精品解析：山东省滨州市滨城区北镇中学、滨州渤海中学 2025—2026学年度第二学期期末考试八年级数学试题

八年级数学练习题（A） 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题涂对得3分，满分30分． 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：选项A．满足上述两个条件，是最简二次根式； 选项B．，被开方数含分母，不满足条件； 选项C．，被开方数含能开得尽方的因数，不满足条件； 选项D．，被开方数含分母，不满足条件． 2. 如图所示的伸缩门，其原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 四边形的不稳定性 【答案】D 【解析】 【分析】观察伸缩门的结构，发现其由许多四边形组成，利用四边形的不稳定性使其能够自由伸缩； 【详解】解：∵伸缩门是由许多四边形组成的结构， ∴利用的是四边形的不稳定性，使其能够自由伸缩． 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 1，1， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】勾股数需满足两个条件，一是三个数均为正整数，二是两个较小数的平方和等于最大数的平方，据此验证即可得到答案． 【详解】解：选项A：，，，不是勾股数； 选项B：，，即，且3，4，5都是正整数，是勾股数； 选项C：不是正整数，不是勾股数； 选项D：是正整数，但，不是正整数，不是勾股数． 4. 瓶子或者罐头盒等圆柱形的物体常常如图所示那样堆放着，随着层数的增加，物体总数也会发生变化，数据如下表，则下列说法错误的是（ ） 层数n/层 1 2 3 4 5 … 物体总数y/个 1 3 6 10 15 … A. 在这个变化过程中层数是自变量 B. 当堆放层数为7层时，物体总数为28个 C. 物体的总数随着层数的增加而均匀增加 D. 物体的总数y与层数n之间的关系式为 【答案】C 【解析】 【分析】先根据表中数字的变化规律写出和之间的关系式，再根据每个选项的说法作出判断． 【详解】解：A、物体总个数随着层数的变化而变化，说法正确，故选项不符合题意； B、根据表中数字的变化规律可知，当时，，说法正确，故选项不符合题意； C、根据表中数字的变化规律可知总数增加得越来越快，故选项符合题意； D、根据表中数字的变化规律可知说法正确，故选项不符合题意． 5. 若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：∵， ∴随着的增大而增大， ∵， ∴ 6. 如图，在正方形中，点A的坐标是，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作直线轴，交轴于点，过点作直线于点，延长交轴于点，易证四边形是矩形，得到，，再证明，求出，，即可得出答案． 【详解】解：过点作直线轴，交轴于点，过点作直线于点，延长交轴于点， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵， ∴，， ∵正方形中，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵点在第二象限， ∴． 7. 一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】依据题意，由不等式组，结合图象可得其解集为满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值，进而可以判断得解． 本题主要考查了一次函数与一元一次不等式，数形结合的思想是解题的关键． 【详解】解：由图象可知满足且的部分为在轴下方部分对应的自变量取值， ． 故选：． 8. 如图，在菱形中，分别为的中点，且，则菱形的面积是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】C 【解析】 【分析】因为分别为的中点，所以是的中位线，可据此结合长度求出对角线的长度．菱形面积等于对角线乘积的一半，已知长度，结合求出的长度，代入公式即可计算面积． 【详解】解：分别为的中点， 是的中位线． ． ， ． 9. 在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数图象获取小英和小杰的速度及运动状态信息，小英先匀速行进25分钟走了，停留15分钟后按原速继续行进；小杰全程匀速行进，25分钟走了，设出发后分钟小英追上小杰，根据两人路程相等列方程求解即可 【详解】解：由图象可知，小英在内行走了， 小英的速度为， ∵小杰在内行走了， 小杰的速度为， 小英途中停留了， 小英再次出发的时刻为第，此时路程为， 设小英追上小杰的时刻为出发后， 根据题意得：， 解得， 两人从起点出发， 小英追上小杰的时刻是． 10. 如图，是由若干个全等的小菱形组成的菱形网格的一部分（图中所有的锐角均为），每个小菱形的顶点称为格点，顺次连接图中的4个格点，能连出矩形的方法共有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 9种 D. 10种 【答案】D 【解析】 【分析】先画出不同的矩形，分别数出它们的个数，再相加计算即可得出结论． 【详解】解：如图所示： 和矩形全等的矩形（包括其本身）有4个，矩形有1个，矩形有1个，矩形类的有4个，， ∴顺次连接图中的4个格点，所构成的图形是矩形的方法共有10种． 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 任写一个使二次根式有意义的x值______． 【答案】2025 【解析】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件. 得到被开方数是解题的关键． 【详解】∵二次根式有意义， ∴， 解得， 故可取（答案不唯一，满足即可）． 12. 洛阳明堂的底部是一个正八边形造型（如图1），图2是其抽象出的正八边形，连结，则的度数为________． 【答案】##45度 【解析】 【详解】解：由题意得． 正八边形的内角和为， ， ． 13. 如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，于点C，，以O为圆心、为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了实数与数轴，勾股定理；由勾股定理得，再由数轴知点A表示的数． 【详解】解：由勾股定理得：，则点A表示的数是； 故答案为：． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质以及等边三角形的性质与判定，利用矩形的性质可知矩形的对角线相等且互相平分，再根据即可得到为等边三角形． 【详解】解：四边形是矩形， ， ，且， 为等边三角形， ． 15. 如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先求出，如图，根据题意作出点，连接，求出，得到，得到四边形，，都是平行四边形，得到，动点每运动次为一个循环，然后结合求解． 【详解】解：对于， 令，得， ， 如图，根据题意作出点，连接， ∵ 将代入得， 解得 ∴ ∴ 根据题意得，四边形，，都是平行四边形， ∴ ∴，即 ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， ∴ ∴点与点重合， ∴动点每运动次为一个循环， ， ∴点与点重合，即点的坐标为． 三、解答题：（本大题共9个小题，满分75分解答时请写出必要的演推过程） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是根据二次根式的混合运算的法则来计算． （1）根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）根据平方差公式和完全平方公式展开，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 17. 年月日是第十一个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 八年级 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）①小明说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是________（填“七”或“八”）年级的学生； ②小文发现在数据收集阶段遗漏了一名八年级同学的测试成绩，若该同学得分恰好为80分，则加入这名同学的成绩后，八年级成绩的方差将________（填“增大”“减小”或“不变”）； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 【答案】（1），， （2）七；减小 （3）人 【解析】 【分析】（1）观察七年级10名同学测试成绩在范围内的数据可确定a的值，将七年级抽样成绩按大小排列后，中间两个数的平均数是中位数，可确定b；根据八年级成绩中出现次数最多的可求得c； （2）①利用七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数，再结合题意即可解答； ②判断加入数据后方差分子、分母的变化即可； （3）根据样本估计总体的方法，分别计算两个年级大约达到优秀的人数，再相加即可； 【小问1详解】 解：由数据可得，七年级10名同学测试成绩在范围内有2个， ∴； 将七年级10名同学测试成绩从小到大排列后，处在中间位置的两个数的平均数为，即中位数为， ∴； 八年级10名同学测试成绩的众数为80， ∴； 【小问2详解】 解：①∵， ∴七年级数据的中位数低于八年级数据的中位数， 结合小明和小强同学的说法可得：小明是七年级的学生； ②原八年级成绩平均数为，加入一个分后，新的平均数仍为. 新增数据与平均数的差的平方为，方差分子不变分母增大，因此方差减小； 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有60人． 18. 某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． （1）求这台摆钟正常工作时的摆动周期； （2）该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 【答案】（1） （2）该摆钟需要返厂维修，见解析 【解析】 【分析】（1）把代入求解即可． （2）把代入求出，然后与相比即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得：． 【小问2详解】 解：把代入得：， 解得， ∵， 所以该摆钟需要返厂维修． 19. 如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴． 在中，点E是的中点， ∴． 同理． ∵， ∴； （2）解：四边形是平行四边形，理由如下： ∵点E，F，G是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，可得，结合，根据，即可证明； （2）根据三角形中位线的性质可得，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，即可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． （1）列表： … … … … 直接填空：_______； （2）描点并正确地画出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为_______； ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质：_______． 【答案】（1）1 （2）函数图象如图所示： （3）①；②图象关于直线对称 【解析】 【分析】（1）将代入即可； （2）描出表格中的点，再连线即可； （3）①结合图象判断最小值；②由图象写出函数的性质，如对称性，增减性和最值． 【小问1详解】 解：当时，， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①由图可知，该函数的最小值为； ②图象关于直线对称；当时，随的增大而减小．（答案不唯一） 21. “赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边为，请利用这个图形解决下列问题： （1）请用图2验证勾股定理； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求的值； ②求的值． 【答案】（1）见解析 （2）①；②23 【解析】 【分析】（1）利用两种不同的方法计算正方形的面积，列等式化简即可验证； （2）①将大正方形的面积代入得，将小正方形的面积代入得；②利用完全平方公式计算即可； 本题主要考查了勾股定理的证明和完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【小问1详解】 解：∵大正方形的面积为，一个直角三角形面积为，小正方形的面积为， ∴， 整理得， 即直角三角形斜边的平方等于两直角边的平方和． 【小问2详解】 ①∵大正方形的面积为13， ∴， 又∵， ∴， ∵小正方形的面积为3， ∴， 即， 将代入得， 解得， ∴． ②由①知，， ∴． 22. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义 （2）求，，关于x的函数解析式 （3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 【答案】（1）当骑行时间为时，两种品牌的收费一样 （2）， （3）①　②或 【解析】 【分析】（1）当骑行时间为时，两种品牌的收费一样． （2）待定系数法确定；． （3）①骑行时间，结合图形判断品牌更省钱；②根据题意，构建方程，解得或． 【小问1详解】 解：当骑行时间为时，两种品牌的收费一样． 【小问2详解】 解：设，经过， ∴，得， ∴． 设，经过，则 ，解得 ∴． 【小问3详解】 解：①骑行时间， 如图，当骑行时间超过后，品牌更省钱． ②根据题意，，变形得， 解得或 ∴或时，两种品牌共享电动车收费相差3元． 【点睛】本题考查待定系数法确定一次函数解析式及图象及应用，理解函数与方程的联系是解题的关键． 23. 【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； （2）再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 （3）如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）过点作交的延长线于H，证明即可得出结论． （2）在上截取，使，连接，证明，通过边和角的关系即可证明． （3）过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M．由（2）知，，通过证明，进一步可得答案. 【小问1详解】 解：过点作交的延长线于H， ∵， ，， ， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ， ，， ∵菱形， ∴， ， ， ． 【小问2详解】 解：在上截取，使，连接． ，， ． ， ． ． ∵菱形，， ，， ，， ． ∴， . 【小问3详解】 解：如图，过点作的垂线交的延长线于点，在上截取，使，连接，作于点M． 由（2）得：， ∴， ∵菱形，，点E为边的中点， ∴，， ∴，， 同理：， ，， ∴，， ，，， ∴， 结合（2）可得：， ， ， ∴ ， ∴. 24. 按要求完成以下小问 （1）请写出二次根式的性质（2-3条） （2）请叙述勾股定理的逆定理 （3）请叙述矩形的判定（2条） （4）请叙述三角形的中位线定理． 【答案】（1）① 双重非负性：是非负数，即 ，且被开方数 ； ② ； ③ ． （2）如果三角形的三边长  满足 ，那么这个三角形是直角三角形． （3）① 有一个角是直角的平行四边形是矩形； ② 对角线相等的平行四边形是矩形（或：三个内角是直角的四边形是矩形）． （4）三角形的中位线平行于三角形的第三边，且长度等于第三边的一半． 【解析】 【分析】（1）针对二次根式性质问题，先回忆二次根式的定义和运算相关的基础性质，选取常用的2-3条对应梳理即可． （2）针对勾股定理的逆定理问题，先明确其是通过三角形三边数量关系判断直角三角形的定理，梳理对应的条件和结论即可． （3）针对矩形判定问题，回忆矩形的定义和相关判定定理，选取2条符合要求的判定内容梳理即可． （4）针对三角形中位线定理问题，先明确三角形中位线的定义，再梳理对应的位置和数量关系结论即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【小问4详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学练习题（A） 温馨提示： 1．本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，共8页．满分120分．考试用时120分钟． 2．答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的学校、姓名、准考证号填写在答题卡中规定的位置上． 3．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上． 4．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效． 第Ⅰ卷（选择题共30分） 一、选择题：本大题共10个小题，在每小题的四个选项中只有一个是正确的，请把正确的选项选出来，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，每小题涂对得3分，满分30分． 1. 下列各式中属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的伸缩门，其原理是（ ） A. 两点之间线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 三角形的稳定性 D. 四边形的不稳定性 3. 下列各组数中，是勾股数的是（ ） A. 2，3，4 B. 3，4，5 C. 1，1， D. ，， 4. 瓶子或者罐头盒等圆柱形的物体常常如图所示那样堆放着，随着层数的增加，物体总数也会发生变化，数据如下表，则下列说法错误的是（ ） 层数n/层 1 2 3 4 5 … 物体总数y/个 1 3 6 10 15 … A. 在这个变化过程中层数是自变量 B. 当堆放层数为7层时，物体总数为28个 C. 物体的总数随着层数的增加而均匀增加 D. 物体的总数y与层数n之间的关系式为 5. 若点，，在正比例函数的图象上，则，，的大小关系为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在正方形中，点A的坐标是，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 一次函数与的图象如图所示，则不等式组的解集是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在菱形中，分别为的中点，且，则菱形的面积是（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 9. 在2026年全国“行走大运河”全民健身健步走山东省主会场活动中，小英和小杰参加了健步走项目．两人从起点出发，小英在途中打卡点拍照停留了后仍按原速行进，小杰全程无停留行进．他们行走的路程与时间之间的关系如图所示．小英追上小杰的时刻是（） A. B. C. D. 10. 如图，是由若干个全等的小菱形组成的菱形网格的一部分（图中所有的锐角均为），每个小菱形的顶点称为格点，顺次连接图中的4个格点，能连出矩形的方法共有（ ） A. 6种 B. 8种 C. 9种 D. 10种 第Ⅱ卷（非选择题共90分） 二、填空题（共5小题，每小题3分，满分15分） 11. 任写一个使二次根式有意义的x值______． 12. 洛阳明堂的底部是一个正八边形造型（如图1），图2是其抽象出的正八边形，连结，则的度数为________． 13. 如图，O为数轴的原点，点C表示的数为2，于点C，，以O为圆心、为半径画弧交数轴于点A，则点A表示的数是________． 14. 如图，在矩形中，对角线、相交于点，，，则的长为_______． 15. 如图，直线与轴，轴分别交于A，B两点，一动点从点出发，沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于的直线运动，到达直线上的点处，再沿平行于轴的直线运动，到达直线上的点处……如此运动下去，则点的坐标为______． 三、解答题：（本大题共9个小题，满分75分解答时请写出必要的演推过程） 16. 计算： （1） （2） 17. 年月日是第十一个全民国家安全教育日．树立国家安全意识，自觉关心、维护国家安全，是每个公民的基本义务．为了增强学生国家安全意识，某中学组织七、八年级各名学生举行了国家安全法知识竞赛，现分别从七、八两个年级参赛学生中各随机抽取名学生，统计这部分学生的竞赛成绩，相关数据统计、整理如下： 【收集数据】 七年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 八年级名同学测试成绩统计如下：，，，，，，，，， 【整理数据】两组数据各分数段，如下表所示： 成绩 七年级 八年级 【分析数据】两组数据的平均数、中位数、众数、方差如下表所示： 年级统计量 平均数 中位数 众数 方差 七年级 八年级 【问题解决】根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：________，________，________； （2）①小明说自己的成绩能在本年级排到前，小强说“你的成绩在我们年级进不了前”，则小明是________（填“七”或“八”）年级的学生； ②小文发现在数据收集阶段遗漏了一名八年级同学的测试成绩，若该同学得分恰好为80分，则加入这名同学的成绩后，八年级成绩的方差将________（填“增大”“减小”或“不变”）； （3）按照比赛规定90分及其以上算优秀，请估计这两个年级竞赛成绩达到优秀学生的人数共有多少人？ 18. 某数学学习兴趣小组研究摆钟的“滴答”声与摆长的关系．查阅资料得知：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声．摆钟的周期计算公式是，其中T表示周期（单位：），表示摆线长（单位：），g取取3．若已知一台摆钟原来的摆线长为． （1）求这台摆钟正常工作时的摆动周期； （2）该摆钟长期使用后零件老化，摆动周期变为1.5秒，请问这台摆钟需要返厂维修吗？请说明理由．（注：当实际摆线长与原摆线长相差超过时，需要返厂维修．） 19. 如图，在中，于点，点，，分别是边、、的中点． （1）求证：； （2）判断四边形的形状，并说明理由． 20. 萍萍在学习中遇到了这样一个问题：探究函数的性质，此函数是我们未曾学过的函数，于是他尝试结合一次函数的学习经验研究此问题，下面是萍萍的探究过程，请你补充完整． （1）列表： … … … … 直接填空：_______； （2）描点并正确地画出该函数图象； （3）①根据函数图象可得：该函数的最小值为_______； ②观察函数的图象，写出该图象的一条性质：_______． 21. “赵爽弦图”由三国时期数学家赵爽为注解《周髀算经》所创，以四个全等直角三角形拼构，巧妙用面积关系证明勾股定理，是中国古代数学的重要成就．现用四个图1中的直角三角形拼成如图2所示的“弦图”．设直角三角形的两条直角边长分别为，（），斜边为，请利用这个图形解决下列问题： （1）请用图2验证勾股定理； （2）如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是3， ①求的值； ②求的值． 22. 共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km～10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，给出的图象反映了收费y（元）与骑行时间x（min）之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应，请根据相关信息，解答下列问题： （1）写出图中函数，的图象交点P表示的实际意义 （2）求，，关于x的函数解析式 （3）①如果小明每天早上需要骑行A品牌或B品牌的共享电动车去工厂上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择___________品牌共享电动车更省钱．（填“A”或“B”） ②当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差3元？ 23. 【问题提出】 如图1，点E是菱形边上的一点，是等腰三角形，，，交于点G，探究与的数量关系． 【问题探究】 （1）先将问题特殊化，如图2，当时，求的度数； （2）再探究一般情形，如图1，求的度数；（用含的代数式表示） 【问题拓展】 （3）如图3，当，时，若点E为边的中点，请求出的面积． 24. 按要求完成以下小问 （1）请写出二次根式的性质（2-3条） （2）请叙述勾股定理的逆定理 （3）请叙述矩形的判定（2条） （4）请叙述三角形的中位线定理． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $