专题11.3.3 平面与平面平行（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

本讲义聚焦平面与平面平行的判定定理（线面平行推面面平行，强调两条相交直线）和性质定理（面面平行推线线平行），承接线面平行知识，构建线线、线面、面面平行的转化体系，提供文字、图形、符号三种语言表述及证明步骤学习支架。 该资料通过“判定-性质-应用”分层设计，结合即学即练与变式题型，培养学生几何直观与空间观念。如判定定理步骤分解强化逻辑推理，动点问题提升创新意识，课中辅助教师突破重难点，课后助力学生巩固知识漏洞。

专题11.3.3 平面与平面平行 教学目标 1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理，能用文字、图形、符号三种语言准确表述。 2．掌握面面平行的性质定理及常用推论，能理解面面平行与线线平行、线面平行的转化关系。 3．能规范运用面面平行判定定理完成证明，掌握 “找相交直线 — 证线面平行 — 得结论” 的步骤。 4．能运用面面平行性质定理与推论解决空间平行关系的推理、计算与证明问题。 教学重难点 重点：面面平行的判定定理、性质定理，以及平行关系的相互转化与应用。 难点：判定定理中 “两条相交直线” 条件的使用，性质定理的逻辑推理与规范书写。 知识点01 平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行 利用判定定理证明两平面平行的步骤： ①在一个平面内找出两条相交直线； ②证明着两条相交直线分别平行于另一个平面； ③利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 【即学即练】 1．在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由底面是平行四边形， 可得是的中点， 而是的中点，则， 又平面，平面，则平面， 而平面平面，平面，所以 （2）由G，F分别是PA，AC的中点，得， 又平面，平面，则平面． 由（1）知，又平面，平面，则平面， 又因为，，平面， 所以平面平面. 2．如图，已知长方体，求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【详解】证明：在长方体中，易证． 因为平面，平面， 所以平面．同理可证平面． 又平面，平面，， 所以平面平面． 知识点02 平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的交线平行 其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段相等． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段成比例． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 【即学即练】 3．如图，平面，满足，，，判断与、与的位置关系并证明你的结论． 【答案】，，证明见解析 【详解】，，证明如下： 由可得且， 由可得且， 因，，．，无公共点． 又且，． 因，则与无公共点． 又，则与无公共点，故． 4．如图，在四棱锥中，，，，设分别为棱的中点，证明：平面． 【答案】证明见解析 【详解】解法一：构造平行四边形 取的中点N，连接则，且， 又因为，且，所以，， 即四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，所以平面． 解法二：构造面面平行 取的中点，连接因为分别为棱的中点， 所以 又因为平面，平面，平面，平面， 所以平面，平面， 又因为平面，所以平面平面， 又因为平面，所以平面． 解法三：构造A字形相似 延长相交于点，连接，由，分别为棱的中点， 所以，又因为，所以， 又因为，所以， 又平面，平面，所以平面． 题型01 有关面面平行命题的判断 【例1】在空间中，下列命题正确的是（    ） A．若一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与该平面平行 B．若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行 C．若一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内任意一条直线都平行 D．若点在直线上，点在平面内，则直线必在平面内 【答案】B 【详解】对选项A：直线可能在平面内，不一定平行，故A错误； 对选项B：根据面面平行的性质，故B正确； 对选项C：若一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内的直线可能平行，可能异面，故C错误； 对选项D：直线可能与平面相交（仅该点在平面内），可能在平面内，故D错误. 【例2】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则或是异面直线 【答案】D 【详解】对于A，若，则或相交或是异面直线，故A错误； 对于B，若，则或，故B错误； 对于C，若，当平面α与β相交时，m与n可能相交，故C错误； 对于D，若，则直线m, n无公共点，所以或是异面直线，故D正确。 【变式1-1】在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】D 【详解】对于A，平面平面，故A错误； 对于B，平面平面，故B错误； 对于C，平面平面，故C错误； 对于D，在长方体，对面所在平面平行， 即平面平面，故D正确. 【变式1-2】已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】D 【详解】对于A，若，，，则或异面，故A错误； 对于B，若，，则或，故B错误； 对于C，若，，则或异面或相交，故C错误； 对于D，若，，由线面垂直的判定定理可得，故D正确. 故选：D. 【变式1-3】已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若为异面直线且，，，则l与m，n中至少一条相交 D．若，，，则 【答案】C 【详解】对于A，当，时，或相交或者是异面直线，A错误； 对于B，当，时，或，B错误； 对于C，假设均不与l相交，由，得，又， 则，因此，与为异面直线相矛盾，则l与中至少一条相交，C正确； 对于D，若，，，则或，D错误. 故选：C 判断面面平行相关命题时，要严格对照判定定理与性质定理的条件，重点核对两条直线必须相交、直线必须在同一个平面内、平面不能重合这几个关键点，不能只凭“线面平行”或“线线平行”单一条件下结论；同时牢记常见反例，比如一个平面内两条平行直线都平行于另一平面，不能推出面面平行，避免因条件缺失导致判断错误。 题型02 面面平行的证明 【例3】如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 【答案】证明见解析 【详解】在中，点分别为的中点， 所以，因为平面，而不在平面内， 所以平面. 因为，所以. 因为为等边三角形，所以， 所以. 又易知，所以. 又因为平面，而不在平面内， 所以平面. 又平面， 所以平面平面. 【例4】如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【答案】(1) (2)证明见解析 【详解】（1）连接，由题可得， 又，所以是等边三角形，因为，所以， 在中，， 所以圆锥的体积为    （2）因为Q，O分别为，的中点，所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为， 所以由得：， 又，所以为等边三角形， 又所以， 所以,，所以四边形为平行四边形， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为，，平面， 所以平面平面,即平面平面. 【变式2-1】如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【答案】C 【详解】由展开图得到正方体的直观图，如图： 观察直观图知，与是异面直线，①错误；与平行，②错误； 由四边形是平行四边形，得，又平面，平面，则平面，③正确； 由，又平面，平面，得平面， 同理平面，又平面，因此平面平面，④正确. 【变式2-2】如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）在四棱锥中，连接，由，分别为，的中点，得， 而，，则，四边形为平行四边形， 因此，而平面，平面，所以平面． （2）由是中点，而为中点，则， 又平面，平面，于是平面， 由（1）知，，而平面，平面， 因此平面，又平面， 所以平面平面． 【变式2-3】如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【详解】（1）点直线，直线平面，所以点平面. 又因为点平面，所以点为平面与平面的公共点， 又因为平面平面，故点在直线上. 故三点共线. （2）取的中点，连接， 因为为棱的中点，所以， 又因为，所以. 又，所以四边形为平行四边形， 所以. 因为， 所以四边形为平行四边形， 所以，所以， 又因为平面平面，所以平面. 因为， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面平面，所以平面. 又因为平面，平面， 所以平面平面. 证明面面平行严格按照判定定理三步走，先在其中一个平面内找到两条明确相交的直线，再分别证明这两条直线都与另一个平面平行，通常借助中位线、平行四边形或线面平行判定定理完成线面平行的证明，最后依据“一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行”得出结论，过程中必须强调“相交”这一不可缺少的条件。 题型03 面面平行证线线平行 【例5】如图，在三棱柱中，过的平面（非平面）与平面交于DE，则DE与AB的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 【答案】B 【详解】在三棱柱中，平面平面，而平面平面， 平面平面，则，在平行四边形中，， 所以. 故选：B 【例6】如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1） 法一：取中点，连接，，， 易知为中位线，故，且， 因为四边形是平行四边形，所以，， 故，又因为是的中点，所以， 所以四边形为平行四边形，所以， 又因为平面，平面，所以平面.                法二：连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为为中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面，所以平面， 因为四边形是平行四边形，所以为中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以，又因为平面，平面， 所以平面，又因为， 平面，平面，所以平面平面， 因为平面，所以平面. （2）连接，交于，连接，如下图： 因为四边形是平行四边形，所以是的中点， 又因为是的中点，所以为的中位线， 所以， 又因为平面，平面， 所以平面， 又因为平面，平面平面， 所以. 【变式3-1】已知平面且，过点的直线与，分别交于，，过点的直线与，分别交于，，且，，8，则的长为________． 【答案】或24 【详解】如图1，，经过直线与可确定平面，如下图所示： vv，平面，平面， ．，即，． 如图2，同理可证． ，即，． 综上所述，或24． 【变式3-2】如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 【答案】 / / 【详解】延长与延长线交于点F，连接，则直线即为直线，故， 由，得，又，于是，故， 由平面平面，平面平面，平面平面， 则，又，因此，故， 所以，所以. 【变式3-3】如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 【答案】 【详解】由，则，所在平面与平面，平面的交线分别为，， 而平面平面，则有，， 同理，， 因此，它们的面积之比为， 又的面积为， 所以的面积为. 用面面平行证明线线平行，核心是使用面面平行的性质定理，先找到同时与两个平行平面相交的第三个平面，得出两条交线，再直接利用“两个平行平面与第三个平面相交，交线互相平行”推出线线平行；解题时关键是构造合适的截面或辅助平面，明确找到两组平面的交线，即可快速完成证明。 题型04 面面平行证线面平行 【例7】如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 【答案】(1)； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）因为； （2）证明：连接, 由题意可得且， 所以四边形为平行四边形， 所以, 又因为平面,平面, 所以平面, 同理可证平面, 又因为平面，， 所以平面平面, 又因为平面， 所以平面. 【例8】如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得平面？ 【答案】存在 【详解】存在，为中点，证明如下： 取中点，连接，连接，连接， 因为为中点， 则是的中位线，， 因为平面，平面，所以平面， 因为 所以是直角梯形的高，， 因为平面，平面，所以平平面， 因为，平面， 所以平面平面， 因为平面， 所以平面． 【变式4-1】（多选）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【答案】AD 【详解】对于①，由分别为其所在棱的中点，得，由面， 面，得面，同理面，而， 平面，则平面平面，又面，因此平面，①能； 对于②，连接，显然不是的中点，由是的中点， 则在平面内与相交，直线与平面相交，②不能； 对于③，连接，则，而与相交，则与平面相交， 因此与平面相交，③不能； 对于④，由且，得四边形是平行四边形，则， 而，则，又平面，平面，因此平面，④能. 【变式4-2】如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）如图： 连接，交于，连接， 由于分别是的中点，所以， 由于平面，平面， 所以平面. （2）连接，由于，所以， 由于平面，平面， 所以平面. 由于平面,平面， 所以平面平面， 由于平面，所以平面. 【变式4-3】如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 【答案】证明见解析. 【详解】证明：在四棱锥中，分别为的中点， 所以∥， 因为为的中点，所以 因为 ，所以， 因为∥，所以四边形为平行四边形， 所以∥，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面， 因为分别为的中点，所以∥， 因为平面，平面，所以∥平面. 因为，平面， 所以平面∥平面. 因为平面， 所以∥平面. 利用面面平行证明线面平行，直接使用推论：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。解题时先证明直线所在平面与目标平面平行，再说明直线在其中一个平面内，即可直接得出线面平行，不需要再用线线平行推导，步骤简洁且逻辑清晰。 题型05 面面平行中的动点问题 【例9】如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（   ） A．4 B． C．6 D． 【答案】B 【详解】分别取中点，连接， 则由正方体结构性质可知，， 所以四边形、、均为平行四边形， 所以，所以， 因为平面，在平面外， 所以平面，平面， 又，所以平面平面， 取中点，连接，则，则， 所以四点唯一确定一个平面，所以平面即为平面， 所以由题意若平面，则动点的轨迹为平面四边形， 因为， 所以四边形为等腰梯形，且该梯形的高为， 由正方体结构性质可得面积为. 故选：B 【例10】如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件__________时，就有平面．（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况） 【答案】点与点重合（点只要在线段上即可） 【详解】连接，，，如图所示： 则，，且，， 平面平面，只需，则平面， 平面． 故答案为：点与点重合（点只要在线段上即可）. 【变式5-1】如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C． D．2 【答案】A 【详解】由题意知，，在上取点，使得， 则且，所以四边形为平行四边形， 故，又平面，平面， 所以平面. 在上取点，使得， 有，则， 又平面，平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面，则点P的轨迹为线段. 在中，，由余弦定理， 得， 即点的轨迹长度为. 故选：A 【变式5-2】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如图，取中点，中点，连接，， ，，， 因为点分别是棱的中点，所以，因为为中点， 所以，，，所以平面平面， 点在平面上运动，又因为点在正方体的表面上运动，所以点在直线，， ，上运动，且为等腰三角形， 求线段的最小值，即求点到平面各边距离的最小值，点到边距离最小， 设点到边的垂足为，则为的中点，所以，所以线段的最小值为. 【变式5-3】如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的____________ ①在点运动过程中，直线与始终为异面直线 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线与直线所成的角为定值 ④在点运动过程中，不存在某个位置，使得平面平面 【答案】①②③ 【详解】对于①：由题意，在正方体中， 点在线段上运动，，平面，平面， 所以在点运动过程中，直线与始终不能在同一平面内， 所以直线与始终为异面直线，故①正确； 对于②：由三棱锥的体积，其中的面积为定值， 因为，平面，平面，所以直线平面， 所以当点在线段上运动时，点到平面的距离也为定值， 所以三棱锥的体积为定值，故②正确； 对于③：在正方体中，平面，因为平面， 所以，又由，，平面， 所以平面， 又因为平面，所以， 所以异面直线与直线所成的角为，故③正确； 对于④：根据正方体的结构特征，可得， 又平面，平面，所以平面， 又由选项②的解析过程知平面，，平面， 所以平面平面， 所以当点与点重合时，平面平面， 即存在点，使得平面平面，故④错误. 故答案为：①②③ 解决面面平行中的动点问题，先假设动点满足平行条件，再根据面面平行需要两条相交直线分别平行的要求，反推动点应满足的位置关系，通常是中点、等分点或满足某比例的点；再结合中位线、平行线段成比例等知识验证，确定动点位置后，按标准的面面平行证明步骤书写过程即可。 一、单选题 1．已知平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】由，，得；反之，由，，得或相交， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 2．若平面平面，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】时，不一定成立，如图， 在长方体中，记上下底面分别为，，但是与不平行， 当时，根据面面平行的性质可知， 所以是的必要不充分条件. 故选：C 3．下列说法其中正确的是（    ） A．四边相等的四边形是菱形． B．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． D．两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线． 【答案】D 【详解】选项A：只有平面内四边相等的四边形才是菱形， 空间内四边相等的四边形可以构成立体图形，故A错误； 选项B：如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行， 那么这两个角相等或互补，故B错误； 选项C：若平面内无数条直线均平行，则两个平面可以平行或相交，故C错误； 选项D：两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交， 则直线a，b的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线，故D正确； 故选：D 4．如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】    在长方体中，取，的中点，，连接，，， 由点为的中点，得，，则四边形是平行四边形， 所以， 又，，则四边形是平行四边形， 于是， 取中点E，在上取点F，使得，连接，，， 而，则四边形为平行四边形，， 而平面，平面， 于是平面， 由为的中点，E为中点，得， 而平面，平面，则平面， 又，平面， 因此平面平面， 又由直线平面，点平面， 则点在平面与平面的交线上， 从而点的轨迹就是线段， 而， 所以点的轨迹长度为. 故选：D. 5．已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】正方体中，平面平面， 平面平面，平面平面，所以， 正方体中，且，四边形为平行四边形， 则有，所以，C选项正确； 都与相交，则与都不平行，ABD选项都错误. 故选：C. 6．在正方体中，点为的中点，平面内动点满足平面，若，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．4 【答案】C 【详解】 取的中点为， 连接， 由三角形的中位线可知：， 在正方体中易知：， 所以， 又在平面内， 不在平面内， 所以不在平面内， 所以平面，平面， 又为平面内两条相交直线， 所以平面平面， 因为平面， 所以在平面内，又在平面内， 所以在平面与平面的交线上，即上， 又 在三角形中，, 则， 设到的距离为，即为线段的最小值， 由三角形面积公式得：， 解得：， 即线段的最小值为， 故选：C 7．在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 【答案】D 【详解】取线段的中点，连接，则， 因点分别是棱的中点，则，则， 因平面，平面，则平面， 因，，，，则，， 则四边形为平行四边形，则， 又平面，平面，则平面， 又平面，则平面平面， 故欲使在正方形（包括边界）内，且平面， 则点必在线段上； A选项：当为时，无法得出平面，故A错误； B选项：当为的中点，无法得出平面，故B错误； C选项：的轨迹长度为，无法说明点在线段上， 但若平面，则的轨迹长度为， 则的轨迹长度为是平面的必要不充分条件，故C错误； D选项：为的中点，即点重合时，必有平面， 但平面时，不一定为的中点， 故为的中点是平面的充分不必要条件，故D正确. 故选：D 8．在三棱柱中，过的平面与AB，AC分别交于点E，F，且该平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因平面平面，平面平面， 平面平面，则， 设，，， 因，，则， 因，则，则重合， 则为三棱台， 记三棱柱的高为h，的面积为S，的面积为， 易知， 则三棱台的体积为， 由题意得，化简得， 解得 （负值舍去），故． 故选：A 二、多选题 9．下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与平面不平行 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 【答案】BCD 【详解】展开图可以折成如图①所示的正方体． 因为在正方体中平面平面，因为平面， 所以平面，故A不正确； 同理可得：平面，故B正确； 如图②所示，连接， 由于平面，平面，所以平面， 同理可得平面，平面， 则平面平面， 同理可证平面平面，所以CD正确． 10．（多选）已知正方体，下列结论中，正确的结论是（    ） A． B．平面平面 C． D．平面 【答案】ABD 【详解】对于A，因,可得四边形时平行四边形，故，即A正确； 对于B和D,由A得，因平面，平面，则平面，故D正确； 同理可得平面,又平面，故平面平面，即B正确； 对于C，因平面,而平面，但平面，则与为异面直线，故C错误. 三、填空题 11．若平面平面，，下列说法正确的是__________．（填序号） ①与内任一直线平行； ②与内无数条直线平行； ③与无公共点． 【答案】②③ 【详解】∵，，∴，∴与无公共点，③正确； 如图，在正方体中，令线段所在的直线为，则， 显然与（平面）内无数条直线平行，故②正确； 但与平面内的直线不平行，故①错误． 故答案为：②③ 12．四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 【答案】/0.5 【详解】如图，连接BD，交AC于点O，连接OE， 由四边形是平行四边形，得， 在线段PE上取点G，使得，由，得， 连接BG，FG，则，由平面，平面， 得平面，而平面，，平面， 因此平面平面，又平面平面，平面平面， 则，所以. 13．如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 【答案】 平行 【详解】因为平面，平面，且，所以， 又，，所以. 四、解答题 14．如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． (1)求证：平面平面PAD； (2)求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）因为M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点，底面ABCD为平行四边形， 所以， 又平面平面， 则平面， 同理平面平面， 可得平面， 又平面， 所以平面平面． （2）因为底面ABCD为平行四边形，所以， 又平面平面， 所以平面， 又平面，平面平面， 所以． 15．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)存在，当点是的中点时满足题意，证明见解析． 【分析】 【详解】（1）证明：平面，且平面； 又因为平面平面，根据线面平行的性质可得，； （2） 证明：取PA的中点G，连接EG，BG； 因为E，G，为PD，PA中点，所以，且； 又因为，，所以，且； 所以为平行四边形；所以； 又因为平面，平面， 所以平面； （3） 在上存在的中点使得平面平面，证明如下： 取的中点，连接CF，EF； 因为E，F，为PD，AD中点，所以； 又因为平面，平面， 所以平面； 又因为平面，且，平面； 所以平面平面； 在上存在点使得平面平面． 16．如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 【答案】(1) 证明见解析 (2) 【分析】 【详解】（1） 取的中点，连接、. 因为是的中点，所以是的中位线， 故，且. 又正方形中，是中点，且， 因此 ，，即且. 所以四边形是平行四边形，得. 又平面，平面，根据线面平行判定定理，得 平面. （2）已知平面平面，平面平面，平面平面， 根据面面平行的性质定理，得. 在中，是中点，， 因此是的中点， 可得. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.3.3 平面与平面平行 教学目标 1．理解并掌握平面与平面平行的判定定理，能用文字、图形、符号三种语言准确表述。 2．掌握面面平行的性质定理及常用推论，能理解面面平行与线线平行、线面平行的转化关系。 3．能规范运用面面平行判定定理完成证明，掌握 “找相交直线 — 证线面平行 — 得结论” 的步骤。 4．能运用面面平行性质定理与推论解决空间平行关系的推理、计算与证明问题。 教学重难点 重点：面面平行的判定定理、性质定理，以及平行关系的相互转化与应用。 难点：判定定理中 “两条相交直线” 条件的使用，性质定理的逻辑推理与规范书写。 知识点01 平面与平面平行的判定定理 文字语言 图形语言 符号语言 线面平行面面平行 一个平面内的两条________直线与另一个平面平行 利用判定定理证明两平面平行的步骤： ①在一个平面内找出两条________直线； ②证明着两条相交直线分别________于另一个平面； ③利用平面与平面平行的判定定理得出结论。 【即学即练】 1．在四棱锥中，底面是平行四边形，点分别是 的中点，平面平面证明： (1) (2)平面EFG∥平面PBC． 2．如图，已知长方体，求证：平面平面． 知识点02 平面与平面平行的性质定理 文字语言 图形语言 符号语言 面面平行线线平行 如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它们的________平行 其余推论 ①两个平面平行，其中一个平面内的________一条直线都平行于另一个平面． ②夹在两个平行平面间的平行线段________． ③经过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行． ④两条直线被三个平行平面所截，截得的对应线段________． ⑤如果两个平面分别平行于第三个平面，那么这两个平面互相平行． 【即学即练】 3．如图，平面，满足，，，判断与、与的位置关系并证明你的结论． 4．如图，在四棱锥中，，，，设分别为棱的中点，证明：平面． 题型01 有关面面平行命题的判断 【例1】在空间中，下列命题正确的是（    ） A．若一条直线与平面内的一条直线平行，则这条直线与该平面平行 B．若两个平面平行，则一个平面内的任意一条直线都与另一个平面平行 C．若一条直线与一个平面平行，则这条直线与平面内任意一条直线都平行 D．若点在直线上，点在平面内，则直线必在平面内 【例2】设是两条不同的直线，是两个不同的平面，则下列结论正确的是（　　） A．若，则 B．若，则 C．若，则是异面直线 D．若，则或是异面直线 【变式1-1】在长方体中，下列结论正确的是（    ） A．平面平面 B．平面平面 C．平面平面 D．平面平面 【变式1-2】已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列命题正确的是（   ） A．若，，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【变式1-3】已知是不同的直线，是不同的平面，则下列结论正确的是（   ） A．若，，则 B．若，，则 C．若为异面直线且，，，则l与m，n中至少一条相交 D．若，，，则 判断面面平行相关命题时，要严格对照判定定理与性质定理的条件，重点核对两条直线必须相交、直线必须在同一个平面内、平面不能重合这几个关键点，不能只凭“线面平行”或“线线平行”单一条件下结论；同时牢记常见反例，比如一个平面内两条平行直线都平行于另一平面，不能推出面面平行，避免因条件缺失导致判断错误。 题型02 面面平行的证明 【例3】如图，在四棱锥中，为等边三角形，，，，，点E，F分别为，的中点.求证：平面平面. 【例4】如图，一个圆锥的顶点是P，O是底面的圆心，是底面的一条直径，．    (1)若，求该圆锥的体积； (2)若Q是中点，C、D是底面圆上两点，，，求证：平面平面． 【变式2-1】如图是正方体的平面展开图．在这个正方体中， ①与平行；②与垂直；③与平面平行；④平面与平面平行．以上四个命题中，正确命题的序号是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 【变式2-2】如图，在四棱锥中，，，，设，，分别为，，的中点， (1)证明：平面； (2)证明：平面平面． 【变式2-3】如图，在正方体中，为棱的中点，为棱的中点. (1)连接并延长，交平面于点，求证：三点共线； (2)点在棱的延长线上，且，求证：平面平面. 证明面面平行严格按照判定定理三步走，先在其中一个平面内找到两条明确相交的直线，再分别证明这两条直线都与另一个平面平行，通常借助中位线、平行四边形或线面平行判定定理完成线面平行的证明，最后依据“一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则两平面平行”得出结论，过程中必须强调“相交”这一不可缺少的条件。 题型03 面面平行证线线平行 【例5】如图，在三棱柱中，过的平面（非平面）与平面交于DE，则DE与AB的位置关系是（    ） A．异面 B．平行 C．相交 D．以上均有可能 【例6】如图，四边形是平行四边形，点是平面外一点.已知，分别是，的中点，在上取一点，过和作平面交平面于. (1)求证：平面； (2)求证：. 【变式3-1】已知平面且，过点的直线与，分别交于，，过点的直线与，分别交于，，且，，8，则的长为________． 【变式3-2】如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面的交线为，平面与平面的交线为，若直线分别与、所成的角为、，则______，______． 【变式3-3】如图所示，平面平面，，分别在，内，线段，，共点于，在平面和平面之间，若，，，，求的面积． 用面面平行证明线线平行，核心是使用面面平行的性质定理，先找到同时与两个平行平面相交的第三个平面，得出两条交线，再直接利用“两个平行平面与第三个平面相交，交线互相平行”推出线线平行；解题时关键是构造合适的截面或辅助平面，明确找到两组平面的交线，即可快速完成证明。 题型04 面面平行证线面平行 【例7】如图，在正方体中，分别为中点． (1)求三棱锥的体积； (2)求证：平面． 【例8】如图，在四棱锥中，平面底面，侧棱，底面为直角梯形，其中，为中点．线段上是否存在点，使得平面？ 【变式4-1】（多选）下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（   ） A．① B．② C．③ D．④ 【变式4-2】如图所示，正四棱锥中，为侧棱上靠近点的四等分点，为侧棱的中点. (1)证明：平面； (2)若是侧棱上靠近点的三等分点，求证：平面. 【变式4-3】如图①，在直角梯形中，∥，，，为的中点，分别为的中点，将沿折起，得到四棱锥，如图②.求证:在四棱锥中，∥平面. 利用面面平行证明线面平行，直接使用推论：如果两个平面平行，那么一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面。解题时先证明直线所在平面与目标平面平行，再说明直线在其中一个平面内，即可直接得出线面平行，不需要再用线线平行推导，步骤简洁且逻辑清晰。 题型05 面面平行中的动点问题 【例9】如图，在棱长为2的正方体中，是AB的中点，动点在正方体内部或表面上，若平面，则动点的轨迹所形成的区域面积为（   ） A．4 B． C．6 D． 【例10】如图所示，在正四棱柱中，，，，分别是棱，，，的中点，是的中点，点在四边形及其内部运动，则只需满足条件__________时，就有平面．（注：请填上你认为正确的一个条件即可，不必考虑全部可能情况） 【变式5-1】如图，三棱柱中，为中点，为棱上一点，为侧面上一动点，且满足平面，则点的轨迹的长度为（   ） A．1 B． C． D．2 【变式5-2】如图，在棱长为2的正方体中，点分别是棱的中点，点在正方体的表面上运动，且平面. 则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】如图，在单位正方体中，点在线段上运动，下列命题中正确的____________ ①在点运动过程中，直线与始终为异面直线 ②三棱锥的体积为定值 ③异面直线与直线所成的角为定值 ④在点运动过程中，不存在某个位置，使得平面平面 解决面面平行中的动点问题，先假设动点满足平行条件，再根据面面平行需要两条相交直线分别平行的要求，反推动点应满足的位置关系，通常是中点、等分点或满足某比例的点；再结合中位线、平行线段成比例等知识验证，确定动点位置后，按标准的面面平行证明步骤书写过程即可。 一、单选题 1．已知平面，直线，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．若平面平面，则是的（   ） A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列说法其中正确的是（    ） A．四边相等的四边形是菱形． B．如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等 C．如果一个平面内有无数条直线平行于另一个平面，那么这两个平面平行． D．两条直线a，b分别和异面直线c，d都相交，则直线a，b的位置关系可能是异面直线，也可能是相交直线． 4．如图，在长方体中，，，点分别为，的中点，点为长方形内一动点（含边界），若直线平面，则点的轨迹长度为（    ）    A． B． C． D． 5．已知正方体，平面与平面的交线为，则（   ） A． B． C． D． 6．在正方体中，点为的中点，平面内动点满足平面，若，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D．4 7．在棱长为1的正方体中，点分别是棱的中点，动点在正方形（包括边界）内运动，则平面的一个充分非必要条件是（   ） A．为 B．为的中点 C．的轨迹长度为 D．为的中点 8．在三棱柱中，过的平面与AB，AC分别交于点E，F，且该平面将三棱柱分成体积相等的两部分，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下图是正方体的平面展开图，在原正方体中，下列命题正确的是（   ） A．与平面不平行 B．平面 C．平面平面 D．平面平面 10．（多选）已知正方体，下列结论中，正确的结论是（    ） A． B．平面平面 C． D．平面 三、填空题 11．若平面平面，，下列说法正确的是__________．（填序号） ①与内任一直线平行； ②与内无数条直线平行； ③与无公共点． 12．四棱锥的底面为平行四边形，如图所示，点是棱上一点，，若且满足平面，则________． 13．如图，已知，分别交于，且，，，则与的关系为________，________. 四、解答题 14．如图，正四棱锥的底面为平行四边形．M、N、Q分别为PC、CD、AB的中点．设平面PAD与平面PBC的交线为． (1)求证：平面平面PAD； (2)求证：； 15．如图所示，在四棱锥中，平面，，是的中点． (1)求证：； (2)求证：平面； (3)在上是否存在点使得平面平面，若存在，求出点的位置并给以证明，若不存在，请说明理由． 16．如图，已知点是正方形所在平面外一点，分别是的中点． (1)求证：平面； (2)若线段上存在一点使得平面平面，求的值． 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $