甘肃白银市第一中学等校2025-2026学年高一下学期4月联考数学试题

高一数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在 答题卡上。写在本试卷上无效。 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 4.本试卷主要考试内容：湘教版必修第二册第一章至第二章2.2。 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的， 1.sin137°cos66°-cos137°sin66°= A.sin 23 B.-sin 23 C.sin71° D.-sin 71 2.已知平面向量a=(1,3),b=(2,2),则向量a在b上的投影向量为 A.b B.b 3.已知e1,e2是两个不共线的单位向量，a=e1十2e2,b=一3e1十ke2,若a与b共线，则k= c A.6 B.-6 D.一2 4.若三角形三条边的长度分别为2,2025,2026，则该三角形是 A.直角三角形 B.钝角三角形 C.锐角三角形 D.不能确定的 5.若sina-cosa= 7 ,则sin2a= A.、18 49 Bi C.、36 49 D.is 6.如图，在平行四边形ABCD中，E,F分别是线段CD,BE的中点，则A户= Aa破+号aò E B号A店+3A市 Ca破-号动 na店-市 【高一数学第1页（共4页）】 ·26-335A· 7.如图，某测量小组为测量某塔的总高度AB,选取与塔底B在同一水平面内的两个测量点C 与D,现测得∠BCD=15°，∠BDC=45°，CD=20米，在C点测得塔顶A的仰角为60°，则塔 的总高度为 A.20√2米 B.20√3米 C.10√6米 D.206米 8.已知tan atan Bi=m(m2≠1)，cos(a十3)=n,则cos(a-3)= A.八m B.九十mn m+1 m+1 c 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.下列关于平面向量的说法正确的是 A.零向量没有方向 B.平行向量一定是共线向量 C.两个单位向量的和一定不是单位向量 D.若a,b是不共线向量，则向量a,b都是非零向量 l0.已知a是第二象限角，且tana=一 则 A.sin a=5 B.cos a=- √5 3 C.√1-cos2a= W10 2√2 D.√cos2a+1= 3 3 11.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,下列各组条件中，使得△ABC恰有一个 解的是 AA=5c=2a=1.9 BA=5c=2,a=5 C.A=5c=2,a=1 DA=5c=2a=2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.已知△ABC的内角A的对边为a,且a=2,sinA=号，则△ABC外接圆的面积 为▲ l3.若tana,-tanB是方程x2十6x-7=0的两个根，则tan(a一B)= 14.已知向量a,b满足|2a+b|=√13，a-4b1=√J10,当|b|在变化时，10a2+28a·b+λb 为定值，则常数A=▲ 【高一数学第2页（共4页）】 ·26-335A· 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且B+C=5A,bc=3W3. (1)求△ABC的面积： (2)若b+c=3十√3，求△ABC的周长. 16.(15分) 已知点A(0,0),B(2,1),C(m,5). (1)若A,B,C三点共线，求m的值； (2)若m=0,BP=AB+AC,求点P的坐标： (3)若AB1=AC1,求m的值， 17.(15分) (1)若3sina=-cosa,求tan2a,tan3a的值； （②若ms。-爱）-25，且-吾a<营求om(2a-引s2a的值 【高一数学第3页（共4页）】 ·26-335A· 18.(17分) 记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且c=2 bcos A+b. (1)证明：A=2B. (2)若b=√3，A的角平分线交BC于D,且AD=2,求a. 19.(17分) 如图，在矩形ABCD中，点E,F分别在边DC,BC上运动，且∠EAF=否，AD=1, AB=5」 I)若∠BAF=否，求A忘· (2)记∠BAF=a,阴影部分的面积为S. (ⅰ)将阴影部分的面积S表示成关于α的函数关系式，并求出定义域； (iⅱ)求出S的最大值. 【高一数学第4页（共4页）】 ·26-335A·高一数学参考答案 1.Csin137cos66°-cos137°sin66°=sin(137°-66)=sin71°. 2A向最a在6上的投影向放为冷·合-b 3.B因为a与b共线，所以b=xa,所以-3e1十e:=A(e1十2e,)所以仁3=x, k=2入， 解得k=一6. 4.B长度为2026的边所对的角最大，其余弦值 2+20252-2026<0,故该三角形为钝角 2×2×2025 三角形 5.D将sina-cosa= √13 13 7两边平方，得sna-2 sin acos a+cos2a二8，得1一sin2a6所 36 以sin2a= 491 6.A连接AB(图略).因为E是线段CD的中点，所以DE=号DC=号A店，则A正=A心+ D成=Ad+号A因为F是线段BE的中点，所以A-=号A店+2A花-A店+Ad m n CD BC 7.A设AB=m米，则BC= amn60-后在△BCD中，sn120=m45·解得m=20,2. m≠士1， cos acos B-1-m n 8.D由题意可得tan atan B= sin asin B =n, 则 故cos(a一B)= cos acos B sin asin B-1-m" mn cos(a十B)=cos acos B-sin asinβ=n, m_n十nm cos acos B+sin asin B=1-m1-m 1-m 9.BD由向量的定义可知A错误.由平行向量的定义可知平行向量一定是共线向量，B正确 当两个单位向量的夹角为120°时，这两个单位向量的和还是单位向量，C错误.因为零向量与 任何向量平行，所以当a,b是不共线向量时，向量a,b都是非零向量，D正确. 10.ACD因为 tan a= 5 2 cos a 2`且e是第二象限角，所以sna=号0sa=一子A正 sin a+cos a=1, 确，B错误 -osa=V1-1-2sna=21sima=,C正确 Vcos 2aFI-V2cOsa-1+1-/2Icos al-2/2 3,D正确 【高一数学·参考答案第1页（共4页）】 ·26-335A· 11.BD因为△ABC恰有一个解，所以a=csin A=√3或a≥c=2,B,D均符合题意 12. 设△ABC外接圆的半径为R,由正弦定理A=2R,得R=2品A=号，所以△ABC 3 外接圆的面积为πR?=9 3 tana十(-tanβ)=-6， 13.- /tana-tanβ=-6， 4 由题意得 得 所以tan(a-β)= tana·(-tanβ)=-7， tan atan B=7, tana-tanβ l+tan atanβ 4 14.-29由2a+b|=√13，得4a2+b2+4a·b=13(1),由a-4b|=√/10，得a2+16b2-8a· b=10(2),由(1)(2)得，a2=4-2b2,4a·b=-3+7b2,则10a2+28a·b十b2=10(4-2b2) +7(-3+7b2)+b2=19+(29+λ)b2=19+(29+λ)|b|2, 因为当|b|在变化时，10a2+28a·b+入b2为定值，所以29+1=0，即1=一29. 15.解：1)因为A+B十C=6A=x,所以A=晋 …3分 故△ABC的面积为2 sin=3y3 4 6分 (2)(方法一)由 +c=3+5得6=3或6=5 或《 …8分 bc=33, c=3c=3. 由余弦定理a2=b+c2-26 ecosA,得a2=3+9-2X3X,5×5 2 =3,…11分 得a=√3. 12分 故△ABC的周长为a十b十c=3十2√3.…13分 (方法二)由余弦定理a2=b2十c2-2 bc cos A=b2+c2-9, 8分 得a2=(b十c)2-2bc-9=(3十√5)2-63-9=3，…11分 得a=3.… 12分 故△ABC的周长为a十b+c=3+23.… 13分 16.解：(1)AB=(2,1),AC=(m,W5).… 2分 因为A,B,C三点共线，所以AB=AC,即2=m,1=√5λ，解得m=2√5.…5分 (2)设P(x,y),则Bp=(x-2,y-1),AB+AC=(2,1十5).…7分 (x-2=2, 因为BP-AB+AC,所以 解得x=4,y=2十5，…9分 y-1=1+√5， 所以P的坐标为(4,2十√5).… 10分 (3)|AB=5,|AC=√m2+5.…12分 因为AB1=|AC1,所以W5=√m2+5, 14分 【高一数学·参考答案第2页（共4页）】 ·26-335A· 解得m=0.… e....................。 15分 17.解：(1)由题意得tana=sinc= 2分 cos a 3 2tan a-_ 则tan2a=1-tan'a 3 4 4分 tan2a十tana= tan 3a-tan(2aa)-1tan 2atan a 13 9 6分 (2)cos(2a-F）=cos[2(a-)]=2cos(a-5)-1=号 …9分 因为-8<a<g,所以-<2a-<0,… …10分 所以sin(2a-）=-√1-cos(2a-牙)=-手， …12分 所以oms2a=cos(2a-子+）-号as(2a-）-号n(2a-）-7 10 …15分 18.(1)证明：由正弦定理得sinC=2 sin Bcos A十sinB,…2分 得sinC=sin(A+B)=sin Acos B+cos Asin B=2 sin Bcos A+sinB,…4分 得sin Acos B-cos Asin B=sin(A-B)=sinB.…6分 因为A∈(0，π)，B∈(0，π)，所以A一B=B,得A=2B.…7分 公解，南正孩定理台-品合-品沿-g sin B =2cosB,得a=23cosB.① … …10分 因为A的角平分线交BC于D,所以∠BAD=∠CAD=B,∠ADC=2B.·11分 在△ABD中，得BD=AD=2,得CD=a一2.…12分 在△ACD中，由正弦定理得S-温-知 =2c0sB,…14分 得，2-2ms回 …15分 由①②得a2一2a-3=0,得a=3(负根舍去).… …17分 【备注】 第(2)问在得到“CD=a一2”后，还可以这样解答： 在△ACD中，由余弦定理CD=AD+AC2-2AD·ACcos∠CAD,…14分 得(a-2)2=4十3-2X25c0sB.②…15分 由①②得a2-2a一3=0，得a=3(负根舍去). …17分 19.解：1)若∠BAF=否，则点F与点C重合，AF=2, ∠DAE=SAE=cOS AD =25 cos∠DAE-3 …1分 【高一数学·参考答案第3页（共4页）】 ·26-335A· 则A正.A京=25×2Xos=2. 3 6 3分 (2(1)当点F与点C重合时，∠BAF=否，所以∠BAF∈[0，] …4分 因为∠BAF=Q,所以∠DAE=T …5分 BF=ABtan.∠BAF=√3tana,…6分 DE=ADtan/DAE=tan(-a). …7分 当点F与点B重合时，S=SAC- 2 当点F与点B不重合时，S△Ar= 2AB…BF=号ana,.8分 3 SE-ADDE-m(-a, …9分 S矩形ABD=√3， S=Sm-56w-SaE=g-号ana-方m(管-a）小 当点F与点B重合，即α=0时，上式也成立. 故5关于a的函致关系式为S=尽-ma-m(晋-)，定义域为[0看】1分 6is=5-是ma-支m(晋-a）=5-音ma-名·=后-专 1 3√3tana+2tana+√3 ....。ee。..........ee。 …13分 1+√3tana 令1+51ana=x,x∈[1,2]，则tana= 3(x-1),3tana=(x-1)2, 所以5-g- V3(x-1)2+23 3 x-1)十5 …14分 --x+-4)-(· 43 37 3 3 -2,…16分 当且仅当x= 时，等号成立，所以S的最大值为5 2W3 2 3 17分 注：第(2)(1)问中，未分情况讨论点F与点B重合和不重合的情况，不扣分 【高一数学·参考答案第4页（共4页）】 ·26-335A·