11.3.2 直线与平面平行（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第四册（人教B版）

本讲义聚焦高中数学“直线与平面平行”核心知识点，系统梳理判定定理（平面外直线与平面内直线平行则线面平行）和性质定理（线面平行且过直线平面与已知平面相交则线线平行），前承空间线线位置关系，后为面面平行学习铺垫，构建“线线平行→线面平行→线线平行”的转化支架。 该资料以生活实例（如翻动书封面、请柬折痕）导入培养数学眼光，通过思考问题引导归纳定理发展数学思维，例题与跟踪训练中规范符号语言和证明步骤强化数学语言表达。课中辅助教师直观教学，课后练习题助力学生巩固知识查漏补缺。

11．3.2　直线与平面平行 新课导入 学习目标 直线与平面的平行关系是一种非常重要的关系，观察生活中的许多现象会发现存在着大量的平行关系．如放在桌面上的一本书，翻动书的封面，则封面边缘所在直线l与桌面所在的平面平行． 1.借助长方体，通过直观感知，归纳出直线与平面平行的判定定理和性质定理，并会证明性质定理． 2．会应用直线与平面平行的判定定理与性质定理证明一些简单的空间线面关系． 一　直线与平面平行的判定定理 将一张请柬放在桌面上，请柬的折痕CD可看作桌面所在平面内的一条直线． 思考1　请柬的边缘AB与CD有什么样的位置关系？ 提示　平行． 思考2　翻动请柬的过程中(AB离开桌面)观察边缘AB与桌面有什么样的位置关系？ 提示　平行． [知识梳理] 　　表示 定理　　 图形 文字 符号 直线与平面平行的判定定理 如果平面外的一条直线与平面内的一条直线平行，那么这条直线与这个平面平行 l⊄α，m⊂α，l∥m ⇒l∥α [例1] (对接教材例1)在四棱锥P-ABCD中，四边形ABCD为矩形，点E，F分别在线段CB，AP上，且CE＝EB，AF＝FP.求证：EF∥平面PCD. 【证明】　如图，取PD的中点G，连接GF，GC. 在△PAD中，点G，F分别为PD，AP的中点，所以GF∥AD，且GF＝AD. 在矩形ABCD中，点E为BC的中点， 所以CE∥AD，且CE＝AD， 所以GF∥CE，且GF＝CE. 所以四边形GFEC是平行四边形， 所以GC∥EF. 又因为GC⊂平面PCD，EF⊄平面PCD， 所以EF∥平面PCD. (1)应用判定定理证明线面平行的步骤 (2)上述证明步骤的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线等． [跟踪训练1] 在多面体ABCDEF中，点O是矩形ABCD的对角线的交点，EF∥BC且EF＝BC.求证：FO∥平面CDE. 证明：如图所示，取CD中点M，连接OM，EM，在矩形ABCD中，OM∥BC，且OM＝BC.又EF∥BC，且EF＝BC，则EF∥OM，且EF＝OM. 所以四边形EFOM为平行四边形，所以FO∥EM. 又因为FO⊄平面CDE，EM⊂平面CDE，所以FO∥平面CDE. 二　直线与平面平行的性质定理 直线l与平面α平行，根据直线与平面平行的定义，l与α无公共点． 思考1　l与平面α内的任意一条直线有什么位置关系？ 提示　平行或异面． 思考2　经过直线l的任意平面与平面α有什么位置关系？ 提示　平行或相交． [知识梳理] 　　表示 定理　　 图形 文字 符号 直线与平面平行的性质定理 如果一条直线与一个平面平行，且经过这条直线的平面与这个平面相交，那么这条直线就与两平面的交线平行 l∥α，l⊂β，α∩β＝m⇒l∥m [例2] (对接教材例2)如图所示，在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH. 【证明】　如图，连接MO，因为四边形ABCD 是平行四边形，所以O是AC的中点，又因为M是PC的中点，所以AP∥OM. 又因为AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，所以AP∥平面BDM. 又因为AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，所以AP∥GH. (1)利用线面平行的性质定理解题的步骤 (2)运用线面平行的性质定理时，应先确定线面平行，再寻找过已知直线的平面与这个平面的交线，然后确定线线平行． [跟踪训练2] 如图所示，a，b是异面直线，α是平面，且a∥α，b∥α，A，B是a上两点，C，D是b上两点，AC，BC，BD，AD分别交α于E，F，G，H四点． 求证：四边形EFGH是平行四边形． 证明：因为a∥α，a⊂平面ABC，平面ABC∩α＝EF，所以a∥EF，同理a∥HG， 所以EF∥HG；同理可得FG∥EH.所以四边形EFGH是平行四边形． 三　线面平行关系的应用 [例3] (2025·抚顺月考)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，AC⊥BC，AC＝2，且BC＝CC1＝1，点D在线段BC1(含端点)上运动，设λ＝.当AB∥平面A1CD时，求实数λ的值． 【解】　如图，连接AC1，交A1C于点E，连接DE， 所以E为AC1的中点，且平面A1CD∩平面ABC1＝DE， 因为AB∥平面A1CD，AB⊂平面ABC1， 所以AB∥DE， 所以D为BC1的中点，即实数λ的值为. 线面平行关系的应用策略 (1)判定和性质之间的推理关系：线线平行⇒线面平行⇒线线平行，即体现了线线平行与线面平行之间的相互联系和相互转化． (2)根据线线平行关系，利用中位线、平行线分线段成比例关系可以进行计算求值． [跟踪训练3] 如图，矩形ABCD所在平面与半圆所在平面相交于，M是上异于C，D的点．在线段AM上是否存在点P，使得MC∥平面PBD？说明理由． 解：存在，当P为AM的中点时，MC∥平面PBD. 理由如下： 如图，连接AC，BD交于点O，因为四边形ABCD为矩形，所以O为AC的中点， 连接OP，当P为AM的中点时，MC∥OP， 又MC⊄平面PBD，OP⊂平面PBD， 所以MC∥平面PBD. 1．在三棱柱ABC­A1B1C1中，与平面AA1B1B平行的直线为(　　) A．AB B．CC1 C．BC D．AC 解析：选B.由题意，AB⊂平面AA1B1B，BC，AC与平面AA1B1B都相交， 因为CC1∥AA1，CC1⊄平面AA1B1B，AA1⊂平面AA1B1B， 所以CC1∥平面AA1B1B. 2.(教材P103T2改编)如图，一块矩形木板ABCD 的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是(　　) A．平行 B．相交 C．在平面α内 D．平行或在平面α内 解析：选D.在旋转过程中，CD∥AB且AB⊂α，故CD∥α或CD⊂α. 3．(多选)如图，在四棱锥P­ABCD 中，M，N分别为AC，PC上的点，且MN∥平面PAD，则(　　) A．MN∥PD B．MN∥平面PAB C．MN∥AD D．MN∥PA 解析：选BD.因为MN∥平面PAD，MN⊂平面PAC，平面PAC∩平面PAD＝PA，所以MN∥PA，因为PA⊂平面PAB，MN⊄平面PAB，所以MN∥平面PAB.故选BD. 4．(2025·沈阳期末)如图所示，三棱柱ABC-A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，设D是A1C1上的点且A1B∥平面B1CD，则A1D∶DC1的值为____________． 解析：如图，连接BC1，设BC1∩B1C＝O，连接OD.因为A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，且平面A1BC1∩平面B1CD＝OD，所以A1B∥OD，因为四边形BCC1B1是菱形，所以O为BC1的中点，所以D为A1C1的中点，即A1D∶DC1的值为1. 答案：1 5．如图所示，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D为AC的中点，求证：AB1∥平面BC1D. 证明：如图，连接B1C交BC1于点O，连接OD，因为四边形BCC1B1是平行四边形．所以点O为B1C的中点．因为D为AC的中点，所以OD为△AB1C的中位线，所以OD∥AB1.因为OD⊂平面BC1D，AB1⊄平面BC1D，所以AB1∥平面BC1D. 1．已学习：(1)直线与平面平行的判定与性质定理；(2)线面平行关系的应用． 2．须贯通：掌握线线平行与线面平行的转化思想；线线平行是各种平行的基础． 3．应注意：证明线面平行时漏写线在面外(内). 学科网（北京）股份有限公司 $