专题03 四边形中的动点与最值问题（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

**基本信息** 聚焦特殊四边形（平行四边形、矩形、菱形、正方形）动点轨迹与最值问题，以性质应用为核心，构建从几何直观到推理计算的解题逻辑链。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形|6题|轴上动点、折线轨迹、面积动态变化|基于对边平行性质，结合坐标系与函数关系分析轨迹，渗透转化思想| |矩形|4题|对角线距离、垂直动线、面积占比|依托矩形直角与对角线特性，通过勾股定理及面积公式建立变量关系| |菱形|4题|内部动点、中点连线、对称变换|利用菱形四边相等与轴对称性，结合中点性质转化最值问题| |正方形|7题|周长最小、旋转动态、等腰三角形存在性|综合正方形四边等长与旋转不变性，运用对称与全等推理解决复杂动点问题|

专题03 四边形中的动点与最值问题 考点01 平行四边形中的动点与最值问题 考点02 矩形中中的动点与最值问题 考点03 菱形中的动点与最值问题 考点04 正方形中的动点与最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最短路径问题，涉及到平行四边形的性质，一次函数的图像与性质，关键是得出点在直线上运动．先得出点是直线上的动点，再将转化成，根据最短路径问题求解． 【详解】解：，，点是轴上一动点，四边形是平行四边形， 根据平移的性质得， 点是直线上的动点， 作关于直线的对称点，连接、，则， 四边形是平行四边形， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小值为， 设直线的表达式为，代入得，， 直线的表达式为， 令，则， 解得：， 点的坐标为， 故选：A． 2．如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查函数图象，平行四边形的性质，全等三角形的判定及性质，勾股定理． 根据图象可得，当点P在上，点Q在上运动时，过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离．通过“”证明，得到，从而当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时，根据勾股定理求出的长，即可得到，从而解答． 【详解】解：由图可知，当点P从点O向点A，点Q从点O向点C运动时，间距离y逐渐增大， 当点P运动到点A，点Q运动到点C时，由图象可知， ∴， ∵四边形四边形是平行四边形， ∴， 此时它们运动了， 当点P在上，点Q在上运动时， 过点O作于点E，交于点F，则的长为，间的距离 ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P，Q的运动速度相同， ∴当点P运动至点E时，点Q运动至点F，此时， 根据图象可知点P从点A运动至点E，需要， ∴， ∵， ∴中，， ∵， ∴， ∴， 即． 故选：B 3．如图，在中，，，，点为上一点，，为射线上一动点，四边形为平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】延长到点G，使作直线，作于点H，由 得则求得则 ，所以再证明四边形是平行四边形，则可证明则而则 所以的最小值为于是得到问题的答案． 此题重点考查直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、平行四边形的判定与性质、勾股定理、垂线段最短等知识，正确地作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：延长到点G， 使作直线，作于点H，如图： ∵ ， ， ∵四边形是平行四边形， ， ∴四边形是平行四边形， ∴点F在经过点G且与平行的直线上运动， ， ， ∴的最小值为 故选：C． 4．平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】由题中的点，运动过程，分情况作图，运用平行四边形判定与性质、解直角三角形及二次函数图象与性质讨论求解． 【详解】解：当时，， ， ， 则，且， 四边形是平行四边形， 在平行四边形中，， 则，故①正确； ，动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度运动， 走完用时（秒）， 过点作，如图所示： 在中，，则， ，则由勾股定理可得， 当时，，则， 当时，的最大面积为； 当时，过点作，过点作，如图所示： ，， 在中，，则， ， ，则由勾股定理可得， ， 在平行四边形中，，则， 在中，，，则， 由勾股定理可得， 则， ， 由抛物线开口向上、对称轴为，则当时，随着的增大而减小， 当时，有最大值，为； 综上所述，当时，的最大面积为，故②正确； 由题意，当停止运动时，共用时为（秒），而此时还为到达， 点，总共运动时间为秒， 由②的判定过程可知，当时，的最大面积为， ， 解得； 当时，， 解得或； 综上所述，存在、或三个值，使得的面积为，故③错误； 则题中正确结论是①②，共2个． 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点A，过点C作x轴的平行线交直线于点B，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)动点M从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点B运动；动点N从点B出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动；设点M和点N同时出发，运动时间为t秒． ①当秒时，求的面积； ②是否存在t值，使为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解 (2)①9；②存在，或或或 【分析】（1）求出，，再由且即可证明； （2）①求出平行四边形对角线的交点和，由的值求出，过点作，则，；②分三种情况讨论：当时，，，，则；当时，，；当时，，则，可求得． 【详解】（1）解：证明：将代入， ， ， ， ， ， 轴交于点， ， ， ， 四边形是平行四边形； （2）由题意可知， 四边形是平行四边形， ， ， ， ①， ， ， 过点作于， ， ， ， ； ②存在值，使为直角三角形，理由如下： 当时，，， ， ； 当时，， ， ； 当时，， ∵ ∴ ， 或， 综上所述：的值为或或或． 【点睛】本题考查一次函数的图象及性质，熟练掌握一次函数的图象及性质，平行四边形的判定及性质，直角三角形的性质，分类讨论是解题的关键． 6．在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=6 cm，AB=8 cm，有一动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以5 cm/s的速度也从点C出发，向终点A运动，连结PQ，并且PQ⊥BC，以CP、CQ为邻边作平行四边形CQMP，设动点P的运动时间为t（s）（0＜t＜2）． （1）BP= （用含t的代数式表示）； （2）当点M在∠B的平分线上时，求此时的t值； （3）当四边形BPQM是平行四边形时，求CM的值； （4）连结AM，直接写出当△AMQ是等腰三角形时t的值． 【答案】（1）BF=6-3t；（2）；（3）；（4）t=或或 【分析】（1）运用线段和差直接用t表示出BP即可； （2）如图1，连接BM，过EM、DM作ME⊥AB，MD⊥BC,先说明EM=MD,然后再用t表示出EM和MD,最后列方程求出t即可； （3）先说明四边形BPQM是平行四边形是矩形，即M在AB上，然后求出BM的长，最后运用勾股定理解答即可； （4）先用t分别表示出AM、QM、AQ,分AM=QM、AM=AQ、AQ=QM三种情况分别解答即可． 【详解】解：（1）∵PC=3t，BP=BC-PC ∴BP=6-3t； （2）如图1，连接BM，过EM、DM作ME⊥AB，MD⊥BC, ∵当点M在∠B的平分线上时 ∴EM=MD ∵PQ⊥BC ∴四边形EBPQ为矩形, 四边形MDPQ为矩形 ∴BE=MD=PQ，MQ=DP ∵平行四边形CQMP ∴MQ=PC=3t,即DP=PC=3t ∴BD=6-6t，即EM=6-6t ∵CQ=5t ∴PQ= ，即MD=4t ∵EM=MD ∴6-6t=4t，解得； （3）如图2，连接CM ∵四边形BPQM是平行四边形，PQ⊥BC ∴四边形BPQM是矩形， ∴BM=QP,MQ=BP ∵∠B=90° ∴M在AB上 ∵平行四边形CQMP， ∴MQ=PC=3t ∴BP=PC=3t ∴BC= BP+PC=6t，即t=1 ∴PC=3t=3，CQ=5t=5 ∴QP=,即BM=4 ∵∠B=90° ∴CM=； （4）延长QM交AB于E,过M作MD⊥BC ∵BC=6 cm，AB=8 cm， ∴AB= , ∵CQ=5t， ∴AQ=10-5t， ∵PC=3t ∴QP= ∵∠B=90°，PQ⊥BC，∠EQP=90°, MD⊥BC ∴四边形BEQP是矩形,四边形MQPD是矩形 ∴BE=QP=4t， MQ=DP=3t，ME=MD ∴AE=8-4t,EM=6-6t ∴AM= ∵AQ=10-5t，MQ=3t，△AMQ是等腰三角形 ∴①AM=QM，即=3t，解得t=或t=2（舍）； ②AM=AQ，即=10-5t，解得t=或t=0（舍）； ③MQ=AQ，即3t=10-5t，解得t=. 综上，当△AMQ是等腰三角形时，t=或或． 【点睛】本题考查了平行线四边形的性质、矩形的判定和性质、勾股定理以及等腰三角形等知识，灵活应用矩形的判定和性质和分类讨论思想是解答本题的关键． 考点02 矩形中中的动点与最值问题 7．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（　　） A．6 B．12 C．24 D．不能确定 【答案】B 【分析】由矩形ABCD可得：S△AOD=S矩形ABCD，又由AB=15，BC=20，可求得AC的长，则可求得OA与OD的长，又由S△AOD=S△APO+S△DPO=OA•PE+OD•PF，代入数值即可求得结果． 【详解】连接OP，如图所示： ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，OA＝OC＝AC，OB＝OD＝BD，∠ABC＝90°， S△AOD＝S矩形ABCD， ∴OA＝OD＝AC， ∵AB＝15，BC＝20， ∴AC＝＝＝25，S△AOD＝S矩形ABCD＝×15×20＝75， ∴OA＝OD＝， ∴S△AOD＝S△APO+S△DPO＝OA•PE+OD•PF＝OA•（PE+PF）＝×（PE+PF）＝75， ∴PE+PF＝12． ∴点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和是12． 故选B． 【点睛】本题考查了矩形的性质、勾股定理、三角形面积．熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 8．如图，点是矩形对角线的交点，过点的两条互相垂直的直线分别交矩形与动点、、、，点在线段上运动，，，设， （1）四边形是什么特殊四边形？请说明理由； （2）写出关于的关系式，并写出的取值范围； （3）求四边形的面积及其最值． 【答案】（1）菱形；（2） ；（3），最大值为5，最小值为4． 【分析】（1）由矩形的性质可得AO=CO，BO=DO，AB∥CD，AD∥BC，由“AAS”可证△AEO≌△CGO，△DHO≌△BFO，可得EO=GO， HO=FO，可证四边形EHGF是平行四边形，且EG⊥HF，可得四边形EHGF是菱形； （2）由菱形的性质可得，由勾股定理可得，即可求解； （3）由面积的和差关系可得四边形EFGH的面积=x2﹣2x+5=(x﹣1)2+4，由二次函数的性质可求解． 【详解】解：（1）在矩形中， ， ∴ 在和中， ∴ ∴ 在和中， 同理可得 ∴四边形为平行四边形 又∵ ∴平行四边形为菱形 (2)∵，，， ∴， 由（1）可知 ∴ 即 又，，，即， ∴ ∴， (3) ∵， ∴当或时，；当时，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，勾股定理，一次函数的性质，二次函数的性质，利用勾股定理列出方程是解本题的 9．问题探究    (1)如图①，在四边形中，，，，则________． (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)如图②，已知矩形，以B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．点D的坐标为．点P是矩形内部一动点．若的面积是矩形面积的，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【分析】（1）利用勾股定理即可求解； （2）根据平行线的性质得点A和点D到的距离相等，进而可求解； （3）根据面积求得，根据轴对称的性质可得作B关于的对称点H，连接，此时有最小值为，利用勾股定理即可求解； 【详解】（1）解：在中，，， ∴． （2）连接，如图：   ，， ∴， ∵， ∴点A和点D到的距离相等， ∴． （3）过点P作，分别交、于点F和G， 四边形是矩形，， ∴，，     ∴当时， 即， ∴，     作B关于的对称点H，则，连接交于P，    由对称可得：， ∴， 此时最小， 在中，根据勾股定理得： ， ∴最小值为． 【点睛】本题考查了轴对称的性质、矩形的性质、勾股定理及平行线的性质：解题的关键是掌握轴对称的性质及勾股定理，借助适当的辅助线解决问题． 10．【问题情境】如图，在矩形中，． (1)【初步尝试】如图1，点P为边上一点，若点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，则___________； (2)【深入探究】如图2，点Q为边上一点，且，连接，若，； ①求n的值； ②将沿翻折，点C的对应点为点E，与交于点G，过点E作于H，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图3，若，，点P、Q分别是边上的动点，点M是矩形内一动点，且，，N为上一点，，连接，求的最小值． 【答案】(1) (2)①；② (3) 【分析】（1）连接，先根据矩形的性质和对称性质可得，进而可得是等边三角形，则，利用三角形的内角和定理可求解； （2）①利用矩形的性质和勾股定理求解即可； ②根据矩形性质和折叠性质推导出，则，设，在中，由勾股定理可求得，，进而利用三角形的面积公式求解即可； （3）过M作于S，于K，连接，先证明四边形是正方形得到，，，点B与点D关于对称，再证明四边形是正方形得到M在上运动，连接，，由对称性质得到，当D、M、N共线时，取等号，的最小值为的长，在中，利用勾股定理求解即可求解． 【详解】（1）解：如图1，连接， ∵四边形是矩形， ∴， ∵点A关于直线的对称点正好是对角线的中点， ∴，， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴； （2）解：①∵四边形是矩形，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， 解得； ②∵四边形是矩形， ∴，，， ∴ 由折叠性质得，，， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， 解得，则，， ∵ ∴，即 ∴； （3）解：过M作于S，于K，连接，则， 当时，， 则四边形是正方形， ∴，，，点B与点D关于对称， ∴四边形是矩形， ∴，又， ∴，又，， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴M在上运动， 连接，， ∵点B与点D关于对称， ∴， ∴，当D、M、N共线时，取等号， ∴的最小值为的长， 在中，，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查矩形的性质、正方形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、对称性质、勾股定理、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、最短距离问题等知识，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 考点03 菱形中的动点与最值问题 11．如图，点M是菱形内部的动点，，点N是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的最大值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查菱形的性质、三角形中位线、勾股定理和三角形三边关系等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 如图：连接，取的中点E，连接，取的中点F，连接，则是的中位线，是的中位线，有．进一步证明是等边三角形，则，，再结合三角形三边关系有即可． 【详解】解：如图：连接，取的中点E，连接，取的中点F，连接，是的中位线，是的中位线， ∴． ∵，四边形是菱形， ∴ 是等边三角形， ∴ ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴的最大值为． 故答案为：． 12．如图，菱形的对角线长度为4，边长，为菱形外一个动点，满足，为中点，连接．则当运动的过程中，长度的最大值为________． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质，三角形的中位线定理，勾股定理，直角三角形斜边上的中线．连接，交于点，连接，易得是的中位线，得到，取的中点，连接，，得到，得到当，，三点共线时，最长，进行求解即可．掌握并灵活运用相关知识点，构造三角形的中位线是解题的关键． 【详解】解：如图，连接，交于点，连接， 菱形的对角线长度为4，边长， ，，， ， 为中点， 是的中位线， ， ， ， ， 取的中点，连接，， 则， ， 当，，三点共线时，的长度最大为； 故答案为：． 13．如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A．1 B．5 C．2 D．3 【答案】D 【分析】证明，根据等边三角形的性质，要求线段长度的最小值，即求的最小值，当时，最小，即线段长度最小． 【详解】解：菱形中，， ， 为等边三角形，， ，， ， ， ， ， 为等边三角形， 点为的中点， ，， ， 要求线段长度的最小值，即求的最小值， 当时，最小， 当时， 为等边三角形， ， ， 则， 即线段长度的最小值为． 14．数学课上，老师带领同学们探究菱形内一动点引发的问题． 如图1，在菱形中，，点为菱形内部一动点，且，连接并延长交于点，连接． 【问题初探】“阳光小组”的几位同学选取的点的位置并不相同，但在计算的度数时，发现的度数是相同的，同学们猜想的度数是一个定值． (1)请你写出的度数为________． (2)【迁移探究】“活力小组”的同学在图1基础上作关于的对称图形，连接，如图2所示．试判断线段，的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】“先锋小组”的同学在（2）的条件下，连接．若，的一个内角为，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)；见解析 (3)或 【分析】（1）设，利用等腰三角形的性质可得，则； （2）连接，由翻折及等边三角形的性质可得，即可得出结论； （3）设，讨论分别为时，利用勾股定理求的值． 【详解】（1）解：设， ∵， ∴， ∵菱形中， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：；理由如下： 连接，如图所示： ∵， ∴是等边三角形，即，， ∵菱形中， ∴， 根据轴对称可得：， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 设， 当时，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 解得：（舍）， 即：； 当时，， 过点作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， 解得：（舍）， 即：， 综上：的长为：或 考点04 正方形中的动点与最值问题 15．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 【答案】D 【分析】如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N，根据线段垂直平分线的性质得到，，根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图：延长至，使，延长至，使，连接，交于M，交于N， ∵四边形是正方形， ∴， ∴垂直平分，垂直平分， ∴，， ∴四边形周长， 根据两点之间线段最短可知，就是四边形周长的最小值． ∵E为边长是4的正方形的中点， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴四边形周长的最小值为． 16．如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，则的长最大值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用旋转变换构造全等三角形，将转化到中，结合三角形三边关系求解最大值． 【详解】 解：将绕点逆时针旋转得到，连接， 四边形是正方形，为中心， ，， 由旋转性质可知：， ，，， ， 是等腰直角三角形， ， 在中，，， 根据三角形三边关系，， ， ， 当 ，， 三点共线时， 取得最大值，最大值． 17．如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理的应用等．过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形，证得当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长，过点作于点，设与相交于点，证明，得到是等腰直角三角形，再利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，过点作，过点作交于点，连接，则四边形为平行四边形， ， ， 当、、三点在同一直线上时，有最小值，即为的长， 过点作于点，设与相交于点， 四边形是正方形，， ， ， ， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 由勾股定理得， ， 即的最小值为． 故选：D． 18．如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质定理，勾股定理，等腰直角三角形正方形的性质，根据正方形的性质和全等三角形的判定和性质得出，进而解答即可． 【详解】解：中，，如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∴，即， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， 当A、D、E、C在同一直线上时，最小即为， ∵中，， ∴， ∴最小即为， 故选：A． 19．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 【答案】(1)见解析； (2)见解析； (3)最小值为． 【分析】（）由正方形的性质可得，，证明，然后通过全等三角形的性质和三角形内角和定理即可求证； （）证明，所以，， 然后证明，，再证明四边形是矩形，又，所以四边形是正方形； （）由（）知，四边形是正方形，所以，，证明四边形是矩形，则，设，则，，由勾股定理得，然后通过非负数性质即可求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设与交于点， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵正方形边长为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形； （3）解：由（）知，四边形是正方形， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∵点在的延长线上，且在上， ∴四边形是矩形， ∴， 设，则， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵， ∴当时，取得最小值，最小值为． ∴的最小值为． 20．已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 【答案】(1)①见解析；② (2) 【分析】（1）①根据正方形的性质及可证的，进而得到；②连接，作于O交于P，结合①中可证得，进而得到，结合，得到，从而得到，从而可得，于是可得答案； （2）连接，过C作且，连接，可知为平行四边形，根据，转化为求，利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）①证明：∵正方形， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ∵， ∴， ∴ ②解：连接，作交DN于点E，    ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ∴，， 则， 在等腰直角中，有， 由（1）可知，则， 故：； （2）如图，连接，过C作，且，连接，，    ∴， 则为平行四边形， ∴， ，， ∵M为中点且， ∴， ∴， ∴， ∴的最小值为． 21．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 【答案】（1），；（2） ；直线与的夹角度数为；理由见解析；（3）线段的最小值为． 【分析】（1）由四边形和四边形是正方形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （2） 由四边形和四边形是菱形，得，，，证明，得出，，延长交于点，交于点，根据全等三角形的性质和角度和差即可求解； （3）如图，由于菱形绕点旋转，所以点的运动轨迹，是以点为圆心，半径为的圆，连接圆心点与圆外一点，当点在上时，线段取得最小值，连接，交于点，根据菱形的性质得到，，，根据勾股定理得到，求得，于是得到结论． 【详解】（1）四边形和四边形是正方形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交于点，交于点， ，， ， ， 直线与的夹角度数为， 故答案为：，； （2）；直线与的夹角度数为；理由如下： 四边形和四边形是菱形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ，， 如图，延长交的延长线于点，交于点， ，， ， 直线与的夹角度数为； （3）如图，∵ ∴当点在上时，线段取得最小值， 连接，交于点， 四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ， ， ， 即线段的最小值为． 【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 四边形中的动点与最值问题 考点01 平行四边形中的动点与最值问题 考点02 矩形中中的动点与最值问题 考点03 菱形中的动点与最值问题 考点04 正方形中的动点与最值问题 1．如图，在平面直角坐标系中，，，点是轴上一动点，作平行四边形，当取最小值时，点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，动点P、Q在平行四边形的边和对角线上运动，动点P的运动轨迹为折线，动点Q的运动轨迹为折线，两动点同时开始运动，且运动速度均为．设动点运动时间为x秒，两动点间距离为，x与y的函数关系式如图所示．当点P在平行四边形的边上运动时，两动点间的最短距离为m，此时运动时间为（）秒，则m的值为（    ）． A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，点为上一点，，为射线上一动点，四边形为平行四边形，连接，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．平行四边形中，，，．动点从点出发，以每秒2个单位长度的速度沿边、边向终点运动；动点从点同时出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动．规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设运动的时间为秒．当时，点，的位置如图所示． 有下列结论： ①当时，； ②当时，的最大面积为； ③存在两个的值，使得的面积为． 其中，正确结论的个数是（    ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 5．如图，在平面直角坐标系中，直线经过点，与x轴交于点A，过点C作x轴的平行线交直线于点B，连接． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)动点M从点O出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点B运动；动点N从点B出发，沿对角线以每秒1个单位长度的速度向点O运动；设点M和点N同时出发，运动时间为t秒． ①当秒时，求的面积； ②是否存在t值，使为直角三角形？若存在，请直接写出t的值；若不存在，说明理由． 6．在直角三角形ABC中，∠B=90°，BC=6 cm，AB=8 cm，有一动点P以3cm/s的速度从点C出发向终点B运动，同时还有一动点Q以5 cm/s的速度也从点C出发，向终点A运动，连结PQ，并且PQ⊥BC，以CP、CQ为邻边作平行四边形CQMP，设动点P的运动时间为t（s）（0＜t＜2）． （1）BP= （用含t的代数式表示）； （2）当点M在∠B的平分线上时，求此时的t值； （3）当四边形BPQM是平行四边形时，求CM的值； （4）连结AM，直接写出当△AMQ是等腰三角形时t的值． 考点02 矩形中中的动点与最值问题 7．如图，点P是矩形ABCD的边上一动点，矩形两边长AB、BC长分别为15和20，那么P到矩形两条对角线AC和BD的距离之和是（　　） A．6 B．12 C．24 D．不能确定 8．如图，点是矩形对角线的交点，过点的两条互相垂直的直线分别交矩形与动点、、、，点在线段上运动，，，设， （1）四边形是什么特殊四边形？请说明理由； （2）写出关于的关系式，并写出的取值范围； （3）求四边形的面积及其最值． 9．问题探究    (1)如图①，在四边形中，，，，则________． (2)在（1）的条件下，求的面积． (3)如图②，已知矩形，以B为坐标原点，所在的直线为x轴，所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．点D的坐标为．点P是矩形内部一动点．若的面积是矩形面积的，求的最小值． 10．【问题情境】如图，在矩形中，． (1)【初步尝试】如图1，点P为边上一点，若点A关于直线的对称点正好是对角线的中点，则___________； (2)【深入探究】如图2，点Q为边上一点，且，连接，若，； ①求n的值； ②将沿翻折，点C的对应点为点E，与交于点G，过点E作于H，求线段的长； (3)【拓展延伸】如图3，若，，点P、Q分别是边上的动点，点M是矩形内一动点，且，，N为上一点，，连接，求的最小值． 考点03 菱形中的动点与最值问题 11．如图，点M是菱形内部的动点，，点N是的中点，连接，点P是的中点，连接，若，，则的最大值为______． 12．如图，菱形的对角线长度为4，边长，为菱形外一个动点，满足，为中点，连接．则当运动的过程中，长度的最大值为________． 13．如图，在菱形中，，点分别为边上的动点，且始终保持．连接，点为的中点，连接．则线段长度的最小值为（   ） A．1 B．5 C．2 D．3 14．数学课上，老师带领同学们探究菱形内一动点引发的问题． 如图1，在菱形中，，点为菱形内部一动点，且，连接并延长交于点，连接． 【问题初探】“阳光小组”的几位同学选取的点的位置并不相同，但在计算的度数时，发现的度数是相同的，同学们猜想的度数是一个定值． (1)请你写出的度数为________． (2)【迁移探究】“活力小组”的同学在图1基础上作关于的对称图形，连接，如图2所示．试判断线段，的数量关系，并说明理由． (3)【拓展应用】“先锋小组”的同学在（2）的条件下，连接．若，的一个内角为，请直接写出的长． 考点04 正方形中的动点与最值问题 15．如图所示，E为边长是4的正方形的边的中点，M为上一点，N为上一点，连接，则四边形周长的最小值为（　　） A． B． C．10 D．12 16．如图，在中，，，以为一边向三角形外作正方形，正方形的中心为，则的长最大值等于（   ） A． B． C． D． 17．如图，为正方形中边上的一点，且，、分别为边、上的动点，且始终保持，则的最小值为(   )                                         A．5 B． C． D． 18．如图，中，，点D是与点B不重合的动点，以为一边作正方形，连接，则的最小值为（    ） A． B．2 C． D． 19．如图，在边长为的正方形中，点是边上的动点，连接． (1)如图，点在边上，满足，连接，求证：； (2)如图，过点作，使得，过点分别作，的延长线于点，，证明：四边形是正方形； (3)如图，在第（）问的条件下，延长，相交于点，连接，求的最小值． 20．已知正方形的对角线交于O，M是上一点． (1)如图，于点N，交于点Q． ①求证：； ②若，求的值． (2)如图，M是的中点，线段（点E在点F的左边）在直线上运动，连接，若，，则的最小值是 21．综合与实践 【问题情境】 在数学综合与实践活动课上，老师让同学们以“特殊平行四边形的旋转”为主题开展探究活动． 如图，正方形和正方形，连接，． 【操作发现】 （1）当正方形绕点旋转，如图，线段与之间的数量关系是______；直线与的夹角度数为______； 【深入探究】 （2）如图，若四边形与四边形都为菱形，且，，猜想与的数量关系与直线与的夹角度数，并说明理由； 【迁移探究】 （3）如图，在（2）的条件下，，在菱形绕点旋转过程中，直接写出线段的最小值． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $