第六单元 长方体和正方体（易错专项讲义）数学苏教版五年级下册

该小学数学长方体和正方体单元复习讲义通过梳理19条易错知识点构建知识体系，涵盖概念辨析、棱长计算、表面积应用、体积与容积区别等核心内容，明确长方体面的特征、棱长总和公式等重难点，呈现知识内在逻辑联系。 讲义亮点在于“易错点剖析训练”，每个易错点配典例分析（如正方体框架改焊长方体求高）和针对性练习，通过错解归因培养空间观念和运算能力，分层训练满足不同学生需求，助力教师精准教学，提升复习效率。

第六单元 长方体和正方体易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：概念与棱长关系混淆。 3 易错点2：展开图理解不对。 4 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 6 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 8 易错点5：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 10 易错点6：体积与容积混淆。 11 模块一 易错知识点梳理 1．长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2．判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3．长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4．长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 5．正方体的棱长扩大到原来的n倍，它的表面积扩大到原来的n2倍。 6．运用长方体和正方体表面积计算方法解决实际问题时，要先确定求的是几个面的面积。 7．在实际生活中，并不是所有长方体形状的物体都有6个面，如长方体的鱼缸只有5个面，通风管只有4个面。因此，在计算时要根据实际情况解题。当所求的长方体的表面积是6个面的面积时，先分别求出每组相对的面中一个面的面积，相加后再乘2较简便。 8．捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 9．有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 10．长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 11．在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 12．把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 13．只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 14．一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 15．并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 16．误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 17．较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 18．明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 19．1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：概念与棱长关系混淆。 【典例1】用一根铁丝刚好可以焊成一个棱长6厘米的正方体框架。如果用这根铁丝焊成一个长8厘米，宽5厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？ 【错误答案】6×12=72（厘米）（正方体棱长总和） 72 ÷ (8+5) = 72 ÷ 13 ≈ 5.54（厘米） 【错解分析】错误地理解了长方体棱长总和公式。长方体棱长总和 = (长+宽+高)×4。错误答案在第二步只除以了“长+宽”，没有除以4。应该先用棱长总和除以4，得到“长+宽+高”的和，再减去长和宽，得到高。 【正确解答】铁丝长度（正方体棱长总和）：6 × 12 = 72（厘米） 长方体“长+宽+高”的和：72 ÷ 4 = 18（厘米） 长方体的高：18－8－5 = 5（厘米） 【易错专练1】用2根相同长度的铁丝分别做一个长方体和正方体框架，正方体框架的棱长是10厘米，长方体框架的长是12厘米，宽是8厘米，高是（ ）厘米。 【易错专练2】一根细铁丝正好围成一个长8cm、宽5cm、高2cm的长方体框架，铁丝长（ ）cm。如果改围成一个正方体，棱长是（ ）cm；如果将该正方体的外面贴上一层白纸，至少需（ ）cm2。 【易错专练3】小宇的好朋友下周就要过生日了，他准备了一个棱长12厘米的正方体礼盒装礼物。他打算用彩带十字捆扎礼盒并系上蝴蝶结，接头和蝴蝶结一共要用去25厘米的彩带，请问他至少需要准备多长的彩带？ 【易错专练4】工厂接到的灯笼订单中有正方体、长方体两种样式。工人师傅们用一根长铁丝制作一个长和宽都是5分米，高是8分米的长方体灯笼框架，铁丝刚好用完。同样长的铁丝也刚好能制作一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长是多少？ 【易错专练5】在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米） 易错点2：展开图理解不对。 【典例2】判断：只要是6个相等的正方形不管怎样排列都能围成一个正方体。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答没有掌握正方体的展开图,空间想象力不强。6个正方形组成的平面图形有若干种,并不是每一种都能够围成正方体,要根据具体图形实际分析。可以画出图形动手剪一剪、围一围;也可以在图中标出相应的面,来判断是否能够围成正方体。如右图,图中出现了两个上面,而没有下面,所以该图形不能围成正方体。 【正确解答】错误 【易错专练1】把下面的展开图折成一个长方体，B面的对面是（    ）。 A．A面 B．F面 C．C面 D．D面 【易错专练2】下面哪个图形不能围成正方体？（    ） A． B． C． D． 【易错专练3】如图是一个正方体表面的展开图，每面都标有数字。在正方体中，数字“6”对面的数字是“（ ）”。 【易错专练4】下图是一个长方体展开后的图形，找出相对的面，填一填。（填序号） （1）①的相对面是（ ）。 （2）②的相对面是（ ）。 （3）③的相对面是（ ）。 【易错专练5】如图是一个长方体表面展开图的一部分，请在图中画出展开图的余下部分。 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 【典例3】一个长方体的无盖水箱，长4分米，宽3分米，高5分米，制作这个水箱至少需要多少铁皮? 【错误答案】 (4×3+4×5+3×5)×2=47×2=94 (平方分米) 答:制作这个水箱至少需要94平方分米铁皮。 【错解分析】水箱是没有盖的，也就是少一个上面，计算表面积时应少算一个上底面。 【正确答案】 4×3+(4×5+3×5)×2=12+35×2=82 (平方分米) 答:制作这个水箱至少需要82平方分米铁皮。 【易错专练1】一个长方体游泳池，长是10米，宽是6米，高是4米，它的占地面积是（ ）平方米，要在泳池的四周和底部涂上油漆，需要涂（ ）平方米的油漆。如果每平方米油漆售价是5元，一共要花（ ）元。 【易错专练2】劳动课上，小明用一根240厘米的铁丝做成一个长方体框架灯罩，如果长方体的长是25厘米，宽是20厘米，那么高是（ ）厘米。如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架灯罩，给这个正方体灯罩糊上五个面的彩纸，彩纸面积是（ ）平方厘米。 【易错专练3】惠民健身中心新建了一个长50米，宽30米，深2.5米的游泳池。如在游泳池的四壁和底面贴上面积是0.25平方米的正方形瓷砖，至少需要多少块？ 【易错专练4】晓雯家的洗衣机更换了一个新的洗衣机罩，如图所示，边角处忽略不计，这个洗衣机罩用了多少平方米的布料？（洗衣机罩没有后面和底面） 【易错专练5】正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？ 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 【典例4】把两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积是多少？ 【错误答案】4 × 4 × 6 × 2 = 192（平方厘米） 【错解分析】未考虑拼接后减少的两个面的面积，直接计算了两个独立正方体的表面积总和。 【正确解答】 减少的面积：4 × 4 × 2 = 32（平方厘米） 长方体表面积：192 - 32 = 160（平方厘米） 或直接计算长方体表面积： 长8厘米、宽4厘米、高4厘米 → (8×4 + 8×4 + 4×4) × 2 = 160（平方厘米） 【易错专练1】把一个棱长是10分米的正方体木块分割成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和是（      ）平方分米。 A．200 B．600 C．800 D．1000 【易错专练2】将一个长方体按如图三种方法分割成两个长方体，表面积分别增加了48平方厘米、64平方厘米、24平方厘米，原来长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．285 B．68 C．272 D．136 【易错专练3】如图所示，一个正方体，如果高减少2厘米，这时表面积比原来减少40平方厘米，原来正方体的表面积是（ ）平方厘米。 【易错专练4】有3个边长是2cm的小正方体，拼成一个长方体后，表面积减少了（ ）平方厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【易错专练5】乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 易错点5：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 【典例5】判断：两个体积单位之间的进率是1000。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答没有掌握体积单位之间的进率,不相邻的两个体积单位之间的进率不是1000,如立方厘米和立方米之间的进率是1000000。只有两个相邻的常用的体积单位（立方厘米、立方分米和立方米）之间的进率才是1000,如立方厘米和立方分米,立方分米和立方米之间的进率是1000。 【正确解答】错误。 【易错专练1】单位换算。 3.5m3＝（ ）dm3    8500cm3＝（ ）dm3 2.4L＝（ ）mL    5600mL＝（ ）L 【易错专练2】5.08m3＝（ ）dm3            30.9dm2＝（ ）cm2 7860mL＝（ ）L             0.05L＝（ ）dm3＝（ ）cm3 【易错专练3】L＝（ ）mL       m3＝（ ）dm3       0.56m3＝（ ）L 【易错专练4】在括号里填上合适的数。 8立方分米＝（ ）立方厘米     1800立方分米＝（ ）立方米 560000cm3＝（ ）m3         7.02dm3＝（ ）L（ ）mL 【易错专练5】2.08m3＝（ ）dm3        750mL＝（ ）L         20.25dm3＝（ ）dm3（ ）cm3 易错点6：体积与容积混淆。 【典例6】一个长方体油箱从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，求它的容积（升）。 【错误答案】6×5×4 = 120（立方分米）= 120升 【错解分析】虽然计算正确，但未说明“1立方分米=1升”的换算关系，容易在单位转换时出错。 【正确解答】容积 = 6 ×5 ×4 = 120（立方分米） ∵ 1立方分米 = 1升 ∴ 容积为120升。 【易错专练1】一个长方体鱼缸，底面是边长4分米的正方形。小红向鱼缸里倒入32升水，然后放入一条金鱼，水面上升到2.1分米。这条金鱼的体积是多少立方分米？（提示：利用排水法，与曹冲称象原理相通） 【易错专练2】爸爸用保鲜盒来分装健康食材，他有一个近似长方体的保鲜盒（如下图）。 主体部分为不锈钢材质，锁住新鲜：盒盖是PE材质，柔韧防冻裂。 尺寸：（单位：毫米） （1）这个保鲜盒的容积是多少毫升？合多少升？ （2）制作一个这样的保鲜盒，需要用不锈钢多少平方厘米？（厚度忽略不计） 【易错专练3】李师傅要做一个无盖的长方体铁皮水槽，用来给蔬菜浇水。水槽从内部量，长1.2米、宽0.5米、高0.4米（铁皮厚度忽略）。 （1）这个水槽最多能装多少升水？ （2）若每平方米铁皮售价120元，李师傅买铁皮要花多少钱？ 【易错专练4】如图，有一个长8分米、宽5分米的长方体玻璃缸，此时玻璃缸中水面的高度是6分米。 （1）这个玻璃缸中装了多少升水？ （2）向缸中放入一个棱长4分米的正方体铁块（铁块完全浸入水中且未溢出），当放入这个铁块后，水面的高度是多少？ 【易错专练5】李叔叔喜欢养观赏鱼，他请工人师傅做了一个如图无盖的鱼缸。 （1）做一个这样的鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果这个鱼缸装满水，能盛水多少升？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 第六单元 长方体和正方体易错专项讲义 简介： 1．易错知识点梳理：本单元易错点梳理，让学生明确哪些知识点容易记混、记错。 2．易错点剖析训练：结合相关例题分类剖析常考易错点，并对易错点进行针对性训练，让学生在训练中记住易错点，攻克难关。 目录 模块一 易错知识点梳理 2 模块二 易错点剖析训练 2 易错点1：概念与棱长关系混淆。 3 易错点2：展开图理解不对。 5 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 9 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 11 易错点5：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 15 易错点6：体积与容积混淆。 17 模块一 易错知识点梳理 1．长方体的6个面不一定都是长方形，也可能有一组相对的面是正方形。 2．判断一个立体图形是不是长方体或正方体，应该以它是否具有长方体或正方体的所有特征为标准。 3．长方体的12条棱包括4条长、4条宽、4条高，所以它的棱长总和=（长+宽+高）×4，而不是（长+宽+高）×3。 4．长方体是立体图形，它的展开图是平面图形。 5．正方体的棱长扩大到原来的n倍，它的表面积扩大到原来的n2倍。 6．运用长方体和正方体表面积计算方法解决实际问题时，要先确定求的是几个面的面积。 7．在实际生活中，并不是所有长方体形状的物体都有6个面，如长方体的鱼缸只有5个面，通风管只有4个面。因此，在计算时要根据实际情况解题。当所求的长方体的表面积是6个面的面积时，先分别求出每组相对的面中一个面的面积，相加后再乘2较简便。 8．捏橡皮泥时，只是形状发生了改变，但体积不变。 9．有容积的物体一定有体积，有体积的物体不一定有容积。 10．长度单位、面积单位和体积单位之间都不能进行比较。 11．在不忽略容器厚度的情况下，容器的体积和容积不相等。 12．把完全浸入盛有液体的容器中的物体取出时，液面下降前、后体积的变化量就是物体体积。 13．只有相邻的两个体积单位之间的进率才是1000，判断和互化时要看清两个单位是不是相邻的。 14．一个容器容积的大小与它所能盛装物体的多少有关。因为容器都有一定的厚度，所以一个容器的体积一般大于它的容积。 15．并不是只有棱长是1cm、1dm、1m的正方体的体积才是1cm3、1dm3和1m3。 16．误认为容积就是体积，这是不对的，一定要注意“容积”与“体积”的不同。如一本书有体积，却没有容积。 17．较大容器盛装液体时用“升”作单位，较小容器盛装液体时用“毫升”作单位。 18．明确摆成不同形状长方体的长、宽、高分别是多少。 19．1立方厘米的小正方体的边长是1厘米。长方体的长、宽、高由几个小正方体摆成，它的长、宽、高就分别是几厘米，它的体积正好等于摆成长方体所需小正方体的个数。 模块二 易错点剖析与训练 易错点1：概念与棱长关系混淆。 【典例1】用一根铁丝刚好可以焊成一个棱长6厘米的正方体框架。如果用这根铁丝焊成一个长8厘米，宽5厘米的长方体框架，它的高是多少厘米？ 【错误答案】6×12=72（厘米）（正方体棱长总和） 72 ÷ (8+5) = 72 ÷ 13 ≈ 5.54（厘米） 【错解分析】错误地理解了长方体棱长总和公式。长方体棱长总和 = (长+宽+高)×4。错误答案在第二步只除以了“长+宽”，没有除以4。应该先用棱长总和除以4，得到“长+宽+高”的和，再减去长和宽，得到高。 【正确解答】铁丝长度（正方体棱长总和）：6 × 12 = 72（厘米） 长方体“长+宽+高”的和：72 ÷ 4 = 18（厘米） 长方体的高：18－8－5 = 5（厘米） 【易错专练1】用2根相同长度的铁丝分别做一个长方体和正方体框架，正方体框架的棱长是10厘米，长方体框架的长是12厘米，宽是8厘米，高是（ ）厘米。 【答案】10 【分析】正方体的棱长总和＝棱长×12，先求出铁丝的总长，长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，再求出高。 【解答】10×12＝120（厘米） 120÷4－12－8 ＝30－12－8 ＝10（厘米） 【易错专练2】一根细铁丝正好围成一个长8cm、宽5cm、高2cm的长方体框架，铁丝长（ ）cm。如果改围成一个正方体，棱长是（ ）cm；如果将该正方体的外面贴上一层白纸，至少需（ ）cm2。 【答案】60 5 150 【分析】铁丝长度即为长方体的棱长总和，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4；铁丝长度不变，所以正方体棱长总和等于长方体棱长总和，用棱长总和除以12求出正方体的棱长；所需白纸的面积即为正方体的表面积，正方体表面积＝棱长×棱长×6。 【解答】铁丝长度：（8＋5＋2）×4 ＝（13＋2）×4 ＝15×4 ＝60（cm） 正方体棱长：60÷12＝5（cm） 所需白纸面积：5×5×6 ＝25×6 ＝150（cm2） 【易错专练3】小宇的好朋友下周就要过生日了，他准备了一个棱长12厘米的正方体礼盒装礼物。他打算用彩带十字捆扎礼盒并系上蝴蝶结，接头和蝴蝶结一共要用去25厘米的彩带，请问他至少需要准备多长的彩带？ 【答案】121厘米 【分析】捆扎礼盒的彩带长度，观察图发现彩带绕着正方体的6个面围了8条长度为棱长的彩带，还有接头处长度的彩带，准备的彩带就是它们之和。 【解答】12×8＝96（厘米） 96＋25＝121（厘米） 答：他至少需要准备121厘米的彩带。 【易错专练4】工厂接到的灯笼订单中有正方体、长方体两种样式。工人师傅们用一根长铁丝制作一个长和宽都是5分米，高是8分米的长方体灯笼框架，铁丝刚好用完。同样长的铁丝也刚好能制作一个正方体灯笼框架，这个正方体灯笼框架的棱长是多少？ 【答案】6分米 【分析】先根据长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4求出铁丝的总长度；再根据正方体棱长总和＝棱长×12，用铁丝总长度除以12，即可求出正方体的棱长。 【解答】（5＋5＋8）×4 ＝18×4 ＝72（分米） 72÷12＝6（分米） 答：这个正方体灯笼框架的棱长是6分米。 【易错专练5】在杭甘两地青少年手拉手志愿服务交流活动中，蓝蓝给甘孜的朋友精心准备了一份礼物（如图）。如果用彩带捆扎，至少需要多长的彩带？（蝴蝶结长30厘米） 【答案】230厘米 【分析】根据题意，彩带的长度＝长方体2条长的长度＋长方体2条宽的长度＋长方体4条高的长度＋蝴蝶结的长度，长方体的长为50厘米，宽为30厘米，高为10厘米，代入数据，即可求出彩带的长度。 【解答】根据分析得出： 50×2＋30×2＋10×4＋30 ＝100＋60＋40＋30 ＝230（厘米） 答：至少需要230厘米长的彩带。 易错点2：展开图理解不对。 【典例2】判断：只要是6个相等的正方形不管怎样排列都能围成一个正方体。 【错误答案】正确 【错解分析】错误解答没有掌握正方体的展开图,空间想象力不强。6个正方形组成的平面图形有若干种,并不是每一种都能够围成正方体,要根据具体图形实际分析。可以画出图形动手剪一剪、围一围;也可以在图中标出相应的面,来判断是否能够围成正方体。如右图,图中出现了两个上面,而没有下面,所以该图形不能围成正方体。 【正确解答】错误 【易错专练1】把下面的展开图折成一个长方体，B面的对面是（    ）。 A．A面 B．F面 C．C面 D．D面 【答案】B 【分析】在长方体展开图中，相对的面不相邻，通过折叠，假如D是底面，则A与D是相对的面，E与C是相对的面，B与F是相对的面。 【解答】通过折叠，A与D是相对的面，E与C是相对的面，B与F是相对的面。 所以B面的对面是F面。 故答案为：B 【易错专练2】下面哪个图形不能围成正方体？（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】正方体的展开图共有11种，如下图所示： 【解答】 A．，属于“231”型，能围成正方体； B．，属于“141”型，能围成正方体； C．，属于“33”型，能围成正方体； D．，该图形出现“田”字结构，不能围成正方体。 【易错专练3】如图是一个正方体表面的展开图，每面都标有数字。在正方体中，数字“6”对面的数字是“（ ）”。 【答案】3 【分析】用正方体展开图的“Z字两端”或“隔一相对”规律来判断：在这个展开图中，同行或同列隔一个面的两个面是相对面。 【解答】若以3为正方体底，折叠后可以发现，1是左面，4是右面，2是后面，5是前面，6是上面，则1和4相对，2和5相对，3和6相对。 【易错专练4】下图是一个长方体展开后的图形，找出相对的面，填一填。（填序号） （1）①的相对面是（ ）。 （2）②的相对面是（ ）。 （3）③的相对面是（ ）。 【答案】（1）⑥ （2）④ （3）⑤ 【分析】根据长方体的特征，长方体的6个面一般都是长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形），每2个相对的面的完全相同，且相对的两个面不相连，据此观察解答。 【解答】（1）①的相对面是⑥。 （2）②的相对面是④。 （3）③的相对面是⑤。 【易错专练5】如图是一个长方体表面展开图的一部分，请在图中画出展开图的余下部分。 【答案】见详解 【分析】①确定各面的相对关系 左面 ↔ 右面 下面 ↔ 上面 前面 ↔ 后面 ②补全右面： 右面与左面完全相同，应画在“下面”的右侧，与左面位置对称。 ③补全上面： 上面与下面完全相同，应画在“右面”的右侧，与下面位置上下对应。 ④补全后面： 后面与前面完全相同，可画在“下面”的上方，保证展开图的连贯性。 答案不唯一 【解答】画图如下： 易错点3：审题不仔细，对长方体的表面积概念理解不透彻。 【典例3】一个长方体的无盖水箱，长4分米，宽3分米，高5分米，制作这个水箱至少需要多少铁皮? 【错误答案】 (4×3+4×5+3×5)×2=47×2=94 (平方分米) 答:制作这个水箱至少需要94平方分米铁皮。 【错解分析】水箱是没有盖的，也就是少一个上面，计算表面积时应少算一个上底面。 【正确答案】 4×3+(4×5+3×5)×2=12+35×2=82 (平方分米) 答:制作这个水箱至少需要82平方分米铁皮。 【易错专练1】一个长方体游泳池，长是10米，宽是6米，高是4米，它的占地面积是（ ）平方米，要在泳池的四周和底部涂上油漆，需要涂（ ）平方米的油漆。如果每平方米油漆售价是5元，一共要花（ ）元。 【答案】60 188 940 【分析】占地面积就是长方体的底面积，等于长方体的长乘宽。涂油漆的面积等于长方体的前面、后面、左面、右面和下面5个面的面积之和。花的钱数＝每平方米油漆的售价×涂油漆的面积。 【解答】10×6＝60（平方米） 10×6＋10×4×2＋6×4×2 ＝60＋80＋48 ＝188（平方米） 188×5＝940（元） 【易错专练2】劳动课上，小明用一根240厘米的铁丝做成一个长方体框架灯罩，如果长方体的长是25厘米，宽是20厘米，那么高是（ ）厘米。如果用同样长的铁丝做成一个正方体框架灯罩，给这个正方体灯罩糊上五个面的彩纸，彩纸面积是（ ）平方厘米。 【答案】15 2000 【分析】用一根240厘米的铁丝做成一个长方体框架灯罩，即长方体的棱长总和是240厘米，根据“长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”，用长方体的棱长总和除以4，求出长、宽、高的和，再依次减去长和宽即可求出长方体的高。 用同样长的铁丝做成一个正方体框架灯罩，则正方体的棱长总和为240厘米，根据“正方体的棱长总和＝棱长×12”，用棱长总和除以12求出正方体的棱长，最后再根据“棱长×棱长×5”即可求出彩纸的面积。 【解答】240÷4＝60（厘米） 60－25－20 ＝35－20 ＝15（厘米） 240÷12＝20（厘米） 20×20×5 ＝400×5 ＝2000（平方厘米） 综上，长方体框架的高是15厘米，彩纸的面积是2000平方厘米。 【易错专练3】惠民健身中心新建了一个长50米，宽30米，深2.5米的游泳池。如在游泳池的四壁和底面贴上面积是0.25平方米的正方形瓷砖，至少需要多少块？ 【答案】7600块 【分析】游泳池是无盖的长方体，贴瓷砖的区域包含1个底面和4个侧面，共5个面。先利用长方体表面积公式计算出需要贴瓷砖的总面积，再用总面积除以单块瓷砖的面积。 【解答】50×30＋（50×2.5＋30×2.5）×2 ＝50×30＋（125＋75）×2 ＝50×30＋200×2 ＝1500＋400 ＝1900（平方米） 1900÷0.25＝7600（块） 答：至少需要7600块。 【易错专练4】晓雯家的洗衣机更换了一个新的洗衣机罩，如图所示，边角处忽略不计，这个洗衣机罩用了多少平方米的布料？（洗衣机罩没有后面和底面） 【答案】 平方米 【分析】洗衣机罩不需要后面（靠墙）和底面（贴地），因此只需要计算上面、前面、左面和右面这个面的面积之和，计算出总面积后需要进行单位换算，进率是。 【解答】 （平方分米） 平方分米平方米 答：这个洗衣机罩用了平方米的布料。 【易错专练5】正月十五闹花灯。学校组织学生制作灯笼，雯雯用24分米长的铁丝做一个最大的正方体框架，然后用卡纸将5个面包起来，做这个正方体灯笼（无底）至少需要多少平方分米的卡纸？ 【答案】20平方分米 【分析】用24分米长的铁丝做着一个最大的正方体框架，根据正方体的棱长总和＝棱长×12，那么棱长＝棱长总和÷12，即这个正方体框架的棱长是24÷12＝2分米。用卡纸将5个面包起来，因为正方体每个面的面积都相同，正方体一个面的面积为：棱长×棱长，即2×2＝4平方分米，那么5个面的面积为4×5＝20平方分米，所以需要20平方分米的卡纸。 【解答】24÷12＝2（分米） 2×2×5＝20（平方分米） 答：做这个正方体灯笼（无底）至少需要20平方分米的卡纸。 易错点4：拼接或切割后表面积的变化未考虑清楚导致计算错误。 【典例4】把两个棱长4厘米的正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积是多少？ 【错误答案】4 × 4 × 6 × 2 = 192（平方厘米） 【错解分析】未考虑拼接后减少的两个面的面积，直接计算了两个独立正方体的表面积总和。 【正确解答】 减少的面积：4 × 4 × 2 = 32（平方厘米） 长方体表面积：192 - 32 = 160（平方厘米） 或直接计算长方体表面积： 长8厘米、宽4厘米、高4厘米 → (8×4 + 8×4 + 4×4) × 2 = 160（平方厘米） 【易错专练1】把一个棱长是10分米的正方体木块分割成两个完全相同的长方体，这两个长方体的表面积之和是（      ）平方分米。 A．200 B．600 C．800 D．1000 【答案】C 【分析】把一个正方体分割成两个完全相同的长方体，表面积会增加两个切面的面积。因为正方体的6个面都相等，所以增加的2个切面和原来的面也相等。这两个长方体的表面积之和相当于原正方体8个面的面积。 【解答】正方体的棱长是分米，一个面的面积就是（）平方分米，再算出（）个面的面积。 （平方分米） 【易错专练2】将一个长方体按如图三种方法分割成两个长方体，表面积分别增加了48平方厘米、64平方厘米、24平方厘米，原来长方体的表面积是（    ）平方厘米。 A．285 B．68 C．272 D．136 【答案】D 【分析】第一种切法多了前后两个面的面积和，即前后两个面的面积和是48平方厘米；第二种切法多了上下两个面的面积和，即上下两个面的面积和是64平方厘米；第三种切法多了左右两个面的面积和，即左右两个面的面积和是24平方厘米；长方体的表面积等于前、后，左、右，上、下6个面面积之和，据此解答。 【解答】 （平方厘米） 原来长方体的表面积是136平方厘米。 故答案为：D 【易错专练3】如图所示，一个正方体，如果高减少2厘米，这时表面积比原来减少40平方厘米，原来正方体的表面积是（ ）平方厘米。 【答案】150 【分析】由题意可知，减少部分是一个长方体，长方体的上下底面是正方形，四个侧面是完全相同的长方形，这个正方体的高减少2厘米后，表面积减少了长方体四个侧面的面积，根据减少的表面积求出长方体一个侧面的面积，再根据“长＝长方形的面积÷宽”求出长方形的长，即正方体的棱长，最后利用“正方体的表面积＝棱长×棱长×6”求出原来正方体的表面积，据此解答。 【解答】40÷4÷2 ＝10÷2 ＝5（厘米） 5×5×6 ＝25×6 ＝150（平方厘米） 所以，原来正方体的表面积是150平方厘米。 【易错专练4】有3个边长是2cm的小正方体，拼成一个长方体后，表面积减少了（ ）平方厘米，这个长方体的表面积是（ ）平方厘米，体积是（ ）立方厘米。 【答案】16 56 24 【分析】 三个小正方体拼成一个长方体，如图，表面积减少了4个正方形的面，小正方体棱长×棱长×4＝减少的表面积；正方体表面积＝棱长×棱长×6，据此计算出1个小正方体的表面积，1个小正方体的表面积×3－减少的表面积＝拼成的长方体表面积；正方体体积＝棱长×棱长×棱长，据此计算出1个小正方体的体积，1个小正方体的体积×3＝拼成的长方体的体积。 【解答】2×2×4＝16（平方厘米） 2×2×6×3－16 ＝72－16 ＝56（平方厘米） 2×2×2×3＝24（立方厘米） 表面积减少了16平方厘米，这个长方体的表面积是56平方厘米，体积是24立方厘米。 【易错专练5】乐乐的妈妈去广东出差，回来前给她和表妹、表弟每人买了2盒广东省的一种传统小吃——裹蒸粽。包装盒的长是30cm，宽是20cm，高是10cm。要把这几盒裹蒸粽包成一包，怎样包装最节省包装纸？最少需要多大的包装纸？（画出草图，接口处不计） 【答案】图见详解；7200平方厘米 【分析】将该长方体中最大的面重合叠放最节省包装纸，再根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算即可。 【解答】（平方厘米），（平方厘米），（平方厘米） 所以将的面重叠包装最节省包装纸，如下图： （厘米） （平方厘米） 答：将的面重叠包装最节省包装纸，最少需要7200平方厘米的包装纸。 易错点5：误认为任意两个体积单位之间的进率都是1000，导致换算错误。 【典例5】判断：两个体积单位之间的进率是1000。 【错误答案】正确。 【错解分析】错误解答没有掌握体积单位之间的进率,不相邻的两个体积单位之间的进率不是1000,如立方厘米和立方米之间的进率是1000000。只有两个相邻的常用的体积单位（立方厘米、立方分米和立方米）之间的进率才是1000,如立方厘米和立方分米,立方分米和立方米之间的进率是1000。 【正确解答】错误。 【易错专练1】单位换算。 3.5m3＝（ ）dm3    8500cm3＝（ ）dm3 2.4L＝（ ）mL    5600mL＝（ ）L 【答案】3500 8.5 2400 5.6 【分析】高级单位换算成低级单位乘进率，低级单位换算成高级单位除以进率，换算关系：1m3＝1000dm3，1dm3＝1000cm3，1L＝1000mL。 【解答】3.5m3＝3.5×1000＝3500dm3 8500cm3＝8500÷1000＝8.5dm3 2.4L＝2.4×1000＝2400mL 5600mL＝5600÷1000＝5.6L 【易错专练2】5.08m3＝（ ）dm3            30.9dm2＝（ ）cm2 7860mL＝（ ）L             0.05L＝（ ）dm3＝（ ）cm3 【答案】5080 3090 7.86 0.05 50 【分析】1m3＝1000dm3；1dm2＝100cm2；1L＝1000mL；1L＝1dm3；1L＝1000cm3；高级单位换算低级单位，乘进率；低级单位换算高级单位，除以进率；据此解答。 【解答】5.08×1000＝5080（dm3） 所以5.08m3＝5080dm3 30.9×100＝3090（cm2） 所以30.9dm2＝3090cm2 7860÷1000＝7.86（L） 所以7860mL＝7.86L 0.05L＝0.05dm3 0.05×1000＝50（cm3） 所以0.05L＝0.05dm3＝50cm3 【易错专练3】L＝（ ）mL       m3＝（ ）dm3       0.56m3＝（ ）L 【答案】280 375 560 【分析】根据1L＝1000mL，1m3＝1000dm3，1dm3＝1L，单位大变小乘进率，进行换算即可。 【解答】×1000＝280（mL），L＝280mL ×1000＝375（dm3），m3＝375dm3 0.56×1000＝560（dm3）、560dm3＝560L，0.56m3＝560L 【易错专练4】在括号里填上合适的数。 8立方分米＝（ ）立方厘米     1800立方分米＝（ ）立方米 560000cm3＝（ ）m3         7.02dm3＝（ ）L（ ）mL 【答案】8000 1.8 0.56 7 20 【分析】根据进率：1立方分米＝1000立方厘米，1立方米＝1000立方分米，1m3＝1000000cm3，1dm3＝1L，1L＝1000mL；从高级单位向低级单位转换，乘进率；从低级单位向高级单位转换，除以进率；据此解答。 【解答】（1）8×1000＝8000（立方厘米），所以8立方分米＝8000立方厘米； （2）1800÷1000＝1.8（立方米），所以1800立方分米＝1.8立方米； （3）560000÷1000000＝0.56（m3），所以560000cm3＝0.56m3； （4）7.02dm3＝7.02L＝7L＋0.02L，0.02×1000＝20（mL），7.02dm3＝7L20mL。 【易错专练5】2.08m3＝（ ）dm3        750mL＝（ ）L         20.25dm3＝（ ）dm3（ ）cm3 【答案】2080 0.75 20 250 【分析】根据1m3＝1000dm3，1L ＝1000mL，1dm3＝1000cm3，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。其中单名数换复名数，只换算小数部分即可。 【解答】2.08×1000＝2080（dm3）；750÷1000＝0.75（L）；0.25×1000＝250（cm3） 2.08m3＝2080dm3；750mL＝0.75L；20.25dm3＝20dm3250cm3 易错点6：体积与容积混淆。 【典例6】一个长方体油箱从里面量长6分米、宽5分米、高4分米，求它的容积（升）。 【错误答案】6×5×4 = 120（立方分米）= 120升 【错解分析】虽然计算正确，但未说明“1立方分米=1升”的换算关系，容易在单位转换时出错。 【正确解答】容积 = 6 ×5 ×4 = 120（立方分米） ∵ 1立方分米 = 1升 ∴ 容积为120升。 【易错专练1】一个长方体鱼缸，底面是边长4分米的正方形。小红向鱼缸里倒入32升水，然后放入一条金鱼，水面上升到2.1分米。这条金鱼的体积是多少立方分米？（提示：利用排水法，与曹冲称象原理相通） 【答案】1.6立方分米 【分析】根据题意，鱼缸底面是正方形，已知边长可求底面积，已知倒入水的体积和放入金鱼后的水面高度，可利用“金鱼的体积＝放入金鱼后水和金鱼的总体积－原来水的体积”进行求解，放入金鱼后水和金鱼的总体积等于鱼缸水面上升的体积，即放入金鱼后水和金鱼的总体积＝长方体的底面积×水面上升的高度，在解题时注意体积单位换算，1升＝1立方分米，据此解答即可。 【解答】32升＝32立方分米 4×4×2.1－32 ＝16×2.1－32 ＝33.6－32 ＝1.6（立方分米） 答：这条金鱼的体积是1.6立方分米。 【易错专练2】爸爸用保鲜盒来分装健康食材，他有一个近似长方体的保鲜盒（如下图）。 主体部分为不锈钢材质，锁住新鲜：盒盖是PE材质，柔韧防冻裂。 尺寸：（单位：毫米） （1）这个保鲜盒的容积是多少毫升？合多少升？ （2）制作一个这样的保鲜盒，需要用不锈钢多少平方厘米？（厚度忽略不计） 【答案】（1）1000毫升；1升 （2）500平方厘米 【分析】（1）先根据1厘米＝10毫米，把长宽高换算成厘米，根据长乘宽乘高求出保鲜盒的容积，再根据1000毫升＝1升换算单位。 （2）要求出5个面的面积，即下面的面积＋左右的面积＋前后的面积。 【解答】（1）200毫米＝20厘米 100毫米＝10厘米 50毫米＝5厘米 （毫升） 1000毫升＝1升 答：这个保鲜盒的容积是1000毫升，合1升。 （2） （平方厘米） 答：需要用不锈钢500平方厘米。 【易错专练3】李师傅要做一个无盖的长方体铁皮水槽，用来给蔬菜浇水。水槽从内部量，长1.2米、宽0.5米、高0.4米（铁皮厚度忽略）。 （1）这个水槽最多能装多少升水？ （2）若每平方米铁皮售价120元，李师傅买铁皮要花多少钱？ 【答案】（1）240升 （2）235.2元 【分析】（1）求水槽最多能装水多少升，就是求这个水槽的容积，根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，即可解答，注意单位的换算。 （2）先求出这个无盖长方体的表面积；根据长方体表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，求出这个无盖长方体需要铁皮的面积，再乘每平方米铁皮的售价，即可解答。 【解答】（1）1.2米＝12分米；0.5米＝5分米；0.4米＝4分米 12×5×4 ＝60×4 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 答：这个水槽最多能装240升水。 （2）1.2×0.5＋（1.2×0.4＋0.5×0.4）×2 ＝1.2×0.5＋（0.48＋0.2）×2 ＝1.2×0.5＋0.68×2 ＝0.6＋1.36 ＝1.96（平方米） 1.96×120＝235.2（元） 答：李师傅买铁皮要花235.2元。 【易错专练4】如图，有一个长8分米、宽5分米的长方体玻璃缸，此时玻璃缸中水面的高度是6分米。 （1）这个玻璃缸中装了多少升水？ （2）向缸中放入一个棱长4分米的正方体铁块（铁块完全浸入水中且未溢出），当放入这个铁块后，水面的高度是多少？ 【答案】（1）240升 （2）7.6分米 【分析】（1）水的容积等于长是8分米，宽是5分米，高是6分米的长方体容积；根据长方体容积＝长×宽×高，代入数据，求出水的容积，注意单位名数的换算。 （2）根据正方体体积＝棱长×棱长×棱长，代入数据，求出正方体铁块的体积；再用正方体体积除以长方体玻璃缸的底面积，求出放入铁块后水面上升的高度，再加上水的高度，即可解答。 【解答】（1）8×5×6 ＝40×6 ＝240（立方分米） 240立方分米＝240升 答：这个玻璃缸中装了240升水。 （2）（4×4×4）÷（8×5）＋6 ＝（16×4）÷40＋6 ＝64÷40＋6 ＝1.6＋6 ＝7.6（分米） 答：水面的高度是7.6分米。 【易错专练5】李叔叔喜欢养观赏鱼，他请工人师傅做了一个如图无盖的鱼缸。 （1）做一个这样的鱼缸至少需要玻璃多少平方分米？ （2）如果这个鱼缸装满水，能盛水多少升？ 【答案】（1）180平方分米 （2）216升 【分析】（1）由图可知，该鱼缸是正方体，棱长是60厘米，且鱼缸无盖，所以只需要计算5个面的面积之和，即根据“棱长×棱长×5”即可计算出制作该鱼缸所需要的玻璃面积，最后将平方厘米换算为平方分米（1平方分米＝100平方厘米）。 （2）求盛水体积即求正方体鱼缸的体积，已知该正方体鱼缸的棱长是60厘米，根据“正方体体积＝棱长×棱长×棱长”计算出该鱼缸的体积，最后将立方厘米换算为升（1升＝1立方分米＝1000立方厘米）。 【解答】（1）60×60×5 ＝3600×5 ＝18000（平方厘米） 18000平方厘米＝180平方分米 答：做一个这样的鱼缸至少需要玻璃180平方分米。 （2）60×60×60 ＝3600×60 ＝216000（立方厘米） 216000立方厘米＝216立方分米＝216升 答：能盛水216升。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $