条件列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设乙快递员在时段内，关于的函数解析式为, 它的图象经过，，把这两个点的坐标代入解析式，得 解得 所以乙快递员在时段内，关于的函数解析式为； （2）解：乙快递员所配送的包裹总数量不超过甲快递员所配送的包裹总数量时，根据题意，得 ， 解得． ， 的取值范围为． 15．为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． (3)当时，直接写出时的取值范围． 【答案】(1)（）； (2)60 (3)． 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）把代入，求解即可； （3）利用待定系数法求得时函数的解析式，求得时，的值，结合函数图象即可求解． 【详解】（1）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为（）； （2）解：把代入，得； （3）解：当时，设y与x的函数解析式为， 将和代入，得， 解得， 所以y与x的函数解析式为； 当时，或， 解得或， 观察图象，当时的取值范围是． 16．为营造节日的欢庆场面，某单位在两座相邻楼房的楼顶安装如图1的激光射灯，其平面示意图如图2，其中光束所在直线的解析式为，光束从点位置发出，并经过点，已知两光束与相交于点P． (1)求光束所在直线的解析式； (2)若保持的位置不变，将向上平移m个单位长度，使得两光束的交点P的纵坐标等于6，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式即可； （2）求出点坐标，根据平移，设出新的解析式，待定系数法求出即可. 【详解】（1）解：设光束所在直线的解析式为， 将及代入， 得，解得， 光束所在直线的解析式为 （2）解：设点P的横坐标为a， 点P的坐标为， 点P在光束上， 解得， 即点P的坐标为， 由题意，经过平移后所在直线的解析式为， 将点的坐标代入，得， 解得． 考点03 根据表格信息解决实际问题 17．超市有甲，乙两种玻璃罐，其容量和价格如下表，当日促销活动规则：购买甲罐5个或以上，可享立减元的优惠．现需用这两种玻璃罐分装千克蜂蜜，要求玻璃罐均装满且无剩余．设购买甲罐个，购买玻璃罐的总费用为元，则下列结论不一定成立的是（   ） 型号 甲 乙 单个容量(千克) 2 单价(元) 5 8 A．购买乙罐的数量为个，且为正整数 B．可购买4个甲罐，5个乙罐 C．与之间的表达式为 D．购买玻璃罐的最少费用为元 【答案】C 【分析】本题考查列代数式和一次函数在实际问题中的应用，关键在于根据促销活动分情况讨论总费用的表达式，同时结合玻璃罐数量为正整数的条件确定变量的取值范围． 【详解】解：对于选项A：根据总容量为千克，得购买乙罐的数量为，且为正整数，A选项成立，不符合题意； 对于选项B：当时，，B选项成立，不符合题意； 对于选项C：分两种情况讨论总费用： ①当时，甲罐无优惠，总费用； ②当时，甲罐享受立减元优惠，总费用； 因此C选项错误，符合题意； 对于选项D：由且为正整数，为非负整数，可得的可能取值为0、4、8： 当时，元； 当时，元； 当时，元； 故购买玻璃罐的最少费用为元，D选项成立，不符合题意； 故选：C． 18．脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长 … … 身高 … … 则与之间的函数关系式近似为(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察表格中脚长和身高的对应数据，判断与近似为一次函数关系；设一次函数的一般形式为，选取表格中两组数据代入解析式求出解析式即可． 【详解】解：由表格数据可得，每增加，约增加， ∴与近似为一次函数关系，设该函数关系式为． 将和代入函数式， 得到方程组：，解得， ∴得到近似的函数关系式为． 故选：C． 19．在探究“某金属导体的电阻随温度变化”的实验中，控制该金属导体的长度和横截面积不变，测得金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）满足我们学过的某种函数关系，实验数据如下表．根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 温度/ 10 20 30 40 50 金属导体的电阻 22 24 26 28 30 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由表格数据可知，R随t均匀变化，R与t满足一次函数关系，用待定系数法即可求解． 【详解】解：设R与t的函数关系式为， ∵ 当时，，当时，， ∴ ，解得， ∴ R与t之间的函数关系式为． 20．某地正在推进“智慧农业”建设，农业科技站为了研究两种不同营养液对某类番茄幼苗生长的影响，选取了若干组长势相近的幼苗进行对比实验．在相同光照、温度和浇水条件下，技术人员发现：幼苗一周后的平均株高增长量与营养液中某种核心成分的浓度有关．设成分的浓度为，甲液对应的平均株高增长量为（单位：），乙液对应的平均株高增长量为（单位：）．实验数据如下： 成分的浓度 20 30 40 50 60 70 80 甲液的平均株高增长量 11 14 20 23 26 29 乙液的平均株高增长量 15 19 21 20 17 12 5 进一步研究发现：与近似满足一次函数关系，也可以用函数刻画与之间的关系． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全表格； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)技术人员准备了核心成分共，全部用于配制甲液和乙液，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 假设两种营养液中核心成分的质量均为，则两种营养液的平均株高增长量之差约为_________（结果保留整数）； 经研究发现，在此实验条件下，当使用营养液甲时，环境温度每升高，平均株高增长量会下降．若将配制好的甲液对应的环境温度提高，可使得两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为_________g（结果保留整数）． 【答案】(1) (2)见解析 (3)或 【分析】（）求出 ，当时，求出即可； （）根据画函数图象方法步骤即可求解； （）求出 ， ，然后相减即可；由甲温度升高，总下降量为 ，升温后增长量等于乙的增长量，可知 向下平移个单位，即，画出的图象，观察图象即可求解． 【详解】（1）解：∵与近似满足一次函数关系， ∴设， 当时，；当时，， ∴，解得：， ∴ ， ∴当时， ， 故答案为：； （2）解：如图， （3）解：两种营养液中核心成分的质量均为， ∴ ，， ∴两种营养液的平均株高增长量之差约为； ∵甲温度升高，总下降量为 ，升温后增长量等于乙的增长量， ∴ 向下平移个单位，得， 如图，由图象可知与得，当或时，两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同， 则乙液中的核心成分的质量约为或． 21．春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 【答案】(1)型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． (2)共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． (3)最大利润的购进方案为购进型个，型个，最大利润为元． 【分析】（1）根据表格中的总费用信息，列二元一次方程组求解、两种冰箱贴的购进单价． （2）设购进型冰箱贴个，根据总费用限制和数量要求列一元一次不等式，求出符合条件的正整数解，得到所有购货方案． （3）根据利润关系列出总利润关于的一次函数，利用一次函数的增减性求出最大利润及对应方案． 【详解】（1）解：设型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元， ， 解得， ∴型冰箱贴每个元，型冰箱贴每个元． （2）解：设购进型冰箱贴个，则购进型冰箱贴个， ， 解不等式组得， ∵为正整数， ∴，，． 当时，； 当时，； 当时，． ∴共有种购货方案：方案一：购进型个，型个； 方案二：购进型个，型个； 方案三：购进型个，型个． 答：共有种购货方案，具体为：方案一：购进型个，型个；方案二：购进型个，型个；方案三：购进型个，型个． （3）解：设总利润为元， 单个型冰箱贴利润：元，单个型冰箱贴利润：元， ， ∵， ∴随的增大而减小， ∴当时，取得最大值， ， 此时对应方案为购进型个，型个． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题05 一次函数实际应用的三种题型 考点01 根据问题中的数量关系列出函数表达式 考点02 根据图像信息解决实际问题 考点03 根据表格信息解决实际问题 考点01 根据问题中的数量关系列出函数表达式 1．一根弹簧原长，它所挂的物体的质量不超过，并且挂重就伸长，则挂重后弹簧长度（）与挂重（）之间的函数解析式是（  ） A． B． C． D． 2．某城市为了加强公民的节气和用气意识，按以下规定收取每个季度煤气费：所用煤气如果不超过50立方米，按每立方米4元收费；如果超过50立方米，超过部分按每立方米4.5元收费．设小丽家某季度用气量为立方米，应交煤气费为元．当时，与之间的表达式为_____． 3．为保障古籍修复工作，实验室使用除湿机控制空气湿度．实验室相对湿度（单位：）与除湿机工作时间x（单位：小时）成一次函数关系．某日除湿机开机后连续工作2小时，实验室湿度为；连续工作5小时，湿度降至．根据古籍保护标准，实验室湿度不得低于，否则纸张易脆裂，则该日这台除湿机开机后最多可连续工作________小时． 4．已知N市出租车原收费标准如下：不超过的路程按起步价10元收费，超过以外的路程按2.4元收费．为减少出租车空车返回的损失，现N市决定实施返空费方案，具体方案如下：设出租车行驶的路程为，当时，按原收费标准收费；超过以外的路程，按原单价2.4元的1.5倍收费．若行驶路程x超过，则收费总额y（元）与x（）的函数关系式为_________． 5．河南本地特产热销，某商店购进铁棍山药和新郑红枣两种特产，已知购进3箱山药和2箱红枣共需260元；购进2箱山药和3箱红枣共需240元． (1)求一箱铁棍山药和一箱新郑红枣的进价分别是多少元； (2)商店计划一次性购进两种特产共100箱，其中山药进货量不低于红枣进货量的2倍，设购进山药箱，总进货费用为W元，求W的最小值． 6．“五一”假期，小明和父母开车到距家180千米的西乡旅游．出发前，汽车油箱内储油36升；行驶途中，小明发现油量随着里程均匀变化；当行驶160千米时，发现油箱余油量为20升． (1)求：行驶路程x（千米）与剩余油量Q（升）的关系式； (2)当油箱中剩余油量低于4升时，汽车将自动报警．若往返途中，都未加油．小明一家能否在汽车报警前回到家？请说明理由． 7．平陆运河是新中国成立以来第一条江海连通的大运河，随着运河建设推进，北部湾港的货物吞吐量稳步增长．某航运公司安排甲、乙两种货船参与运输，已知甲型货船的单次运量为10吨，乙型货船的单次运量为50吨，且甲型货船的单次运营成本为6万元，乙型货船的单次运营成本为36万元．受航道条件限制，该航运公司计划两种货船共出航60次． (1)设甲型货船的出航次数为次，且出航次数不高于40次，总运营成本不高于1260万元，求的取值范围； (2)在（1）的条件下，如何安排两种货船的出航次数，可使总运量最大？最大总运量是多少？ 8．“低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； (1)已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ (2)若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 考点02 根据图像信息解决实际问题 9．如图，在平面直角坐标系中，线段，分别表示1号、2号无人机在队形变换中飞行高度，与飞行时间的函数关系，其中，线段与相交于点，轴于点，点A的横坐标为25，则在第（   ）秒时1号和2号无人机在同一高度． A．13 B．14 C．15 D．16 10．随着人工智能的发展，智能机器人送餐成为时尚．某餐厅的机器人聪聪和慧慧，它们从厨房门口出发，准备给客人送餐，聪聪比慧慧先出发，且速度保持不变，慧慧出发一段时间后将速度提高到原来的2倍．设聪聪行走的时间为，聪聪和慧慧行走的路程分别为，，，关于的函数图象如图所示，则下列说法不正确的是（    ） A．聪聪的速度为 B．慧慧比聪聪晚出发 C．客人距离厨房门口 D．从聪聪出发直至送餐结束，共需 11．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度 时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（   ） A．小球在斜面上的最大速度为 B．所在直线的函数解析式为 C．小球从斜面底端到停止所用的时间为 D．小球在水平面上运动的总路程为 12．如图是某台阶的一部分，每一级台阶的长度和高度之比为，且各级台阶的长度和高度分别相等，在平面直角坐标系中，点的坐标是．有下列说法： 甲：同时经过点的直线的函数表达式为； 乙：若点平均分布在直线的两侧，则的取值范围为． 关于甲、乙的说法，下列判断正确的是（    ） A．只有甲正确 B．只有乙正确 C．甲、乙都不正确 D．甲、乙都正确 13．小华和小明是同班同学，也是邻居，某日早晨，小明先出发去学校，走了一段后，在途中停下吃了早餐，后来发现上学时间快到了，就跑步到学校；小华离家后直接乘公共汽车到了学校，如图是他们从家到学校已走的路程S（米）和所用时间t（分钟）的关系图，则下列说法中错误的是（   ） A．小明家和学校距离1200米 B．小华乘公共汽车的速度是240米/分 C．小华乘坐公共汽车后与小明相遇 D．小明从家到学校的平均速度为60米/分 14．甲、乙两名快递员分别从同一个配送站出发，向不同的小区配送包裹．他们各自配送的包裹总数量（单位：件）与工作时间（单位：）之间的关系如图所示，已知甲快递员在时段内配送包裹总数量与工作时间之间的关系式为． (1)求出乙快递员在时段内，关于的函数解析式； (2)当乙快递员所配送的包裹总数量不超过甲快递员所配送的包裹总数量时，求的取值范围？ 15．为研究城区空气质量变化，某校环保社团对吉林市某日的空气状况进行连续监测，记录了10个小时城区浓度（单位：）与监测时间（单位：）的变化情况，函数图象如图所示． (1)当时，求关于的函数解析式． (2)当时，求的值． (3)当时，直接写出时的取值范围． 16．为营造节日的欢庆场面，某单位在两座相邻楼房的楼顶安装如图1的激光射灯，其平面示意图如图2，其中光束所在直线的解析式为，光束从点位置发出，并经过点，已知两光束与相交于点P． (1)求光束所在直线的解析式； (2)若保持的位置不变，将向上平移m个单位长度，使得两光束的交点P的纵坐标等于6，求m的值． 考点03 根据表格信息解决实际问题 17．超市有甲，乙两种玻璃罐，其容量和价格如下表，当日促销活动规则：购买甲罐5个或以上，可享立减元的优惠．现需用这两种玻璃罐分装千克蜂蜜，要求玻璃罐均装满且无剩余．设购买甲罐个，购买玻璃罐的总费用为元，则下列结论不一定成立的是（   ） 型号 甲 乙 单个容量(千克) 2 单价(元) 5 8 A．购买乙罐的数量为个，且为正整数 B．可购买4个甲罐，5个乙罐 C．与之间的表达式为 D．购买玻璃罐的最少费用为元 18．脚印信息往往对应着一个人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如表： 脚长 … … 身高 … … 则与之间的函数关系式近似为(　　) A． B． C． D． 19．在探究“某金属导体的电阻随温度变化”的实验中，控制该金属导体的长度和横截面积不变，测得金属导体的电阻（单位：）与温度（单位：）满足我们学过的某种函数关系，实验数据如下表．根据表中数据，与之间的函数关系式为（   ） 温度/ 10 20 30 40 50 金属导体的电阻 22 24 26 28 30 A． B． C． D． 20．某地正在推进“智慧农业”建设，农业科技站为了研究两种不同营养液对某类番茄幼苗生长的影响，选取了若干组长势相近的幼苗进行对比实验．在相同光照、温度和浇水条件下，技术人员发现：幼苗一周后的平均株高增长量与营养液中某种核心成分的浓度有关．设成分的浓度为，甲液对应的平均株高增长量为（单位：），乙液对应的平均株高增长量为（单位：）．实验数据如下： 成分的浓度 20 30 40 50 60 70 80 甲液的平均株高增长量 11 14 20 23 26 29 乙液的平均株高增长量 15 19 21 20 17 12 5 进一步研究发现：与近似满足一次函数关系，也可以用函数刻画与之间的关系． 根据以上信息，解答下列问题： (1)补全表格； (2)在给出的平面直角坐标系中，画出这两个函数的图象； (3)技术人员准备了核心成分共，全部用于配制甲液和乙液，根据以上数据与函数图象，解决下列问题： 假设两种营养液中核心成分的质量均为，则两种营养液的平均株高增长量之差约为_________（结果保留整数）； 经研究发现，在此实验条件下，当使用营养液甲时，环境温度每升高，平均株高增长量会下降．若将配制好的甲液对应的环境温度提高，可使得两种液体对应的番茄幼苗平均株高增长量相同，则乙液中的核心成分的质量约为_________g（结果保留整数）． 21．春假期间，某景区文创店准备购进有、两种冰箱贴（每种至少个）共个进行销售．在结合自身销售情况和商家商谈中获得以下信息： 冰箱贴购进单价信息 商家有、两种冰箱贴可供选择，下表为该商家记录单的部分信息： 记录单 型冰箱贴（个） 型冰箱贴（个） 总费用（元） 记录单 记录单 文创店销售信息 信息一：文创店计划购进这批冰箱贴所花的费用不超过元． 信息二：型冰箱贴的售价为每个元，型冰箱贴的售价为每个元． 根据以上信息，完成下列3个任务： (1)任务1：根据冰箱贴购进单价信息，计算，两种型号冰箱贴每个分别是多少元． (2)任务2：根据文创店销售信息，求出文创店有几种购货方案，并具体列出对应方案． (3)任务3：根据以上信息，在上面的方案中，确定利润最大的购进方案，并求出最大利润． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $