精品解析：甘肃金昌市永昌县第一高级中学2025-2026学年高一下学期第一次月考数学试卷

永昌县第一高级中学2025—2026—1第一次月考试卷 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版必修第一册第6章统计学初步，必修第二册第1章平面向量及其应用、第2章三角恒等变换. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况 B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C. 了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为（ ） A. 5 B. 7 C. 17 D. 25 4. 已知两地相距5 km，两地相距10，若测得，则两地间的距离为（ ） A. B. C. D. 5. 已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为 A. B. C. D. 6. 在中，点满足．若，则（ ） A. B. C. D. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组样本数据，则这组数据的（ ） A. 众数为6 B. 平均数为7.6 C. 中位数为6.5 D. 第72百分位数为10 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 当时， D. 当时， 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量与的夹角为，且，则=___________. 13. 电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多______ 人 14. 已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为__． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与共线，求实数的值； （2）若，求实数的值. 16. 已知，且， （1）求的值； （2）若，求的值. 17. 已知锐角的内角所对的边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，求的周长. 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数和平均数 （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点． （1）求； （2）求的坐标； （3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 永昌县第一高级中学2025—2026—1第一次月考试卷 高一数学 考生注意： 1．本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：湘教版必修第一册第6章统计学初步，必修第二册第1章平面向量及其应用、第2章三角恒等变换. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（ ） A. 了解兰州白兰瓜的甜度情况 B. 了解某品牌新能源汽车电池的续航能力 C. 了解兰州市中学生收看9月3日阅兵直播情况 D. 对我国首艘电磁弹射航空母舰福建舰各零部件质量情况的调查 【答案】D 【解析】 【详解】切开白兰瓜具有破坏性，故A不符合题意； 测试续航能力通常需要将电池完全放电，具有破坏性，故B不符合题意； 兰州市中学生人数众多，全面调查工作量巨大，故C不符合题意； 航空母舰中的每个零件的质量都至关重要，因此需要对其进行全面检查，故D符合题意. 2. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式，即可求解. 【详解】由，得． 3. 已知，，…，的平均数为3，则，，…，的平均数为（ ） A. 5 B. 7 C. 17 D. 25 【答案】C 【解析】 【详解】，所以，，…，的平均数为 . 4. 已知两地相距5 km，两地相距10，若测得，则两地间的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由余弦定理直接求解即可. 【详解】由余弦定理得，， 即，则. 故选：D. 5. 已知两个单位向量和夹角为，则向量在向量方向上的投影为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先求得的值，然后求解向量在向量方向上的投影即可. 【详解】由题意可知：， 则， ， 据此可得向量在向量方向上的投影为. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查平面向量数量积的几何意义，数量积的运算法则及其应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 6. 在中，点满足．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】如图： 因为，，所以，. ， 所以，，所以. 7. 在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，的面积为，则的最小值为（ ） A. 3 B. C. 6 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合题设利用正弦定理及两角和的正弦公式化简可得，再结合的面积为可得，进而根据基本不等式求解即可. 【详解】由， 根据正弦定理得，， 则， 在中，，则，即， 又，则， 又，则， 所以，当且仅当时等号成立， 则的最小值为6. 8. 已知为的外接圆圆心，，则的最大值为（ ） A. 2 B. 4 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用圆的性质，得到，将转换为，进而求出最大值. 【详解】如图所示： 因为为的外接圆圆心，，所以， 且， 所以， 故当共线反向时，取到最大值. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：本题解答的关键是推导出，再由数量积的运算律得到. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组样本数据，则这组数据的（ ） A. 众数为6 B. 平均数为7.6 C. 中位数为6.5 D. 第72百分位数为10 【答案】AD 【解析】 【分析】根据相关概念逐项判断可得结果. 【详解】将数据按从小到大的顺序排列为，出现次数最多的数为6，故A正确； 平均数为，故B错误； 中位数为，故C错误； ∵，∴第72百分位数为从小到大排列的第8个数，即为10，故D正确. 故选：AD. 10. 下列各式的值为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用特殊角的三角函数值、二倍角的正弦、余弦、正切公式对选项进行化简求值，所得结果是的选项即为正确选项. 【详解】对于A，； 对于B，； 对于C，； 对于D，. 故选：ABC 11. 折扇是一种用竹木或象牙做扇骨、韧纸或者绫绢做扇面的能折叠的扇子（如图1），打开后形成以为圆心的两个扇形（如图2），若，，点在上，，点在上，（，），则（ ） A. 的取值范围为 B. 的取值范围为 C. 当时， D. 当时， 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A、B，利用向量减法的几何意义，结合数量积的定义式，化简，根据角的取值范围，可得答案; 对于C、D，由题意作图，根据几何性质，求得边长，结合向量加法与数乘，可得答案. 【详解】对于A，， 因为．所以，所以， 即，A正确；B错误； 对于C，如图，当时，可判断为中点，， 则，，作，则四边形为平行四边形， 则，，所以，， 所以．所以，C错误，D正确． 故选：AD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 设向量与的夹角为，且，则=___________. 【答案】 【解析】 【分析】用平面向量的数量积公式进行计算即可. 【详解】因为， 所以，，， 因此 故答案为：. 13. 电影《孤注一掷》的上映引发了电信诈骗问题热议，也加大了各个社区反电信诈骗的宣传力度.已知某社区共有居民480人，其中老年人200人，中年人200人，青少年80人，若按年龄进行等比例的分层随机抽样，共抽取36人作为代表，则中年人比青少年多______ 人 【答案】9 【解析】 【分析】根据题意可以计算出分层随机抽样的抽样比例，进而计算出中年人和青年人的人数，最后计算出中年人比青少年多多少个. 【详解】设中年人抽取人，青少年抽取人， 由分层随机抽样可知，， 解得，， 故中年人比青少年多9人， 故答案为：9. 14. 已知四边形中，，，设与面积分别为，．则的最大值为__． 【答案】 【解析】 【分析】根据余弦定理得到，利用三角形面积公式得到，得到最大值. 【详解】四边形中，，， 设与面积分别为，， 则，． 在中，利用余弦定理：， 即， 在中，利用余弦定理：， 即， 所以． 则 ， 当，即时，最大值，最大值为， 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程及演算步骤. 15. 已知向量，. （1）若与共线，求实数的值； （2）若，求实数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 ， 因为与共线， 所以，所以. 【小问2详解】 由题知：，， ， ， ， ，即，解得. 16. 已知，且， （1）求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对已知等式两边平方求得sin 2α的值，再联立方程组求出sinα， cosα并得到cos 2α的值，最后结合两角差的正弦公式即可得出答案； （2）由两角和与差的正弦、余弦公式化简所求式，再利用弦的齐次式化成正切式，将的值代入计算即得. 【小问1详解】 对两边平方可得，解得， 因，则， 联立，解得， 所以，， 则. 【小问2详解】 由题意， 由（1）得，且， 则. 17. 已知锐角的内角所对的边分别为，满足. （1）求角； （2）若，，求的周长. 【答案】（1）; （2）. 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由平面向量的数量积运算可得，根据余弦定理求出，从而可求，继而可得的周长. 【小问1详解】 因为， 所以由余弦定理可得. 因为是锐角三角形，所以， 所以，即， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 所以. 因为，， 由余弦定理可得， 所以, 所以， 所以， 所以的周长为. 18. 某市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段：，，…，得到如图所示的频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）求样本成绩的第75百分位数和平均数 （3）已知落在的平均成绩是56，方差是7，落在的平均成绩为65，方差是4，求两组成绩的总平均数和总方差 【答案】（1） （2）第75百分位数为84，平均数为 （3）， 【解析】 【分析】（1）根据频率之和为1即可求解， （2）根据百分位数和平均数的计算公式即可求解， （3）借助分层抽样的平均数与方差计算公式计算即可得. 【小问1详解】 由每组小矩形的面积之和为1得，， 所以. 【小问2详解】 成绩落在内的频率为， 落在内的频率为， 显然第75百分位数，由， 解得，所以第75百分位数为84. 平均数约为 ； 【小问3详解】 由图可知，成绩在的市民人数为， 成绩在的市民人数为， 故， ， 所以两组市民成绩的总平均数是62，总方差是23． 19. 如图，设，是平面内相交成角的两条数轴，，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量．若向量，则把有序实数对叫做向量在坐标系中的坐标，记作．在此坐标系中，若，，，是的中点，与交于两点． （1）求； （2）求的坐标； （3）若过点的直线分别与轴、轴正方向交于、两点，求的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，再根据数量积的运算律计算可得； （2）依题意可得，即可得到是平行四边形，从而得到，即可得到，再根据计算可得； （3）设，，又三点共线，设，根据平面向量线性运算及基本定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【小问1详解】 依题意可得， ， - ； 【小问2详解】 ，，， ，，， ， 所以四边形是平行四边形，即， ， 是的中点， ， ， 又， ， ； 【小问3详解】 设，， 则，， 因为三点共线，则设， ， ， ， ，， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 或者：由，得， 所以，所以，当且仅当时取等号， ，当且仅当时取等号， 所以的最小值为． 【点睛】关键点点睛：本题关键是理解所给定义，第三问关键是以平面向量基本定理得到，从而得到，再由基本不等式求出面积最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $