精品解析：江西宜春市奉新县第四中学2025-2026学年第二学期八年级期中检测卷 数学试题

2025-2026学年第二学期八年级期中检测卷 数学试题 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 3. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 在圆周长计算公式中，变量有（　　） A. L，π B. L，r C. L，π，r D. 2π，r 5. 如图，四边形和都是矩形，点B在边上．若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 6. 如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（ ） A. 16 B. 4或16 C. 4或 D. 20 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 8. 如图，在中，，根据作图的痕迹可知，点表示的数为__________． 9. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 10. 如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 11. 如图，矩形纸片，，，为边上一点．将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，取的中点，连接，则___________． 12. 在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 14. 如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离． 15. 已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 16. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 17. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是，求阴影部分的面积． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 19. 已知：如图，在中，与交于点，交的延长线于，为中点，连接． （1）求证：≌； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 20. 如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． （1）求证：； （2），平分，，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … （1）表格中： ， ． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 22. 阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： （1）化简：； （2）化简并求出：的值． 【方法应用】 （3）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 六、解答题（本大题共12分） 23. 阅读理解：我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形． 【观察发现】： （1）如图1，对垂四边形，四边、、、的数量关系为___________． 【发现应用】： （2）如图2，在中，若，是的中线，且，垂足为，，，则线段___________． 【知识应用】： （3）如图3，分别以钝角的边和边为边长向外作正方形和正方形，连接，交于点，点是中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【拓展应用】： （4）如图4，在平行四边形中，点、、分别是，，的中点，分别连接、、，且，，，则线段___________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期八年级期中检测卷 数学试题 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】一个二次根式的被开方数不含分母，且不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式为最简二次根式． 【详解】A、，因为被开方数含能开得尽方的因数，所以不是最简二次根式； B、因为被开方数含分母，所以不是最简二次根式； C、是最简二次根式； D、，因为被开方数含分母，所以不是最简二次根式． 2. 如果，那么（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：根据二次根式的性质，可得 ．  ∵，即，   ∴，  解得． 3. 下列图象中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数定义知，对于自变量x的每一个取值，都有唯一的y值与之对应，体现在函数图象上，作与x轴垂直的直线与函数图象一定有唯一的交点，据此判断即可． 【详解】解：选项A，C，D的图象与x轴垂直的直线只有一个交点，故是函数的图象，从而y是x的函数． 选项B的图象与x轴垂直的直线可以有两个不同的交点，故它不是函数的图象，从而y不是x的函数． 4. 在圆周长计算公式中，变量有（　　） A. L，π B. L，r C. L，π，r D. 2π，r 【答案】B 【解析】 【分析】常量是变化过程中保持不变的量，变量是变化过程中可以发生变化的量，根据概念判断即可． 【详解】解：∵在圆周长公式中，和都是常量，随半径的变化而变化， ∴变量为和，则B符合题意． 5. 如图，四边形和都是矩形，点B在边上．若，，则的长为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出  的长，进而求出 ，根据矩形的性质可得 且 ，从而得出 为边上的高，利用面积公式即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， 在中，，， ∴由勾股定理得：． ． 四边形是矩形， ，． ， 的长即为平行线与之间的距离．  点在边上， 点到的距离等于．  ． 即 ．  ． 6. 如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为（ ） A. 16 B. 4或16 C. 4或 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查从图像中获取信息和解方程组，由图像可知三角形的最大面积为24，此时点P位于边BC，当点P与点C重合时x为14，设和，即可列出，结合已知即可化简得到，解得a和b，进一步分点P位于上和点P位于上时，利用三角形面积公式求解即可． 【详解】解：设，， 由图像知，， 化简得， 解得， ∵， ∴， 则， 当点P位于上时，， 解得，则； 当点P位于上时，， 解得， 则； 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 若是一个整数，则n可取的最小正整数是________． 【答案】3 【解析】 【分析】本题先化简二次根式，再根据二次根式为整数的性质，确定的最小正整数值． 【详解】解：是一个整数，， 是一个整数，即是一个整数， 为完全平方数， 又是正整数， 可取的最小正整数为． 8. 如图，在中，，根据作图的痕迹可知，点表示的数为__________． 【答案】 【解析】 【分析】利用基本作图得到，，再利用勾股定理计算出，从而得到的长，然后利用数轴表示数的方法得到点表示的实数． 【详解】解：由作图的痕迹得，， 由勾股定理得： ， ∴， ∴点表示的数为 ． 9. 古代著作《九章算术》中记载：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐，水深几何？如图，其大意是：有一个边长为尺的正方形池塘，一棵芦苇生长在它的正中央，高出水面尺．如果把该芦苇拉向岸边，那么芦苇的顶部恰好碰到岸边，则水深 _______ 尺． 【答案】 【解析】 【分析】设尺，则尺，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为水深． 【详解】解：如下图所示， 由题意可知,尺， 设尺，则尺， 在中，， ， 解得：， 尺， 答：水深尺． 10. 如图，已知线段，分别以点，为圆心，以为半径画弧，两弧相交于点，，连接，，，，则四边形的面积为____________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据作图可知，再根据菱形的性质可得，，，再由勾股定理求出，，再根据菱形的性质求面积即可． 【详解】解：如图：连接， 根据作图可知，， ∴四边形是菱形， ∵， ∴，，， ∴， 由勾股定理得：， ∴， ∴四边形的面积为． 11. 如图，矩形纸片，，，为边上一点．将沿所在的直线折叠，点恰好落在边上的点处，连接交于点，取的中点，连接，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，求出，利用三角形的中位线定理解决问题即可． 【详解】解：如图所示连接， 由翻折的性质可知，垂直平分线段， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵N是的中点，M是的中点， ∴是的中位线， ∴． 12. 在中，，，，点为平行四边形边上的动点，且满足是直角三角形，则的长度是______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，直角三角形的性质，勾股定理，分和两种情况画出图形解答即可求解，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴，，， ∵， ∴， （）当时， ①作于，如图所示，则， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴为直角三角形，， ∴此时点和点重合， ∴此时； ②当时，如图，； （）当时，如图，， ∴； 综上，的长度是或或， 故答案为：或或． 【点睛】 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键： （1）先根据二次根式的性质化简，再进行加减运算即可； （2）先根据零指数幂，负整数指数幂，绝对值化简，再进行加减运算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 14. 如图，点O是位于东西海岸线的一个港口，A，B两艘客轮从港口O同时出发，A客轮沿北偏东75°航行，航速是每小时18海里，B客轮沿北偏西15°方向航行，航速是每小时24海里，请计算3小时之后两客轮之间的距离． 【答案】90海里 【解析】 【分析】根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°，OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里），再由勾股定理，即可求解． 【详解】解：根据题意得：∠AOB=75°+15°=90°， OA=18×3=54（海里），OB=24×3=72（海里）， 根据勾股定理得：海里， 即3小时之后两客轮之间的距离90海里． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 15. 已知四边形是矩形，点是边上的中点，请仅用无刻度的直尺完成下列作图，不写作法，保留作图痕迹． （1）如图①中，过点E作线段，使得，交于点F； （2）如图②中，在线段上找一点，使得，连接． 【答案】（1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】本题考查作图-复杂作图、矩形的性质，正确理解题意是解题的关键： （1）连接对角线和，交于点O，连接并延长交于点F，线段即为所求； （2）连接对角线和，交于点P，连接并延长交于点G，连接． 【小问1详解】 解：线段即为所求， 【小问2详解】 解：点即为所求， 16. 如图，在菱形中，于点E，于点F．求证：． 【答案】证明：四边形是菱形， ∴， ∵于点E，于点F， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】此题考查了菱形的性质，全等三角形的性质和判定，首先得到，然后得到，证明出，得到，进而证明即可． 【详解】略 17. 如图，大正方形与小正方形的面积之差是，求阴影部分的面积． 【答案】阴影部分的面积为25 【解析】 【分析】直接利用正方形的性质结合三角形面积求法，利用平方差公式即可得出答案． 【详解】解：设大正方形的边长为a，小正方形的边长为b， 故阴影部分的面积是：AE•BC+AE•BD＝AE（BC+BD） ＝（AB﹣BE）（BC+BD） ＝（a﹣b）（a+b） ＝（a2﹣b2） ＝×50 ＝25． 故阴影部分的面积为25． 【点睛】本题主要考查平方差公式与三角形的面积公式，用代数式表示阴影部分的面积是解题的关键． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 定义：若两个二次根式m，n满足，且p是有理数，则称m与n是关于p的“友好二次根式”． （1）若m与是关于10的友好二次根式，求m； （2）若与是关于6的友好二次根式，求m． 【答案】（1）2 （2）3 【解析】 【分析】（1）利用二次根式的除法法则进行计算即可； （2）利用多项式乘多项式以及二次根式的混合运算法则进行计算． 【小问1详解】 解：根据题意得，； 【小问2详解】 解：根据题意得，， ∴． 19. 已知：如图，在中，与交于点，交的延长线于，为中点，连接． （1）求证：≌； （2）若，请判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】（1）见解析； （2）四边形是矩形，证明见解析 【解析】 【分析】（1）先证明四边形为平行四边形得到，，再利用平行线性质得到，即可证明全等； （2）先求出，结合角度关系证明是等边三角形，再证明四边形是平行四边形，再证明矩形即可． 【小问1详解】 由题意四边形是平行四边形， 则 ∵ ∴四边形为平行四边形， ∴，， ， ， 又， ， ， 在和中， ． 【小问2详解】 解：四边形是矩形． 证明如下： ， ，，则， ，解得， ，， ，， 是等边三角形， ，， 四边形是平行四边形， ， 为中点， ， ， 在平行四边形中，， ， ， 中，，， ， ， ， ， ， 平分， 是等边三角形， ， ， ，，， 且， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是矩形． 20. 如图，在四边形中，，，M，N分别为，的中点，连接，，． （1）求证：； （2），平分，，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）根据中位线和中线即可求解； （2）证明，根据勾股定理即可求解． 【小问1详解】 证明：在中，M，N分别为，的中点， ∴,, 在中， 点是的中点， ， , ∴ 【小问2详解】 解：∵,平分, , 由（1）可知，, ∴, ∵, , , ∴, ． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 请根据函数相关知识，对函数的图像与性质进行探究，并解决相关问题． ①列表；②描点；③连线． … 0 1 2 3 4 5 6 7 … … 5 1 1 3 7 … （1）表格中： ， ． （2）在直角坐标系中画出该函数图像． （3）观察图象： ①根据函数图像可得，该函数的最小值是 ； ②观察函数的图像，写出该图像的一条性质． 【答案】（1）3；5 （2）见解析 （3）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）分别将和代入函数解析式，即可解答； （2）根据表格数据，先描点，再连线画出函数图像即可； （3）直接根据函数图像解答即可． 【小问1详解】 解：当时，；当时，， ∴，； 【小问2详解】 解：如图函数图像即为所求作： 【小问3详解】 解：①根据函数图像可得，函数的最小值是； ②观察函数的图像，该图像的性质有：关于对称，即对称轴为；当时，函数值随自变量的增大而减小；当时，函数值随自变量的增大而增大（答案不唯一）． 22. 阅读与思考： 数学上有一些被开方数带根号的数能通过完全平方公式及二次根式的性质化简．例如： ． 解决下列问题： （1）化简：； （2）化简并求出：的值． 【方法应用】 （3）如图，已知一正方形花圃（如图所示阴影部分）边长为4米，现增种鲜花面积为平方米，形成新正方形花圃ABCD，求出新正方形花圃ABCD的边长． 【答案】（1） （2）9 （3） 【解析】 【分析】（1）将被开方数凑成的形式，再利用二次根式的性质化简即可； （2）分别将两个被开方数凑成完全平方式，再分别利用二次根式的性质化简，最后合并同类二次根式即可解答； （3）先求出新正方形花圃ABCD的面积为，则边长为，再仿照范例解答即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 【小问3详解】 解：由题意可得：， 所以新正方形花圃的边长为， ． 六、解答题（本大题共12分） 23. 阅读理解：我们把对角线互相垂直的四边形叫做对垂四边形． 【观察发现】： （1）如图1，对垂四边形，四边、、、的数量关系为___________． 【发现应用】： （2）如图2，在中，若，是的中线，且，垂足为，，，则线段___________． 【知识应用】： （3）如图3，分别以钝角的边和边为边长向外作正方形和正方形，连接，交于点，点是中点，连接，若，，，则线段的长为___________． 【拓展应用】： （4）如图4，在平行四边形中，点、、分别是，，的中点，分别连接、、，且，，，则线段___________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）利用勾股定理证明即可； （2）连接，利用（1）中结论结合中线的性质计算即可； （3）连接、，设与相交于点，证明， 得，然后证明，得，求出，再根据直角三角形的斜边中线等于斜边的一半即可解决问题； （4）连接，交于，与交于点，设与的交点为， 由四边形是平行四边形，得到，根据点、、分别是，，的中点，得到，， 证出四边形是平行四边形，再证明， 证得，推出，分别是的中线， 由（2）的结论即可得到结果． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ，，，， ，， ； 【小问2详解】 解：如图，连接， ，是的中线， ，，是的中位线， ， ， 由（1）可知， ， ，即， ， ， ； 【小问3详解】 解：如图，连接、，设与相交于点， 四边形和四边形是正方形， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ，，， ，， ， ， ，点是中点， ； 【小问4详解】 解：如图，连接、交于，与交于点，设与的交点为， 点、分别是，的中点， 是的中位线， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 点、分别是，的中点， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ，， 在和中， ， ， ， ，分别是的中线， 由（2）的结论得：， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $