专题11.2 平面的基本事实与推论（高效培优讲义）数学人教B版高一必修第四册

专题11.2 平面的基本事实与推论 教学目标 1．理解并熟记平面的三个基本事实，掌握文字、图形、符号三种表示方法，明确各自作用。 2．掌握平面的三个推论，理解推论与基本事实的联系，能用于判断与确定平面。 3．能运用基本事实与推论，解决点线共面、多点共线、多线共点的简单证明问题。 4．规范使用符号语言表述点、线、面的位置关系，提升逻辑推理与表达能力。 教学重难点 重点：平面三个基本事实与三个推论的内容、符号表示、作用及应用。 难点：基本事实与推论的逻辑理解，点线共面、多点共线问题的证明思路。 知识点01 平面的基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 【即学即练】 1．（多选）以下命题属于基本事实的是（    ） A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行 【答案】ABD 【详解】在 A 中，由基本事实2知：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内，故 A 是基本事实； 在 B 中，由基本事实1得，过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面，故 B 正确； 在 C 中，由等角定理知：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故 C 是定理，不是基本事实； 在 D 中，由基本事实4得：平行于同一条直线的两条直线互相平行，故 D 是基本事实． 故选：ABD. 知识点02 三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即学即练】 2．（多选）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 【答案】AB 【详解】根据基本事实以及推论，易知A，B正确； 对于C项，若三点共线，经过三点的平面有无数多个，故C错误； 对于D，若这个点在直线外，则确定一个平面，若这个点在直线上，可有无数平面，故D不正确； 故选：AB 题型01 平面的基本事实及辨析 【例1】判断下列命题是否正确，正确的是（    ） A．书桌面是平面. B．平面与平面相交，它们只有有限个公共点. C．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. D．圆心和圆上两点确定一个平面 【答案】C 【详解】根据平面的基本性质逐一判断： 选项A：数学中的平面是无限延展、无边界的，书桌面有固定大小，只是平面的一部分，不是平面本身，A错误； 选项B：两个平面相交，会得到一条公共直线，因此有无数个公共点，不是有限个，B错误； 选项C：根据平面公理：不共线的三点确定唯一的一个平面.若两个平面都经过三个不共线的公共点，则两个平面必然重合，C正确； 选项D：若圆上两点是直径的端点，此时圆心和圆上两点共线，共线的三点不能唯一确定一个平面，D错误； 【例2】已知平面，直线，点，若，且，则_____（填数学符号）． 【答案】 【详解】如果一条直线上的两点在平面内，那么这条直线在此平面内， 由题意可知， 故答案为：. 【变式1-1】检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【答案】D 【详解】对于A，当地面不平整时，每条桌腿和地面之间都无缝隙，也不能说明4条腿的下端在同一平面内，A不是； 对于B，最多能说明桌面是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，B不是； 对于C，只能检查每条腿的下端是否平整，不能说明4条腿的下端在同一平面内，C不是； 对于D，两根细线相交，可得两根细线所在直线确定一个平面， 两个细线所在直线上的所有点都在这个平面内，能说明4条腿的下端在同一平面内，D是. 故选：D 【变式1-2】平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 【答案】直线 【详解】根据题意，因为直线AB与直线l相交于点R，， 又平面与平面相交于直线l，所以平面β， 又点C在平面上，所以平面β， 因为平面γ，R点在直线AB上，所以平面， 又平面，所以平面， 所以与的交线是直线． 故答案为：直线． 【变式1-3】如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必经过（   ） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 【答案】D 【详解】∵直线，过三点的平面记作， ， ∴与的交线必通过点和点， 故选：D． 题型02 空间点共线问题 【例3】如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 【答案】共线 【详解】如图，连接，， 显然平面，平面， 平面． 同理，平面， ∴平面平面． 平面， 平面． 又平面，平面． 在平面与平面的交线上，即， ，，三点共线． 故答案为：共线. 【例4】如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【答案】证明见解析 【详解】因为，且平面，所以平面， 同理平面， 从而M在两个平面的交线上， 因为平面∩平面，所以成立． 所以点三点共线． 【变式2-1】已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【答案】证明见解析. 【详解】因为, 所以平面平面 , 因为平面,平面,且, 所以, 即三点位于同一直线上. 【变式2-2】平面α与β的交线是l，若直线，直线，且，则M________l（选填“∈”或“”）． 【答案】 【详解】解：，，， ，， 又， ． 故答案为：． 【变式2-3】如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 【答案】证明见解析 【详解】由，可知点， 且平面ABC，可知点平面ABC，又， 所以点P在平面ABC与平面的交线上， 同理可得：点Q，R均在平面ABC与平面的交线上， 所以P，Q，R三点共线． 题型03 空间线共点问题 【例5】如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）连接，到平面的距离为， 因为，故. 故，故. （2）在平面中，不平行，设，      则且，故平面 且平面， 故平面平面， 所以三线共点. 【例6】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【答案】证明见解析 【详解】在正方体中，连接， 由，得四边形是平行四边形，则， 由分别是的中点，得，则，即四点共面， 而，则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 则，即点在直线上，所以直线交于同一点. 【变式3-1】如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（   ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 【答案】C 【详解】如图所示，连接，因为分别是上的点，且， 所以，且， 又因为点分别是边的中点，所以，且， 所以且，所以和相交， 设和相交于点，则平面且平面， 因为平面平面，所以点在直线上. 【变式3-2】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意，作图如下： 连接、，因为空间四边形中，分别是的中点， 所以，且， 又因为，所以，且， 所以，且， 故四边形为梯形. （2）由（1）知四边形为梯形，且是梯形的两腰， 所以相交于一点. 设交点为， 因为平面，所以平面， 同理平面，而平面平面，所以， 故点是直线的公共点，即直线相交于一点. 【变式3-3】如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    【答案】证明见解析 【详解】平面平面， 由于平面，平面， 所以，也即点在直线上.    题型04 空间点共面问题 【例7】如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由. 【答案】存在，证明见解析 【详解】存在，当为的中点，点D，C，E，G共面. 证明如下： 取的中点，连接， 又∵点是的中点，∴， 在底面直角梯形中，，则， 所以线段上存在一点（的中点），使得点共面. 【例8】在正方体中，、分别为与的中点 (1)作出平面与平面的交线，并写出作图步骤； (2)求证：四点共面 【答案】(1)作图及步骤见解析； (2)证明见解析. 【分析】 【详解】（1）连接交于，则为所求交线； （2）连接， 因为，知为平行四边形，则， 因为分别为与的中点，由中位线知，所以， 所以四点共面. 【变式4-1】（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【答案】AB 【详解】因为，平面，所以平面．因为，平面， 所以平面，所以是平面和平面的公共点． 同理可得，点和都是平面和平面的公共点， 所以，，三点在平面与平面的交线上，即，，三点共线，故A，B正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故C不正确； 根据异面直线的判定定理可得与为异面直线，故，，，四点不共面，故D不正确． 故选：AB． 【变式4-2】如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 【答案】/ 【详解】如图，若，，，四点共面， 则即为与平面的交点， 连接，交于点，连接， 则即为与的交点，如图所示： 在截面中，为的中点，为的三等分点，取的中点， 连接，则， 故，即，则． 故答案为： 【变式4-3】如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 【答案】(1)16 (2) (3)证明见解析 【分析】 【详解】（1）由题意，， 在三角形中，， 所以， 所以. （2）, 因为三棱锥的高， 所以. （3）连接， 因为分别为的中点，所以且. 因为是直四棱柱，且底面是正方形， 所以，且，即四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以四点共面. 题型05 空间直线共面问题 【例9】已知：，求证：直线共面于.    【答案】证明见解析 【详解】， . 同理可得，， 所以直线共面于. 【例10】如图，已知，，，是空间四点，且点，，在同一直线上，点不在直线上.求证:直线在同一平面上.    【答案】证明见解析 【详解】证明：因为、、是同一直线上的点，在直线外， 故直线和点确定一平面，所以四点共面，设该平面为， 由于，故直线，同理， 所以直线、、在同一平面上. 【变式5-1】如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解. 【分析】 【详解】（1）如图，连结.    ∵点分别是的中点，∴. ∵四边形为平行四边形，∴， ∴， ∴四点共面，即和共面． （2）证明：正方体中， ∵点分别是的中点，∴且 ∵四边形为平行四边形，∴，且 ∴∥且 ∴与相交，设交点为P， ∵，平面，∴平面； 又∵，平面，∴平面， ∵平面平面，∴， ∴三线交于点P. 【变式5-2】两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内． 已知：如图，直线两两相交，交点分别为．求证：直线共面．    【答案】证明见解析 【详解】因为直线和相交于点， 所以直线和可确定一个平面，记为． 因为，，所以，．所以． 因此，直线都在平面内，即它们共面． 【变式5-3】已知直线l与三条平行线a、b、c都相交（如图），求证：l与a、b、c共面． 【答案】证明见解析 【详解】 证明：如图，设a∩l＝A，b∩l＝B，c∩l＝C， ∵a∥b，∴过a、b可以确定一个平面α． ∵A∈a，B∈b，a、b⊂α， ∴A∈α，B∈α，∴AB⊂α，即l⊂α． 又∵b∥c， ∴过b、c可以确定一个平面β，同理可证l⊂β． ∵α、β都过相交直线b、l， ∴α与β重合， ∴a、b、c、l共面． 【点睛】共面问题的证明常有下列方法： 1．先作一个平面，再证明有关的点或线在这个平面内； 2．先过某些点或线作多个平面，再证明这些平面重合； 3．用反证法．本题采用方法2证明较好． 题型06 截面问题 【例11】（多选）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【答案】ABC 【详解】对A：如下图：截面与三条侧棱相交，其中， 为线段上任意一点（不与端点重合）， 此时有，即截面是等腰三角形； 对B：如下图：截面中，、，且与不平行， 此时，且与不平行，即截面四边形是等腰梯形； 对C：如下图：截面中，， 此时、，截面四边形是平行四边形； 对D：由正三棱锥只有四个面，不可能交出五边形. 故A、B、C正确，D错误. 【例12】在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】取线段的中点为，的中点为，，如图， 因为正方体中，分别是棱的中点， 所以，所以四点共面. 由正方体的棱长为2，可得，， 所得截面周长为， 故选：B. 【变式6-1】已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【答案】C 【详解】 延长，交的延长线于点，延长，交的延长线于点， 连接，交于，连接，交于， 连接，. 则五边形即为过与该正方体的截面. 故选：C. 【变式6-2】已知正方体的棱长为3，点 分别在棱 ， ，则过 ， ， 三点的平面截正方体所得多边形的面积为_____ 【答案】 【详解】如图所示： 分别在棱上取点，且， 易得，， 故， 同理可得， 故， 同理可求得，， 故过三点的平面截正方体所得的多边形为六边形，其面积等于两个等腰梯形与的面积之和， 由条件可得，，， 从而可得梯形的高为， 梯形的高为， 故梯形的面积为， 梯形的面积为， 六边形的面积为． 故答案为：． 【变式6-3】如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 【答案】(1)证明见解析 (2)面积为，周长为． 【分析】 【详解】（1）证明：平面平面， 由于，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面， 所以，即点Q在直线上； （2）解：如图1，连接并延长与的延长线交于点M，连接交于点P，连接，． 抹去，得四边形，即为所求截面，如图2． 易知四边形为等腰梯形，在正方体中， ，，， 所以等腰梯形的高为， 所以梯形的面积为， 梯形的周长为 ． 一、单选题 1．给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；       ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；              ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【详解】由三个不在同一直线上的不同的点确定一个平面，故①错误； 一条直线和直线外一个点确定一个平面，故②错误； 两条相交直线确定一个平面，故③正确； 两条平行直线确定一个平面，故④正确. 2．＂三个平面交于一点＂是＂三个平面两两相交＂的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 【答案】A 【详解】如图，三个平面交于一点可以推出三个平面两两相交， 三个平面两两相交推不出三个平面交于一点， 故选：A 3．在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【详解】第一个图，如图：   分别是棱的中点，由正方体性质知，，则四个点共面； 第二个图，如图：   为棱的中点，由正方体的性质可知六点共面，记作， 因为，所以，所以与异面直线，即四个点不共面； 第三个图，如图：    因和分别是相邻侧面的中位线，所以，， 所以，即四个点共面； 第四个图，如图：    因为平面，所以平面，所以与异面直线， 即四个点不共面． 故选：C 4．如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图所示，分别取的中点，连接， 由且，得是平行四边形，则， 又且，得是平行四边形，得， 所以，则共面， 故平面截该正方体所得的截面为. 又正方体的棱长为1，，，，， 故的面积为. 故选：D. 5．已知空间中点，直线，平面，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．与相交 C． D．以上都有可能 【答案】B 【详解】因为，所以， 又因为，所以l与相交， 故选：B. 6．在长方体中，设与的交点为O，则O可以是（    ） A．平面与平面的公共点； B．平面与平面的公共点； C．平面与平面的公共点； D．平面与平面的公共点． 【答案】C 【详解】A．平面平面，，故错误，不符合题意；    B．平面平面，，故错误，不符合题意； C．平面平面，，故正确，符合题意； D．平面平面，，故错误，不符合题意； 故选：C． 7．如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 【答案】A 【详解】如图所示： 连接，点为正方形的中心， 则经过点，且点为中点， 是线段的中点， 所以在中，， 又， 且由正方形性质可知， 所以， 即四边形为等腰梯形， 又为等腰梯形的对角线， 所以，且直线是相交直线. 故选：A. 8．如图，、、、是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 【答案】A 【详解】如图，延长GM到N,使,连接AN,DN. ，AN∥FM, ∴A,B,N三点共线， 同理D,C,N三点共线， 与相交， 故选：． 【点睛】本题考查两直线的位置关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． 二、多选题 9．下列命题正确的有（    ） A．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．一条直线和一个点确定一个平面 D．四边形可以确定一个平面 【答案】AB 【详解】对A，根据棱台的定义知三棱台的各侧棱所在直线必交于一点，故A正确； 对B，根据正棱锥的特点知：正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故B正确； 对C，当点在直线上时，不能确定平面，故C错误； 对D，空间四边形不在一个平面内，故D错误． 10．设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 【答案】CD 【详解】当时，，，但，故A错； 当时，B错； 如图，∵，，∴， ∴由直线和点确定唯一平面， 又，由与确定唯一平面，但经过直线和点， ∴与重合，∴，故C正确；    两个平面的公共点必在其交线上，故D正确． 故选：CD 三、填空题 11．生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才能稳定；一扇门尽管有两个合页固定在门框上，但仍可以转动，只有锁上才可以固定下来，这些例子都说明了___________道理. 【答案】不共线的三点确定一个平面 【详解】略 12．E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是______________.    【答案】五边形 【详解】作直线EF分别与直线DC、DD1相交于P、Q，    连接AP交BC于M，连接AQ交A1D1于N，连接NF、ME， 则五边形AMEFN即为过A、E、F三点的截面； 故答案为：五边形. 13．下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 【答案】①②③ 【详解】 在①中，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 所以，因为，所以是平行四边形， 所以， 所以，∴四点共面． 在②中， 取的中点N，P，Q，R，S分别是所在棱的中点， 可得交于直线延长线上一点， ∴四点共面，设为， 在正方体中：，∴四点共面，设为. ∵都经过不共线的三点，∴与重合，∴四点共面． 在③中，分别是所在棱的中点，所以，所以， ∴四点共面． 在④中， 连接，如图，∵平面平面且， ∴直线与为异面直线．∴四点不共面． 故答案为：①②③ 四、解答题 14．如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 【答案】作图见解析 【详解】A，，是平面ABC与的交线， 延长BA交l于D，则平面ABC， 因为，所以，又， 是平面ABC与的交线，则对应的图示如图， . 15．如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 【答案】证明见解析 【详解】在中，， 在平行六面体中：且 又因为，，所以， 则有，即四点共面. 16．如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 【答案】(1)证明见解析 (2)答案见解析， 【分析】 【详解】（1）证明:正方体中，如图连接， 因，则四边形是平行四边形，则， 因分别是的中点，则， 故，所以四点共面，因， 则相交，设交点为，则，而平面，则平面， 同理平面，而平面平面 故，即点在直线上，所以直线交于同一点. （2） 如图所示，依次连接， 易证，故四点共面. 则即为所求截面. 而， 所以的周长为. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题11.2 平面的基本事实与推论 教学目标 1．理解并熟记平面的三个基本事实，掌握文字、图形、符号三种表示方法，明确各自作用。 2．掌握平面的三个推论，理解推论与基本事实的联系，能用于判断与确定平面。 3．能运用基本事实与推论，解决点线共面、多点共线、多线共点的简单证明问题。 4．规范使用符号语言表述点、线、面的位置关系，提升逻辑推理与表达能力。 教学重难点 重点：平面三个基本事实与三个推论的内容、符号表示、作用及应用。 难点：基本事实与推论的逻辑理解，点线共面、多点共线问题的证明思路。 知识点01 平面的基本事实 基本事实 基本事实1 基本事实2 基本事实3 叙述 过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在这个平面内 如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线 图示 符号表示 A，B，C三点不共线⇒存在唯一的平面α使 且 ⇒ l且 作用 确定一个平面或判断“直线共面”的方法 ①检验平面； ②判断直线在平面内； ③由直线在平面内判断直线上的点在平面内 ①判定两平面相交； ②作两平面相交的交线； ③证明多点共线 【即学即练】 1．（多选）以下命题属于基本事实的是（    ） A．如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 B．过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面 C．空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补 D．平行于同一条直线的两条直线平行 知识点02 三个推论： 推论1：经过一条直线和直线外一点，有且只有一个平面． 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面． 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面． 【即学即练】 2．（多选）下列基本事实叙述正确的是（   ） A．经过两条相交直线，有且只有一个平面 B．经过两条平行直线，有且只有一个平面 C．经过三点，有且只有一个平面 D．经过一条直线和一个点，有且只有一个平面 题型01 平面的基本事实及辨析 【例1】判断下列命题是否正确，正确的是（    ） A．书桌面是平面. B．平面与平面相交，它们只有有限个公共点. C．如果两个平面有三个不共线的公共点，那么这两个平面重合. D．圆心和圆上两点确定一个平面 【例2】已知平面，直线，点，若，且，则_____（填数学符号）． 【变式1-1】检查一张桌子的4条腿的下端是否在同一平面内，下列做法最科学合理的是（    ） A．将桌子正放于地面上，趴地上观察桌腿和地面之间是否有缝隙 B．将桌子正放于地面上，取薄纸一张铺在桌面上观察纸张是否平整 C．将桌子倒放于地面上，用双手分别触摸四条腿底部凭手感判断是否水平 D．将桌子倒放于地面上，用细线分别连接两腿对角的下端观察两根细线是否相交 【变式1-2】平面与平面相交于直线l，点A、B在平面α上，点C在平面上但不在直线l上，直线AB与直线l相交于点R．设A、B、C三点确定的平面为，则与的交线是______ ． 【变式1-3】如图，，，，且，直线，过三点的平面记作，则与的交线必经过（   ） A．点 B．点 C．点但不过点 D．点和点 题型02 空间点共线问题 【例3】如图，在正方体中，设线段与平面交于点，则三点的位置关系是_____________． 【例4】如图所示，在正方体中，分别为上的点且．求证：点三点共线．    【变式2-1】已知与所在平面相交，并且交于一点.若，求证:共线. 【变式2-2】平面α与β的交线是l，若直线，直线，且，则M________l（选填“∈”或“”）． 【变式2-3】如图所示，在平面外，三边AB，AC，BC所在直线分别交平面于P，Q，R三点．求证：P，Q，R三点在同一直线上． 题型03 空间线共点问题 【例5】如图，正方体的棱长为4，，，设过三点的平面为， 平面平面 .    (1)求三棱锥的体积； (2)求证：直线交于一点. 【例6】如图，已知分别是正方体的棱的中点，.证明：直线交于同一点； 【变式3-1】如图所示，在空间四边形ABCD中，点E，H分别是边AB，AD的中点，点F，G分别是边BC，CD上的点，且，则（   ） A．EF与GH平行 B．EF与GH异面 C．EF与GH的交点一定在直线AC上 D．EF与GH的交点可能在直线AC上，也可能不在直线AC上 【变式3-2】在空间四边形ABCD中，H，G分别是AD，CD的中点，E，F分别边AB，BC上的点，且．求证： (1)四边形EFGH为梯形； (2)直线EH，BD，FG相交于一点． 【变式3-3】如图，已知分别是正方体的棱、、、的中点，且与相交于点．求证：点在直线上．    题型04 空间点共面问题 【例7】如图，在四棱锥中，底面，是直角梯形，，，，点是的中点.线段上是否存在一点，使得点共面？存在请证明，不存在请说明理由. 【例8】在正方体中，、分别为与的中点 (1)作出平面与平面的交线，并写出作图步骤； (2)求证：四点共面 【变式4-1】（多选）如图，在正方体中，是的中点，直线交平面于点，则下列结论正确的是（     ） A．，，三点共线 B．，，，四点共面 C．，，，四点共面 D．，，，四点共面 【变式4-2】如图所示，若P为平行四边形ABCD所在平面外一点. H为PC上的点，且，点G在AH上，且，若四点共面，则_________ 【变式4-3】如图，已知直四棱柱的底面是边长为2的正方形，，分别为的中点. (1)求三棱锥的表面积； (2)求三棱锥的体积； (3)求证：四点共面. 题型05 空间直线共面问题 【例9】已知：，求证：直线共面于.    【例10】如图，已知，，，是空间四点，且点，，在同一直线上，点不在直线上.求证:直线在同一平面上.    【变式5-1】如图，在正方体中，点、分别是、的中点．求证：    (1)直线和在同一平面上； (2)直线、和交于一点． 【变式5-2】两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一个平面内． 已知：如图，直线两两相交，交点分别为．求证：直线共面．    【变式5-3】已知直线l与三条平行线a、b、c都相交（如图），求证：l与a、b、c共面． 题型06 截面问题 【例11】（多选）用一个平面去截一个正三棱锥，得到的截面图形可能是（    ） A．等腰三角形 B．等腰梯形 C．平行四边形 D．五边形 【例12】在正方体中，分别是的中点，，则过点的平面截该正方体所得的截面周长为（    ） A． B． C． D． 【变式6-1】已知正方体，棱的中点为，棱的中点为，棱的中点为，过作该正方体的截面，则该截面的形状为（    ） A．三角形 B．四边形 C．五边形 D．六边形 【变式6-2】已知正方体的棱长为3，点 分别在棱 ， ，则过 ， ， 三点的平面截正方体所得多边形的面积为_____ 【变式6-3】如图1，在正方体中，，E，F，G，H分别是棱，，的中点，且与相交于点Q． (1)求证：直线为平面与平面的交线； (2)在图2中作出过，三点的截面，并求出该截面的周长和面积．（写出作图过程并保留作图痕迹） 一、单选题 1．给出下面四个命题，其中错误的命题个数是（    ） ①三个不同的点确定一个平面；       ②一条直线和一个点确定一个平面； ③两条相交直线确定一个平面；              ④两条平行直线确定一个平面. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．＂三个平面交于一点＂是＂三个平面两两相交＂的（     ）条件. A．充分非必要 B．必要非充分 C．充要 D．既非充分又非必要 3．在如图所示的正方体或四面体中，分别是棱的中点，这四个点不共面的图有（   ）    A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 4．如图，在棱长为1正方体中，点为棱的中点，则由三点所确定的平面截该正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 5．已知空间中点，直线，平面，若，则下列结论正确的是（    ） A． B．与相交 C． D．以上都有可能 6．在长方体中，设与的交点为O，则O可以是（    ） A．平面与平面的公共点； B．平面与平面的公共点； C．平面与平面的公共点； D．平面与平面的公共点． 7．如图，点为正方形的中心，平面平面，且，是线段的中点，则（    ） A．，且直线是相交直线 B．，且直线是相交直线 C．，且直线是异面直线 D．，且直线是异面直线 8．如图，、、、是某长方体四条棱的中点，则直线和直线的位置关系是（    ） A．相交 B．平行 C．异面 D．垂直 二、多选题 9．下列命题正确的有（    ） A．三棱台的各侧棱所在直线必交于一点 B．正棱锥的侧面是全等的等腰三角形 C．一条直线和一个点确定一个平面 D．四边形可以确定一个平面 10．设P表示一个点，a、b表示两条直线，、表示两个平面，下列说法正确的是（　　） A．若，，则 B．若，，则 C．若，，，，则 D．若，，，则 三、填空题 11．生活中有这样的经验：三脚架在不平的地面上也可以稳固地支撑一部照相机.两个轮子的自行车在停止运动后要加上一个支撑脚才能稳定；一扇门尽管有两个合页固定在门框上，但仍可以转动，只有锁上才可以固定下来，这些例子都说明了___________道理. 12．E、F分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱CC1、C1D1的中点，则过A、E、F三点的截面的图形是______________.    13．下列各图是正方体或正四面体(四个面都是正三角形的四面体)，分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是_____， 四、解答题 14．如图，若，A，，，且AB与l不平行，试画出平面ABC与平面，的交线. 15．如图所示，在平行六面体中，底面是边长为3的菱形，分别在线段和上，且，. 证明：四点共面. 16．如图，已知分别是正方体的棱的中点，. (1)证明：直线交于同一点； (2)作出过三点的截面（写出作图过程，保留作图痕迹），并计算截面图形的周长. 2 / 37 学科网（北京）股份有限公司 $