专题02 圆和扇形全章复习5大题型（期末复习讲义）六年级数学下学期新教材沪教版五四制

专题02 圆和扇形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 圆的周长与面积的基本计算 题型02 圆环的面积 题型03 扇形的弧长与面积 题型04 不规则组合图形面积（阴影部分） 题型05 圆的周长与面积的实际应用（综合） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 圆的周长 能熟练运用 或 求周长，会求直径或半径 基础必考点，常以填空、选择或简单计算题出现。注意 的取值（3.14或保留 ） 圆的面积 能熟练运用 求面积，能根据周长求面积 高频考点，常与扇形、组合图形结合。易错点：混淆半径与直径 圆环的面积 能求圆环的面积，公式 常见于组合图形，注意分清外圆半径和内圆半径 扇形的认识 理解扇形圆心角、弧的概念，能判断扇形 基础知识点，常结合面积、弧长考查 扇形的弧长 能熟练运用 求弧长 常与周长、面积综合，注意弧长是圆周长的一部分 扇形的面积 能熟练运用 或 求扇形面积 期末必考重点，常与三角形、矩形等组合成不规则图形 不规则组合图形面积 能运用割补法、整体减空白法求阴影部分面积 压轴题型，需要灵活转化图形，考查综合能力 知识点01 圆的周长 1.圆的周长公式 周长 （ 为直径） 周长 （ 为半径） 其中，圆周率 是一个无限不循环小数，计算中通常取 ，或按要求保留 。 2．直径与半径的关系 ， ·示例：已知圆的半径为5cm，周长 cm。 ·易错点：已知直径求周长时，直接 ，不要误用半径。 题目若要求保留 ，则 cm，不要写小数。 知识点02 圆的面积 1．圆的面积公式 面积 （ 为半径） 2．已知直径求面积 先求半径 ，再代入公式。 3．已知周长求面积 先求半径 ，再求面积。 ·示例：圆的直径为8cm，则半径 cm，面积 cm² ·易错点：面积公式中是半径的平方，不是直径的平方。常见错误：直接用直径平方计算。  知识点03 圆环的面积 圆环是大圆挖去小圆后剩余的部分。 外圆半径 ，内圆半径 （） 圆环面积 ·示例：外圆半径10cm，内圆半径6cm，圆环面积 cm² ·易错点：注意区分外圆半径和内圆半径，不要用直径直接代入平方差公式。 知识点04 扇形 1．扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。其中圆心角为 。 2．扇形弧长公式 3．扇形面积公式 方法一（利用圆心角）： 方法二（利用弧长）： 示例：半径为6cm，圆心角为60°的扇形 弧长 cm 面积 cm² ·易错点：圆心角 不带单位，是度数；弧长和面积公式中 不要忘记；利用弧长求面积时， 和 单位必须一致。 知识点05 不规则组合图形面积（阴影部分） 常用方法： 方法 适用情况 操作步骤 割补法 图形由可分割拼接的规则图形组成 将阴影部分分割成若干规则图形（圆、扇形、三角形、矩形等），分别求面积后相加 整体减空白法 阴影部分形状不规则，但整体和空白部分规则 总面积减去空白部分面积，得到阴影面积 等积变形法 图形可平移、旋转重合 利用图形变换，将阴影转化为规则图形 ·示例：正方形中画一个最大的圆，求圆外四个角的阴影面积。 ·解法：正方形面积减圆面积。 ·易错点：割补时要保证不重不漏；整体减空白时，空白部分必须是规则图形且易求。 题型一 圆的周长与面积的基本计算 解｜题｜技｜巧 已知条件 求周长步骤 求面积步骤 半径 直径 ，再求 周长 – ，再求 易｜错｜点｜拨 易错点拨：注意题目要求，若要求保留 ，则结果中保留 符号，不要化为小数。 【典例1】（25-26六年级下·上海普陀·期中）下列说法中错误的是（    ） A．一个圆的大小与它的半径有关 B．是无限不循环小数 C． D．是圆的周长与它的直径的比值 【答案】C 【知识点】 圆的概念及特点、 圆的周长 【分析】根据的定义与性质逐一判断选项． 【详解】解：选项：圆的大小由半径决定，半径越大圆越大，说法正确，不符合题意； 选项：是无限不循环小数，说法正确，不符合题意； 选项：只是的近似值，并不等于，说法错误，符合题意； 选项：根据定义，是圆的周长与它的直径的比值，说法正确，不符合题意． 【典例2】（25-26六年级下·上海·期中）将一个圆的半径改变为原来的，则圆的周长会变为原来的（    ） A．不变 B． C． D． 【答案】D 【知识点】 圆的周长 【分析】本通过计算变化前后周长的倍数关系即可得到结果． 【详解】解：设原来圆的半径为， ∵圆的周长公式为 ， ∴原圆周长 ， 半径改变后新半径为， ∴新圆周长 ， ∴圆的周长变为原来的 【典例3】（25-26六年级下·上海·期中）如图，把一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的平行四边形，新图形的周长比圆的周长多10厘米，则这个圆的周长是___________米（取）． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】根据图形可知，新图形的周长比圆的周长多了圆的两个半径，继而求出圆的直径，再利用圆的周长公式求解即可． 【详解】解：由题意得，新图形的周长比圆的周长多10厘米， ∴圆的半径为厘米， ∴这个圆的周长是厘米米． 【变式1】（25-26六年级下·上海虹口·期中）下列说法错误的是（） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 C．圆周长与该圆半径的比值是定值 D．圆周率π的值与圆的大小无关 【答案】B 【知识点】 圆的概念及特点、 圆的周长 【详解】解：A.圆的周长公式为，周长相等时，半径一定相等，说法正确，不符合题意； B.弧长由圆的半径和圆心角共同决定，只有在同圆或等圆中，弧长相等的两条弧所对的圆心角才相等，原说法没有限定条件，说法错误，符合题意； C.圆周长与半径的比值为，是定值，说法正确，不符合题意； D.圆周率是固定常数，其值与圆的大小无关，说法正确，不符合题意． 【变式2】（25-26六年级下·上海宝山·期中）若两个圆的半径之比为，那么它们的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】 圆的面积 【分析】本题考查圆的面积公式的应用，利用圆的面积公式结合已知半径比，即可计算得到面积比． 【详解】解：设两个圆的半径分别为和， 则两个圆的面积分别为，， 面积之比为． 【变式3】（25-26六年级下·上海青浦·期中）要在周长为的圆形花坛外围一条宽的环形大理石道路．如果每平方米大理石需要200元，那么至少要准备多少资金？（取） 【答案】元 【知识点】 圆的周长、 圆的面积、圆环的面积 【分析】先根据圆周长公式，求出花坛的半径，再求出圆环的面积，计算即可求解． 【详解】解：（），（），（）， （元）， 答：至少要准备元资金． 【变式4】（25-26六年级下·上海宝山·期中）在一张长为5厘米，宽为4厘米的长方形纸片上，剪一个最大的圆，此圆的面积是____平方厘米． 【答案】 【知识点】 圆的面积 【分析】在长方形纸片上剪最大的圆，圆的直径等于长方形的宽，先求出圆的半径，再代入圆的面积公式计算即可． 【详解】解：由题意可知，该最大圆的直径为厘米， 则圆的半径为 厘米， 圆的面积为（平方厘米）． 【变式5】（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图，一个圆剪拼成一个近似梯形，这个梯形的周长是厘米，则圆的面积是_______平方厘米（取）． 【答案】 【知识点】 圆的周长、 圆的面积、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【详解】解：由图可知，梯形的周长由4段半径与圆的周长组成， 故， 令，解得， ∴圆的面积为（平方厘米）． 题型二 圆环的面积 解｜题｜技｜巧 直接公式 ，关键找对外圆半径 和内圆半径 。 【典例1】（25-26六年级下·上海闵行·期中）在研究圆环面积时，可以借助研究圆面积公式时所用的方法，将圆环无限等分，拼成一个平行四边形，若圆环的外圆半径为，小圆半径为，则如图所示平行四边形的底边可以表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】圆环的面积、 圆的周长 【分析】求出外圆和内圆的周长之和，而平行四边形的上下底边相等且等于两个圆周长的一半，据此可得答案． 【详解】解：， 故该平行四边形的底边可以表示为． 【典例2】（25-26六年级下·上海·期中）如图所示，一个环形铁片的外圆半径是，内圆半径是．则它的面积是______ ．（π取） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】根据圆环的面积等于外圆面积减去内圆面积，结合圆的面积公式求解即可． 【详解】解：圆环的面积 ． 【典例3】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）定义：分别以等边三角形（等边三角形的三边都相等，三个内角都是）的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“莱洛三角形”． (1)如图1，若等边的“莱洛三角形”的周长为，求这个等边的周长（取3.14）； (2)如图2，在第（1）题的条件下，在上有一个直径为的圆保持不动，圆紧贴的外侧边滚动一周，求圆心经过的路径长（结果保留）； (3)如图3，在第（1）题的条件下，“莱洛三角形”上有一个半径为的圆．“莱洛三角形”保持不动，圆紧贴“莱洛三角形”的外侧滚动一周，画出图形并求圆所扫过区域的面积（结果保留）． 【答案】(1)60厘米 (2) (3)，图形见解析 【知识点】 含圆的组合图形的计算（周长和面积）、扇形的周长和面积、圆环的面积 【分析】（1）根据圆的周长及弧长公式可进行求解； （2）由题意易得圆心D的路径是原三角形的“等距线”（距离为圆半径），由三条线段和三个圆弧组成，然后问题可求解； （3）由题意易知该图形是由三个圆环的部分（合在一起刚好是半个圆环，大半径R是25，小半径r是20）以及三个扇形（每个扇形的圆心角都是，半径为5）构成，然后问题可求解． 【详解】（1）解：步骤1：设等边三角形的边长为r， “莱洛三角形”的周长由三段相同的圆弧组成，每段圆弧半径为r，圆心角为． 步骤2：每段弧长为， 步骤3：总周长， 步骤4：边长，周长为； 答：这个等边三角形的周长是60厘米． （2）解：步骤1：圆心D的路径是原三角形的“等距线”（距离为圆半径），由三条线段和三个圆弧组成． 步骤2：计算线段部分长度．每条线段长， 步骤3：计算圆弧部分长度．每个圆弧半径，圆心角，合在一起是一个圆的周长， 步骤4：总路径长． 答：圆心D经过的路径长为． （3）解：如图所示，是由三个圆环的部分（合在一起刚好是半个圆环，大半径R是25，小半径r是20）以及三个扇形（每个扇形的圆心角都是，半径为5）构成； 扫过的区域的面积． 【典例4】（25-26六年级下·上海·期中）某社区进行“幸福社区改造项目”．现有一个直径是20米的圆形活动广场，社区计划在广场外围修一条宽1米的环形健身步道． (1)这条健身步道的面积是多少平方米？（π取3.14） (2)如果每平方米需要铺设地砖12块，铺设这条健身步道一共需要多少块地砖？ 【答案】(1)这条健身步道的面积是平方米 (2)铺设这条健身步道一共需要792块地砖. 【知识点】圆环的面积 【分析】（1）用大圆的面积减去小圆的面积进行求解即可； （2）用（1）中的结果乘以每平方米需要铺设的地砖数量，即可得出结果. 【详解】（1）解：（平方米）； 答：这条健身步道的面积是平方米； （2）解：， 因为地砖的数量应为整数， 故铺设这条健身步道一共需要792块地砖. 【变式1】（25-26六年级下·上海闵行·期中）已知一个圆形的喷泉，喷水区域的直径为8米，在喷泉外围要铺一条1米宽的鹅卵石小路，则这条小路的占地面积是_______平方米． 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】小路的占地面积为圆环的面积，先求出内圆半径和外圆半径，再利用圆的面积公式，用外圆面积减去内圆面积即可得到结果． 【详解】解：米， 米， 平方米， 则这条小路的占地面积是平方米． 【变式2】（25-26六年级下·上海普陀·月考）一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是_____．（结果保留） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】根据大圆面积减去小圆面积求解即可． 【详解】解： ， 答：这个圆环的面积是． 【变式3】（2026六年级下·上海·专题练习）三个圆的周长比为，三个圆的圆心在同一点上，如图所示，那么阴影部分面积与空白部分面积的比值为_______． 【答案】 【知识点】圆环的面积、 圆的周长、 求比值 【分析】根据圆的周长比，可以设三个圆的半径为，，，再根据图形和圆的面积公式计算即可． 【详解】解：根据题意，设三个圆的半径为，，， 则阴影部分面积为， 空白部分面积为， 所以阴影部分面积与空白部分面积的比值为． 【变式4】（25-26六年级下·上海阶段测）芳芳家门口有一个圆形水池，水池直径是2米，现在水池周围修一条宽米的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】平方米 【知识点】圆环的面积 【分析】本题要求环形小路的面积，实际是求圆环的面积，先根据水池直径算出内圆半径，加上小路宽度得到外圆半径，再利用圆环面积公式计算即可． 【详解】解： 由题意得，圆形水池直径是2米，小路宽米， 水池的内圆半径为米，环形小路的外圆半径为米， 则小路面积为：平方米 答：这条小路的面积是平方米． 题型三 扇形的弧长与面积 解｜题｜技｜巧 弧长公式： 面积公式： 或 答｜题｜步｜骤 1.明确扇形半径 和圆心角 。 2.代入公式计算，注意 约分简化计算。 3.按要求保留 或取近似值。 【典例1】（25-26六年级下·上海黄浦·期中）下列语句正确的是（    ） A．弧所在的圆的半径越大，则弧越长 B．弧对应的圆心角越大，则弧越长 C．圆的半径扩大倍，圆心角不变，则对应的扇形面积扩大倍 D．圆的半径不变，圆心角扩大倍，则对应的扇形面积扩大倍 【答案】D 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识 【详解】解：A、弧长与半径和圆心角有关，弧所在的圆的半径越大，弧不一定越长，原说法错误； B、弧长与半径和圆心角有关，弧对应的圆心角越大，弧不一定越长，原说法错误； C、圆的半径扩大倍，圆心角不变，则对应的扇形面积扩大倍，原说法错误； D、圆的半径不变，圆心角扩大倍，则对应的扇形面积扩大倍，原说法正确. 【典例2】（25-26九年级上·云南·月考）如图，用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长的计算，根据题意，运用弧长公式（是扇形弧长，是扇形的圆心角的度数，是扇形半径），由此即可求解． 【详解】解：半径为，圆心角为的扇形纸板， ∴弧长为， ∴这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是， 故选：D ． 【典例3】（25-26六年级下·上海·期中）小明测得自家圆形时钟分针针尖到圆心的距离为，则经过25分钟，分针针尖所扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】先求出25分钟分针转过的圆心角度数，再代入扇形面积公式计算即可. 【详解】解：∵分针分钟转一圈，转过的总角度为， ∴分针每分钟转过的角度为， ∴分钟转过的圆心角， 已知分针转动的圆半径，扇形面积公式为， 代入得. 【典例4】（25-26六年级下·上海·期中）如图，在正方形格点图中，每个小正方形边长为1，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧，…的圆心依次按，，循环，当时，弧的长为___________． 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中， 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长公式与规律探究；解题的关键是准确分析渐开线中每段弧的半径、圆心角变化规律，再结合弧长公式计算． 先确定每段弧的圆心角均为，再分析半径的递推规律，得出第段弧的半径公式，最后代入弧长公式计算弧的长度． 【详解】解：由题意，每段弧的圆心角均为， 已知，四边形为正方形， 第1段弧：圆心为，半径， 第2段弧：圆心为，半径， 第3段弧：圆心为，半径， 第4段弧：圆心为，半径， 由此可得第段弧的半径为： 弧长公式为： 其中，故第段弧长： 弧为第2024段弧，代入，得：． 故答案为：． 【变式1】（25-26六年级下·上海金山·月考）若扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径是原来的，则扇形弧长为原来的（   ） A． B． C．3倍 D．1倍 【答案】D 【知识点】扇形的周长和面积、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】设出原扇形的圆心角和半径，分别表示出原弧长和变化后的弧长，对比即可得到结果； 【详解】解：设原扇形的圆心角度数为，半径为， 则原扇形弧长 ， 变化后圆心角为，半径为， ∴变化后扇形弧长 ， ∴变化后的扇形弧长为原来的1倍． 【变式2】（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，用一个滑轮和一个半径为的滑轮组成一个滑轮组用来拉重物上升，如果滑轮旋转了，假设钢绳粗细不计并都铅直于地面，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________．（结果保留） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题是数学与物理的综合题，利用弧长公式求出钢绳移动的距离，再结合物理知识中使用动滑轮可以省力，同时物体上升的高度是钢绳移动距离的一半来求解． 【详解】解：滑轮旋转了，则钢绳的移动距离为， ∵滑轮是动滑轮， ∴物体上升的高度是钢绳移动距离的一半， ∴物体上升的高度是． 【变式3】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，草原上有一个长方形的建筑物，长是2米，宽是1米，一只羊被拴在这个长方形建筑物的长边中点上，已知拴羊的绳子长为3米，这只羊能吃到草的总面积是___________平方米．（结果保留） 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】画出示意图，然后根据圆的面积公式可进行求解． 【详解】解：小羊在如图所示的图形中吃草， 由图可知：这只羊能吃到草的总面积是（平方米）． 【变式4】（24-25六年级下·上海闵行·期末）第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，展现了浙江杭州山水城市的自然特质，也寓意着勇立潮头的精神风貌．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，，．求图2中的阴影部分的周长为多少厘米？（结果保留） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长的计算及图形周长的组成，解题的关键是准确判断阴影部分对应弧的圆心角并运用弧长公式计算． 明确阴影部分周长由线段、和弧、弧组成；先计算线段长度，再根据已知圆心角确定两段弧的圆心角，利用弧长公式求出弧长，最后求和得到周长． 【详解】解：由题得： 答：阴影部分的周长为 题型四 不规则组合图形面积（阴影部分） 解｜题｜技｜巧 常见图形 方法 关键点 圆内接正方形（外方内圆） 整体减空白 正方形面积减圆面积 正方形内切圆（外圆内方） 整体减空白 圆面积减正方形面积 多个扇形拼接 割补法 扇形可拼成规则图形 环形阴影 圆环面积 大扇形减小扇形 易｜错｜点｜拨 割补时要保证割下的部分恰好补到空白处，不要重叠或遗漏。 【典例1】（25-26六年级下·上海·期中）下面有四个图形，正方形大小相等，与左边阴影部分面积相等的有几张图片（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】设正方形的边长为2，则小正方形的边长为1，圆的半径为1，分别求出图中阴影部分的面积，进行判断即可. 【详解】解：设正方形的边长为2，则小正方形的边长为1，圆的半径为1，原图中，阴影部分的面积为正方形的面积减去4个圆的面积，即： ； 图①中，空白部分为一个半圆和两个圆，其面积和为， ∴阴影部分的面积为，与原图相等； 图②中，阴影部分由4个小正方形减去4个圆组成， ∴阴影部分的面积为，与原图相等； 图③中，阴影部分为一个半圆和两个圆， ∴阴影部分的面积为，与原图不相等； 图④中，阴影部分由4个小正方形减去4个圆组成， ∴阴影部分的面积为，与原图相等； 综上所述，与原图阴影部分面积相等的图片共3张. 【典例2】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则（   ）厘米． A．15 B．30 C．124.9 D．249.8 【答案】B 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】设厘米，根据得到，据此建立方程求解即可． 【详解】解：设厘米， ∵， ∴ ∴， 解得， ∴厘米． 【典例3】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，正方形的边长是6，求阴影部分的面积．（结果保留） 【答案】 【知识点】 圆的面积、扇形的周长和面积、 阴影部分的周长和面积、不规则图形的面积 【分析】先计算正方形边长为6的两个扇形面积和，再求“叶子”重叠面积；接着算出角落空白部分，进而求得单个阴影块面积为，最后乘以2即可得解． 【详解】解：如图， 由图可得，， ∴扇形的面积为：， ∴， 由图可得，两个四分之一圆在正方形内部重叠，重叠部分为叶子， ∴正方形面积：，叶子面积：， 由图可得， ， ∴ ， ∴． 【变式1】（25-26六年级下·上海·期中）按要求解答下列各题：取3.14 (1)求下图阴影部分的周长； (2)求下图阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】 圆的周长、 圆的面积、 阴影部分的周长和面积 【分析】（1）把三个半圆的周长相加即可求解． （2）根据阴影部分的面积等于正方形的面积减去圆的面积求解即可． 【详解】（1）解：大半圆的直径： 阴影部分的周长： （2）解：圆的半径： 阴影部分的面积： 【变式2】（25-26六年级下·上海杨浦·期中）已知扇形的圆心角，半径，现分别以的中点为圆心，2为半径画半圆成如图所示阴影部分，求阴影部分的周长和面积．（结果保留） 【答案】阴影部分的周长；阴影部分的面积 【知识点】扇形的周长和面积、 阴影部分的周长和面积 【分析】取，的中点E，F，连接，，则四边形是正方形，根据阴影部分的周长为弧弧弧弧弧求解，根据求面积即可． 【详解】解∶如图，取，的中点E，F，连接，， 则四边形是正方形， ∴阴影部分的周长为：弧弧弧弧弧 【变式3】（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，已知正方形边长为2，求阴影部分周长及面积．（取3.14） 【答案】阴影部分周长，阴影部分面积. 【知识点】求弧长、 阴影部分的周长和面积 【详解】解：∵正方形边长为2， ∴阴影部分周长， 阴影部分面积. 【变式4】（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图所示，大正方形的边长为，小正方形的边长为，扇形、扇形的圆心分别为点C和点F，半径分别为和，点E、点G分别在边和上．求阴影部分的面积．（取3.14） 【答案】 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】根据阴影部分的面积等于大扇形的面积减去小正方形的面积再加上小扇形的面积计算即可. 【详解】解：由图可知，阴影部分的面积（）. 题型五 圆的周长与面积的实际应用（综合） 解｜题｜技｜巧 实际应用题通常涉及车轮转动、圆形花坛、钟表指针扫过的面积等。关键是建立几何模型，转化为圆或扇形的周长、面积问题。 常｜用｜公｜式 车轮滚动距离 = 车轮周长 × 转动圈数 分针/时针针尖走过路径长度 = 弧长 分针扫过的面积 = 扇形面积 【典例1】（25-26六年级下·上海闵行·期中）钟面上的数学 【基本概念】钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角（时针用表示，分针用表示），时针长度为，分针长度为．一般地，钟面角（）的时针和分针绕点O一直沿着顺时针方向旋转． 由此可知： (1)时针每分钟转动________，分针每分钟转动________；八点时，时针和分针形成的钟面角为________． (2)【深入探究】 如果钟面显示时间为，那么在之前，经过了多少分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多？ (3)【实际应用】 为了研究钟面角，小明观察教室墙上的钟面．但由于电池电量较低，教室里的时钟的时针和分针比正常的钟走得要慢（但仍保持匀速转动）．小明发现第一节课的上课时间应该为，但上课铃响时，钟面显示时间为；第一节课的下课铃响时，钟面显示时间为．（已知一节课实际时长为40分钟） 求该慢钟的转动速度与正常钟的速度之比． (4)从慢钟显示时间为开始，经过一段时间后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大，求实际经过的时间（结果精确到0.1分钟）． 【答案】(1)，， (2)经过分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多； (3) (4)实际经过的时间为分钟． 【知识点】钟面角、 弧、圆心角、扇形的认识、几何问题(一元一次方程的应用)、扇形的周长和面积 【分析】（1）先求出时针每小时转动的角度是，分针每小时转动的角度为，再结合1小时等于60分钟即可求解；八点时，时针与分针间隔4个大格，即可求出此时钟面角； （2）设经过分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多，利用弧长公式列出方程求解即可； （3）先求出慢钟在实际时间40分钟内，走了分钟，即可求解； （4）设慢钟经过分钟后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大，利用扇形面积公式列出方程求解，再结合（3）中结论即可求解． 【详解】（1）解：时针每小时转动的角度是，分针每小时转动的角度为， 时针每分钟转动，分针每分钟转动； 八点时，时针与分针间隔4个大格， 此时钟面角为； （2）解：设经过分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多， 则， 解得， 答：经过分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多； （3）解：慢钟在实际时间40分钟内，走了（分钟）， 则慢钟速度为正常的，故慢钟的转动速度与正常钟的速度之比为； （4）解：设慢钟经过分钟后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大， 则， 解得 由（3）知慢钟速度为正常的， 则（分钟）， 答：实际经过的时间为分钟． 【典例2】（25-26六年级下·上海金山·月考）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买罐易拉罐饮料，营业员将罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为厘米，那么捆圈至少用绳子多少厘米？ 【答案】捆圈至少用绳子厘米． 【知识点】 圆的周长 【分析】由图可知，一圈长度可以看作个直径为厘米的圆的周长和正方形的周长之和，计算出单圈的长度再乘以即可． 【详解】解：单圈的长度为（厘米）， ∴捆圈至少用绳子（厘米）． 【典例3】（24-25六年级下·上海嘉定·期末）请根据材料完成如下三个任务： 扫地机器人的清洁场景 素材1 如图1，某智能扫地机器人通过机身圆形底盘进行清扫，机身上凸起的圆形激光发射器可发射激光实现定位和避障．示意图如图2，大圆代表扫地机器人，内部的小圆代表激光发射器．已知激光发射器的半径是2厘米，且机身圆型底盘面积是激光发射器面积的100倍．    素材2 扫地机器人因圆形底盘设计，在一些转角处会产生一部分无法清扫区域，这一部分被称为物理清扫盲区，如图3中的阴影部分．    问题解决： 任务1计算该扫地机器人机身圆型底盘半径为__________厘米． 任务2 某空置房间尺寸如图4，请计算此房间该扫地机器人的物理清扫盲区的面积共为_____平方厘米（结果保留）．    任务3 如果在这个房间摆放一台冰箱和一个花盆，位置如图5所示，冰箱和花盆底部都是直接接触地面，扫地机器人无法进入．冰箱底面可看作是长为1米、宽为0.8米的长方形，花盆底面可看作是圆形，半径与扫地机器人底盘半径相同．请计算此时扫地机器人无法清扫到的面积是______平方厘米（结果保留）．    【答案】任务 1：20；任务 2：；任务 3： 【知识点】 圆的面积 【分析】本题考查圆的面积，掌握圆的面积公式是解题的关键： 任务1：直接根据圆的面积公式得出S发射器平方厘米，进而可得出答案； 任务2：直接根据圆的面积公式得出单个角落盲区面积，进而可得出答案； 任务3：根据无法清扫面积 = 物理盲区面积 + 冰箱底部面积 + 花盆底部面积，即可得出答案． 【详解】解： 任务1 激光发射器半径厘米，其面积S发射器平方厘米． 因为机身圆盘面积是发射器的100倍， 所以S圆盘平方厘米． 设机身圆盘半径为R， ​所以， 解得厘米． 任务 2 单个角落盲区面积：（平方厘米）． 所以4 个角落总面积：（平方厘米）． 任务 3 物理盲区面积：平方厘米． 因为1米厘米，0.8米厘米， 所以冰箱底部面积：平方厘米． 花盆底部面积：平方厘米． 所以总无法清扫面积：（平方厘米）． 【典例4】（24-25六年级下·上海·期末）2023年，中国成功发射了“巡天”空间望远镜，该望远镜与天宫空间站共轨飞行，协同完成宇宙观测任务．已知巡天望远镜的轨道高度距地面约，运行轨道近似为圆形，绕地球一周约需95分钟．地球半径约为，求巡天望远镜的绕行速度．（π取3，结果精确到） 【答案】巡天望远镜的绕行速度为 【知识点】 圆的周长 【分析】本题考查圆的周长，先将巡天望远镜到地球的距离加上地球的半径，求出其运行的周长，除以飞行一周的时间，即得答案． 【详解】解：巡天望远镜的轨道周长为， ∴巡天望远镜的绕行速度为， 答：巡天望远镜的绕行速度为． 【典例5】（24-25六年级下·上海宝山·期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． (1)如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ (2)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【答案】(1)100 (2)这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【知识点】 圆的周长、 含圆的组合图形的计算（周长和面积） 【分析】本题考查了圆的周长和面积的应用，关键注意数据的单位换算． （1）先计算后轮滚动一圈向前行驶了厘米，据此计算即可求得答案； （2）画出图形，利用圆的面积公式和长方形的面积公式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得一个后轮滚动一圈向前行驶了厘米， 则拖拉机模型向前行驶188.4米，那么它的一个后轮滚动了100圈， （2）解：如图，这一过程中前轮扫过的面积是如图的阴影部分，   ，， ， ， ∴这一过程中前轮扫过的面积是平方厘米 【典例6】（24-25六年级下·上海杨浦·期中）综合与实践： 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 【操作观察】观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 顺时针 慢 小齿轮B ___①___ 快 【计算思考】 （1）通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮——小齿轮___②___（填“加速”或“降速”），两齿轮转动方向相反； （2）我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等，如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动___③___圈． （3）探究三个齿轮啮合的效果： 在（2）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，那么齿轮C的齿数是___④___，齿轮C的方向是___⑤___． 【拓展应用】如图3所示，小明有一辆前后车轮直径都是的自行车，图4是图3中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为48，后齿轮的齿数为18． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程，自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动，那么后齿轮相应的转动___⑥___圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进___⑦___m，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了． 【答案】[操作观察] 逆时针；[计算思考]（1）加速；（2）350；（3）36，顺时针；[拓展应用] ，5.024 【知识点】有理数乘除混合运算、 圆的周长 【分析】本题考查了有理数的乘除混合运算，圆的周长的计算，正确理解题意是解题的关键． [操作观察]根据大齿轮A顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，即可确定小齿轮B转动方向； [计算思考]（1）大齿轮带动小齿轮，小齿轮齿数少，转得快，即可确定加速； （2）根据齿数与转速的关系求解； （3）根据齿数与转速的关系求解； [拓展应用]根据圆的周长公式即可求解 【详解】[操作观察] 解：大齿轮A顺时针转动，相互啮合的齿轮转动方向相反，故小齿轮B按逆时针方向旋转， 故答案为：逆时针； [计算思考] 解：（1）大齿轮带动小齿轮，小齿轮齿数少，转得快，故属于加速， 故答案为：加速； （2）小齿轮B每分钟转动（圈）， 故答案为：350； （3）齿轮C的齿数：（圈），齿轮C的方向与齿轮B的方向相反，因此C的方向为顺时针， 故答案为：36，顺时针； [拓展应用] 解：后齿轮相应的转动：（圈）， 后轮前进路程为：， 故答案为：5.024． 【变式1】（25-26六年级下·上海·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，A组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，A组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） (1)已知线段，一个半径长为1的圆，沿着滚动，组内同学经过讨论，画出了圆的运动过程的图形，如图1所示．则圆扫过的面积是 ． (2)如图2，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． (3)如图3，已知线段，，，一个半径长为1的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【知识点】 圆的面积、扇形的周长和面积 【分析】（1）由图可知，扫过的区域为一个长为，宽为的长方形和一个半径为的圆； （2）由作图可知，扫过的面积为长方形的面积和长方形的面积加上一个半径为1的圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于一个边长为1的正方形面积减去个半径为1的圆的面积； （3）由作图可知，扫过的面积为长方形的面积和长方形的面积加上一个半径为1的圆的面积和一个圆心角为直角，半径为2的扇形的面积． 【详解】（1）解：由图可知，扫过的区域为一个长为，宽为的长方形和一个半径为的圆， ∴扫过的面积为； （2）解：该圆滚动过程如图， 由图可知，扫过的面积为长方形的面积和长方形的面积加上一个半径为1的圆的面积，再减去处的拐角面积，而处的拐角面积等于一个边长为1的正方形的面积减去个半径为1的圆的面积， ∴扫过的面积为； （3）解：该圆滚动过程如图， 由图可知，扫过的面积为长方形的面积和长方形的面积加上一个半径为1的圆的面积和一个圆心角为直角，半径为2的扇形的面积， ∴扫过的面积为． 【变式2】（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，某中学的操场由一个长方形和两个半圆区域组成，其中长方形的长为直道，长度为100米．若，则绕操场跑一圈约为多少米？（取3.14，） 【答案】388.4 【知识点】比的应用、 圆的周长 【分析】根据题意可知操场两头的半圆可以组成一个圆来进行计算，那么这个跑道就可以看作是一个以为直径的圆和、组成，列式解答即可． 【详解】解：，， ． ∴绕操场跑一圈约为（米）． 答：绕操场跑一圈约为388.4米． 【变式3】（25-26六年级下·上海·期中）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，求扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？（扫地机器人圆形底面的半径是1分米）（取3.14） 【答案】扫地机器人的底面圆心走过的路线长分米． 【知识点】 圆的周长 【分析】扫地机器人的底面圆心走过的路线长等于大长方形的两个长加上以半径为（分米）的圆的周长，根据圆的周长，代入相关数据计算即可解答． 【详解】解：由题意得：半径（分米）， （分米）； 答：扫地机器人的底面圆心走过的路线长分米． 【变式4】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），上面绘制了代表二十四气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“下圆弧”的长为，“直边”的长为．求单枚邮票的面积（取）． 【答案】 【知识点】 弧、圆心角、扇形的认识、扇形的周长和面积 【分析】本题考查弧长，扇形面积的实际应用，求出该邮票的对应的圆心角度数是解题的关键． 先求出每一枚邮票的圆心角，再由弧长公式求出该邮票的“下圆弧”的半径，然后由扇形面积公式求解单枚邮票的面积． 【详解】解：由题意得，每一枚邮票的圆心角为， ∴设该邮票的“下圆弧”的半径为，则， 解得： ∴单枚邮票的面积为：． 【变式5】（24-25六年级下·上海金山·阶段检测）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． (1)选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ (2)如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 【答案】(1)能够浇灌的最大面积是平方米 (2)能够浇灌的最大面积是平方米． 【知识点】 圆的面积、 组合图形的面积 【分析】本题考查不规则图形的面积，解题的关键是画出图形，掌握圆形面积公式的运用． （1）求出半径是11米的圆面积即可； （2）画出图形，由圆面积公式即可计算得到答案． 【详解】（1）解：某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”， 能够浇灌的最大面积是（平方米）， 答：能够浇灌的最大面积是平方米； （2）解：喷头可在边长为20米的正方形的四条边上自由运动，能够浇灌的最大面积如图： “自动旋转喷头”射程为12米， 米， （平方米），（平方米），正方形（平方米）， 能够浇灌的最大面积是（平方米）， 答：能够浇灌的最大面积是平方米． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26六年级上·上海浦东新·期末）圆的周长与它的直径的比值是______，用字母______表示． 【答案】 圆周率 【知识点】 求比值、 圆的概念及特点、 圆的周长 【分析】本题主要考查了比的应用，圆周长公式，熟知圆周长公式是解题的关键．根据圆周率的定义，圆的周长与直径的比值是一个常数，称为圆周率，用希腊字母表示． 【详解】解：由圆周率的定义可知，圆的周长与直径的比值叫做圆周率，用字母表示． 故答案为：圆周率，． 2．（25-26六年级下·上海宝山·期中）一个半圆形的直径是，那么它的周长是_____（π取3.14）． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】先根据圆的公式计算圆的周长，得到半圆的弧长，即可求半圆形的周长． 【详解】解：∵半圆形的直径是， ∴圆的周长为， ∴半圆形的圆弧长为 ∴半圆形的周长为． 3．（25-26六年级下·上海·期中）在一个圆形花坛上每隔厘米摆一盆花，一共摆了盆，这个圆形花坛的周长是________米． 【答案】 【知识点】 圆的周长 【分析】封闭图形上摆花，盆数等于间隔数，用间距乘间隔数可得到花坛周长，再统一单位即可． 【详解】解：（厘米）， 厘米米， ∴这个圆形花坛的周长是米． 4．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）有一个环形铁片，如下图所示：它的外圆半径是5厘米，内圆半径是3厘米．这个环形铁片的面积是______平方厘米．（取） 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】根据圆环的面积等于大圆的面积减去小圆的面积，结合公式求解即可 【详解】解：环形面积（平方厘米）． 5．（25-26六年级上·湖北黄石·期末）一台圆柱形扫地机器人底面直径为，音乐厅的柱子的直径为，这台扫地机器人绕着柱子清扫一圈，扫地机器人圆心轨迹长是_________，它扫过的面积是_________． 【答案】 【知识点】 圆的周长、圆环的面积 【分析】本题主要考查了圆的周长和面积计算，扫地机器人圆心轨迹长是一个半径为的圆的周长，它扫过的面积是外圆半径为，内圆半径为的圆环的面积，据此列式求解即可． 【详解】解：， ， ， 所以扫地机器人圆心轨迹长是，它扫过的面积是． 故答案为：；． 6.（25-26六年级上·河北邯郸·期末）校园里有一个直径是的圆形花圃，在它的周围铺一条宽为的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 【答案】 【知识点】圆环的面积 【分析】本题考查了圆环的面积，解决本题的关键是小路的面积是由外圆的面积减去内圆的面积得到． 小路的面积是环形区域，根据圆的面积公式计算外圆面积减去内圆面积得到，而外圆半径是花圃半径加上小路宽度，由此计算即可． 【详解】解：花圃直径是，因此半径是， 小路宽，因此外圆半径是， 外圆的面积为，内圆的面积为， 则小路的面积是外圆面积减内圆面积， 即， ∴小路的面积是． 7.（25-26六年级下·上海静安·期中）若扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么所对的弧长是原弧长的_______． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了弧长，设出原扇形的半径与圆心角，利用弧长公式分别得到原弧长和变化后弧长的表达式，计算变化后弧长与原弧长的比值，即可得到结果． 【详解】解：设原扇形的半径为，圆心角为， 由题意得，变化后扇形的半径为，圆心角为， 则变化后的弧长：， ． 8.（24-25六年级下·上海·期中） 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的____________． 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题考查了求弧长，解题关键是掌握弧长公式并能运用它来求解． 根据扇形弧长公式，分析圆心角和半径变化后的新弧长与原来弧长的比值． 【详解】解∶设原来扇形的圆心角为，半径为， 则弧长． 变化后，圆心角扩大为原来的2倍， 即， 半径缩短为原来的， 即． 新弧长． 因此，新弧长是原来弧长的． 故答案为：． 9．（2025·江苏·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 【答案】 【知识点】求弧长 【分析】本题主要考查了弧长计算，熟练掌握弧长公式是解题的关键．先求出摩天轮半径，再求出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【详解】解：∵最高点离水面平台的距离为，圆心O到的距离为， ∴摩天轮的半径为， ∵摩天轮匀速旋转一圈用时，轿厢从点A出发，后到达点B， ∴， ∴该轿厢所经过的路径长度为： ． 故答案为：． 10．（24-25六年级下·上海·期中）下列四个图中，阴影部分面积不等于正方形面积的的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题考查了不规则图形的面积，解题的关键是将不规则图形转化为规则图形． 借助割补法，将不规则图形转化为规则图形，对比选项分析判断即可． 【详解】解： 根据观察，结合割补法可知， 选项中阴影部分面积不等于正方形面积的，选项、、中阴影部分面积等于正方形面积的， ∴只有选项符合题意， 故选：． 11.（24-25六年级下·上海·期中）如图，分别以长方形的顶点和为圆心，作半径为4的两个圆正好分别经过、两点，若图中两块阴影部分的面积相等，则的长度是______．（结果保留） 【答案】 【知识点】 圆的面积、不规则图形的面积 【分析】本题主要考查了圆的面积计算，不规则图形的面积，设每个阴影的面积为，求出，根据，求出结果结果即可． 【详解】解：如图所示， 设每个阴影的面积为， ∵两个圆的半径为4， ∴， ∵， ∴， 解得：． 故答案为：． 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如果小圆周长比大圆周长少它的，那么大圆面积比小圆面积多几分之几？（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】比的应用、 圆的周长、 圆的面积 【分析】设大圆周长为，把小圆周长以及大圆的半径和小圆的半径表示，求出大圆面积比小圆面积多多少即可． 【详解】解：设大圆周长为，则小圆周长为， ∴大圆的半径为：，小圆的半径为：， ∴大圆的面积为：,小圆的面积为：, ∴大圆面积与小圆面积的面积差为：, ∴ ∴大圆面积比小圆面积多． 2．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如图所示，在一个边长为9厘米的正方形内有一个边长为3厘米的等边三角形（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于）、三角形沿着正方形的边作顺时针方向的滚动．当三角形第一次回到初始位置时，点经过的路程为_____厘米．（取） 【答案】 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】画出图形，得出等边三角形在正方形的一条边上滚动三次，以及点经过的路程即可． 【详解】解：由题意得：如图，等边三角形在正方形的一条边上滚动三次， 其中，点经过的路程有两部分：一部分是以等边三角形的边长为半径、圆心角等于的圆弧的长； 另一部分是以等边三角形的边长为半径、圆心角等于的圆弧的长． 则当三角形第一次回到初始位置时，点经过的路程为（厘米）． 3.（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，把一把三角尺的一边紧贴在直线l上，，，，将三角尺沿着直线l作顺时针方向的滚动．当三角尺的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．从初始位置开始至少经过______个周期，点A走过的路程就会超过10． 【答案】22 【知识点】扇形的周长和面积 【分析】本题考查了轨迹，弧长计算公式；当三角形的放置方式与初始的放置方式一样时，旋转为一个周期，点A走过的路程为以为半径和以为半径的两个扇形的弧长，据此计算即可． 【详解】解：∵三角尺的一边紧贴在直线l上，，，， ∴点A走过的路程为以为半径，圆心角为的扇形的弧长和以为半径，圆心角为的扇形的弧长， ∴三角尺旋转一个周期，点A走过的路程为， ∵，， ∴， ∴至少经过22个周期． 4.（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，已知在直角三角形中，，将三角形绕顶点A顺时针旋转（即）后得到，问： (1)图中阴影部分的周长是多少？（结果保留） (2)图中阴影部分的面积是多少？（结果保留） 【答案】(1) (2) 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】（1）根据题意求出和的长即可得到答案； （2）根据列式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， 的长为， 所以阴影部分的周长为； （2）解：由题意得，， 所以． 5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）（1）如图a，四边形是长方形，长为10，宽为6，求阴影部分的面积．（保留） （2）如图，正方形边长为2，为边的中点，求图中阴影部分面积．（正方形中过点作边的高相等） 【答案】（1）；（2）． 【知识点】不规则图形的面积 【分析】本题考查阴影部分面积计算，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据阴影部分的面积扇形的面积（矩形的面积扇形的面积）求解即可； （2）证明的面积的面积，求出的面积即可． 【详解】解：（1）阴影部分的面积扇形的面积（长方形的面积扇形的面积） ； （2）由题意，的面积的面积， ∴的面积的面积的面积的面积， ∴的面积的面积， ∵正方形中过点作边的高相等，， ∴的面积的面积， ∴的面积的面积， ∴阴影部分的面积． 6.（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，某中学的操场由一个长方形和两个半圆区域组成，其中长方形的长为直道，长度为100米．若，则绕操场跑一圈约为多少米？（取3.14，） 【答案】388.4 【知识点】比的应用、 圆的周长 【分析】根据题意可知操场两头的半圆可以组成一个圆来进行计算，那么这个跑道就可以看作是一个以为直径的圆和、组成，列式解答即可． 【详解】解：，， ． ∴绕操场跑一圈约为（米）． 答：绕操场跑一圈约为388.4米． 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2025六年级下·上海·专题练习）画图并计算． (1)在上面的正方形中画一个最大的圆． (2)计算出圆的周长． 【答案】(1)见详解 (2)厘米 【知识点】 圆的周长、 画圆及扇形 【分析】本题考查画圆、圆的概念及特点、圆的周长，熟练掌握是解答本题的关键． （1）由于正方形的边长是4厘米，画一个最大的圆，圆的直径和正方形的边长相同，也是4厘米，据此画圆即可； （2）根据圆的周长公式：，把数代入即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： ； （2）解：（厘米）， 所以圆的周长是厘米． 2．（25-26六年级下·上海·期中）某开发区的大标志牌上，要用油漆涂出如图所示（图中阴影部分）的三种标点符号：句号、逗号、问号．已知大圆半径为，小圆半径为，且，如果均匀用料，请判断哪一个标点符号的油漆用得最多，并说明理由． 【答案】问号的油漆用得最多，理由见解析 【知识点】 阴影部分的周长和面积 【分析】利用圆的面积公式分别求解三种标点符号中阴影部分面积，再比较即可． 【详解】解：问号的油漆用得最多，理由如下： 句号：； 逗号：； 问号：， 因为， 所以问号的油漆用得最多． 3.（25-26六年级下·上海·期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推得公式： ① ，并通过比较扇形面积公式与弧长公式 ② ，得出扇形面积的另一种计算方法 ③ ．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题II：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，求花坛的面积． (1)完成上述填空：①________；②________；③________，并请你解答问题I；（结果保留） (2)在解决问题II的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） 【答案】(1)；；； (2)他的猜想正确，推导过程见解析 (3) 【知识点】扇形的周长和面积、 弧、圆心角、扇形的认识 【分析】（1）根据扇形面积公式和弧长公式可得①②③处的答案；根据弧长公式求出半径R，再根据③处推导的结果可求出对应的扇形面积； （2）设大扇形的半径为R，小扇形的半径为r，圆心角度数为n，根据弧长公式可推出，则花坛的面积，进一步可得，再结合所给公式推导即可； （3）根据（2）推导的公式求解即可． 【详解】（1）解：已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推得公式：，并通过比较扇形面积公式与弧长公式，得出扇形面积的另一种计算方法． 问题I：∵， ∴， ∴； （2）解：他的猜想正确．推导如下： 解：设大扇形的半径为R，小扇形的半径为r，圆心角度数为n，则由得 ∴花坛的面积 ； （3）解：∵， ∴，， 由（2）可得，侧面展开的图形面积为： ． 4.（25-26六年级下·上海虹口·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是________米．（取） (2)如果按照方案B修，修的花坛的周长是________米．（取） (3)按照方案B修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取） 【答案】(1) (2) (3)元 【知识点】 圆的周长、工程问题(一元一次方程的应用) 【分析】（1）利用圆的周长公式求解； （2）利用圆的周长公式求解； （3）列方程求出甲的工作效率，然后列出算式求出钱数． 【详解】（1）解：（米）； （2）解：（米）； （3）解：设甲原来每小时完成米，则乙每小时完成米，根据题意得， ， 解得， ∴（元） 答：甲可以得到元钱． 5.（25-26六年级下·上海·期中）已知中国空间站沿着地球同步卫星轨道飞行，同步轨道近似为圆形、中国空间站在绕地球飞行一圈的时间、飞行速度和轨道高度等方面都与国际空间站相同，绕地球一圈的时间为90分钟，飞行速度每小时27000千米． (1)地球的半径长约为6371千米，空间站距离地球表面多少千米？（取3，结果保留整数） (2)有人说空间站运行一天（24小时）相当于从地球往返月球一次，你觉得这种说法正确吗？请说明理由．（地球到月球的距离约为38.4万千米） 【答案】(1)空间站距离地球表面379千米 (2)这种说法不正确．因为空间站运行一天的路程小于从地球往返月球一次的路程 【知识点】单位的认识和换算、 圆的周长、有理数乘法的实际应用 【分析】（1）先求出空间站的周长，再求出空间站的半径，然后减去地球的半径即可求出空间站距离地球的距离． （2）分别求出空间站运行一天的距离和从地球往返月球一次的距离，相比即可求出答案． 【详解】（1）解：(小时) (千米) (千米) (千米) 答∶空间站距离地球表面379千米． （2）解：(千米) 万千米(千米) (千米) 答∶这种说法不正确．因为空间站运行一天的路程小于从地球往返月球一次的路程． 6．（25-26六年级下·上海·期中）请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮，前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进，变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，后轮直径厘米． (1)计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿________． 若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)小明想在上坡时调到最省力的齿轮组合，应选择前齿轮齿数为________，后齿轮齿数为________；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动________圈． 小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明每分钟蹬多少圈？ 【答案】(1)；符合条件的齿轮组合是前齿轮齿数为，后齿轮齿数为； (2)，，；自行车每小时行驶的最大距离是； (3)小明每分钟蹬圈． 【知识点】比的应用、 圆的周长、方案选择(一元一次方程的应用)、其他问题(一元一次方程的应用) 【分析】（）根据题意化简比，即可求解； 根据比的性质求出组合，根据比例式验证，即可求解； （）根据传动比越小越省力，传动比前齿轮齿数后齿轮齿数，所以选最小前齿轮、最大后齿轮：即前齿轮齿，后齿轮齿； 要行驶距离最大，需选最大传动比，即前齿轮齿，后齿轮齿，则最大传动比为，从而求解； （）先转化单位，设小明每分钟蹬圈，则一小时后轮总转数为，根据题意得，然后解方程即可． 【详解】（1）解：前齿轮齿后齿轮齿， 故答案为：； ∵传动比为， ∴前齿轮齿数后齿轮齿数， 当前齿轮齿数为齿时，，不符合题意； 当前齿轮齿数为齿时，，后齿轮齿数存在，符合题意； 验证：， ∴符合条件的齿轮组合是前齿轮齿数为，后齿轮齿数为； （2）解：因为传动比越小越省力，传动比前齿轮齿数后齿轮齿数， 所以选最小前齿轮、最大后齿轮：即前齿轮齿，后齿轮齿，蹬圈脚踏，前齿轮转圈，后轮转动圈数（圈）， 故答案为：，，； 要行驶距离最大，需选最大传动比，即前齿轮齿，后齿轮齿， ∴最大传动比为， ∵后轮直径，后轮周长， 小时共蹬脚踏：（圈），后轮总转数：（圈）， 总路程：， 答：自行车每小时行驶的最大距离是； （3）解：， 设小明每分钟蹬圈，则一小时后轮总转数为， 根据题意得：， 解得：， 答：小明每分钟蹬圈． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 圆和扇形（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考情 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 圆的周长与面积的基本计算 题型02 圆环的面积 题型03 扇形的弧长与面积 题型04 不规则组合图形面积（阴影部分） 题型05 圆的周长与面积的实际应用（综合） 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 圆的周长 能熟练运用 或 求周长，会求直径或半径 基础必考点，常以填空、选择或简单计算题出现。注意 的取值（3.14或保留 ） 圆的面积 能熟练运用 求面积，能根据周长求面积 高频考点，常与扇形、组合图形结合。易错点：混淆半径与直径 圆环的面积 能求圆环的面积，公式 常见于组合图形，注意分清外圆半径和内圆半径 扇形的认识 理解扇形圆心角、弧的概念，能判断扇形 基础知识点，常结合面积、弧长考查 扇形的弧长 能熟练运用 求弧长 常与周长、面积综合，注意弧长是圆周长的一部分 扇形的面积 能熟练运用 或 求扇形面积 期末必考重点，常与三角形、矩形等组合成不规则图形 不规则组合图形面积 能运用割补法、整体减空白法求阴影部分面积 压轴题型，需要灵活转化图形，考查综合能力 知识点01 圆的周长 1.圆的周长公式 周长 （ 为直径） 周长 （ 为半径） 其中，圆周率 是一个无限不循环小数，计算中通常取 ，或按要求保留 。 2．直径与半径的关系 ， ·示例：已知圆的半径为5cm，周长 cm。 ·易错点：已知直径求周长时，直接 ，不要误用半径。 题目若要求保留 ，则 cm，不要写小数。 知识点02 圆的面积 1．圆的面积公式 面积 （ 为半径） 2．已知直径求面积 先求半径 ，再代入公式。 3．已知周长求面积 先求半径 ，再求面积。 ·示例：圆的直径为8cm，则半径 cm，面积 cm² ·易错点：面积公式中是半径的平方，不是直径的平方。常见错误：直接用直径平方计算。  知识点03 圆环的面积 圆环是大圆挖去小圆后剩余的部分。 外圆半径 ，内圆半径 （） 圆环面积 ·示例：外圆半径10cm，内圆半径6cm，圆环面积 cm² ·易错点：注意区分外圆半径和内圆半径，不要用直径直接代入平方差公式。 知识点04 扇形 1．扇形的定义 一条弧和经过这条弧两端的两条半径所围成的图形叫做扇形。其中圆心角为 。 2．扇形弧长公式 3．扇形面积公式 方法一（利用圆心角）： 方法二（利用弧长）： 示例：半径为6cm，圆心角为60°的扇形 弧长 cm 面积 cm² ·易错点：圆心角 不带单位，是度数；弧长和面积公式中 不要忘记；利用弧长求面积时， 和 单位必须一致。 知识点05 不规则组合图形面积（阴影部分） 常用方法： 方法 适用情况 操作步骤 割补法 图形由可分割拼接的规则图形组成 将阴影部分分割成若干规则图形（圆、扇形、三角形、矩形等），分别求面积后相加 整体减空白法 阴影部分形状不规则，但整体和空白部分规则 总面积减去空白部分面积，得到阴影面积 等积变形法 图形可平移、旋转重合 利用图形变换，将阴影转化为规则图形 ·示例：正方形中画一个最大的圆，求圆外四个角的阴影面积。 ·解法：正方形面积减圆面积。 ·易错点：割补时要保证不重不漏；整体减空白时，空白部分必须是规则图形且易求。 题型一 圆的周长与面积的基本计算 解｜题｜技｜巧 已知条件 求周长步骤 求面积步骤 半径 直径 ，再求 周长 – ，再求 易｜错｜点｜拨 易错点拨：注意题目要求，若要求保留 ，则结果中保留 符号，不要化为小数。 【典例1】（25-26六年级下·上海普陀·期中）下列说法中错误的是（    ） A．一个圆的大小与它的半径有关 B．是无限不循环小数 C． D．是圆的周长与它的直径的比值 【典例2】（25-26六年级下·上海·期中）将一个圆的半径改变为原来的，则圆的周长会变为原来的（    ） A．不变 B． C． D． 【典例3】（25-26六年级下·上海·期中）如图，把一个圆分成若干（偶数）等份，剪开后，用这些近似等腰三角形的小纸片拼成一个近似的平行四边形，新图形的周长比圆的周长多10厘米，则这个圆的周长是___________米（取）． 【变式1】（25-26六年级下·上海虹口·期中）下列说法错误的是（） A．周长相等的两个圆半径一定相等 B．弧长相等的两条弧，所对的圆心角也一定相等 C．圆周长与该圆半径的比值是定值 D．圆周率π的值与圆的大小无关 【变式2】（25-26六年级下·上海宝山·期中）若两个圆的半径之比为，那么它们的面积之比为（   ） A． B． C． D． 【变式3】（25-26六年级下·上海青浦·期中）要在周长为的圆形花坛外围一条宽的环形大理石道路．如果每平方米大理石需要200元，那么至少要准备多少资金？（取） 【变式4】（25-26六年级下·上海宝山·期中）在一张长为5厘米，宽为4厘米的长方形纸片上，剪一个最大的圆，此圆的面积是____平方厘米． 【变式5】（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图，一个圆剪拼成一个近似梯形，这个梯形的周长是厘米，则圆的面积是_______平方厘米（取）． 题型二 圆环的面积 解｜题｜技｜巧 直接公式 ，关键找对外圆半径 和内圆半径 。 【典例1】（25-26六年级下·上海闵行·期中）在研究圆环面积时，可以借助研究圆面积公式时所用的方法，将圆环无限等分，拼成一个平行四边形，若圆环的外圆半径为，小圆半径为，则如图所示平行四边形的底边可以表示为（    ） A． B． C． D． 【典例2】（25-26六年级下·上海·期中）如图所示，一个环形铁片的外圆半径是，内圆半径是．则它的面积是______ ．（π取） 【典例3】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）定义：分别以等边三角形（等边三角形的三边都相等，三个内角都是）的顶点为圆心，以其边长为半径作圆弧，由这三段圆弧组成的封闭图形称为“莱洛三角形”． (1)如图1，若等边的“莱洛三角形”的周长为，求这个等边的周长（取3.14）； (2)如图2，在第（1）题的条件下，在上有一个直径为的圆保持不动，圆紧贴的外侧边滚动一周，求圆心经过的路径长（结果保留）； (3)如图3，在第（1）题的条件下，“莱洛三角形”上有一个半径为的圆．“莱洛三角形”保持不动，圆紧贴“莱洛三角形”的外侧滚动一周，画出图形并求圆所扫过区域的面积（结果保留）． 【典例4】（25-26六年级下·上海·期中）某社区进行“幸福社区改造项目”．现有一个直径是20米的圆形活动广场，社区计划在广场外围修一条宽1米的环形健身步道． (1)这条健身步道的面积是多少平方米？（π取3.14） (2)如果每平方米需要铺设地砖12块，铺设这条健身步道一共需要多少块地砖？ 【变式1】（25-26六年级下·上海闵行·期中）已知一个圆形的喷泉，喷水区域的直径为8米，在喷泉外围要铺一条1米宽的鹅卵石小路，则这条小路的占地面积是_______平方米． 【变式2】（25-26六年级下·上海普陀·月考）一个圆环的内直径是，圆环的宽度是，这个圆环的面积是_____．（结果保留） 【变式3】（2026六年级下·上海·专题练习）三个圆的周长比为，三个圆的圆心在同一点上，如图所示，那么阴影部分面积与空白部分面积的比值为_______． 【变式4】（25-26六年级下·上海阶段测）芳芳家门口有一个圆形水池，水池直径是2米，现在水池周围修一条宽米的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 题型三 扇形的弧长与面积 解｜题｜技｜巧 弧长公式： 面积公式： 或 答｜题｜步｜骤 1.明确扇形半径 和圆心角 。 2.代入公式计算，注意 约分简化计算。 3.按要求保留 或取近似值。 【典例1】（25-26六年级下·上海黄浦·期中）下列语句正确的是（    ） A．弧所在的圆的半径越大，则弧越长 B．弧对应的圆心角越大，则弧越长 C．圆的半径扩大倍，圆心角不变，则对应的扇形面积扩大倍 D．圆的半径不变，圆心角扩大倍，则对应的扇形面积扩大倍 【典例2】（25-26九年级上·云南·月考）如图，用半径为，圆心角为的扇形纸板，做一个圆锥形的生日帽，在不考虑接缝的情况下，这个圆锥形生日帽的底面圆的周长是（    ） A． B． C． D． 【典例3】（25-26六年级下·上海·期中）小明测得自家圆形时钟分针针尖到圆心的距离为，则经过25分钟，分针针尖所扫过的面积是（   ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26六年级下·上海·期中）如图，在正方形格点图中，每个小正方形边长为1，四边形是正方形，曲线叫做“正方形的渐开线”，其中弧，弧，弧，弧，…的圆心依次按，，循环，当时，弧的长为___________． 如图，四边形是正方形，曲线叫作“正方形的渐开线”，其中， 【变式1】（25-26六年级下·上海金山·月考）若扇形的圆心角扩大为原来的3倍，半径是原来的，则扇形弧长为原来的（   ） A． B． C．3倍 D．1倍 【变式2】（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，用一个滑轮和一个半径为的滑轮组成一个滑轮组用来拉重物上升，如果滑轮旋转了，假设钢绳粗细不计并都铅直于地面，且与滑轮之间没有滑动，则重物上升了__________．（结果保留） 【变式3】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，草原上有一个长方形的建筑物，长是2米，宽是1米，一只羊被拴在这个长方形建筑物的长边中点上，已知拴羊的绳子长为3米，这只羊能吃到草的总面积是___________平方米．（结果保留） 【变式4】（24-25六年级下·上海闵行·期末）第19届杭州亚运会会徽如图1所示，名为“潮涌”，展现了浙江杭州山水城市的自然特质，也寓意着勇立潮头的精神风貌．其主体部分可以看成如图2的几何图形，小明测量得，，．求图2中的阴影部分的周长为多少厘米？（结果保留） 题型四 不规则组合图形面积（阴影部分） 解｜题｜技｜巧 常见图形 方法 关键点 圆内接正方形（外方内圆） 整体减空白 正方形面积减圆面积 正方形内切圆（外圆内方） 整体减空白 圆面积减正方形面积 多个扇形拼接 割补法 扇形可拼成规则图形 环形阴影 圆环面积 大扇形减小扇形 易｜错｜点｜拨 割补时要保证割下的部分恰好补到空白处，不要重叠或遗漏。 【典例1】（25-26六年级下·上海·期中）下面有四个图形，正方形大小相等，与左边阴影部分面积相等的有几张图片（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【典例2】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，，长40厘米，阴影a的面积比阴影b的面积多28平方厘米，则（   ）厘米． A．15 B．30 C．124.9 D．249.8 【典例3】（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如图，正方形的边长是6，求阴影部分的面积．（结果保留） 【变式1】（25-26六年级下·上海·期中）按要求解答下列各题：取3.14 (1)求下图阴影部分的周长； (2)求下图阴影部分的面积． 【变式2】（25-26六年级下·上海杨浦·期中）已知扇形的圆心角，半径，现分别以的中点为圆心，2为半径画半圆成如图所示阴影部分，求阴影部分的周长和面积．（结果保留） 【变式3】（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，已知正方形边长为2，求阴影部分周长及面积．（取3.14） 【变式4】（25-26六年级下·上海嘉定·期中）如图所示，大正方形的边长为，小正方形的边长为，扇形、扇形的圆心分别为点C和点F，半径分别为和，点E、点G分别在边和上．求阴影部分的面积．（取3.14） 题型五 圆的周长与面积的实际应用（综合） 解｜题｜技｜巧 实际应用题通常涉及车轮转动、圆形花坛、钟表指针扫过的面积等。关键是建立几何模型，转化为圆或扇形的周长、面积问题。 常｜用｜公｜式 车轮滚动距离 = 车轮周长 × 转动圈数 分针/时针针尖走过路径长度 = 弧长 分针扫过的面积 = 扇形面积 【典例1】（25-26六年级下·上海闵行·期中）钟面上的数学 【基本概念】钟面角是指时钟的时针与分针所成的角．如图1，即为某一时刻的钟面角（时针用表示，分针用表示），时针长度为，分针长度为．一般地，钟面角（）的时针和分针绕点O一直沿着顺时针方向旋转． 由此可知： (1)时针每分钟转动________，分针每分钟转动________；八点时，时针和分针形成的钟面角为________． (2)【深入探究】 如果钟面显示时间为，那么在之前，经过了多少分钟，分针针尖所走过的弧长比时针针尖所走过的弧长多？ (3)【实际应用】 为了研究钟面角，小明观察教室墙上的钟面．但由于电池电量较低，教室里的时钟的时针和分针比正常的钟走得要慢（但仍保持匀速转动）．小明发现第一节课的上课时间应该为，但上课铃响时，钟面显示时间为；第一节课的下课铃响时，钟面显示时间为．（已知一节课实际时长为40分钟） 求该慢钟的转动速度与正常钟的速度之比． (4)从慢钟显示时间为开始，经过一段时间后，慢钟的分针针尖扫过的扇形面积比时针针尖扫过的扇形面积大，求实际经过的时间（结果精确到0.1分钟）． 【典例2】（25-26六年级下·上海金山·月考）春节期间亲戚来访，爸爸让小梁到便利店买罐易拉罐饮料，营业员将罐易拉罐捆扎在一起（接口不计），中间形成一个正方形，如图所示，且易拉罐的直径为厘米，那么捆圈至少用绳子多少厘米？ 【典例3】（24-25六年级下·上海嘉定·期末）请根据材料完成如下三个任务： 扫地机器人的清洁场景 素材1 如图1，某智能扫地机器人通过机身圆形底盘进行清扫，机身上凸起的圆形激光发射器可发射激光实现定位和避障．示意图如图2，大圆代表扫地机器人，内部的小圆代表激光发射器．已知激光发射器的半径是2厘米，且机身圆型底盘面积是激光发射器面积的100倍．    素材2 扫地机器人因圆形底盘设计，在一些转角处会产生一部分无法清扫区域，这一部分被称为物理清扫盲区，如图3中的阴影部分．    问题解决： 任务1计算该扫地机器人机身圆型底盘半径为__________厘米． 任务2 某空置房间尺寸如图4，请计算此房间该扫地机器人的物理清扫盲区的面积共为_____平方厘米（结果保留）．    任务3 如果在这个房间摆放一台冰箱和一个花盆，位置如图5所示，冰箱和花盆底部都是直接接触地面，扫地机器人无法进入．冰箱底面可看作是长为1米、宽为0.8米的长方形，花盆底面可看作是圆形，半径与扫地机器人底盘半径相同．请计算此时扫地机器人无法清扫到的面积是______平方厘米（结果保留）．    【典例4】（24-25六年级下·上海·期末）2023年，中国成功发射了“巡天”空间望远镜，该望远镜与天宫空间站共轨飞行，协同完成宇宙观测任务．已知巡天望远镜的轨道高度距地面约，运行轨道近似为圆形，绕地球一周约需95分钟．地球半径约为，求巡天望远镜的绕行速度．（π取3，结果精确到） 【典例5】（24-25六年级下·上海宝山·期中）拖拉机是一种现代农业常用的一种生产工具，如图1所示，为了在生产中提供更好的机动性能和可靠性，拖拉机的两个前轮一般会小于两个后轮.如图2，现有一辆拖拉机模型，已知前轮直径是24厘米，后轮直径是60厘米． (1)如果拖拉机模型向前行驶米，那么它的一个后轮滚动了多少圈？ (2)拖拉机前轮小的设计方便了拖拉机爬台阶，如图3所示，有一个高15厘米的台阶，求拖拉机模型的前轮从贴着台阶开始，到爬上台阶以后车轮完全经过台阶沿（图3所示的起点和终点），这一过程中前轮扫过的面积是多少平方厘米?（结果保留） 【典例6】（24-25六年级下·上海杨浦·期中）综合与实践： 【问题背景】如图1所示，齿轮是机械钟表的主要零件，他们通常以两个或者多个为一组，一个轴上的齿轮的齿与另一个轴上齿轮的齿啮（niè）合（两个机械构件的一种传动关系）．如图2所示，当一个齿轮旋转时，会带动另一个齿轮旋转． 【操作观察】观察图2，顺时针转动大齿轮A，观察大、小齿轮的旋转方向及速度，并填写表格． 齿轮 齿数（） 方向（填“顺时针”或“逆时针”） 速度 大齿轮A 顺时针 慢 小齿轮B ___①___ 快 【计算思考】 （1）通过操作，我们发现大齿轮带动小齿轮——小齿轮___②___（填“加速”或“降速”），两齿轮转动方向相反； （2）我们知道齿数与转动速度和转动圈数的关系因相互啮合的两个齿轮在旋转过程中重合的齿数必须相等，如果大齿轮A每分钟转动180圈，那么小齿轮B每分钟转动___③___圈． （3）探究三个齿轮啮合的效果： 在（2）的情况下，在小齿轮B的右侧增加一个齿轮C，使得这个齿轮组合可使齿轮C的转速为175圈/分钟，那么齿轮C的齿数是___④___，齿轮C的方向是___⑤___． 【拓展应用】如图3所示，小明有一辆前后车轮直径都是的自行车，图4是图3中自行车齿轮的局部放大图，这辆自行车的前齿轮的齿数为48，后齿轮的齿数为18． 小明发现可以利用自行车的行进原理估算自己的行进路程，自行车的行进原理和小明的估算方法如下： 小明每踩一圈脚蹬，与脚蹬相连的前齿轮就转动一圈，而前齿轮的转动会通过链条带动后齿轮的转动，那么后齿轮相应的转动___⑥___圈，也就是后车轮的转动圈数． 通过计算可以得到每踩一圈脚蹬，后车轮就前进___⑦___m，这样只要数清楚自己踩了几圈脚蹬就能知道行进的路程了． 【变式1】（25-26六年级下·上海·期中）最近在学习圆相关的知识，老师让同学们思考一个问题：为什么车轮一般要设计成圆形？经过查阅资料，A组同学发现：在图形的运动中，圆形的车轮在滚动时，能使车轴与地面的距离始终保持不变，不会产生颠簸，而且能更顺畅的改变方向等等．于是，A组同学思考如下问题：（本题最终结果保留） (1)已知线段，一个半径长为1的圆，沿着滚动，组内同学经过讨论，画出了圆的运动过程的图形，如图1所示．则圆扫过的面积是 ． (2)如图2，已知线段，，，一个半径长为的圆沿着的内侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． (3)如图3，已知线段，，，一个半径长为1的圆沿着的外侧滚动，求该圆滚动过程中所扫过的面积． 【变式2】（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，某中学的操场由一个长方形和两个半圆区域组成，其中长方形的长为直道，长度为100米．若，则绕操场跑一圈约为多少米？（取3.14，） 【变式3】（25-26六年级下·上海·期中）一个底面是圆形的扫地机器人紧贴一块地毯边缘行进一周．如图，这块地毯的两端是半圆形，中间是长方形，求扫地机器人的底面圆心走过的路线长多少分米？（扫地机器人圆形底面的半径是1分米）（取3.14） 【变式4】（24-25六年级下·上海徐汇·期末）中国邮政集团公司曾发行《二十四节气》特殊版式小全张（图1），上面绘制了代表二十四气风貌的图案，这24枚大小相同的邮票组成了一个圆环，以“夏至”节气单枚邮票为例（图2），该邮票的“下圆弧”的长为，“直边”的长为．求单枚邮票的面积（取）． 【变式5】（24-25六年级下·上海金山·阶段检测）在浇灌草坪时，园艺工人常使用一种名为“自动旋转喷头”的装置，它可以向四周“360度无死角地”喷射出“均匀精细”的水珠，但喷射的最大距离（即射程）有一定的限制． (1)选择某一固定位置安装一个射程为12米的“自动旋转喷头”，能够浇灌的最大面积是多少平方米？ (2)如果设计如图的正方形轨道，使射程为12米的喷头可在正方形的四条边上自由运动，那么能够浇灌的最大面积是多少平方米？ 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1.（25-26六年级上·上海浦东新·期末）圆的周长与它的直径的比值是______，用字母______表示． 2．（25-26六年级下·上海宝山·期中）一个半圆形的直径是，那么它的周长是_____（π取3.14）． 3．（25-26六年级下·上海·期中）在一个圆形花坛上每隔厘米摆一盆花，一共摆了盆，这个圆形花坛的周长是________米． 4．（25-26六年级下·黑龙江哈尔滨·开学考试）有一个环形铁片，如下图所示：它的外圆半径是5厘米，内圆半径是3厘米．这个环形铁片的面积是______平方厘米．（取） 5．（25-26六年级上·湖北黄石·期末）一台圆柱形扫地机器人底面直径为，音乐厅的柱子的直径为，这台扫地机器人绕着柱子清扫一圈，扫地机器人圆心轨迹长是_________，它扫过的面积是_________． 6.（25-26六年级上·河北邯郸·期末）校园里有一个直径是的圆形花圃，在它的周围铺一条宽为的小路，这条小路的面积是多少平方米？ 7.（25-26六年级下·上海静安·期中）若扇形的半径扩大为原来的2倍，圆心角缩小为原来的，那么所对的弧长是原弧长的_______． 8.（24-25六年级下·上海·期中） 如果扇形的圆心角扩大为原来的2倍，半径缩短为原来的，那么这个扇形的弧长是原来的____________． 9．（2025·江苏·中考真题）“苏州之眼”摩天轮是亚洲最大的水上摩天轮，共设有28个回转式太空舱全景轿厢，其示意图如图所示．该摩天轮高（即最高点离水面平台的距离），圆心O到的距离为，摩天轮匀速旋转一圈用时．某轿厢从点A出发，后到达点B，此过程中，该轿厢所经过的路径（即）长度为________．（结果保留） 10．（24-25六年级下·上海·期中）下列四个图中，阴影部分面积不等于正方形面积的的是（   ） A． B． C． D． 11.（24-25六年级下·上海·期中）如图，分别以长方形的顶点和为圆心，作半径为4的两个圆正好分别经过、两点，若图中两块阴影部分的面积相等，则的长度是______．（结果保留） 期末重难突破练（测试时间：10分钟） 1.（25-26六年级下·上海浦东新·期中）如果小圆周长比大圆周长少它的，那么大圆面积比小圆面积多几分之几？（   ） A． B． C． D． 2．（25-26六年级下·上海普陀·期中）如图所示，在一个边长为9厘米的正方形内有一个边长为3厘米的等边三角形（等边三角形的三条边相等，三个内角都等于）、三角形沿着正方形的边作顺时针方向的滚动．当三角形第一次回到初始位置时，点经过的路程为_____厘米．（取） 3.（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，把一把三角尺的一边紧贴在直线l上，，，，将三角尺沿着直线l作顺时针方向的滚动．当三角尺的放置方式与初始的放置方式一样，我们称这样的旋转为一个周期．从初始位置开始至少经过______个周期，点A走过的路程就会超过10． 4.（25-26六年级下·上海杨浦·期中）如图，已知在直角三角形中，，将三角形绕顶点A顺时针旋转（即）后得到，问： (1)图中阴影部分的周长是多少？（结果保留） (2)图中阴影部分的面积是多少？（结果保留） 5．（24-25六年级下·上海闵行·期末）（1）如图a，四边形是长方形，长为10，宽为6，求阴影部分的面积．（保留） （2）如图，正方形边长为2，为边的中点，求图中阴影部分面积．（正方形中过点作边的高相等） 6.（25-26六年级下·上海黄浦·期中）如图，某中学的操场由一个长方形和两个半圆区域组成，其中长方形的长为直道，长度为100米．若，则绕操场跑一圈约为多少米？（取3.14，） 期末综合拓展练（测试时间：15分钟） 1.（2025六年级下·上海·专题练习）画图并计算． (1)在上面的正方形中画一个最大的圆． (2)计算出圆的周长． 2．（25-26六年级下·上海·期中）某开发区的大标志牌上，要用油漆涂出如图所示（图中阴影部分）的三种标点符号：句号、逗号、问号．已知大圆半径为，小圆半径为，且，如果均匀用料，请判断哪一个标点符号的油漆用得最多，并说明理由． 3.（25-26六年级下·上海·期中）在学习扇形的面积公式时，已知圆心角和扇形所在圆的半径，可以推得公式： ① ，并通过比较扇形面积公式与弧长公式 ② ，得出扇形面积的另一种计算方法 ③ ．请解决下列问题： 问题I：求弧长为，圆心角为的扇形面积． 问题II：某小区设计的花坛形状如图1中的阴影部分，已知和所在圆心都是点，弧的长为，弧的长为，求花坛的面积． (1)完成上述填空：①________；②________；③________，并请你解答问题I；（结果保留） (2)在解决问题II的过程中，有位同学发现扇形面积公式③类似于三角形面积公式：类比梯形面积公式，他猜想花坛的面积．他的猜想正确吗？如果正确，写出推导过程；如果不正确，请说明理由．（参考公式：） (3)乙同学发现平时所用的一次性纸杯（如图2）的侧面展开的大致图形如图3所示，经测量（如图2）杯口直径，杯底直径，杯壁，若忽略纸杯的连接部分和纸杯的厚度，请求出其在图3中其侧面展开的图形面积．（结果保留） 4.（25-26六年级下·上海虹口·期中）上海某中学原计划在一个直径为30米的圆形场地内修建圆形花坛（花坛指的是图中实线部分），为使花坛修得更加美观、有特色，决定向全校征集方案，在众多方案中最后选出三种方案： 方案A：如图1所示，先画一条直径，再分别以两条半径为直径修两个圆形花坛； 方案B：如图2所示，先画一条直径，然后在直径上取一点，把直径分成的两部分，再以这两条线段为直径修两个圆形花坛； (1)如果按照方案A修，修的花坛的周长是________米．（取） (2)如果按照方案B修，修的花坛的周长是________米．（取） (3)按照方案B修，学校要求在8小时内完成，甲工人承包了此项工程，他做了4小时后，发现不能完成任务，就请乙来帮忙，乙的效率是甲的，乙加入后，甲的效率也提高了，结果正好按时完成任务，若修1米花坛可得到20元钱，修完花坛后，甲可以得到多少钱？（取） 5.（25-26六年级下·上海·期中）已知中国空间站沿着地球同步卫星轨道飞行，同步轨道近似为圆形、中国空间站在绕地球飞行一圈的时间、飞行速度和轨道高度等方面都与国际空间站相同，绕地球一圈的时间为90分钟，飞行速度每小时27000千米． (1)地球的半径长约为6371千米，空间站距离地球表面多少千米？（取3，结果保留整数） (2)有人说空间站运行一天（24小时）相当于从地球往返月球一次，你觉得这种说法正确吗？请说明理由．（地球到月球的距离约为38.4万千米） 6．（25-26六年级下·上海·期中）请阅读材料，并完成下列问题： 材料一：如今，骑自行车作为一种广受欢迎的健身方式变得越来越流行．你知道吗，自行车一般通过链条带动，链条连接前后齿轮，前齿轮与脚踏相连，骑行者踩动脚踏一圈，前齿轮随其一并转动一圈；后齿轮与后轮相连，后齿轮转动一周，后轮也将转动一周，并通过后轮转动带动自行车前进，变速自行车在前齿轮盘和后齿轮盘上往往具有多个齿数不同的齿轮，通过前后齿轮的不同组合改变骑行效果． 材料二：“传动比”指前齿轮齿数与后齿轮齿数的比（传动比前齿轮齿数后齿轮齿数）．传动比越大，脚踏每蹬圈，后轮转动圈数越多，速度越快但费力；传动比越小越省力． 已知小明的自行车前齿轮齿数为，后齿轮齿数为，后轮直径厘米． (1)计算传送比：前齿轮齿后齿轮齿________． 若要使传动比为，请找出所有可能的齿轮组合，并用比例式验证． (2)小明想在上坡时调到最省力的齿轮组合，应选择前齿轮齿数为________，后齿轮齿数为________；并计算此时踏脚蹬一圈，后轮转动________圈． 小明以每分钟圈的速度蹬踏脚，使用不同的齿轮组合时，自行车每小时行驶的最大距离是多少千米？（结果保留） (3)若想保持时速千米，使用传动比时，小明每分钟蹬多少圈？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $