专题02 四边形中的折叠问题（高效培优期末专项训练）数学新教材湘教版八年级下册

**基本信息** 聚焦四边形折叠问题，按平行四边形、矩形、菱形、正方形分考点系统编排，以题载法强化空间观念与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |平行四边形折叠|6题|角度计算、距离求解、综合探究|基于平行四边形性质，结合折叠轴对称性，推导全等与角度关系| |矩形折叠|6题|直角三角形存在性、多步折叠计算|以矩形直角特性为基础，运用勾股定理解决折叠后线段长度问题| |菱形折叠|6题|对角线相关计算、图形形状判断|利用菱形四边相等及对角线性质，分析折叠后点的位置关系| |正方形折叠|4题|旋转综合、多结论证明|结合正方形对称性，综合旋转与折叠，培养推理与模型意识|

专题02 四边形中的折叠问题 考点01 平行四边形中的折叠问题 考点02 矩形中的折叠问题 考点03 菱形中的折叠问题 考点04 正方形中的折叠问题 考点01 平行四边形中的折叠问题 1．在平行四边形中，，现将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的性质以及折叠变换，首先根据折叠找到对应相等的角，，然后根据三角形内角和可算出，进而可得的度数，再根据平行四边形的性质可得．解题的关键是找准折叠后哪些角是对应相等的． 【详解】解：∵将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，， ∴，， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴的度数为． 故选：C． 2．如图，平行四边形纸片的对角线与相交于点，将平行四边形纸片沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，若，，则点，之间的距离是（    ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【分析】连接A，由折叠的性质，解得O的长，，根据三角形内角和180°，解得，最后根据勾股定理解题即可． 【详解】连接A， 根据折叠的性质可知 在中 故选：D． 【点睛】本题考查折叠的性质、三角形内角和定理、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键． 3．已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】如图，过作于点，过作于点，可证，得到，即得，设，，可得，由四边形是矩形得，即得，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过作于点，则， 在图中，∵，为平行四边形， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 由折叠可得，， ∴， 设，，则， 由折叠可得：， ∵，， ∴ ， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∴． 4．某数学兴趣小组研究图形折叠问题 (1)先利用矩形折叠，如图1，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______． (2)再利用平行四边形折叠，如图2，将平行四边形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接．猜想：与的数量关系，与的位置关系，并证明． (3)在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)．证明见解析 (3)的长为或 【分析】（1）由矩形的性质和折叠性质可得，根据等腰三角形的判定可得，进而可得，利用等边对等角和三角形的外角性质可得，进而可证明； （2）同（1）中方法可证明，； （3）分和两种情况分别求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠性质得，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （2）解：猜想：，， 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由折叠性质得，， ∴， ∴， ∴，则， ∴， ∵，即， ∴， ∴； （3）解：由（2）知，， 设， ∵， ∴， 由折叠性质得，， 当时，是等腰直角三角形， ∴，则，解得， ∴， ∴； 当时，是等腰直角三角形， ∴， ∴， 则，解得， ∴， 综上，的长为或． 5．问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平行四边形纸片进行折叠变换后，发现结论并解决问题． 成果展示 (1)“爱心”小组：如图1，将平行四边形沿折叠，使点与点重合，折痕与，边分别交于点，，发现，请证明他们发现的结论； (2)“希望”小组：如图2，，分别是，边上的动点，且，连接，将平行四边形沿折叠，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交，于点，，发现，请证明他们发现的结论； (3)教师提问：在图1的基础上，连接与交于点，如图3所示，若，，，直接写出线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查平行四边形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质； （1）由四边形是平行四边形，得到，，根据折叠的性质得，，即可得到，； （2）根据折叠的性质得，，，，证明，得到； （3）过作交延长线于，先求出，，根据折叠的性质得，，，，再证明，得， 设，则，，在中，根据得到，最后根据，求出即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 根据折叠的性质得，， ∴， ∴； （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴，， 根据折叠的性质得，，，， 又∵， ∴，，， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：过作交延长线于， ∵四边形是平行四边形，，，， ∴，，，，， ∴， ∴， ∴，， 根据折叠的性质得，，，， ∴，， 由（1）可得， ∴， ∴， ∴， 设，则，， 中，， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得． 6．综合与实践 问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图1，已知平行四边形，，将平行四边形沿过点D的直线折叠，使点C落在边上的点E处，折痕与交于点F． 初步探究： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：如图2，取线段边上的一点O（不含点D，F），过点O作边的垂线分别与交于点I，J，将平行四边形沿直线折叠，使点C落在边上的点H处，使点D落在边上的点G处，连接． （2）若随着点O的运动，与始终保持平行，请求的度数； （3）在（2）的条件下，如图3，若，与交于点M，连接，当时，请直接写出的值． 【答案】（1）菱形，理由见解析；（2）；（3） 【分析】（1）根据翻折得到，则由平行四边形，根据平行线+角平分线得到等腰三角形，那么，则，结合平行，先证明为平行四边形，再根据一组邻边相等即可证明； （2）先证明四边形为平行四边形，结合翻折可得，那么为等边三角形，即可求解； （3）过点O作于点N，过点M作于点K，四边形为菱形，可得为等边三角形，则设，可证明，那么，，则，用勾股定理表示，，，最后由建立方程求解，再由平行四边形的性质结合翻折即可求解． 【详解】（1）解：四边形为菱形，理由如下： 由翻折得：， ∵平行四边形，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为菱形； （2）解：∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， 由翻折得，而 ∴， ∴为等边三角形， ∴； （3）解：过点O作于点N，过点M作于点K， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， 设 ∵， ∴， ∵翻折， ∴， ∴， ∵菱形， ∴平分， ∵，翻折得： ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， 在中，，， ∴， ∴， ∵， ∴, ∴， 解得：或（舍）， ∴， 由上知四边形为平行四边形， ∴， ∴由翻折得：． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，翻折变换，菱形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理，等边三角形的判定与性质，难度较大，正确和合理添加垂线解直角三角形是解题的关键． 考点02 矩形中的折叠问题 7．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 【答案】B 【分析】根据矩形的性质得到AB＝CD，∠B＝90°，根据勾股定理求得AE，当△APD'是直角三角形时，分两种情况分类计算即可； 【详解】∵四边形ABCD是矩形， ∴AB＝CD，∠B＝90°， ∵CD＝4，tan∠AEB，∴BE＝3， 在Rt△ABE中，AE， ∵E是BC的中点， ∴AD＝6， 由折叠可知，PD＝PD'， 设PD＝x，则PD'＝x，AP＝6﹣x， 当△APD'是直角三角形时， ①当∠AD'P＝90°时， ∴∠AD'P＝∠B＝90°， ∵AD∥BC， ∴∠PAD'＝∠AEB， ∴△ABE∽△PD'A， ∴， ∴， ∴x， ∴PD； ②当∠APD'＝90°时， ∴∠APD'＝∠B＝90°， ∵∠PAE＝∠AEB， ∴△APD'∽△EBA， ∴， ∴， ∴x， ∴PD； 综上所述：当△APD'是直角三角形时，PD的值为或； 故选：B． 【点睛】本题主要考查了矩形的性质，勾股定理，直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，准确计算是解题的关键． 8．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林折叠矩形纸片ABCD进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC边于点F；②把△ADH翻折，点D落在AE边长的点G处，折痕AH交CD边于点H．若AD=6，AB=10，则的值是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用翻折不变性可得AE=AB=10，推出DE=8，EC=2，设BF=EF=x，在Rt△EFC中，x2=22+（6-x）2，可得x=，设DH=GH=y，在Rt△EGH中，y2+42=(8-y)2，可得y=3，由此即可解决问题． 【详解】解：∵四边形ABCD是矩形， ∴∠C=∠D=90°，AB=CD=10，AD=BC=6， 由翻折不变性可知：AB=AE=10，AD=AG=6，BF=EF，DH=HG， ∴EG=4， 在Rt△ADER中，DE===8， ∴EC=10-8=2， 设BF=EF=x，在Rt△EFC中有：x2=22+(6-x)2， ∴x=， 设DH=GH=y， ∵AE=10，AG=AD=6， ∴GE=4， 在Rt△EGH中，y2+42=(10-2-y)2， ∴y=3， ∴EH=5， ∴， 故选D． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 9．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作：①把翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为，点F在边上；②把翻折，点D落在边上的点G处，折痕为，点H在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用翻折不变性可得，推出，，设，在中，，可得，设，在中，，可得，由此即可解决问题． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由翻折不变性可知：，，，， ， 在中，， ， 设，在中有：， ， 设，在中，， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查矩形的性质，翻折变换，勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型． 10．如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是矩形的性质、翻折的性质及相似多边形性质，熟练应用矩形和相似多边形性质是解题关键，设，则，根据两矩形相似求出即可． 【详解】解：在矩形中，设， 则，， 由翻折得， 四边形是正方形， 同理，四边形是正方形， ， ， 矩形矩形， ，即， 解得：（负值舍去）， 经检验，是原方程的解， ． 故选：C． 11．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先补全折叠前的矩形，得，由折叠得，故可得，从而可判断选项A；过点B作交于点E，可得，由折叠的性质得，可得，计算出，故可判断B；由得，即，进一步得出，化简得，可判断选项C；由于点M，N位置不确定，不能得出，故可判断选项D． 【详解】解：如图，补全折叠前的矩形， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴，故A选项正确，不符合题意； 过点B作交于点E， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得， ∴， ∴，故B选项正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∵， ∴， 又∵， ∴， 化简得，故C选项正确，不符合题意； 由于点M，N位置不确定，因此不一定是， ∴不一定是， ∴不一定平行，故D选项错误，符合题意． 12．综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)【操作与证明】： ①如图①所示，王华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张亮将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)【迁移应用】： 如图③所示，李明将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 【答案】(1)①；②证明过程见详解 (2)的长为 【分析】（1）①根据折叠得到，由平角的性质得到，由此得到，根据矩形的性质得到，根据平行线的性质即可求解； ②根据矩形的性质可得四边形是平行四边形，由折叠的性质，可证，，结合菱形的判定方法即可求解； （2）根据矩形的性质得到，，，由勾股定理得到，根据折叠得到，由全等的性质得到，如图所示，过点作于点，运用勾股定理即可求解． 【详解】（1）解：①∵折叠， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 故答案为：； ②证明：∵四边形是矩形， ∴，，即， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵折叠， ∴， ∴ 在和中， ， ∴， ∴， ∴平行四边形是菱形； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，，， 在中，， ∴，， ∵折叠， ∴， ∴， 由（1）得到， ∴， 如图所示，过点作于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题主要考查矩形与折叠的性质，菱形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理的运用，掌握矩形与折叠的性质是关键． 考点03 菱形中的折叠问题 13．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，，则点到的距离为______．    【答案】 【分析】本题考查的是翻转变换的性质、菱形的性质、勾股定理、解直角三角形，掌握翻转变换是一种对称变换，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解题的关键．作于H ，，根据折叠的性质得到，根据菱形的性质、等边三角形的判定定理得到为等边三角形，得到，设，则， 在中，，，则， 根据勾股定理列出方程，解方程即可． 【详解】解：作于H ，    由折叠的性质可知，， 由题意得，， 四边形是菱形， ∴，， ∴为等边三角形， ∴， 设，则， 在中，，， ∴ 在中，， 即， 解得，， ∴， 故答案为： 14．如图，在菱形 中，，将菱形折叠，使点 恰好落在对角线 上的点 处（不与 ， 重合），折痕为 ，若 ，，则 的长为____． 【答案】/ 【分析】过点作于， 根据菱形的性质可证明是等边三角形，进而可得到，，设，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：过点作于，则 由折叠性质得， ∵在菱形 中，， ∴,， ∴是等边三角形， ∴，，即， ∴，， 设，则，，， 在中，， 由得， 解得， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质、折叠性质、等边三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 15．如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为__________． 【答案】 【分析】此题重点考查菱形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，证明四边形和四边形都是菱形，和都是等边三角形是解题的关键. 设交于点，由折叠得，， ， 则， 由菱形的性质得，，，则，， 可证明， 得， 则四边形是菱形，是等边三角形，同理， 四边形是菱形，是等边三角形，则四边形是平行四边形， 由， ， ， 求得，于是得到问题的答案. 【详解】解：设交于点， 由折叠得， ，， ∴， ∵四边形是边长为的菱形， ， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴是等边三角形， 同理，四边形是菱形，是等边三角形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ，，， ， ∴阴影部分的周长为， 故答案为：． 16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点E作EH⊥BD于点H，由菱形的性质可证△ABD为等边三角形，设BE=x，则EG=AE=4-x，BH=BE•sin30°= ，EH=BE•cos30°=，则GH=3-，在Rt△GEH中，再由勾股定理得方程，解方程即可求得． 【详解】解：如图，过点E作EH⊥BD于点H， 由折叠的性质得：EG=AE， ∵四边形ABCD是菱形， ∴AB=AD=CD=BC， 又∵∠C=60°， ∴∠BAD=60°， ∴△ABD为等边三角形， ∴AB=BD=4， 又∵DG=BG， ∴， ∴BG=3， 设BE=x，则EG=AE=4-x， 在Rt△EHB中， ∠HEB=90°-60°=30°， ∴BH=BE•sin30°=， EH=BE•cos30°=， ∴GH=3-， 在Rt△GEH中，由勾股定理得： ， 解得：x=， 即BE=， 故选：D． 【点睛】本题主要考查了菱形的性质，翻折的性质，等边三角形的判定与性质，解直角三角形，勾股定理等知识，运用勾股定理列方程是解题的关键． 17．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则_____，四边形的面积是_____． 【答案】 【分析】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，勾股定理，三角形的面积公式，垂直平分线的判定及性质，熟悉掌握辅助线的作法是解题的关键． 利用菱形的性质得到，利用勾股定理求出的长即可求出的长；连接交于点，证出，利用勾股定求出的长，再利用面积公式运算求解即可． 【详解】解：∵四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴在中，， ∵折叠， ∴， ∴； 连接交于点，如图所示： ∵折叠， ∴，，， ∴垂直平分， 在中，， ∴， ∴； 故答案为;；． 18．综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 【答案】（1）四边形是菱形，证明见解析；（2）①，证明见解析； ②；（3）点到直线的距离 【分析】（1）设与交于点，先由菱形纸片得到，再由折叠得到，，，即可证明，得到，推出，则四边形是菱形； （2）①连接、、由菱形，，得到，由折叠得到，，则，根据，得到，利用等角对等边得到； ②由M恰好是的中点，得到， ，则，则，，根据，求出，则，最后根据求解即可； （3）设直线与直线交于点，与直线交于点，由（2）可得和之间的距离为，即，，，则，然后根据当在左边或右边分情况画出图形求出点到直线的距离的值即可． 【详解】解：（1）四边形是菱形，证明如下： 设与交于点， ∵菱形纸片， ∴， ∵折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处， ∴，，垂直平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形； （2）①，证明如下： 如图，连接、、 ∵菱形，， ∴，，，， ∴是等边三角形， ∴， ∵折叠， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴； ②∵， ∴， ∵M恰好是的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴，， ∴， 解得， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）设直线与直线交于点，与直线交于点， ∵在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转，， ∴，， ∵与所在的直线垂直， ∴，， ∴， ∴， 由（2）可得和之间的距离为，即， 当在左边时，如图，此时点到直线的距离； 当在右边时，如图，此时点到直线的距离； ∴点到直线的距离． 【点睛】本题考查菱形的判定与性质，折叠问题，直角三角形，勾股定理，旋转等知识点． 考点04 正方形中的折叠问题 19．如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为________． 【答案】/ 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，折叠的性质等知识．先根据正方形的性质得到，，，再根据折叠的性质得到，设，则，在中，根据勾股定理列出方程，解方程即可求解． 【详解】解：∵正方形的边长为8，， ∴，，， 由折叠的性质得， 设，则， 在中，根据勾股定理得， 解得， 即． 故答案为：． 20．综合与实践 动手操作：利用“正方形纸片的折叠和旋转”开展数学活动，探究体会图形在正方形折叠和旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法． 折一折：如图1，已知正方形ABCD的边长AB＝6，将正方形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B的对应点M落在AC上，展开正方形ABCD，折痕为AE，延长EM交CD于点F，连接AF． (1)思考探究：图1中，与△ABE全等的三角形有 个，∠EAF＝ °，BE、EF、DF三者的数量关系是 ，BE的长为 ． (2)转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转到图2所示位置，与BC、CD的交点分别为E、F，连接EF． 证明推理：图2中，BE、EF、DF三者的数量关系是 ，并给出证明． (3)开放拓展：如图3，在旋转∠EAF的过程中，当点F为CD的中点时，BE的长为 ． 【答案】(1)3，45，EF＝BE+DF，6﹣6 (2)EF＝DF+BE，证明见解析 (3)2 【分析】（1）证明△ABM≌△AME，△AFD≌△AFM，△ACB≌△ACD，可得结论； （2）结论：EF＝DF+BE，延长CB到T，使得BT＝DF，连接AT，证明△EAF≌△EAT（SAS），可得结论； （3）如图3中，设BE＝x，则EC＝6﹣x，EF＝x+3，利用勾股定理构建方程求出x，即可解决问题． 【详解】（1）解：如图1中， 由翻折的性质可知，△EAB≌△EAM， ∴∠B＝∠AME=∠AMF=90°，AB=AM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠ACB=∠ACD=45°， ∵CM=CM，∠CME=∠CMF=90°， ∴△EMC≌△FMC， ∴EM=FM， ∴△AEM≌AFM， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠B＝∠D＝90°， ∵∠B＝∠AME=90°，AB=AM， ∴∠D＝∠AME=90°，AD=AM，AF=AF， ∴Rt△AFM≌Rt△AFD（HL）， ∴△EAB≌△EAM≌△FAM≌△FAD， ∵△EAB≌△EAM， ∴∠BAE=∠MAE，BE=ME， ∵Rt△AFM≌Rt△AFD， ∴∠FAD＝∠FAC，FM＝DF， ∴∠EAF＝∠BAD＝45°， ∴EF＝DF+BE， ∵AB＝AD，CB＝CD，∠B＝∠D， ∴△ACB≌△ACD（SAS）， 设BE＝DF＝m，则CE＝CF＝6﹣m，EF＝2m， ∵EF2＝EC2+CF2， ∴（2m）2＝（6﹣m）2+（6﹣m）2， ∴m1＝6﹣6，m2=-6﹣6（舍弃）， ∴BE＝6﹣6； ∴与△ABE全等的三角形有3个，∠EAF=45°，BE、EF、DF三者的数量关系是 EF＝BE+DF，BE的长为6﹣6； 故答案为：3；45；EF＝BE+DF；； （2）结论：EF＝DF+BE． 理由：延长CB到T，使得BT＝DF，连接AT， ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠D＝∠ABE＝∠ABT＝90°，AD＝AB， ∵DF＝BT， ∴△ADF≌△ABT（SAS）， ∴AF＝AT，∠DAF＝∠BAT， ∴∠FAT＝∠DAB， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠EAT， ∵AE＝AE， ∴△EAF≌△EAT（SAS）， ∴EF＝ET＝DF+BE； （3）如图3中，设BE＝x，则EC＝6﹣x，EF＝x+3， ∵∠C＝90°，CD＝BC＝6，DF＝FC＝3， ∴EF2＝CF2+EC2， ∴（x+3）2＝32+（6﹣x）2， ∴x＝2， ∴BE的长为2． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程的解法等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三角形解决问题． 21．综合与实践： 如图1，已知正方形纸片ABCD． 实践操作 第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O． 第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF． 问题解决 （1）的度数是______； （2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由； 探索发现 （3）如图3，若，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求的值． 【答案】（1）；（2）四边形BGEF是菱形，理由见解析；（3）． 【分析】（1）由正方形的性质，折叠的性质在中利用三角形内角和即可求出答案； （2）由正方形的性质，折叠的性质得出BG=EF，且BG∥EF，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，得出四边形BGEF是平行四边形，又，一组邻边相等的平行四边形是菱形，就可判断得出答案； （3）做辅助线由正方形的性质，折叠的性质得出条件证明，全等三角形对应边相等，故，由等角对等边得出BF的长，最后根据勾股定理求出，即可求出答案． 【详解】解：（1）解：四边形ABCD是正方形， ， ， 由折叠的性质得， 在中， ． （2）结论：四边形BGEF是菱形． 理由如下： ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． 由折叠可知，，． ∴． ∴． ∵四边形ABCD是正方形， ∴． 由折叠可知， ． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴BG=EF，且BG∥EF， ∴四边形BGEF是平行四边形． 又∵， ∴平行四边形BGEF是菱形． （3）如图，过点N作于点K，交AF于点I， 则． ∵四边形ABCD是正方形， ∴，． ∴四边形ADNK为矩形． ∴． 由折叠，可知． ∴． 又∵， ∴． 在和中， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， 又， ∴． ∴． ∴． ∴． 在中，由勾股定理， 得． ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、折叠的性质、全等三角形的性质和判定和勾股定理等知识，牢固掌握以上知识点和学会做辅助线是做出本题的关键． 22．在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出 ； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）正方形的边长为6；（3），见解析 【分析】（1）由正方形的性质可得，由折叠的性质可得，，再由计算即可得解； （2）由折叠可知，，，设正方形边长为，则，，再由勾股定理计算即可得解； （3）由正方形的性质可得，由折叠的性质可知，，，，证明，得出，从而得出，再求出，由直角三角形的性质可得，即可得解． 【详解】（1）∵四边形为正方形， ∴， 由折叠的性质可得：，， ∴； （2）由折叠可知，， 所以， 设正方形边长为，则，， 因为在中，， 所以， 整理得，， 解得，或（舍去）， 所以正方形的边长为6； （3）， ∵四边形是正方形， ∴， 由折叠的性质可知，，，， ∴， 又∵， ∴， 由（1）得， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可知， ∵点，，共线， ∴， ∴， ∴在中，， ∴． 【点睛】本题考查了正方形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 四边形中的折叠问题 考点01 平行四边形中的折叠问题 考点02 矩形中的折叠问题 考点03 菱形中的折叠问题 考点04 正方形中的折叠问题 考点01 平行四边形中的折叠问题 1．在平行四边形中，，现将平行四边形沿折叠，使点与点重合，点落在处，则的度数（    ） A． B． C． D． 2．如图，平行四边形纸片的对角线与相交于点，将平行四边形纸片沿对角线折叠，使点落在平面上的点处，若，，则点，之间的距离是（    ） A．1 B． C． D． 3．已知四边形，其中，，将沿折叠，落于，交于，且为平行四边形（如图）；再将纸片展开，将沿折叠，使点落在上一点（如图）．在两次折叠过程中，两条折痕、的夹角的度数为（　　） A． B． C． D．不确定 4．某数学兴趣小组研究图形折叠问题 (1)先利用矩形折叠，如图1，将矩形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接，则与的位置关系为______，与的数量关系为______． (2)再利用平行四边形折叠，如图2，将平行四边形沿折叠，点落在点处，与交于点，连接．猜想：与的数量关系，与的位置关系，并证明． (3)在（2）的条件下，若，，当为直角三角形时，请直接写出的长． 5．问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“平行四边形纸片的折叠”为主题开展数学活动，活动方式为将一张平行四边形纸片进行折叠变换后，发现结论并解决问题． 成果展示 (1)“爱心”小组：如图1，将平行四边形沿折叠，使点与点重合，折痕与，边分别交于点，，发现，请证明他们发现的结论； (2)“希望”小组：如图2，，分别是，边上的动点，且，连接，将平行四边形沿折叠，点落在点处，点落在点处，交于点，分别交，于点，，发现，请证明他们发现的结论； (3)教师提问：在图1的基础上，连接与交于点，如图3所示，若，，，直接写出线段的长． 6．综合与实践 问题情境：数学活动课上，活动小组探究平行四边形折叠过程中的一些结论，如图1，已知平行四边形，，将平行四边形沿过点D的直线折叠，使点C落在边上的点E处，折痕与交于点F． 初步探究： （1）判断四边形的形状，并说明理由； 深入探究：如图2，取线段边上的一点O（不含点D，F），过点O作边的垂线分别与交于点I，J，将平行四边形沿直线折叠，使点C落在边上的点H处，使点D落在边上的点G处，连接． （2）若随着点O的运动，与始终保持平行，请求的度数； （3）在（2）的条件下，如图3，若，与交于点M，连接，当时，请直接写出的值． 考点02 矩形中的折叠问题 7．如图，在矩形ABCD中，CD＝4，E是BC的中点，连接AE，tan∠AEB，P是AD边上一动点，沿过点P的直线将矩形折叠，使点D落在AE上的点处，当是直角三角形时，PD的值为（　　） A．或 B．或 C．或 D．或 8．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林折叠矩形纸片ABCD进行如下操作：①把△ABF翻折，点B落在CD边上的点E处，折痕AF交BC边于点F；②把△ADH翻折，点D落在AE边长的点G处，折痕AH交CD边于点H．若AD=6，AB=10，则的值是（　　） A． B． C． D． 9．在数学拓展课《折叠矩形纸片》上，小林发现折叠矩形纸片可以进行如下操作：①把翻折，点B落在C边上的点E处，折痕为，点F在边上；②把翻折，点D落在边上的点G处，折痕为，点H在边上，若，则（    ） A． B． C． D． 10．如图，四边形是一张矩形纸片．折叠该矩形纸片，使边落在边上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接；继续折叠该纸片，使落在上，点的对应点为点，折痕为，展平后连接．若矩形矩形，，则的长为（　　） A．1 B． C． D． 11．如图1，M，N分别是矩形的边，上两点，连接，将矩形沿折叠，交于点P，连接并延长交于点Q，将矩形沿折叠得到图2，则下列结论中不正确的是（    ） A． B． C． D． 12．综合实践课上，老师让同学们以“简单矩形折叠”为主题开展数学活动，同学们积极参与了矩形折叠活动． (1)【操作与证明】： ①如图①所示，王华将矩形沿折叠后，使得点与点重合，点与点重合，若，则_______，_______； ②如图②所示，张亮将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，过点作交于点，求证：四边形是菱形； (2)【迁移应用】： 如图③所示，李明将矩形沿对角线折叠后，使得点与点重合，与相交于点，连接，若，求的长． 考点03 菱形中的折叠问题 13．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在对角线上的点处（不与重合），折痕为，若，，则点到的距离为______．    14．如图，在菱形 中，，将菱形折叠，使点 恰好落在对角线 上的点 处（不与 ， 重合），折痕为 ，若 ，，则 的长为____． 15．如图，菱形的边长为1，，将菱形折叠使点A，C都落在对角线上点G处，折痕分别为，，则阴影部分的周长为__________． 16．如图，在菱形ABCD中，AB=4，∠C=60°，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的G点处（不与B，D重合），折痕为EF，若DG=BG，则BE的长为（　　） A． B． C． D． 17．如图，在菱形中，，将菱形折叠，使点恰好落在上的点处，折痕为，若，，，则_____，四边形的面积是_____． 18．综合与探究 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“菱形纸片的折叠”为主题开展小组数学活动．已知菱形纸片，． 成果展示 （1）第一小组：如图1，连接，折叠菱形纸片，使点A落在对角线上的点P处，折痕分别交，于点F，E．判断四边形的形状，并加以证明． （2）第二小组：将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图2所示的位置，点A的对应点为点P，折痕交于点E，交于点G． ①判断和的数量关系，并加以证明． ②将菱形纸片沿过点B的直线折叠到如图3所示的位置，其中交于点 M．若M恰好是的中点，且，请直接写出线段的长． 深入探究 （3）在图2折叠的基础上，用剪刀沿折痕剪开纸片，将纸片绕点B按逆时方向旋转（点E的对应点为，点P的对应点为），当与所在的直线垂直时，且，请直接写出点到直线的距离． 考点04 正方形中的折叠问题 19．如图，正方形的边长为8，将正方形折叠，使顶点落在边上的点处，折痕为，若，则线段的长为________． 20．综合与实践 动手操作：利用“正方形纸片的折叠和旋转”开展数学活动，探究体会图形在正方形折叠和旋转过程中的变化及其蕴含的数学思想方法． 折一折：如图1，已知正方形ABCD的边长AB＝6，将正方形ABCD沿过点A的直线折叠，使点B的对应点M落在AC上，展开正方形ABCD，折痕为AE，延长EM交CD于点F，连接AF． (1)思考探究：图1中，与△ABE全等的三角形有 个，∠EAF＝ °，BE、EF、DF三者的数量关系是 ，BE的长为 ． (2)转一转：将图1中的∠EAF绕点A旋转到图2所示位置，与BC、CD的交点分别为E、F，连接EF． 证明推理：图2中，BE、EF、DF三者的数量关系是 ，并给出证明． (3)开放拓展：如图3，在旋转∠EAF的过程中，当点F为CD的中点时，BE的长为 ． 21．综合与实践： 如图1，已知正方形纸片ABCD． 实践操作 第一步：如图1，将正方形纸片ABCD沿AC，BD分别折叠．然后展平，得到折痕AC，BD．折痕AC，BD相交于点O． 第二步：如图2，将正方形ABCD折叠，使点B的对应点E恰好落在AC上，得到折痕AF，AF与BD相交于点G，然后展平，连接GE，EF． 问题解决 （1）的度数是______； （2）如图2，请判断四边形BGEF的形状，并说明理由； 探索发现 （3）如图3，若，将正方形ABCD折叠，使点A和点F重合，折痕分别与AB，DC相交于点M，N．求的值． 22．在数学综合与实践课上，李老师让同学们以“正方形折叠”为主题开展数学活动． 【具体操作】如图1，在正方形中，将沿过点的直线翻折，点落在正方形内部的点处，得到，折痕为；再将沿过点的直线翻折，使与重合，得到，折痕为．由以上操作，不难发现，，三点在同一条直线上． 【问题解决】 （1）请直接写出 ； （2）若，，求正方形的边长； 【深入探究】 （3）如图2，再将沿所在直线折叠，点恰好落在线段的点处，得到，线段与相交于点，请写出，，三条线段的数量关系，并说明理由． 1 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $