命题大赛 河北高一数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版第二册第八章）

**基本信息** 高一第二学期立体几何单元小测（40分钟40分），覆盖线面位置关系、空间角、体积计算及面面平行证明，注重空间观念与推理能力，适配单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|2/10|面面垂直判定、线面角正切值|结合长方体模型，考查空间位置关系判断| |多选|1/6|线面垂直、三棱锥体积定值|动点问题设计，培养几何直观与动态思维| |填空|2/10|直三棱柱外接球、圆台体积|融合球与柱体、台体的空间度量计算| |解答|1/14|四点共面证明、面面平行|正方体背景下综合考查逻辑推理与空间想象|

Sheet1 高一第二学期立体几何小测 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 线面垂直，平行的判定及性质 0.85 2 单选题 5 线面角 0.8 3 多选题 6 求体积，面面垂直 0.75 4 填空题 5 外接球 0.8 5 填空题 5 圆台外接球 0.8 6 大题 14 证明面面平行 0.75 $ 高一第二学期立体几何小测 1.答案　D 解析　对于A，若m⊥α，m⊥n，则n⊂α或n∥α， 若n⊂α，n⊥β，则α⊥β， 若n∥α，则平面α内存在直线c使得n∥c，又n⊥β， 所以c⊥β，又c⊂α，所以α⊥β，故A正确； 对于B，若m⊥α，α∥β，则m⊥β，又n⊥β， 则m∥n，故B正确； 对于C，若m⊥α，m∥n，所以n⊥α，又n⊥β且α，β是空间两个不同的平面，则α∥β，故C正确； 对于D，若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n或m与n异面，故D错误． 2.答案　D 解析　如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD, ∴∠A1CA是A1C与平面ABCD所成的角， 连接AC，AC⊂平面ABCD，AA1⊥AC， 又AB＝1，BC＝2，AA1＝5， ∴AC＝＝， 在Rt△A1CA中，tan∠A1CA＝＝＝，即A1C与平面ABCD所成角的正切值为. 3.解析　B1D1与D1C1显然不垂直，而EF∥C1D1，因此B1D1与EF不垂直，从而B1D1与平面B1EF不垂直，A错误； ，在三棱锥B1－D1EF中，平面D1EF即平面CDD1C1，B1到平面CDD1C1的距离为B1C1，是定值，在△D1EF中，EF的长不变，D1到EF的距离不变，则△D1EF的面积为定值，因此三棱锥的体积是定值，B正确； 平面B1EF就是平面B1A1DC，而A1A与平面B1A1DC相交，C错误； CD⊥平面A1D1DA，CD⊂平面B1A1DC， 所以平面A1D1DA⊥平面B1A1DC， 即平面A1D1DA⊥平面B1EF，D正确． 答案　BD 4.解析　如图，设△ABC外接圆的圆心为O1，半径为r，直三棱柱ABC－A1B1C1的高为h， 直三棱柱ABC－A1B1C1外接球的球心为O，半径为R， 则OO1＝h，且OO1⊥平面ABC， 由正弦定理得2r＝＝2，所以r＝1， 因为4πR2＝20π，所以R＝， 所以OO1＝＝2，所以h＝4， 即直三棱柱ABC－A1B1C1的高为4. 5.答案　14π 解析　如图，设圆台O1O2的高为h，球心O到圆台上底面的距离为a，球O的半径为R， 因为球O的表面积为40π，所以4πR2＝40π，解得R＝， 又因为球O的球心在圆台O1O2的轴O1O2上，可得解得h＝3， 所以圆台的体积V＝(2π＋8π＋)×3＝14π. 6.如图，连接. ∵ = = 1, 且是棱长为3的正方体, ∴ BG = A₁E = 2, BG A₁E ∴ 四边形BGA₁E是平行四边形, ∴ A₁G BE且A₁G=BE. ……………1分 又∵ C₁F = B₁G,且 C₁F B₁G, ∴ 四边形C₁FGB₁是平行四边形, ……………3分 ∴ FGC₁B₁ D₁A₁, ∴ 四边形A₁GFD₁是平行四边形, ……………3分 ∴ A₁GD₁F, ∴ D₁FEB, D₁FEB∴ 四边形ED₁FB是平行四边形, 故E, B, F, D₁四点共面. ……………7分 (2) ∵ H是B₁C₁的中点, ∴ B₁H = . 又B₁G = 1, ∴ = . ……………10分 又 = . 且∠FCB = ∠GB₁H = 90°, ……………6分 ∴ △B₁HG ∽ △CBF,∴HGFB ∴平面∥平面 ……………14分 学科网（北京）股份有限公司 $ 高一第二学期立体几何小测（40分钟 满分40分 ） 1.（单选）（5分）已知α，β是空间两个不同的平面，m，n是空间两条不同的直线，则下列结论错误的是(　　) A．若m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β B．若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n C．若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β D．若α∥β，m⊂α，n⊂β，则m∥n 2．（单选）（5分）在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝1，BC＝2，AA1＝5，则A1C与平面ABCD所成角的正切值为(　　) A. B．2 C. D. 3.（多选）（6分）如图，设E，F分别是长方体ABCD－A1B1C1D1的棱CD上的两个动点，点E在点F的左边，且满足2EF＝DC＝BC，则下列结论正确的是(　　) A．B1D1⊥平面B1EF B．三棱锥D1－B1EF的体积为定值 C．A1A∥平面B1EF D．平面A1D1DA⊥平面B1EF 4．（填空）（5分）设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积为20π，AB＝BC＝AC＝，则此直三棱柱的高是________． 5.（填空）（5分）如图，圆台O1O2的上底面圆的半径为，下底面圆的半径为2，若圆台O1O2的外接球(上、下底面圆在同一球面上)的表面积为40π且其球心O在线段O1O2上，则圆台O1O2的体积为______． 6.（14分）如图所示，已知是棱长为3的正方体，点在上，点在，点在上，且===1，是的中点。 （1）求证：四点共面； （2）求证：平面∥平面 学科网（北京）股份有限公司 $