专题01 期末真题百练通关（期末复习专项训练，174题25个常考题型+12大压轴题型）八年级数学下学期新教材沪科版

**基本信息** 聚焦期末高频考点，以37大压轴题型系统整合174道真题，覆盖二次根式、方程、几何与统计，构建从基础到综合应用的递进训练体系。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |二次根式|5题型25题|概念辨析、性质应用、混合运算及新定义问题|从定义到化简运算，再到几何与实际应用，层层递进| |一元二次方程|6题型30题|根的判别式、根与系数关系、实际应用（营销/几何）|方程定义→解法→根的性质→实际问题建模，逻辑连贯| |勾股定理|5题型25题|折叠模型、最短路径、坐标系综合|性质应用→模型构建→动态几何，体现空间观念与推理能力| |四边形|5题型25题|特殊四边形判定、动点最值、坐标系压轴|平行四边形→特殊四边形→综合探究，强化几何直观与转化思想| |数据统计|5题型25题|频数分布、统计量决策、箱线图分析|数据收集→整理分析→决策应用，培养数据意识与应用能力|

专题01 期末真题百练通关 （174题25个常考题+12大压轴题型） 选填常考题 题型20正方形的性质及判断的应用 题型1 求二次根式的值 题型21 四边形中的最值问题 题型2 利用二次根式的性质化简 题型22 数据的频数分布 题型3 复合二次根式的化简 题型23 利用合适的统计量做决策 题型4 二次根式的混合运算 题型24 利用方差求未知数据的值 题型5 二次根式的应用 题型25 四分位数和箱线图 题型6 由一元二次方程的定义及解求参数 解答压轴题 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型26二次根式在图形中的应用 题型8 一元二次方程根据根的情况求参数 题型27二次根式新定义阅读题 题型9 一元二次方程的解法 题型28 二次根式的实际应用 题型10 一元二次方程根与系数的关系 题型29 利用一元二次方程解决营销问题 题型11 一元二次方程根的应用 题型30 利用一元二次方程解决与图形有关的问题 题型12 勾股定理的应用 题型31 利用一元二次方程解决动态几何问题 题型13勾股定律在折叠模型的应用 题型32 利用勾股定理的实际应用 题型14利用勾股定理解决最短路径问题 题型33 勾股定理在平面直角坐标系中的综合应用 题型15 勾股定理的逆定理 题型34 四边形中的动点问题 题型16 多边形 题型35 四边形与在直角坐标系中的压轴题 题型17 平行四边形的性质及判定 题型36 几何探究压轴题 题型18 矩形的性质及判断的应用 题型37 数据综合题 题型19菱形的性质及判断的应用 题型1 求二次根式的值 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 4．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广西桂林·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 题型2 利用二次根式的性质化简 6．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（21-22八年级下·山东烟台·期末）实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（  ） A．b B．b－2a C．2a－b D．2a+b 8．（24-25八年级下·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 9．（24-25八年级下·湖南常德·期末）若，化简：（   ） A． B． C． D．3 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 题型3 复合二次根式的化简 11．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 12．（24-25八年级下·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 13．（21-22八年级下·辽宁葫芦岛·期末）若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 14．（20-21八年级下·湖北武汉·月考）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 15．（24-25八年级下·天津和平·月考）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 题型4 二次根式的混合运算 16．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）估计的值应在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 17．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（   ） A． B． C． D． 18．（24-25八年级下·重庆石柱·期末）式子的值介于下列哪两个整数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 19．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知且，则的值为（） A． B． C． D． 20．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 题型5 二次根式的应用 21．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 22．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 23．（18-19八年级下·北京海淀·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 24．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 25．（24-25八年级下·山东济宁·期末）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D．8 题型6 由一元二次方程的定义及解求参数 26．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 27．（24-25八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 29．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．任意实数 B．3或 C．3 D． 30．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 31．（24-25八年级下·上海·期末）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 32．（21-22八年级下·山东东营·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 33．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 34．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（  ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 35．（24-25九年级下·河南周口·期末）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 题型8 一元二次方程根据根的情况求参数 36．（20-21八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 37．（21-22八年级下·山东烟台·期末）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 38．（16-17八年级下·四川资阳·期末）一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　） A．1或 B． C．1 D．2 39．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 40．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 题型9 一元二次方程的解法 41．（24-25八年级下·山东威海·期末）若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 42．（21-22八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程变形为的形式，结果正确的是（　　）． A． B． C． D． 43．（24-25八年级下·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 44．（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 45．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 题型10 一元二次方程根与系数的关系 46．（24-25八年级下·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 47．（24-25八年级下·山东济南·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 48．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）满足一元二次不等式的范围是，则的值为（） A． B． C． D． 49．（24-25八年级下·上海·期末）如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 50．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 题型11 一元二次方程根的应用 51．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 52．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）某公司计划用的材料沿墙（可利用）造一个面积为的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 53．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 54．（23-24八年级下·四川广元·期末）“指尖上的非遗——刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．取一幅长、宽的刺绣，在四周镶嵌宽度相同的边框便制成了一幅矩形挂图（如图），且整幅挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（    ） A． B． C． D． 55．（21-22八年级下·浙江台州·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设这批椽有株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 题型12 勾股定理的应用 56．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 57．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 58．（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 59．（16-17八年级下·贵州遵义·期末）如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 60．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（    ） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 题型13勾股定律在折叠模型的应用 61．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 62．（24-25八年级下·北京昌平·期末）如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 63．（24-25八年级下·重庆·期末）在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 64．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 65．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 题型14利用勾股定理解决最短路径问题 66．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 67．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，长方体的高为4，底面长为3，宽为1，一只蚂蚁从长方体的表面点爬到点．则蚂蚁爬行的最短路程是（    ）． A．5 B． C． D． 68．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁A点正对，离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 69．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 70．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 题型15 勾股定理的逆定理 71．（24-25八年级下·山西运城·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 72．（20-21八年级下·河南南阳·期末）已知三角形的三边长满足，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 73．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 74．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 75．（24-25八年级下·河南郑州·期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 题型16 多边形 76．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 77．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 78．（24-25八年级下·天津南开·月考）如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 79．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 80．（24-25八年级下·云南昭通·期末）“中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 题型17 平行四边形的性质及判定 81．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 82．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 83．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 84．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 85．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 题型18 矩形的性质及判断的应用 86．（24-25八年级下·四川成都·期末）要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 87．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 88．（23-24八年级下·重庆开州·期末）如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接且，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 89．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 90．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 题型19菱形的性质及判断的应用 91．（20-21八年级下·陕西汉中·期末）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形为菱形的是（　 ） A． B． C． D． 92．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 93．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 94．（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 95．（2024八年级下·全国·专题练习）如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 题型20正方形的性质及判断的应用 96．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 97．（20-21八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 98．（20-21八年级下·四川绵阳·期末）已知，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，点D、E、F是垂足，若，则的长度是（    ） A．4 B．6 C．12 D．10 99．（24-25八年级下·全国·期末）如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 100．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 题型21 四边形中的最值问题 101．（21-22八年级下·河南南阳·期末）如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 102．（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 103．（24-25八年级下·浙江·期末）如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 104．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 105．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 题型22 数据的频数分布 106．（20-21八年级下·陕西汉中·期末）为了解学生体育锻炼的用时情况，陈老师对本班50名学生一天的锻炼时间进行调查，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，那么一天锻炼时间为1小时的频率为（    ） A． B． C． D． 107．（21-22七年级上·陕西西安·期末）某班班主任将全班同学的一次数学考试成绩进行了整理，整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值），则下列说法错误的是（   ） A．得分在分的人数最多 B．该班的总人数为40 C．人数最少的得分段的频数为2 D．得分及格（大于等于60分）的有12人 108．（20-21七年级上·陕西汉中·期末）为了解“新课堂教学”的整体效果，某中学让学生参与了关于“新课堂”学习满意度的调查，将全校2600名学生的调查结果制成如图所示的扇形统计图，下列说法错误的是（   ） A．觉得“比较满意”的学生人数最多 B．觉得“一般”的学生有650人 C．觉得“不满意”的学生人数对应的扇形圆心角度数是5 D．觉得“非常满意”的人数是“不满意”人数的6倍 109．（21-22六年级下·山东烟台·期末）“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式．小明对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，下面对样本数据的四个判断： ①小明一共抽样调查了20人； ②当月使用“共享单车”30～40次的人数最多； ③当月使用“共享单车”不足30次的人数有15人； ④当月使用“共享单车”10～20次和40～50次的人数相同． 其中合理的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 110．（21-22七年级下·辽宁营口·期末）芳芳同学收集了她们班30名学生体重的数据，并绘成等距分组的频数分布直方图，已知该图中各小长方形的高的比是，则第3小组的频数是（    ） A．6 B．12 C．9 D．3 题型23 利用合适的统计量做决策 111．（24-25八年级下·吉林长春·期末）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 112．（24-25八年级下·山西晋城·期末）某商店销售，，，，，5种尺码的上衣．商店经理想通过调查每种上衣的销量来决定多进哪种上衣，则从这5种尺码的上衣销量中，可作为参考依据的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．无法判断 113．（24-25八年级下·福建厦门·期末）某运动品牌专营店店主对上一周新进的某女款运动鞋销售情况统计如下： 尺码 平均每天销售数量/双 该店主决定在下周进货时，增加一些码运动鞋的数量，影响该店主决策的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 114．（20-21七年级下·北京石景山·期末）某品牌专营店店主对上一周新进的某款衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43 44 45 平均每天销售数量/件 10 23 30 35 28 21 8 该店主决定本周进货时，增加一些42码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 115．（20-21八年级下·江苏常州·期末）某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 题型24 利用方差求未知数据的值 116．（24-25八年级下·陕西西安·期末）小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 117．（24-25八年级下·山西运城·期末）吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 118．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 119．（2017·福建南平·一模）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 120．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（    ） A． B． C． D．3 题型25 四分位数和箱线图 121．（24-25八年级下·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 122．（24-25八年级下·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 123．（24-25八年级下·福建漳州·期末）小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（   ）． A．最小值为47 B．中位数为73 C．上四分位数为83 D．平均数为73 124．（24-25八年级下·山东青岛·期末）有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．这组数据的下四分位数是3 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是18 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 125．（24-25八年级下·全国·期末）在2025年数学中考二模中，甲、乙两班的数学成绩箱线图如图所示，下列说法一定正确的个数是（    ） ①甲班成绩的中位数比乙班高 ②甲班成绩的最高分比乙班高 ③甲班成绩总体比乙班好 ④甲班成绩的方差更小 A．1 B．2 C．3 D．4 题型26二次根式在图形中的应用 126．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 127．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 128．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 题型27二次根式新定义阅读题 129．（21-22八年级下·北京门头沟·期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 130．（24-25七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 131．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 题型28 二次根式的实际应用 132．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 133．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 134．（24-25八年级下·山西晋中·期末）在左权县的智慧交通建设中，当地交管部门引入了智能测速与紧急制动预警系统．该系统基于滑行距离公式，其中s表示紧急刹车后的滑行距离（单位：），v表示刹车前的速度（单位：），结合车载传感器实时采集的车速v（），可自动计算紧急刹车后的滑行距离s（），并通过车联网技术提前向驾驶员预警安全车距． (1)当时，请算出紧急刹车后的滑行距离______； (2)若某车辆监测到前方障碍物需紧急制动，当系统显示滑行距离时，求此时的车速．（，结果精确到1） 题型29 利用一元二次方程解决营销问题 135．（24-25八年级下·上海·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 136．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔的销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 137．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“大寒”是二十四节气中最后一个节气，也是一年中最冷的时候，人们都穿上了羽绒服和棉衣，某服装店在销售A款羽绒服和B款棉衣时发现，购买3件A款羽绒服和2件B款棉衣需支付1800元；购买2件A款羽绒服和4件B款棉衣需支付2000元； (1)求A款羽绒服和B款棉衣的销售单价各多少元？ (2)已知每销售一件A款羽绒服可获利80元，平均每天可售出20件，若每降价10元，则可多卖出5件A款羽绒服，为了实现每天销售A款羽绒服获利1750元，又要让消费者获得实惠的目标，则应该降价多少元？ 题型30 利用一元二次方程解决与图形有关的问题 138．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）如图，利用一面墙（墙的长度20m，不可围到墙外），用40m长的篱笆围一个矩形，设边的长为． (1)边的长为 m，矩形的面积为 （均用含的代数式表示）； (2)当矩形的面积是，求的边长； (3)矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程知识说明理由． 139．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． (1)的长为________m，的取值范围是________； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？ (3)亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 140．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？ (2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？ 题型31 利用一元二次方程解决动态几何问题 141．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 142．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， (1)根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） (2)t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 143．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 题型32 利用勾股定理的实际应用 144．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 145．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 146．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变．    (1)若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从处移动到岸边点的位置？ 题型33 勾股定理在平面直角坐标系中的综合应用 147．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰的位置如图①所示，顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，且，．点D在边上，点E在射线的延长线上，且． (1)如图①，点C的坐标为________；若点D为的中点，则长为________； (2)如图②，点D在x轴的负半轴上，若点E坐标是，点是点E关于x轴的对称点，连接，，交x轴于点H． ①点的坐标是________； ②有同学过点D作，交于点M，借此探究线段与的数量关系．请你试着探究，直接写出结论：________（填“”、“”或“”）． (3)如图③，在（2）的条件下，连接，试判断的形状，并说明理由． 148．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 149．（21-22八年级下·河南郑州·期末）【问题情境】 学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点C，A．他们借助此图求出了的面积． (1)在图1中，所画出的的边长________，的面积为________； 【初步探究】 (2)在图2所示的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出（顶点都在格点上），使，，，请判断的形状，并说明理由； 【继续探究】 (3)若中有两边的长分别为，，且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出两种符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长，填写在横线上________． 题型34 四边形中的动点问题 150．（24-25八年级下·河南开封·期末）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 151．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 152．（24-25八年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 题型35 四边形与在直角坐标系中的压轴题 153．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 154．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 155．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． (1)当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 题型36 几何探究压轴题 156．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：小强看到图后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等，考虑到点E是边的中点，因此可以选取的中点M，连接（图1）后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程． (2)探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边的中点”改为“点E是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论． (3)探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边的中点”改为“点E是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由． 157．（24-25八年级下·山东德州·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用正方形纸片进行探究活动． 如图1，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在上的点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】（1）如图1，______°； 【深入探究】（2）如图1，求证：四边形是菱形； 【拓展延伸】（3）如图2，在图1的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，试判断线段，、之间的数量关系，并说明道理． 158．（2025·河南商丘·一模）《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点P为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】如图1，点E，F分别为，的中点，若Q点与点A重合，点D的对应点为点M，当点M落在上时，展开纸片，连接交折线于点O，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】如图2，若点Q在上，点D的对应点为点M，点A的对应点为点N，若点M始终落在上，展开纸片，连接交折线于点O，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】如图3，若点Q在上，点D的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 题型37 数据综合题 159．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）疫情期间为了丰富学生居家学习生活，开学初学校开展读书活动．五一期间对七年级某班50名学生进行调查，调查发现每一名学生都能至少阅读一本课外书．阅读课外书不少于三本的学生人数占总人数的46%．请结合统计图，解答下列问题． (1)通过计算，补全条形统计图． (2)本次调查获取的样本数据的众数为__________本；中位数为__________本； (3)求该班级平均每人读课外书多少本？ (4)该学校七年级共有1200名学生，估计七年级学生共读课外书多少本？ 160．（2021·陕西·模拟预测）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题： （1）请补全条形统计图： （2）所调查学生测试成绩的平均数为______，中位数为______，众数为_____； （3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？ 161．（20-21八年级下·河南洛阳·期末）某校八年级数学老师们在全年级开展教学创新对比试验，所有班级都被设为实验班或对比班，一学期后对全年级同学进行了数学水平测试，观察实验效果．从实验班和对比班中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表： 一、收集、整理数据：实验班20名学生的数学成绩分别为：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99，对比班学生数学成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89． 二、分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 成绩 平均数 中位数 众数 实验班 85 88.5 b 对比班 81.8 a 74 三、描述数据：请根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全频数分布直方图； ②填空：a＝ ，b＝ ； （2）根据以上数据，你认为实验班的数学成绩更好还是对比班的数学成绩更好？判断并说明理由（两条理由即可）； （3）如果我校八年级实验班共有学生900名，对比班共有学生600名，请估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数． 1．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法：根据，得，∴，∴．把的值整体代入，得． 仿照上述方法解决问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 2．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 3．我市在开展“一盔一带”安全守护行动中，联合“爱心头盔”厂家在多个地点开展免费领取头盔活动，据统计，某领取点六月份发放“爱心头盔”100个，八月份发放144个，且从六月份到八月份月增长率相同． (1)求该领取点“爱心头盔”发放量的月增长率； (2)为解决暑期海边音乐节的电动车停放问题，计划将一个长为，宽为的矩形空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为a的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽a应为多少？ 【答案】(1)“爱心头盔”发放量的月增长率为． 4．宁波镇海某金橘合作社深耕本土特色果品种植，2023年镇海金橘平均亩产量为．近年来引入镇海农林部门研发的矮化密植栽培技术，改良土壤墑情与果实套袋管理模式，2025年平均亩产量提升至． (1)若2023年到2025年金橘平均亩产量年增长率相同，求其平均亩产量年增长率； (2)已知该合作社目前镇海金橘种植面积为12亩，每亩的种植成本为2.5万元．为满足本地商超及文旅采摘市场需求，合作社计划2026年增加种植面积．经测算，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.05万元，在保持种植总成本不变的前提下，则2026年该合作社应增加种植面积多少亩？ 5．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里． (1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：） 6．“万马奔腾迎新春！”某校九年级为庆祝2026马年的到来，从九年级男生和女生中各随机抽取20名学生进行“十二生肖知识竞赛”活动．活动成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A，B，C，D各等级的得分分别记为10，9，8，7．现将活动的数据整理并绘制成如下两幅统计图． (1)样本中男生和女生成绩的众数分别为______和______，中位数分别为______和______； (2)若九年级男生和女生各有600人，估计九年级全体学生中成绩超过8分的有多少人？ (3)比较样本中男生和女生成绩的众数和中位数，说明所调查的同学中男生和女生谁的成绩更好． 7．如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为，求线段的长． 8．在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 9．如图1，矩形纸片中，点在边上．连接，将矩形纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，与交于点；如图2，继续将纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，、分别与交于点、． (1)如图2，若，则= ． (2)如图3，点恰好落在边上（即点与点重合）． ①若，，求的长． ②已知，，若，，三点恰好在同一条直线上，试探究、之间的数量关系并写出证明过程． 10．．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)填空： ①（______）（________）； ②（______±______）（，）． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 11．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 12．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 56 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末真题百练通关 （174题25个常考题+12大压轴题型） 选填常考题 题型20正方形的性质及判断的应用 题型1 求二次根式的值 题型21 四边形中的最值问题 题型2 利用二次根式的性质化简 题型22 数据的频数分布 题型3 复合二次根式的化简 题型23 利用合适的统计量做决策 题型4 二次根式的混合运算 题型24 利用方差求未知数据的值 题型5 二次根式的应用 题型25 四分位数和箱线图 题型6 由一元二次方程的定义及解求参数 解答压轴题 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 题型26二次根式在图形中的应用 题型8 一元二次方程根据根的情况求参数 题型27二次根式新定义阅读题 题型9 一元二次方程的解法 题型28 二次根式的实际应用 题型10 一元二次方程根与系数的关系 题型29 利用一元二次方程解决营销问题 题型11 一元二次方程根的应用 题型30 利用一元二次方程解决与图形有关的问题 题型12 勾股定理的应用 题型31 利用一元二次方程解决动态几何问题 题型13勾股定律在折叠模型的应用 题型32 利用勾股定理的实际应用 题型14利用勾股定理解决最短路径问题 题型33 勾股定理在平面直角坐标系中的综合应用 题型15 勾股定理的逆定理 题型34 四边形中的动点问题 题型16 多边形 题型35 四边形与在直角坐标系中的压轴题 题型17 平行四边形的性质及判定 题型36 几何探究压轴题 题型18 矩形的性质及判断的应用 题型37 数据综合题 题型19菱形的性质及判断的应用 题型1 求二次根式的值 1．（24-25八年级下·浙江台州·期末）二次根式的值是（    ） A． B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，二次根式表示的是a的算术平方根，算术平方根是指正的平方根，其结果为非负数，据此判断即可． 【详解】解： 故选：B． 2．（24-25八年级下·陕西安康·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查求二次根式的值，将代入二次根式 中，计算被开方数的值，再求其算术平方根． 【详解】当时， ， 故选：C． 3．（24-25八年级下·四川泸州·期末）已知是整数，则自然数的所有可能取值的和为（　　） A．9 B．10 C．13 D．16 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，求出n的取值范围，再根据是整数，即可得出答案． 【详解】解:∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴； ①，即， ②，即， ③，即， 综上所述，自然数n的值可以是3，6，7， ∴自然数的所有可能取值的和为． 故选：D． 4．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）与结果相同的是（    ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据有理数运算和二次根式的性质计算，即可得到答案． 【详解】 ∵，且选项B、C、D的运算结果分别为：4、6、0 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式、有理数运算的知识；解题的关键是熟练掌握二次根式、含乘方的有理数混合运算的性质，即可得到答案． 5．（24-25八年级下·广西桂林·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）．物体从的高空落到地面的时间是（   ） A． B． C． D．12s 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的应用，直接将代入公式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 故答案为：A． 题型2 利用二次根式的性质化简 6．（24-25八年级下·陕西宝鸡·期末）化简二次根式的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据二次根式有意义的条件确定a的取值范围，再利用二次根式的性质化简即可得到结果． 【详解】解：∵二次根式中被开方数为非负数，且分母不为0， ∴且， ∵， ∴， 解得， ∴． 7．（21-22八年级下·山东烟台·期末）实数a，b在数轴上的位置如图，则化简的结果是（  ） A．b B．b－2a C．2a－b D．2a+b 【答案】A 【分析】先根据数轴确定a，b的范围，再根据二次根式的性质进行化简，即可解答． 【详解】解：由数轴可得：， ∴， ． 8．（24-25八年级下·山东德州·期末）已知，，且，则的值为（　　） A．或 B．2或10 C．10 D． 【答案】B 【分析】先求出a，b的所有可能取值，再根据条件筛选出符合要求的取值，最后计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∵时，无论a取4或，都不满足，故舍去， ∵时，和都满足， 当时，， 当时，， ∴的值为2或10． 9．（24-25八年级下·湖南常德·期末）若，化简：（   ） A． B． C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简，需利用的性质，结合已知判断绝对值内式子的正负，再根据绝对值的代数意义去掉绝对值符号进行计算． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， 则原式 ． 故选：A． 10．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）已知，则化简后的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的化简，由已知可得，，再根据二次根式的性质化简即可求解，掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：∵ ， ∴，， ∴， 故选：． 题型3 复合二次根式的化简 11．（20-21八年级下·安徽合肥·期末）已知，则化简的结果是（   ） A． B． C．－ D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简； 由于二次根式的被开方数是非负数，那么，通过观察可知ab必须异号，而，易确定b的取值范围，然后即可化简． 【详解】解：有意义， ， ， 又， ， ． 故选：A． 12．（24-25八年级下·浙江温州·期末）化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的性质简结合利用完全平方公式计算即可解题． 【详解】解：原式 ， 故选：D． 13．（21-22八年级下·辽宁葫芦岛·期末）若，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的性质列出不等式，解不等式即可解答． 【详解】∵， ∴， ∴-2． 故选A． 【点睛】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质列出不等式是解题的关键． 14．（20-21八年级下·湖北武汉·月考）化简二次根式的正确结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式成立的条件确定x的取值，从而利用二次根式的性质进行化简． 【详解】解：由题意可得：x＜0 ∴ 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的化简，理解二次根式成立的条件及二次根式的性质正确化简计算是解题关键． 15．（24-25八年级下·天津和平·月考）已知，，则的值为（   ）． A． B．5 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，分式的运算，完全平方公式的应用，熟练掌握运算法则是解题的关键． 由，，判断，，化简原式再代入计算即可得解． 【详解】解：，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 题型4 二次根式的混合运算 16．（24-25八年级下·重庆铜梁·期末）估计的值应在（   ） A．5和6之间 B．6和7之间 C．7和8之间 D．8和9之间 【答案】B 【分析】先将化简为，然后估算即可． 【详解】解： ， ∵， 又∵， ∴， ∴， ∴在6和7之间． 17．（24-25八年级下·云南普洱·期末）如图，这是一个程序框图．若输入x的值为12，则输出y的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】依据运算程序列出算式，按顺序进行计算即可． 【详解】解：由题意，得 ． 18．（24-25八年级下·重庆石柱·期末）式子的值介于下列哪两个整数之间（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】C 【分析】先利用二次根式乘法法则化简原式，再通过估算无理数的大小确定原式的范围，即可得到答案． 【详解】解： ， 又 ， 即， 不等式各项同减得：， 即， 原式的值介于和之间． 19．（24-25八年级下·福建福州·期末）已知且，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】对已知等式两边平方，求出的值，再计算所求式子的平方，最后根据的条件判断结果的符号，得到最终答案． 【详解】解：∵， ∴对等式两边同时平方，得， 展开得，整理得， ∵， 代入，得， 又∵， ∴，即， ∴． 20．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知，则代数式的值为（   ） A．14 B．30 C．35 D．48 【答案】B 【分析】因为已知，所以先对其进行变形，求出的值，同时推导的整式关系式，用于降次．如果得到的整式关系式，那么利用该关系式对进行降次化简，最后将降次后的结果与的计算结果合并，代入求值． 【详解】解：已知 ， 移项，得 ， 两边平方，得， 展开得， ∴ ， ∴， ∴ ． 对 分母有理化， ∴ ∴ 原式． 题型5 二次根式的应用 21．（24-25八年级下·陕西安康·期末）已知矩形的长为，面积为，要在这个矩形上剪下一个正方形，则所剪下的正方形的最大面积是（    ） A．30 B．40 C．50 D．60 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的应用．先根据矩形面积和长求出宽，再比较长和宽的大小，确定正方形的最大边长，进而计算面积，即可作答． 【详解】解：∵矩形的长为，面积为， ∴矩形的宽为， ∵， ，且 ∴， ∴正方形的最大边长为， ∴正方形的最大面积为， 故选：D 22．（24-25八年级下·云南红河·期末）按一定规律排列的一组二次根式：，，，，…，则第6个二次根式为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键；根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是 ，进而求解． 【详解】解：∵第n个二次根式为， ∴当时，， ∴第6个二次根式为； 故选：D． 23．（18-19八年级下·北京海淀·期末）如图，从一个大正方形中裁去面积为和 的两个小正方形，则余下部分的面积为（ ） A．78 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的实际应用，求出大正方形的边长，分割法求出余下部分的面积即可． 【详解】解：∵两个小正方形的面积为和， ∴两个小正方形的边长为和， ∴大正方形的边长为， ∴余下部分的面积为， 故选：D． 24．（24-25八年级下·山西吕梁·期末）如图，这是运动会颁奖台的贴纸，在矩形内绘制三个紧邻的正方形并标注相应的名次，三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，将剩余阴影部分剪掉，则剪掉的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，解题时要熟练掌握并能根据图形列出关系式是关键． 依据题意，由三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2，则三个正方形的边长从左到右依次为，2，，可得矩形的长为，宽为2，进而阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和，从而可以列式计算得解． 【详解】解：由题意，∵三个正方形的面积从左到右依次为3，4，2， ∴三个正方形的边长从左到右依次为，2，． ∴矩形的长为，宽为2． ∴阴影部分的面积，即剪掉的面积＝矩形的面积﹣三个正方形的面积和． 故选：D． 25．（24-25八年级下·山东济宁·期末）在一个大正方形上，按如图的方式粘贴面积分别为12，10的两个小正方形，粘贴后，这两个小正方形重合部分的面积为3，则空白部分的面积为（   ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】本题考查二次根式混合运算的运用，先由题中正方形的面积得到各个正方形的边长，再表示出两个空白图形的长与宽即可得到空白部分的面积为，运用二次根式混合运算法则计算即可得到答案．熟记二次根式性质、二次根式乘法及加减运算法则是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： 面积为10的正方形边长为、面积为12的正方形边长为、面积为3的正方形边长为， 空白的长为，宽为；空白的长为，宽为； 空白部分的面积为， 故选：A． 题型6 由一元二次方程的定义及解求参数 26．（24-25八年级下·云南昆明·期末）关于x的一元二次方程常数项为0，则k值为（　　） A．3 B． C． D．9 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的定义． 根据一元二次方程的定义，常数项为0且二次项系数不为0，解方程即可确定k的值． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， ∴， 故选：B． 27．（24-25八年级下·重庆·期末）若方程是关于的一元二次方程，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】一元二次方程需满足两个条件：未知数的最高次数为，且二次项系数不为，据此列关系式求解即可． 【详解】∵方程是关于的一元二次方程. ∴，解得：， ∴． 28．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）若关于的方程满足，称此方程为“贺岁”方程．已知方程是“贺岁”方程，则的值为（  ） A． B．2024 C． D．2025 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握整体代入的方法是解题的关键． 利用新定义得到“贺岁”方程的一个解为，则，即、，然后对原式变形后再整体代入计算即可． 【详解】解：根据题意得“贺岁”方程的一个解为， ∵方程是“贺岁”方程， ∴，即、， ∴ ． 故选C． 29．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）已知是一元二次方程的一个根，则的值为（   ） A．任意实数 B．3或 C．3 D． 【答案】D 【分析】将 代入方程，得到关于 m 的方程，再结合一元二次方程的定义（二次项系数不为零）确定 m 的值．本题考查了一元二次方程的定义和一元二次方程的解．解题的关键在于深刻理解一元二次方程的定义． 【详解】解：∵是方程的一个根， ∴ ， 即 ， ∴ ， ∴ 或 ． 又∵ 方程为一元二次方程， ∴ 二次项系数 ，即 ， ∴， 故选D． 30．（24-25八年级下·湖南长沙·期末）关于的一元二次方程的一个根是，则的值是（  ） A．2024 B．2026 C．2025 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的解：能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解．把代入方程得，然后利用整体代入的方法计算的值． 【详解】解：把代入方程中得：， ， ． 故选：C． 题型7 根据判别式判断一元二次方程根的情况 31．（24-25八年级下·上海·期末）下列关于x的一元二次方程中，没有实数根的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查通过判别式判断根的情况，计算每个一元二次方程的判别式，判断是否有实数根，若则无实数根． 【详解】解：选项A：，有实数根； 选项B：，有实数根； 选项C：，没有实数根； 选项D：，有实数根； 故选C． 32．（21-22八年级下·山东东营·期末）已知关于的一元二次方程，下列说法正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【答案】C 【分析】利用一元二次方程根的判别式判断根的情况，计算判别式的值即可得出结论． 【详解】解：∵对于一元二次方程，系数，，， ∴根的判别式， ∴原方程没有实数根． 33．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）若非零实数b，c满足，则关于x的一元二次方程的两根之差必为（    ） A． B．c C． D．0 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，由已知条件可知，方程的判别式，说明方程有两个相等的实数根，因此两根之差为0． 【详解】方程的判别式为． ∵， ∴． ∵当时，方程有两个相等的实数根． ∴两根之差为． 故选D． 34．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）关于一元二次方程的根的情况，下列说法正确的是（  ） A．只有一个实数根 B．没有实数根 C．有两个相等的实数根 D．有两个不相等的实数根 【答案】C 【分析】本题考查了根的判别式，通过计算判别式判断一元二次方程的根的情况即可． 【详解】解：由方程得：，，， ， 方程有两个相等的实数根， 故选：Ｃ． 35．（24-25九年级下·河南周口·期末）定义运算：．例如：．则方程的根的情况为（   ） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．有实数根 D．无实数根 【答案】A 【分析】本题考查了根据判别式判断一元二次方程根的情况，根据定义运算将方程转化为标准一元二次方程，计算判别式判断根的情况． 【详解】由题意得方程，即 ． 整理得： 计算判别式： 由于，方程有两个不相等的实数根． 故选A． 题型8 一元二次方程根据根的情况求参数 36．（20-21八年级下·浙江·期末）已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题利用一元二次方程根的判别式求解，当一元二次方程有两个不相等的实数根时，判别式，代入方程系数计算即可得到的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得 即的取值范围是． 37．（21-22八年级下·山东烟台·期末）关于x的方程的两个根满足，且，则m的值为（　　） A． B．1 C．3 D．9 【答案】C 【分析】利用因式分解法将方程变形为，再结合得到，由可得m的方程，解m的方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴或， ∴或， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得． 38．（16-17八年级下·四川资阳·期末）一元二次方程有两个相等的实数根，则m等于（　　） A．1或 B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】该方程为一元二次方程，因此二次项系数不为0，再根据“有两个相等的实数根”列出关于m的方程求解即可． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴二次项系数， 即， ∵方程有两个相等的实数根，且，，， ∴， 解得：或，均满足， ∴为或． 39．（24-25八年级下·上海浦东新·期末）关于的一元二次方程有实数根，那么的取值范围是（    ） A． B．且 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的定义及根的判别式的应用．关键在于：一元二次方程要求二次项系数不为0；方程有实数根时，判别式．需同时满足这两个条件来确定的取值范围． 【详解】解：∵方程是一元二次方程， ∴，即． 又∵方程有实数根， ∴， 解得． 综上，的取值范围是且． 故选：B． 40．（24-25八年级下·上海普陀·期末）如果二次三项式在实数范围内不能分解因式，那么的取值范围是（   ） A．且； B．且； C．； D．． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程根的判别式，因式分解法解一元二次方程．二次三项式在实数范围内不能分解因式等价于对应的一元二次方程无实数根，根据判别式小于零列不等式，即可求解． 【详解】解：∵ 二次三项式在实数范围内不能分解因式， ∴ 方程无实数根， ∴ 判别式， ∴ ， 故选：C． 题型9 一元二次方程的解法 41．（24-25八年级下·山东威海·期末）若关于x的一元二次方程可以用直接开平方法解，则c的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查直接开平方法解一元二次方程，将方程整理为完全平方形式，根据直接开平方法的要求，右边必须非负，从而确定c的取值范围． 【详解】解：原方程为： 观察左边，可写成完全平方形式： 根据直接开平方法的要求，右边必须非负，即： 解得： 因此，c的取值范围是， 故选A． 42．（21-22八年级下·江苏南通·期末）一元二次方程变形为的形式，结果正确的是（　　）． A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴． 43．（24-25八年级下·北京·期末）通过配方，可以求得代数式的最小值是（   ） A．0 B．1 C．9 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了配方法的应用，将原式配方得出，结合即可得出答案． 【详解】解：∵ ， 又∵ ， ∴， ∴ 代数式的最小值是1． 故选：B． 44．（2023九年级·全国·专题练习）利用公式法解得一元二次方程的两个根为，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了解一元二次方程--公式法，能熟练运用公式法解答方程是解此题的关键． 利用公式法即可求解． 【详解】解：， ， ， ， 一元二次方程的两个根为，且， 的值为， 故选：D． 45．（24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）已知实数x、y满足，则的值是（    ） A．3 B． C．1 D．3或 【答案】A 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法，由条件可得，再进一步求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得：或， ∵， ∴． 故选：A 题型10 一元二次方程根与系数的关系 46．（24-25八年级下·上海宝山·期末）一元二次方程的两根为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系得，，再由进行求解，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，那么将，代入计算即可得到结果． 【详解】解：∵一元二次方程的两根为， ∴根据根与系数的关系，得，， ∵， ∴将，代入，得 原式， 故选：A． 47．（24-25八年级下·山东济南·期末）若，是一元二次方程的两个实数根，则（   ） A． B． C．2 D．4 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系，一元二次方程的解及求代数式的值．先根据一元二次方程的解的定义得到，根据根与系数的关系得出，，再将其代入整理后的代数式计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的实数根， ∴，即，且 ∵，是一元二次方程的两个实数根， ∴，， ， ∴原式， 故选：D． 48．（24-25八年级下·湖南邵阳·期末）满足一元二次不等式的范围是，则的值为（） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程与不等式的关系，一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解决问题的关键． 根据一元二次不等式的范围是，可得方程的解为，，利用一元二次方程根与系数的关系即可解答本题． 【详解】解：∵一元二次不等式的范围是， ∴一元二次方程的解为，， ∴， ∴，， ∴． 故选：A． 49．（24-25八年级下·上海·期末）如果和是一元二次方程的两个实数根，那么以下结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是掌握如果一元二次方程的两根为，，则． 利用一元二次方程根与系数的关系直接计算根的和与积即可． 【详解】解：∵方程中，，，， ∴，， ∴选项C正确， 故选：C． 50．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）已知实数α，β满足，，且，且的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把变形为，则、可看作方程的两根，利用根与系数的关系得到，，由于，所以可先化为，再变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：， ， ，且， 、可看作方程的两根， ，， ， ， ． 题型11 一元二次方程根的应用 51．（24-25八年级下·浙江宁波·期末）某体育馆需要购进100个足球，经调查，某品牌足球2024年单价为200元，2026年单价为162元，2024年到2026年该品牌足球单价平均每年降低的百分率是（　　） A．10% B．19% C．20% D．30% 【答案】A 【分析】设出未知量，根据两年前后的单价列方程求解，再舍去不合题意的解即可解答． 【详解】解：设该品牌足球单价平均每年降低的百分率为x， ∵2024年单价为200元，2024年到2026年共经过2年，2026年单价为162元， ∴列方程得， 两边同除以200得， 开平方得 ， ∵降低率x满足， ∴只取，解得， ∴该品牌足球单价平均每年降低的百分率是． 52．（21-22八年级下·浙江杭州·期末）某公司计划用的材料沿墙（可利用）造一个面积为的仓库，设仓库中和墙平行的一边长为，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】分别表示出仓库的长和宽，然后根据长方形的面积公式列出方程即可． 【详解】解：设仓库中和墙平行的一边长为，则垂直于墙的一边长为， 根据仓库面积为列方程得： 整理得：． 53．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）有3人患了流感，经过两轮传染后共有432人患了流感．若每轮传染中平均一个人传染了x个人，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一元二次方程的应用，涉及流感传染问题. 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人，经过两轮传染后总患者数为，据此建立方程． 【详解】解：∵ 初始患者为3人，每轮传染中平均一人传染x人， ∴ 第一轮后患者总数为：人， 第二轮传染时，有个患者，每人传染x人， ∴ 第二轮新增患者为：人， ∴ 两轮后总患者为：人， 故方程为：． 故选：C． 54．（23-24八年级下·四川广元·期末）“指尖上的非遗——刺绣”，针线勾勒之间，绣出世间百态．取一幅长、宽的刺绣，在四周镶嵌宽度相同的边框便制成了一幅矩形挂图（如图），且整幅挂图的面积是．设边框的宽度为，则列出的方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设边框的宽度为，根据题意列出方程即可，读懂题意，列出正确的方程是解题的关键． 【详解】解：设边框的宽度为， 根据题意得：， 故选：． 55．（21-22八年级下·浙江台州·期末）我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，请人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，问6210文能买多少株椽？设这批椽有株，则符合题意的方程是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了列一元二次方程，设这批椽的数量为x株，再结合题意列出一元二次方程即可，理解题意，找准等量关系是解此题的关键． 【详解】解：设这批椽的数量为x株，由题意可列方程为， 故选：A． 题型12 勾股定理的应用 56．（24-25八年级下·广西贺州·期末）下面四幅图中，不能用面积验证勾股定理的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直角边为边长的两个正方形的面积和等于以斜边为边长的正方形面积，可以验证勾股定理，再逐个判断即可． 【详解】解：因为，能用面积验证勾股定理，所以A不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以B不符合题意； 因为，能用面积验证勾股定理，所以C不符合题意； 因为，不能用面积验证勾股定理，所以D符合题意． 57．（24-25八年级下·吉林长春·期末）如图，在中，，，点D在上，D点在的中垂线上，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据中垂线的性质可得，利用勾股定理求出，结合即可求解． 【详解】解：设边的中垂线为， ， ，，， ， ． 58．（24-25八年级下·广东江门·期末）如图，在中，点D、E分别为中点，若，，则的长为（    ） A．9 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】根据中点，求出的长，利用勾股定理求出的长即可． 【详解】解：∵点D、E分别为中点， ∴， 在中，， ∴ 59．（16-17八年级下·贵州遵义·期末）如图所示，在数轴上点所表示的数为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据勾股定理求出的长，则可得到的长，再用点C表示的数减去的长即可得到a的值． 【详解】解：如图所示，由勾股定理得 ∴， ∴． 60．（24-25八年级下·广东汕头·期末）如图，有一个水池，其底面是边长为16尺的正方形，一根芦苇生长在它的正中央，高出水面部分的长为2尺，如果把该芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，那么芦苇的顶部B恰好碰到岸边的，则这根芦苇的长为（    ） A．15尺 B．16尺 C．17尺 D．18尺 【答案】C 【分析】如图所示，设芦苇长尺，则水深尺，根据题意得到尺，根据勾股定理建立方程，求出的方程的解即可得到芦苇的长． 【详解】解：如图所示， 设芦苇长尺，则水深尺， 因为尺，所以尺， 在中，， 解得：， ∴尺． ∴芦苇长17尺． 题型13勾股定律在折叠模型的应用 61．（24-25八年级下·重庆大渡口·期末）如图，在三角形纸片中，，，，沿过点A的直线将纸片折叠，使点B落在上的点D处，折痕交于点F，再折叠纸片，使点C与点D重合，折痕交于点E，交于点G，则的长度为（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】先根据折叠得到，，，，然后根据直角三角形的两个锐角互余以及折叠的性质，求出，然后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：由折叠性质得：，，，， ∵， ∴ ∴ ∴ ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴． 62．（24-25八年级下·北京昌平·期末）如图，在长方形纸片中，点M在边上，沿所在的直线折叠，使点D落在点处，与交于点N．继续折叠长方形纸片，使恰好落在直线上，点A落在点处，点B落在点处，折痕为，若，，则的长度为（   ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题考查勾股定理与折叠，等腰三角形的判定和性质，根据平行线的性质和折叠的性质得出，根据等腰三角形的判定得出；根据折叠和平行线的性质得出，根据等腰三角形的判定得出，证明，设，在中，利用勾股定理求出的值，最后求出结果即可． 【详解】解：∵长方形纸片沿所在的直线折叠， ∴，， ∵四边形是长方形， ∴， ∴， ∴， ∴； 由四边形折叠得到四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 即； 设，则：， 在中，由勾股定理，得：， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 63．（24-25八年级下·重庆·期末）在如图所示的三角形纸片中，点，分别在边，上，把沿着折叠，点落在线段上的点处；再把沿折叠，点与点重合．若，，则纸片的面积是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查翻折变换、三角形的面积， 根据沿着折叠，点落在线段上的点处，可得，，，根据沿折叠，点与点重合，可得，，，在和中，根据勾股定理求得，即可得解．解决本题的关键是掌握翻折变换的性质． 【详解】解：∵沿着折叠，点落在线段上的点处，，， ∴，，， ∵沿折叠，点与点重合， ∴，，， ∴， ∴， ∴， 在和，， ∴， 解得：， ∴， ， ∴， ∴纸片的面积是． 故选：B． 64．（2021·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）如图，在中，，将边沿折叠，使点B落在上的点处，再将边沿折叠，使点A落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点N、M，则线段的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用勾股定理求出AB=10，利用等积法求出CN＝，从而得AN＝，再证明∠NMC＝∠NCM＝45°，进而即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴AB=， ∵S△ABC＝×AB×CN＝×AC×BC ∴CN＝， ∵AN＝， ∵折叠 ∴AM＝A'M，∠BCN＝∠B'CN，∠ACM＝∠A'CM， ∵∠BCN+∠B'CN+∠ACM+∠A'CM=90°， ∴∠B'CN +∠A'CM＝45°， ∴∠MCN＝45°，且CN⊥AB， ∴∠NMC＝∠NCM＝45°， ∴MN＝CN＝， ∴A'M＝AM＝AN−MN＝-=． 故选B． 【点睛】本题考查了翻折变换，勾股定理，等腰直角三角形的性质，熟练运用折叠的性质是本题的关键． 65．（24-25八年级下·湖南衡阳·期末）如图，在长方形中，．将长方形沿折叠后，使点D恰好落在对角线上的点处，则的长为（   ） A．2.5 B．3 C．3.5 D．4 【答案】B 【分析】根据勾股定理可得的长，再由折叠的性质可得，，从而得到，，设，则，在中，根据勾股定理，即可求解． 【详解】解：在长方形中，，， ∴， 由折叠的性质得：，， ∴，， 设，则， 在中，∵， ∴， 解得：， 即． 题型14利用勾股定理解决最短路径问题 66．（24-25八年级下·贵州贵阳·期末）如图，圆柱形玻璃杯，高为，底面周长为，在杯内的点处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在蜂蜜相对的正上方的点处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了勾股定理的应用，将玻璃杯侧面展开，结合勾股定理计算即可得解，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将玻璃杯侧面展开如图所示： 由题意可得：，，， ∴， 故选：B． 67．（24-25八年级下·河南洛阳·期末）如图，长方体的高为4，底面长为3，宽为1，一只蚂蚁从长方体的表面点爬到点．则蚂蚁爬行的最短路程是（    ）． A．5 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平面展开—最短路线问题，勾股定理，无理数的大小比较．要求长方体中两点之间的最短路径，最直接的作法，就是将长方体展开，然后利用两点之间线段最短解答即可． 【详解】解：按照正面和右面展开，如下， ∴， ∴； 按照正面和上面展开，如下， ∴， ∴； 按照上面和左面展开，如图3， ∴， ∴； ∵， ∴需要爬行的最短距离是， 故选：B． 68．（24-25八年级下·四川达州·期末）如图，桌上有一个圆柱形盒子（盒子厚度忽略不计），高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁A点正对，离底部的点处有一滴蜂蜜，蚂蚁沿盒子表面爬到点处吃蜂蜜，求蚂蚁爬行的最短距离（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平面展开之最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键．将容器侧面展开，得到关于的对称点，根据两点之间线段最短可知的长度即为所求，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图是侧面展开图的一半，作点关于的对称点，连接，作交的延长线于点，由题意可知，为所求 高为，底面周长为，在盒子外壁离上沿的点处有一只蚂蚁，此时，盒子内壁离底部的点处有一滴蜂蜜 ，，， 故选：D． 69．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）运动铸就辉煌，汗水燃烧激情！阳光小学举办运动会，如图是运动会的颁奖台．3个长方体颁奖台的长均为，宽均为号颁奖台的高度分别是．若一只蚂蚁从3号颁奖台的顶点处沿表面爬到1号颁奖台的顶点处，则蚂蚁爬行的最短距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查展开图求最短路径的问题，运用勾股定理求两点之间的距离是解题的关键． 根据题意将长方体展成平面图，根据两点之间线段最短，由勾股定理即可求得蚂蚁爬行的最短路程． 【详解】解：将长方体部分展成平面图如图，则的长为蚂蚁爬行的最短距离， 由题意，，， ∴， 故选：B． 70．（24-25八年级下·重庆·期末）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了轴对称，勾股定理，圆柱的展开图，两点之间线段最短，熟练掌握轴对称，勾股定理是解题的关键． 把圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，根据两点之间线段最短，可知最短路径为，最后利用勾股定理解答即可． 【详解】解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：D． 题型15 勾股定理的逆定理 71．（24-25八年级下·山西运城·期末）在中，，，的对边分别是a，b，c．下列条件能判定为直角三角形的是（   ） A．，， B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形内角和定理与勾股定理的逆定理，逐一判断各选项，即可得到结果． 【详解】解：对选项A： ∵ ，，， ∴ ，， ∵ ， ∴ 不能判定为直角三角形，不符合要求； 对选项B： ∵， 设 ，，， ∴ ，， ∴ ，符合勾股定理的逆定理， ∴ 能判定为直角三角形，符合要求； 对选项C： ∵ ，三角形内角和为， 设 ， ，， ∴ ，解得， ∴ 最大角， ∴不能判定为直角三角形，不符合要求； 对选项D： ∵，三角形内角和为， ∴，是等边三角形， ∴ 不能判定为直角三角形，不符合要求． 72．（20-21八年级下·河南南阳·期末）已知三角形的三边长满足，则三角形的形状是（   ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．不能确定 【答案】C 【分析】根据非负数的性质可知的值，再由勾股定理的逆定理即可判断三角形为直角三角形． 【详解】解：由题意得：， 解得， 满足， ∴该三角形是直角三角形． 73．（24-25八年级下·江苏南京·期末）如图，在正方形网格上，四边形的四个顶点都在格点上，则（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取格点E，连接，，，由勾股定理结合可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理逆定理得为等腰直角三角形，即可求解. 【详解】解：如图，四边形的四个顶点都在格点上，取格点E，连接，，， 由格点三角形得， ， ， ， ， ， ， ，， 为等腰直角三角形， ， . 74．（24-25八年级下·江苏泰州·期末）毕达哥拉斯在他找到的勾股数的表达式中，用（n为任意正整数）表示勾股数中最大的一个数，则另外两个数中较小数的表达式是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题利用勾股定理的平方关系，推导勾股数中较小数的表达式，关键是利用勾股数的性质设出中间数并进行代数变形． 【详解】解：题中所给表达式是毕达哥拉斯生成勾股数的一种形式 该类勾股数的三边可表示为、和， 其中最大数为， 另外两个数为和， 当为正整数时，， 所以， 因此，较小数的表达式是 故选：C． 75．（24-25八年级下·河南郑州·期末）据记载古埃及人曾用下面的方法得到直角：他们用13个等距的结把一根绳子的一部分分成等长的12段，一个人将绳子的第1个结和第13个结握在一起，另两个人分别握住第4个结和第8个结，拉紧绳子，就会得到一个直角三角形，且直角顶点在第4个结处．这样推理的依据是（   ） A．三角形内角和定理 B．勾股定理的逆定理 C．勾股定理 D．直角三角形两锐角互余 【答案】B 【分析】本题先计算出绳子围成三角形的三边长，再判断得到直角三角形的推理依据，用到勾股定理的逆定理的知识点． 【详解】解：设每段绳子的长度为单位1， ∵三角形三边长分别为，，， 又∵，满足三角形两边的平方和等于第三边的平方， ∴依据勾股定理的逆定理可判定该三角形是直角三角形，直角在第4个结处． 因此推理的依据是勾股定理的逆定理． 题型16 多边形 76．（23-24七年级下·福建泉州·期末）如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的内角和公式可求出正五边形的每个内角度数，在四边形中求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 正五边形的每个内角度数为：， 在四边形中，， ∵， ∴． 77．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）观察下面几个多边形的三角剖分（连接不相邻顶点且线段在内部不交叉），按照这个规律，一个边形进行三角剖分，分成三角形的个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据多边形性质，剖分后三角形个数为即可求解． 【详解】解：由四边形可以分成三角形的个数为； 五边形可以分成三角形的个数为； 六边形可以分成三角形的个数为； ； ∴边形可以分成三角形的个数为； 当，则可以分成三角形的个数为． 78．（24-25八年级下·天津南开·月考）如图，五边形为正五边形，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】过点B作，得出，根据平行线的性质得出，，再根据正多边形每个内角都相等求出的度数，即可得解． 【详解】如图，过点B作， ， ， ， 即， ， ， ∵五边形为正五边形， ，， ， ． 【点睛】正确作出辅助线，构造平行线是解题的关键． 79．（24-25八年级下·山东青岛·期末）如图，以正五边形一边为边在其内部作等边，延长交于点G，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用正多边形的内角公式，求出正五边形的内角度数，得到和的度数，再借助等边三角形的内角为，四边形的内角和为，计算即可． 【详解】解：由正多边形的内角公式，可得， ∵是等边三角形， ∴， ∴，， ∴． 80．（24-25八年级下·云南昭通·期末）“中国天眼（FAST）”是具有中国自主知识产权的世界上口径最大的单口径射电望远镜，它突破了射电望远镜的百米极限，开创了建造巨型射电望远镜的新模式，推动中国形成了以天眼为核心、多学科交叉融合的射电天文研究集群，也为全球天文学家提供了顶尖的观测平台．中国天眼（FAST）的反射面索网的中心区域的设计为一个五边形网格．这个五边形的内角和是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了多边形的内角和公式，牢记边形的内角和公式为(为多边形的边数，且是大于等于3的整数)是解题的关键，本题据此求解即可． 【详解】解：由多边形内角和公式可知， 五边形的内角和为， 故选：C． 题型17 平行四边形的性质及判定 81．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，下列条件中不能判断四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】结合已知与平行四边形判定定理依次判断即可． 【详解】解：A、两组对边分别平行，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； B、两组对边分别相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意； C、一组对边平行，另一组对边相等，不能判断四边形是平行四边形，故该选项符合题意； D、一组对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，故该选项不符合题意． 82．（24-25八年级下·山东淄博·期末）如图，在中，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平行四边形“对角相等”的性质，得出，再根据“邻角互补”的性质，计算出． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∵， ∴，， ∴． 83．（23-24八年级下·山东聊城·期末）如图，在直角坐标系中，的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平行四边形的性质可得，再求出，即可得出答案． 【详解】解：如图， ∵的顶点B、C、D的坐标分别是，，， ∴，， ∴． ， ∵点O、点B在x轴上， ∴点A与点D的纵坐标相等，都为3， ∴顶点A的坐标． 84．（24-25八年级下·湖北武汉·期末）如图，点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上，若，，，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由翻折得出，，求出，根据勾股定理求出，进而求出结论． 【详解】解：四边形是平行四边形，，， ，， 点在边上，将沿翻折，使点的对应点落在边上， ，， ， ， ， ． 85．（24-25八年级下·浙江绍兴·期末）如图，在中，点是中点，连接并延长，交的延长线于点，点在边上，且，连接，若的面积为2，则四边形的面积为（    ） A．5 B． C．6 D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形的中线，三角形全等的判定和性质，以及三角形的面积； 根据题意证明，从而得到，，再根据，，即可求得四边形的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵在中，点是中点， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 题型18 矩形的性质及判断的应用 86．（24-25八年级下·四川成都·期末）要使如图所示的成为矩形，需增加的一个条件可以是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查矩形的判定定理，核心要点是牢记“对角线相等的平行四边形是矩形”“有一个内角为直角的平行四边形是矩形”这两个判定定理． 【详解】解：已知四边形是平行四边形， ∵若，根据“对角线相等的平行四边形是矩形”，可得平行四边形是矩形； 而选项B中、选项C中、选项D中均是平行四边形本身具有的性质，无法通过这些条件判定其为矩形． 故选：A． 87．（24-25八年级下·辽宁阜新·期末）如图，在四边形中，，，，，点E、F分别是、的中点，连接、，则线段的长是（    ） A． B． C． D．8 【答案】A 【分析】连接，证明四边形是矩形，再结合直角三角形斜边中线等于斜边一半，得到，进而证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，得到，根据等边对等角的性质，得出，进而推出，最后利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，连接， ，点F是的中点， ， ，， 四边形是矩形， ， E是的中点， ， ， 是等边三角形， ，， ， ，， 四边形是平行四边形， ， ，， ， ， ， ， , 故选：A． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形的斜边中线，等腰三角形的判定和性质，勾股定理等知识，掌握特殊四边形的判定和性质是解题关键． 88．（23-24八年级下·重庆开州·期末）如图，在正方形中，为对角线，点、分别为边和上的点且，连接，过点作交于点，点为边上的点，连接且，若，则的度数（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接，延长交于点，证明四边形是矩形，可得，证明四边形是正方形，得到，证明，得到，最后根据三角形的外角性质即可求解． 【详解】解：连接，延长交于点， 四边形是正方形，为对角线， ，，， ， ， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， 四边形是正方形， ， 在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形的外角性质，解题的关键是灵活运用这些知识． 89．（23-24八年级下·湖北武汉·期末）已知在中，，平分，且满足，则下列四个结论：①，②，③，④，正确结论的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】由勾股定理可得，即可证得，延长至，使得，连接，，过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，，可证，得，则，则，由，知，可知，则，得，可证，在上取，可知，得，，则，过点作交于，则为等腰直角三角形，易证，再结合，，得，可证得，可得，类比此法，在取，则为等腰直角三角形，可证得，进而可得． 【详解】解：在中，， ∵， ∴，则，故①正确； 延长至，使得，连接，， 过点作交于，交延长线于，则四边形是矩形，， ∴，则， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴，则， ∴为等腰直角三角，则， 又∵， ∴， ∴，则， 即：， ∴，故③正确； 由上可知，则， 在上取，可知， ∴，，则， 过点作交于，则为等腰直角三角形， ∴，，则， 又∵，， ∴， ∴，则， ∴，故②正确； 在取，则为等腰直角三角形， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，故④正确； 综上，正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，角平分线的性质以及勾股定理等知识，综合性强，较难．正确的作出辅助线是解题关键． 90．（24-25七年级下·江苏宿迁·期末）如图，在直角三角形中，，，，，动点D在线段上运动（不与端点重合），点D关于边，的对称点分别为E，F，连接，点C在上，则在点D的运动过程中，线段长度的最小值是（） A． B． C．10 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，矩形的判定与性质，直角三角形斜边中线的性质等知识，熟知轴对称的性质是解题的关键． 根据题意得出四边形为矩形，再由轴对称的性质得出点C为的中点，据此得出，最后由时，取得最小值即可解决问题． 【详解】解：连接， 点D关于边，的对称点分别为E，F， ，，， 又， ，， 四边形为矩形， ， ， ， 当时，取得最小值， 由面积法可知，， 的最小值为． 故选：A． 题型19菱形的性质及判断的应用 91．（20-21八年级下·陕西汉中·期末）如图，下列四个条件中，能判定平行四边形为菱形的是（　 ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据菱形的判定定理和矩形的判定定理逐项判断即可． 【详解】解：A．在平行四边形中，，不能判定四边形为菱形，故选项A不符合题意； B．在平行四边形中，，根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，即B选项正确，符合题意； C．由四边形是平行四边形，则，结合可得，即平行四边形是矩形，不是菱形，故选项C不符合题意； D.在平行四边形中，，不能判定四边形为菱形，故选项D不符合题意． 92．（24-25八年级下·内蒙古包头·期末）按如下步骤作四边形：①画；②以点为圆心，1个单位长为半径画弧，分别交，于点，；③分别以点，为圆心，1个单位长为半径画弧，两弧交于点；④连接，，．若，则的大小是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了菱形的性质及判定，熟练掌握菱形的判定方法是解题的关键． 判定出四边形为菱形，再利用菱形的性质求解即可． 【详解】解：由题意可得：， ∴四边形为菱形， ∴， ∴， 故选：C． 93．（24-25八年级下·安徽宿州·期末）如图，将两条等宽的纸条重叠在一起，重叠部分为四边形，若，则四边形的周长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平行四边形的判定，菱形的判定与性质，平行四边形的面积公式，理解纸条等宽的条件是解题关键． 先由纸条对边平行判定四边形为平行四边形，再结合纸条等宽，利用面积公式推导出邻边相等，确定其为菱形，最后根据菱形四边相等的性质计算出周长． 【详解】解：如图，过点作于点E，于点F，则， ，， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是菱形， ， 四边形的周长为． 故选：． 94．（24-25八年级下·四川巴中·期末）如图，平行四边形中，对角线于点，点为的中点．若平行四边形的周长为40，则的长为（   ） A．10 B． C． D．5 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质、菱形的判定和性质、三角形中位线定理，证明四边形是菱形是关键． 证明四边形是菱形，则,再根据三角形中位线定理即可求出答案． 【详解】解：∵平行四边形中，对角线于点， ∴四边形是菱形， ∴ ∵平行四边形的周长为40， ∴, ∵是中点，是中点， ∴. 故选：D． 95．（2024八年级下·全国·专题练习）如图．在的两边上分别截取，使；分别以点A、B为圆心．长为半径作弧，两弧交于点C；连接．若，四边形的面积为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可得 ，从而判定四边形 为菱形，利用菱形面积等于对角线乘积的一半即可求解． 【详解】解：由作图可知，，． ， ． 四边形是菱形． 菱形的面积为，， ，即， 解得． 题型20正方形的性质及判断的应用 96．（24-25八年级下·广东佛山·期末）如图，在中，．添加一个条件，能判定四边形是正方形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质、正方形的判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据相关知识点逐项判断即可． 【详解】解：由题意知，平分， 又∵， ∴四边形是菱形； A：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； B：四边形是菱形，当时，四边形是正方形，故该选项符合题意； C：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意； D：四边形是菱形，则必有，无法判定四边形是正方形，故该选项不合题意． 故选：B ． 97．（20-21八年级下·浙江衢州·期末）如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AC⊥BD，E，F分别是AB，CD的中点，若AC＝BD＝2，则EF的长是（　　） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】分别取的中点为，连接，利用中点四边形的性质可以推出，再根据，可以推导出四边形是正方形即可求解． 【详解】解：分别取的中点为，连接， 分别是的中点， ， 又， ， 四边形是正方形， ， 故选：D． 【点睛】本题考查了中点四边形的性质、正方形的判定及性质，解题的关键是作出适当的辅助线，利用题意证明出四边形是正方形． 98．（20-21八年级下·四川绵阳·期末）已知，在中，，点O为的三条角平分线的交点，，点D、E、F是垂足，若，则的长度是（    ） A．4 B．6 C．12 D．10 【答案】C 【分析】连接，由角平分线的性质定理得到，可证明四边形是正方形，则，证明，则，同理，设，在中运用勾股定理建立方程求解，则即可求出，那么问题得以求解． 【详解】解：连接， ∵点O为的三条角平分线的交点，， ∴， ∵，， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， 设， 则， ∴在中，由勾股定理得 解得或（舍）， ∴， 故选：C． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，角平分线的性质定理，勾股定理，全等三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 99．（24-25八年级下·全国·期末）如图，分别为正方形的边上的点，且，则图中的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查勾股定理，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质．首先正方形的性质和全等三角形的判定与性质得出，即阴影部分为矩形，设正方形的边长为，利用勾股定理求出的值，即可得出的值，同理求得，则阴影部分为正方形，求出面积即可得到答案． 【详解】解：设正方形的边长为，则， 又∵，， ∴， ∴， ， 同理可知：， ∴阴影部分是矩形， 在中，由勾股定理得， 由面积公式得，即， 得， 同理可得：， 在中，由勾股定理得， 则， 同理可得：， ∴阴影部分是正方形， 图中阴影部分的面积与正方形的面积之比． 故选：D． 100．（24-25八年级下·山东东营·期末）如图，正方形的边长为1，是对角线上一动点，于点，于点，连接，给出四种情况：①若为的中点，则四边形是正方形；②点在运动过程中，始终满足；③点在运动过程中，的值为定值1；④点在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②③④ 【答案】D 【分析】先证明四边形是矩形，再证明，则四边形是正方形，即可判定正确；连接，由四边形是矩形，得，再证明，得，再证明，推出，即可判定正确；证明，，从而得，即可判定正确；根据，所以当最小时，最小，所以当时，最小， ，求得，即得线段的最小值为，即可判定正确． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形，， ， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形，故正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵矩形， ∵， 又∵ ∴， ∴， ∴，故正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴，即的值为定值1，故正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小，在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为，故正确； ∴正确的有， 故选：． 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，垂线段最短，三角形三边关系，全等三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，熟练掌握正方形的判定与性质、矩形的判定与性质是解题的关键． 题型21 四边形中的最值问题 101．（21-22八年级下·河南南阳·期末）如图，正方形的边长为3，为上一点，且，为边上的一个动点，连接，以为边向右侧作等边，连接，则的最小值为（   ） A． B． C．2 D．1 【答案】C 【分析】由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接，得到．则点G在垂直于的直线上．作，由垂线段最短可知，的长即的最小值．作，则四边形为矩形，求出．，得出，最后根据，即可求解． 【详解】解：由题意可知，点F是主动点，点G是从动点，点F在线段上运动，点G也一定在线段轨迹上运动．将绕点E旋转，使与重合，得到，连接， 由旋转可得， ∴，， ∴为等边三角形． ∴，    ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴点G在垂直于的直线上． 作，由垂线段最短可知，的长即的最小值． 作，则四边形为矩形， ∴，， ∴． ， ， ∴，即的最小值为2． 102．（24-25八年级下·四川内江·期末）如图，在矩形中，，动点分别在对角线上（点在点左侧），连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点，易证四边形是平行四边形，推出，此时取得最小值，再根据矩形的性质证明，推出，再证明，进而证明，推出，利用勾股定理求出，结合，求出，证明，推出，由勾股定理求出，再根据，得到，即可求解． 【详解】解：如图，过点作，使得，连接交于点F，交于点H，连接交于点， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， 此时取得最小值， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即的最小值为． 故选：D． 【点睛】本题考查矩形的性质，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，合理作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 103．（24-25八年级下·浙江·期末）如图，是正方形外一点，，，则的长度的最大值是（   ） A．5 B．7 C．6 D．8 【答案】C 【分析】过作，且、在的两侧，使，根据等腰直角三角形的性质得到，由四边形是正方形，得到，．根据余角的性质得到，推出，根据全等三角形的性质得到，由三角形的三边关系得到，即可得到结论． 【详解】解：如图，过作，且、在的两侧，且， ． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在与中， ， ， ． ， ， 长度的最大值为6． 故选：C． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质、正方形的性质、三角形的三边关系，正确作出辅助线是解题的关键． 104．（22-23八年级下·江苏扬州·期末）如图，在正方形中，点E、F、G分别在、、上，，，，，与交于点P．连接，则的最小值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】过点作于点，取的中点，连接、，根据正方形的性质证明≌，然后根据直角三角形性质可得，当、、共线时，有最小值，根据勾股定理即可解决问题． 【详解】解：如图，过点作于点，取的中点，连接、，     四边形是正方形， ，，， 四边形是矩形， ， 在和中， ， ≌， ，， ， ， ， ， ， ， 是直角三角形，是的中点， ， ，， ， ， ， 当、、共线时，有最小值， ，， ， ， 的最小值为． 故选A． 【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，三角形的三边关系，在几何证明中常利用三角形的三边关系解决线段的最值问题，解题的关键是得到≌． 105．（2022·四川资阳·中考真题）如图，正方形的对角线交于点O，点E是直线上一动点．若，则的最小值是(   ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题为典型的将军饮马模型问题，需要通过轴对称，作点A关于直线BC的对称点，再连接，运用两点之间线段最短得到为所求最小值，再运用勾股定理求线段的长度即可． 【详解】解：如图所示，作点A关于直线BC的对称点，连接，其与BC的交点即为点E，再作交AB于点F， ∵A与关于BC对称， ∴，，当且仅当，O，E在同一条线上的时候和最小，如图所示，此时， ∵正方形，点O为对角线的交点， ∴， ∵对称， ∴， ∴， 在中，， 故选：D． 【点睛】本题为典型的将军饮马模型，熟练掌握轴对称的性质，并运用勾股定理求线段长度是解题关键。 题型22 数据的频数分布 106．（20-21八年级下·陕西汉中·期末）为了解学生体育锻炼的用时情况，陈老师对本班50名学生一天的锻炼时间进行调查，并将结果绘制成如图所示的条形统计图，那么一天锻炼时间为1小时的频率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据频率频数总数量计算即可． 【详解】解：一天锻炼时间为1小时的频率为． 107．（21-22七年级上·陕西西安·期末）某班班主任将全班同学的一次数学考试成绩进行了整理，整理后绘制成如图所示的频数分布直方图（每组含最小值，不含最大值），则下列说法错误的是（   ） A．得分在分的人数最多 B．该班的总人数为40 C．人数最少的得分段的频数为2 D．得分及格（大于等于60分）的有12人 【答案】D 【分析】利用频数分布直方图中的信息一一判断即可． 【详解】解：样本中得分在分的人数最多，有14人，故A正确，不符合题意； 由频数分布直方图可知该班总人数为（人），故B正确，不符合题意； 人数最少的得分段的频数为，故C正确，不符合题意； 得分及格（大于等于60分）的有（人），故D错误，选项符合题意． 108．（20-21七年级上·陕西汉中·期末）为了解“新课堂教学”的整体效果，某中学让学生参与了关于“新课堂”学习满意度的调查，将全校2600名学生的调查结果制成如图所示的扇形统计图，下列说法错误的是（   ） A．觉得“比较满意”的学生人数最多 B．觉得“一般”的学生有650人 C．觉得“不满意”的学生人数对应的扇形圆心角度数是5 D．觉得“非常满意”的人数是“不满意”人数的6倍 【答案】C 【分析】观察扇形统计图求出觉得“不满意”的人数所占的百分比，比较判断A；再用总人数乘以觉得“一般”的人数所占的百分比判断B；然后用乘以觉得“不满意”的人数的百分比解答C；最后根据百分比之间的关系解答D即可． 【详解】解：根据扇形统计图可知不满意的人数占， 则， 所以比较满意的学生人数最多，A正确，不符合题意； 因为， 所以觉得“一般”的学生有650人，则B正确，不符合题意； 因为， 所以觉得“不满意”的学生人数对应的圆心角度数是，则C不正确，符合题意； 因为， 所以觉得“非常满意”的人数是“不满意”人数的6倍，则D正确，不符合题意． 109．（21-22六年级下·山东烟台·期末）“共享单车”为人们提供了一种经济便捷、绿色低碳的共享服务，成为城市交通出行的新方式．小明对他所在小区居民当月使用“共享单车”的次数进行了抽样调查，下面对样本数据的四个判断： ①小明一共抽样调查了20人； ②当月使用“共享单车”30～40次的人数最多； ③当月使用“共享单车”不足30次的人数有15人； ④当月使用“共享单车”10～20次和40～50次的人数相同． 其中合理的是（　　） A．①② B．②③ C．②④ D．③④ 【答案】C 【分析】根据频数分布直方图分析判断即可． 【详解】解：小明一共抽样调查了（人），故①错误， 样本中当月使用“共享单车”30～40次的人数最多，有20人，故②正确， 样本中当月使用“共享单车”不足30次的人数有：5+10+15＝30（人），故③错误， 当月使用“共享单车”10～20次和40～50次的人数都是人，故④正确， 故选项C正确． 110．（21-22七年级下·辽宁营口·期末）芳芳同学收集了她们班30名学生体重的数据，并绘成等距分组的频数分布直方图，已知该图中各小长方形的高的比是，则第3小组的频数是（    ） A．6 B．12 C．9 D．3 【答案】B 【分析】本题考查频数分布直方图的性质，等距分组时，频数分布直方图中各小长方形高的比等于对应各组频数的比，掌握“频数总人数频率”是解答本题的关键．根据频数总人数频率计算即可． 【详解】解：第3小组的频数是． 故选：B． 题型23 利用合适的统计量做决策 111．（24-25八年级下·吉林长春·期末）学校准备定制一款校服，对全校同学喜欢的颜色进行了问卷调查，统计结果如表所示．学校最终决定选择红色校服，其参考的统计量是（    ） 颜色 白色 红色 蓝色 学生人数 100 820 180 A．平均数 B．中位数 C．众数 D．方差 【答案】C 【分析】本题主要考查了众数的概念，众数是一组数据中出现次数最多的数据，学校选择人数最多的颜色作为校服颜色，对应的统计量是众数． 【详解】根据统计表，喜欢红色校服的学生人数为820，明显多于白色（100人）和蓝色（180人），因此，红色是这组数据中出现次数最多的颜色，即众数； 学校参考众数这一统计量，选择最受欢迎的红色作为校服颜色，其他统计量（平均数、中位数、方差）均不适用于类别数据的比较； 故选：C． 112．（24-25八年级下·山西晋城·期末）某商店销售，，，，，5种尺码的上衣．商店经理想通过调查每种上衣的销量来决定多进哪种上衣，则从这5种尺码的上衣销量中，可作为参考依据的是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．无法判断 【答案】C 【分析】此题考查平均数、中位数、众数的性质．根据几种数据的性质解答． 【详解】解：商店经理应关注的是销售数量，销售数量最多的应选择众数， 故答案为：C． 113．（24-25八年级下·福建厦门·期末）某运动品牌专营店店主对上一周新进的某女款运动鞋销售情况统计如下： 尺码 平均每天销售数量/双 该店主决定在下周进货时，增加一些码运动鞋的数量，影响该店主决策的统计量是（   ） A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差 【答案】B 【分析】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义．平均数、中位数、众数是描述数据集中趋势的统计量，方差描述数据的离散程度．店主增加37码进货量，是因为该尺码销量最高，对应众数的定义． 【详解】解：店主需根据最畅销的尺码调整进货量，而众数恰好代表销量最高的数据，因此影响决策的统计量是众数 故选：B． 114．（20-21七年级下·北京石景山·期末）某品牌专营店店主对上一周新进的某款衬衫销售情况统计如下： 尺码 39 40 41 42 43 44 45 平均每天销售数量/件 10 23 30 35 28 21 8 该店主决定本周进货时，增加一些42码的衬衫，影响该店主决策的统计量是（    ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【分析】销量大的尺码就是这组数据的众数． 【详解】解：由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数． 故选：C． 【点睛】此题主要考查统计的有关知识，主要包括平均数、中位数、众数、方差的意义． 115．（20-21八年级下·江苏常州·期末）某同学对数据16，20，20，36，5■，51进行统计分析，发现其中一个两位数的个位数字被墨水涂污看不到了，则计算结果与被涂污数字无关的是（　　） A．中位数 B．平均数 C．方差 D．众数 【答案】A 【分析】利用中位数、平均数、方差、众数的定义来求解即可. 【详解】解：这组数据的平均数、方差和标准差都与被涂污数字有关，而这组数据的中位数为20与36的平均数，与被涂污数字无关． 故选：A． 【点睛】本题主要考查中位数、平均数、方差、众数的定义，属于基础题型. 题型24 利用方差求未知数据的值 116．（24-25八年级下·陕西西安·期末）小聪在计算一组数据的方差时，列出了算式：．关于这组数据，下列说法正确的是（    ） ①平均数是4；②中位数是5；③众数是5；④样本容量是3． A．①② B．①③ C．②④ D．③④ 【答案】B 【分析】本题主要考查平均数、中位数、众数及方差，解题的关键是掌握平均数、中位数、众数及方差的定义．由题意知这组数据为2、4、5、5，再根据平均数、中位数、众数及样本容量的概念求解即可． 【详解】解：由题意知，这组数据为2、4、5、5， 所以这组数据的平均数为，①正确； 中位数为，②错误； 众数为5，③正确； 样本容量为4，④错误； 故选：B． 117．（24-25八年级下·山西运城·期末）吴老师在黑板上写出一个计算方差的算式：．根据算式，下列结论判断错误的是（  ） A． B．平均数为8 C．众数是9 D．若添加一个数8后，方差变小 【答案】C 【分析】本题主要考查了求一组数据的方差，平均数，众数，根据方差算式可得这组数据为9，7，9，7，8，这组数据的平均数为8，则可求出这组数据的众数，再求出添加一个数8后的平均数和方差即可得到答案． 【详解】解：∵方差算式为， ∴这组数据为9，7，9，7，8，共5个数据，即，故A结论正确，不符合题意； 由方差算式可知平均数为8，故B结论正确，不符合题意； 这组数据中7和9均出现了2次，次数最多， 所以这组数据的众数为7和9，C结论错误，符合题意； 添加一个8后，数据为9，7，9，7，8，8，平均数仍为8， 原始方差， 新方差， ∴方差变小，故D结论正确，不符合题意． 故选：C． 118．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）运用方差公式对一组数据进行计算的过程中有：，根据该信息，下列说法错误的是（   ） A．样本的容量是3 B．样本的中位数是3 C．样本的众数是2 D．样本的平均数是 【答案】A 【分析】本题考查了方差、样本容量、中位数与众数、平均数，熟练掌握方差公式是解题关键．先根据方差公式可得这组数据为，再根据样本容量的定义、中位数与众数的定义、平均数公式逐项判断即可得． 【详解】解：由方差公式可知，数据3出现了2次，数据4出现了2次，数据2出现了3次， 所以这组数据为． A、样本的容量是，则此项错误； B、样本的中位数是3，则此项正确； C、样本的众数是2，则此项正确； D、样本的平均数是，则此项正确； 故选：A． 119．（2017·福建南平·一模）若一组数据2，3，4，5，x的方差与另一组数据5，6，7，8，9的方差相等，则x的值为（  ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题考查了方差的性质，利用方差的性质：一组连续整数的方差相同。第一组数据若要方差与第二组（连续整数）相等，则其也需为连续整数，从而确定x的值． 【详解】解：∵第二组数据5，6，7，8，9是连续整数，方差为固定值， 又∵第一组数据2，3，4，5，x的方差与第二组相等， ∴第一组数据也应为连续整数， 当时，数据为1，2，3，4，5，是连续整数， 当时，数据为2，3，4，5，6，是连续整数， ∴x的值为1或6． 故选：C． 120．（24-25八年级下·湖北恩施·期末）八年级某班准备从甲、乙两位同学中选一人参加学校跳绳比赛．通过多次测试统计，他们的平均成绩都是每分钟180个，方差分别是：．最终选择了更稳定的甲参加比赛，则可能是（    ） A． B． C． D．3 【答案】D 【分析】本题考查了方差的意义． 根据方差越小，成绩越稳定判断即可． 【详解】解：∵，甲更稳定， ∴， 只有D符合， 故选：D． 题型25 四分位数和箱线图 121．（24-25八年级下·广东梅州·期末）如图，已知（）班和（）班人数相等，在一次考试中两班成绩中位数相同，两班成绩的箱线图如下，下列判断正确的是（   ） A．（）班成绩比（）班成绩集中 B．（）班成绩的上四分位数是分 C．（）班有同学的成绩超过分 D．（）班的最低分低于（）班的最低分 【答案】D 【分析】根据箱线图的相关概念，对每一个所涉及到的统计量进行分析判断即可． 【详解】解：、观察箱线图知：（）班成绩的箱线图宽度较窄，则（）班成绩比（）班成绩集中，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的下四分位数是分，上四分位数约为分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最大值约为分，没有同学的成绩超过分，故原说法错误，不符合题意； 、观察箱线图知：（）班成绩的最低分约为分，（）班成绩的最低分约为分，，即（）班的最低分低于（）班的最低分，故原说法正确，符合题意． 122．（24-25八年级下·山西运城·期末）某老师绘制了一次数学小测验中甲、乙、丙三个班级学生得分的箱线图（如图），根据该图判断下列说法正确的是（   ） A．三个班级中，甲班分数的方差最大 B．三个班级中，乙班学生得分两极分化最不明显 C．丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数 D．若每班有42个学生，则三个班级中每班第11名的成绩相比较，甲班分数最高 【答案】C 【分析】本题主要考查箱线图的相关知识．通过箱线图中数据的分布情况，对各选项逐一进行分析判断即可解答． 【详解】解：、箱线图中，数据的离散程度可通过箱线图的宽度来判断，宽度越窄，数据越集中，方差越小．甲班箱线图的宽度相对较窄，说明甲班分数更集中，所以甲班分数的方差最小，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，乙班中最大值较另两个班更大，最小值较另两个班更小，故乙班分数的波动最大，故本选项错误，不符合题意； 、由箱线图可知，丙班的中位数大于80，故丙班得分高于80分的学生人数多于得分低于80分的学生人数，丙班学生得分的中位数高于甲班学生得分的中位数，故本选项正确，符合题意； 、每班有42个学生，第11名的分数是按从高到低排序后的第11个数据，从箱线图看，丙班的分数最高，故本选项错误，不符合题意； 123．（24-25八年级下·福建漳州·期末）小颖根据一组数据画出如图所示的箱线图，则下列说法不正确的是（   ）． A．最小值为47 B．中位数为73 C．上四分位数为83 D．平均数为73 【答案】D 【分析】本题考查箱线图和中位数的定义，根据箱线图逐项分析即可． 【详解】解：对于A：由图可知，这组数据的最小值为47，故A正确； 对于B：由图可知，这组数据的中位数为73，故B正确； 对于C：由图可知，这组数据的上四分位数为83，故C正确； 对于D：根据箱线图不能直接得到平均数，故D不正确． 故选：D． 124．（24-25八年级下·山东青岛·期末）有一组被墨水污染的数据：4、17、7、14、★、★、★、16、10、4、4、11，其箱线图如图所示，则下列说法正确的是（   ） A．这组数据的下四分位数是3 B．这组数据的中位数是10 C．这组数据的上四分位数是18 D．被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18 【答案】D 【分析】本题考查箱线图和四分位数，理解箱线图中数据表示的统计量是解答的关键．根据箱线图中数据逐项判断即可． 【详解】解：A、由图知，这组数据的下四分位数是4，原说法错误，不符合题意； B、由图知，这组数据的中位数是10.5，原说法错误，不符合题意； C、由图知，这组数据的上四分位数是15，原说法错误，不符合题意； D、由图知，最小值是3，最大值是18，则被墨水污染的数据中一个数是3，一个数是18，原说法正确，符合题意； 故选：D． 125．（24-25八年级下·全国·期末）在2025年数学中考二模中，甲、乙两班的数学成绩箱线图如图所示，下列说法一定正确的个数是（    ） ①甲班成绩的中位数比乙班高 ②甲班成绩的最高分比乙班高 ③甲班成绩总体比乙班好 ④甲班成绩的方差更小 A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查箱线图，熟练掌握从箱线图获得信息是解题的关键． 通过观察成绩箱线图的中位数、最高分、总体情况以及方差的定义逐一判断即可． 【详解】解：观察成绩箱线图得，甲班成绩的中位数为80分、乙班成绩的中位数为60分， 则甲班成绩的中位数比乙班高， 故①正确； 甲班成绩的最高分接近120分，而乙班成绩的最高分接近100分， 则甲班成绩的最高分比乙班高， 故②正确； 由于甲班成绩的中位数、最高分都比乙班高，且甲班成绩的下四分位数也在乙班的下四分位数之上， 则甲班成绩总体比乙班好， 故③正确； 由于甲班成绩的极差比乙班大，数据离散程度可能更大，方差可能更大， 则甲班成绩的方差不一定更小， 故④错误， 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C． 题型26二次根式在图形中的应用 126．（24-25八年级下·广东广州·期末）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座边长为米的正方形雕像． (1)求绿化的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果要化简） (2)求出当，时的绿化面积． 【答案】(1)平方米 (2)平方米 【分析】本题考查了整式的混合运算以及二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． （1）由长方形面积减去正方形面积表示出绿化的面积即可； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：根据题意得： 平方米； （2）解：当，时，原式平方米． 127．（24-25八年级下·河北石家庄·期末）如图，木工从一个大正方形木板上裁去面积分别为和的两个小正方形木料． (1)裁去的两块正方形木料的边长分别为________和________； (2)求剩余木料（阴影部分）的面积； (3)如果木工想从剩余的木料中裁出长为，宽为的长方形木条，最多可以裁出________块这样的木条． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据算术平方根的定义解答即可求解； （）求出大正方形的边长，再用大正方形的面积减去两个小正方形的面积即可； （）求出和的近似值，进而即可求解； 本题考查了算术平方根的应用，二次根式的运算，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴裁去的两块正方形木料的边长分别为和， 故答案为：，； （2）解：由（）可得，大正方形的边长为， ∴剩余木料（阴影部分）的面积； （3）解：∵，， ∵，， ∴最多可以裁出块这样的木条， 故答案为：． 128．（24-25八年级下·陕西榆林·期末）有一块长方形木板，木工甲采用如图的方式，将木板的长增加（即），宽增加（即）．得到一个面积为的正方形． (1)求长方形木板的面积； (2)木工乙想从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料，请通过计算说明木工乙的想法是否可行． 【答案】(1) (2)木工乙的想法可行，理由见解析 【分析】（1）先求出正方形的边长，然后再求出长方形的长和宽，再计算长方形的面积即可； （2）根据长方形的面积公式求出需要裁出的长方形的长，然后比较大小即可． 【详解】（1）解：∵长增加（即），宽增加（即），得到一个面积为的正方形． ∴正方形的边长为， ∴，， ∴长方形木板的面积为； （2）解：木工乙的想法可行，理由如下： ∵要从长方形木板中裁出一个面积为，宽为的长方形木料， ∴裁出的长方形的长为， 由（1）得长方形的长为，宽为， ，， ， ∴，， ∴可以裁出所求的长方形木料，即木工乙的想法可行． 题型27二次根式新定义阅读题 129．（21-22八年级下·北京门头沟·期末）对于任意两个非零实数a，b，定义运算如下：． 如：，． 根据上述定义，解决下列问题： （1） ， ； （2）如果，那么x ＝ ； （3）如果，求x的值． 【答案】（1），；（2）；（3）． 【分析】（1）根据新定义的运算进行计算即可求解； （2）根据得到，解分式方程即可求解； （3）根据-2＜0，得到=-2+x，对分大于0和小于0两种情况讨论，得到方程，解方程并对答案进行验证，问题得解． 【详解】解：（1）∵，， ∴，， 故答案为：，； （2）∵， ∴=， ∴ ， 解得， 经检验，是方程的解， 故答案为：-1； （3）∵-2＜0， ∴=-2+x． ①当时， ， 解得：， 经检验是原方程的解，但不符合， ∴舍去． ②当时， ， 解得：．     经检验是原方程的解，且符合． ∴． 【点睛】本题考查了新定义问题，二次根式的运算，解分式方程等知识，综合性较强，理解定义的新运算是解题关键，注意第（3）问要分类讨论． 130．（24-25七年级上·山东泰安·期末）定义：形如“”的数称为“族”数（其中m，n为有理数，．），并规定：两个“族”数之间可以进行“，，，”等运算，运算符合二次根式的相关要求． (1)试判断，，，2中哪些属于“族”的数； (2)若（其中a，b为有理数，）是“族”数，求A的倒数的值，并判断其是否为“族”的数． 【答案】(1)，属于“族”的数 (2)；为“族”的数． 【分析】本题考查了二次根式的定义，分母有理化，熟练掌握二次根式的定义及分母有理化是关键． （1）根据二次根式的定义判断即可； （2）根据分母有理化的方法求解即可． 【详解】（1）解：，属于“族”的数； （2）解：， ，为有理数，， 为“族”的数． 131．（23-24八年级下·山东威海·期末）定义：若两个二次根式，满足，且为有理数，则称与是关于的共轭二次根式． (1)与是关于______的共轭二次根式； (2)若与是关于2的共轭二次根式，则______； (3)若与是关于12的共轭二次根式，求的值． 【答案】(1)1； (2)； (3)． 【分析】此题主要考查了新定义共轭二次根式的理解和应用，并会利用二次根式的性质进行计算． （1）根据共轭二次根式的定义，即可得解； （2）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； （3）根据共轭二次根式的定义，列出等式求得的值即可； 【详解】（1）解：， ∴ 与是关于1的共轭二次根式， 故答案为：1； （2）解：∵与是关于2的共轭二次根式， ∴ ∴， 故答案为：； （3）解：∵与是关于12的共轭二次根式， ∴ ∴， ∴． 题型28 二次根式的实际应用 132．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期末）高空抛物是一种不文明的危险行为，据研究，从高处坠落的物体，其下落的时间和高度近似满足公式（不考虑阻力的影响）． (1)求物体从的高空落到地面的时间； (2)小红说物体从的高空落到地面的时间是（1）中所求时间的2倍，她的说法正确吗？请说明理由； (3)已知从高空坠落的物体所带能量（单位：）物体质量高度．某质量为的小球经过落在地上，这个小球在下落过程中所带能量有多大？你能得到什么启示？（注：杀伤无防护人体只需要的能量） 【答案】(1)4秒 (2)不正确；理由见解析 (3)；启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人 【分析】本题考查了二次根式的应用，理解公式，正确运算代入求值是解决本题的关键． （1）把代入公式即可； （2）把代入公式求出时间，与（1）中时间相比较即可得到结论； （3）求出，代入题干计算公式即可求出． 【详解】（1）解：由题意知：当时，； 故物体从的高空落到地面的时间为4秒． （2）解：不正确． 理由：当时，． ， 她的说法不正确． （3）解：，， ， ， 所带能量， 这个小球在下落过程中所带能量有． 启示：严禁高空抛物，一个小球都能砸伤人． 133．（24-25八年级下·甘肃武威·期末）跨学科 高空抛物现象曾被称为“悬在城市上空的痛”，严重威胁着人们的“头顶安全”，根据《中华人民共和国民法典》第一千二百五十四条规定，禁止从建筑物中抛掷物品，从建筑物中抛掷物品或者从建筑物上坠落的物品造成他人损害的，由侵权人依法承担侵权责任． 据物理学研究，高空抛物下落的时间（秒）和高度（米）近似满足关系式 （其中取9.8m/s2），高空抛物落地时的动能（焦）（牛/千克）物体质量（千克）高度（米）． (1)当米时，求物体下落的时间（结果保留根号）； (2)当高空抛物落地时的动能大于65焦时，会对无防护人体造成伤害．某质量为0.1千克的玩具在高空被抛出后经过4秒后落在地上，请判断，这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人吗？说明理由． 【答案】(1)下落的时间为秒； (2)这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人，见解析 【分析】本题考查了二次根式的应用，掌握二次根式的运算是解题的关键． （1）把h的值代入计算求解； （2）先求出h的值，再计算判断． 【详解】（1）解：当米时：， 答：下落的时间为秒； （2）解：这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人， 理由：当秒时，， 解得：米， ， 所以这个玩具产生的动能会伤害到楼下的行人． 134．（24-25八年级下·山西晋中·期末）在左权县的智慧交通建设中，当地交管部门引入了智能测速与紧急制动预警系统．该系统基于滑行距离公式，其中s表示紧急刹车后的滑行距离（单位：），v表示刹车前的速度（单位：），结合车载传感器实时采集的车速v（），可自动计算紧急刹车后的滑行距离s（），并通过车联网技术提前向驾驶员预警安全车距． (1)当时，请算出紧急刹车后的滑行距离______； (2)若某车辆监测到前方障碍物需紧急制动，当系统显示滑行距离时，求此时的车速．（，结果精确到1） 【答案】(1)12 (2) 【分析】本题考查了代数式求值，以及二次根式的应用． （1）将代入中求解，即可解题； （2）将代入中求解，即可解题． 【详解】（1）解：当时，． 故答案为：12． （2）解：当时，． 因为，所以． 答：此时的车速约为． 题型29 利用一元二次方程解决营销问题 135．（24-25八年级下·上海·期末）公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售200个，6月份销售288个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． (1)求该品牌头盔销售量的月增长率； (2)若此种头盔的进价为30元/个，经市场调查，当售价为40元/个时，月销售量为600个，售价每上涨0.5元/个，则月销售量将减少5个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【答案】(1)该品牌头盔销售量的月增长率为 (2)该品牌头盔的实际售价应定为元/个 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果； （2）设售价上涨个元，根据题意列出一元二次方程，解方程即可得出结果． 【详解】（1）解：设该品牌头盔销售量的月增长率为， 由题意可得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴该品牌头盔销售量的月增长率为； （2）解：设售价上涨个元， 由题意可得：， 解得：，， 当时，售价为元， 当时，售价为元， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴该品牌头盔的实际售价应定为元/个． 136．（24-25八年级下·江苏扬州·期末）交警部门提醒市民：出门戴头盔，放心平安归！某商店统计了某品牌头盔的销售量，四月份售出320个，六月份售出500个，且从四月份到六月份月增长率相同． (1)求该品牌头盔的销售量的月增长率； (2)经市场调研发现，此种品牌头盔如果每个盈利10元，月销售量为550个，若在此基础上每个涨价1元，则月销售量将减少10个，现在既要使月销售利润达到7500元，又要尽可能让顾客得到实惠，那么该品牌头盔每个应涨价多少元？ 【答案】(1) (2)5元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该品牌头盔的销售量的月增长率为，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可； （2）设头盔每个涨价元，根据“月销售利润达到7500元”，得出关于的一元二次方程求解，根据“尽可能让市民得到实惠”取舍即可． 【详解】（1）解：设该品牌头盔的销售量的月增长率为， 根据题意得， 解得，（舍去）， 答：该品牌头盔的销售量的月增长率为． （2）解：设该品牌头盔每个应涨价元， 根据题意得， 整理得， 解得或， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴， 答：该品牌的头盔每个应涨价5元． 137．（23-24八年级下·四川资阳·期末）“大寒”是二十四节气中最后一个节气，也是一年中最冷的时候，人们都穿上了羽绒服和棉衣，某服装店在销售A款羽绒服和B款棉衣时发现，购买3件A款羽绒服和2件B款棉衣需支付1800元；购买2件A款羽绒服和4件B款棉衣需支付2000元； (1)求A款羽绒服和B款棉衣的销售单价各多少元？ (2)已知每销售一件A款羽绒服可获利80元，平均每天可售出20件，若每降价10元，则可多卖出5件A款羽绒服，为了实现每天销售A款羽绒服获利1750元，又要让消费者获得实惠的目标，则应该降价多少元？ 【答案】(1)A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为400元和300元 (2)应该降价30元 【分析】（1）设A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为x元和y元，根据题意列方程组求解； （2）设应该降价元，则每件获利元，可售出件，根据“总利润单利数量”，列方程求解，结合要让消费者获得实惠，即可得解． 【详解】（1）解：设A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为x元和y元， 根据题意得：， 解得， 答：A款羽绒服和B款棉衣的销售单价分别为400元和300元； （2）解：设应该降价元，则每件获利元，可售出件， 根据题意得：， 解得，， ∵要让消费者获得实惠， ∴，即 答：应该降价30元． 题型30 利用一元二次方程解决与图形有关的问题 138．（21-22八年级下·浙江舟山·期末）如图，利用一面墙（墙的长度20m，不可围到墙外），用40m长的篱笆围一个矩形，设边的长为． (1)边的长为 m，矩形的面积为 （均用含的代数式表示）； (2)当矩形的面积是，求的边长； (3)矩形的面积是否可以是？请给出你的结论，并用所学的方程知识说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)不可以，理由见解析 【分析】（1）根据题意，即可得出边的长度，然后由矩形的面积公式，即可得出矩形的面积； （2）根据题意，即可得到方程，进一步解方程得，，再根据墙的长度为20m，舍去不符合题意的情况，即可得出的边长； （3）根据矩形的面积公式，得到方程，通过计算根的判别式，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意可知，边的长为， 矩形的面积为． （2）解：由题意得，， 整理得，， ， 解得，，． 又墙的长度为20m， 当时，，不符合题意，舍去， ， ， 即的边长为． （3）解：不可以，理由如下： 若， 即， 此时，， 该方程无实数根， 故矩形的面积不可以是． 139．（24-25八年级下·内蒙古呼伦贝尔·期末）如图，某中学准备在校园里利用长的旧围墙的一段，再砌三面墙，围成一个矩形花园（其中墙留宽的入口），现已备足可以砌长的墙的材料（全部用完），设的长为． (1)的长为________m，的取值范围是________； (2)当为何值时，可使矩形花园的面积为？ (3)亮亮说：“矩形花园的面积可以为．”请你判断亮亮的说法正确吗？并说明理由． 【答案】(1)， (2) (3)亮亮的说法不正确，理由见解析 【分析】（1）根据题意列代数式，再结合旧围墙的长度列不等式求解； （2）根据矩形花园的面积为列一元二次方程，取范围内的解即可； （3）根据矩形花园面积列一元二次方程，再结合根的判别式确定方程无解，即可得解． 【详解】（1）解：， ， ， ， ； （2）解：根据题意得， 整理得， 解得（舍），， 答：当时，矩形花园的面积为； （3）解：亮亮的说法不正确，理由如下： 根据题意得，即， ， 该方程无实数根， 矩形花园的面积不可以为，即亮亮的说法不正确． 140．（24-25八年级下·内蒙古赤峰·期末）如图，设计师要给长城风景画安装上一个四周宽度相等的空白画框，制成一个矩形工艺品后进行销售，该工艺品的长为，宽为． (1)若该工艺品中间风景画的面积为，此时空白画框的宽度是多少？ (2)已知该工艺品的成本是元／件，若以元／件销售，则每天可售出件．该公司决定降价销售该工艺品，根据销售经验，销售单价每降低元，每天可多售出件，则当该公司把销售单价降低多少元时，每天所获利润为元？ 【答案】(1)空白画框的宽度为； (2)该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）设画框(空白部)的宽度为，根据矩形的面积公式列出一元二次方程，解方程即可； （2）设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据总利润等于单件利润乘以销售量，列出一元二次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：设空白画框的宽度为，根据题意列方程得： ， 解得：，， 当时，不符合题意， ． 答：空白画框的宽度为． （2）解：设该公司把销售单价降低元时，每天所获利润为元，根据题意列方程得： ， 解得：，， 答：该公司把销售单价降低元或元时，每天所获利润为元． 题型31 利用一元二次方程解决动态几何问题 141．（23-24八年级下·江苏泰州·期末）在长方形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P、Q分别从A、B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒． (1)填空：__________，__________用t的代数式表示）； (2)当t为何值时，的长度等于？ (3)是否存在t的值，使得五边形的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)2t， (2) (3)存在， 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，以及勾股定理的应用，正确表示出、的长度是解题关键． （1）根据距离=速度×时间解答即可； （2）根据的长度等于，利用勾股定理列方程求出值即可得答案； （3）根据五边形的面积加上的面积等于长方形面积列方程求解即可得答案． 【详解】（1）解：∵在长方形中，，， 而，， ∴． （2）解：在中，， ∴， 整理，得：， 解得或2． 把舍去， 所以，当时，的长度等于． （3）解：∵， ∴， 即， 整理，得：， 解得：或4． 依题意，， ∴， ∴，故取． 因此，当时，五边形的面积等于． 142．（24-25八年级下·浙江嘉兴·月考）如图，在，，，动点D从点A出发以速度向点C移动，同时动点E从C出发以的速度向点B移动，设它们的运动时间为， (1)根据题意知： ， ；（用含的代数式表示） (2)t为何值时，的面积等于四边形的面积的？ (3)点D、E运动时，的长可以是吗？如果可以，请求出t的值，如果不可以，请说明理由． 【答案】(1)； (2)1 (3)点D、E运动时，的长不可以是，理由见解析 【分析】本题主要考查了一元二次方程在几何图形中的应用，列代数式，勾股定理，正确理解题意利用方程的思想求解是解题的关键． （1）根据路程等于速度乘以时间可得的长，进而可得的长； （2）根据图形面积之间的关系可得的面积是的面积的4倍，求出的面积，进而得到的面积，再根据三角形面积计算公式建立方程求解即可； （3）利用勾股定理可建立方程，看方程是否有解即可得到结论． 【详解】（1）解：由题意得，，， ∴； （2）解：∵在，，， ∴； ∵的面积等于四边形的面积的， ∴四边形的面积是的面积的3倍， ∴的面积是的面积的4倍， ∴的面积为， ∴， ∴， 解得； （3）解：点D、E运动时，的长不可以是，理由如下： 在中，由勾股定理得， ∴当时，有， 解得， 此时， ∴原方程无解， ∴点D、E运动时，的长不可以是． 143．（24-25八年级下·湖南湘西·期末）如图，在长方形中，，，点P从点A开始沿线段向点B以的速度移动，点Q从点B开始沿线段向点C以的速度移动，点P，Q分别从A，B两点同时出发了t秒钟，直至两个动点中某一点到达端点后停止． (1)经过几秒钟后， 的面积等于？ (2)经过几秒钟后，的长度等于？ (3)若的面积为S，写出的面积S关于t的函数关系式，要求写出自变量的取值范围． 【答案】(1)1秒 (2)2秒 (3) 【分析】（1）由题意得，t秒后，，，根据，列方程求出t的值即可； （2）在中，, , , ，根据勾股定理列方程，求出t的值即可； （3）根据，将，代入化简即可． 【详解】（1）解：由题意得，t秒后，，， ∵， ∴， 解得，． 由题意得P点从A点运动到B点需要秒，Q点从B点运动到C点需要秒， ∴， ∴不合题意，舍去． ∴经过1秒钟后，的面积等于4cm2． （2）解：在中，, , , ， ∴， ∴， 解得（舍去）, ． ∴经过2秒钟后，的长度等于5cm． （3）解：由题意得 ． 【点睛】本题考查了矩形的性质的运用，勾股定理的运用，三角形的面积公式的运用，根据题意表示出线段和的长是解题的关键． 题型32 利用勾股定理的实际应用 144．（23-24八年级下·河北廊坊·期末）“为了安全，请勿超速”．如图，一条公路建成通车，在某路段限速60千米小时，为了检测车辆是否超速，在公路旁设立了观测点，从观测点测得一小车从点到达点行驶了5秒，已知，米，米． (1)请求出观测点到公路的距离； (2)此车超速了吗？请说明理由．（参考数据：，） 【答案】(1)米 (2)没有超速，见解析 【分析】（1）过点C作于H，先求出的长，再用勾股定理求解即可； （2）先求出的长，再求出的长，进而求出汽车的速度，即可得出答案． 【详解】（1）解：过点C作于H， 在中， ， ． 米 （米） （米） 即观测点C到公路的距离为（米）． （2）解：米， 米 米 ∴车速为（米/秒） 千米/小时米/秒， ∴此车没有超速． 145．（24-25八年级下·陕西咸阳·期末）为增加趣味性，某科技馆计划展出一款恐龙互动模型（图1），为避免在互动过程中模型出现关节卡顿、失衡等风险，该模型一条大腿支架与小腿支架需满足互相垂直的条件，设计人员计划利用现有支架实施固定，其示意图如图2所示，实际测得数据如下：，． (1)与垂直吗？请说明理由； (2)据设计人员介绍，支架的比长，求支架的长度． 【答案】(1)垂直，理由见解析 (2) 【分析】（1）根据勾股定理逆定理解答即可； （2）根据勾股定理列出方程，求出解即可． 【详解】（1）解：与垂直，理由如下： ∵， ∴， ∴，即； （2）解：由题意设，则，根据勾股定理，得 ， 即， 解得， 所以． 146．（22-23八年级下·重庆沙坪坝·期末）如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上一男子拽着绳子另一端向右走，绳端从移动到，绳子始终绷紧且绳长保持不变．    (1)若米，米，米，求男子需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)此人以0.5米每秒的速度收绳，请通过计算回答，该男子能否在30秒内将船从处移动到岸边点的位置？ 【答案】(1)米 (2)不能 【分析】（1）根据勾股定理求的长，然后作差求解即可； （2）先求出从A处移动到岸边点F的时间，比较大小，然后作答即可． 【详解】（1）解：∵， 由勾股定理得，， ∵， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴男子需向右移动的距离为米； （2）解：由题意知，需收绳的绳长（米）， ∴此人的收绳时间为（秒）， ∵， ∴该男子不能在秒内将船从A处移动到岸边点F的位置． 题型33 勾股定理在平面直角坐标系中的综合应用 147．（24-25八年级下·贵州遵义·期末）如图，在平面直角坐标系中，等腰的位置如图①所示，顶点A在y轴上，顶点B，C在x轴上，且，．点D在边上，点E在射线的延长线上，且． (1)如图①，点C的坐标为________；若点D为的中点，则长为________； (2)如图②，点D在x轴的负半轴上，若点E坐标是，点是点E关于x轴的对称点，连接，，交x轴于点H． ①点的坐标是________； ②有同学过点D作，交于点M，借此探究线段与的数量关系．请你试着探究，直接写出结论：________（填“”、“”或“”）． (3)如图③，在（2）的条件下，连接，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)， (2)①；② (3)为等边三角形，理由见解析 【分析】（1）由直角三角形的性质可得，即可得出点C的坐标为，结合勾股定理计算得出，由此即可得出结果； （2）①根据关于轴对称的点的坐标特征即可得出结果；②由（1）可得为等边三角形，由等边三角形的性质可得，证明为等边三角形，得出，再证明，即可得出结果； （3）由轴对称的性质可得，，由（2）可得，，从而得出，，再结合三角形外角的定义及性质得出，即可得出结果． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， ∴点C的坐标为； ∵， ∴， ∴， ∵点D为的中点， ∴此时点和点重合，， ∴； （2）解：①∵点E坐标是，点是点E关于x轴的对称点， ∴点的坐标是； ②由（1）可得：， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：为等边三角形，理由如下： 由轴对称的性质可得，， 由（2）可得，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质、直角三角形的性质、坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质、三角形外角的定义及性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 148．（22-23八年级下·浙江宁波·期末）当m，n是非零实数，且满足时，就称点为“完美点”． (1)若点M为“完美点”，且横坐标为2，则点M的纵坐标为 ； (2)“完美点”P在直线 （填直线解析式）上； (3)如图，直线分别交x轴、y轴于点A、B，，直线上的“完美点”为点E， ①求的面积； ②若点P在直线上，点Q是y轴上一点（不与点B重合），当和全等时，求点P的坐标（不包括这两个三角形重合的情况）． 【答案】(1)3 (2) (3)①；②P的坐标为或或 【分析】（1）由点M为“完美点”，且横坐标为2，可得，求得n值即可求解； （2）设“完美点”，由，m，n是非零实数，可得，则故P在直线上； （3）①先求得，由（2）知“完美点”E在直线上，解方程组求得，进而可求解； ②，，分两种情况：当时和当时，利用全等三角形的对应边相等列方程求得a值即可解答． 【详解】（1）解：∵点M为“完美点”，且横坐标为2， ∴ 解得， 则， 点M的纵坐标为 3； （2）解：设“完美点”， ∵，m，n是非零实数， ∴， ∴， ∴P在直线上； （3）解：①在中，令得，令得， ∴，， ∵ ∴， 由（2）知“完美点”E在直线上，又点E在直线上的“完美点”， 解方程组得， ∴， ∴的面积为； ②由，，得, ，， 设，， 当时，如图： ∴， ∴， 解得或（舍去）， ∴； 当时，如图： ∴， ∴, 解得或， ∴或， 综上所述，P的坐标为或或． 149．（21-22八年级下·河南郑州·期末）【问题情境】 学过几何的人都知道勾股定理，它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有400多种．在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动． 【操作发现】 如图1是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点．在图1中画出，其顶点A，B，C都是格点，同时构造正方形，使它的顶点都在格点上，且它的边分别经过点C，A．他们借助此图求出了的面积． (1)在图1中，所画出的的边长________，的面积为________； 【初步探究】 (2)在图2所示的正方形网格中（每个小正方形的边长为1）画出（顶点都在格点上），使，，，请判断的形状，并说明理由； 【继续探究】 (3)若中有两边的长分别为，，且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为a）中画出两种符合题意的（全等的三角形视为同一种情况），并求出它的第三条边长，填写在横线上________． 【答案】(1)5， (2)作图见解析，是直角三角形，理由见解析 (3)或，见解析 【分析】（1）根据勾股定理即可求解，根据正方形的面积公式、三角形的面积公式求出的面积； （2）根据三边数据，结合勾股定理即可作图，再由勾股定理逆定理证明为直角三角形即可； （3）先画出符合条件的图形，再根据勾股定理求出即可． 【详解】（1）解：， 的面积； （2）解：如图2，即为所求， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴为直角三角形； （3）解：如图所示，，，，此时； 如图所示，，，， 此时， 第三边的长为或． 题型34 四边形中的动点问题 150．（24-25八年级下·河南开封·期末）已知如图，在四边形中，，，，．动点P从点A出发，以的速度向点D运动；动点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动．规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动． (1)从运动开始，运动几秒时，四边形是平行四边形； (2)从运动开始，运动几秒时，四边形是矩形． 【答案】(1)从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形 (2)从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形 【分析】本题考查了平行四边形的性质，矩形的性质，解题的关键是掌握并灵活运用平行四边形的性质． （1）设经过，，根据平行四边形的性质进行解答即可得； （2）当时，四边形是矩形．建立方程求解即可． 【详解】（1）解：设运动秒，由已知得，， ， ，当时，四边形是平行四边形． ，解得， 答：从运动开始，运动6秒时，四边形是平行四边形． （2）解： ，，当时，四边形是矩形． ， 解得． 即从运动开始，运动6.5秒时，四边形是矩形． 151．（24-25八年级下·山东威海·期末）数学研究小组发现，求线段最值问题的解决策略：对两条线段作某种变换（平移、轴对称、旋转等），最终转化为“两点之间线段最短问题”去解决． (1)如图1，已知菱形，，，点E是边中点，点F是对角线边上的动点．连接，，则的最小值为________； (2)如图2，已知矩形，，．点E是上的点，且，点F，G是上的动点，且，连接．则的最小值为________； (3)如图3，已知正方形，，E是上的动点，F是上的动点，且．连接，，求的最小值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）取中点记作点，连接，，，记与的交点为点，连接，，先根据三角形的中位线性质和菱形性质证明点是点E关于的对称点，则，当点F运动到点时，的最小值，即的长， 证明为等边三角形和为等腰三角形，利用等边三角形的性质和勾股定理求解即可求解； （2）在上取点H，使得，连接，证明四边形是平行四边形，得到，在延长线上取点，使得，连接，则，进而利用两点之间线段最短得到的最小值为，然后利用勾股定理求得即可求解； （3）在下方，过C作，且，连接，，证明得到，由，当A、F、P共线时取等号，可得的最小值为的长；过P作于H，延长线于Q，由等腰直角三角形的判定与性质求得，再证明四边形是矩形，得到，，在中利用勾股定理求得即可． 【详解】（1）解：取中点记作点，连接，，， 记与的交点为点，连接，， ∵点E，点分别是，边中点， ∴，，， 在菱形中，，, ∴，， ∴点是点E关于的对称点， ∴， ∴当点F运动到点时，的最小值，即的长， 在菱形中，，， ∴，则为等边三角形， ∴， ∴，则为等腰三角形， ∵点是边中点， ∴，，即， 又，， ∴，则， 在中，， 又∵，，， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：； （2）解：∵四边形是矩形， ∴，， 在上取点H，使得，连接，则 ∴四边形是平行四边形， ∴， 在延长线上取点，使得，连接，则， ∴，当H、F、共线时取等号， ∴的最小值为， ∵，． ∴中，，， ∴， ∴的最小值为； （3）解：在下方，过C作，且，连接，， ∵四边形是正方形，， ∴，，， ∴，， ∴，又， ∴， ∴， ∴，当A、F、P共线时取等号， ∴的最小值为的长； 过P作于H，延长线于Q，则， 在中，，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， 在中，， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，矩形的判定与性质，正方形的性质，等腰三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、最短路径问题等知识，熟练掌握特殊四边形的性质，添加辅助线得到最小值时动点的位置是解答的关键． 152．（24-25八年级下·广东梅州·期末）如图，在四边形中，，，，，，动点从点A出发，以的速度向终点运动，同时动点从点出发，以的速度沿折线向终点运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含t的式子表示 ． (2)当t为何值时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形？ (3)只改变点Q的运动速度，使运动过程中某一时刻四边形为菱形，则点Q的运动速度应为多少？ 【答案】(1) (2)当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； (3)当Q点的速度为时，四边形为菱形． 【分析】本题考查了四边形的综合题，涉及到菱形的性质、平行四边形的判定及性质． （1）根据P点的速度以及时间结合的长表示即可； （2）只有Q点在上时，方能满足条件，分两种情况：①四边形是平行四边形，②四边形是平行四边形，进行解答即可； （3）设Q的速度为，Q在边上，此时可为菱形，满足，建立方程解决即可． 【详解】（1）解：P从A点以向B点运动， 时，， ， ； 故答案为：； （2）解：作于点， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∴， Q在上运动时间为， ， 运动时间最长为， 时，在边上， 此时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形，分两种情况： ①四边形是平行四边形，如图所示： ∵即， 只需即可，由（1）知：， 以的速度沿折线向终点运动， 运动时间为时，， ， 解得：； ②四边形是平行四边形，如图所示： 同理， 只需，四边形是平行四边形， 由（1）知，， 则， ， 解得：， 综上所述：当或时，直线把四边形分成两个部分，且其中的一部分是平行四边形； （3）解：设Q的速度为，由（2）可知，Q在边上，此时四边形可为菱形， ， 只需满足即可， 由（1）知：， 由（2）知：，， ，， 解得：，， 当Q点的速度为时，四边形为菱形． 题型35 四边形与在直角坐标系中的压轴题 153．（23-24八年级下·安徽铜陵·期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别是，，动点P从点O出发，沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，同时动点C从点B出发，沿射线方向以每秒2个单位的速度运动．以，为邻边构造平行四边形．在线段延长线上有一动点E，且满足，设点P运动时间为t秒． (1)当点C运动到线段中点时， ，点E的坐标为 ； (2)当点C在线段上运动时，求证：四边形为平行四边形； (3)当时，求四边形的周长． 【答案】(1)； (2)见解析 (3)或 【分析】（1）当运动到的中点时，根据时间等于路程除以时间即可求得，进而求得的坐标； （2）证明，则，，则和平行且相等，则四边形为平行四边形； （3）分两种情况，即点在线段上或点在线段延长线上，再利用勾股定理分别求得平行四边形的两边即可． 【详解】（1）解：点，的坐标分别是，， ，， 点运动到线段的中点， ， 则， ， ， ， 则的坐标是， 故答案为：；； （2）证明：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在和中， ， ， ，， ， 四边形是平行四边形； （3）解：当点在线段上时， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 如图，当点在线段的延长线上时， 同（2）中原理可得， ，， ， 四边形是平行四边形， 当时，， ， ， ，， ， ，， ， 平行四边形的周长为； 综上，四边形的周长为或． 【点睛】注意第三小问，需要考虑点在线段上或点在线段延长线上，两种情况，再结合第二小问，考虑到用勾股定理求出平行四边形的两边长即可． 154．（24-25八年级下·上海奉贤·期末）如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是，线段交轴于点，．动点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动，同时动点从点出发，以每秒1个单位的速度向点运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)用含的代数式表示：___________； (2)当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是___________； (3)当是等腰三角形时，求的值． 【答案】(1) (2)或 (3)的值为秒或秒 【分析】（1）根据平行四边形的性质及点坐标得出，即可求出，根据点速度即可得答案； （2）点在点右侧和点在点左侧两种情况，分别表示出和，利用平行四边形的性质列方程求出的值即可； （3）分、和三种情况，分别利用等腰三角形“三线合一”的性质及勾股定理列方程求出的值即可． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点是原点，点的坐标是， ∴， ∵， ∴， ∵点以每秒1个单位的速度向点运动，运动时间为秒， ∴， ∴． （2）解：∵，点运动到点时，点随之停止运动， ∴， ∵点从点出发，沿射线的方向以每秒个单位的速度运动， ∴， ①如图，当点在点右侧时， ∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； ②如图，当点在点左侧时，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， 解得：； 综上所述：当以，，，为顶点的四边形是平行四边形时，则的值是或． （3）解：如图，当时，过点作于，则， ∵， ∴， ∴四边形是矩形，， ∵， ∴，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， 解得：； 如图，当时，过点作于，则四边形是矩形， ∴，， ∵在中，， ∴， 整理得，， ∵， ∴此方程无实数根， ∴此种情况不存在； 综上所述：的值为秒或秒． 155．（24-25八年级下·江苏南通·期末）如图，在等边三角形中，点D在边上（与点B，C不重合），的垂直平分线交的延长线于点E，交边于点M． (1)当点D为中点时，连接，，求证四边形是平行四边形； (2)探究线段与的数量关系，并说明理由； (3)若，求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）先证明，是等边三角形，再证明，即可得证； （2）设的垂直平分线交于点F．先求得，再证即可得出结果； （3）过点D作，垂足为G．根据，计算即可得出结果． 【详解】（1）解：是等边三角形，D是的中点， ，． 垂直平分， ，． ，是等边三角形． ． ． ． 四边形是平行四边形． （2）解：． 理由如下：如答图2，设的垂直平分线交于点F． 由（1）可知是等边三角形， ，． ． ，， ． ． ． 是等边三角形， ． ，即． ； （3）解：如答图3，过点D作，垂足为G．则，． 由（1）得， ，， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定定理、含有角的直角三角形的性质等知识点，熟练掌握相关知识点是解此题的关键． 题型36 几何探究压轴题 156．（23-24八年级下·甘肃兰州·期末）如图，四边形是正方形，点E是边的中点，，且交正方形外角的平分线于点F，请你认真阅读下面关于这个图的探究片段，完成所提出的问题． (1)探究1：小强看到图后，很快发现，这需要证明和所在的两个三角形全等，但和显然不全等，考虑到点E是边的中点，因此可以选取的中点M，连接（图1）后尝试着完成了证明，请你写出小强的证明过程． (2)探究2：小强继续探索，如图2，若把条件“点E是边的中点”改为“点E是边上的任意一点”，其余条件不变，发现仍然成立，请你证明这一结论． (3)探究3：小强进一步还想试试，如图3，若把条件“点E是边的中点”改为“点E是边延长线上的一点”，其余条件仍不变，那么结论是否成立呢？若成立请你完成证明过程给小强看，若不成立请你说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)结论成立，证明见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线构造三角形全等是解题的关键； （1）取的中点M，连接，由正方形的性质及等腰三角形的性质可证明，即有； （2）在上取点P，使，连接，由正方形的性质及等腰三角形的性质可证明，即有； （3）延长至H，使，连接，由正方形的性质及等腰三角形的性质可证明，即有． 【详解】（1）证明：如图1，取的中点M，连接， 则， ∵四边形是正方形， ∴， ∵点E是边的中点， ∴， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图2，在上取点P，使，连接， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：， 证明如下： 如图3，延长至H，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵是正方形外角的平分线， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 157．（24-25八年级下·山东德州·期末）综合与探究 【问题情境】在数学课上，同学们用正方形纸片进行探究活动． 如图1，阳光小组准备了正方形纸片，将正方形纸片折叠，使点B落在上的点E处，得到折痕，与相交于点G，连接，． 【猜想发现】（1）如图1，______°； 【深入探究】（2）如图1，求证：四边形是菱形； 【拓展延伸】（3）如图2，在图1的基础上，继续将正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为，连接，交于点M，试判断线段，、之间的数量关系，并说明道理． 【答案】（1）22.5；（2）见解析；（3），理由见解析 【分析】（1）根据正方形的性质得，结合折叠得即可； （2）根据正方形的性质得和，结合折叠得，和，则．进一步得到，有得到，即可证明四边形是平行四边形，再结合，即可得到平行四边形是菱形． （3）过点Q作的垂线，垂足为K，设交于点R，连接，则，得边形为矩形，结合折叠得和，有，进一步证明≌，有，由对称得垂直平分和，可得到，在中利用即可证明． 【详解】解：（1）∵正方形纸片， ∴， ∵使点B落在上的点E处，得到折痕， ∴， 故答案为∶22.5； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵是由翻折得到， ∴，，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴平行四边形是菱形． （3）．理由如下： 过点Q作的垂线，垂足为K，设交于点R，连接，如图， 则， ∴四边形为矩形， ∴． ∵正方形纸片折叠，使点A与点F重合，折痕为对称轴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵点A，点F关于对称， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 在中，， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查正方形的性质、折叠的性质、平行线的判定、等腰三角形的性质、菱形的判定、矩形的判定和性质、全等三角形的判定和性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是特殊四边形的性质和全等三角形的性质． 158．（2025·河南商丘·一模）《矩形的折叠》探究课上，刘老师让同学们裁出一个矩形纸片，且，，点P为上一个动点，研究以直线为对称轴折叠矩形．并作以下操作，供同学们探究发现： 【问题提出】如图1，点E，F分别为，的中点，若Q点与点A重合，点D的对应点为点M，当点M落在上时，展开纸片，连接交折线于点O，则与的位置关系为______，与的数量关系为______； 【再次探究】如图2，若点Q在上，点D的对应点为点M，点A的对应点为点N，若点M始终落在上，展开纸片，连接交折线于点O，判断四边形的形状，并说明理由； 【拓展延伸】如图3，若点Q在上，点D的对应点为点，若点始终落在上，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；；（2）菱形，理由见解析；（3） 【分析】（1）由折叠的性质即可得到答案； （2）先根据全等得到，进而得到证明四边形是平行四边形，再根据对角线垂直即可得到答案； （3）分两种情况讨论，当点与点重合时，的长最大；当点与点重合时，的长最小，根据勾股定理求解即可． 【详解】解：（1）∵以直线为对称轴折叠矩形，点与点重合，点的对应点为点， ∴，， ∴垂直平分， ∴，， ∴与的位置关系为，与的数量关系为， 故答案为：；； （2）四边形是菱形．理由如下： ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，， ∴垂直平分， ∴，， ∵， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）长的取值范围是． 如图，当点与点重合时，的长最大， 此时， ∴长的最大值为； 如图2，当点与点重合时，的长最小， 设，则， ∵折叠矩形纸片，使点落在边上的点处， ∴，，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 解得：， ∴长的最小值为， ∴长的取值范围是． 【点睛】本题考查矩形的折叠问题，矩形的性质，垂直平分线的判定和性质，勾股定理，平行四边形的判定，菱形的判定等知识点，利用分类讨论的思想解决问题是解题的关键． 题型37 数据综合题 159．（21-22七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）疫情期间为了丰富学生居家学习生活，开学初学校开展读书活动．五一期间对七年级某班50名学生进行调查，调查发现每一名学生都能至少阅读一本课外书．阅读课外书不少于三本的学生人数占总人数的46%．请结合统计图，解答下列问题． (1)通过计算，补全条形统计图． (2)本次调查获取的样本数据的众数为__________本；中位数为__________本； (3)求该班级平均每人读课外书多少本？ (4)该学校七年级共有1200名学生，估计七年级学生共读课外书多少本？ 【答案】(1)1本：8人，3本：12人，条形统计图见解析； (2)2；2； (3)2.6本； (4)3120本 【分析】（1）根据“阅读课外书不少于三本的学生人数占总人数的46%”可以求出阅读3本的人数，从而求出阅读1本的人数，然后可以补全条形统计图； （2）根据（1）的计算、众数和中位数的意义求解； （3）算出该班的阅读总本数，再除以50，即可得解； （4）用学生总人数乘以（3）得到的平均数即可得解． 【详解】（1）解：∵50×46%=23， ∴阅读3本的人数为：23-（4+7）=12， 阅读1本的人数为：50-（19+23）=8， ∴可以补全条形统计图如下： （2）解：由统计图可以看出本次调查获取的样本数据的众数为2本， ∵把所调查同学的阅读本数按照从小到大排序后，排在第25、26位的都是2本， ∴本次调查获取的样本数据的中位数为2本， 故答案为2；2； （3）解：（本）， 答：该班级平均每人读课外书2.6本； （4）解：1200×2.6=3120（本）， 答：该校七年级学生共读课外书3120本． 【点睛】本题考查数据的整理与分析，熟练掌握根据部分占比求总体的方法、算术平均数的计算方法、条形统计图的绘制方法以及根据校本估计总体的方法是解题关键． 160．（2021·陕西·模拟预测）某校为了解九年级同学的体育考试准备情况，随机抽查该年级若干名学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）绘制成两幅不完整的统计图．请根据图中信息回答下面的问题： （1）请补全条形统计图： （2）所调查学生测试成绩的平均数为______，中位数为______，众数为_____； （3）若该校九年级学生共有1500人，请估计该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有多少人？ 【答案】1）详见解答；（2）8.56，9，10．（3）1140人． 【解析】（1）根据条形统计图和扇形统计图，先算出9分学生的人数，再补全条形统计图； （2）利用平均数、中位数、众数的求法，直接求值即可； （3）先计算抽样学生中成绩不低于8分的百分比，再估计全部九年级学生的成绩情况． 【详解】解：（1）抽样学生中成绩为8分的有10人，占抽样学生数的20%， 所以本次抽样人数为：10÷20%=50（人）， 因为成绩9分的人数占抽样人数的24%， 所以抽样学生中成绩为9分的有：50×24%=12（人）． 补全条形统计图如下： （2）所调查学生测试成绩的平均数为： ； 把该组数据按从小到大的顺序排列后，第24、25个数都是9， 所以该组数据的中位数为：9； 该组数据中，10分出现的次数最多， 所以众数为：10． 故答案为：8.56，9，10． （3）由扇形图知，抽样学生中成绩不少于8分的占： 20%+24%+32%=76%， 所以该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有： 1500×76%=1140（人）． 答：该校九年级学生在体育模拟测试中不低于8分的学生约有1140人． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图、中位数、平均数、众数及用样本估计总体等知识点，读懂条形统计图和扇形统计图，并掌握平均数、中位数及众数的求法是解决本题的关键． 161．（20-21八年级下·河南洛阳·期末）某校八年级数学老师们在全年级开展教学创新对比试验，所有班级都被设为实验班或对比班，一学期后对全年级同学进行了数学水平测试，观察实验效果．从实验班和对比班中各随机抽取20名学生的测试成绩（满分100）进行整理和分析（成绩共分成五组：A．50≤x＜60，B．60≤x＜70，C．70≤x＜80，D．80≤x＜90，E．90≤x≤100），绘制了如下不完整的统计图表： 一、收集、整理数据：实验班20名学生的数学成绩分别为：50，65，68，76，77，78，87，88，88，88，89，89，89，89，93，95，97，97，98，99，对比班学生数学成绩在C组和D组的分别为：73，74，74，74，74，76，83，88，89． 二、分析数据：两组样本数据的平均数、中位数和众数如表所示： 成绩 平均数 中位数 众数 实验班 85 88.5 b 对比班 81.8 a 74 三、描述数据：请根据以上信息，回答下列问题： （1）①补全频数分布直方图； ②填空：a＝ ，b＝ ； （2）根据以上数据，你认为实验班的数学成绩更好还是对比班的数学成绩更好？判断并说明理由（两条理由即可）； （3）如果我校八年级实验班共有学生900名，对比班共有学生600名，请估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数． 【答案】（1）①见解析；②，；（2）实验班的数学成绩更好，理由：实验班成绩的平均数、中位数均比对比班的高；（3）大约有人 【分析】（1）①求出实验班20名学生的测试成绩（满分为的人数，即可补全频数分布直方图； ②根据众数和中位数的定义求解可得； （2）根据实验班和对比班样本数据的平均数、中位数和众数判定即可； （3）分别用实验班和对比班的总人数乘以各自样本中成绩不低于80分的学生人数所占比例，相加可得． 【详解】解：（1）①实验班20名学生的测试成绩（满分为的人数：（人， 补全频数分布直方图如图： ； ②， ， 故答案为：79.5，89； （2）实验班的数学成绩更好， 理由：①实验班样本数据的平均数大于对比班样本数据的平均数， ②实验班样本数据的中位数和众数大于对比班样本数据的中位数和众数； （3）对比班20名学生本次数学成绩不低于80分的学生人数：（人， 估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数：（人， 答：估计全年级本次数学成绩不低于80分的学生人数有930人． 【点睛】本题主要考查了频数分布直方图，用样本估计总体，读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息时，解题的关键是必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题． 1．请阅读下列材料： 问题：已知，求代数式的值． 小明的做法：根据，得，∴，∴．把的值整体代入，得． 仿照上述方法解决问题： (1)已知，求代数式的值． (2)已知，求代数式的值． 【答案】(1)-7 (2)1 【分析】（1）先由变形得到​，平方后求出的值，再整体代入代数式求值； （2）先由​变形得到​，平方后求出的值，再通过因式分解整体代入求的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 2．【阅读理解】 爱思考的小名在解决问题：已知，求的值．他是这样分析与解答的： ，． ，即． ． ． 请你根据小名的分析过程，解决如下问题： (1)计算： ； (2)计算： ； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）仿照题目的方法利用平方差公式分母有理化即可； （2）利用分母有理化可得，然后合并同类二次根式即可； （3）利用分母有理化可得，进而得到，，然后将所求代数式变形，代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ； （3）解：， ， ，即， ． 3．我市在开展“一盔一带”安全守护行动中，联合“爱心头盔”厂家在多个地点开展免费领取头盔活动，据统计，某领取点六月份发放“爱心头盔”100个，八月份发放144个，且从六月份到八月份月增长率相同． (1)求该领取点“爱心头盔”发放量的月增长率； (2)为解决暑期海边音乐节的电动车停放问题，计划将一个长为，宽为的矩形空地规划为一个电动车停车场，如图所示，阴影部分都是宽为a的长方形的道路，若使除道路外，剩余部分的面积是，则道路宽a应为多少？ 【答案】(1)“爱心头盔”发放量的月增长率为． (2)道路宽a应为． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意找准等量关系列出方程是解题的关键． （1）设“爱心头盔”发放量的月增长率为，根据题意列出方程，求出的值即可解答； （2）根据题意可得方程，求出的值即可解答． 【详解】（1）解：设“爱心头盔”发放量的月增长率为， 根据题意，得， 解得，（舍去）， 答：“爱心头盔”发放量的月增长率为． （2）解：由题意得，， 整理得：， 解得，（不符合题意，舍去）， 答：道路宽a应为． 4．宁波镇海某金橘合作社深耕本土特色果品种植，2023年镇海金橘平均亩产量为．近年来引入镇海农林部门研发的矮化密植栽培技术，改良土壤墑情与果实套袋管理模式，2025年平均亩产量提升至． (1)若2023年到2025年金橘平均亩产量年增长率相同，求其平均亩产量年增长率； (2)已知该合作社目前镇海金橘种植面积为12亩，每亩的种植成本为2.5万元．为满足本地商超及文旅采摘市场需求，合作社计划2026年增加种植面积．经测算，若种植面积每增加一亩，每亩的种植成本将减少0.05万元，在保持种植总成本不变的前提下，则2026年该合作社应增加种植面积多少亩？ 【答案】(1) (2)38亩 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是根据题目中的等量关系，合理设未知数并列出一元二次方程，进而求解得到符合实际意义的答案． （1）设年增长率为x，表示出 2025年亩产量，列方程求解． （2）设2026年该合作社应增加种植面积m亩，表示出增加后的面积和每亩成本，列方程求解． 【详解】（1）解：设平均亩产量的年增长率为，由题意得： ， 解得：（舍去）， 答：平均亩产量的年增长率为． （2）解：设2026年该合作社应增加种植面积亩， 由题意得：， 解得：（舍去）， 答：2026年该合作社应增加种植面积38亩． 5．钓鱼岛及其附属岛屿是中国固有领土，我国对钓鱼岛的巡航已经常态化．如图，甲、乙两艘海警船同时从位于南北方向的海岸线上某港口出发，各自沿一固定方向对钓鱼岛巡航，若甲船每小时航行海里，乙船每小时航行海里． (1)若甲乙两船离开港口一个半小时后分别位于、处（图1），且相距海里，如果知道甲船沿北偏东方向航行，你知道乙船沿哪个方向航行吗？请说明理由． (2)若甲船沿北偏东方向航行（图2），从港口离开经过两个小时后位于点处，此时船上有名乘客需要以最快的速度回到海岸线上，若他从处出发，乘坐的快艇的速度是每小时海里，他能在分钟内回到海岸线吗？请说明理由．（提示：） 【答案】(1)乙船沿南偏东方向航行； 理由见解析 (2)他能在分钟内到海岸线；理由见解析 【分析】（1）根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，进而解答即可； （2）过点作于，根据含度角的直角三角形的性质和勾股定理求得的长，进一步计算得出答案． 【详解】（1）解：乙船沿南偏东方向航行； 理由如下： 由题意可得：，（海里），（海里）， 在中， ，， ， 是直角三角形，且， ， 乙船沿南偏东方向航行； （2）解：他能在分钟内到海岸线．理由如下： 如图，过点作于， 由题意可得：，（海里）， ， （海里）， （海里）， （海里）， ， 他能在分钟内到海岸线． 6．“万马奔腾迎新春！”某校九年级为庆祝2026马年的到来，从九年级男生和女生中各随机抽取20名学生进行“十二生肖知识竞赛”活动．活动成绩分为A，B，C，D四个等级，其中A，B，C，D各等级的得分分别记为10，9，8，7．现将活动的数据整理并绘制成如下两幅统计图． (1)样本中男生和女生成绩的众数分别为______和______，中位数分别为______和______； (2)若九年级男生和女生各有600人，估计九年级全体学生中成绩超过8分的有多少人？ (3)比较样本中男生和女生成绩的众数和中位数，说明所调查的同学中男生和女生谁的成绩更好． 【答案】(1)10；9；9.5；9 (2)810人 (3)男生的成绩更好 【分析】（1）根据中位数，众数的定义即可求解； （2）利用样本估计总体即可解答； （3）根据平均数、中位数，众数即可求解． 【详解】（1）解：女生成绩B级所占的百分比为：． 男生成绩的众数为：10； 女生成绩的众数为：9； 男生成绩的中位数为：； 女生成绩的中位数为：． （2）解：（人）． 答：估计成绩超过8分的有810人．   （3）解：样本中男生成绩的众数和中位数均大于女生， 男生的成绩更好．（说法合理即可） 7．如图，在正方形中，点为上一点，连接，把沿折叠得到，延长交于，连接． (1)求的度数． (2)如图，为的中点，连接． ①求证：； ②若正方形边长为，求线段的长． 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）由正方形的性质可得，，再由翻折的性质得，，，证明得，即可得出结论； （2）①根据折叠的性质和线段中点的定义可得，，再结合三角形外角的性质可推出，即可得证； ②设，表示出、，根据点是的中点求出、，得到的长度，再利用勾股定理列出方程求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是正方形， ∴，， ∵把沿折叠得到， ∴，，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）①证明：∵把沿折叠得到， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②解：由（1）得，， ∴， 设， ∵正方形边长为， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， 即线段的长． 8．在矩形中，，，E、F是直线上的两个动点，分别从、两点同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度，运动时间为t秒，其中． (1)如图1，、分别是、中点，当四边形是矩形时，求的值； (2)若、分别从点、沿折线运动，与相同的速度同时出发． ①如图2，若四边形为菱形，求的值； ②如图3，作的垂直平分线交、于点、Q，当四边形的面积是矩形面积的时，求的值． 【答案】(1)或 (2)①；② 【分析】（1）先证明，则，，可得，则，得四边形是平行四边形，连接，证明四边形是矩形，则，，当时，四边形是矩形，则或，解方程即可得到答案； （2）①由（1）知：，连接，由四边形为菱形得到，，则，则，由勾股定理得到，则，求得，则，则，即可得到； ②根据点G，H所在边的不同分情况讨论求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵M、N分别是的中点， ∴， ∵E、F分别从A、C同时出发相向而行，速度均为每秒2个单位长度， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， 如图1，连接， ∵四边形是矩形，M，N分别是中点， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是矩形， ∴或， 解得：或； （2）解：①由（1）知：， 如图2，连接， ∵四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图3，点G在上，点在上时，连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 设，则， ∵在中，， 即，解得， ∴，， 同理可得， ∴， ∵G、H分别从点A、C沿折线，运动， ∴， 又∵， ∴， ∴， 同理可证， ∴四边形是平行四边形， ∵四边形的面积是矩形面积的， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 如图，点G在线段上，同时点在线段上， 即时， ， ， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 如图，点G在线段上，同时点在上， 即时， ，， ∴， ∵在矩形中，，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 解得，不合题意，舍去． 故此情况不存在． 综上所述，四边形的面积是矩形面积的时，的值为． 9．如图1，矩形纸片中，点在边上．连接，将矩形纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，与交于点；如图2，继续将纸片沿折叠，使点、分别与点、重合，、分别与交于点、． (1)如图2，若，则= ． (2)如图3，点恰好落在边上（即点与点重合）． ①若，，求的长． ②已知，，若，，三点恰好在同一条直线上，试探究、之间的数量关系并写出证明过程． 【答案】(1) (2)①②，证明见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、平行线的性质以及勾股定理． （1）由，可得，，由折叠性质得，，故，由，可得，最后折叠性质即可解答； （2）①两次利用折叠的性质以及平行线的性质得到，设，则，，在中，由勾股定理可得：，求解方程即可解答；②先证明四边形是平行四边形，进一步推导是等边三角形，结合等边三角形的性质以及由①可知即可解答． 【详解】（1）解：， ，， ， 由折叠性质得，， ，， ， ， 由折叠性质得，， ； （2）解：①， ，， 由折叠可知：， , ， ， ， 由折叠可知：， ， ， 又， 四边形是平行四边形， ， ， 由折叠可知：， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理可得：， 解得，（舍去）， 的长为； ②，证明如下： 四边形是矩形， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， 是等边三角形， ， ， 在中，， ，， 由①可知, ， 化简得． 10．．阅读材料： 在学习二次根式时，小明发现一些含根号的式子可以化成另一式子的平方．如： 【类比归纳】 (1)填空： ①（______）（________）； ②（______±______）（，）． (2)请你仿照小明的方法，将化成一个式子的平方； 【拓展提升】 (3)如图，从一个大正方形中裁去两个小正方形和，若两小正方形的面积分别为和，求剩余部分的面积． 【答案】(1)①；；②；； (2) (3) 【分析】（1）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （2）结合题目给的例子，利用完全平方公式解答即可； （3）设小正方形的边长为，大正方形的边长为，根据题意得：，，即可得x、y的值，再根据剩余部分的面积为，代值计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； （2）解：； （3）解：设正方形的边长为，正方形的边长为， 根据题意得：，， ∴，， 剩余部分的面积为：． 11．“立表测影”是中国天文传统之一，当用来观察季节或时间时，首先“立表”，确保“表”不偏不倚，其次是放置与之垂直的主尺，最后是观察正午日影在圭尺上“勾”出的日影长度，由此判断季节或时间．如图，“表”与“圭”垂直，冬至时节“表”的日影最长（的长），某一节气，光线平分，D为上一点，连接，，． (1)求证：； (2)若“表”，，求的长； (3)若，判断的形状，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)5 (3)是等边三角形，理由见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）证明得，根据勾股定理求出，则，在中，由勾股定理求； （3）根据角平分线定义及等边对等角得，证明，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵，平分，， ∴； （2）解：在和中， ， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∴，， 在中，根据勾股定理得：， ∴， ∴； （3）解：是等边三角形，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴是等边三角形． 12．如图，在中，，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿的方向运动，且速度为，点从点开始沿的方向运动，且速度为，，两点同时出发，当运动到点时，两点停止运动，设运动的时间为秒． (1)________（用含的代数式表示）； (2)点在边上运动时．当是等腰三角形时，求出此时的值． (3)点在边上运动时，当是以或为底边的等腰三角形时，求出此时的值． (4)点在运动过程中，通过计算说明能否把的周长平分？ 【答案】(1) (2) (3)11，12 (4)可以 【分析】本题围绕三角形中的动点问题，结合等腰三角形性质与一元一次方程应用展开．需分情况讨论点Q的位置（段、段），利用线段长度关系、等腰三角形的边相等条件建立方程求解；对于周长平分问题，需分析各段路径下线段和的关系来判断是否存在满足条件的． 【详解】（1）点从向运动，速度为，运动时间为，则． 已知，由，可得． （2）点从向运动，速度为，， 故在上时，运动时间满足． 当是等腰三角形时，，则两腰为与 由，，令， 即， 解得． 验证：，符合在上的条件． （3）当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图1，则． ∵， ∴． 又∵ 在中，， ∴． ∴． ∴． ． 已知点的速度为，故． 当是以为底边的等腰三角形时： 此时，腰为． 如图2，则． ． ∴． 综上所述，当t为11或12时，是以或为底边的等腰三角形． （4）周长为，若平分周长，则每部分为． 若在上，（）： ，，则， 令，得，但，不符合在上的条件． 若在上（）： ，． 周长被分成和， 即，与． 令，得（符合）； 验证：时，，，和为； ，，，和为，确实平分． 【点睛】本题核心是利用动点的速度与时间表示线段长度，结合等腰三角形的边相等性质建立方程，同时注意分类讨论点的位置（段、段）及等腰三角形的底边情况．周长平分问题需明确周长的组成与分割方式，通过方程求解并验证范围合理性． 13．如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，A，C两点的坐标分别为，．将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形． (1)请求出直线的解析式； (2)平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是___________，重叠部分的面积是__________________； (3)点E是x轴上一动点，在直线上是否存在点D，使得以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出满足条件的所有点D、点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)平行四边形， (3)当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 【分析】（1）由平移的性质可得，进一步求解即可； （2）先根据平行四边形的性质和平移的性质可证明，由此即可证明四边形是平行四边形，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形；再求出直线的解析式为，进而求出，则，则，即平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为； （3）分为边和为对角线两种情况利用平行四边形的性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵将平行四边形先向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到平行四边形， ∴点C、点O分别向右平移4个单位后，再向下平移1个单位，得到点M、点N， ∵， ∴； 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为． （2）解：如图所示，设与x轴交于E，与交于F，过点M作轴于G， ∵四边形是平行四边形， ∴， 由平移的性质可得， ∴，即， ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的形状是平行四边形； 在中，当，， ∴， ∴， ∴， ∴平行四边形与平行四边形的重叠部分的面积为． （3）解：∵， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 同理可得直线的解析式为， 设， 当为对角线时，由平行四边形对角线中点坐标相同可得： ， 解得， ∴； 当为边时，则， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或； 综上所述，当或或时，以O，N，D，E为顶点的四边形为平行四边形． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 1 / 166 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $