11.3.1 平行直线与异面直线(教用Word)-【优学精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦空间直线位置关系核心知识点，从平面内直线平行与相交的基础出发，延伸至空间中平行、相交、异面三种位置关系，系统梳理平行直线传递性、等角定理、异面直线概念与画法及空间四边形线面关系，构建从平面到空间的知识支架。 该资料以教室灯管、机械蜗杆蜗轮等生活实例导入，培养直观想象，通过正方体、三棱柱模型分析及题型分层设计（判定、证明、应用），强化逻辑推理。课中辅助教师引导学生建立空间观念，课后资料助力学生巩固知识、查漏补缺，提升空间几何学习能力。

11.3.1　平行直线与异面直线 课标要求 1.理解并掌握平行线的传递性、等角定理（直观想象）. 2.理解异面直线的概念、画法（直观想象）. 3.了解空间四边形的概念，掌握空间四边形线、面位置关系（逻辑推理）. 　　在平面内，两条直线的位置关系只有平行和相交两种.在空间中，情况就不同了.例如，下图中，教室中日光灯管所在直线与黑板左侧所在直线，机械部件蜗杆和蜗轮的轴线a和b，它们既不相交也不平行. 【问题】　你知道空间两条直线的位置关系有哪些吗？ 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 知识点一　平行直线与等角定理 1.平行线的传递性 （1）文字表述：平行于同一条直线的两条直线互相　平行　.这一性质叫做空间平行线的传递性. （2）符号表述：⇒　b∥c　. 2.等角定理 如果一个角的两边与另一个角的两边分别对应　平行　，并且方向　相同　，那么这两个角　相等　. 　　提醒：对平行线的传递性与等角定理的理解：①平行线的传递性，它可以作为判断两直线平行的依据，同时也给出了空间两直线平行的一种证明方法；②等角定理是由平面图形推广到空间图形而得到的，它是平行线的传递性的直接应用，特别注意当这两个角的两边方向分别相同或相反时，两个角相等；当这两个角有一边方向相同，另一边方向相反时，这两个角互补. 【想一想】 　空间中如果两个角的两边分别对应平行，这两个角具有什么关系？ 提示：相等或互补. 1.若OA∥O'A'，OB∥O'B'，且∠AOB＝50°，则与∠AOB的两边方向相同的∠A'O'B'等于（　　） A.130° B.50° C.130°或50° D.不能确定 解析：B　根据空间等角定理，知∠A'O'B'与∠AOB相等，故∠A'O'B'＝50°. 2.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是平行. 解析：在△ABC中，∵AE∶EB＝AF∶FC，∴EF∥BC.又∵BC∥B1C1，∴EF∥B1C1. 知识点二　异面直线 1.定义：空间中既不　平行　也不　相交　的直线. 2.异面直线的画法： 【想一想】 分别在两个平面内的两条直线一定是异面直线，对吗？ 提示：不对.如图，虽然有a⊂α，b⊂β，即a，b分别在两个不同的平面内，但是a∩b＝O，所以a与b不是异面直线. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）没有公共点的两条直线是异面直线.（　×　） （2）两直线若不是异面直线，则必相交或平行.（　√　） 知识点三　空间四边形 顺次连接　不共面的　4点所构成的图形称为空间四边形，其中4个点都是空间四边形的顶点，连接　相邻　顶点间的线段称为空间四边形的边，连接　不相邻　顶点间的线段称为空间四边形的对角线. 〔多选〕在空间四边形ABCD中，下列说法正确的是（　　） A.直线AB与CD异面 B.对角线AC与BD相交 C.四条边不能都相等 D.四条边的中点组成一个平行四边形 解析：AD　由定义知A正确；B错误，否则A，B，C，D四点共面；C错误，可将一个菱形沿一条对角线折起一个角度，就成为四边相等的空间四边形；D正确，由平行四边形的判定定理可证. 题型一｜两直线位置关系的判定 【例1】　若a，b，c是空间三条直线，a∥b，a与c相交，则b与c的位置关系是异面或相交. 解析：在正方体ABCD-A'B'C'D'中，设直线D'C'为直线b，直线A'B'为直线a，满足a∥b，与a相交的直线c可以是直线B'C'，也可以是直线BB'.显然直线B'C'与b相交，BB'与b异面，故b与c的位置关系是异面或相交. 通性通法 1.判定两条直线平行或相交的方法 判定两条直线平行或相交可用平面几何的方法去判断，而两条直线平行也可以用平行线的传递性判断. 2.判定两条直线是异面直线的方法 （1）定义法：由定义判断两直线不可能在同一平面内； （2）重要结论：连接平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过此点的直线是异面直线.用符号语言可表示为A∉α，B∈α，l⊂α，B∉l⇒AB与l是异面直线（如图）. 【跟踪训练】 1.如图，AA1是长方体的一条棱，这个长方体中与AA1异面的棱的条数是（　　） A.6 B.4 C.5 D.8 解析：B　与AA1异面的棱有BC，B1C1，CD，C1D1，共4条. 2.已知点M是平行六面体ABCD-A1B1C1D1的面对角线A1C1上的动点，则下列直线中与BM恒为异面直线的是（　　） A.A1D B.DD1 C.CD D.DC1 解析：C　对于A，当点M位于A1位置时，直线BM与直线A1D相交，故A错误；对于D，当点M位于C1位置时，直线BM与直线DC1相交，故D错误；对于B，当点M位于A1C1的中点时，如图，因为四边形A1B1C1D1为平行四边形，所以M也为B1D1的中点.因为BB1∥DD1，所以B，D，D1，B1四点共面，所以BM与DD1共面，故B错误；对于C，直线CD⊂平面ABCD，直线BM∩平面ABCD＝B，点B不在直线CD上，所以直线BM与直线CD为异面直线，故C正确. 题型二｜直线与直线平行的证明 【例2】　已知空间四边形ABCD中，E，F，G，H分别是边AB，BC，CD，DA的中点. （1）求证：四边形EFGH是平行四边形； 解：证明：如图，在△ABD中，E，H分别为AB，AD的中点， ∴EH􀰿BD，同理FG􀰿BD，∴EH􀰿FG，∴四边形EFGH是平行四边形. （2）若∠HEF＝60°，AC＝6，BD＝8，求四边形EFGH的面积； 解：∵BD＝8，∴EH＝4，同理由AC＝6得EF＝3，∴S▱EFGH＝EF·EH·sin∠HEF＝3×4×sin 60°＝6，∴四边形EFGH的面积为6. （3）若AC＝BD，则四边形EFGH是什么图形？ 解：∵AC＝BD，∴EF＝EH，∴四边形EFGH为菱形. 通性通法 证明两条直线平行的两种方法 （1）利用平行线的定义：证明两条直线在同一平面内且无公共点； （2）利用空间平行线的传递性：寻找第三条直线，然后证明这两条直线都与所找的第三条直线平行，根据空间平行线的传递性，显然这两条直线平行.若题设条件中含有中点，则常利用中点的有关性质，如三角形的中位线性质证明直线平行. 【跟踪训练】 如图所示，在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，将平面DCEF沿EF翻折起来，使CD到C'D'的位置，G，H分别为AD'，BC'的中点.求证：四边形EFGH为平行四边形. 证明：∵在梯形ABCD中，AB∥CD，E，F分别为BC，AD的中点，∴EF∥AB，且EF＝（AB＋CD）， 又C'D'∥EF，EF∥AB，∴C'D'∥AB. ∵G，H分别为AD'，BC'的中点， ∴GH∥AB，且GH＝（AB＋C'D'）＝（AB＋CD）＝EF，∴GH􀰿EF， ∴四边形EFGH为平行四边形. 题型三｜等角定理及应用 【例3】　如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，G分别为棱CC1，BB1，DD1的中点，试证明：∠BGC＝∠FD1E. 证明：因为F为BB1的中点，所以BF＝BB1，因为G为DD1的中点，所以D1G＝DD1. 又BB1∥DD1，BB1＝DD1，所以BF∥D1G，BF＝D1G. 所以四边形D1GBF为平行四边形， 所以D1F∥GB，同理D1E∥GC. 所以∠BGC与∠FD1E的对应边平行且方向相同， 所以∠BGC＝∠FD1E. 通性通法 关于等角定理的应用 （1）根据空间中相应的定理证明角的两边分别对应平行，即先证明线线平行； （2）根据角的两边的方向判定两角相等或互补. 【跟踪训练】 在如图所示的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F，E1，F1分别是棱AB，AD，B1C1，C1D1的中点. 求证：（1）EF􀰿E1F1； 证明：如图，连接BD，B1D1，在△ABD中，因为E，F分别为AB，AD的中点， 所以EF􀰿BD，同理E1F1􀰿B1D1， 在正方体ABCD-A1B1C1D1中，因为AA1􀰿DD1，AA1􀰿BB1，所以B1B􀰿DD1，所以四边形BDD1B1是平行四边形，所以BD􀰿B1D1，所以EF􀰿E1F1. （2）∠EA1F＝∠E1CF1. 证明：取A1B1的中点M，连接BM，F1M，因为MF1􀰿B1C1，B1C1􀰿BC，所以MF1􀰿BC， 所以四边形BCF1M是平行四边形，所以MB∥CF1，因为A1M􀰿EB，所以四边形EBMA1是平行四边形，所以A1E∥MB，所以A1E∥CF1，同理可证A1F∥E1C，又∠EA1F与∠F1CE1均为锐角，所以∠EA1F＝∠E1CF1. 1.如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，点P为线段A1C1上的动点，则下列直线中，始终与直线BP异面的是（　　） A.DD1 B.AC C.AD1 D.B1C 解析：B　由正方体的性质易知当P为A1C1的中点时，P为B1D1的中点，而DD1∥BB1，所以B，D，D1，B1共面，则BP，DD1在平面BDD1B1上，故A不符合题意；因为AA1∥CC1，即A，C，C1，A1共面，易知P∈平面ACC1A1，而B∉平面ACC1A1，P∈A1C1，P∉AC，故BP与AC异面，故B符合题意；当P与C1重合时，易知AB∥D1C1，AB＝D1C1，则四边形ABC1D1是平行四边形，则此时AD1∥BP，故C不符合题意；当P与C1重合时，显然B1C，BP相交，故D不符合题意. 2.〔多选〕如图是正方体或四面体，P，Q，R，S分别是所在棱的中点，则这四个点共面的图是（　　） 解析：ABC　对于A，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；对于B，PS∥QR，故P，Q，R，S四点共面；对于C，PQ∥SR，故P，Q，R，S四点共面；对于D，因为SR∩平面PQS＝S，PQ⊂平面PQS，PQ不过S，所以SR与PQ异面，所以四点不共面. 3.已知角α和角β的两边分别平行且一组边方向相同，另一组边的方向相反，若α＝45°，则β＝135°. 解析：由等角定理可知β＝135°. 4.已知棱长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，AD的中点，求证：∠DNM＝∠D1A1C1. 证明：如图，连接AC， 在△ACD中，因为M，N分别是CD，AD的中点， 所以MN是△ACD的中位线， 所以MN∥AC，MN＝AC. 由正方体的性质，得AC∥A1C1，AC＝A1C1， 所以MN∥A1C1， 又因为ND∥A1D1， 所以∠DNM与∠D1A1C1相等或互补. 而∠DNM与∠D1A1C1均是直角三角形的一个锐角，所以∠DNM＝∠D1A1C1. 1.分别和两条异面直线平行的两条直线的位置关系是（　　） A.一定平行 B.一定相交 C.一定异面 D.相交或异面 解析：D　可能相交也可能异面，但一定不平行（否则与条件矛盾）. 2.若∠AOB＝∠A1O1B1，且OA∥O1A1，OA与O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是（　　） A.OB∥O1B1，且方向相同 B.OB∥O1B1 C.OB与O1B1不平行 D.OB与O1B1不一定平行 解析：D　等角定理的实质是角的平移，其逆命题不成立，OB与O1B1有可能平行，也可能相交，还可能异面，位置关系不确定. 3.下列说法中正确的是（　　） A.若两直线无公共点，则两直线平行 B.若两直线不是平行直线，则必相交或异面 C.过平面外一点与平面内一点的直线，与平面内任一直线均构成异面直线 D.和两条异面直线都相交的两条直线必是异面直线 解析：B　对于A，空间两直线无公共点，则两直线可能平行，可能异面，故A不正确；对于C，过平面外一点与平面内一点的直线，和平面内过该点的直线是相交直线，故C不正确；对于D，和两条异面直线都相交的两条直线还可能是相交直线，如图三棱锥A-BCD中，l1与l2为异面直线，BC与AC均与l1，l2相交，但BC与AC也相交，故D不正确. 4.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，直线AB1与直线BD（　　） A.异面 B.平行 C.相交且垂直 D.相交但不垂直 解析：A　法一　由图形可知，直线AB1与直线BD不同在任何一个平面，这两条直线为异面直线. 法二　（反证法）假设直线AB1与直线BD共面，设直线AB1与直线BD确定平面α，又A，B1，B不共线，所以确定平面AB1B，所以平面α与平面AB1B重合，从而可得D∈平面AB1B，与D∉平面AB1B矛盾，所以直线AB1与直线BD异面. 5.已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，则l（　　） A.与m，n都相交 B.与m，n中至少一条相交 C.与m，n都不相交 D.至多与m，n中的一条相交 解析：B　对于A，因为已知m，n为异面直线，m⊂平面α，n⊂平面β，α∩β＝l，所以直线l与m共面于平面α，与n共面于平面β，如果l与m平行，则l与n必相交；如果与n平行与m必相交，故排除A；对于B，直线l不能与m，n都不相交，否则l与m，n分别平行，进而n∥m，与m，n为异面直线相矛盾，再结合A得到B正确，对于C，直线l不能与m，n都不相交，否则l与m，n分别平行，进而n∥m，与m，n为异面直线相矛盾，由此能排除选项C；对于D，如果l与m不平行只有相交，同理，与n不平行必相交，所以直线l可以同时与n，m都相交，但是交点不重合，由此能排除选项D. 6.〔多选〕如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，则以下四个结论中，正确的有（　　） A.直线AM与CC1相交 B.直线BN与MB1是异面直线 C.AM与BN平行 D.直线A1M与BN共面 解析：BD　对于A，M，C，C1三点在平面CDD1C1内，M点不在直线CC1上，A点不在平面CDD1C1内，可得直线AM与CC1是异面直线，故A错误；对于B，B，N，B1三点在平面BCC1B1内，B1不在直线BN上，M点不在平面BCC1B1内，可得直线BN与MB1是异面直线，故B正确；对于C，取DD1的中点E，连接AE，EN，又N为C1C的中点，则有EN∥CD∥AB，AB＝CD＝EN，所以四边形ABNE是平行四边形，所以AE∥BN，AM∩AE＝A，则AM与BN不平行，故C错误；对于D，连接MN，BA1，CD1，因为M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，所以MN∥D1C，由正方体的性质可知BA1∥D1C，所以MN∥A1B，则有A1，B，M，N四点共面，所以直线A1M与BN共面，故D正确. 7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1的所有棱所在直线中，与直线A1B异面的共有6条. 解析：与直线A1B有公共点的棱均与直线A1B不异面，有BC，BB1，AB，A1D1，AA1，A1B1共6条，与直线A1B异面的棱有DC，AD，DD1，CC1，C1B1，C1D1，共6条. 8.空间中有一个∠A的两边和另一个∠B的两边分别平行，∠A＝70°，则∠B＝70°或110°. 解析：∵∠A的两边和∠B的两边分别平行，∴∠A＝∠B或∠A＋∠B＝180°.∵∠A＝70°，∴∠B＝70°或110°. 9.如图所示，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则当AC，BD满足条件AC＝BD时，四边形EFGH为菱形，当AC，BD满足条件AC⊥BD且AC＝BD时，四边形EFGH是正方形. 10.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，M1分别是棱AD和A1D1的中点.求证： （1）四边形BB1M1M为平行四边形； （2）∠BMC＝∠B1M1C1. 证明：（1）在正方形ADD1A1中，M，M1分别为AD，A1D1的中点， 所以A1M1∥AM，且A1M1＝AM， 所以四边形AMM1A1是平行四边形， 所以A1A∥M1M，且A1A＝M1M. 又因为A1A∥B1B，且A1A＝B1B， 所以M1M∥B1B，且M1M＝B1B， 所以四边形BB1M1M为平行四边形. （2）由（1）知四边形BB1M1M为平行四边形，所以B1M1∥BM.同理可得四边形CC1M1M为平行四边形，所以C1M1∥CM. 由平面几何知识可知，∠BMC和∠B1M1C1都是锐角. 所以∠BMC＝∠B1M1C1. 11.如图所示，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1C1与B1D1相交于点O，E，F分别是B1O，C1O的中点，则长方体的各棱中与EF平行的有（　　） A.3条　　　　　　　B.4条 C.5条　　　　　　　D.6条 解析：B　由于E，F分别是B1O，C1O的中点，故EF∥B1C1，因为和棱B1C1平行的棱有AD，BC，A1D1，所以符合题意的棱共有4条. 12.如图，ABCD-A1B1C1D1是正方体，E，F，G，H，M，N分别是所在棱的中点，则下列结论错误的有①③④ . ①GH和MN是平行直线；GH和EF是相交直线； ②GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线； ③GH和MN是相交直线；GH和EF是异面直线； ④GH和EF是异面直线；MN和EF也是异面直线. 解析：对于①，GH和MN是平行直线；但GH和EF是异面直线，不是相交直线，∴①错误；对于②，GH和MN是平行直线；MN和EF是相交直线，并且它们的交点在直线DC上，∴②正确；对于③，GH和MN是平行直线，不是相交直线；GH和EF是异面直线，∴③错误；对于④，GH和EF是异面直线；但MN和EF是相交直线，不是异面直线，∴④错误.综上，错误的命题序号是①③④. 13.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别是A1B1，B1C1的中点，问： （1）AM和CN是不是异面直线？并说明理由； （2）D1B和CC1是不是异面直线？并说明理由. 解：（1）AM和CN不是异面直线.理由如下： 如图，连接A1C1，AC，MN， ∵M，N分别是A1B1，B1C1的中点， ∴MN∥A1C1.又A1A􀰿C1C， ∴四边形A1ACC1为平行四边形， ∴A1C1∥AC，∴MN∥AC， ∴A，M，N，C在同一个平面内. 故AM和CN不是异面直线. （2）D1B和CC1是异面直线，理由如下： 假设D1B与CC1在同一个平面CC1D1内，则B∈平面CC1D1，C∈平面CC1D1， ∴BC⊂平面CC1D1， 这与几何体ABCD-A1B1C1D1是正方体相矛盾， ∴假设不成立. 故D1B和CC1是异面直线. 14.〔多选〕如图，在四面体ABCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的是（　　） A.M，N，P，Q四点共面 B.∠QME＝∠CBD C.△BCD∽△MEQ D.四边形MNPQ为梯形 解析：ABC　由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD，对于A，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故A说法正确；对于B，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故B说法正确；对于C，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故C说法正确；对于D，由三角形的中位线定理，知MQ􀰿BD，NP􀰿BD，所以MQ􀰿NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故D说法不正确. 15.如图所示，设E，F，G，H分别是四面体ABCD的棱AB，BC，CD，DA上的点，且＝＝λ，＝＝μ. 求证：（1）当λ＝μ时，四边形EFGH是平行四边形； （2）当λ≠μ时，四边形EFGH是梯形. 证明：（1）在△ABD中，因为＝＝λ， 所以EH∥BD，且EH＝λBD. 在△CBD中，因为＝＝μ， 所以FG∥BD，且FG＝μBD， 所以EH∥FG， 所以点E，F，G，H在由EH和FG确定的平面内. 当λ＝μ时，EH＝FG，故四边形EFGH为平行四边形. （2）由（1）知当λ≠μ时，EH≠FG，故四边形EFGH是梯形. 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $