专题11.3.1 平行直线与异面直线&11.3.2直线与平面平行（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

本高中数学讲义聚焦空间平行关系，系统梳理空间平行线传递性、等角定理，异面直线定义与空间四边形概念，以及线面平行的判定与性质定理，构建从线线平行到线面平行的逻辑链条，为空间几何学习提供基础支架。 资料通过分层知识点设计与即学即练结合，以正方体、三棱锥等模型培养空间观念（数学眼光），通过定理推导与符号语言规范提升推理能力（数学思维），课中助力教师系统教学，课后练习题与解题指导帮助学生查漏补缺，强化数学表达（数学语言）。

专题11.3.1 平行直线与异面直线&11.3.2直线与平面平行 教学目标 1．理解空间平行线的传递性与等角定理，能用文字、符号准确表述，并用于证明直线平行与角的关系。 2．掌握异面直线的定义与画法，理解空间四边形的概念，能识别相关基本元素与结构特征。 3．熟记线面平行判定定理，能用三种语言表述，并完成简单的线面平行证明。 4．掌握线面平行性质定理，理解线面平行与线线平行的转化，规范推理步骤。 教学重难点 重点：空间平行线传递性、等角定理；线面平行的判定与性质定理及应用。 难点：异面直线的理解；线面平行判定与性质的逻辑推导及符号语言规范使用。 知识点01 平行直线与等角定理 1.空间平行线的传递性 ①文字语言：平行于_______直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线_______ 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应_______，那么这两个角_______或_______． ②符号语言：,_______或_______ 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角_______或_______； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）_______。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 【即学即练】 1．三棱锥中，分别是的中点，求与的位置关系（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．都有可能 2．已知空间两个角与，若，，，则______. 知识点02 异面直线与空间四边形 1、异面直线的概念：空间中既不_______也不_______的直线。 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 3.空间四边形 顺次连接_______的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的_______顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接_______的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 【即学即练】 3．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 4．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______． 知识点03 直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果_______的一条直线和这个平面_______的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 【即学即练】 5．如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．    (1)求三棱锥的体积 (2)求证：∥平面； 6．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 知识点04 直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的_______和这个平面相交，那么这条直线就和_______平行 【即学即练】 7．如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 8．如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 题型01 证明直线与直线平行与等角定理的应用 【例1】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【例2】如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（   ）    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 【变式1-1】已知空间两个角与，若，，，则______. 【变式1-2】空间四边形的两条对角线与相等，顺次连接这个四边形各边的中点，所组成的四边形是___________． 【变式1-3】如图，正方体的棱长是，点分别是两条棱的中点． (1)求证：四边形（图中阴影部分）是一个梯形； (2)求四边形的面积． 解题时要先明确等角定理内容：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。应用时要先判断两边的平行方向：同向平行时两角相等，反向平行时两角互补；若是两条直线的夹角（取锐角或直角），则一定相等，常用于空间中角的大小比较或证明。 题型02 线面平行的有关命题判断 【例3】下列命题中，正确的是（ ） A．若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B．若两直线a，b都与平面平行，则 C．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 D．若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 【例4】已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，为异面直线，，，则 【变式2-1】（多选）关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（    ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 【变式2-2】已知、是两条不同的直线，、是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若、是异面直线，，，，，则 【变式2-3】（多选）已知，表示直线，表示平面，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或与相交 C．若，，则，无公共点 D．直线平面，直线，则或和异面 解题时要紧扣线面平行的定义和判定、性质定理的条件。线面平行的定义是直线与平面无公共点；判定定理的三个条件缺一不可：直线在平面外、直线与平面内一条直线平行；性质定理的关键是“过直线作平面，找交线”，要逐一核对命题中的条件，避免忽略“线在面外”“交线”等关键前提。nn 题型03 中位线法证明线面平行 【例5】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【例6】如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 【变式3-1】如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 【变式3-2】在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点．    (1)求证：平面． (2)求三棱锥的体积． 【变式3-3】如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 解题的关键是找到合适的三角形中位线。先在图形中找到包含目标直线的三角形，再取三角形两边的中点，连接得到中位线，利用中位线平行且等于底边一半的性质，证明目标直线与平面内的底边平行，再结合线面平行的判定定理（直线在平面外、与平面内直线平行），证得线面平行。 题型04 平行四边形法证明线面平行 【例7】如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【例8】如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【变式4-1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：. 【变式4-2】某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若点是的中点，求三棱锥体积的最大值． 【变式4-3】如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 解题核心是构造平行四边形，利用“对边平行”的性质。先在平面内找一条直线，证明它与目标直线平行且相等，从而构成平行四边形，再结合线面平行的判定定理，说明目标直线在平面外，且与平面内的这条直线平行，最终证得线面平行，常通过找等长线段、利用中点或已知平行关系来构造平行四边形。 题型05 利用线面平行的性质定理证明线线平行 【例9】在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ） A． B． C． D． 【例10】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【变式5-1】如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【变式5-3】如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 解题时要先明确已知条件：一条直线平行于一个平面。关键步骤是“作辅助平面”：过这条直线作一个与已知平面相交的平面，得到交线，再根据线面平行的性质定理，直接推出目标直线与交线平行，常用于已知线面平行，需要推导平面内直线与已知直线平行的场景。 题型06 补全线面平行的条件 【例11】如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：AF平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明. 【例12】如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由． 【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面. 【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．    【变式6-3】如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 解题时要紧扣线面平行判定定理的三个必要条件：直线在平面外、平面内存在一条直线与已知直线平行、已知直线与平面内的直线平行。题目通常会给出部分条件，需要补充缺失的关键前提，比如补充“线在面外”的说明、补充平面内的平行线，或补充中点、平行四边形等能推出线线平行的条件，使三个条件完整，满足判定定理的要求。 一、单选题 1．在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 2．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（   ） A． B． C． D． 3．如图，，且与均不重合，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 4．如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 5．在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 6．如图，四棱锥 的所有棱长都等于 5，点 在线段 上，且满足 ，过 三点的平面与交于点，则四边形的周长为（   ） A． B．16 C．14 D． 7．如图，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则直线与平面不平行的是（    ） A．   B．   C．   D．   8．如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 二、多选题 9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是（    ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 10．如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 三、填空题 11．如图，在正方体中，，分别为，的中点，点分别在线段，上，且，则在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为______． 12．如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 四、解答题 13．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 14．如图，四棱锥中，底面是菱形，，分别是棱，上的点，平面，且.求证：. 15．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3.1 平行直线与异面直线&11.3.2直线与平面平行 教学目标 1．理解空间平行线的传递性与等角定理，能用文字、符号准确表述，并用于证明直线平行与角的关系。 2．掌握异面直线的定义与画法，理解空间四边形的概念，能识别相关基本元素与结构特征。 3．熟记线面平行判定定理，能用三种语言表述，并完成简单的线面平行证明。 4．掌握线面平行性质定理，理解线面平行与线线平行的转化，规范推理步骤。 教学重难点 重点：空间平行线传递性、等角定理；线面平行的判定与性质定理及应用。 难点：异面直线的理解；线面平行判定与性质的逻辑推导及符号语言规范使用。 知识点01 平行直线与等角定理 1.空间平行线的传递性 ①文字语言：平行于同一条直线的两条直线平行．这一性质叫做空间平行线的传递性． ②符号表述：，作用：证明两条直线平行 2.等角定理 ①文字语言：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补． ②符号语言：,或 等角定理的两个推论： （1）如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补； （2）如果两条相交直线与另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角（或直角）相等。 作用：判断和证明两个角相等或互补。 【即学即练】 1．三棱锥中，分别是的中点，求与的位置关系（    ） A．平行 B．相交 C．异面 D．都有可能 【答案】A 【详解】 ∵是中点， ∴ ∵是中点 ∴ ∴． 2．已知空间两个角与，若，，，则______. 【答案】或 【详解】因为，，故或，如图： 知识点02 异面直线与空间四边形 1、异面直线的概念：空间中既不平行也不相交的直线。 2、异面直线的画法：为了表示异面直线不共面的特点，作图时，通常用一个或两个平面衬托。 3.空间四边形 顺次连接不共面的四点A、B、C、D所构成的图形，叫做空间四边形． 这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点； 所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边； 连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线． 【即学即练】 3．在三棱锥中，平面，，，则直线与所成角的余弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解法一：如图，分别取，，的中点，，，分别连结，，，，则， ，所以（或其补角）即为直线与所成角， 设，可得，，， ， 在中，由余弦定理可得，， 由于直线与所成角为锐角，故直线与所成角的余弦值为，故D正确. 解法二：如图，把三棱锥扩充为正方体，直线与所成角即为直线与所成角， 因为为等边三角形，所以直线与所成角为， 即直线与所成角的余弦值为，故D正确. 4．如图，G，H，M，N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH，MN是异面直线的图形有_______． 【答案】②④ 【详解】对于①，如图①所示，连接，因为分别是上下底面对应边的中点， 可得且，所以四边形为平行四边形， 所以，所以①不符合题意； 对于②，如图②所示，由平面，平面，平面，且直线上， 所以与为异面直线，所以②符合题意； 对于③，如图③所示连接，因为分别各边的中点，可得且， 四边形是以和为腰的梯形，所以和必相交，所以③不符合题意； 对于④，如图④所示，由平面，平面，平面，且直线上， 所以与为异面直线，所以④符合题意. 知识点03 直线与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线线平行线面平行 如果平面外的一条直线和这个平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行 【即学即练】 5．如图所示，是正四棱柱(即底面为正方形的长方体），侧棱长为1，底面边长为2，是棱的中点．    (1)求三棱锥的体积 (2)求证：∥平面； 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）∵平面， 所以三棱锥的高为， 所以； （2）连接交于，连接， 则为的中点，且为的中点， 所以中位线//，且平面，平面， 所以//平面.    6．如图，在四棱锥中，底面ABCD为菱形，，分别为CD，PA的中点.证明：平面PBC； 【答案】证明见解析 【详解】取PB中点，连接，由分别为的中点， 得且，且， 则，且，因此四边形为平行四边形， 则，而平面平面， 所以平面. 知识点04 直线与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行线线平行 如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面相交，那么这条直线就和交线平行 【即学即练】 7．如果直线平面，那么直线与平面内的（    ） A．一条直线不相交 B．两条相交直线不相交 C．无数条直线不相交 D．任意一条直线不相交 【答案】D 【详解】线面平行，则线面无公共点， 所以直线与平面内的所有直线都不相交，故ABC错误，D正确． 故选：D 8．如图，在直三棱柱中，是边的中点，过，，作截面交于点D.求证：. 【答案】证明见解析 【详解】在直三棱柱中，因为，平面，平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以. 题型01 证明直线与直线平行与等角定理的应用 【例1】如图，已知直线，为异面直线，为直线上三点，，，为直线上三点，分别为，，，，的中点.若，则______. 【答案】 【详解】由分别是，的中点，得，同理， 则，，又的两边和的两边的方向分别相同， 因此，所以. 【例2】如图所示，在正方体中，分别是侧面，侧面的中心，分别是线段的中点，则直线与直线的位置关系是（   ）    A．相交 B．异面 C．平行 D．无法确定 【答案】C 【详解】如图，连接，则分别为的中点，    故, 由分别是线段的中点，得， 故, 故选：C 【变式1-1】已知空间两个角与，若，，，则______. 【答案】或 【详解】因为，，故或， 故答案为：或 【变式1-2】空间四边形的两条对角线与相等，顺次连接这个四边形各边的中点，所组成的四边形是___________． 【答案】菱形 【详解】连接，分别为的中点， 所以且， 所以且，所以四边形是平行四边形. 又分别为的中点，所以， 又因为，所以四边形是菱形. 【变式1-3】如图，正方体的棱长是，点分别是两条棱的中点． (1)求证：四边形（图中阴影部分）是一个梯形； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）如图所示，连接， 因为点、分别是、的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形是一个梯形. （2）因为正方体的棱长为，所以，，， 如图②所示，， 而梯形的高， 可得梯形的面积为. 解题时要先明确等角定理内容：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等或互补。应用时要先判断两边的平行方向：同向平行时两角相等，反向平行时两角互补；若是两条直线的夹角（取锐角或直角），则一定相等，常用于空间中角的大小比较或证明。 题型02 线面平行的有关命题判断 【例3】下列命题中，正确的是（ ） A．若直线a与平面平行，则a平行于内的任何直线 B．若两直线a，b都与平面平行，则 C．若直线l与平面平行，则平面内有无数条直线与l平行 D．若直线a平行于平面，直线b在平面内，则 【答案】C 【详解】对于A，若直线a与平面平行，则也可能与平面内某直线异面，错误； 对于B，若两直线a，b都与平面α平行，则两直线可以平行、相交，也可以异面，错误； 对于C，如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，正确. 对于D，若直线a平行于平面α，直线b在平面α内，则或两直线异面，错误； 【例4】已知，为两个不同的平面，，为两条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，，则 C．若，，，则 D．若，为异面直线，，，则 【答案】C 【详解】 在正方体中，由于平面，平面， 但平面与平面不平行，故A错误； 同理，由于平面，平面，且 但平面与平面不平行，故B错误； 同理，由于平面，平面，且与是异面直线， 但平面与平面不平行，故D错误； 对于C，由，得，而，因此，C正确. 故选：C. 【变式2-1】（多选）关于空间中直线与平面的位置关系，下列命题正确的是（    ） A．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都平行 B．若直线不平行于平面且，则平面内不存在与平行的直线 C．若两条平行直线中的一条与一个平面平行，则另一条也与这个平面平行 D．若直线与平面平行，则与平面内的任意一条直线都没有公共点 【答案】BD 【详解】平行于平面的直线，和这个平面内的直线平行或异面，所以A错误； 若直线不平行于平面且，则直线与平面相交，所以平面内不存在与平行的直线，所以B正确； 若两条平行直线中的一条与一个平面平行，另一条有可能在平面内，就不与平面平行，所以C选项错误； 若直线与平面平行，根据线面平行的定义，可得直线与平面内的任意一条直线都没有公共点，所以D正确. 【变式2-2】已知、是两条不同的直线，、是不同的平面，则下列命题正确的是（    ） A．若，，则 B．若，，，，则 C．若，，，则 D．若、是异面直线，，，，，则 【答案】D 【详解】对于A选项，若，，则或，A错； 对于B选项，若，，，，则或、相交，B错； 对于C，若，，，则与平行或异面，故C错误； 对于D，因为，过直线作平面，使得， 由线面平行的性质定理可得， 因为，，所以， 因为、异面，若，则，矛盾，故直线与是两条相交直线， 又，，所以；故D正确. 故选：D. 【变式2-3】（多选）已知，表示直线，表示平面，下列结论正确的是（    ） A．若，则 B．若，则或与相交 C．若，，则，无公共点 D．直线平面，直线，则或和异面 【答案】BD 【详解】对于A：若说明直线a和面只有一个交点，A错误； 对于B：直线在面外，则直线和面相交或平行，B正确； 对于C：，则和可以相交，故和可以相交，C错误； 对于D：直线平面，直线，则或和异面，D正确， 故选：BD. 解题时要紧扣线面平行的定义和判定、性质定理的条件。线面平行的定义是直线与平面无公共点；判定定理的三个条件缺一不可：直线在平面外、直线与平面内一条直线平行；性质定理的关键是“过直线作平面，找交线”，要逐一核对命题中的条件，避免忽略“线在面外”“交线”等关键前提。nn 题型03 中位线法证明线面平行 【例5】如图，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，．若是棱的中点，证明：平面； 【答案】证明见解析 【详解】设与的交点为，连接， 因为是菱形，所以是线段的中点， 又是棱的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【例6】如图，正三棱柱中，，点是的中点. (1)求证：平面； (2)若三棱锥的体积为，求这个三棱柱的侧棱长. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接，交于点N，连接， 因为四边形为矩形，所以为的中点， 又点是的中点，所以， 因为平面，平面， 所以平面. （2）因为为等边三角形，是的中点，所以， 又，故， 因为平面， 设，则， 所以，即，解得， 故这个三棱柱的侧棱长为3. 【变式3-1】如图，已知在三棱柱中，平面，点是的中点． (1)求证：平面； (2)若，，，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2)8 【分析】 【详解】（1）证明：如图，连接，设，连接， 四边形是矩形，则为的中点， 又是的中点， ， 又平面，平面， 平面． （2），是的中点， ， 在三棱柱中，底面，且， 平面， 平面， ， ，，平面， 平面，则是三棱锥的高， 在等腰中，，，则， 又， ． 【变式3-2】在直三棱柱中，，，，，、、分别为、、的中点，是上任意一点．    (1)求证：平面． (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）证明：、分别为、的中点， ． ∵在直三棱柱中， ，． 平面，平面，平面． （2），，， 、平面，平面， 平面． ，平面，平面． ，，，，． ， ． 平面，．． 【变式3-3】如图，在正三棱柱中，，为棱的中点． (1)证明：平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）连接交于，连接，易得为中点． 在正三棱柱中，因为、分别为、中点，所以 又因为平面，平面，所以平面 （2）取中点，连接． 在正三棱柱中，设，因为、分别为、中点， 可得，且，所以四边形是平行四边形 所以，或其补角即为异面直线与所成的角． 在中，， 满足， 则是直角三角形， 所以． 即异面直线与所成角的余弦值为． 解题的关键是找到合适的三角形中位线。先在图形中找到包含目标直线的三角形，再取三角形两边的中点，连接得到中位线，利用中位线平行且等于底边一半的性质，证明目标直线与平面内的底边平行，再结合线面平行的判定定理（直线在平面外、与平面内直线平行），证得线面平行。 题型04 平行四边形法证明线面平行 【例7】如图所示，在四棱锥中，平面， ，是的中点. (1)求证：； (2)求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，平面，平面，平面平面， 所以. （2）在四棱锥中，取的中点，连接， 由是的中点，得，由（1）知，而， 因此，四边形是平行四边形，则， 而平面，平面，所以平面. 【例8】如图，正方体的棱长为4，为中点， (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）正方体中，平面平面， 所以棱长即为点到平面的距离. 所以. （2）证明：正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以. 又平面，平面，所以平面. 【变式4-1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是的中点. (1)求证：平面； (2)在上取一点（不与重合），设过点和的平面交平面于，求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接，如图所示. 因为分别是的中点， 所以中，，且. 因为四边形为平行四边形，所以，且. 所以且 所以四边形为平行四边形，所以 又在平面内，在平面外， 所以平面. （2）连接交于点，连接，如图所示. 因为四边形是平行四边形，所以是的中点. 又因为是的中点，在中，根据三角形中位线定理可得. 因为平面在平面外， 根据线面平行的判定定理，得知平面. 因为过点和的平面交平面于，且平面， 根据线面平行的性质定理可得，. 【变式4-2】某圆台形建筑如图所示，圆台的轴截面为等腰梯形，，为底面圆周上异于，的动点，是的中点． (1)求证：直线∥平面； (2)若点是的中点，求三棱锥体积的最大值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接，，因为是的中点，所以是的中位线， 因此： ，且， 由圆台性质，上底直径，且， 故且， 因此四边形是平行四边形，得， 又平面，平面，所以平面. （2） 轴截面等腰梯形中，，，，圆台的高： ， 因为是下底直径，在下底圆周上，故， 设到底面直径的距离为，由下底圆半径为2，得，最大值为2， 的面积，是中点，故， 因为是中点，平面， 故， 到底面的距离为圆台的高， 因此： ， 因为，当时三棱锥体积取最大值： . 【变式4-3】如图，在正方体中，为的中点. (1)求证：平面； (2)在图中作出平面和底面ABCD的交线，并求平面将正方体分成两部分的体积之比. 【答案】(1)证明见解析 (2)作图见解析，7∶17 【分析】 【详解】（1）在正方体中，且，且， 且，所以，四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 平面.     （2）在正方形中，直线与直线相交. 延长，交于点，连接， ，平面，则平面. ，平面，平面. 平面平面，则平面和底面ABCD的交线为， 设，则如图平面和底面ABCD的交线为， 连接，则为平面和平面的交线. 由为的中点，得为的中点，. 所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台. 解法一：设正方体的棱长为2. .     另一部分几何体的体积为. 两部分的体积比为7∶17.     解法二：设正方体的棱长为2，所以平面将正方体分成两部分，其中一部分是三棱台， 所以. 另一部分几何体的体积为， 两部分的体积比为7∶17. 解题核心是构造平行四边形，利用“对边平行”的性质。先在平面内找一条直线，证明它与目标直线平行且相等，从而构成平行四边形，再结合线面平行的判定定理，说明目标直线在平面外，且与平面内的这条直线平行，最终证得线面平行，常通过找等长线段、利用中点或已知平行关系来构造平行四边形。 题型05 利用线面平行的性质定理证明线线平行 【例9】在三棱柱中，点M，E分别是棱的中点，点满足，点为棱上的动点，若平面CDE，则（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图所示，在平面内，作，与交于，连接,则,所以，共面，因为平面CDE，平面平面CDE,由线面平行的性质定理得,所以四边形是平行四边形，所以， 设，，因为，所以，则，因为E是棱的中点，所以， 因为是梯形的中位线，所以，所以，所以，所以. 【例10】如图所示，在四棱锥中，底面为梯形，，，面面，是的中点.    (1)求证：平面； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，取中点，连、 ，又， ， 四边形为平行四边形， ，又平面，平面， 平面；    （2）在梯形中，， 又平面，平面， 平面， 平面，平面平面， ，，. 【变式5-1】如图，为平行四边形所在平面外一点，为的中点，为上一点，O为AC与BE交点.当平面时，（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】若//平面，因平面，平面平面，则//，从而. 【变式5-2】如图，在四棱锥中，底面为梯形，且，且为的中点． (1)求证：平面； (2)设平面与平面的交线为，试判断直线与平面的位置关系，并证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)平面，证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：设为的中点，连接，． 又因为为的中点，所以，， 又因为，，所以，， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面， 所以平面 （2）直线与平面平行，证明如下： 因为平面，平面，平面平面，所以， 又因为平面，平面，所以平面. 【变式5-3】如图，已知四棱锥的高为，底面是边长为的正方形，点分别为的中点，设平面平面. (1)证明：平面； (2)证明：； (3)求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】 【详解】（1）取的中点，连接， 因为点分别为的中点， 由题意可证得，且， 所以，且， 所以四边形为平行四边形，所以， 而平面平面， 所以平面. （2）由（1）可得平面平面，平面平面， 所以. （3）由（1）可得平面， 所以点和点到平面的距离相等. 所以. 故所求锥体的体积为. 解题时要先明确已知条件：一条直线平行于一个平面。关键步骤是“作辅助平面”：过这条直线作一个与已知平面相交的平面，得到交线，再根据线面平行的性质定理，直接推出目标直线与交线平行，常用于已知线面平行，需要推导平面内直线与已知直线平行的场景。 题型06 补全线面平行的条件 【例11】如图，四棱锥的底面为平行四边形，分别为的中点. (1)证明：AF平面； (2)在线段上是否存在一点，使得平面，并给出必要的证明. 【答案】(1)证明见解析 (2)存在，证明见解析 【分析】 【详解】（1）证明：取中点，连接，在中，为的中点， . 为的中点，， 即四边形为平行四边形，. 平面平面平面. （2）设，取中点，连接，则在中， 分别是的中点， 平面平面， 平面. 与相似，且相似比为， 为的三等分点. 在点位置时满足平面. 即点在线段靠近端的三等分点时符合题意. 【例12】如图，在五面体中，，底面ABC是正三角形，．四边形是矩形，问：D在AC上运动，当D在何处时，有平面，并说明理由． 【答案】D为AC中点时，理由见解析 【详解】解：当D为AC中点时，平面． 理由：连接与交于点O，当D为AC中点时，，且OD是平面上的直线，而是平面外的直线，根据直线与平面平行的判定定理可知，平面． 【变式6-1】如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，是上一点，当点满足条件：________时，平面. 【答案】答案表述不唯一) 【详解】连接交于O，连接OE， 平面平面，平面平面 ， . 又 底面为平行四边形，为对角线与的交点， 故为的中点, 为的中点， 故当满足条件: 时，面. 故答案为: 答案表述不唯一) 【变式6-2】如图，在四棱锥中，底面为矩形，平面平面，，，为的中点．在棱上是否存在一点，使得平面?若存在，求的值；若不存在，请说明理由．    【答案】存在，且 【分析】 【详解】存在，且，理由如下： 连接，，连接， 因为 是矩形，且为的中点， 所以，所以， 又平面，平面平面，平面， 所以，所以．    【变式6-3】如图1，设半圆的半径为2，点三等分半圆，，，分别是，，的中点，将此半圆以为母线卷成一个圆锥如图在图2中完成下列各题. (1)求在圆锥中的线段的长； (2)求四面体的体积； (3)若是的中点，在线段上是否存在一点，使得平面若存在，求的值，并证明你的结论；若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2) (3)在线段OB上存在点E，且=3，证明见解析 【分析】 【详解】（1）在图中，设圆锥的底面圆半径为， 则，解得， 因为在图1中，点、三等分半圆， 所以在图中，点、为圆锥的底面圆周的三等分点， 所以为等边三角形，所以，所以， 又因为点、分别是、的中点， 所以； （2）， 圆锥的高， 所以， 所以， 即四面体的体积为； （3）在线段OB上存在点E，且，使得平面ABC， 理由如下：如图，取AC的中点F，且D是AN的中点，连接DF， 所以， 取CB的四等分点G，使，连接GE， 因为，所以，， 所以，， 所以四边形DFGE是平行四边形，所以 又平面ABC，平面ABC，所以平面 解题时要紧扣线面平行判定定理的三个必要条件：直线在平面外、平面内存在一条直线与已知直线平行、已知直线与平面内的直线平行。题目通常会给出部分条件，需要补充缺失的关键前提，比如补充“线在面外”的说明、补充平面内的平行线，或补充中点、平行四边形等能推出线线平行的条件，使三个条件完整，满足判定定理的要求。 一、单选题 1．在正方体中，与直线异面的直线可以是（     ） A．直线 B．直线 C．直线 D．直线 【答案】A 【详解】对于A，在正方体中，平面，平面，平面， 点直线，点直线，因此直线与直线互为异面直线，A是； 对于B，，直线与直线是相交直线，B不是； 对于C，连接，由，得四边形是平行四边形，直线与直线是相交直线，C不是； 对于D，由选项C，同理得直线与直线是相交直线，D不是. 2．“平面内有一条直线，则这条直线上的一点必在这个平面内”用符号语言表述是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意， ∵平面内有一条直线， ∴， ∵点在这条直线上， ∴， ∵得出这条直线上的一点必在这个平面内， ∴， ∴. 3．如图，，且与均不重合，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于AB，由于，且与均不重合， 由且，可得，又因，据线面平行性质定理可得，同理，故AB正确； 对于C，且，可得，故C正确； 对于D，由，可得相交，不可能平行，故D错误. 4．如图，，直线与分别交于点和点，且，则的值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】A 【详解】因为，直线与分别交于点和点， 过点作直线，使得，交于点，所以， 所以，故. 5．在空间四边形中，点，分别是边，的中点，点，分别是边，上的点，且，以下四个结论中正确的为（    ） A．与平行 B．与异面 C．与的交点可能在直线上，也可能不在直线上 D．与的交点一定在直线上 【答案】D 【详解】连接、： 因为、分别为、的中点，由三角形中位线定理得：，且. 在中，，由平行线分线段成比例定理的逆定理得：，且. 判断与的位置关系： 由且，可知四边形为梯形，、为梯形两腰，必相交且共面，故A（平行）、B（异面）错误. 判断交点的位置： 设，因为平面，故平面；又平面，故平面. 平面与平面的交线为，根据公理3：两个不重合的平面若有公共点，则所有公共点都在它们的交线上，可得，即交点一定在直线上，故C错误，D正确. 6．如图，四棱锥 的所有棱长都等于 5，点 在线段 上，且满足 ，过 三点的平面与交于点，则四边形的周长为（   ） A． B．16 C．14 D． 【答案】A 【详解】四棱锥 的所有棱长都等于 5， 所以四棱锥为正四棱锥， 所以是正方形， 因为；又平面，平面， 所以平面； 又平面平面， 所以，所以； 因为，所以，所以； 中，，所以； 同理， 所以四边形DEFC的周长为， 故选：A． 7．如图，、为正方体的两个顶点，、、为所在棱的中点，则直线与平面不平行的是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】A 【详解】对于A选项，如图：    连接，交于点，连接，则、平面， 且直线与直线不平行，所以直线与平面相交，故A正确； 对于B选项，如图：    因为，平面，平面，所以平面，故B错误； 对于C选项，如图：    取中点，易知、、、四点共面， 因为，，、分别为、的中点， 所以，，故四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，所以平面，故C错误； 对于D选项，如图：    连接，因为，，故四边形为平行四边形，所以， 因为、分别为、的中点，所以，所以， 因为平面，平面，所以平面，故D错误. 故选：A. 8．如图，在三棱柱中，点，分别为，，，的中点，为的重心．在下列平面中，恰有2条三棱柱的棱与其平行的是（    ）. A．平面 B．平面 C．平面 D．平面 【答案】D 【详解】如图1，平面即平面，只有1条棱与其平行，所以A错误； 如图2，对于平面，有6条棱与其平行，它们分别为．所以B错误； 如图3，对于平面，有5条棱与其平行，它们分别为．所以C错误； 如图4，平面可由平面绕直线旋转得到，有2条棱与其平行，其余各棱均与其相交，所以D正确. 故选：D． 二、多选题 9．如图是一个正方体的展开图，如果将它还原为正方体．那么在这四条线段中，线段所在直线是异面直线的是（    ） A．直线和直线 B．直线和直线 C．直线和直线 D．直线和直线 【答案】BC 【详解】还原为正方体，如下： A选项，直线EF和直线CD平行，不是异面直线，A错误； B选项，直线AB和直线CD是异面直线，B正确； C选项，直线EF和直线GH是异面直线，C正确； D选项，直线AB和直线是相交直线，不是异面直线，D错误. 10．如图，在正方体中，、、分别是棱、、的中点，则（   ） A．平面 B．平面 C．点在平面内 D．点在平面内 【答案】AD 【详解】对于A选项，在正方体中，，， 所以四边形为平行四边形，所以， 因为平面，平面，故平面，A对； 对于D选项，连接、，如下图所示： 因为、分别为、的中点，所以， 又因为，所以，故、、、共面，D对； 对于B选项，根据已有分析可知点在平面内，所以与平面有交点，因此B错； 对于C选项，由A选项可知，点在平面外，C错. 故选：AD. 三、填空题 11．如图，在正方体中，，分别为，的中点，点分别在线段，上，且，则在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的条数为______． 【答案】1 【详解】如图，取的中点，且． 又且，所以且，四边形为平行四边形，则． 又平面，平面，故平面； 若平面，平面，平面平面，则，矛盾； 过点作交于点，连结，，则． 若平面，平面，平面平面，故， 又，则四边形是平行四边形，但，矛盾． 故在这三点中任取两点确定的直线中，与平面平行的有1条． 故答案为：1. 12．如图所示，，是的另一侧的点，，线段分别交于，若，则________，________． 【答案】 9 【详解】在平面的下方，是与平面的交点，在直线上，因此线段， 因,，故三点可确定平面 ，平面 ,且，平面与平面,故. 则有，即有 ，代入，解得 . 四、解答题 13．如图，在四棱锥中，底面为正方形，点到平面的距离为2，，分别是和的中点． (1)证明：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1）在中，分别是和的中点， ， 又平面平面 平面． （2）由题意得点到平面的距离为2 即三棱锥的高为2， 四边形是正方形， ， 三棱锥的体积为． 三棱锥的体积为． 14．如图，四棱锥中，底面是菱形，，分别是棱，上的点，平面，且.求证：. 【答案】证明见解析 【详解】如图，设，连接交于点，连接， 平面，平面，平面平面， ， 为的中点，， 过点作，交于点，则， ，，，即. 15．如图所示，在四棱锥中，底面为平行四边形，侧面为正三角形，为线段上一点，为的中点． (1)当为的中点时，求证：平面 (2)当平面 ，求的值，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2)，理由见解析 【分析】 【详解】（1）取中点为，连接 ， 在中，为的中点，为中点， ， 在平行四边形中，为的中点， ， ， 四边形为平行四边形， 面面， 平面； （2）连接 ，相交于，连接， 面，面面 面， ，， 即存在点M，M为PD上靠近P点的三等分点. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $