精品解析：宁夏固原市五原中学2025—2026学年第二学期第二次模拟考试九年级数学试卷

五原中学2025-2026学年第二学期第二次模拟考试 初三数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在2026马年春节来临之际，爸爸在群里玩抢红包游戏．若抢得6.66元红包作为收入项记作元，则发出8.88元红包作为支出项记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 2. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ） A. B. C. D. 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 5. 如图是的直径，是的切线，连接交于点C，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 6. 化简分式：，则“”部分的整式为（ ） A. B. C. D. 7. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 8. 已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若点与点关于原点对称，则____________． 10. 物理学中的自由落体运动的公式是（是重力加速度，它的值约为），若物体下落的高度，那么降落的时间是______s． 11. 一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是________． 12. 已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为__________． 13. 如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为______cm2. 14. 某数学小组在“探究杠杆平衡条件”实验中固定阻力和阻力臂，得到了下表中的动力与动力臂的几组对应值，根据学习经验，下表中a的值为_________． … 1．5 2 3 4 5 6 … … 8 6 4 3 a 2 … 15. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 16. 如图为小区常见漫步机的示意图，从侧面看，立柱高，长为，踏板静止时踏板连杆与上的线段重合，长为，当踏板连杆绕着点A旋转到处时，测得，此时点C距离地面的高度为______．（参考数据：，，） 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组：． 18. 计算： 19. 如图，B、E、C、F是直线L上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 20. 在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ； ； ； ； ； …… 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： （1）填空： ①____________； ②____________． （2）有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，则的取值范围为，等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边右边，为11的倍数； 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 21. 为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．③甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 ⑥．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如上表： （1）____，___； （2）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则______（填“”、“”或“”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为74分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量中不变的是______（写出所有符合题意的序号）．①平均数②中位数③众数④方差 （4）求表中a和b的值．（结果保留整数） 22. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 23. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 24. 如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求面积的最大值． 25. 问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 问题探究：（1）在旋转过程中， ①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为_______________（直接写出结论，不必证明） （2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 26. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． （3）点D为y轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 五原中学2025-2026学年第二学期第二次模拟考试 初三数学试卷 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 在2026马年春节来临之际，爸爸在群里玩抢红包游戏．若抢得6.66元红包作为收入项记作元，则发出8.88元红包作为支出项记作（ ） A. 元 B. 元 C. 元 D. 元 【答案】B 【解析】 【分析】根据收入的记作，可知支出记作“”，解答即可． 【详解】解：∵抢得红包的收入记作正数，收入6.66元记作元， ∴与收入相反意义的支出应记作负数． ∵发出8.88元红包属于支出， ∴支出8.88元应记作元． 2. 为弘扬优秀传统文化，继承和发扬民间剪纸艺术，某中学开展了“剪纸进校园非遗文化共传承”的项目式学习，下列剪纸作品的图案既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与自身重合．根据中心对称图形与轴对称图形的概念进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项符合题意； D、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意． 故选：C． 3. 若将四个数，，，表示在数轴上，其中能被如图所示的墨迹覆盖的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】逐一确定，，，各在数轴上的大体位置进行确定结果． 【详解】解：由数轴可知盖住的数大于0小于3， ，，，， 四个数，，，，只有被墨迹覆盖． 4. 用直尺和圆规作一个角等于已知角，如图，能得出的依据是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查作图基本作图，全等三角形的判定等知识，解题的关键是读懂图像信息．根据 证明三角形全等即可． 【详解】解：在△和△中， ， ， ． 故选：A． 5. 如图是的直径，是的切线，连接交于点C，连接．若，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∵是的切线，是的直径， ∴， ∴， ∴． 6. 化简分式：，则“”部分的整式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 7. 对于某个一次函数，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据一次函数的性质确定k，b的符号，再确定一次函数系数的符号，判断出函数图象所经过的象限． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第二象限， ∴，故选项A正确，不符合题意； ∴，故选项B正确，不符合题意； ∵一次函数的图象经过点， ∴，则， ∴，故选项C错误，符合题意； ∵， ∴，故选项D正确，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查一次函数图象与系数的关系，解决此类题目的关键是确定k、b的正负． 8. 已知在正方形网格中的位置如图所示，点A，B，C，P均在格点上，有下列结论：①点P在的平分线上；②直线可以把分成面积相等的两部分；③；④点P是的外心；⑤点P是的重心．其中正确的有（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质，三角形的重心、外心的定义等知识． 结合网格线特点、以及三角形的重心的定义即可判断⑤，进而可判断②；利用勾股定理求出、的长，进而得出其数量关系，得出的形状特点，结合⑤以及“三线合一”的性质可判断①③；利用勾股定理求出，再利用网格线可知、的长即可判定④． 【详解】解：如图： 结合网格线的特点可知：在中，点P既在边的中线上，又在边的中线上， 即：点P是中、边上的中线的交点， ∴点P是的重心，故⑤正确； ∴点P也在边的中线上， ∵点P在的边的中线上， 又∵三角形的中线可将三角形分成面积相等的两个部分， ∴直线可以把分成面积相等的两部分，故②正确； 根据勾股定理有：，，即， ∴是等腰三角形， ∵在等腰三角形中，底边上的中线和顶角的角平分线， 又∵点P也在底边的中线上， ∴点P在的平分线上，故①正确； ∵是等腰三角形，， ∴，故③正确； 连接，如图， 根据勾股定理有：， ∵， ∴点P到的三个顶点的距离不相等， ∴点P不是的外心，故④错误； 即正确的结论有4个． 二、填空题（每小题3分，共24分） 9. 若点与点关于原点对称，则____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标性质：横纵坐标分别互为相反数，进而得出、的值．也考查了代数式求值． 【详解】解：点与点关于原点对称， ，， ， 故答案为：． 10. 物理学中的自由落体运动的公式是（是重力加速度，它的值约为），若物体下落的高度，那么降落的时间是______s． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，注意时间没有负值，把不符合题意的舍去，解本题的关键是弄清题意． 根据函数关系式，将代入可得相应自变量的值． 【详解】当时， 解得（不符合题意，舍去） 故答案为：． 11. 一只蜘蛛爬到如图所示的一面墙上，最终停在黑色区域上的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了求几何概率的方法，解决本题的关键是先利用几何性质求出整个几何图形的面积n，再计算出其中某个区域的几何图形的面积m，然后根据概率的定义计算出落在这个几何区域的事件的概率为，设每小格的面积为1，易得整个面积为9，黑色区域的面积3，然后根据概率的定义(反映随机事件出现的可能性大小)计算即可． 【详解】解：设每小格的面积为1， 由图知，整个面积为9，黑色区域的面积3， 最终停在黑色区域上的概率是． 故答案为：． 12. 已知关于x的方程的一个根为1，则该方程的另一个根为__________． 【答案】 【解析】 【分析】设方程的另一个根为m，根据两根之积等于，得到关于m的一元一次方程，解之即可求解． 【详解】设方程的另一个根为m， 根据题意得，， 解得：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟知根与系数的关系． 13. 如图为一个长方体，则该几何体主视图的面积为______cm2. 【答案】20 【解析】 【分析】根据从正面看所得到的图形，即可得出这个几何体的主视图的面积． 【详解】解：该几何体的主视图是一个长为5，宽为4的矩形，所以该几何体主视图的面积为20cm2． 故答案为：20． 【点睛】本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图． 14. 某数学小组在“探究杠杆平衡条件”实验中固定阻力和阻力臂，得到了下表中的动力与动力臂的几组对应值，根据学习经验，下表中a的值为_________． … 1．5 2 3 4 5 6 … … 8 6 4 3 a 2 … 【答案】 【解析】 【分析】先观察表中的数据，推导出力与动力臂的函数关系为反比例函数，再根据待定系数法求解即可． 【详解】解：观察表中的数据，满足， 则动力与动力臂的函数关系为反比例函数， 设这个函数的解析式为， 则， ∴个函数的解析式为， 当时，， 解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，根据题意判断出动力与动力臂的函数关系为反比例函数是解决问题的关键． 15. 《九章算术》中记录的一道题译为白话文是：把一份文件用慢马送到900里外的城市，需要的时间比规定时间多一天，如果用快马送，所需时间比规定时间少3天，已知快马的速度是慢马的2倍，求慢马速度．若设慢马的速度为x里/天，则可列分式方程为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列分式方程，根据题意，慢马的速度为里/天，则快马的速度为里/天．慢马所需时间比规定时间多一天，快马所需时间比规定时间少3天，通过规定时间相等列方程即可． 【详解】解：设慢马的速度为x里/天，则快马的速度为里/天， 由题意，得； 故答案为：． 16. 如图为小区常见漫步机的示意图，从侧面看，立柱高，长为，踏板静止时踏板连杆与上的线段重合，长为，当踏板连杆绕着点A旋转到处时，测得，此时点C距离地面的高度为______．（参考数据：，，） 【答案】 【解析】 【分析】过点作，垂足为，过点作，垂足为，可知四边形是矩形，在中，根据的余弦可得，据此求解即可． 【详解】解：如下图所示，过点作，垂足为，过点作，垂足为， ∴四边形是矩形，， 在中，， ∴，即， ∴， ∴， ∴为． 三、解答题（共72分） 17. 解不等式组：． 【答案】 【解析】 【分析】先求得每个不等式的解集，再确定不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式可得，， 解不等式可得，， 则不等式组的解集为：． 18. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 19. 如图，B、E、C、F是直线L上的四点，、相交于点G，，，．求证：是等腰三角形． 【答案】见详解 【解析】 【分析】先证出，根据全等三角形的性质可得，再根据等腰三角形的判定可得，由此即可得证． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 20. 在数学活动课上，某兴趣小组将轴对称与有理数乘法结合起来，得到如下等式： ； ； ； ； ； …… 请你根据上述等式的规律，完成下列任务： （1）填空： ①____________； ②____________． （2）有同学利用代数知识证明上述等式中的规律，在证明的过程中，发现等式两边的结果为11的倍数，这名同学的证明过程如下： 设等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，则的取值范围为，等式左边的式子可表示为，等式右边的式子可表示为，左边，右边，左边右边，为11的倍数； 阅读以上内容，并写出证明过程中横线上所缺的内容． 【答案】（1） ①792，297；②35，53 （2） 【解析】 【分析】（1）设等式左边两位数的十位数字为，个位数字为，则等式左边的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为，等式右边的三位数的百位数字为，十位数字为，个位数字为； （2）分别对等式左右两边的式子提取公因式11即可． 【小问1详解】 解：根据题中等式的规律可得， ， ． 【小问2详解】 解：左边， 右边， 左边右边． 21. 为了推动落实中小学生每日至少要有1小时中等及以上强度的体育锻炼，对甲、乙两所学校学生某星期每日中等及以上强度的平均运动时长的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．③甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的折线图： 平均数 中位数 众数 甲 a m n 乙 b 64 64 ⑥．甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的平均数、中位数、众数如上表： （1）____，___； （2）甲、乙两所学校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的方差为，，则______（填“”、“”或“”）； （3）由于数据统计失误，甲校学生星期五的中等及以上强度的平均运动时长被记录为60分钟，实际为74分钟，将数据修正后，甲校学生该星期每日中等及以上强度的平均运动时长的统计量中不变的是______（写出所有符合题意的序号）．①平均数②中位数③众数④方差 （4）求表中a和b的值．（结果保留整数） 【答案】（1）66；70 （2） （3）③ （4）； 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求解即可； （2）由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大，据此可得答案； （3）把甲中的一个60换成74后，中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化，不变的是众数． （4）根据平均数的定义求解即可． 【小问1详解】 解：把甲这七天的运动时长按照从低到高排列为60分，60分，66分，66分，70分，70分，70分， ∴甲的中位数为66分，即， ∵甲运动时长为70分的天数最多， ∴甲的众数为70分，即； 【小问2详解】 解：由折线统计图可知，甲的波动比乙的波动大， ∴； 【小问3详解】 解：把甲中的一个60换成74后， 新数据是：60分，66分，66分，70分，70分，70分，74分， 中位数变成70，众数还是70，平均数会变大，进而方差也会发生变化， ∴不变的是众数． 故答案是：③． 【小问4详解】 解：， ． 22. 我国传统数学名著《九章算术》记载：“今有牛五、羊二，直金十九两；牛二、羊五，直金十六两．问牛、羊各直金几何？”译文：“假设有5头牛、2只羊，值19两银子；2头牛、5只羊，值16两银子，问每头牛、每只羊分别值银子多少两？” 根据以上译文，提出以下两个问题： （1）求每头牛、每只羊各值多少两银子？ （2）若某商人准备用19两银子买牛和羊（要求既有牛也有羊，且银两须全部用完），请问商人有几种购买方法？列出所有的可能． 【答案】(1) 每头牛3两银子,每只羊2两银子;(2) 三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买养8只． 【解析】 【分析】(1)根据题意列出二元一次方程组,解出即可． (2)根据题意列出代数式,穷举法代入取值即可． 【详解】(1)设每头牛x银两,每只羊y银两． 解得: 答:每头牛3两银子,每只羊2两银子． (2)设买牛a头,买羊b只． 3a+2b=19,即． 解得a=5,b=2；或a=3,b=5,或a=1,b=8． 答:三种购买方法, 买牛5头,买养2只或买牛3头,买养5只或买牛1头,买羊8只． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用,关键在于理解题意找出等量关系． 23. 如图，是的直径，点P是外一点，与相切于点A，点C为上的一点．连接、、，且． （1）求证：为的切线； （2）若，，求阴影部分的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质与判定、三角形全等、扇形的面积、求不规则图形的面积以及含三角形的性质．解决本题的关键是掌握切线的判定定理以及求扇形的面积． （1）利用是的切线，是的半径，求出，再证明出，求出，从而证明出切线． （2）利用含三角形的性质求出边长，从而求出的面积．再利用扇形公式求出扇形的面积，求差即可得到答案． 【小问1详解】 证明：∵是的切线，是的半径． ∴ 连接， 在与中， ∴ ∴， ∵C为上的一点． ∴是的切线； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴ ∴． 24. 如图在平面直角坐标系中，一次函数的图像经过点、交反比例函数的图像于点，点在反比例函数的图像上，横坐标为，轴交直线于点，是轴上任意一点，连接、． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）求面积的最大值． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】（1）利用点、求解一次函数的解析式，再求的坐标，再求反比例函数解析式； （2）设 则再表示的长度，列出三角形面积与的函数关系式，利用函数的性质可得答案． 【详解】解：（1）设直线AB为 把点、代入解析式得： 解得： 直线为 把代入得： 把代入： ， （2）设 轴， 则 由＜＜， 即当时， 【点睛】本题考查的是利用待定系数法求解一次函数与反比例函数的解析式，以及利用二次函数的性质求解面积的最值，掌握以上知识是解题的关键． 25. 问题情境：如图1，直角三角板ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，将一个用足够长的细铁丝制作的直角的顶点D放在直角三角板ABC的斜边AB上，再将该直角绕点D旋转，并使其两边分别与三角板的AC边、BC边交于P、Q两点． 问题探究：（1）在旋转过程中， ①如图2，当AD＝BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ②如图3，当AD＝2BD时，线段DP、DQ有何数量关系？并说明理由． ③根据你对①、②的探究结果，试写出当AD＝nBD时，DP、DQ满足的数量关系为_______________（直接写出结论，不必证明） （2）当AD＝BD时，若AB＝20，连接PQ，设△DPQ的面积为S，在旋转过程中，S是否存在最小值或最大值？若存在，求出最小值或最大值；若不存在，请说明理由． 图1 图2 图3 【答案】（1）① DP=DQ，理由见解析； ②DP=2DQ，理由见解析； ③DP=nDQ；（2）S有最小值为25； S有最大值为10，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）①首先利用等腰直角三角形的性质得出△ADP≌△CDQ（ASA），即可得出答案； ②首先得出△DPM∽△DQN，则，求出△AMD∽△BND，进而得出答案. ③根据已知得出Rt△DNP∽Rt△DMQ，则，则AD=nBD，求出即可； （2）当DP⊥AC时，x最小，最小值是5.此时，S有最小值；当点P与点A重合时，x最大，最大值为10，分别求出即可． 【详解】解：（1）①DP＝DQ 理由：连接CD， ∵AD=BD，△ABC是等腰直角三角形， ∴AD=CD，∠A＝∠DCQ，∠ADC＝90°，∴∠ADP＋∠PDC＝∠CDQ＋∠PDC＝90°， ∴∠ADP＝∠CDQ，∴△ADP≌△CDQ，∴DP=DQ. ② DP=" 2DQ" ． 理由：如图，过点D作DM⊥AC、DN⊥BC，垂足分别为M、N， ∴∠DMP＝∠DNQ＝90°，∠MDP＝∠NDQ， ∴△DPM∽△DQN，∴DM:DN="DP:DQ" ． ∵∠AMD＝∠DNB＝90°，∠A＝∠B， ∴△AMD∽△BND，∴AD:BD=DM:DN． ∴DP:DQ=AD:BD=2BD:BD=2:1， ∴DP=2DQ． ③DP=NQ． （2）存在，设DQ=x，由（1）①知DP=x， ∴S= ， 当DP⊥AC时，x最小，最小值是，此时，S有最小值， 当点P与点A重合时，x最大，最大值是10，此时，S有最大值， 【点睛】此题主要考查了等腰直角三角形的性质和相似三角形的判定和性质以及二次函数最值求出等知识，熟练利用相似三角形的性质得出对应边关系是解题关键． 26. 如图，抛物线交x轴于A，B两点，其中点A的坐标为，与y轴交于点． （1）求抛物线的解析式； （2）在对称轴上找一点P，使的值最小，求点P的坐标． （3）点D为y轴上一点，如果直线与直线的夹角为，求线段的长度． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）将点，点坐标代入解析式可求解； （2）连接，，，设于抛物线对称轴交于 由于A、B关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称，即可得到，要使最小，即最小，故当B、P、C三点共线时，最小，即此时P点在的位置，求出直线的解析式，即可得到答案； （3）先求出点坐标，可得，可得，再分点在点 C上方或下方两种情况讨论，由锐角三角函数可求解． 【小问1详解】 解：抛物线交轴于点 ，与轴交于点， ， 解得：， 抛物线解析式为：； 【小问2详解】 解：令，即，解得或， ， 如图所示，连接，，，设于抛物线对称轴交于， ∵、分别是抛物线与x轴的两个交点， ∴A、B关于抛物线对称轴对称，即关于直线对称， ∴， ∴， ∴要使最小，即最小， ∴当B、P、C三点共线时，最小，即此时P点在的位置， 设直线的解析式为， ∴， ∴， ∴直线的解析式为， 当时，， ∴P点坐标为； 【小问3详解】 解：抛物线与轴交于，两点， ， ，， ， ， 如图2，当点在点上方时， ， ， ， ， ； 若点在点下方时， ， ， ， ， ． 综上所述：线段CD的长度为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $